Как найти канонический вид прямой второго порядка

Канонические уравнения линий второго порядка

Рассмотрим задачу приведения уравнения линии второго порядка к наиболее простому (каноническому) виду.

Напомним, что алгебраической линией второго порядка называется геометрическое место точек плоскости, которое в какой-либо аффинной системе координат может быть задано уравнением вида где — многочлен второй степени двух переменных . Требуется найти прямоугольную систему координат, в которой уравнение линии приняло бы наиболее простой вид.

Результатом решения поставленной задачи является следующая основная теорема (3.3)

---

Классификация алгебраических линий второго порядка (теорема 3.3)

Для любой алгебраической линии второго порядка существует прямоугольная система координат , в которой уравнение этой линии принимает один из следующих девяти канонических видов:

Теорема 3.3 дает аналитические определения линий второго порядка. Согласно пункту 2 замечаний 3.1, линии (1), (4), (5), (6), (7), (9) называются вещественными (действительными), а линии (2), (3), (8) — мнимыми.

---

Приведем доказательство теоремы, поскольку оно фактически содержит алгоритм решения поставленной задачи.

Без ограничения общности можно предполагать, что уравнение линии второго порядка задано в прямоугольной системе координат . В противном случае можно перейти от непрямоугольной системы координат к прямоугольной , при этом уравнение линии будет иметь тот же вид и ту же степень согласно теореме 3.1 об инвариантности порядка алгебраической линии.

Пусть в прямоугольной системе координат алгебраическая линия второго порядка задана уравнением

в котором хотя бы один из старших коэффициентов отличен от нуля, т.е. левая часть (3.34) — многочлен двух переменных второй степени. Коэффициенты при первых степенях переменных и , а также при их произведении взяты удвоенными просто для удобства дальнейших преобразований.

Для приведения уравнения (3.34) к каноническому виду используются следующие преобразования прямоугольных координат:

– поворот на угол

– параллельный перенос

– изменение направлений координатных осей (отражения в координатных осях):

оси ординат оси абсцисс обеих осей

– переименование координатных осей (отражение в прямой )

где и — координаты произвольной точки в старой и новой системах координат соответственно.

Кроме преобразования координат обе части уравнения можно умножать на отличное от нуля число.

Рассмотрим сначала частные случаи, когда уравнение (3.34) имеет вид:

Эти уравнения (также многочлены в левых частях) называются приведенными. Покажем, что приведенные уравнения (I), (II), (III) сводятся к каноническим (1)–(9).

Уравнение (I). Если в уравнении (I) свободный член равен нулю , то, разделив обе части уравнения на старший коэффициент , получим — уравнение двух совпадающих прямых (9), содержащих ось абсцисс . Если же свободный член отличен от нуля , то разделим обе части уравнения (I) на старший коэффициент . Если величина отрицательная, то, обозначив ее через , где , получаем — уравнение пары параллельных прямых (7): или . Если же величина положительная, то, обозначив ее через , где , получаем — уравнение пары мнимых параллельных прямых (8). Это уравнение не имеет действительных решений, поэтому на координатной плоскости нет точек, отвечающих этому уравнению. Однако в области комплексных чисел уравнение имеет два сопряженных решения , которые иллюстрируются штриховыми линиями (см. пункт 8 теоремы 3.3).

Уравнение (II). Разделим уравнение на старший коэффициент и перенесем линейный член в правую часть: . Если величина отрицательная, то, обозначая , получаем — уравнение параболы (6). Если величина положительная, то, изменяя направление оси абсцисс, т.е. выполняя второе преобразование в (3.37), получаем уравнение или , где . Это уравнение параболы в новой системе координат .

Уравнение (III). Возможны два случая: либо старшие коэффициенты одного знака (эллиптический случай), либо противоположных знаков (гиперболический случай).

В эллиптическом случае при переносим свободный член в правую часть и делим обе части на :

Если знак старших коэффициентов противоположен знаку , то, обозначая положительные величины и через и , получаем — уравнение эллипса (1).

Если знак старших коэффициентов совпадает со знаком , то, обозначая положительные величины и через и , получаем — уравнение мнимого эллипса (2). Это уравнение не имеет действительных решений. Однако оно имеет решения в области комплексных чисел, которые иллюстрируются штриховой линией (см. пункт 2 теоремы 3.3).

Можно считать, что в уравнениях эллипса (действительного или мнимого) коэффициенты удовлетворяют неравенству , в противном случае этого можно добиться, переименовывая координатные оси, т.е. делая преобразование (3.38) системы координат.

Если свободный член уравнения (III) равен нулю , то, обозначая положительные величины и через и , получаем — уравнение пары мнимых пересекающихся прямых (3). Этому уравнению удовлетворяет только точка с координатами и , т.е. точка — начало координат. Однако в области комплексных чисел левую часть уравнения можно разложить на множители , поэтому уравнение имеет сопряженные решения , которые иллюстрируются штриховыми линиями, пересекающимися в начале координат (см. пункт 3 теоремы 3.3).

В гиперболическом случае при переносим свободный член в правую часть и делим обе части на :

Величины и имеют противоположные знаки. Без ограничения общности считаем, что знак совпадает со знаком свободного члена , т.е. . В противном случае нужно переименовать координатные оси, т.е. сделать преобразование (3.38) системы координат. Обозначая положительные величины и через и , получаем — уравнение гиперболы (4).

Пусть в уравнении (III) свободный член равен нулю . Тогда можно считать, что , а (в противном случае обе части уравнения умножим на –1) . Обозначая положительные величины и через и , получаем — уравнение пары пересекающихся прямых (5). Уравнения прямых находятся в результате разложения на множители левой части уравнения

, то есть

Таким образом, приведенные уравнения (I),(II),(III) алгебраической линии второго порядка сводятся к одному из канонических видов (1)–(9), перечисленных в теореме 3.3.

Осталось показать, что общее уравнение (3.34) можно свести к приведенным при помощи преобразований прямоугольной системы координат.

Упрощение общего уравнения (3.34) производится в два этапа. На первом этапе при помощи поворота системы координат “уничтожается” член с произведением неизвестных. Если произведения неизвестных нет , то поворот делать не надо (в этом случае переходим сразу ко второму этапу). На втором этапе при помощи параллельного переноса “уничтожаются” один или оба члена первой степени. В результате получаются приведенные уравнения (I),(II),(III).

---

Первый этап: преобразование уравнения линии второго порядка при повороте прямоугольной системы координат.

Если коэффициент , выполним поворот системы координат на угол . Подставляя выражения (3.35) в уравнение (3.34), получаем:

Приводя подобные члены, приходим к уравнению вида (3.34):

где

Определим угол так, чтобы . Преобразуем выражение для , переходя к двойному углу:

Угол должен удовлетворять однородному тригонометрическому уравнению , которое равносильно уравнению

поскольку . Это уравнение имеет бесконечное количество корней

Выберем любой из них, например, угол из интервала . Тогда в уравнении (3.39) исчезнет член , поскольку .

Обозначив оставшиеся старшие коэффициенты через и , получим уравнение

Согласно теореме 3.1, уравнение (3.41) является уравнением второй степени (при преобразовании (3.35) порядок линии сохраняется), т.е. хотя бы один из старших коэффициентов или отличен от нуля. Далее будем считать, что именно коэффициент при не равен нулю . В противном случае (при и ) следует сделать поворот системы координат на угол , который также удовлетворяет условию (3.40). Тогда вместо координат в (3.41) получим соответственно, т.е. отличный от нуля коэффициент будет при .

---

Второй этап: преобразование уравнения линии второго порядка при параллельном переносе прямоугольной системы координат.

Уравнение (3.41) можно упростить, выделяя полные квадраты. Нужно рассмотреть два случая: или (согласно предположению ), которые называются центральный (включающий эллиптический и гиперболический случаи) или параболический соответственно. Геометрический смысл этих названий раскрывается в дальнейшем.

Центральный случай: и . Выделяя полные квадраты по переменным , получаем

После замены переменных

получаем уравнение

где .

Параболический случай: и . Выделяя полный квадрат по переменной , получаем

Если , то последнее уравнение приводится к виду

Сделав замену переменных

получим, где

Если , то уравнение (3.44) приводится к виду, где ,

Замены переменных (3.42), (3.45), (3.48) соответствуют параллельному переносу системы координат (см. пункт 1″a” замечаний 2.3).

Таким образом, при помощи параллельного переноса системы координат получаем новую систему координат , в которой уравнение линии второго порядка принимает вид (3.43), или (3.46), или (3.47). Эти уравнения являются приведенными (вида (III),(II) или (I) соответственно).

Основная теорема 3.3 о приведении уравнения алгебраической линии второго порядка к каноническому виду доказана.

---

Замечания 3.8

1. Система координат, в которой уравнение алгебраической линии второго порядка имеет канонический вид, называется канонической. Каноническая система координат определяется неоднозначно. Например, изменяя направление оси ординат на противоположное, снова получаем каноническую систему координат, так как замена переменной на не изменяет уравнений (1)–(9). Поэтому ориентация канонической системы координат не имеет принципиального значения, ее всегда можно сделать правой, изменив при необходимости направление оси ординат.

2. Ранее показано, что преобразования прямоугольных систем координат на плоскости сводятся к одному из преобразований (2.9) или (2.10):

Поэтому задача приведения уравнения линии второго порядка к каноническому виду сводится к нахождению начала канонической системы координат и угла наклона ее оси абсцисс к оси абсцисс исходной системы координат .

3. В случаях (3),(5),(7),(8),(9) линии называются распадающимися, поскольку соответствующие им многочлены второй степени разлагаются в произведение многочленов первой степени.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Общее
уравнение кривой второго порядка имеет
вид

причем
предполагается, что среди чисел
есть хотя бы одно ненулевое.

Существует
система координат (называемая
канонической),
в которой уравнение кривой второго
порядка имеет вид, приведенный в таблице
(канонический
вид).

	эллипс
	гипербола
	парабола
	мнимый эллипс (эта “кривая” не имеет действительных точек)
	на действительной плоскости “кривая” имеет лишь одну точку
	две пересекающиеся прямые
	две параллельные прямые
	две совпадающие прямые
	две мнимые параллельные прямые (“кривая” не имеет ни одной действительной точки)

Задача 1.
Изобразить
кривую, найти ее характеристики:

Р

ешение.
Надо привести это уравнение к каноническому
виду. Выделим полные квадраты по
и поСледовательно, данная кривая является
эллипсом. Его центр:Полуоси:Для нахождения координат фокусов находим
параметр(половину расстояния между фокусами):Отсюда получаем фокусы:Эксцентриситет:

Задача 2.
Составить
уравнение гиперболы с асимптотами
касающейся оси

Р

ешение. Уравнения
асимптот гиперболы с центром
имеют видСледовательно, центр гиперболы имеет
координаты

и
Нарисуем гиперболу, учитывая, что она
касается оси абсцисс.

Из
рисунка видно, что
Так кактоТак как действительная ось гиперболы
параллельна осито в правой части уравнения будетвместоОтсюда получаем уравнение:

Задача 3.
Найти площадь
области, ограниченной кривой

Решение.
В случае, когда коэффициенты при
иравны друг другу, то поворотом системы
координат на угол вможно избавиться от произведенияв уравнении кривой. Напишем формулы
поворота на угол

(здесь
– координаты точки в исходной системе
координат, а– координаты той же точки в системе
координат, повернутой на угол.
Приполучаем прямые и обратные формулы:

Подставим
обратные формулы в уравнение кривой:

Следовательно,
.
Отсюда

)

Рис.
5.30

. Рисуем оси эллипса, находим отрезкии(его полуоси). Далее строим отрезок(рис. 5.34) и фокусыэллипса.

Задача
4.
Установить, что уравнение

определяет эллипс,
найти его центр и полуоси.

Решение.
Преобразуем
это уравнение:

,
или

,
или

.

Положим
и уравнение примет видЭто уравнение эллипса с полуосямии.

Задача
5.
Установить, что уравнение
определяет гиперболу, найти ее центр и
полуоси.

Подберём
угол
,
после поворота на который уравнение
кривой не будет содержать произведения
переменныхи.
Подставим формулы поворота в заданное
уравнение,
которое лучше переписать в виде:

,

,

.

Найдём
такой угол
,
чтобы в последнем уравнении не содержалось
слагаемое.
Достаточно положить,,
то есть,.

Тогда преобразование
примет вид

–
поворот против часовой стрелки вокруг
точки
,
а уравнение кривой (5.28) в новой системе
координат:

–
это уравнение гиперболы с полуосями
и
центром в точке

(рис. 5.16).

Уравнение	Канонический вид	Тип	Измерение
9x^2+12xy+4y^2-24x-16y+3=0	x^2=1	Две параллельные прямые	Линия
x^2-2xy+y^2-10x-6y+25=0	y^2=4*sqrt(2)*x	Парабола	Линия
5x^2+4xy+y^2-6x-2y+2=0	x^2/(1/sqrt(2*sqrt(2)+3))^2 + y^2/(1/sqrt(-2*sqrt(2)+3))^2=0	Вырожденный эллипс	Линия
5*x^2+4*x*y+8*y^2+8*x+14*y+5=0	x^2/(3/4)^2+y^2/(1/2)^2=1	Эллипс	Линия
2*x^2+4*y^2+z^2-4*x*y-4*y-2*z+5=0	z^2/(2/sqrt(2)/sqrt(3-sqrt(5)))^2+x^2/(2/sqrt(2)/sqrt(3+sqrt(5)))^2+y^2/(2/sqrt(2))^2=-1	Мнимый эллипсоид	Поверхность
x^2+y^2-z^2-2*x-2*y+2*z+2=0	x^2/1^2+y^2-z^2=-1	Двухсторонний гиперболоид	Поверхность
x^2+y^2-6*x+6*y-4*z+18=0	x^2/2+y^2-2*z=0 или x^2/2+y^2+2*z=0	Эллиптический параболоид	Поверхность
x^2+4*y^2+9*z^2+4*x*y+12*y*z+6*x*z-4*x-8*y-12*z+3=0	x^2/=1/14	Две параллельные плоскости	Поверхность

1. Преобразование координат в уравнении второго порядка.

   Начать изучение
   

2. Канонические виды уравнений второго порядка.

   Начать изучение
   

3. Случай A’C’ > 0.

   Начать изучение
   

4. Случай A’C’ < 0.

   Начать изучение
   

5. Случай (A’C’ = 0).

   Начать изучение
   

Преобразование координат в уравнении второго порядка.

В общей декартовой системе координат линия второго порядка может быть задана уравнением
$$
Ax^{2} + 2Bxy + Cy^{2} + 2Dx + 2Ey + F = 0,label{ref1}
$$
в котором коэффициенты (A), (B) и (C) не равны нулю одновременно. Исследуем множество точек, которые ему удовлетворяют, не предполагая заранее, что хоть одна такая точка существует. С этой целью мы будем менять систему координат так, чтобы уравнение стало возможно проще. С самого начала можно считать систему координат декартовой прямоугольной, так как при переходе к прямоугольной системе координат общий вид уравнения eqref{ref1} не изменится.

При повороте базиса декартовой прямоугольной системы координат на угол (varphi) старые координаты точки (x), (y) будут связаны с ее новыми координатами (x’), (y’) формулами
$$
x = x’cos varphi-y’sin varphi,\ y = x’sin varphi + y’cos varphi.nonumber
$$
В новых координатах уравнение eqref{ref1} примет вид
$$
A(x’cos varphi-y’sin varphi)^{2} + 2B(x’cos varphi-y’sin varphi) times \ times (x’sin varphi + y’cos varphi) + C(x’sin varphi + y’cos varphi) + … = 0.nonumber
$$
Здесь многоточием обозначены члены первой степени относительно (x’), (y’) и свободный член, которые нет необходимости выписывать. Нас будет интересовать член с произведением (x’y’) в преобразованном уравнении. В невыписанные члены это произведение не входит, и мы подсчитаем, что половина коэффициента при (x’y’) есть
$$
B’ = -Asin varphi cos varphi + B(cos^{2}varphi-sin^{2}varphi) + Csin varphi cos varphi.nonumber
$$
Если (B = 0), то поворачивать систему координат не будем. Если же (B neq 0), то выберем угол (varphi) так, чтобы (B’) обратилось в нуль.

Это требование приведет к уравнению
$$
2B cos 2varphi = (A-C)sin 2varphi.label{ref2}
$$
Если (A = C), то (cos 2varphi = 0), и можно положить (varphi = pi/4). Если же (A neq C), то выбираем (varphi = displaystylefrac{1}{2} operatorname{arctg} left[frac{2B}{A-C}right]). Для нас сейчас важно то, что хоть один такой угол обязательно существует. После поворота системы координат на этот угол линия будет иметь уравнение
$$
A’x’^{ 2} + C’y’^{ 2} + 2D’x’ + 2E’y’ + F’ = 0.label{ref3}
$$
Выражения для коэффициентов уравнения eqref{ref3} через коэффициенты eqref{ref1} подсчитать не трудно, но это не нужно. Теперь коэффициент при произведении переменных равен нулю, а остальные члены мы по-прежнему считаем произвольными.

---

Канонические виды уравнений второго порядка.

Предположим, что (A’C’ neq 0), то есть оба коэффициента отличны от нуля. Согласно утверждению 1 при помощи переноса начала координат уравнение приведется к виду
$$
A’x″^{ 2} + C’y″^{ 2} + F″ = 0.label{ref4}
$$

Могут быть сделаны следующие предположения относительно знаков коэффициентов в этом уравнении.

Случай A’C’ > 0.

Если (A’C’ > 0), то коэффициенты (A’) и (C’) имеют один знак. Для (F″) имеются следующие три возможности.

1. Знак (F″) противоположен знаку (A’) и (C’). Перенесем (F″) в другую часть равенства и разделим на него. Уравнение примет вид
   $$
   frac{x″^{ 2}}{a^{2}} + frac{y″^{ 2}}{b^{2}} = 1,label{ref5}
   $$
   где (a^{2} = -F″/A’), (b^{2} = -F″/C’). Можно считать, что в этом уравнении (a > 0), (b > 0) и (a geq b). Действительно, если последнее условие не выполнено, то можно сделать дополнительную замену координат
   $$
   x^{*} = y″, y^{*} = x″.label{ref6}
   $$

   Определение.

   Линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат может быть задана уравнением eqref{ref5} при условии (a geq b), называется эллипсом, уравнение называется каноническим уравнением эллипса, а система координат — его канонической системой координат.

   При (a = b) уравнение eqref{ref5} есть уравнение окружности радиуса (a). Таким образом, окружность — частный случай эллипса.

2. Знак (F″) совпадает с общим знаком (A″) и (C″). Тогда аналогично предыдущему мы можем привести уравнение к виду
   $$
   frac{x″^{ 2}}{a^{2}} + frac{y″^{ 2}}{b^{2}} = -1,label{ref7}
   $$
   Этому уравнению не удовлетворяют координаты ни одной точки. Уравнение, которое приводится к каноническому виду eqref{ref7}, называется уравнением мнимого эллипса.
3. (F″ = 0). Уравнение имеет вид
   $$
   a^{2}x″^{ 2} + c^{2}y″^{ 2} = 0.label{ref8}
   $$
   Ему удовлетворяет только одна точка (x″ = 0), (y″ = 0). Уравнение, приводящееся к каноническому виду eqref{ref8}, называется уравнением пары мнимых пересекающихся прямых. Основанием для этого названия служит сходство с приведенным ниже уравнением eqref{ref10}.

Случай A’C’ < 0.

Если (A’C’ < 0), то коэффициенты (A’) и (C’) имеют разные знаки. Относительно (F″) имеются следующие две возможности.

1. (F″ neq 0). В случае необходимости, делая замену eqref{ref6}, мы можем считать, что знак (F″) противоположен знаку (A’). Тогда уравнение приводится к виду
   $$
   frac{x″^{ 2}}{a^{2}}-frac{y″^{ 2}}{b^{2}} = 1,label{ref9}
   $$
   где (a^{2} = -F″/A’), (b^{2} = F″/C’).

   Определение.

   Линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат может быть задана уравнением eqref{ref9}, называется гиперболой, уравнение называется каноническим уравнением гиперболы, а система координат — ее канонической системой координат.

2. Может случиться, что (F″ = 0). Уравнение имеет вид
   $$
   a^{2}x″^{ 2}-c^{2}y″^{ 2} = 0.label{ref10}
   $$
   Его левая часть разлагается на множители (ax″-cy″) и (ax″ + cy″) и, следовательно, обращается в нуль тогда и только тогда, когда равен нулю хоть один из сомножителей. Поэтому линия с уравнением eqref{ref10} состоит из двух прямых. Эти прямые пересекаются в начале координат, и мы имеем, таким образом, пару пересекающихся прямых.

Случай (A’C’ = 0).

Допустим теперь, что (A’C’ = 0), и, следовательно, один из коэффициентов (A’) или (C’) равен нулю. В случае необходимости, делая замену eqref{ref6}, мы можем считать, что (A’ = 0). При этом (C neq 0), так как иначе порядок уравнения был бы меньше двух. Используя утверждение 1, мы приведем уравнение к виду
$$
C’y″^{ 2} + 2D’x″ + F″ = 0.nonumber
$$

Пусть (D’ neq 0). Сгруппируем члены следующим образом:
$$
C’y″^{ 2} + 2D’left(x″ + frac{F″}{2D’}right) = 0.nonumber
$$
Перенесем начало координат вдоль оси абсцисс в соответствии с формулами перехода (x^{*} = x″ + F″/2D’), (y^{*} = y″). Тогда уравнение примет вид
$$
C″y^{*2} + 2D’x^{*} = 0,nonumber
$$
или
$$
y^{*2} = 2px^{*},label{ref11}
$$
где (p = -D’/C″). Мы можем считать, что (p > 0), так как в противном случае можно сделать дополнительную замену координат, изменяющую направление оси абсцисс: (tilde{x} = -x^{*}), (tilde{y} = y^{*}).

Допустим, что (D’ = 0). Уравнение имеет вид (C’y″^{ 2} + F″ = 0). Относительно (F″) есть следующие три возможности.

1. Если (C’F″ < 0), то знаки (C’) и (F″) противоположны. Разделив на (C’), приведем уравнение к виду
   $$
   y″^{ 2}-a^{2} = 0.label{ref12}
   $$
   Левая часть уравнения разлагается на множители (y″ + a) и (y″-a). Обращение в нуль каждого из них определяет прямую линию. Эти прямые параллельны, и, таким образом, уравнение определяет пару параллельных прямых.
2. В случае (C’F″ > 0) знаки (C’) и (F″) совпадают. Разделив на (C’), приведем уравнение к виду
   $$
   y″^{ 2} + a^{2} = 0.label{ref13}
   $$
   Этому уравнению не удовлетворяют координаты ни одной точки. Уравнение, приводящееся к каноническому виду eqref{ref13}, называют уравнением пары мнимых параллельных прямых.
3. Остался последний случай (F″ = 0). После деления на (C’) уравнение принимает вид
   $$
   y″^{ 2} = 0.label{ref14}
   $$
   Это уравнение эквивалентно уравнению (y″ = 0), и потому определяет прямую линию. Уравнение, приводящееся к каноническому виду eqref{ref14}, называется уравнением пары совпавших прямых.

Теперь мы можем объединить всё вместе.

Прямую линию в прямоугольной системе координат можно задать с помощью канонического уравнения. В этой статье мы расскажем, что это такое, приведем примеры, рассмотрим связи канонических уравнений с другими типами уравнений для этой прямой. В последнем пункте мы разберем несколько задач на закрепление темы.

Понятие канонического уравнения прямой

Допустим, что у нас есть декартова (прямоугольная) система координат, в которой задана прямая. Нам известны координаты произвольно взятой точки этой прямой M1(x1, y1), а также ее направляющего вектора a→=(ax, ay). Попробуем составить уравнение, которое описывало бы эту прямую.

Возьмем плавающую точку M(x, y). Тогда вектор M1M→ можно считать направляющим для исходной прямой. Его координаты будут равны  x-x1, y-y1 (если нужно, повторите материал о том, как правильно вычислять координаты вектора с помощью координат отдельных его точек).

Множество произвольно взятых точек M(x, y) будут определять нужную нам прямую с направляющим вектором a→=(ax, ay)  только в одном случае – если векторы M1M→ и a→=(ax, ay) будут коллинеарны по отношению друг к другу. Посмотрите на картинку: 

Таким образом, мы можем сформулировать необходимое и достаточное коллинеарности этих двух векторов:

M1M→=λ·a→, λ∈R

Если преобразовать полученное равенство в координатную форму, то мы получим:

x-x1=λ·axy-y1=λ·ay

При условии, что ax≠0 и ay≠0, получим:

x-x1=λ·axy-y1=λ·ay⇔λ=x-x1axλ=y-y1ay⇔x-x1ax=y-y1ay

Итог наших преобразований и будет каноническим уравнением прямой на плоскости. Запись вида x-x1ax=y-y1ay также называют уравнением прямой в каноническом виде.

Таким образом, с помощью уравнения x-x1ax=y-y1ay можно задать в прямоугольной системе координат на плоскости прямую, которая имеет направляющий вектор a→=(ax, ay) и проходит через точку M1(x1, y1).

Примером уравнения подобного типа является, например, x-23=y-31. Прямая, которая задана с его помощью, проходит через  M1(2, 3) и имеет направляющий вектор a→=3, 1. Ее можно увидеть на рисунке:

Из определения канонического уравнения нужно сделать несколько важных выводов. Вот они:

Разберем важный пример задачи на нахождение канонического уравнения.

Канонические уравнения прямой на плоскости с ax или ay, равными нулю

Если значение хотя бы одной переменной a является нулевым, то уравнение плоскости используют в первоначальном виде. Сразу две переменные нулевыми не могут быть по определению, поскольку нулевой вектор не бывает направляющим. В таком случае мы можем считать запись x-x1ax=y-y1ay условной и понимать ее как равенство ay(x-x1)=ax(y-y1).

Разберем случаи канонических уравнений на плоскости с одним нулевым a более подробно. Допустим, что x-x10=y-y1ay при ax=0, а исходная прямая будет проходить через M1(x1, y1). В таком случае она является параллельной оси ординат (если x1=0, то она будет с ней совпадать). Докажем это утверждение.

Для этой прямой вектор a→=(0, ay) будет считаться направляющим. Этот вектор является коллинеарным по отношению к координатному вектору j→=(0,1).

Если же нулевым является значение второго параметра, то есть ay=0, то мы получаем равенство вида x-x1ax=y-y10. Это уравнение описывает прямую, проходящую через M1(x1, y1), которая расположена параллельно оси абсцисс. Это утверждение верно, поскольку a→=(ax, 0) является для этой прямой направляющим вектором, а он в свою очередь является коллинеарным по отношению к координатному вектору i→=(1, 0).

Проиллюстрируем два частных случая канонического уравнения, описанные выше:

Преобразование канонического уравнения прямой в другие виды уравнений

Мы уже выяснили, что в прямоугольной системе координат на плоскости заданную прямую можно описать с помощью канонического уравнения. Оно удобно для решения многих задач, однако иногда лучше производить вычисления с помощью другого типа уравнений. Сейчас мы покажем, как преобразовать каноническое уравнение в другие виды, если это требуется по ходу решения.

Стандартной форме записи канонического уравнения x-x1ax=y-y1ay можно поставить в соответствие систему параметрических уравнений на плоскости x=x1+ax·λy=y1+ay·λ. Чтобы преобразовать один вид уравнения в другой, нам надо приравнять правую и левую часть исходного равенства к параметру λ. После этого надо выполнить разрешение получившихся равенств относительно переменных x и y:

x-x1ax=y-y1ay⇔x-x1ax=y-y1ay=λ⇔⇔x-x1ax=λy-y1ay=λ⇔x=x1+ax·λy=y1+ay·λ

Покажем на примере, как именно выполняется это действие с конкретными числами.

Из канонического уравнения можно получить не только параметрические, но и общие уравнения прямой. Вспомним понятие пропорции: запись ab=cd можно представить в виде a·d=b·c с сохранением смысла. Значит, что x-x1ax=y-y1ay⇔ay(x-x1)=ax(y-y1)⇔ayx-axy-ayx1+axy1=0.

Это и есть общее уравнение прямой. Это станет более очевидно, если мы добавим в него значения параметров ay=A, -ax=B, -ayx1+axy1=C.

Также из канонического уравнения мы можем получить уравнение прямой в отрезках, прямой с угловым коэффициентом или нормальное уравнение прямой, но это действие выполняется в два шага: первым делом мы получаем общее уравнение прямой, а вторым – преобразуем его в уравнение указанного типа. Разберем пример такой задачи.

Достаточно легко решить и задачу, обратную этой, т.е. привести уравнение прямой на плоскости обратно к каноническому. Допустим, у нас есть общее уравнение прямой в стандартной формулировке – Ax+By+C=0. При условии A≠0 мы можем перенести By вправо с противоположным знаком. Получим Ax+C=-By. Теперь выносим A за скобки и преобразуем равенство так:

Ax+CA=-By

Получившееся уравнение мы записываем в виде пропорции: x+CA-B=yA.

У нас получилось нужное нам каноническое уравнение прямой на плоскости.

А как сделать преобразование, если B≠0? Переносим все слагаемые, кроме Ax, вправо с противоположными знаками. Получаем, что Ax=-By-C. Выносим -B за скобки:

Ax=-By+CB

Формируем пропорцию: x-B=y+CBA

Таким же образом мы поступаем, если нам нужно привести к каноническому виду уравнение прямой в отрезках и уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Наиболее простая задача – переход от параметрических уравнений к каноническим. Нужно просто выразить параметр λ в системе уравнений x=x1+ax·λy=y1+ay·λ и приравнять обе части равенств. Схема решения выглядит так:

x=x1+ax·λy=y1+ay·λ⇔λ=x-x1axλ=y-y1ay⇔x-x1ax=y-y1ay

Если значение одного из параметров a будет нулевым, мы поступаем точно таким же образом.

Как решать задачи на составление канонических уравнений

В первую очередь канонические уравнения используются для тех задач, где нужно выяснить, принадлежит ли некоторая точка заданной прямой или нет. Вспомним, что в случае, если точка лежит на прямой, ее координаты будут удовлетворять уравнению этой прямой.

Далее мы посмотрим, какие еще типичные задачи на нахождение канонического уравнения можно встретить. Возьмем примеры с разными условиями.

Наиболее простыми являются задачи на нахождение канонического уравнения прямой на плоскости, в которых уже заданы координаты некой точки, лежащей на прямой. В первой части материала мы уже приводили пример решения такой задачи.

Чуть сложнее будет найти нужное уравнение, если нам предварительно нужно будет вычислить координаты направляющего вектора исходной прямой. Чаще всего встречаются задачи, в которой нужная прямая проходит через две точки с известными координатами.

Посмотрим, как нужно составлять канонические уравнения прямой на плоскости в том случае, если направляющий вектор этой прямой нужно вычислять исходя из параллельных или перпендикулярных ей прямых.