Как найти каноническое уравнение гиперболы онлайн

Каноническое уравнение гиперболы по двум точкам

Уравнение гиперболы в каноническом виде имеет вот такой вид.

Так же как и при расчете  уравнения эллипса по двум точкам, мы можем по двум точкам однозначно построить гиперболу, выраженную через вышеуказанную формулу.

Используя универсальный калькулятор расчет кривой второго порядка на плоскости по точкам, мы легко определим  значения   и

Кроме этого, зная эти параметры можно рассчитать следующее:

Большая  полуось    – расстояние от центра гиперболы, до одной из вершин

Фокальное расстояние – расстояние от центра гиперболы до одного из фокусов

Мнимая полуось     – расстояние от вершины гиперболы до асимптоты вдоль направления параллельного оси ординат

Связь между тремя параметрами выражена в одной формуле

Эксцентриситет – коэффициент, численно равный, отношению фокусного расстояния к большой полуоси гиперболы

Фокальный параметр –расстояние от фокуса до гиперболы вдоль прямой, параллельной оси ординат 

Прицельный параметр  –  расстояние от фокуса до асимптоты. Численно равен малой полуоси гиперболы.

Перицентрическое расстояние –расстояние от фокуса до ближайшей вершины гиперболы

Примеры задач

Cоставить каноническое уравнение гиперболы по двум точкам 

Вводим данные в поля ввода. Можем писать как выражение, учитвая что квадратный корень обозначается sqrt, а можем сначала получить численные  значения и подставить уже окончательные результаты.

В результате получим

Каноническое уравнение гиперболы
Большая полуось гиперболы
4.47213595499958
Малая/мнимая полуось гиперболы
3.4641016147913444
Эксцентриситет гиперболы
1.1661903789073205
Фокальный параметр
1.79999999928
Фокальное расстояние
5.830951894536603
Перицентрическое расстояние
0.8309518945366023

Есть небольшая погрешность в вычислениях, вместо 2.9999999999  должно быть 3. Но думаю, что клиенты отнесутся с снисхождением, к  одной десяти миллионной погрешности.

Удачных расчетов!

Господин Экзамен

Your Input

Find the center, foci, vertices, co-vertices, major axis length, semi-major axis length, minor axis length, semi-minor axis length, latera recta, length of the latera recta (focal width), focal parameter, eccentricity, linear eccentricity (focal distance), directrices, asymptotes, x-intercepts, y-intercepts, domain, and range of the hyperbola $$$x^{2} – 4 y^{2} = 36$$$.

Solution

The equation of a hyperbola is $$$frac{left(x – hright)^{2}}{a^{2}} – frac{left(y – kright)^{2}}{b^{2}} = 1$$$, where $$$left(h, kright)$$$ is the center, $$$a$$$ and $$$b$$$ are the lengths of the semi-major and the semi-minor axes.

Our hyperbola in this form is $$$frac{left(x – 0right)^{2}}{36} – frac{left(y – 0right)^{2}}{9} = 1$$$.

Thus, $$$h = 0$$$, $$$k = 0$$$, $$$a = 6$$$, $$$b = 3$$$.

The standard form is $$$frac{x^{2}}{6^{2}} – frac{y^{2}}{3^{2}} = 1$$$.

The vertex form is $$$frac{x^{2}}{36} – frac{y^{2}}{9} = 1$$$.

The general form is $$$x^{2} – 4 y^{2} – 36 = 0$$$.

The linear eccentricity (focal distance) is $$$c = sqrt{a^{2} + b^{2}} = 3 sqrt{5}$$$.

The eccentricity is $$$e = frac{c}{a} = frac{sqrt{5}}{2}$$$.

The first focus is $$$left(h – c, kright) = left(- 3 sqrt{5}, 0right)$$$.

The second focus is $$$left(h + c, kright) = left(3 sqrt{5}, 0right)$$$.

The first vertex is $$$left(h – a, kright) = left(-6, 0right)$$$.

The second vertex is $$$left(h + a, kright) = left(6, 0right)$$$.

The first co-vertex is $$$left(h, k – bright) = left(0, -3right)$$$.

The second co-vertex is $$$left(h, k + bright) = left(0, 3right)$$$.

The length of the major axis is $$$2 a = 12$$$.

The length of the minor axis is $$$2 b = 6$$$.

The focal parameter is the distance between the focus and the directrix: $$$frac{b^{2}}{c} = frac{3 sqrt{5}}{5}$$$.

The latera recta are the lines parallel to the minor axis that pass through the foci.

The first latus rectum is $$$x = – 3 sqrt{5}$$$.

The second latus rectum is $$$x = 3 sqrt{5}$$$.

The endpoints of the first latus rectum can be found by solving the system $$$begin{cases} x^{2} – 4 y^{2} – 36 = 0 \ x = – 3 sqrt{5} end{cases}$$$ (for steps, see system of equations calculator).

The endpoints of the first latus rectum are $$$left(- 3 sqrt{5}, – frac{3}{2}right)$$$, $$$left(- 3 sqrt{5}, frac{3}{2}right)$$$.

The endpoints of the second latus rectum can be found by solving the system $$$begin{cases} x^{2} – 4 y^{2} – 36 = 0 \ x = 3 sqrt{5} end{cases}$$$ (for steps, see system of equations calculator).

The endpoints of the second latus rectum are $$$left(3 sqrt{5}, – frac{3}{2}right)$$$, $$$left(3 sqrt{5}, frac{3}{2}right)$$$.

The length of the latera recta (focal width) is $$$frac{2 b^{2}}{a} = 3$$$.

The first directrix is $$$x = h – frac{a^{2}}{c} = – frac{12 sqrt{5}}{5}$$$.

The second directrix is $$$x = h + frac{a^{2}}{c} = frac{12 sqrt{5}}{5}$$$.

The first asymptote is $$$y = – frac{b}{a} left(x – hright) + k = – frac{x}{2}$$$.

The second asymptote is $$$y = frac{b}{a} left(x – hright) + k = frac{x}{2}$$$.

The x-intercepts can be found by setting $$$y = 0$$$ in the equation and solving for $$$x$$$ (for steps, see intercepts calculator).

x-intercepts: $$$left(-6, 0right)$$$, $$$left(6, 0right)$$$

The y-intercepts can be found by setting $$$x = 0$$$ in the equation and solving for $$$y$$$: (for steps, see intercepts calculator).

Since there are no real solutions, there are no y-intercepts.

Answer

Standard form/equation: $$$frac{x^{2}}{6^{2}} – frac{y^{2}}{3^{2}} = 1$$$A.

Vertex form/equation: $$$frac{x^{2}}{36} – frac{y^{2}}{9} = 1$$$A.

General form/equation: $$$x^{2} – 4 y^{2} – 36 = 0$$$A.

First focus-directrix form/equation: $$$left(x + 3 sqrt{5}right)^{2} + y^{2} = frac{5 left(x + frac{12 sqrt{5}}{5}right)^{2}}{4}$$$A.

Second focus-directrix form/equation: $$$left(x – 3 sqrt{5}right)^{2} + y^{2} = frac{5 left(x – frac{12 sqrt{5}}{5}right)^{2}}{4}$$$A.

Graph: see the graphing calculator.

Center: $$$left(0, 0right)$$$A.

First focus: $$$left(- 3 sqrt{5}, 0right)approx left(-6.708203932499369, 0right)$$$A.

Second focus: $$$left(3 sqrt{5}, 0right)approx left(6.708203932499369, 0right)$$$A.

First vertex: $$$left(-6, 0right)$$$A.

Second vertex: $$$left(6, 0right)$$$A.

First co-vertex: $$$left(0, -3right)$$$A.

Second co-vertex: $$$left(0, 3right)$$$A.

Major (transverse) axis length: $$$12$$$A.

Semi-major axis length: $$$6$$$A.

Minor (conjugate) axis length: $$$6$$$A.

Semi-minor axis length: $$$3$$$A.

First latus rectum: $$$x = – 3 sqrt{5}approx -6.708203932499369$$$A.

Second latus rectum: $$$x = 3 sqrt{5}approx 6.708203932499369$$$A.

Endpoints of the first latus rectum: $$$left(- 3 sqrt{5}, – frac{3}{2}right)approx left(-6.708203932499369, -1.5right)$$$, $$$left(- 3 sqrt{5}, frac{3}{2}right)approx left(-6.708203932499369, 1.5right)$$$A.

Endpoints of the second latus rectum: $$$left(3 sqrt{5}, – frac{3}{2}right)approx left(6.708203932499369, -1.5right)$$$, $$$left(3 sqrt{5}, frac{3}{2}right)approx left(6.708203932499369, 1.5right)$$$A.

Length of the latera recta (focal width): $$$3$$$A.

Focal parameter: $$$frac{3 sqrt{5}}{5}approx 1.341640786499874$$$A.

Eccentricity: $$$frac{sqrt{5}}{2}approx 1.118033988749895$$$A.

Linear eccentricity (focal distance): $$$3 sqrt{5}approx 6.708203932499369$$$A.

First directrix: $$$x = – frac{12 sqrt{5}}{5}approx -5.366563145999495$$$A.

Second directrix: $$$x = frac{12 sqrt{5}}{5}approx 5.366563145999495$$$A.

First asymptote: $$$y = – frac{x}{2} = – 0.5 x$$$A.

Second asymptote: $$$y = frac{x}{2} = 0.5 x$$$A.

x-intercepts: $$$left(-6, 0right)$$$, $$$left(6, 0right)$$$A.

y-intercepts: no y-intercepts.

Domain: $$$left(-infty, -6right] cup left[6, inftyright)$$$A.

Range: $$$left(-infty, inftyright)$$$A.

Как составить каноническое уравнение гиперболы зная координаты двух точек?

Rodion Bokiy

Знаток

(362),
закрыт

12 лет назад

Как составить каноническое уравнение гиперболы зная координаты двух точек?
Координаты:
A(корень из 80; 3) B (4 корня из 6; 3 корня из 2)
Заранее спасибо!

Удачник

Высший разум

(141068)


12 лет назад