Как найти каноническое уравнение кривой второго порядка

Канонические уравнения линий второго порядка

Рассмотрим задачу приведения уравнения линии второго порядка к наиболее простому (каноническому) виду.

Напомним, что алгебраической линией второго порядка называется геометрическое место точек плоскости, которое в какой-либо аффинной системе координат может быть задано уравнением вида где — многочлен второй степени двух переменных . Требуется найти прямоугольную систему координат, в которой уравнение линии приняло бы наиболее простой вид.

Результатом решения поставленной задачи является следующая основная теорема (3.3)

---

Классификация алгебраических линий второго порядка (теорема 3.3)

Для любой алгебраической линии второго порядка существует прямоугольная система координат , в которой уравнение этой линии принимает один из следующих девяти канонических видов:

Теорема 3.3 дает аналитические определения линий второго порядка. Согласно пункту 2 замечаний 3.1, линии (1), (4), (5), (6), (7), (9) называются вещественными (действительными), а линии (2), (3), (8) — мнимыми.

---

Приведем доказательство теоремы, поскольку оно фактически содержит алгоритм решения поставленной задачи.

Без ограничения общности можно предполагать, что уравнение линии второго порядка задано в прямоугольной системе координат . В противном случае можно перейти от непрямоугольной системы координат к прямоугольной , при этом уравнение линии будет иметь тот же вид и ту же степень согласно теореме 3.1 об инвариантности порядка алгебраической линии.

Пусть в прямоугольной системе координат алгебраическая линия второго порядка задана уравнением

в котором хотя бы один из старших коэффициентов отличен от нуля, т.е. левая часть (3.34) — многочлен двух переменных второй степени. Коэффициенты при первых степенях переменных и , а также при их произведении взяты удвоенными просто для удобства дальнейших преобразований.

Для приведения уравнения (3.34) к каноническому виду используются следующие преобразования прямоугольных координат:

– поворот на угол

– параллельный перенос

– изменение направлений координатных осей (отражения в координатных осях):

оси ординат оси абсцисс обеих осей

– переименование координатных осей (отражение в прямой )

где и — координаты произвольной точки в старой и новой системах координат соответственно.

Кроме преобразования координат обе части уравнения можно умножать на отличное от нуля число.

Рассмотрим сначала частные случаи, когда уравнение (3.34) имеет вид:

Эти уравнения (также многочлены в левых частях) называются приведенными. Покажем, что приведенные уравнения (I), (II), (III) сводятся к каноническим (1)–(9).

Уравнение (I). Если в уравнении (I) свободный член равен нулю , то, разделив обе части уравнения на старший коэффициент , получим — уравнение двух совпадающих прямых (9), содержащих ось абсцисс . Если же свободный член отличен от нуля , то разделим обе части уравнения (I) на старший коэффициент . Если величина отрицательная, то, обозначив ее через , где , получаем — уравнение пары параллельных прямых (7): или . Если же величина положительная, то, обозначив ее через , где , получаем — уравнение пары мнимых параллельных прямых (8). Это уравнение не имеет действительных решений, поэтому на координатной плоскости нет точек, отвечающих этому уравнению. Однако в области комплексных чисел уравнение имеет два сопряженных решения , которые иллюстрируются штриховыми линиями (см. пункт 8 теоремы 3.3).

Уравнение (II). Разделим уравнение на старший коэффициент и перенесем линейный член в правую часть: . Если величина отрицательная, то, обозначая , получаем — уравнение параболы (6). Если величина положительная, то, изменяя направление оси абсцисс, т.е. выполняя второе преобразование в (3.37), получаем уравнение или , где . Это уравнение параболы в новой системе координат .

Уравнение (III). Возможны два случая: либо старшие коэффициенты одного знака (эллиптический случай), либо противоположных знаков (гиперболический случай).

В эллиптическом случае при переносим свободный член в правую часть и делим обе части на :

Если знак старших коэффициентов противоположен знаку , то, обозначая положительные величины и через и , получаем — уравнение эллипса (1).

Если знак старших коэффициентов совпадает со знаком , то, обозначая положительные величины и через и , получаем — уравнение мнимого эллипса (2). Это уравнение не имеет действительных решений. Однако оно имеет решения в области комплексных чисел, которые иллюстрируются штриховой линией (см. пункт 2 теоремы 3.3).

Можно считать, что в уравнениях эллипса (действительного или мнимого) коэффициенты удовлетворяют неравенству , в противном случае этого можно добиться, переименовывая координатные оси, т.е. делая преобразование (3.38) системы координат.

Если свободный член уравнения (III) равен нулю , то, обозначая положительные величины и через и , получаем — уравнение пары мнимых пересекающихся прямых (3). Этому уравнению удовлетворяет только точка с координатами и , т.е. точка — начало координат. Однако в области комплексных чисел левую часть уравнения можно разложить на множители , поэтому уравнение имеет сопряженные решения , которые иллюстрируются штриховыми линиями, пересекающимися в начале координат (см. пункт 3 теоремы 3.3).

В гиперболическом случае при переносим свободный член в правую часть и делим обе части на :

Величины и имеют противоположные знаки. Без ограничения общности считаем, что знак совпадает со знаком свободного члена , т.е. . В противном случае нужно переименовать координатные оси, т.е. сделать преобразование (3.38) системы координат. Обозначая положительные величины и через и , получаем — уравнение гиперболы (4).

Пусть в уравнении (III) свободный член равен нулю . Тогда можно считать, что , а (в противном случае обе части уравнения умножим на –1) . Обозначая положительные величины и через и , получаем — уравнение пары пересекающихся прямых (5). Уравнения прямых находятся в результате разложения на множители левой части уравнения

, то есть

Таким образом, приведенные уравнения (I),(II),(III) алгебраической линии второго порядка сводятся к одному из канонических видов (1)–(9), перечисленных в теореме 3.3.

Осталось показать, что общее уравнение (3.34) можно свести к приведенным при помощи преобразований прямоугольной системы координат.

Упрощение общего уравнения (3.34) производится в два этапа. На первом этапе при помощи поворота системы координат “уничтожается” член с произведением неизвестных. Если произведения неизвестных нет , то поворот делать не надо (в этом случае переходим сразу ко второму этапу). На втором этапе при помощи параллельного переноса “уничтожаются” один или оба члена первой степени. В результате получаются приведенные уравнения (I),(II),(III).

---

Первый этап: преобразование уравнения линии второго порядка при повороте прямоугольной системы координат.

Если коэффициент , выполним поворот системы координат на угол . Подставляя выражения (3.35) в уравнение (3.34), получаем:

Приводя подобные члены, приходим к уравнению вида (3.34):

где

Определим угол так, чтобы . Преобразуем выражение для , переходя к двойному углу:

Угол должен удовлетворять однородному тригонометрическому уравнению , которое равносильно уравнению

поскольку . Это уравнение имеет бесконечное количество корней

Выберем любой из них, например, угол из интервала . Тогда в уравнении (3.39) исчезнет член , поскольку .

Обозначив оставшиеся старшие коэффициенты через и , получим уравнение

Согласно теореме 3.1, уравнение (3.41) является уравнением второй степени (при преобразовании (3.35) порядок линии сохраняется), т.е. хотя бы один из старших коэффициентов или отличен от нуля. Далее будем считать, что именно коэффициент при не равен нулю . В противном случае (при и ) следует сделать поворот системы координат на угол , который также удовлетворяет условию (3.40). Тогда вместо координат в (3.41) получим соответственно, т.е. отличный от нуля коэффициент будет при .

---

Второй этап: преобразование уравнения линии второго порядка при параллельном переносе прямоугольной системы координат.

Уравнение (3.41) можно упростить, выделяя полные квадраты. Нужно рассмотреть два случая: или (согласно предположению ), которые называются центральный (включающий эллиптический и гиперболический случаи) или параболический соответственно. Геометрический смысл этих названий раскрывается в дальнейшем.

Центральный случай: и . Выделяя полные квадраты по переменным , получаем

После замены переменных

получаем уравнение

где .

Параболический случай: и . Выделяя полный квадрат по переменной , получаем

Если , то последнее уравнение приводится к виду

Сделав замену переменных

получим, где

Если , то уравнение (3.44) приводится к виду, где ,

Замены переменных (3.42), (3.45), (3.48) соответствуют параллельному переносу системы координат (см. пункт 1″a” замечаний 2.3).

Таким образом, при помощи параллельного переноса системы координат получаем новую систему координат , в которой уравнение линии второго порядка принимает вид (3.43), или (3.46), или (3.47). Эти уравнения являются приведенными (вида (III),(II) или (I) соответственно).

Основная теорема 3.3 о приведении уравнения алгебраической линии второго порядка к каноническому виду доказана.

---

Замечания 3.8

1. Система координат, в которой уравнение алгебраической линии второго порядка имеет канонический вид, называется канонической. Каноническая система координат определяется неоднозначно. Например, изменяя направление оси ординат на противоположное, снова получаем каноническую систему координат, так как замена переменной на не изменяет уравнений (1)–(9). Поэтому ориентация канонической системы координат не имеет принципиального значения, ее всегда можно сделать правой, изменив при необходимости направление оси ординат.

2. Ранее показано, что преобразования прямоугольных систем координат на плоскости сводятся к одному из преобразований (2.9) или (2.10):

Поэтому задача приведения уравнения линии второго порядка к каноническому виду сводится к нахождению начала канонической системы координат и угла наклона ее оси абсцисс к оси абсцисс исходной системы координат .

3. В случаях (3),(5),(7),(8),(9) линии называются распадающимися, поскольку соответствующие им многочлены второй степени разлагаются в произведение многочленов первой степени.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Общее
уравнение кривой второго порядка имеет
вид

причем
предполагается, что среди чисел
есть хотя бы одно ненулевое.

Существует
система координат (называемая
канонической),
в которой уравнение кривой второго
порядка имеет вид, приведенный в таблице
(канонический
вид).

	эллипс
	гипербола
	парабола
	мнимый эллипс (эта “кривая” не имеет действительных точек)
	на действительной плоскости “кривая” имеет лишь одну точку
	две пересекающиеся прямые
	две параллельные прямые
	две совпадающие прямые
	две мнимые параллельные прямые (“кривая” не имеет ни одной действительной точки)

Задача 1.
Изобразить
кривую, найти ее характеристики:

Р

ешение.
Надо привести это уравнение к каноническому
виду. Выделим полные квадраты по
и поСледовательно, данная кривая является
эллипсом. Его центр:Полуоси:Для нахождения координат фокусов находим
параметр(половину расстояния между фокусами):Отсюда получаем фокусы:Эксцентриситет:

Задача 2.
Составить
уравнение гиперболы с асимптотами
касающейся оси

Р

ешение. Уравнения
асимптот гиперболы с центром
имеют видСледовательно, центр гиперболы имеет
координаты

и
Нарисуем гиперболу, учитывая, что она
касается оси абсцисс.

Из
рисунка видно, что
Так кактоТак как действительная ось гиперболы
параллельна осито в правой части уравнения будетвместоОтсюда получаем уравнение:

Задача 3.
Найти площадь
области, ограниченной кривой

Решение.
В случае, когда коэффициенты при
иравны друг другу, то поворотом системы
координат на угол вможно избавиться от произведенияв уравнении кривой. Напишем формулы
поворота на угол

(здесь
– координаты точки в исходной системе
координат, а– координаты той же точки в системе
координат, повернутой на угол.
Приполучаем прямые и обратные формулы:

Подставим
обратные формулы в уравнение кривой:

Следовательно,
.
Отсюда

)

Рис.
5.30

. Рисуем оси эллипса, находим отрезкии(его полуоси). Далее строим отрезок(рис. 5.34) и фокусыэллипса.

Задача
4.
Установить, что уравнение

определяет эллипс,
найти его центр и полуоси.

Решение.
Преобразуем
это уравнение:

,
или

,
или

.

Положим
и уравнение примет видЭто уравнение эллипса с полуосямии.

Задача
5.
Установить, что уравнение
определяет гиперболу, найти ее центр и
полуоси.

Подберём
угол
,
после поворота на который уравнение
кривой не будет содержать произведения
переменныхи.
Подставим формулы поворота в заданное
уравнение,
которое лучше переписать в виде:

,

,

.

Найдём
такой угол
,
чтобы в последнем уравнении не содержалось
слагаемое.
Достаточно положить,,
то есть,.

Тогда преобразование
примет вид

–
поворот против часовой стрелки вокруг
точки
,
а уравнение кривой (5.28) в новой системе
координат:

–
это уравнение гиперболы с полуосями
и
центром в точке

(рис. 5.16).

Содержание:

Геометрической фигурой или просто фигурой на плоскости называется множество точек. Задать фигуру – значит указать, из каких точек плоскости она состоит. Одним из важных способов задания фигуры на плоскости является ее задание при помощи уравнений с двумя неизвестными. Произвольное уравнение с двумя неизвестными х и у записывается в виде

1. Если точка М(а,Ь) принадлежит фигуре Ф, то координаты (а,Ь) являются решениями уравнения
2. если пара чисел (c,d) является решением уравнения F(x,y) = 0, то точка N(c,d) принадлежит фигуре Ф.

Это определение в более компактной записи выглядит следующим образом. Уравнение называется уравнением фигуры, если , то есть (а, b) – решение уравнения F(x,y) = 0.

Из определения уравнения фигуры следует, что фигура Ф состоит только из тех точек плоскости, координаты которых являются решениями уравнения , т.е. уравнение фигуры задает эту фигуру.

Возможны два вида задач:

1. дано уравнение и надо построить фигуру Ф, уравнением которой является ;
2. дана фигура Ф и надо найти уравнение этой фигуры.

Первая задача сводится к построению графика уравнения и решается, чаще всего, методами математического анализа.

Для решения второй задачи, как следует из определения уравнения фигуры, достаточно:

1. Задать фигуру геометрически, т.е. сформулировать условие, которому удовлетворяют только точки фигуры (довольно часто определение фигуры содержит такое условие);
2. Записать в координатах условие, сформулированное в первом пункте.

Эллипс

Эллипсом называется линия, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек , есть величина постоянная (большая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами эллипса. Обозначив расстояние между фокусами через 2с, а сумму расстояний от точек эллипса до фокусов через 2а, имеем с<а. Если это условие не выполнено, то рассматриваемое множество точек либо отрезок прямой, заключенной между фокусами, либо не содержит ни одной точки.

Из определения эллипса вытекает следующий метод его построения: если концы нерастяжимой нити длины 2а закрепить в точках и натянуть нить острием карандаша, то при движении острия будет вычерчиваться эллипс с фокусами и с суммой расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов, равной 2 а (Рис. 7.1).

Составим уравнение эллипса. Для этой цели расположим декартову прямоугольную систему координат таким образом, чтобы ось Ох походила через фокусы положительное направление оси – от , начало координат выберем в середине отрезка . Тогда координаты точек будут соответственно (-с,0) и (с,0).

Пусть М(х,у) – произвольная точка эллипса, тогда:

Подставляя сюда значения имеем:

(7.1)

Уравнение (1) и есть уравнение эллипса. Преобразуя, упростим

его:

Возведя обе части уравнения в квадрат и приведя подобные члены, получим:

Возведем еще раз обе части в квадрат и приведем подобные члены. Получаем или

(7.2)

Положительную величину обозначим через. Тогда уравнение (7.2) примет вид:

(7.3)

Оно называется каноническим уравнение эллипса.

Координаты точек эллипса ограничены неравенствами. Значит, эллипс ограниченная фигура, не выходящая за пределы прямоугольника со сторонами 2а и 2b •

Заметим, что в уравнение (7.3) входят лишь четные степени х и у. Поэтому, если точка M(х,у) принадлежит эллипсу, то и точки также ему принадлежат. А это означает, что эллипс – линия симметричная относительно координатных осей Ох и Оу.

Поэтому для исследования формы эллипса достаточно рассмотреть его в первой координатной четверти, а в остальных четвертях его строение определяется по симметрии. Для первой четверти, из уравнения (7.3) имеем:

(7.4)

При возрастании x от 0 до а, у монотонно убывает от а до 0. График функции изображен на Рис. 7.4.

Рис. 7.4

Достроив остальные четверти эллипса по симметрии, получим весь эллипс (Рис. 7.5).

Рис. 7.5. Оси симметрии эллипса (оси Ох и Оу) называются просто его осями, а центр симметрии – точка О – центром эллипса. Точки пересечения эллипса с осями координат называются вершинами эллипса. Отрезки , а также их длины а и Ь называются полуосями эллипса. В случае, когда фокусы эллипса находятся на оси Ох (как в нашем случае), из равенства следует, что a>b. В этом случае а называется большой полуосью, a b – малой.

Если а =Ь, то уравнение (7.3) можно переписать в виде:

(7.5)

Это уравнение окружности с центром в начале координат. Эллипс (3) можно получить из окружности (4) сжатием плоскости к оси Ох. Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат Оху. Тогда преобразование, переводящее произвольную точку М(х,у) в точку координаты которой задаются формулами будет окружность (4) переводить в эллипс, заданный соотношением

Число называется эксцентриситетом эллипса. Эксцентриситет характеризует форму эллипса: чем ближе к нулю, тем больше эллипс похож на окружность; при увеличении становится более вытянутым

Фокальными радиусами точки М эллипса называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусами . Их длины и задаются формулами Прямые называются директрисами эллипса. Директриса называется левой, а – правой. Так как для эллипса и, следовательно, левая директриса располагается левее левой вершины эллипса, а правая – правее правой вершины.

Директрисы обладают следующим свойством: отношение расстояния г любой точки эллипса от фокуса к ее расстоянию d до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е.

Гипербола

Гиперболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами гиперболы. Пусть по-прежнему расстояние между фокусами равно 2с. Модуль расстояний от точек гиперболы до фокусов обозначим через а. По условию, а <с.

Выбрав декартову систему координат, как в случае эллипса, и используя определение гиперболы, составляем ее уравнение: (7.6) где ху – координаты произвольной точки гиперболы,

Уравнение (7.6) называется каноническим уравнением гиперболы.

Из уравнения (7.6) видно, что . Это означает, что вся гипербола располагается вне полосы, ограниченной прямыми х = -а и х = а.

Так как в уравнение входят только четные степени x и у, то гипербола симметрична относительно каждой из координатных осей и начала координат. Поэтому достаточно построить эту кривую в первой четверти: в остальных четвертях гипербола строится по симметрии. Из уравнения (7.6) для первой четверти, имеем:

График этой функции от точки A(а,0) уходит неограниченно вправо и вверх (Рис. 7.7), и как угодно близко подходит к прямой:

Поэтому говорят, что гипербола асимптоматически приближается к прямой (7.7), и эту прямую называют асимптотой гиперболы. Из симметрии гиперболы следует, что у нее две асимптоты

Построим гиперболу. Сначала строим, так называемый, основной прямоугольник гиперболы, центр которой совпадает с началом координат, а стороны равны 2а и 2Ь параллельны осям координат. Прямые, на которых расположены диагонали этого прямоугольника, являются асимптотами гиперболы. Сделаем рисунок гиперболы (Рис. 7.8).

Гипербола состоит из двух отдельных ветвей. Центр симметрии гиперболы называется ее центром, оси симметрии называются осями гиперболы. Точки , пересечения гиперболы с осью Ох называются вершинами гиперболы. Величины а и Ь называются полуосями гиперболы. Если а=Ь, то гипербола называется равносторонней.

Эксцентриситетом гиперболы называется число. Для любой гиперболы . Эксцентриситет характеризует форму гиперболы: чем меньше, тем больше вытягивается гипербола вдоль оси Ох. На рисунке 7.9 изображены гиперболы с различными значениями £.

Фокальными радиусами точки гиперболы называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусами. Их длины и задаются формулами:

Для правой – ветви ,

Для левой – ветви

Прямые называются директрисами гиперболы. Как и в случае эллипса, точки гиперболы характеризуются соотношением

Парабола

Параболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки F (фокуса) и данной прямой (директрисы).

Для вывода канонического уравнения параболы ось Ох проводят через фокус F перпендикулярно директрисе в направлении от директрисы к фокусу; начало координат берут в середине отрезка между фокусом F и точкой D пересечения оси Ох с директрисой . Если обозначить через р расстояние фокуса от директрисы, то и уравнение директрисы будет иметь вид

В выбранной системе координат уравнение параболы имеет вид:

(7.8)

Это уравнение называется каноническим уравнением параболы. Из уравнения (7.8) видно, что л: может принимать только неотрицательные значения. Значит, на рисунке вся парабола располагается справа от оси Оу. Так как уравнение (7.8) содержит у только в четной степени, то парабола симметрична относительно оси Ох и поэтому достаточно рассмотреть ее форму в первой четверти. В этой четверти .

При неограниченном возрастании x неограниченно растет и у. Парабола, выходя из начала координат, уходит неограниченно вправо и вверх, четвертой четверти парабола строится по симметрии. Сделаем рисунок параболы (Рис. 7.10).

Ось симметрии параболы называется ее осью. Точка пересечения с ее осью называется вершиной параболы.

Исследование на плоскости уравнения второй степени

Рассмотрим уравнение:

(7.9)

где среди коэффициентов А, В, С есть отличные от нуля, т.е. (7.9) – уравнение второй степени относительно х и у.

Возьмем на плоскости две прямоугольные системы координат: Оху, которую будем называть старой, и новую, полученную из Оху поворотом ее вокруг начала координат на угол

Старые координаты х, у выражаются через новые координаты по формулам:

(7.10)

Подставив выражения для х и у в уравнение (8), получим: (7.11)

Это уравнение в системе координат задает ту же линию, что и уравнение (7. 9) в системе Оху.

Если в уравнении (7.9) , то за счет выбора угла а в (7.10) можно добиться того, что В’ = 0. Для этого угол а надо взять таким, чтобы . Поэтому будем считать В’= 0, тогда уравнение (7.11) примет вид:

(7.12)

Преобразуя это уравнение и применяя параллельный перенос координатных осей, придем к уравнению:

(7.13)

В зависимости от знаков коэффициентов уравнения (7.13) рассмотрим следующие случаи:

Рассматривая далее методично все случаи, придем к выводу: уравнение вида (7.9) задает одну из следующих фигур: эллипс, гиперболу, параболу, пару пересекающихся прямых, пару параллельных прямых, прямую, точку или пустое множество.

Кривые второго порядка в высшей математике

Выяснение взаимосвязей между различными показателями экономического характера часто приводит к форме этих связей в виде гиперболы и параболы. В этой лекции приведём краткие сведения обо всех кривых второго порядка.

Окружность

Определение 9.1. Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки – центра окружности.

Если точка – центр (рис.9.1), N(x,y) – произвольная точка окружности и R – её радиус, то согласно определения можно записать

или

Найдём условия, при которых общее уравнение второй степени с двумя переменными

определяет окружность. Раскрыв скобки в (9.1.1), получим

Сравнивая (9.1.2) и (9.1.3), находим условия А = С, В = О,

, при выполнении которых общее уравнение (9.1.2) определяет окружность.

Эллипс

Определение 9.2. Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина, большая, чем расстояние между фокусами.

Пусть на плоскости хОу (рис. 9.2) дан эллипс с фокусами и. Пусть начало координат лежит на середине отрезка . Выведем уравнение эллипса.

Если точка А – произвольная точка эллипса с координатами (х, у), то

(9.2.1)

где – постоянная сумма. Так как

расположены симметрично относительно начала координат, то они имеют координаты (с,0) и (-с,0) соответственно. Воспользовавшись формулой для вычисления расстояния между двумя точками, находим . Подставив значения

и в (9.2.1), получаем уравнение

Обе части этого уравнения возведем в квад-Упростив и обозначив

получим. Разделим обе части уравнения на правую часть

Уравнение (9.2.2) называется каноническим уравнением эллипса, где а – большая полуось, b – малая полуось.

Это уравнение второго порядка, следовательно, эллипс есть линия второго порядка. Для определения формы эллипса служит его эксцентриситет , т.е. отношение расстояния между фокусами этого эллипса к длине его большей полуоси. Так как са, то эксцентриситет каждого эллипса меньше единицы. Поскольку

, то подставив значение в равенство, получим

Следовательно, эксцентриситет определяется отношение осей эллипса; а отношение осей определяется эксцентриситетом. Чем ближе эксцентриситет к единице, тем меньше , тем меньше, следовательно, отношение . Это значит, что эллипс вытянут вдоль оси Ох. В случае Ь=а и получаем окружность.

Две прямые, перпендикулярные к большей оси эллипса и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии от него, называются директрисами эллипса. Уравнения директрис

Пример:

Исследовать, какая линия определяется уравнением

Решение:

Сгруппируем члены, содержащие одну и туже переменную, получим

Из второй скобки вынесем коэффициент при , после чего предыдущее уравнение примет вид

В каждой из скобок выделим полный квадрат

или

Произведём замену: . Исследуемое уравнение принимает вид: .

Разделив обе части этого уравнения на , получим канонический вид данного уравнения:

Заданное уравнение определяет эллипс с полуосями , центр которого находится в точке

Выбираем на плоскости произвольным образом прямоугольную систему координат хОу. С помощью параллельного переноса переносим оси координат в новое начало в точку . В новой системе координат строим основной прямоугольник со сторонами , стороны которого параллельны новым осям координат, а центр находится в точке . Вписываем в него эллипс.

Гипербола

Определение 9.3.1. Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина, меньшая, чем расстояние между фокусами и отличная от нуля (указанная разность берется по абсолютному значению).

Пусть М- произвольная точка гиперболы с фокусами (рис. 9.4). Отрезки называются фокальными радиусами точки М и обозначаются По определению гиперболы . Так как и т.к. расположены симметрично относительно начала координат, то, применяя формулу для вычисления расстояния между двумя точками, находим . Заменяя в равенстве найденными выражениями, получаем:

.

Возведя в квадрат обе части этого уравнения и обозначая , получим: или, разделив все члены уравнения на правую часть, приводим его к виду:

Уравнение (9.3.1)- это каноническое уравнение гиперболы, линии второго порядка.

Прямоугольник со сторонами 2а и 2b, расположенный симметрично относительно осей гиперболы и касающийся ее в вершинах, называется основным прямоугольником. Его диагонали совпадают с асимптотами гиперболы . Поэтому, если требуется построить гиперболу с полуосями а и b, то следует, прежде всего, построить ее основной прямоугольник, затем асимптоты.

Уравнение вида определяет гиперболу, вершины которой расположены на оси Оу (Рис. 9.5).

Форму гиперболы характеризует её эксцентриситет , т.е. отношение расстояния между фокусами этой гиперболы к расстоянию между её вершинами. Поскольку , то подставив в формулу получимоткуда. Следовательно, эксцентриситет oредсляется отношением , а отношение – эксцентриситетом. Следовательно, эксцентриситет характеризует форму гиперболы. Чем меньше эксцентриситет, тем меньше отношение , а это значит, что основной прямоугольник вытянут в направлении оси, соединяющей вершины.

Прямые, заданные уравнениями называются директрисами гиперболы.

Пример:

Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых от данной точки А(4, 0) и от данной прямой х=1 равно 2.

Решение:

В системе координат хОу построим точку А(4, 0) и прямую х = 1. Пусть М(х, у) – произвольная точка искомого геометрического места точек. Опустим перпендикуляр MB на данную прямую х = 1 и определим координаты точки В. Так как точка В лежит на заданной прямой, то её абсцисса равна 1. Ордината точки В равна ординате точки М. Следовательно, B(1, у) (рис. 9.6).По условию задачи .Подставив значения расстояний, которые находим по формуле расстояния между двумя точками, получим:

Возводя в квадрат левую и правую части равенства и последовательно преобразовывая, находим уравнение:

Полученное уравнение определяет гиперболу, у которой действительная полуось -а = 2, а мнимая .

Определим фокусы гиперболы. Для гиперболы выполняется равенство . Следовательно, .А – фокусы гиперболы. Как видно, заданная точка

А(4, 0) является правым фокусом гиперболы.

Эксцентриситет полученной гиперболы равен

Подставив значения а и b в уравнения асимптот и

у =—получим уравнения асимптот гиперболы:и .

Для построения гиперболы строим основной прямоугольник с полуосями , затеем асимптоты и а далее строим и саму гиперболу (рис.9.6).

• Заказать решение задач по высшей математике

Парабола

Определение 9.4.1. Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых, расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой,(директриса не проходит через фокус).

Обозначим фокус параболы – F, расстояние от фокуса до директрисы – р(р > 0) (рис. 9.7). Ось абсцисс проведём через фокус F перпендикулярно директрисе. Начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой. Пусть А – произвольная точка плоскости с координатами (х, у) и пусть . Тогда точка А будет лежать на параболе, если r=d, где d- расстояние от точки А до директрисы. Фокус F имеет координаты .

Тогда А расстояние Подставив в формулу r=d, будем иметь. Возведя обе части равенства в квадрат, получим

или

(9.4.1)

Уравнение (9.4.1)- каноническое уравнение параболы. Уравнения также определяют параболы.

Легко показать, что уравнение , определяет параболу, ось симметрии которой перпендикулярна оси абсцисс; эта парабола будет восходящей, если а > 0 и нисходящей, если а О. Для этого выделим полный квадрат:

и сделаем параллельный перенос по формулам

В новых координатах преобразуемое уравнение примет вид: где р – положительное число, определяется равенством .

Пример:

Пусть заданы точка F и прямая у =-1 (рис. 9.8). Множество точек Р(х, y) для которых расстояние |PF| равно расстоянию, называется параболой. Прямая у = -1 называется директрисой параболы, а точка F – фокусом параболы. Чтобы выяснить, как располагаются точки Р, удовлетворяющие условию, запишем это равенство с помощью координат: , или после упрощения . Это уравнение геометрического места точек, образующих параболу (рис. 9.8).

Кривые второго порядка на плоскости

Кривой второго порядка называется фигура на плоскости, задаваемая в прямоугольной системе координат уравнением второй степени относительно переменных х и у:

где коэффициенты А, В и С не равны одновременно нулю

Любая кривая второго порядка на плоскости принадлежит к одному из типов: эллипс, гипербола, парабола, две пересекающиеся прямые, 2 параллельные прямые, прямая, точка, пустое множество.

Кривая второго порядка принадлежит эллиптическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки: АС>0.

Кривая второго порядка принадлежит гиперболическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют противоположные знаки: АС<0.

Кривая второго порядка принадлежит параболическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0 и только один из коэффициентов А и С не равен нулю: АС=0 и

Рассмотрим канонические (простейшие) уравнения эллипса, гиперболы и параболы.

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая расстояния между фокусами.

Геометрическое свойство точек эллипса выразим аналитически. Расстояние между фокусами назовем фокусным расстоянием и обозначим через 2с. Постоянную величину, о которой идет речь в определении эллипса, обозначим через 2а: 2а>2с. Точка М(х,у) принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

которое называют каноническим уравнением эллипса.

Число а называют большей полуосью эллипса, число – мень-

шей полуосью эллипса, 2а и 2b – соответственно большей и меньшей осями эллипса. Точки называют вершинами эллипса, а – его фокусами (рис. 12).

Координатные оси являются осями симметрии эллипса, а начало координат – его центром симметрии. Центр симметрии эллипса называется центром эллипса.

Замечание. Каноническое уравнение эллипса можно рассматривать и в случае b>а. Оно определяет эллипс с большей полуосью b, фокусы которого лежат на оси Оу.

В случае а=b каноническое уравнение эллипса принимает вид и определяет окружность радиуса а с центром в начале координат.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большей оси.

Так, в случае а>b эксцентриситет эллипса выражается формулой:

Эксцентриситет изменяется от нуля до единицы и характеризует форму эллипса. Для окружности Чем больше эксцентриситет, тем более вытянут эллипс.

Пример:

Показать, что уравнение

является уравнением эллипса. Найти его центр, полуоси, вершины, фокусы и эксцентриситет. Построить кривую.

Решение:

Дополняя члены, содержащие х и у соответственно, до полных квадратов, приведем данное уравнение к каноническому виду:

– каноническое уравнение эллипса с центром в точке большей полуосью а=3 и меньшей полуосью

Найдем эксцентриситет эллипса:

Для вычисления вершин и фокусов удобно пользовать новой прямоугольной системой координат, начало которой находится в точке а оси параллельны соответственно осям Ох, Оу и имеют те же направления (осуществили преобразование параллельного переноса). Тогда новые координаты точки будут равны ее старым координатам минус старые координаты нового начала, т.е.

В новой системе координат координаты вершин и фокусов гиперболы будут следующими:

Переходя к старым координатам, получим:

Построим график эллипса.

Задача решена.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Так же, как и для эллипса, геометрическое свойство точек гиперболы выразим аналитически. Расстояние между фокусами назовем фокусным расстоянием и обозначим через 2с. Постоянную величину обозначим через 2а: 2а<2с. Точка М(х,у) принадлежит гиперболе тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

которое называют каноническим уравнением гиперболы.

Число а называют действительной полуосью гиперболы, число

– мнимой полуосью гиперболы, 2а и 2b – соответственно действительной и мнимой осями гиперболы. Точки называют вершинами гиперболы, – ее фокусами (рис. 13).

Координатные оси являются осями симметрии гиперболы, а начало координат – ее центром симметрии. Центр симметрии гиперболы называется центром гиперболы.

Точки гиперболы по мере удаления от начала координат неограниченно (асимптотически) приближаются к прямым у=±kх (где ), которые называются асимптотами гиперболы.

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния к длине действительной оси:

Эксцентриситет гиперболы изменяется от единицы до бесконечности и характеризует форму гиперболы. Чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем ее ветви более сжаты к оси Ох.

Замечание. Каноническое уравнение определяет сопряженную гиперболу с действительной полуосью b, вершинами в точках и фокусами на оси Оу.

Пример:

Составить каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат, если ее действительная полуось равна трем, а эксцентриситет -четырем третьим.

Решение:

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид

По условию задачи нам известно: а=3, Найдем мнимую полуось.

Следовательно, уравнение искомой гиперболы:

Задача решена.

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом параболы, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

Расстояние между фокусом и директрисой обозначим р. Для того чтобы точка М(х,у) принадлежала параболе, необходимо и достаточно, чтобы ее координаты удовлетворяли уравнению которое называется каноническим уравнением параболы.

Точка O(0,0) называется вершиной параболы, число р – параметром параболы, – директрисой пир,болы, а – ее фокусом. Прямая у=0 является осью симметрии параболы, ветви которой направлены вправо. Центра симметрии у параболы нет (рис. 14).

Если поменять ролями оси Ох и Оу, то каноническое уравнение параболы примет вид (уравнение параболы с вертикальной осью, уравнением директрисы фокусом ветви направлены вверх).

Замечание. Канонические уравнения параболы можно рассматривать и в случае, когда ветви направлены влево или вниз:

Пример:

Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси Оу и отсекающей на биссектрисе первого координатного угла отрезок длиной

Решение:

Каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси Оу и ветвями, направленными вверх, имеет вид:

Уравнение биссектрисы первого координатного угла у=х. Найдем точки пересечения параболы с биссектрисой. Для этого решим систему уравнений

Следовательно, точка М(2р,2р) будет принадлежать параболе. С другой стороны, парабола отсекает на биссектрисе отрезок длиной который является гипотенузой равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами 2р.

По теореме Пифагора

Тогда искомое уравнение параболы

Уравнение директрисы параболы: у=-1, координаты ее фокуса F(0,1).

Задача решена.