Как найти каноническое уравнение прямой через точки

Данная статья раскрывает получение уравнения прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат, расположенной на плоскости. Выведем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат. Наглядно покажем и решим несколько примеров, касающихся пройденного материала.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости

Перед получением уравнения прямой, проходящей через две заданные точки необходимо обратить внимание на некоторые факты. Существует аксиома, которая говорит о том, что через две несовпадающие точки на плоскости возможно провести прямую и только одну. Иначе говоря, две заданные точки плоскости определяются прямой линией, проходящей через эти точки.

Если плоскость задана прямоугольной системой координат Оху, то любая изображенная в нем прямая будет соответствовать уравнению прямой на плоскости. Также имеется связь с направляющим вектором прямой. Этих данных достаточно для того, чтобы произвести составление уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.

Рассмотрим на примере решения подобной задачи. Необходимо составить уравнение прямой a, проходящей через две несовпадающие точки M1(x1, y1) и M2(x2, y2), находящиеся в декартовой системе координат.

В каноническом уравнении прямой на плоскости, имеющего вид x-x1ax=y-y1ay, задается прямоугольная система координат Оху с прямой, которая пересекается с ней в точке с координатами M1(x1, y1) с направляющим вектором  a→=(ax, ay).

Необходимо составить каноническое уравнение прямой a, которая пройдет через две точки с координатами M1(x1, y1) и M2(x2, y2).

Прямая а имеет направляющий вектор M1M2→ с координатами(x2-x1, y2-y1), так как пересекает точки М1 и М2. Мы получили необходимые данные для того, чтобы преобразовать каноническое уравнение  с координатами направляющего вектора M1M2→=(x2-x1, y2-y1) и координатами лежащих на них точках M1(x1, y1) и M2(x2, y2). Получим уравнение вида x-x1x2-x1=y-y1y2-y1 или x-x2x2-x1=y-y2y2-y1.

Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Следуя по вычислениям, запишем параметрические уравнения прямой на плоскости, которое проходит через две точки с координатами M1(x1, y1) и M2(x2, y2). Получим уравнение вида x=x1+(x2-x1)·λy=y1+(y2-y1)·λ или x=x2+(x2-x1)·λy=y2+(y2-y1)·λ.

Рассмотрим подробней на решении нескольких примеров.

При необходимости  решения задачи с другим видом уравнения, то для начала можно перейти к каноническому, так как из него проще прийти к любому другому.

Примеры таких заданий были рассмотрены в школьных учебниках на уроках алгебры. Школьные задачи отличались тем, что известным было уравнение прямой с угловым коэффициентом, имеющее вид y=kx+b. Если необходимо найти значение углового коэффициента k и числа b, при которых уравнение y=kx+b определяет линию в системе Оху, которая проходит через  точки M1(x1, y1) и M2(x2, y2), где x1≠x2. Когда x1=x2 , тогда угловой коэффициент принимает значение бесконечности, а прямая М1М2 определена общим неполным уравнением вида x-x1=0.

Потому как точки М1 и М2 находятся на прямой, тогда их координаты удовлетворяют уравнению y1=kx1+bи y2=kx2+b. Следует решить систему уравнений y1=kx1+by2=kx2+b относительно k и b.

Для этого найдем k=y2-y1x2-x1b=y1-y2-y1x2-x1·x1 или k=y2-y1x2-x1b=y2-y2-y1x2-x1·x2.

С такими значениями k и b уравнение прямой, проходящее через заданные две точки, принимает следующий вид y=y2-y1x2-x1·x+y2-y2-y1x2-x1·x1 или y=y2-y1x2-x1·x+y2-y2-y1x2-x1·x2.

Запомнить сразу такое огромное количество формул не получится. Для этого необходимо учащать количество повторений в решениях задач.

Уравнения прямой, которая проходит через две заданные точки в трехмерном пространстве

Если в трехмерном пространстве имеется прямоугольная система координат Охуz с двумя заданными несовпадающими точками с координатами M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), проходящая через них прямая M1M2, необходимо получить уравнение этой прямой.

Имеем, что канонические уравнения вида x-x1ax=y-y1ay=z-z1az и параметрические вида x=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λспособны задать линию в системе координат Охуz, проходящую через точки, имеющие координаты (x1, y1, z1) с направляющим вектором a→=(ax, ay, az).

Прямая M1M2 имеет направляющий вектор вида M1M2→=(x2-x1, y2-y1, z2-z1), где прямая проходит через точку M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), отсюда каноническое уравнение может быть вида x-x1x2-x1=y-y1y2-y1=z-z1z2-z1 или x-x2x2-x1=y-y2y2-y1=z-z2z2-z1, в свою очередь параметрические x=x1+(x2-x1)·λy=y1+(y2-y1)·λz=z1+(z2-z1)·λ или x=x2+(x2-x1)·λy=y2+(y2-y1)·λz=z2+(z2-z1)·λ.

Рассмотрим рисунок, на котором изображены 2 заданные точки в пространстве  и уравнение прямой.

3.1. Канонические
уравнения прямой.

Пусть в системе
координат Oxyz
дана прямая, которая проходит через
точку

(см. рис.18).Обозначим через
вектор, параллельный данной прямой.
Векторназываетсянаправляющим
вектором прямой.
Возьмем на прямой точку и рассмотрим вектор
Векторыколлинеарны, следовательно, их
соответствующие координаты пропорциональны:

(3.3.1)

Эти уравнения
называются каноническими
уравнениями прямой.

Пример: Написать
уравнения прямой, проходящей через
точку M(1,
2, –1) параллельно вектору

Решение:
Вектор
является направляющим вектором искомой
прямой. Применяя формулы (3.1.1), получим:

Это канонические
уравнения прямой.

Замечание:
Обращение в нуль одного из знаменателей
означает обращение в нуль соответствующего
числителя, то есть y
– 2 = 0; y
= 2. Данная прямая лежит в плоскости y
= 2, параллельной плоскости Oxz.

3.2.
Параметрические
уравнения прямой.

Пусть прямая
задана каноническими уравнениями

Обозначим тогдаВеличина t
называется параметром и может принимать
любые значения:
.

Выразим x,
y
и z
через t
:

(3.2.1)

Полученные уравнения
называются параметрическими
уравнениями прямой.

Пример 1:
Составить
параметрические уравнения прямой,
проходящей через точку M
(1, 2, –1) параллельно вектору

Решение:
Канонические уравнения этой прямой
получены в примере пункта 3.1:

Для нахождения
параметрических уравнений прямой
применим вывод формул (3.2.1):

Итак,
– параметрические уравнения данной
прямой.

Ответ:

Пример 2.
Составить
параметрические уравнения прямой,
проходящей через точку M
(–1, 0, 1) параллельно вектору
гдеA
(2, 1, –1), B
(–1, 3, 2).

Решение:
Вектор является направляющим
вектором искомой прямой.

Найдем вектор .

= (–3; 2; 3). По формулам
(3.2.1) запишем уравнения прямой:

– это искомые
параметрические уравнения прямой.

3.3. Уравнения
прямой, проходящей через две заданные
точки.

Через две заданные
точки в пространстве проходит единственная
прямая (см. рис.20). Пусть даны точки
Векторможно принять за направляющий вектор
данной прямой. Тогда уравнения прямой
находим
по формулам (3.1.1):).

(3.3.1)

Пример 1.
Составить канонические и параметрические
уравнения прямой, проходящей через
точки

Решение:

Применяем
формулу (3.3.1)

Получили канонические
уравнения прямой. Для получения
параметрических уравнений применим
вывод формул (3.2.1). Получим

– это параметрические
уравнения прямой.

Пример 2.
Составить канонические и параметрические
уравнения прямой, проходящей через
точки

Решение:

По формулам
(3.3.1) получим:

Это канонические
уравнения.

Переходим к
параметрическим уравнениям:

– параметрические
уравнения.

Полученная прямая
параллельна оси oz
(см. рис.21).

3.4. Прямая как
линия пересечения двух плоскостей.

Пусть в
пространстве даны две плоскости

и

Если эти плоскости
не совпадают и не параллельны, то они
пересекаются по прямой:

Эта система двух
линейных уравнений задает прямую как
линию пересечения двух плоскостей. От
уравнений (3.4.1) можно перейти к каноническим
уравнениям (3.1.1) или параметрическим
уравнениям (3.2.1). Для этого необходимо
найти точку
лежащую на прямой, и направляющий векторКоординаты точкиполучим из системы (3.4.1), придав одной
из координат произвольное значение
(например,z
= 0). За направляющий вектор
можно взять векторное произведение
векторовто есть

Пример 1.
Составить
канонические уравнения прямой

Решение: Пусть
z
= 0. Решим систему

Сложив эти уравнения,
получим: 3x
+ 6 = 0
x
= –2. Подставим найденное значение x
= –2 в первое уравнение системы и получим:
–2 + y
+ 1 = 0
y
= 1.

Итак, точка
лежит на искомой прямой.

Для нахождения
направляющего вектора прямой запишем
нормальные векторы плоскостей:
и найдем их векторное произведение:

Уравнения прямой
находим по формулам (3.1.1):

Ответ: .

Другой способ:
Канонические и параметрические
уравнения прямой (3.4.1) легко получить,
найдя две различные точки на прямой из
системы (3.4.1), а затем применив формулы
(3.3.1) и вывод формул (3.2.1).

Пример 2.
Составить канонические и параметрические
уравнения прямой

Решение:
Пусть y
= 0. Тогда система примет вид:

Сложив уравнения,
получим: 2x
+ 4 = 0; x
= –2. Подставим x
= –2 во второе уравнение системы и
получим: –2 –z
+1 = 0
z
= –1. Итак, нашли точку

Для нахождения
второй точки положим x
= 0. Будем иметь:

То есть

Далее применяем
формулы (3.3.1):

Получили канонические
уравнения прямой.

Составим
параметрические уравнения прямой:

Ответ:

; .

3.5. Взаимное
расположение двух прямых в пространстве.

Пусть прямые
заданы уравнениями:

:

;: .

Под углом между
этими прямыми понимают угол между их
направляющими векторами
(см. рис.22). Этот уголнаходим по формуле из векторной алгебры:

или

(3.5.1)

Если прямые перпендикулярны
(),то
Следовательно,

(3.5.2)

Это условие
перпендикулярности двух прямых в
пространстве.

Если прямые
параллельны (),то их направляющие
векторы коллинеарны (),
то есть

(3.5.3)

Это условие
параллельности двух прямых в пространстве.

Пример 1. Найти
угол между прямыми:

а).
и

б). и

Решение:
а). Запишем направляющий вектор прямой
Найдем направляющий векторвторой прямой. Для этого находим
нормальные векторыплоскостей, входящих в систему

Затем найдем их векторное произведение:

(см. пример 1
пункта 3.4).

По формуле (3.5.1)
получим:

Следовательно,

б). Запишем
направляющие векторы данных прямых:
Векторыколлинеарны, так как их соответствующие
координаты пропорциональны:

Значит прямые
параллельны (),
то есть

Ответ: а).
б).

Пример 2. Доказать
перпендикулярность прямых:

и

Решение:
Запишем направляющий вектор первой
прямой

Найдем направляющий
вектор
второй прямой. Для этого находим
нормальные векторыплоскостей, входящих в систему:

Вычислим их векторное произведение:

(См. пример 1пункта 3.4).

Применим условие
перпендикулярности прямых (3.5.2):

Условие выполнено;
следовательно, прямые перпендикулярны
().

Соседние файлы в предмете Математика

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

  03.03.20154.96 Кб8Содержание OneNote.onetoc2

• #

Понятие канонического уравнения прямой

Чтобы разобраться, что такое каноническое уравнение, нужно рассмотреть следующий пример. Дана прямоугольная система координат, в которой задана некая произвольная прямая. Известны координаты произвольной точки на отрезке [M_{1}left(x_{1}, y_{1}right)] и координаты направляющего вектора [bar{a}=left(a_{x^{prime}} a_{y}right)]. Используя все имеющиеся данные составим и запишем уравнение, которое будет описывать данную заданную прямую.

Рассмотрим точку [mathrm{M}(x, y)]. Вектор [overline{M_{1} M}] можно отнести к направляющим  исходной линии в координатной плоскости. Координатами вектора будут точки [left(x-x_{1}, y-y_{1}right)]. Чтобы правильно определить векторные координаты, необходимо вспомнить основное правило решения векторов.

Произвольные точки [M(x, y)] будут являться основой для необходимой прямой с направляющим вектором [bar{a}=left(a_{x}, a_{y}right)], только тогда, когда вектора [overline{M_{1} M}] и [bar{a}=left(a_{x}, a_{y}right)] будут являться коллинеарными по отношению друг к другу.

Исходя из этого можно составить формулу коллинеарности двух векторов.

 Где:

После преобразования данного равенства в координатную форму, можно получить следующее уравнение:

[begin{aligned}
&x-x_{1}=lambda cdot a_{x} \
&y-y_{1}=lambda cdot a_{y}
end{aligned}]

Однако, обязательно выполнение главных условий: [a_{x} neq 0] и [a_{y} neq 0].

При выполнении вышеперечисленных условий, получаем следующие равенства:

[begin{aligned}
&x-x_{1}=lambda cdot a_{x} Rightarrow lambda=frac{x-x_{1}}{a_{x}} \
&y-y_{1}=lambda cdot a_{y} Rightarrow lambda=frac{x-x_{1}}{a_{x}} \
&Leftrightarrow frac{x-x_{1}}{a_{x}}=frac{y-y_{1}}{a_{y}}
end{aligned}]

Все выполненные преобразования привели к тому, что мы получили окончательную формулу канонического уравнения на плоскости [frac{x-x_{1}}{a_{x}}=frac{y-y_{1}}{a_{y}}].

Иначе такое равенство, еще называют уравнением прямой канонического вида.

Используя данную запись [frac{x-x_{1}}{a_{x}}=frac{y-y_{1}}{a_{y}}], можно в прямоугольной системе координат задать прямую, которой будет характерен направляющий вектор [bar{a}=left(a_{x}, a_{y}right)]. Также данная линия будет проходить через заданную точку [M_{1}left(x_{1}, y_{1}right)].

Например: задано уравнение [frac{x-2}{sqrt{3}}=frac{y-3}{1}]. Задается линия, которая будет проходить через точки [M_{1}(2,3)]. Ее направляющий вектор имеет координатные точки: [bar{a}=(sqrt{3}, 1)].

Когда любая прямая в системе координат проходит через две любые точки [M_{1}left(x_{1}, y_{1}right)] и [M_{2}left(x_{2}, y_{2}right)] и имеет направляющий вектор [bar{a}=left(a_{x}, a_{y}right)], множество всех векторов можно записать как [mu cdot overline{mathrm{a}}=left(mu cdot mathrm{a}{x^{prime}} mu cdot a{y}right), mu in R, mu neq 0].

Таким образом, каждое уравнение прямой канонического вида [frac{x-x_{1}}{a_{x}}=frac{y-y_{1}}{a_{y}}], будет соответствовать заданной прямой на плоскости.

Каноническое уравнение на плоскости с точками a_x и a_y равными нулевому значению

При условии, что одно из значений переменной является нулю, будет использоваться первоначальный вид уравнения. Две переменные нулевыми быть не могут, так как это невозможно по определению. Направляющий вектор не может быть нулевым.    

В такой ситуации выражение [frac{x-x_{1}}{a_{x}}=frac{y-y_{1}}{a_{y}}] считается условным, и его нужно понимать как равенство [a_{y}left(x-x_{1}right)=a_{x}left(y-y_{1}right)].

Если [frac{x-x_{1}}{0}=frac{y-y_{1}}{a_{y}}] при [a_{x}=0], а заданная прямая проходит через точки [M_{1}left(x_{1}, y_{1}right)]. В данном случае она является параллельной относительно оси ординат.  Если [x_{1}=0], то прямая будет совпадать с осью координат.

Утверждение необходимо доказать. Для заданной прямой вектор [bar{a}=left(a_{x}, a_{y}right)] является направляющим. Также данный вектор будет являться коллинеарным по отношению к координатному вектору [bar{j}=(0.1)].

Если второй параметр является нулевым значением, то [a_{y}=0] и мы получим равенство [frac{x-x_{1}}{a_{x}}=frac{y-y_{1}}{0}]. Данное уравнение характеризует прямую, которая проходит через точку [M_{1}left(x_{1}, y_{1}right)] и располагается параллельно оси абсцисс. Это утверждение будет правдивым, так как [bar{a}=left(a_{x^{prime}} 0right)], и является для прямой направляющим вектором. А вектор, в свою очередь, коллинеарен по отношению к вектору координат [bar{j}=(0.1)].

Преобразование канонического уравнения прямой в уравнение другого вида

Стандартную форму канонического уравнения [frac{x-x_{1}}{a_{x}}=frac{y-y_{1}}{a_{y}}] можно поставить в систему параметрических уравнений для плоскости.

Для преобразования одного вида уравнения в другой необходимо одну часть уравнения приравнять к другой.

[begin{aligned}
&frac{x-x_{1}}{a_{x}}=frac{y-y_{1}}{a_{y}} Leftrightarrow frac{x-x_{1}}{a_{x}}=frac{y-y_{1}}{a_{y}}=lambda Leftrightarrow frac{x-x_{1}}{a_{y}}=lambda Rightarrow \
&frac{y-y_{1}}{a_{y}}=lambda Leftrightarrow x=x_{1}+a_{x} cdot lambda Rightarrow y=y_{1}+a_{y} cdot lambda
end{aligned}]

Принцип решения задач на составление канонических уравнений

Первым делом канонические уравнения применяется для тех задач, где необходимо вычислить принадлежность точки к заданному отрезку на плоскости.

Рассмотрим несколько вариантов задач, и подробно опишем их решение.