Как найти кардинальные точки

From Wikipedia, the free encyclopedia

In Gaussian optics, the cardinal points consist of three pairs of points located on the optical axis of a rotationally symmetric, focal, optical system. These are the focal points, the principal points, and the nodal points.^[1] For ideal systems, the basic imaging properties such as image size, location, and orientation are completely determined by the locations of the cardinal points; in fact only four points are necessary: the focal points and either the principal or nodal points. The only ideal system that has been achieved in practice is the plane mirror,^[2] however the cardinal points are widely used to approximate the behavior of real optical systems. Cardinal points provide a way to analytically simplify a system with many components, allowing the imaging characteristics of the system to be approximately determined with simple calculations.

Explanation[edit]

The cardinal points of a thick lens in air.
F, F’ front and rear focal points,
P, P’ front and rear principal points,
V, V’ front and rear surface vertices.

The cardinal points lie on the optical axis of the optical system. Each point is defined by the effect the optical system has on rays that pass through that point, in the paraxial approximation. The paraxial approximation assumes that rays travel at shallow angles with respect to the optical axis, so that and .^[3] Aperture effects are ignored: rays that do not pass through the aperture stop of the system are not considered in the discussion below.

Focal points and planes[edit]

The front focal point of an optical system, by definition, has the property that any ray that passes through it will emerge from the system parallel to the optical axis. The rear (or back) focal point of the system has the reverse property: rays that enter the system parallel to the optical axis are focused such that they pass through the rear focal point.

Rays that leave the object with the same angle cross at the back focal plane.

The front and rear (or back) focal planes are defined as the planes, perpendicular to the optic axis, which pass through the front and rear focal points. An object infinitely far from the optical system forms an image at the rear focal plane. For objects a finite distance away, the image is formed at a different location, but rays that leave the object parallel to one another cross at the rear focal plane.

Angle filtering with an aperture at the rear focal plane.

A diaphragm or “stop” at the rear focal plane can be used to filter rays by angle, since:

It only allows rays to pass that are emitted at an angle (relative to the optical axis) that is sufficiently small. (An infinitely small aperture would only allow rays that are emitted along the optical axis to pass.)
No matter where on the object the ray comes from, the ray will pass through the aperture as long as the angle at which it is emitted from the object is small enough.

Note that the aperture must be centered on the optical axis for this to work as indicated. Using a sufficiently small aperture in the focal plane will make the lens telecentric.

Similarly, the allowed range of angles on the output side of the lens can be filtered by putting an aperture at the front focal plane of the lens (or a lens group within the overall lens). This is important for DSLR cameras having CCD sensors. The pixels in these sensors are more sensitive to rays that hit them straight on than to those that strike at an angle. A lens that does not control the angle of incidence at the detector will produce pixel vignetting in the images.

Principal planes and points[edit]

Various lens shapes, and the location of the principal planes.

The two principal planes have the property that a ray emerging from the lens appears to have crossed the rear principal plane at the same distance from the axis that the ray appeared to cross the front principal plane, as viewed from the front of the lens. This means that the lens can be treated as if all of the refraction happened at the principal planes, and the linear magnification from one principal plane to the other is +1. The principal planes are crucial in defining the optical properties of the system, since it is the distance of the object and image from the front and rear principal planes that determines the magnification of the system. The principal points are the points where the principal planes cross the optical axis.

If the medium surrounding the optical system has a refractive index of 1 (e.g., air or vacuum), then the distance from the principal planes to their corresponding focal points is just the focal length of the system. In the more general case, the distance to the foci is the focal length multiplied by the index of refraction of the medium.

For a thin lens in air, the principal planes both lie at the location of the lens. The point where they cross the optical axis is sometimes misleadingly called the optical centre of the lens. Note, however, that for a real lens the principal planes do not necessarily pass through the centre of the lens, and in general may not lie inside the lens at all.

Nodal points[edit]

N, N’ The front and rear nodal points of a thick lens.

The front and rear nodal points have the property that a ray aimed at one of them will be refracted by the lens such that it appears to have come from the other, and with the same angle with respect to the optical axis. (Angular magnification between nodal points is +1.) The nodal points therefore do for angles what the principal planes do for transverse distance. If the medium on both sides of the optical system is the same (e.g., air), then the front and rear nodal points coincide with the front and rear principal points, respectively.

The nodal points were first described by Johann Listing in 1845 to evaluate the eye, where the image is formed in fluid. Over time it was found that if a line was drawn through the posterior apex of the crystalline lens at the visual angle of a distant object, then it would point to the image location on the retina, even for very large angles.^[4]^[5] This line passes approximately through the 2nd nodal point, but rather than being an actual paraxial ray, it identifies the image formed by ray bundles that pass through the center of the pupil. This can be used to find the magnification, or to scale retinal locations. This extends the use of the nodal point for the eye, but the imaging properties come from the cornea and retina being highly curved, rather than paraxial properties, and this is rarely clear in publications.

The nodal points are widely misunderstood in photography, where it is commonly asserted that the light rays “intersect” at “the nodal point”, that the iris diaphragm of the lens is located there, and that this is the correct pivot point for panoramic photography, so as to avoid parallax error.^[6]^[7]^[8] These claims generally arise from confusion about the optics of camera lenses, as well as confusion between the nodal points and the other cardinal points of the system. (A better choice of the point about which to pivot a camera for panoramic photography can be shown to be the centre of the system’s entrance pupil.^[6]^[7]^[8] On the other hand, swing-lens cameras with fixed film position rotate the lens about the rear nodal point to stabilize the image on the film.^[8]^[9])

Surface vertices[edit]

In optics, the surface vertices are the points where each optical surface crosses the optical axis. They are important primarily because they are the physically measurable parameters for the position of the optical elements, and so the positions of the cardinal points must be known with respect to the vertices to describe the physical system.

In anatomy, the surface vertices of the eye’s lens are called the anterior and posterior poles of the lens.^[10]

Modeling optical systems as mathematical transformations[edit]

In geometrical optics for each ray entering an optical system a single, unique, ray exits. In mathematical terms, the optical system performs a transformation that maps every object ray to an image ray.^[1] The object ray and its associated image ray are said to be conjugate to each other. This term also applies to corresponding pairs of object and image points and planes. The object and image rays and points are considered to be in two distinct optical spaces, object space and image space; additional intermediate optical spaces may be used as well.

Rotationally symmetric optical systems; Optical axis, axial points, and meridional planes[edit]

An optical system is rotationally symmetric if its imaging properties are unchanged by any rotation about some axis. This (unique) axis of rotational symmetry is the optical axis of the system. Optical systems can be folded using plane mirrors; the system is still considered to be rotationally symmetric if it possesses rotational symmetry when unfolded. Any point on the optical axis (in any space) is an axial point.

Rotational symmetry greatly simplifies the analysis of optical systems, which otherwise must be analyzed in three dimensions. Rotational symmetry allows the system to be analyzed by considering only rays confined to a single transverse plane containing the optical axis. Such a plane is called a meridional plane; it is a cross-section through the system.

Ideal, rotationally symmetric, optical imaging system[edit]

An ideal, rotationally symmetric, optical imaging system must meet three criteria:

All rays “originating” from any object point converge to a single image point (Imaging is stigmatic).
Object planes perpendicular to the optical axis are conjugate to image planes perpendicular to the axis.
The image of an object confined to a plane normal to the axis is geometrically similar to the object.

In some optical systems imaging is stigmatic for one or perhaps a few object points, but to be an ideal system imaging must be stigmatic for every object point.

Unlike rays in mathematics, optical rays extend to infinity in both directions. Rays are real when they are in the part of the optical system to which they apply, and are virtual elsewhere. For example, object rays are real on the object side of the optical system. In stigmatic imaging an object ray intersecting any specific point in object space must be conjugate to an image ray intersecting the conjugate point in image space. A consequence is that every point on an object ray is conjugate to some point on the conjugate image ray.

Geometrical similarity implies the image is a scale model of the object. There is no restriction on the image’s orientation. The image may be inverted or otherwise rotated with respect to the object.

Focal and afocal systems, focal points[edit]

In afocal systems an object ray parallel to the optical axis is conjugate to an image ray parallel to the optical axis. Such systems have no focal points (hence afocal) and also lack principal and nodal points. The system is focal if an object ray parallel to the axis is conjugate to an image ray that intersects the optical axis. The intersection of the image ray with the optical axis is the focal point F’ in image space. Focal systems also have an axial object point F such that any ray through F is conjugate to an image ray parallel to the optical axis. F is the object space focal point of the system.

Transformation[edit]

This section needs expansion. You can help by adding to it. (September 2013)

The transformation between object space and image space is completely defined by the cardinal points of the system, and these points can be used to map any point on the object to its conjugate image point.

Notes and references[edit]

^ ^a ^b Greivenkamp, John E. (2004). Field Guide to Geometrical Optics. SPIE Field Guides vol. FG01. SPIE. pp. 5–20. ISBN 0-8194-5294-7.
^ Welford, W.T. (1986). Aberrations of Optical Systems. CRC. ISBN 0-85274-564-8.
^ Hecht, Eugene (2002). Optics (4th ed.). Addison Wesley. p. 155. ISBN 0-321-18878-0.
^ Simpson, MJ (2022). “Nodal points and the eye”. Applied Optics. 61 (10): 2797–2804. doi:10.1364/AO.455464. PMID 35471355. S2CID 247300377.
^ Simpson, MJ (2021). “Scaling the retinal image of the wide-angle eye using the nodal point”. Photonics. 8 (7): 284. doi:10.3390/photonics8070284.
^ ^a ^b Kerr, Douglas A. (2005). “The Proper Pivot Point for Panoramic Photography” (PDF). The Pumpkin. Archived from the original (PDF) on 13 May 2006. Retrieved 5 March 2006.
^ ^a ^b van Walree, Paul. “Misconceptions in photographic optics”. Archived from the original on 19 April 2015. Retrieved 1 January 2007. Item #6.
^ ^a ^b ^c Littlefield, Rik (6 February 2006). “Theory of the “No-Parallax” Point in Panorama Photography” (PDF). ver. 1.0. Retrieved 14 January 2007.
^ Searle, G.F.C. 1912 Revolving Table Method of Measuring Focal Lengths of Optical Systems in “Proceedings of the Optical Convention 1912” pp. 168–171.
^ Gray, Henry (1918). “Anatomy of the Human Body”. p. 1019. Retrieved 12 February 2009.

Hecht, Eugene (1987). Optics (2nd ed.). Addison Wesley. ISBN 0-201-11609-X.
Lambda Research Corporation (2001). OSLO Optics Reference (PDF) (Version 6.1 ed.). Retrieved 5 March 2006. Pages 74–76 define the cardinal points.

External links[edit]

Learn to use TEM

Источник

F — произвольная точка, P и P’ — главные точки, V и V’ — фокусы.

Кардинальные точки — в центрированной оптической системе точки на оптической оси, с помощью которых возможно изображение произвольной точки пространства объектов в области, расположенной около оси симметрии данной системы (так называемой параксиальной).

Существует четыре кардинальных точки: задний фокус (бесконечно удалённая точка на оптической оси в пространстве объектов), передний фокус (бесконечно удалённая точка пространства изображений, которая изображена в пространстве объектов) и две так называемые «главные точки» (также передняя и задняя), в которых с оптической осью пересекаются плоскости, взаимно изображаемые оптической системой в натуральную величину. Расстояние от передней главной точки до переднего фокуса называется передним фокусным расстоянием, от задней главной точки до заднего фокуса — задним.

В науке конца XIX века кардинальными точками назывались главные точки или главные пункты в целом. Данный термин употреблялся как в собственном смысле слова, когда речь шла об ориентировании в пространстве, так и в иносказательном, когда речь ишла о разрешении какого-нибудь научного вопроса, о доказательстве какого-нибудь положения и так далее. В первом случае под кардинальными точками понимали, главным образом, четыре главные точки горизонта: север, восток, юг и запад.

См. также[править | править код]

Нодальная точка

Литература[править | править код]

Тудоровский А. И., Теория оптических приборов, 2 изд., [ч.] 1, М. — Л.. 1948, с. 265.
Кардинальные точки — статья из Большой советской энциклопедии.
PHYSICS 262. GEOMETRIC OPTICS // John Huennekens, Lehigh University Physics Department (англ.)
Кардинальные точки // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

Источник

3. Плоскости, перпендикулярной оптической оси в простран стве предметов, соответствует одна сопряженная с ней плоскость

впространстве изображений, перпендикулярная оптической оси.

Всопряженных плоскостях, перпендикулярных оптической оси, изображение должно быть подобно предмету, т. е. отноше ние координат для любой пары сопряженных точек есть величина

постоянная:

$ = У’/У,

где р — линейное увеличение идеальной оптической системы, или масштаб изображения; у — координата точки предмета, у’ — координата сопряженной точки изображения (рис. 1.9).

2.2.1. Кардинальные точки оптической системы

Кардинальные точки реально существуют, их особые свойства действуют лишь в области, близко прилегающей к оптической оси — параксиальной. Существует три пары кардинальных (осо бых) точек: фокусы (F,F’)t главные (Н,Н) и узловые (N,N) точки.

Передний и задний фокусы F, F’ оптической системы

На рис.2.1 изображена первая (1) и последняя (к) поверхности оптической системы. Точка О, и точка Ок — вершины первой и последней поверхностей. Точки А и А’ — соответственно осевые точки предмета и изображения. Луч 1 из точки А, в пространстве предметов сопряжен с лучом 1′ проходящим через точку А в пространстве изображений.

Будем точку А, удалять вдоль оптической оси от оптической системы, при этом изображение точки А’, будет приближаться к последней поверхности оптической системы. Когда точка А, уй дет бесконечно далеко (т.А2), на оптическую систему будет падать луч 2, параллельный оптической оси, а изображение точки А2 бу дет в точке А’2. Точка Л’2 на оптической оси в пространстве изо бражений, сопряженная с бесконечно удаленной точкой А2, назы вается задним фокусом оптической системы и обозначается со-

Рис. 2.I. Определение положения переднего F и заднего F фокусов.

гласно ГОСТ 7427-76 заглавной буквой F латинского алфавита. Плоскость, перпендикулярная к оптической оси и проходящая через т. F, называется задней фокальной плоскостью. Задняя фо

кальная плоскость сопряжена с бесконечно удаленной плоскостью предмета.

Если точку А, приближать к оптической системе, то ее изобра жение будет удаляться до тех пор, пока изображение точки А не удалится в бесконечность. Когда точка Л, займет положение точ ки А), то сопряженная ей точка Л’3 будет в бесконечности. Точку

Aj называют передним фокусом оптической системы и согласно ГОСТ 7427-76 обозначают прописной буквой F латинского алфа вита. Все лучи, вышедшие из точки F, пройдя оптическую систе му, образуют пучок лучей, параллельный оптической оси (луч 3 сопряжен с лучом 3). Плоскость, перпендикулярная к оптиче ской оси и проходящая через передний фокус (т. F), называется

передней фокальной плоскостью. Эта плоскость сопряжена с бес конечно удаленной плоскостью пространства изображений.

Есть оптические системы, у которых фокусы мнимые, т.е. в этих точках пересекаются не сами лучи, вышедшие из системы, а их продолжение. На рис.2.2 показано определение положения мнимого заднего фокуса (т. F). который находится на пересече нии с оптической осью продолжения (пунктирная линия) луча 1′, вышедшего из оптической системы.

Главное свойство фокальных плоскостей (рис.2.3): гомоцентри ческому пучку лучей с вершиной в любой точке (т.В) задней фо-

кальной плоскости (рис. 2.3, а) соответст вует пучок параллель ных между собой лу чей в пространстве предметов, а гомоцен трическому пучку лу чей с вершиной в лю бой точке (т. В) перед ней фокальной плос кости (рис.2.3, б) соот ветствует пучок парал лельных между собой лучей в пространстве изображений.

Итак, в фокальных плоскостях получаются изображения всех бесконечно удаленных предметов. Фокальные плоскости сопряже

ны с бесконечно удаленными плоскостями, но не сопряжены друг с другом.

Главные точки Н, Н’ оптической системы (рис. 2.4)

Совокупность точек (т.Q) пересечения лучей, вошедших в оп тическую систему от предмета в бесконечности (луча Г), с со пряженными с ними в пространстве изображений лучами, вы шедшими из системы (луч Г), образует в идеальной оптической


системе		плоскость,
перпендикулярную оп
тической	оси.	Эту
плоскость		называют
задней главной плоско
стью. Аналогично по
лучают положение	пе
редней главной плоско
сти	на	пересечении
продолжения	лучей 2
и 2′	(т.	Q),	проведен
ных	в	обратном	ходе

лучей (справа налево).	Рис. 2.4. Определение положения главных
Точка	Q’ и точка Q	плоскостей.
(точки	пересечения
сопряженных лучей I и ! ‘	2 и 2′) лежат в сопряженных главных

плоскостях и поэтому являются сопряженными.

Главные плоскости обладают очень важным свойством: для любой пары сопряженных точек, лежащих в главных плоскостях,

линейное увеличение, обозначаемое ря, равно единице, т. е. ря = 1. Это означает, что между главными плоскостями лучи идут парал лельно оптической оси, т. е. расстояние между плоскостями мо жет быть произвольным, в том числе и равным нулю (Анн-= 0)-

На пересечении главных плоскостей с оптической осью лежат главные точки Н и Н’ (обозначаются согласно ГОСТ 7427—76 прописными буквами латинского алфавита).

Узловые точки N, N’ оптической системы (рис.2.5)

Эти точки являются сопряженными. Луч 1 из внеосевой точки В предмета АВ, направленный в переднюю узловую точку N, вы ходит через заднюю узловую точку JV’оптической системы, задан ной первой и к — поверхностями, под тем же самым углом, что и падающий луч, т. е. a,.v = a’N-.

Если оптическая система находится в разных средах, т. е. я, ф п‘к, то узловые точки N, N’ располагаются на некотором рас стоянии от главных точек Н, Н’ (рис.2.5, а). Для системы, распо

ложенной в воздухе (п2 = п = 1), узловые точки N, N ’совпадают с главными точками Н, Н’ (рис.2.5, б) и угловое увеличение у = a’v/a/v в этих плоскостях равно единице.

На рис.2.6 показа ны все кардинальные элементы оптической системы, заданной первой (/) и послед ней (к) поверхно стями.

/ — переднее фокус ное расстояние — рас стояние от передней главной точки Н до переднего фокуса — точки F (отсчитывает ся от т.Я К T .i7 против хода луча, поэтому при обозначении име ет знак “минус’1);

ni= nk = 1

Рис. 2.5. Определение положения узловых точек N,N’: a) л, ± п к 6) п}= п = L

f — заднее фокусное расстояние — расстоя ние от задней главной точки (т .# ) до заднего фокуса (т.F);

sF — передний фо

кальный отрезок —

расстояние от верши ны первой поверхно сти (т.О}) до переднего фокуса (т.F). Отрезок

отсчитывается в направлении, противоположном ходу луча;

s’F’ — задний фокальный от резок — расстояние от вершины последней поверхности (т. О*) до заднего фокуса (т.F)

sH —- положение передней главной плоскости — расстоя-

Рис. 2.6. Кардинальные элементы оптической системы*

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник