Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается
только за счет дохода от рекламы.
Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.
на главную
Как найти координаты точки
Поддержать сайт
Каждой точке координатной плоскости соответствуют две координаты.
Координаты точки на плоскости — это пара чисел, в которой на
первом месте стоит
абсцисса, а на
втором —
ордината точки.
Рассмотрим как в системе координат (на координатной плоскости):
- находить координаты точки;
- найти положение точки.
Чтобы найти координаты точки на плоскости, нужно опустить из этой точки
перпендикуляры на оси координат.
Точка пересечения с осью «x» называется абсциссой точки «А»,
а с осью y называется ординатой точки «А».
Обозначают координаты точки, как указано выше (·) A (2; 3).
Пример (·) A (2; 3) и (·) B (3; 2).
Запомните!
На первом месте записывают абсциссу (координату по оси «x»), а на втором —
ординату (координату по оси «y») точки.
Особые случаи расположения точек
- Если точка лежит на оси «Oy»,
то её абсцисса равна 0. Например,
точка С (0, 2). - Если точка лежит на оси «Ox», то её ордината равна 0.
Например,
точка F (3, 0). - Начало координат — точка O имеет координаты, равные нулю O (0,0).
- Точки любой прямой перпендикулярной оси абсцисс, имеют одинаковые абсциссы.
- Точки любой прямой перпендикулярной оси ординат, имеют одинаковые ординаты.
- Координаты любой точки, лежащей на оси абсцисс имеют вид (x, 0).
- Координаты любой точки, лежащей на оси ординат имеют вид (0, y).
Как найти положение точки по её координатам
Найти точку в системе координат можно двумя способами.
Первый способ
Чтобы определить положение точки по её координатам,
например, точки D (−4 , 2), надо:
- Отметить на оси «Ox», точку с координатой
«−4», и провести через неё прямую перпендикулярную оси «Ox». - Отметить на оси «Oy»,
точку с координатой 2, и провести через неё прямую перпендикулярную
оси «Oy». - Точка пересечения перпендикуляров (·) D — искомая точка.
У неё абсцисса равна «−4», а ордината равна 2.
Второй способ
Чтобы найти точку D (−4 , 2) надо:
- Сместиться по оси «x» влево на
4 единицы, так как у нас
перед 4
стоит «−». - Подняться из этой точки параллельно оси y вверх на 2 единицы, так
как у нас перед 2 стоит «+».
Чтобы быстрее и удобнее было находить координаты точек или строить точки по координатам на
листе формата A4 в клеточку, можно скачать и использовать
готовую систему координат на нашем сайте.
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи
«ВКонтакте».
Оставить комментарий:
Три попарно перпендикулярные прямые с выбранными направлениями и единицей измерения образуют систему координат в пространстве. Точка пересечения всех прямых является началом системы координат.
Оси координат (Ox), (Oy) и (Oz) называются соответственно: (Ox) — ось абсцисс, (Oy) — ось ординат, (Oz) — ось аппликат.
Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость. Получаем три координатные плоскости: ((Oxy)), ((Oyz)) и ((Oxz)).
Положение точки (A) в пространстве определяется тремя координатами: (x), (y) и (z).
Координата (x) называется абсциссой точки (A), координата (y) — ординатой точки (A), координата (z) — аппликатой точки (A).
Записываются так: (A(x; y; z)).
Если точка находится на оси (Ox), то её координаты (X(x; 0; 0)).
Если точка находится на оси (Oy), то её координаты (Y(0; y; 0)).
Если точка находится на оси (Oz), то её координаты (Z(0; 0; z)).
Если точка находится в плоскости (Oxy), то её координаты
A1x;y;0
.
Если точка находится в плоскости (Oyz), то её координаты
A20;y;z
.
Если точка находится в плоскости (Oxz), то её координаты
A3x;0;z
.
Если в системе координат от начальной точки отложить единичные векторы
i→
,
j→
и
k→
, то можно определить прямоугольный базис. Любой вектор можно разложить по единичным векторам и представить в виде
OA→=x⋅i→+y⋅j→+z⋅k→
.
Коэффициенты (x), (y) и (z) определяются одним-единственным образом и называются координатами вектора.
Записываются так:
OA→x;y;z
.
Рассмотрим правила о том, как с помощью координат записать:
– координаты суммы векторов, если даны координаты векторов:
,
b→x2;y2;z2
,
a→+b→x1+x2;y1+y2;z1+z2
;
– координаты разности векторов, если даны координаты векторов:
a→−b→x1−x2;y1−y2;z1−z2
;
– координаты произведения вектора на число, если даны координаты вектора:
– длину вектора:
– координаты вектора, если даны координаты начальной и конечной точек вектора:
,
BxB;yB;zB
,
AB→xB−xA;yB−yA;zB−zA
;
– расстояние между двумя точками, если даны координаты точек:
;
– координаты серединной точки отрезка, если даны координаты начальной и конечной точек отрезка:
.
Марина Николаевна Ковальчук
Эксперт по предмету «Геометрия»
Задать вопрос автору статьи
Прямоугольная система координат
Чтобы определить понятие координат точек, нам необходимо ввести систему координат, в которой мы и будем определять ее координаты. Одна и та же точка в разных системах координат может иметь различные координаты. Здесь мы будем рассматривать прямоугольную систему координат в пространстве.
Возьмем в пространстве точку $O$ и введем для нее координаты $(0,0,0)$. Назовем ее началом системы координат. Проведем через нее три взаимно перпендикулярные оси $Ox$, $Oy$ и $Oz$, как на рисунке 1. Эти оси будут называться осями абсцисс, ординат и аппликат, соответственно. Осталось только ввести масштаб на осях (единичный отрезок) – прямоугольная система координат в пространстве готова (рис. 1)
Рисунок 1. Прямоугольная система координат в пространстве. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Координаты точки
Теперь разберем, как определяют в такой системе координаты любой точки. Возьмем произвольную точку $M$ (рис. 2).
Рисунок 2. Произвольная точка. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Построим на координатных осях прямоугольный параллелепипед, так, что точки $O$ и $M$ противоположные его вершины (рис. 3).
Рисунок 3. Построение прямоугольного параллелепипеда. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
«Координаты точки и координаты вектора. Как найти координаты вектора» 👇
Тогда точка $M$ будет иметь координаты $(X,Y,Z)$, где $X$ – значение на числовой оси $Ox$, $Y$ – значение на числовой оси $Oy$, а $Z$ – значение на числовой оси $Oz$.
Пример 1
Необходимо найти решение следующей задачи: написать координаты вершин параллелепипеда, изображенного на рисунке 4.
Рисунок 4. Параллелепипед. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Решение.
Точка $O$ начало координат, следовательно, $O=(0,0,0)$.
Точки $Q$, $N$ и $R$ лежат на осях $Ox$, $Oz$ и $Oy$, соответственно, значит
$Q=(2,0,0)$, $N=(0,0,1.5)$, $R=(0,2.5,0)$
Точки $S$, $L$ и $M$ лежат в плоскостях $Oxz$, $Oxy$ и $Oyz$, соответственно, значит
$S=(2,0,1.5)$, $L=(2,2.5,0)$, $R=(0,2.5,1.5)$
Точка $P$ имеет координаты $P=(2,2.5,1.5)$
Координаты вектора по двум точкам и формула нахождения
Чтобы узнать, как найти вектор по координатам двух точек, необходимо рассмотреть введенную нами ранее систему координат. В ней от точки $O$ по направлению оси $Ox$ отложим единичный вектор $overline{i}$, по направлению оси $Oy$ – единичный вектор $overline{j}$, а единичный вектор $overline{k}$ нужно направлять по оси $Oz$.
Для того чтобы ввести понятие координат вектора, введем следующую теорему (здесь ее доказательство мы рассматривать не будем).
Теорема 1
Произвольный вектор в пространстве может быть разложен по трем любым векторам, которые не лежат в одной плоскости, причем коэффициенты в таком разложении будут единственным образом определены.
Математически это выглядит следующим образом:
$overline{δ}=moverline{α}+noverline{β}+loverline{γ}$
Так как векторы $overline{i}$, $overline{j}$ и $overline{k}$ построены на координатных осях прямоугольной системы координат, то они, очевидно, не будут принадлежать одной плоскости. Значит любой вектор $overline{δ}$ в этой системе координат, по теореме 1, может принимать следующий вид
$overline{δ}=moverline{i}+noverline{j}+loverline{k}$ (1)
где $n,m,l∈R$.
Определение 1
Три вектора $overline{i}$, $overline{j}$ и $overline{k}$ будут называться координатными векторами.
Определение 2
Коэффициенты перед векторами $overline{i}$, $overline{j}$ и $overline{k}$ в разложении (1) будут называться координатами этого вектора в заданной нами системе координат, то есть
$overline{δ}=(m,n,l)$
Линейные операции над векторами
Теорема 2
Теорема о сумме: Координаты суммы любого числа векторов определяются суммой их соответствующих координат.
Доказательство.
Будем доказывать эту теорему для 2-х векторов. Для 3-х и более векторов доказательство строится аналогичным образом. Пусть $overline{α}=(α_1,α_2,α_3)$, $overline{β}=(β_1,β_2 ,β_3)$.
Эти вектора можно записать следующим образом
$overline{α}=α_1overline{i}+ α_2overline{j}+α_3overline{k}$, $overline{β}=β_1overline{i}+ β_2overline{j}+β_3overline{k}$
$overline{α}+overline{β}=α_1overline{i}+α_2overline{j}+α_3overline{k}+β_1overline{i}+ β_2overline{j}+β_3overline{k}=(α_1+β_1 )overline{i}+(α_2+β_2 )overline{j}+(α_3+β_3)overline{k}$
Следовательно
$overline{α}+overline{β}=(α_1+β_1,α_2+β_2,α_3+β_3)$
Теорема доказана.
Замечание 1
Замечание: Аналогично, находится решение разности нескольких векторов.
Теорема 3
Теорема о произведении на число: Координаты произведения произвольного вектора на действительное число определяется произведением координат на это число.
Доказательство.
Возьмем $overline{α}=(α_1,α_2,α_3)$, тогда $overline{α}=α_1overline{i}+α_2overline{j}+α_3overline{k}$, а
$loverline{α}=l(α_1overline{i}+ α_2overline{j}+α_3overline{k})=lα_1overline{i}+ lα_2overline{j}+lα_3overline{k}$
Значит
$koverline{α}=(lα_1,lα_2,lα_3)$
Теорема доказана.
Пример 2
Пусть $overline{α}=(3,0,4)$, $overline{β}=(2,-1,1)$. Найти $overline{α}+overline{β}$, $overline{α}-overline{β}$ и $3overline{α}$.
Решение.
$overline{α}+overline{β}=(3+2,0+(-1),4+1)=(5,-1,5)$
$overline{α}-overline{β}=(3-2,0-(-1),4-1)=(1,1,3)$
$3overline{α}=(3cdot 3,3cdot 0,3cdot 4)=(9,0,12)$
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Ранее мы научились находить координату точки на прямой линии (или числовой оси).
Как же найти месторасположение точки не на прямой, а на плоскости?
В предыдущем уроке вы узнали, что проще находить координаты объекта на плоскости с помощью двух чисел в прямоугольной системе координат.
Представим, например, стол и какую-то точку $А$ на нем.
В прямоугольной системе координат длину стола можно отмерить по оси $Ox$, а ширину по перпендикулярной ей оси $Оу$, место их пересечения будет точкой отсчета $О$.
Тогда местоположение нашей точки $А$ можно найти, проведя от нее перпендикулярные прямые к каждой из осей. Эти линии обычно изображаются пунктиром.
Так на рисунке выше у точки $A$ относительно точки отсчета $О$ координаты будут такими:
- по оси $color{#3D68EB}x$ — $color{#3D68EB}3$
- по оси $color{#eb3d3d}y$ — $color{#eb3d3d}5$
Координата точки $A$ по оси $Ох$, называется абсциссой точки $А$, координата по оси $у$, называется ординатой точки $А$.
Принято записывать на первом месте абсциссу, и ординату – на втором месте.
Координата точки $А$ в нашем случае запишется следующим образом: $A(3;5)$
Начало отсчета точка $О$ имеет координаты $(0,0)$
Таким образом, координаты – это числовые значения, с помощью которых выясняется местоположение точки на плоскости.
В прямоугольной системе координат значения координат любой точки можно найти, проведя от нее перпендикулярные пунктирные линии к каждой из осей.
И, наоборот, чтобы найти точку на плоскости с определенными координатами, от каждой из осей $Ох$ и $Оу$ необходимо провести перпендикуляры по заданным координатам. Искомая точка будет находиться в месте пересечения этих перпендикулярных линий.
Особые случаи
- Если абсцисса (координата $х$) точки равна $0$, то она лежит на оси $Оу$. И, наоборот, если точка лежит на оси $Оу$, то величина ее абсциссы равна $0$. Все точки, лежащие на оси $Оу$, имеют абсциссу $0$
- Аналогично, если ордината точки равна $0$, то она лежит на оси $Ох$. Все точки, лежащие на оси $Ох$, имеют ординату $0$
- Если провести прямую линию, перпендикулярную оси абсцисс (или параллельную оси ординат), то все точки этой прямой будут иметь одинаковую абсциссу.
- Также и с прямой линией, перпендикулярной оси ординат (или параллельной оси $Ох$): все точки на ней будут иметь одинаковые ординаты, то есть координаты по оси $Оу$.
Нахождение координат вектора через координаты точек
Отложим от начала координат единичные векторы, то есть векторы, длины которых равны единице. Направление вектора i → должно совпадать с осью O x , а направление вектора j → с осью O y .
Векторы i → и j → называют координатными векторами.
Координатные векторы неколлинеарны. Поэтому любой вектор p → можно разложить по векторам p → = x i → + y j → . Коэффициенты x и y определяются единственным образом. Коэффициенты разложения вектора p → по координатным векторам называются координатами вектора p → в данной системе координат.
Координаты вектора записываются в фигурных скобках p → x ; y . На рисунке вектор O A → имеет координаты 2 ; 1 , а вектор b → имеет координаты 3 ; – 2 . Нулевой вектор представляется в виде 0 → 0 ; 0 .
Если векторы a → и b → равны, то и y 1 = y 2 . Запишем это так: a → = x 1 i → + y 1 j → = b → = x 2 i → + y 2 j → , значит x 1 = x 2 , y 1 = y 2 .
Таким образом, координаты равных векторов соответственно равны.
Если точка координат не совпадает с его началом системы координат, тогда рассмотрим задачу. Пусть в декартовой системе координат на O x y заданы координаты точек начала и конца A B → : A x a , y a , B x b , y b . Найти координаты заданного вектора.
Изобразим координатную ось.
Из формулы сложения векторов имеем O A → + A B → = O B → , где O – начало координат. Отсюда следует, что A B → = O B → – O A → .
O A → и O B → – это радиус-векторы заданных точек А и В, значит координаты точек имеют значения O A → = x a , y a , O B → = x b , y b .
По правилу операций над векторами найдем A B → = O B → – O A → = x b – x a , y b – y a .
Нахождение в трехмерном пространстве проходит по такому же принципу, только для трех точек.
Для нахождения координат вектора, необходимо найти разность его точек конца и начала.
Найти координаты O A → и A B → при значении координат точек A ( 2 , – 3 ) , B ( – 4 , – 1 ) .
Для начала определяется радиус-вектор точки A . O A → = ( 2 , – 3 ) . Чтобы найти A B → , нужно вычесть значение координат точек начала из координат точек конца.
Получаем: A B → = ( – 4 – 2 , – 1 – ( – 3 ) ) = ( – 6 , 2 ) .
Ответ: O A → = ( 2 , – 3 ) , A B → = ( – 6 , – 2 ) .
Задано трехмерное пространство с точкой A = ( 3 , 5 , 7 ) , A B → = ( 2 , 0 , – 2 ) . Найти координаты конца A B → .
Подставляем координаты точки A : A B → = ( x b – 3 , y b – 5 , z b – 7 ) .
По условию известно, что A B → = ( 2 , 0 , – 2 ) .
Известно, что равенство векторов справедливо тогда, когда координаты равны соответственно. Составим систему уравнений: x b – 3 = 2 y b – 5 = 0 z b – 7 = – 2
Отсюда следует, что координаты точки B A B → равны: x b = 5 y b = 5 z b = 5
Ответ: B ( 5 , 5 , 5 ) .
Векторы в пространстве и метод координат
Существует два способа решения задач по стереометрии
Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.
Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.
Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.
Система координат в пространстве
Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.
Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.
Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:
Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.
Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.
Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:
Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма
Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .
Произведение вектора на число:
Скалярное произведение векторов:
Косинус угла между векторами:
Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.
1. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и K — середины ребер соответственно A1B1 и B1C1. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.
Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:
Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.
Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами и . Для этого нужны их координаты.
Запишем координаты векторов:
и найдем косинус угла между векторами и :
2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.
Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.
Координаты точек A, B и C найти легко:
Из прямоугольного треугольника AOS найдем
Координаты вершины пирамиды:
Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.
Найдем координаты векторов и
и угол между ними:
Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:
3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A1B1. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC1
Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.
Запишем координаты точек:
Точка D — середина A1B1. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.
Найдем координаты векторов и , а затем угол между ними:
Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.
Плоскость в пространстве задается уравнением:
Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.
Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.
Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.
Покажем, как это делается.
Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).
Уравнение плоскости выглядит так:
Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.
То есть A + C + D = 0.
Аналогично для точки K:
Получили систему из трех уравнений:
В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.
Пусть, например, D = −2. Тогда:
Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:
Решив систему, получим:
Уравнение плоскости MNK имеет вид:
Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:
Вектор — это нормаль к плоскости MNK.
Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:
Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:
Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.
Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.
Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.
4. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F — середины ребер соответственно A1B1 и A1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD1.
Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD1 пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD1.
Сначала — нормаль к плоскости BDD1. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D1 в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD1 — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.
Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:
Напишем уравнение плоскости AEF.
Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.
Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.
Уравнение плоскости AEF:
Нормаль к плоскости AEF:
Найдем угол между плоскостями:
5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA1D1D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3.
Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂
Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать “параллелепипед”.
Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?
«Расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3». Прямые A1C1 и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A1C1 и BD — это, очевидно, OO1, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O1 — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO1 и равен высоте параллелепипеда.
Плоскость AA1 D1 D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор или, еще проще, вектор .
Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B1D — значит, B1D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B1 и D известны:
Координаты вектора — тоже:
Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:
Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле
Получим:
Ответ:
Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.
Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.
Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:
6. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E — середина ребра A1B1. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD1.
Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат
Находим координаты вектора .
Нужно ли нам уравнение плоскости BDD1? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .
Найдем угол между прямой и плоскостью:
Ответ:
Расстояние от точки M с координатами x0, y0 и z0 до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:
7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA1 = . Найдите расстояние от точки A до плоскости A1DB.
Построим чертеж и выпишем координаты точек:
Запишем уравнение плоскости A1DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A1, D и B в уравнение Ax + Be + Cz + D
Решим эту систему. Выберем
Тогда
Уравнение плоскости A1DB имеет вид:
Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A1DB:
В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.
Координаты точки и координаты вектора. Как найти координаты вектора
Вы будете перенаправлены на Автор24
Прямоугольная система координат
Чтобы определить понятие координат точек, нам необходимо ввести систему координат, в которой мы и будем определять ее координаты. Одна и та же точка в разных системах координат может иметь различные координаты. Здесь мы будем рассматривать прямоугольную систему координат в пространстве.
Возьмем в пространстве точку $O$ и введем для нее координаты $(0,0,0)$. Назовем ее началом системы координат. Проведем через нее три взаимно перпендикулярные оси $Ox$, $Oy$ и $Oz$, как на рисунке 1. Эти оси будут называться осями абсцисс, ординат и аппликат, соответственно. Осталось только ввести масштаб на осях (единичный отрезок) – прямоугольная система координат в пространстве готова (рис. 1)
Рисунок 1. Прямоугольная система координат в пространстве. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Координаты точки
Теперь разберем, как определяют в такой системе координаты любой точки. Возьмем произвольную точку $M$ (рис. 2).
Рисунок 2. Произвольная точка. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Построим на координатных осях прямоугольный параллелепипед, так, что точки $O$ и $M$ противоположные его вершины (рис. 3).
Рисунок 3. Построение прямоугольного параллелепипеда. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Готовые работы на аналогичную тему
Тогда точка $M$ будет иметь координаты $(X,Y,Z)$, где $X$ – значение на числовой оси $Ox$, $Y$ – значение на числовой оси $Oy$, а $Z$ – значение на числовой оси $Oz$.
Необходимо найти решение следующей задачи: написать координаты вершин параллелепипеда, изображенного на рисунке 4.
Рисунок 4. Параллелепипед. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Решение.
Точка $O$ начало координат, следовательно, $O=(0,0,0)$.
Точки $Q$, $N$ и $R$ лежат на осях $Ox$, $Oz$ и $Oy$, соответственно, значит
Точки $S$, $L$ и $M$ лежат в плоскостях $Oxz$, $Oxy$ и $Oyz$, соответственно, значит
Точка $P$ имеет координаты $P=(2,2.5,1.5)$
Координаты вектора по двум точкам и формула нахождения
Чтобы узнать, как найти вектор по координатам двух точек, необходимо рассмотреть введенную нами ранее систему координат. В ней от точки $O$ по направлению оси $Ox$ отложим единичный вектор $overline$, по направлению оси $Oy$ – единичный вектор $overline$, а единичный вектор $overline$ нужно направлять по оси $Oz$.
Для того чтобы ввести понятие координат вектора, введем следующую теорему (здесь ее доказательство мы рассматривать не будем).
Произвольный вектор в пространстве может быть разложен по трем любым векторам, которые не лежат в одной плоскости, причем коэффициенты в таком разложении будут единственным образом определены.
Математически это выглядит следующим образом:
Так как векторы $overline$, $overline$ и $overline$ построены на координатных осях прямоугольной системы координат, то они, очевидно, не будут принадлежать одной плоскости. Значит любой вектор $overline<δ>$ в этой системе координат, по теореме 1, может принимать следующий вид
Три вектора $overline$, $overline$ и $overline$ будут называться координатными векторами.
Коэффициенты перед векторами $overline$, $overline$ и $overline$ в разложении (1) будут называться координатами этого вектора в заданной нами системе координат, то есть
Линейные операции над векторами
Теорема о сумме: Координаты суммы любого числа векторов определяются суммой их соответствующих координат.
Доказательство.
Будем доказывать эту теорему для 2-х векторов. Для 3-х и более векторов доказательство строится аналогичным образом. Пусть $overline<α>=(α_1,α_2,α_3)$, $overline<β>=(β_1,β_2 ,β_3)$.
Эти вектора можно записать следующим образом
$overline<α>=α_1overline+ α_2overline+α_3overline$, $overline<β>=β_1overline+ β_2overline+β_3overline$
$overline<α>+overline<β>=α_1overline+α_2overline+α_3overline+β_1overline+ β_2overline+β_3overline=(α_1+β_1 )overline+(α_2+β_2 )overline+(α_3+β_3)overline$
Замечание: Аналогично, находится решение разности нескольких векторов.
Теорема о произведении на число: Координаты произведения произвольного вектора на действительное число определяется произведением координат на это число.
Доказательство.
Возьмем $overline<α>=(α_1,α_2,α_3)$, тогда $overline<α>=α_1overline+α_2overline+α_3overline$, а
$loverline<α>=l(α_1overline+ α_2overline+α_3overline)=lα_1overline+ lα_2overline+lα_3overline$
Пусть $overline<α>=(3,0,4)$, $overline<β>=(2,-1,1)$. Найти $overline<α>+overline<β>$, $overline<α>-overline<β>$ и $3overline<α>$.
Решение.
$3overline<α>=(3cdot 3,3cdot 0,3cdot 4)=(9,0,12)$
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 20 07 2021
[spoiler title=”источники:”]
http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/vektory-v-prostranstve-i-metod-koordinat/
http://spravochnick.ru/geometriya/metod_koordinat_v_prostranstve/koordinaty_tochki_i_koordinaty_vektora_kak_nayti_koordinaty_vektora/
[/spoiler]