Как найти катет напротив угла 30 градусов

Ученик

(216),
на голосовании

7 лет назад

Голосование за лучший ответ

Татьяна Шадрина

Гуру

(3292)

7 лет назад

В этой задаче нужно воспользоваться свойством прямоугольного треугольника: катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы.
Обозначим катет, который нужно найти, через х, тогда гипотенуза будет 2х.
Второй катет по теореме Пифагора буде вычисляться по формуле квадратный корень из (2х) ^2-x^2=кв. корень из 3x^2=х корней из 3.
Из формулы площади прямоугольного треугольника (площадь равнв половине произведения катетов) составим уравнение
128√3=х2√32
х2=256
х=16
ответ: 16

Источник

Как найти стороны прямоугольного треугольника

Главная
/
Математика
/
Геометрия
/
Как найти стороны прямоугольного треугольника

Чтобы посчитать стороны прямоугольного треугольника воспользуйтесь нашим очень удобным онлайн калькулятором:

Онлайн калькулятор

Чтобы вычислить длины сторон прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

для гипотенузы (с):

длины катетов a и b
длину катета (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
длину катета (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)

для катета:

длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов
длину гипотенузы (с) и прилежащий к искомому катету (a или b) острый угол (β или α, соответственно)
длину гипотенузы (с) и противолежащий к искомому катету (a или b) острый угол (α или β, соответственно)
длину одного из катетов (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
длину одного из катетов (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)

Введите их в соответствующие поля и получите результат.

Найти гипотенузу (c)

Найти гипотенузу по двум катетам

Катет a =
Катет b =
Гипотенуза c =

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны оба катета (стороны a и b)?

Формула

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

c² = a² + b²

следовательно: c = √a² + b²

Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 3 см, а катет b = 4 см:

c = √3² + 4² = √9 + 16 = √25 = 5 см

Найти гипотенузу по катету и прилежащему к нему острому углу

Катет (a или b) =
Прилежащий угол (β или α) =
Гипотенуза c =

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и прилежащий к нему угол?

Формула

c = ^a/_cos(β) = ^b/_cos(α)

Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а прилежащий к нему ∠β = 60°:

c = 2 / cos(60) = 2 / 0.5 = 4 см

Найти гипотенузу по катету и противолежащему к нему острому углу

Катет (a или b) =
Противолежащий угол (α или β) =
Гипотенуза c =

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и противолежащий к нему угол?

Формула

c = ^a/_sin(α) = ^b/_sin(β)

Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а противолежащий к нему ∠α = 30°:

c = 2 / sin(30) = 2 / 0.5 = 4 см

Найти гипотенузу по двум углам

Найти гипотенузу прямоугольного треугольника только по двум острым углам невозможно.

Найти катет

Найти катет по гипотенузе и катету

Гипотенуза c =
Катет _{(известный)} =
Катет _{(искомый)} =

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и второй катет?

Формула

a = √c² – b²

b = √c² – a²

Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а катет b = 4 см:

a = √5² – 4² = √25 – 16 = √9 = 3 см

Найти катет по гипотенузе и прилежащему к нему острому углу

Гипотенуза c =
Угол (прилежащий катету) = °
Катет =

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и прилежащий к искомому катету острый угол?

Формула

a = c ⋅ cos(β)

b = c ⋅ cos(α)

Пример

Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а ∠α = 60°:

b = 5 ⋅ cos(60) = 5 ⋅ 0.5 = 2.5 см

Найти катет по гипотенузе и противолежащему к нему острому углу

Гипотенуза c =
Угол (противолежащий катету) = °
Катет =

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и противолежащий к искомому катету острый угол?

Формула

a = c ⋅ sin(α)

b = c ⋅ sin(β)

Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 4 см, а ∠α = 30°:

a = 4 ⋅ sin(30) = 4 ⋅ 0.5 = 2 см

Найти катет по второму катету и прилежащему к нему острому углу

Катет (известный) =
Угол (прилежащий известному катету) = °
Катет (искомый) =

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и прилежащий к нему острый угол?

Формула

a = b ⋅ tg(α)

b = a ⋅ tg(β)

Пример

Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а ∠β = 45°:

b = 2 ⋅ tg(45) = 2 ⋅ 1 = 2 см

Найти катет по второму катету и противолежащему к нему острому углу

Катет (известный) =
Угол (противолежащий известному катету) = °
Катет (искомый) =

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и противолежащий к нему острый угол?

Формула

a = b / tg(β)

b = a / tg(α)

Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если катет b = 3 см, а ∠β = 35°:

a = 3 / tg(35) ≈ 3 / 0.7 ≈ 4.28 см

См. также

Источник

Дополненное свойство угла 30°

Это не секретные знания, это обобщение тем связанных с этим углом и свойством.

Всем (ну или почти всем) знакомо свойство угла в 30° в прямоугольном треугольнике. Одно из самых часто встречающихся свойств. Начальные знания дают в 7-ом классе курса геометрии. Вспомни это свойство и обратное утверждение.

Свойство угла 30°

Против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы

Обратное утверждение

Катет, равный половине гипотенузы, лежит против угла 30°

Этими свойствами большинство умеет пользоваться. Так, мы можем найти гипотенузу, если известен катет против угла 30° и наоборот, а можем определить угол треугольника.

Но в 7-ом классе #геометрия не заканчивается и в 8-м добавляется теорема Пифагора, тут и появляется хорошая возможность дополнить это свойство ещё одним отношением.

Против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы и в √3 раз меньший другого катета

«И в √3 раз меньший другого катета»

Докажем это простое утверждение на примере прямоугольного треугольника в котором нам известен только угол 30° (ну или 60° – для тех, кто любит посложнее)).

Задача №1
В прямоугольном треугольнике ABC, угол ∠C = 90°, а угол ∠A = 30°. Найдите отношение катетов BC : AC.

Решение:
Пусть катет BC = x, тогда гипотенуза (по сво-ву угла 30°) AB = 2x. По т. Пифагора найдём катет AC. AC = x√3, а отношение катетов BC : AC = x : x√3 = 1 : √3.

Вывод: катет AC больше катета BC в √3 раз, BC : AC : AB = 1 : √3 : 2.

Что нам даёт это знание?

Да практически всё. Теперь по одной стороне в прямоугольном треугольнике с углом 30° (или 60°) можно найти все остальные стороны в одно действие и устно. Пример?

Задача №2.1
Найдите гипотенузу треугольника ABC, ∠C = 90°, ∠B = 60°, BC = 2.

Решение:
∠A = 30° – по сумме углов. Гипотенуза в 2 раза больше ( по свойству угла 30°) и равна 4.

—————————————

Задача №2.2
Найдите гипотенузу треугольника ABC, ∠C = 90°, ∠B = 60°, AC = 5√3.

Решение:
∠A = 30° – по сумме углов. Катет BC в √3 раз меньше катета AC и равен 5. Гипотенуза в 2 раза больше катета BC и равна 10.

—————————————

Задача №2.3
Найдите меньший катет треугольника ABC, ∠C = 90°, ∠B = 60°, AB = 16.

Решение:
Меньший катет – лежит против меньшего угла – BC. BC = 8 – половина гипотенузы.

—————————————

Задача №2.4
Найдите больший катет треугольника ABC, ∠C = 90°, ∠B = 60°, AB = 2√3.

Решение:
Больший катет – лежит против угла 60° – AC. BC = √3 – половина гипотенузы. AC в √3 раз больше BC, а значит AC = 3.

Касается это не только прямоугольных треугольников, но и равнобедренных, равносторонних, параллелограммов, трапеций и всех фигур, где есть угол 30° (или 60°) — достаточно опустить высоту и всё становится известным.

Синус, косинус, тангенс, котангенс углов 30° или 60°

Да, и их мы тоже легко запоминаем (или вспоминаем) зная дополненное свойство угла в 30° и определение тригонометрических функций (sin, cos, tg, ctg) в прямоугольном треугольнике.

Катет -> гипотенуза -> другой катет:

x -> 2x -> x√3

Как найти стороны прямоугольного треугольника