Как найти катет по теореме пифагора пример

Как найти катет по теореме пифагора пример

Теорема пифагора

Определение теоремы пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Обозначив гипотенузу буквой – c, катеты буквами a и b получим следующее равенство

c2=a2+b2

Расчёт катета по теореме пифагора

Введите гипотенузу

c = 

Введите катет

b = 

Катет по гипотенузе и катету

Формула пифагора для катета

Где a, b – катеты прямоугольного треугольника,
с – гипотенуза прямоугольного треугольника

Расчёт гипотенузы по теореме пифагора

Введите первый катет

a = 

Введите второй катет

b = 

Гипотенуза по двум катетам

Формула пифагора для гипотенузы

Где a, b – катеты прямоугольного треугольника,
с – гипотенуза прямоугольного треугольника

Доказательство теоремы пифагора

Дано

Прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c.

Прямоугольный треугольник

Доказать

c2=a2+b2

Доказательство

Достроим треугольник HFG до квадрата со стороной a+b.

Доказательство теоремы пифагора

Запишем площадь получевшегося квадрата двумя способами

S=(a+b)2

S=4*0.5*a*b +c2

Приравняем площади

(a+b)2=4*0.5*a*b +c2

a2+2*a*b +b2=2*a*b +c2

a2+b2=c2

Теорема доказана

Источник


Загрузить PDF


Загрузить PDF

Теорема Пифагора связывает три стороны прямоугольного треугольника одной формулой, которой пользуются до сих пор. Теорема гласит, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: a2 + b2 = c2, где a и b — катеты треугольника (стороны, пересекающиеся под прямым углом), с — гипотенуза треугольника. Теорема Пифагора применима во многих случаях, например, при помощи этой теоремы легко найти расстояние между двумя точками на координатной плоскости.

  1. Изображение с названием Use the Pythagorean Theorem Step 1

    1

    Убедитесь, что данный вам треугольник является прямоугольным, так как теорема Пифагора применима только к прямоугольным треугольникам. В прямоугольных треугольниках один из трех углов всегда равен 90 градусам.

    • Прямой угол в прямоугольном треугольнике обозначается значком в виде квадрата, а не в виде кривой, которая обозначает непрямые углы.

  2. Изображение с названием Use the Pythagorean Theorem Step 2

    2

    Обозначьте стороны треугольника. Катеты обозначьте как «а» и «b» (катеты — стороны, пересекающиеся под прямым углом), а гипотенузу — как «с» (гипотенуза — самая большая сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла).

  3. Изображение с названием Use the Pythagorean Theorem Step 3

    3

    Определите, какую сторону треугольника требуется найти. Теорема Пифагора позволяет найти любую сторону прямоугольного треугольника (если известны две другие стороны). Определите, какую сторону (a, b, c) необходимо найти.

    • Например, дана гипотенуза, равная 5, и дан катет, равный 3. В этом случае необходимо найти второй катет. Мы вернемся к этому примеру позднее.
    • Если две другие стороны неизвестны, необходимо найти длину одной из неизвестных сторон, чтобы иметь возможность применить теорему Пифагора. Для этого используйте основные тригонометрические функции (если вам дано значение одного из непрямых углов).

  4. Изображение с названием Use the Pythagorean Theorem Step 4

    4

    Подставьте в формулу a2 + b2 = c2 данные вам значения (или найденные вами значения). Помните, что a и b — это катеты, а с — гипотенуза.

    • В нашем примере напишите: 3² + b² = 5².

  5. Изображение с названием Use the Pythagorean Theorem Step 5

    5

    Возведите в квадрат каждую известную сторону. Или же оставьте степени — вы можете возвести числа в квадрат позже.

    • В нашем примере напишите: 9 + b² = 25.

  6. Изображение с названием Use the Pythagorean Theorem Step 6

    6

    Обособьте неизвестную сторону на одной стороне уравнения. Для этого перенесите известные значения на другую сторону уравнения. Если вы находите гипотенузу, то в теореме Пифагора она уже обособлена на одной стороне уравнения (поэтому делать ничего не нужно).

    • В нашем примере перенесите 9 на правую сторону уравнения, чтобы обособить неизвестное b². Вы получите b² = 16.

  7. Изображение с названием Use the Pythagorean Theorem Step 7

    7

    Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения. На данном этапе на одной стороне уравнения присутствует неизвестное (в квадрате), а на другой стороне — свободный член (число).

    • В нашем примере b² = 16. Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения и получите b = 4. Таким образом, второй катет равен 4.

  8. Изображение с названием Use the Pythagorean Theorem Step 8

    8

    Используйте теорему Пифагора в повседневной жизни, так как ее можно применять в большом числе практических ситуаций. Для этого научитесь распознавать прямоугольные треугольники в повседневной жизни — в любой ситуации, в которой два предмета (или линии) пересекаются под прямым углом, а третий предмет (или линия) соединяет (по диагонали) верхушки двух первых предметов (или линий), вы можете использовать теорему Пифагора, чтобы найти неизвестную сторону (если две другие стороны известны).

    • Пример: дана лестница, прислоненная к зданию. Нижняя часть лестницы находится в 5 метрах от основания стены. Верхняя часть лестницы находится в 20 метрах от земли (вверх по стене). Какова длина лестницы?
      • «в 5 метрах от основания стены» означает, что а = 5; «находится в 20 метрах от земли» означает, что b = 20 (то есть вам даны два катета прямоугольного треугольника, так как стена здания и поверхность Земли пересекаются под прямым углом). Длина лестницы есть длина гипотенузы, которая неизвестна.
        • a² + b² = c²
        • (5)² + (20)² = c²
        • 25 + 400 = c²
        • 425 = c²
        • с = √425
        • с = 20,6. Таким образом, приблизительная длина лестницы равна 20,6 метров.

    Реклама

  1. Изображение с названием Use the Pythagorean Theorem Step 9

    1

    Выберите две точки на координатной плоскости. По теореме Пифагора можно вычислить длину отрезка, соединяющего две точки на координатной прямой. Для этого необходимо знать координаты (х,у) каждой точки.

    • Чтобы найти расстояние между двумя точками, вы будете рассматривать точки в качестве вершин треугольника, не прилежащих к прямому углу прямоугольного треугольника. Таким образом, вы сможете легко найти катеты треугольника, а затем вычислить гипотенузу, которая равна расстоянию между двумя точками.

  2. Изображение с названием Use the Pythagorean Theorem Step 10

    2

    Нанесите точки на координатную плоскость. Отложите координаты (х,у), где координата «х» откладывается по горизонтальной оси, а «у» — по вертикальной. Вы можете найти расстояние между точками без построения графика, но график позволяет визуально представить процесс ваших вычислений.

  3. Изображение с названием Use the Pythagorean Theorem Step 11

    3

    Найдите катеты треугольника. Вы можете сделать это, измерив длину катетов непосредственно на графике или с помощью формул: |x1 – x2| для вычисления длины горизонтального катета, и |y1 – y2| для вычисления длины вертикального катета, где (x1,y1) – координаты первой точки, а (x2,y2) – координаты второй точки.

    • Пример: даны точки: А(6,1) и В(3,5). Длина горизонтального катета:
      • |x1 – x2|
      • |3 – 6|
      • | -3 | = 3
    • Длины вертикального катета:
      • |y1 – y2|
      • |1 – 5|
      • | -4 | = 4
    • Таким образом, в прямоугольном треугольнике а = 3 и b = 4.

  4. Изображение с названием Use the Pythagorean Theorem Step 12

    4

    Используйте теорему Пифагора для нахождения гипотенузы. Расстояние между двумя точками равно гипотенузе треугольника, две стороны которого вы только что нашли. Используйте теорему Пифагора, чтобы найти гипотенузу, подставив в формулу найденные значения катетов (a и b).

    • В нашем примере а = 3 и b = 4. Гипотенуза вычисляется следующим образом:
      • (3)²+(4)²= c²
        c= √(9+16)
        c= √(25)
        c= 5. Расстояние между точками А(6,1) и В(3,5) равно 5.

    Реклама

Советы

  • Гипотенуза всегда:
    • лежит напротив прямого угла;
    • является самой длинной стороной прямоугольного треугольника;
    • обозначается как «с» в теореме Пифагора;
  • √(х) означает «квадратный корень из х».
  • Не забывайте проверять ответ. Если ответ кажется неправильным, проделайте вычисления снова.
  • Еще один момент — самая длинная сторона лежит напротив наибольшего угла, а самая короткая сторона — напротив наименьшего угла.
  • Выучите числа пифагоровой тройки, образующие стороны прямоугольного треугольника. Самая примитивная пифагорова тройка — это 3, 4, 5. Так, зная длину двух сторон, третью искать не придется.
    • Помните, гипотенуза — всегда самая длинная сторона.
  • Если дан обычный треугольник (а не прямоугольный), то требуется больше информации, чем просто длины двух сторон.
  • Графики являются наглядным способом нанесения обозначений а, b и с. Если вы решаете задачу, то в первую очередь постройте график.
  • Если дана длина только одной стороны, то теорему Пифагора применять нельзя. Попробуйте использовать тригонометрию (sin, cos, tan).
  • Если речь идет о задаче из некого сюжета, можно смело предположить, что деревья, столбы, стены и так далее образуют прямой угол с землей, если не указано иное.

Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 139 816 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

План урока:

Теорема Пифагора

Задачи на применение теоремы Пифагора

Пифагоровы тройки

Обратная теорема Пифагора

Формула Герона

Теорема Пифагора

Попытаемся установить связь между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника. Пусть в некотором прямоугольном треуг-ке катеты имеют длины а и b, а гипотенуза равна с. Пусть один из острых углов треуг-ка составляет α, тогда другой острый угол должен равняться 90 – α:

1 teorema pifagora

Далее возьмем 4 таких треуг-ка и расположим их следующим образом:

2 teorema pifagora

Здесь мы прикладываем треуг-ки так, чтобы их разные катеты образовали одну сторону четырехугольника. В результате получается большой квадрат со стороной a + b. Квадратом он является по определению, ведь все его стороны одинаковы, а углы – прямые.

Изучим центральную фигуру, чью площадь мы обозначили как S2. Это четырехуг-к, причем все его стороны равны с, то есть длине гипотенузы треугольника. С другой стороны, каждый его угол можно найти, вычтя из 180° величины α и 90° – α:

3 teorema pifagora

Получается, что всего его углы прямые, то есть он является квадратом. Найдем его площадь:

4 teorema pifagora

Вернемся к большому квадрату. С одной стороны, его площадь можно записать как сумму площадей фигур, его составляющих:

5 teorema pifagora

Cдругой стороны, эту же площадь можно найти, просто возведя в квадрат его сторону:

6 teorema pifagora

Получили формулу, в которой и заключен смысл теоремы Пифагора:

7 teorema pifagora

Изучим несколько простейших примеров использования теоремы Пифагора.

Задание. Длины катетов прямоугольного треугольника составляют 5 и 12. Определите длину гипотенузы.

8 teorema pifagora

Решение. Запишем теорему Пифагора:

9 teorema pifagora

Задание. Длина катета треугольника составляет 3, а гипотенузы – 5. Какова длина другого катета?

10 teorema pifagora

Решение: На это раз нам известен один из катетов а = 3 и гипотенуза с = 5. Подставим в теорему Пифагора эти числа:

11 teorema pifagora

Теорема Пифагора имеет огромное значение для геометрии и смежных дисциплин. Приведенное здесь ее доказательство является одним из простейших, но отнюдь не единственным. Сегодня человечеству известно 367 различных доказательств теоремы Пифагора, что лишь показывает ее огромную значимость.

На самом деле Пифагор, известный древнегреческий математик, не был первым, кто обнаружил это равенство. Пифагор родился примерно в 570 г. до н. э., однако ещё египтяне знали про прямоугольный треуг-к со сторонами 3, 4 и 5. Поэтому его часто именуют египетским треугольником.

12 teorema pifagora

Также вычислять стороны прямоугольного треуг-ка умели и в Вавилоне уже за 1000 лет до рождения Пифагора. Вероятно, Пифагор узнал о формуле от вавилонян, а сам лишь вывел ее доказательство (вавилоняне не утруждали себя необходимостью доказывать теоремы геометрии). Утверждается, что Пифагор принес сделал жертвоприношение в размере 100 быков после того, как смог доказать теорему.

Задание. Вычислите гипотенузу равнобедренного прямоугольного треуг-ка, чьи катеты имеют единичную длину.

Решение. В теорему Пифагора вместо букв a и b подставим единицу:

13 teorema pifagora

Обратите внимание, что в данной задаче в качестве длины гипотенузы прямоугольного треугольника получилось иррациональное число. Исторически именно при решении подобной задачи люди (это были ученики Пифагора) впервые столкнулись с иррациональными числами. Перед дальнейшим изучением темы есть смысл вспомнить основные правила вычислений с квадратными корнями.

Задание. На рисунке построен произвольный квадрат. Предложите способ, как построить квадрат с вдвое большей площадью.

Решение. Проведем в исходном квадрате диагональ. Далее построим новый квадрат со стороной, равной этой гипотенузе:

14 teorema pifagora

Докажем, что получившийся квадрат (его стороны отмечены синим цветом) вдвое больше исходного квадрата. Пусть сторона изначального квадрата равна х.Тогда его площадь составляет х2. Диагональ разбивает квадрат на два прямоугольных треуг-ка, в которых она является гипотенузой.

Запишем для одного из них теорему Пифагора:

15 teorema pifagora

Но площадь квадрата равна его стороне, возведенной во вторую степень, поэтому величина с2– это площадь большого (на рисунке – синего)квадрата, а х2 – площадь маленького:

16 teorema pifagora

Подставим эти выражения в формулу, выведенную из теоремы Пифагора, и получим, что площадь большего квадрата ровно вдвое больше:

17 teorema pifagora

Задание. Найдите площадь равнобедренного прямоугольного треуг-ка, гипотенуза которого имеет длину 10.

18 teorema pifagora

Решение. Обозначим катеты переменной х, тогда теорема Пифагора будет выглядеть как уравнение:

19 teorema pifagora

Задание. Один из острых углов прямоугольного треугольника составляет 30°, а его гипотенуза равна 10. Найдите оба катета.

20 teorema pifagora

Решение. Мы знаем, что в прямоугольном треуг-ке с острым углом 30° гипотенуза вдвое длиннее меньшего катета (он как раз лежит против угла 30°), мы можем найти этот катет:

10:2 = 5

Другой катет находим с помощью теоремы Пифагора:

21 teorema pifagora

Задачи на применение теоремы Пифагора

Теорема Пифагора используется в огромном количестве геометрических задач. С ее помощью можно находить диагонали некоторых четырехуг-ков, длины высот, вычислять площади.

Задание. Стороны прямоуг-ка имеют длину 8 и 15 см. Найдите длину его диагонали.

22 teorema pifagora

Решение. Рассмотрим произвольный прямоугольник АВСD. Если в нем провести диагональ ВD, то получится прямоугольный треуг-к АВD. Пусть АВ = 15, АD = 8. Запишем теорему Пифагора для ∆АВD:

23 teorema pifagora

Задание. В равнобедренном треуг-ке основание имеет длину 16 см, а боковые стороны составляют 17 см. Найдите длину высоты, проведенной к основанию этого треуг-ка, а также площадь треуг-ка.

24 teorema pifagora

Решение. Напомним, что высота, опущенная к основанию равнобедренного треуг-ка, одновременно является и медианой, и биссектрисой. Это значит, что Н – середина АВ. Тогда можно найти длину отрезков АН и НВ:

25 teorema pifagora

Теперь можно рассмотреть ∆АСН. Он прямоугольный, и нам известно его гипотенуза (она является боковой стороной ∆АВС и по условию равна 17 см) и катет АН. Тогда можно найти и второй катет, то есть высоту СН:

26 teorema pifagora

Задание. Высота равностороннего треуг-ка составляет 4 см. Найдите его сторону.

Решение. Напомним, что в равностороннем треуг-ке все углы равны 60°. Также учтем, что высота в равностороннем треуг-ке является также и биссектрисой и медианой:

27 teorema pifagora

Рассмотрим ∆АСН. Он прямоугольный, и один из его углов составляет 60°. Значит, другой угол составляет 30°. Но в таком треуг-ке гипотенуза вдвое больше катета, лежащего против ∠30°:

28 teorema pifagora

Обратите внимание, мы специально домножили дробь на корень из 3, чтобы корень оказался в числителе, а не знаменателе. Т.к. в таком виде проще работать с квадратными корнями.

Итак, мы нашли АН. Теперь можно найти сторону АС, которая вдвое длиннее:

29 teorema pifagora

Задание. Составьте формулу для нахождения площади равностороннего треуг-ка, если известна только его сторона.

Решение. Обозначим сторону треуг-ка буквой а. Для вычисления площади необходимо найти высоту:

30 teorema pifagora

Как и в предыдущей задаче, отрезок АС вдвое длиннее АН:

31 teorema pifagora

Высоту мы нашли. Осталось найти площадь:

32 teorema pifagora

Задание. В прямоугольном треуг-ке, катеты которого имеют длину 60 и 80, проведена высота к гипотенузе. Найдите высоту гипотенузы, а также длину отрезков, на которые эта высота разбивает гипотенузу.

33 teorema pifagora

Решение. Найдем длину гипотенузы ВС:

34 teorema pifagora

Осталось найти длины отрезков СН и НВ. Для этого необходимо записать теорему Пифагора для ∆АСН и ∆АНВ, которые являются прямоугольными. Начнем с ∆АСН:

35 teorema pifagora

Аналогично работаем и с ∆АНВ:

36 teorema pifagora

Можно проверить себя. Отрезки НВ и СН вместе составляют отрезок СВ, поэтому должно выполняться равенство:

37 teorema pifagora

Задание. Диагонали ромба равны 10 и 24 см. Чему равна его сторона?

38 teorema pifagora

Пусть в ромбе АВСD диагонали пересекаются в точке О, причем АС = 24 см, а ВD = 10 см.Напомним, что диагонали ромба пересекаются под углом 90° и делятся при этом на одинаковые отрезки. Следовательно, ∆АВО прямоугольный. Найдем его катеты:

39 teorema pifagora

Задание. Основания равнобедренной трапеции имеют длину 20 и 10, а боковая сторона имеет длину 13. Найдите площадь трапеции.

Решение. Опустим на большее основание две высоты:

40 teorema pifagora

В итоге получили прямоуг-к АВКН. Его противоположные стороны одинаковы, поэтому

41 teorema pifagora

∆АНD и ∆ВКС равны друг другу, ведь это прямоугольные треуг-ки с одинаковой гипотенузой (АD = ВС, ведь это равнобедренная трапеция) и равным катетом (АН = ВК как стороны прямоуг-ка). Это значит, что DH = КС. Но эти отрезки вместе с НК составляют CD. Это позволяет найти DH и KC:

42 teorema pifagora

Зная высоту трапеции и ее основания, легко найдем и ее площадь:

43 teorema pifagora

Пифагоровы тройки

Возможно, вы уже заметили, что в большинстве школьных задач на применение теоремы Пифагора используются треуг-ки с одними и теми же сторонами. Это треуг-к, чьи стороны имеют длины

44 teorema pifagora

Их использование обусловлено тем, что все их стороны выражаются целыми числами. В задачах же, например, с равнобедренным прямоугольным треуг-ком хотя бы одна из сторон обязательно оказывается иррациональным числом.

Прямоугольные треуг-ки, у которых все стороны являются целыми, называют пифагоровыми треугольниками, а длины их сторон именуются пифагоровыми тройками. Получается, что пифагоровыми называются такие тройки натуральных чисел а, b и с, которые при подстановке в уравнение

45 teorema pifagora

обращают его в справедливое равенство.

46 teorema pifagora

Для удобства такие тройки иногда записывают в скобках.

Например, тройка чисел (3; 4; 5)– пифагорова, так как

47 teorema pifagora

Задание. Определите, какие из следующих троек чисел являются пифагоровыми:

48 teorema pifagora

Несложно догадаться, что пифагоровых троек существует бесконечно много. Действительно, возьмем тройку (3; 4; 5). Далее умножим все числа, составляющие ее, на два, и получим новую тройку (6; 8; 10), которая также пифагорова. Умножив исходную тройку на 3, получим тройку (9; 12; 15), и она снова пифагорова. Вообще, умножая числа пифагоровой тройки на любое натуральное число, всегда будем получать новую пифагорову тройку. А так как натуральных чисел бесконечно много, то и троек Пифагора также бесконечное количество.

Отдельно выделяют понятие примитивной пифагоровой тройки. Эта такая тройка, числа которой являются взаимно простыми, то есть не имеют общих делителей. Другими словами, примитивная тройка НЕ может быть получена из другой тройки простым умножением ее чисел на натуральное число. В частности, тройка (3; 4; 5)является примитивной, а «производные» от нее тройки (6; 8; 10) и (9; 12; 15) уже не примитивные.

Интересно, что примитивных троек также бесконечно много. Ещё Евклид предложил алгоритм для их поиска, который, однако, не изучается в рамках школьного курса геометрии.

Задание. Докажите, что у любого прямоугольного треуг-ка с целыми длинами сторон все эти длины не могут быть нечетными числами.

Предположим, что такой треуг-к существует. Пусть его стороны равны a, b и c, и эти числа нечетны. Тогда должно выполняться уравнение:

49 teorema pifagora

Заметим, что квадрат нечетного числа также является нечетным числом. Поэтому числа а2, b2 и с2 – нечетные. Однако сумма нечетных чисел является уже четной. Поэтому выражение а2 + b2 четное. Таким образом, получается, что равенство

49 teorema pifagora

не может быть верным, ведь его левая часть четна, а правая – нечетна. Поэтому пифагоров треуг-к с тремя нечетными сторонами существовать не может.

Обратная теорема Пифагора

По теореме Пифагора из того факта, что в треуг-ке есть прямой угол, следует следующее соотношение между длинами его сторон:

49 teorema pifagora

Оказывается, верно и обратное: если в произвольном треуг-ке одна сторона (очевидно, большая из них) равна сумме квадратов двух других сторон, то из этого следует, что такой треуг-к является прямоугольным.

50 teorema pifagora

Это утверждение называют обратной теоремой Пифагора. Докажем её. Пусть есть некоторый ∆АВС, для сторон которого выполняется равенство

51 teorema pifagora

Так как ∆А1В1С1 прямоугольный, то для него справедлива теорема Пифагора. Найдем с ее помощью гипотенузу:

52 teorema pifagora

а именно это мы и доказываем.

Уточним разницу между собственно теоремой Пифагора и только что доказанной обратной ей теореме. В каждой теореме есть две ключевые части:

1) некоторое условие, которое описывает какое-то геометрическое построение;

2) вывод (или заключение), который делается для условия.

В самой теореме Пифагора в качестве условия описывается прямоугольный треугольник. Для него делается вывод – катеты, возведенные в квадрат, в сумме дадут квадрат гипотенузы.

В обратной же теореме условие и вывод меняются местами. В роли условия описывается треугольник, у которого большая сторона, возведенная во 2-ую степень, равна сумме двух других сторон, также возведенная в квадрат. Для этого описания делается вывод – такой треугольник обязательно должен быть прямоугольным.

Заметим, что не всякая обратная теорема является справедливой. Например, одна из простейших теорем гласит – если углы вертикальные, то они равны. Сформулируем обратную теорему – если углы равны, то они вертикальные. Понятно, что это неверное утверждение.

Задание. Выясните, является ли треуг-к прямоугольным, если его стороны имеют длины:

53 teorema pifagora

Решение. Здесь надо просто проверить, являются ли эти числа пифагоровыми тройками. Если являются, то соответствующий треуг-к окажется прямоугольным.

54 teorema pifagora

Задание. В ∆КМР проведена биссектриса МН. Её длина 12. КМ = 13 и КН = 5. Найдите МР.

55 teorema pifagora

Решение. Рассмотрим ∆МНК. Его стороны равны 5, 12 и 13. Но это одна из пифагоровых троек:

56 teorema pifagora

Отсюда следует, что треуг-к прямоугольный, причем МК – гипотенуза (гипотенуза – это длиннейшая сторона). Тогда ∠Н = 90°. Но это означает, что биссектриса МН ещё и высота. Но если в треугольнике одна линия одновременно и медиана, и высота, то это равнобедренный треуг-к, причем КР – его основание. Тогда

57 teorema pifagora

Формула Герона

Невозможно построить два треугольника с тремя одинаковыми сторонами. Это значит, что теоретически знания трех сторон треугольника достаточно, чтобы найти его площадь. Но как это сделать? Здесь может помочь формула Герона, которая выводится с помощью теоремы Пифагора.

Пусть стороны треуг-ка равны а, b и с, причем с не меньше, чем а и b. В любом треуг-ке есть хотя бы два острых угла, а тупой угол, если он есть, лежит против большей стороны. Это значит, что оба прилегающих кс угла – острые. Отсюда следует, что высота, опущенная нас, будет лежать внутри треуг-ка. Обозначим длину этой высоты как h. Пусть она разобьет сторону сна два отрезка длиной х и у:

58 teorema pifagora

По рисунку можно записать три уравнения:

59 teorema pifagora

Левая часть одинакова в обоих уравнениях, значит, равны и правые:

60 teorema pifagora

С учетом этого выразим h2:

61 teorema pifagora

Мы уже выразили высоту (точнее, ее квадрат) через длины сторон. Однако обычно в этой формуле производят замену и вводят число р, равное полупериметру треуг-ка, то есть

62 teorema pifagora

Площадь треуг-ка вычисляется по формуле:

63 teorema pifagora

Запоминать вывод формулы Герона не надо. Саму формулу всегда можно найти в любом справочнике по геометрии или в Интернете. Достаточно запомнить, что площадь любого треуг-ка можно вычислить, если известны все его стороны.

Задание. Стороны треуг-ка имеют длину 9, 7 и 8 см. Какова его площадь?

Решение. Пусть а = 9; b = 8; с = 7. Для использования формулы Герона сначала вычислим половину периметра треуг-ка:

64 teorema pifagora

Итак, сегодня мы узнали о теореме Пифагора. Она представляет собой соотношение, которое связывает катеты и гипотенузу в прямоугольном треуг-ке. Это соотношение помогает в исследованиях других фигур – квадратов, параллелограммов, трапеций. Также с его помощью выведена формула Герона, которая позволяет вычислять площадь треуг-ка, зная только длины его сторон.

Источник

Содержание:

  • Формула теоремы Пифагора
  • Доказательство теоремы Пифагора
  • Геометрическая формулировка теоремы Пифагора
  • Примеры решения задач
  • Историческая справка

Формула теоремы Пифагора

Теорема

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов (рис. 1):

Доказательство теоремы Пифагора

Пусть треугольник $A B C$ – прямоугольный треугольник с
прямым углом $C$ (рис. 2).

Проведём высоту из вершины $C$ на гипотенузу $A B$, основание высоты обозначим как $H$ .

Прямоугольный треугольник $A C H$ подобен треугольнику $A B C$ по двум углам ( $angle A C B=angle C H A=90^{circ}$,
$angle A$ – общий). Аналогично, треугольник $C B H$ подобен $A B C$ .

Введя обозначения

$$B C=a, A C=b, A B=c$$

из подобия треугольников получаем, что

$$frac{a}{c}=frac{H B}{a}, frac{b}{c}=frac{A H}{b}$$

Отсюда имеем, что

$$a^{2}=c cdot H B, b^{2}=c cdot A H$$

Сложив полученные равенства, получаем

$$a^{2}+b^{2}=c cdot H B+c cdot A H$$

$$a^{2}+b^{2}=c cdot(H B+A H)$$

$$a^{2}+b^{2}=c cdot A B$$

$$a^{2}+b^{2}=c cdot c$$

$$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$

Что и требовалось доказать.

Геометрическая формулировка теоремы Пифагора

Теорема

В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей
квадратов, построенных на катетах (рис. 2):

Примеры решения задач

Пример

Задание. Задан прямоугольный треугольник $A B C$, катеты которого равны 6 см и 8 см.
Найти гипотенузу этого треугольника.

Решение. Согласно условию катеты $a=6$ см, $b=8$ см. Тогда, согласно теореме
Пифагора, квадрат гипотенузы

$c^{2}=a^{2}+b^{2}=6^{2}+8^{2}=36+64=100$

Отсюда получаем, что искомая гипотенуза

$c=sqrt{100}=10$ (см)

Ответ. 10 см

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Найти
площадь прямоугольного треугольника, если известно, что один
из его катетов на 5 см больше другого, а гипотенуза равна 25 см.

Решение. Пусть
$x$ см – длина меньшего катета, тогда $(x+5)$ см – длина большего. Тогда согласно теореме Пифагора имеем:

$$x^{2}+(x+5)^{2}=25^{2}$$

Раскрываем скобки, сводим подобные и решаем полученное квадратное уравнение:

$x^{2}+5 x-300=0$

Согласно теореме Виета, получаем, что

$x_{1}=15$ (см)  ,  $x_{2}=-20$ (см)

Значение $x_{2}$ не удовлетворяет условию задачи, а значит, меньший катет равен 15 см, а больший – 20 см.

Площадь прямоугольного треугольника равна полупроизведению длин его катетов, то есть

$$S=frac{15 cdot 20}{2}=15 cdot 10=150left(mathrm{см}^{2}right)$$

Ответ. $S=150left(mathrm{см}^{2}right)$

Историческая справка

Теорема Пифагора – одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая
соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.

В древнекитайской книге “Чжоу би суань цзин” говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5. Крупнейший немецкий
историк математики Мориц Кантор (1829 – 1920) считает, что равенство $3^{2}+4^{2}=5^{2}$ было известно уже египтянам ещё около
2300 г. до н.э. По мнению ученого, строители строили тогда прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.
Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте приводится приближённое вычисление гипотенузы равнобедренного
прямоугольного треугольника.

На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема Пифагора является
единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным
значением теоремы для геометрии.

Остались вопросы?

Здесь вы найдете ответы.

Как выглядит формула, отражающая смысл теоремы Пифагора?

Согласно теореме Пифагора, значение длины гипотенузы (с) треугольника с
прямыми углами, возведенное в квадратную степень, является величиной,
равной сумме его катетов (а и b), каждый из которых также возведен в
квадрат. Наглядно и с применением условных обозначений это выглядит так:

a² + b² = c².

О чем гласит теорема Пифагора?

В теореме Пифагора говорится о том, что в треугольнике с прямыми углами
сумма длин катетов, каждая из которых возведена в квадрат, равна длине его
гипотенузы, также возведенной в квадратную степень.

При этом под гипотенузой понимается сторона, которая расположена
противоположно прямому углу. Катетом считается одна из сторон, участвующих
в образовании прямого угла.

Треугольник имеет прямой угол. Как доказать теорему Пифагора, которая
гласит, что сумма квадратов катетов прямоугольного труегольника равна длине
его гипотенузы, которая возведена в квадрат?

Основание прямоугольного треугольника обозначим как Н. Из его вершины С
проведем высоту на гипотенузу АВ. Получившийся в результате этого
треугольник АСН является подобным треугольнику АВС по двум углам, равным
90º (∠ACB =∠CHA).

В обоих треугольниках есть один общий угол – ∠A.

Подобными также являются треугольные фигуры АВС и СВН. Основанием их
подобия являются прямые углы (∠ACB =∠CHB). Оба эти треугольника имеют
общий угол, которым является ∠B.

Для продолжения доказательства теоремы Пифагора следует ввести
дополнительные обозначения: BC = a, AC = b, AB = c.

На основании полученной ранее информации о подобии треугольников можно
утверждать, что:

a/с = HB/a, b/с = AH/b.

Полученное равенство также позволяет сделать следующий вывод:

a2 = c * HB, b2 = c * AH.

На следующем этапе произведем сложение полученных ранее равенств:

a2 + b2 = c * HB + c * AH

Вынесем за скобки общий множитель во второй части равенства:

a2 + b2 = c * (HB + AH)

Теперь можно сократить Н в левой части равенства, в результате получим:

a2 + b2 = c * AB

В приведенных выше обозначениях указано, что АВ = с. Это позволяет
переписать равенство следующим образом:

a2 + b2 = c * c, или a2 + b2 = c2

Таким образом, теорема Пифагора доказана.

Длина катетов прямоугольного треугольника равна 5 см. Как вычислить длину
его гипотенузы?

Согласно теореме Пифагора, длина гипотенузы прямоугольного треугольника,
которая возведена в квадрат, равна сумме, полученной в результате сложения
квадратов длин его катетов. Из этого следует, что:

х² = 5^2 + 5^2

Извлечем квадрат из обеих частей равенства, в итоге получим:

x = √(5² + 5²)= √(25+25) = √50 = √25*2 = 5√2

Ответ: длина гипотенузы прямоугольного треугольника, катет которого равен
5 см, составляет 5√2, что равно примерно 7,07 см.

Применима ли теорема Пифагора к любому треугольнику?

Теорема Пифагора не может быть применима к треугольнику с тупыми или
острыми углами. Она выполняется только в случае прямоугольного
треугольника.

Для треугольника с углом 90º справедливо утверждение о том, что длина его
гипотенузы, возведенная во вторую степень, равна сумме длин его катетов,
взятых в квадрат.

Дан прямоугольный треугольник, длина гипотенузы которого равна 7 см, а
одного катета – 6 см. Как вычислить длину второго катета, используя теорему
Пифагора?

В теореме Пифагора говорится о том, что сумма длин катетов прямоугольного
треугольника, возведенных во вторую степень, равна квадрату длины его
гипотенузы. В случае с треугольником, некоторые параметры которого
приведены в задании, это утверждение выглядит следующим образом:

х² = 7²-6² = 49-36 = 13.

Для того чтобы найти значение х, нужно извлечь квадратный корень из числа
13:

х =√13.

Ответ: Длина второго катета прямоугольного треугольника равна корню
квадратному из 13.

Длина одного из стоящих рядом домов равна 24 м, высота второго из них
составляет 16 м. Как вычислить расстояние между крышами обоих домов, зная,
что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов?

Для решения поставленной задачи следует воспользоваться теоремой Пифагора,
которая говорит о том, что сумма длин катетов треугольника с прямым углом,
возведенных в квадрат, равна длине его гипотенузы, также возведенной во
вторую степень:

a² + b² = c².

Теорема Пифагора может быть применима в данном случае по причине того, что
образованная между двумя домами конструкция является прямоугольным
треугольником. Зная о том, что сумма квадратов катетов в прямоугольном
треугольнике равна длине его катета, возведенной в квадрат, можно
вычислить длину неизвестного катета:

24 м – 16 м = 8 м.

Длина одного катета треугольника равна 16 м, второго – 8 м. Зная это,
можно применить теорему Пифагора для вычисления длины гипотенузы:

(16*16) + (8*8) = 256 + 64 = 320 м.

Осталось только извлечь квадратный корень из 320, для того чтобы узнать
длину расстояния между крышами двух домов.

Ответ: Расстояние между крышами домов равно корню квадратному из 320.

Длина гипотенузы треугольника с прямым углом равна 13 см. Один из его
катетов равен 12 см. Как найти длину его второго катета по теореме Пифагора?

Обозначим длину неизвестного катета как х. Зная то, что по теореме
Пифагора длина гипотенузы прямоугольного треугольника, возведенная во
вторую степень, равна сумме длин его катетов, которые также возведены в
квадрат, можно выразить длину неизвестного катета следующим образом:

х² = 132 – 122 = 169 – 144 = 25

Теперь, для того чтобы узнать длину второго катета, необходимо извлечь
квадратный корень из числа 25:

х = √25 = 5

Ответ: длина второго катета прямоугольного треугольника равна 5 см.

Дан треугольник с прямым углом, к гипотенузе которого проведена медиана
длиной 6,5 м. Длина одного из катетов данного треугольника составляет 5 см.
Как вычислить длину второго катета треугольника по теореме Пифагора?

Известно, что длина медианы (m), которая проведена к гипотенузе
прямоугольного треугольника, равна ½ ее длины. Используя это, можно
высчитать длину гипотенузы прямоугольного треугольника:

с = 2*m = 2*6,5 = 13 см.

Высчитав длину гипотенузы и зная длину одного из катетов прямоугольного
треугольника, можно вычислить, чему равен его второй катет. Для этого
можно использовать теорему Пифагора, согласно которой:

a²+b²=c²

В нашем случае:

5²+b²=13²

Выражаем из записанного выше равенства длину неизвестного катета:

b²=13²-5²= 144

Из полученного числа нужно извлечь квадратный корень, для того чтобы
узнать длину второго катета прямоугольного треугольника:

b = √144 = 12 см.

Ответ: Длина второго катета прямоугольного треугольника равна 12 см.

Как можно вычислить треугольник, для которого по теореме Пифагора,
соблюдается равенство f2=a2+ b2?

Равенство, указанное в задании, применимо к треугольнику с прямым углом,
как гласит теорема Пифагора.

Каждая из сторон треугольника может быть обозначена прописной буквой,
которая соответствует строчной букве, обозначающей угол треугольника,
расположенный противоположно этой стороне. На основании этого можно
сделать вывод о том, что искомый треугольник является прямоугольным и
имеет гипотенузу f и катеты a и b:

∆АDF c ∠F= 90°

Ответ: имеется треугольник АDF с прямым углом F.

Существует ли теорема, которая обратна теореме Пифагора, и что она гласит?

Теорема, которая является обратной теореме Пифагора, существует. Согласно
этой теореме, треугольник считается прямоугольным в том случае, если длина
его большей стороны, возведенная в квадратную степень, равна сумме длин
двух других его сторон, которые также возведены в квадратную степень.

Имеется равнобедренный треугольник, длина двух сторон которого равна 48 см,
а третьей – 51 см. Как можно высчитать площадь данного треугольника по
теореме Пифагора?

Для начала следует провести высоту (h) к основанию равнобедренного
треугольника. Данная высота, проведенная к основанию, в случае с
равнобедренным треугольником является медианой.

Теперь можно высчитать длину высоты, используя теорему Пифагора. Она будет
равна:

h = √((48 см)² – (25,5 см)²) = 10,5√15 см.

Площадь (S) треугольника рассчитывается путем деления на число, полученное
в результате умножения длины высоты на длину основания треугольника:

S = ½*10,5√15 см*51 см = 267,75√15 см².

Ответ: Площадь треугольника равна 267,75√15 см².

Каким образом можно вычислить высоту равностороннего треугольника со
стороной а по теореме Пифагора?

В равностороннем треугольнике высота (h), проведенная к его основанию,
является также его биссектрисой и медианой. Она делит равносторонний
треугольник на две части, которые являются равными треугольниками с прямым
углом. Их гипотенуза равна а, а катеты – а/2. Для ответа на поставленный
вопрос следует применить теорему Пифагора:

h²=a²-(a/2)²=a²-(a²/4)=3a²/4

h=a√3/2.

Дан треугольник с прямым углом, длина одного из катетов которого вдвое
меньше длины его второго катета. Гипотенуза данного треугольника равна корню
квадратному из 15. Как по теореме Пифагора вычислить длину меньшего из
катетов треугольника?

Обозначим меньший из катетов как х. Тогда другой катет, длина которого в
два раза больше, будет обозначен как 2х. Если в случае с прямоугольным
треугольником, длина гипотенузы которого равна √15, применить теорему
Пифагора, то она будет выглядеть следующим образом:

(2х)²+(x)²=√15

После раскрытия скобок в уравнении получаем следующее равенство:

4х²+x²=15

Складываем слагаемые в первой части и получаем:

5x²=15

Сокращаем обе части уравнения на 5, и в итоге получается, что:

x²=3

Это значит, что:

x=√3

Ответ: Длина меньшего из катетов треугольника равна √3, а большего – 2√3.

Известно, что длина одного из катетов прямоугольного треугольника составляет
60 см, а длина его гипотенузы и второго катета в сумме дают 180 см. Можно ли
по теореме Пифагора высчитать длину гипотенузы данного треугольника?

Если обозначить длину неизвестного катета через х, то гипотенуза будет
равна 180-х. Используя введенные обозначения, запишем теорему Пифагора для
данного треугольника:

x²+60²=(180-x)² = x²+3600=32400-360x+x²

После сокращений получается следующее равенство:

360х=32400-3600=28800

Теперь можно найти значение х:

х=28800/360=80

Длина второго катета равна 80 см.

Зная, что катет в 80 см и неизвестная длина гипотенузы в сумме дают 180
см, можно вычислить длину гипотенузы:

180-80=100 см.

Ответ: Длина гипотенузы равна 100 см.

Дана прямоугольная трапеция ABCD. Ее углы А и В равны по 90°. Длины боковых
сторон данной трапеции составляют 9 см и 18 см. Диагональ АС составляет 15
см. Как можно вычислить длину основания трапеции по теореме Пифагора?

АВСD является прямоугольной трапецией, у которой AB=9 см и CD=18 см.
Диагональ АС данной трапеции составляет 15 см. При этом ВС и AD остаются
неизвестными величинами. Длину ВС можно вычислить по следующей формуле:

√15²-9²=√144=12 см.

Произведем перенос высоты:

СС1=АВ=9 см.

Тогда получаем, что:

C1D=√18²-9²=9√3

BC=AC1=12

AD=12+9√3 см.

Ответ: Длина основания AD прямоугольной трапеции равна 12+9√3 см.

Источник
Теорема Пифагора
Изображение
Названо в честь Пифагор
Описывающая закон или теорему формула c^{2}=a^{2}+b^{2}
Обозначение в формуле a, b и c
Элемент или утверждение описывает прямоугольный треугольник
Описывается по ссылке geogebra.org/m/ZF… (англ.)
Логотип Викисклада Медиафайлы на Викискладе

Схема, объясняющая доказательство теоремы Пифагора через равнодополняемость[⇨]

Теоре́ма Пифаго́ра — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника: сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.

Соотношение в том или ином виде предположительно было известно различным древним цивилизациям задолго до нашей эры; первое геометрическое доказательство приписывается Пифагору.
Утверждение появляется как Предложение 47 в «Началах» Евклида[⇨].

Также может быть выражена как геометрический факт о том, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. Верно и обратное утверждение[⇨]: треугольник, у которого сумма квадратов длин двух сторон равна квадрату длины третьей стороны, является прямоугольным.

Существует ряд обобщений данной теоремы[⇨] — для произвольных треугольников, для фигур в пространствах высших размерностей. В неевклидовых геометриях теорема не выполняется[⇨].

История[править | править код]

По мнению историка математики Морица Кантора, в Древнем Египте во времена царя Аменемхета I (около XXIII век до н. э.) было известно о прямоугольном треугольнике со сторонами 3, 4, 5 — его использовали гарпедонапты — «натягиватели верёвок»[1]. В древневавилонском тексте, относимом ко временам Хаммурапи (XX век до н. э.), приведено приближённое вычисление гипотенузы[2]. По мнению Ван-дер-Вардена, очень вероятно, что соотношение в общем виде было известно в Вавилоне уже около XVIII века до н. э.

В древнекитайской книге «Чжоу би суань цзин», относимой к периоду V—III веков до н. э., приводится треугольник со сторонами 3, 4 и 5, притом изображение можно трактовать как графическое обоснование соотношения теоремы[3]. В китайском сборнике задач «Математика в девяти книгах» (X—II веков до н. э.) применению теоремы посвящена отдельная книга.

Общепринято, что доказательство соотношения дано древнегреческим философом Пифагором (570—490 до н. э.). Имеется свидетельство Прокла (412—485 н. э.), что Пифагор использовал алгебраические методы, чтобы находить пифагоровы тройки[⇨][4], но при этом в течение пяти веков после смерти Пифагора прямых упоминаний о доказательстве его авторства не находится. Однако когда Плутарх и Цицерон пишут о теореме Пифагора, из содержания следует, будто авторство Пифагора общеизвестно и несомненно[5][6]. Существует предание, сообщённое Диогеном Лаэртским, согласно которому Пифагор якобы отпраздновал открытие своей теоремы гигантским пиром, заклав на радостях сотню быков[7].

Приблизительно в 400 году до н. э., согласно Проклу, Платон дал метод нахождения пифагоровых троек, сочетающий алгебру и геометрию. Около 300 года до н. э. в «Началах» Евклида появилось старейшее аксиоматическое доказательство теоремы Пифагора[8].

Формулировки[править | править код]

Сумма площадей квадратов, опирающихся на катеты a и b, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе c

Основная формулировка содержит алгебраические действия — в прямоугольном треугольнике, длины катетов которого равны a и b, а длина гипотенузы — c, выполнено соотношение a^{2}+b^{2}=c^{2}.


Возможна и эквивалентная геометрическая формулировка, прибегающая к понятию площади фигуры: в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.
В таком виде теорема сформулирована в «Началах» Евклида.

Для того чтобы треугольник являлся прямоугольным, необходимо и достаточно, чтобы сумма квадратов двух сторон треугольника была равна квадрату третьей стороны[9].

Пифагор, 572–500 г. до н. э.

Обратная теорема Пифагора — утверждение о прямоугольности всякого треугольника, длины сторон которого связаны соотношением a^{2}+b^{2}=c^{2}. Как следствие, для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой, что a^{2}+b^{2}=c^{2}, существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c. Предложение, обратное теореме Пифагора, сформулированное в условной форме: «Если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то угол, лежащий против этой стороны, является прямым». Это же предложение в категоричной форме: «Угол треугольника, лежащий против стороны, квадрат которой равен сумме квадратов двух других сторон, прямой». Именно данное корректное предложение, обратное теореме Пифагора, является также теоремой[10].

Доказательства[править | править код]

В научной литературе зафиксировано не менее 400 доказательств теоремы Пифагора[11], что объясняется как фундаментальным значением для геометрии, так и элементарностью результата. Основные направления доказательств: алгебраическое использование соотношений элементов треугольника (таков, например, популярный метод подобия[⇨]), метод площадей[⇨], существуют также различные экзотические доказательства (например, с помощью дифференциальных уравнений).

Через подобные треугольники[править | править код]

Podobnye treugolniki proof.png

Одним из наиболее популярных в учебной литературе доказательств алгебраической формулировки является доказательство с использованием техники подобия треугольников, при этом оно почти непосредственно выводится из аксиом и не задействует понятие площади фигуры[12].
В нём для треугольника triangle ABC с прямым углом при вершине C со сторонами a,b,c, противолежащими вершинам A,B,C соответственно, проводится высота {displaystyle CH}, при этом (согласно признаку подобия по равенству двух углов) возникают соотношения подобия: {displaystyle triangle ABCsim triangle ACH} и {displaystyle triangle ABCsim triangle CBH}, из чего непосредственно следуют соотношения

{displaystyle {frac {a}{c}}={frac {|HB|}{a}},quad {frac {b}{c}}={frac {|AH|}{b}}.}

При перемножении крайних членов пропорций выводятся равенства

{displaystyle a^{2}=ccdot |HB|,quad b^{2}=ccdot |AH|,}

покомпонентное сложение которых даёт требуемый результат:

{displaystyle a^{2}+b^{2}=ccdot {big (}|HB|+|AH|{big )}=c^{2}quad Longleftrightarrow quad a^{2}+b^{2}=c^{2}.}

Доказательства методом площадей[править | править код]

Большое число доказательств задействуют понятие площади.
Несмотря на видимую простоту многих из них, такие доказательства используют свойства площадей фигур, доказательства которых сложнее доказательства самой теоремы Пифагора.

Доказательство через равнодополняемость[править | править код]

Схема доказательства через равнодополняемость

Доказательство через равнодополняемость использует четыре копии прямоугольного треугольника с катетами a,b и гипотенузой c, расположенные таким образом, чтобы образовывать квадрат со стороной a+b и внутренний четырёхугольник со сторонами длиной c. Внутренний четырёхугольник в этой конфигурации является квадратом, так как сумма двух противоположных прямому острых углов — 90°, а развёрнутый угол — 180°. Площадь внешнего квадрата равна {displaystyle (a+b)^{2}}, он состоит из внутреннего квадрата площадью c^{2} и четырёх прямоугольных треугольников, каждый площадью {frac {ab}{2}}, в результате из соотношения {displaystyle (a+b)^{2}=4cdot {frac {ab}{2}}+c^{2}} при алгебраическом преобразовании следует утверждение теоремы.

Доказательство Евклида[править | править код]

Чертёж к доказательству Евклида. Основное направление доказательства — установление конгруэнтности {displaystyle triangle ACKcong triangle ABD}, площадь которых составляет половину площади прямоугольников {displaystyle AHJK} и {displaystyle ACED} соответственно

Классическое доказательство Евклида направлено на установление равенства площадей между прямоугольниками, образованными из рассечения квадрата над гипотенузой высотой из прямого угла с квадратами над катетами[13].

Конструкция, используемая для доказательства следующая: для прямоугольного треугольника triangle ABC с прямым углом C, квадратов над катетами {displaystyle ACED} и {displaystyle BCFG} и квадрата над гипотенузой {displaystyle ABIK} строится высота {displaystyle CH} и продолжающий её луч s, разбивающий квадрат над гипотенузой на два прямоугольника {displaystyle AHJK} и {displaystyle BHJI}. Доказательство нацелено на установление равенства площадей прямоугольника {displaystyle AHJK} с квадратом над катетом AC; равенство площадей второго прямоугольника, составляющего квадрат над гипотенузой, и прямоугольника над другим катетом устанавливается аналогичным образом.

Равенство площадей прямоугольника {displaystyle AHJK} и {displaystyle ACED} устанавливается через конгруэнтность треугольников {displaystyle triangle ACK} и {displaystyle triangle ABD}, площадь каждого из которых равна половине площади прямоугольников {displaystyle AHJK} и {displaystyle ACED} соответственно в связи со следующим свойством: площадь треугольника равна половине площади прямоугольника, если у фигур есть общая сторона, а высота треугольника к общей стороне является другой стороной прямоугольника. Конгруэнтность треугольников следует из равенства двух сторон (стороны квадратов) и углу между ними (составленного из прямого угла и угла при A).

Таким образом, доказательством устанавливается, что площадь квадрата над гипотенузой, составленного из прямоугольников {displaystyle AHJK} и {displaystyle BHJI}, равна сумме площадей квадратов над катетами.

Доказательство Леонардо да Винчи[править | править код]

К методу площадей относится также доказательство, приписываемое Леонардо да Винчи. По данным немецкого математика Франца Леммермейера (нем. Franz Lemmermeyer), в действительности это доказательство было придумано Иоганном Тобиасом Майером[14]. Пусть дан прямоугольный треугольник triangle ABC с прямым углом C и квадраты {displaystyle ACED}, {displaystyle BCFG} и ABHJ (см. рисунок). В этом доказательстве на стороне {displaystyle HJ} последнего во внешнюю сторону строится треугольник, конгруэнтный triangle ABC, притом отражённый как относительно гипотенузы, так и относительно высоты к ней (то есть {displaystyle JI=BC} и {displaystyle HI=AC}). Прямая CI разбивает квадрат, построенный на гипотенузе на две равные части, поскольку треугольники triangle ABC и {displaystyle triangle JHI} равны по построению. Доказательство устанавливает конгруэнтность четырёхугольников CAJI и DABG, площадь каждого из которых, оказывается, с одной стороны, равной сумме половин площадей квадратов на катетах и площади исходного треугольника, с другой стороны — половине площади квадрата на гипотенузе плюс площадь исходного треугольника. Итого, половина суммы площадей квадратов над катетами равна половине площади квадрата над гипотенузой, что равносильно геометрической формулировке теоремы Пифагора.

Через площади подобных треугольников[править | править код]

Следующее доказательство основано на том, что площади подобных треугольников относятся как квадраты соответственных сторон[15].

Altitude of a right triangle.svg

Пусть ABC есть прямоугольный треугольник, AD — перпендикуляр, опущенный на гипотенузу из вершины прямого угла.
Треугольники ABC, {displaystyle DBA} подобны, так как имеют по прямому углу и ещё общий угол B.
Значит

{displaystyle {frac {{text{площадь}}~DBA}{{text{площадь}}~ABC}}={frac {AB^{2}}{BC^{2}}}.}

Точно также получаем, что

{displaystyle {frac {{text{площадь}}~DAC}{{text{площадь}}~ABC}}={frac {AC^{2}}{BC^{2}}}.}

Поскольку треугольники {displaystyle DBA} и {displaystyle DAC} вместе составляют triangle ABC, сумма площадей
{displaystyle triangle DBA} и {displaystyle triangle DAC} равна площади triangle ABC.
Отсюда

{displaystyle {frac {AB^{2}+AC^{2}}{BC^{2}}}=1}

или
{displaystyle AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}.}

Доказательство методом бесконечно малых[править | править код]

Доказательство методом бесконечно малых

Существует несколько доказательств, прибегающих к технике дифференциальных уравнений. В частности, Харди приписывается доказательство, использующее бесконечно малые приращения катетов a и b и гипотенузы c. Например, приращение катета {displaystyle da} при постоянном катете b приводит к приращению гипотенузы {displaystyle dc}, так что

{displaystyle {frac {da}{dc}}={frac {c}{a}}.}

Методом разделения переменных из них выводится дифференциальное уравнение {displaystyle c,dc=a,da},
интегрирование которого даёт соотношение {displaystyle c^{2}=a^{2}+mathrm {const} }. Применение начальных условий {displaystyle a=0, c=b} определяет константу как b^{2}, что в результате даёт утверждение теоремы.

Квадратичная зависимость в окончательной формуле появляется благодаря линейной пропорциональности между сторонами треугольника и приращениями, тогда как сумма связана с независимыми вкладами от приращения разных катетов.

Вариации и обобщения[править | править код]

Подобные геометрические фигуры на трёх сторонах[править | править код]

Обобщение для подобных треугольников, сумма площадей зелёных фигур равна площади синей

Теорема Пифагора с использованием подобных прямоугольных треугольников

Важное геометрическое обобщение теоремы Пифагора дал Евклид в «Началах», перейдя от площадей квадратов на сторонах к площадям произвольных подобных геометрических фигур[16]: сумма площадей таких фигур, построенных на катетах, будет равна площади подобной им фигуры, построенной на гипотенузе.

Главная идея этого обобщения заключается в том, что площадь подобной геометрической фигуры пропорциональна квадрату любого своего линейного размера и в частности квадрату длины любой стороны. Следовательно, для подобных фигур с площадями A, B и C, построенных на катетах с длинами a и b и гипотенузе c соответственно, имеет место соотношение:

{displaystyle {frac {A}{a^{2}}}={frac {B}{b^{2}}}={frac {C}{c^{2}}},Rightarrow ,A+B={frac {a^{2}}{c^{2}}}C+{frac {b^{2}}{c^{2}}}C}.

Так как по теореме Пифагора a^{2}+b^{2}=c^{2}, то выполнено {displaystyle A+B=C}.

Кроме того, если возможно доказать без привлечения теоремы Пифагора, что для площадей трёх подобных геометрических фигур на сторонах прямоугольного треугольника выполнено соотношение {displaystyle A+B=C}, то с использованием обратного хода доказательства обобщения Евклида можно вывести доказательство теоремы Пифагора. Например, если на гипотенузе построить конгруэнтный начальному прямоугольный треугольник площадью C, а на катетах — два подобных ему прямоугольных треугольника с площадями A и B, то оказывается, что треугольники на катетах образуются в результате деления начального треугольника его высотой, то есть сумма двух меньших площадей треугольников равна площади третьего, таким образом {displaystyle A+B=C} и, применяя соотношение для подобных фигур, выводится теорема Пифагора.

Теорема косинусов[править | править код]

Теорема Пифагора — это частный случай более общей теоремы косинусов, которая связывает длины сторон в произвольном треугольнике[17]:

{displaystyle a^{2}+b^{2}-2abcos {theta }=c^{2}},

где theta  — угол между сторонами a и b. Если угол равен 90°, то {displaystyle cos theta =0}, и формула упрощается до обычной теоремы Пифагора.

Произвольный треугольник[править | править код]

Обобщение, установленное Сабитом ибн Куррой. Нижний рисунок демонстрирует подобие треугольника {displaystyle triangle DBA} треугольнику triangle ABC

Существует обобщение теоремы Пифагора на произвольный треугольник, оперирующее исключительно соотношением длин сторон. Считается, что оно впервые было установлено сабийским астрономом Сабитом ибн Куррой[18]. В нём для произвольного треугольника со сторонами a,b,c в него вписывается равнобедренный треугольник с основанием на стороне c, вершиной, совпадающей с вершиной исходного треугольника, противолежащей стороне c и углами при основании, равными углу theta , противолежащему стороне c. В результате образуются два треугольника, подобных исходному: первый — со сторонами a, дальней от неё боковой стороной вписанного равнобедренного треугольника, и r — части стороны c; второй — симметрично к нему от стороны b со стороной s — соответствующей частью стороны c. В результате оказывается выполнено соотношение[19][20]

{displaystyle a^{2}+b^{2}=c(r+s),}

вырождающееся в теорему Пифагора при {displaystyle theta =pi /2}. Соотношение является следствием подобия образованных треугольников:

{displaystyle {frac {c}{a}}={frac {a}{r}},quad {frac {c}{b}}={frac {b}{s}}quad Rightarrow quad cr+cs=a^{2}+b^{2}.}

Теорема Паппа о площадях[править | править код]

Теорема Паппа о площадях, позволяющая для произвольного треугольника и произвольных параллелограммов на двух его сторонах построить параллелограмм на третьей стороне таким образом, чтобы его площадь была равна сумме площадей двух заданных параллелограммов, также может быть рассмотрена как обобщение теоремы Пифагора[21]: в случае, когда исходный треугольник — прямоугольный, а на катетах в качестве параллелограммов заданы квадраты, квадрат, построенный на гипотенузе оказывается удовлетворяющим условиям теоремы Паппа о площадях.

Многомерные обобщения[править | править код]

Обобщением теоремы Пифагора для трёхмерного евклидова пространства является теорема де Гуа: если в одной вершине тетраэдра сходятся три прямых угла, то квадрат площади грани, лежащей напротив этой вершины, равен сумме квадратов площадей других трёх граней. Этот вывод может быть обобщён и как «n-мерная теорема Пифагора» для евклидовых пространств высших размерностей[22] — для граней ортогонального n-мерного симплекса с площадями {displaystyle S_{1},dots ,S_{n}} ортогональных граней и противолежащей им грани площадью S_{0} выполнено соотношение:

{displaystyle S_{0}^{2}=sum _{i=1}^{n}S_{i}^{2}}.

Ещё одно многомерное обобщение возникает из задачи нахождения квадрата длины диагонали прямоугольного параллелепипеда: для её вычисления необходимо дважды применить теорему Пифагора, в результате она составит сумму квадратов длин трёх смежных сторон параллелепипеда. В общем случае, длина диагонали n-мерного прямоугольного параллелепипеда со смежными сторонами с длинами a_{1},dots ,a_{n} составляет:

{displaystyle d^{2}=sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}},

как и в трёхмерном случае, результат является следствием последовательного применения теоремы Пифагора к прямоугольным треугольникам в перпендикулярных плоскостях.

Обобщением теоремы Пифагора для бесконечномерного пространства является равенство Парсеваля[23].

Неевклидова геометрия[править | править код]

Теорема Пифагора выводится из аксиом евклидовой геометрии и недействительна для неевклидовой геометрии[24] — выполнение теоремы Пифагора равносильно постулату Евклида о параллельности[25][26].

В неевклидовой геометрии соотношение между сторонами прямоугольного треугольника обязательно будет в форме, отличной от теоремы Пифагора. Например, в сферической геометрии все три стороны прямоугольного треугольника, которые ограничивают собой октант единичной сферы, имеют длину pi/2, что противоречит теореме Пифагора.

При этом теорема Пифагора справедлива в гиперболической и эллиптической геометрии, если требование о прямоугольности треугольника заменить условием, что сумма двух углов треугольника должна равняться третьему[27].

Сферическая геометрия[править | править код]

Для любого прямоугольного треугольника на сфере радиусом R (например, если угол gamma в треугольнике прямой) со сторонами a,b,c соотношение между сторонами имеет вид[28]

{displaystyle cos {frac {c}{R}}=cos {frac {a}{R}}cdot cos {frac {b}{R}}.}

Это равенство может быть выведено как особый случай сферической теоремы косинусов, которая справедлива для всех сферических треугольников:

{displaystyle cos {frac {c}{R}}=cos {frac {a}{R}}cdot cos {frac {b}{R}}+sin {frac {a}{R}}cdot sin {frac {b}{R}}cdot cos gamma .}

Применяя ряд Тейлора в функции косинуса ({displaystyle cos xapprox 1-{dfrac {x^{2}}{2}}}) можно показать, что если радиус R стремится к бесконечности, а аргументы {displaystyle {dfrac {a}{R}}}, {displaystyle {dfrac {b}{R}}} и {displaystyle {dfrac {c}{R}}} стремятся к нулю, то сферическое соотношение между сторонами в прямоугольном треугольнике приближается к теореме Пифагора.

Геометрия Лобачевского[править | править код]

В геометрии Лобачевского для прямоугольного треугольника со сторонами a,b,c со стороной c, противолежащей прямому углу, соотношение между сторонами будет следующим[29]:

{displaystyle operatorname {ch} c=operatorname {ch} acdot operatorname {ch} b},

где {displaystyle operatorname {ch} } — гиперболический косинус[30]. Эта формула является частным случаем гиперболической теоремы косинусов, которая справедлива для всех треугольников[31]:

{displaystyle operatorname {ch} c=operatorname {ch} acdot operatorname {ch} b-operatorname {sh} acdot operatorname {sh} bcdot cos gamma },

где gamma  — угол, вершина которого противоположна стороне c.

Используя ряд Тейлора для гиперболического косинуса ({displaystyle operatorname {ch} xapprox 1+{dfrac {x^{2}}{2}}}) можно показать, что если гиперболический треугольник уменьшается (то есть, когда a, b и c стремятся к нулю), то гиперболические соотношения в прямоугольном треугольнике приближаются к соотношению классической теоремы Пифагора.

Применение[править | править код]

Расстояние в двумерных прямоугольных системах[править | править код]

Важнейшее применение теоремы Пифагора — определение расстояния между двумя точками в прямоугольной системе координат: расстояние s между точками с координатами (a, b) и {displaystyle (c,d)} равно

{displaystyle s={sqrt {(a-c)^{2}+(b-d)^{2}}}.}

Для комплексных чисел теорема Пифагора даёт естественную формулу для нахождения модуля комплексного числа — для {displaystyle z=x+yi} он равен длине радиус-вектора на комплексной плоскости к точке (x, y):

{displaystyle |z|={sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}

Расстояние между комплексными числами {displaystyle z_{1}=x_{1}+y_{1}i} и {displaystyle z_{2}=x_{2}+y_{2}i} также представляется в форме теоремы Пифагора[32]:

{displaystyle |z_{1}-z_{2}|={sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}.}

Расстояние между двумя точками в плоскости Лобачевского[править | править код]

ds^{2}=dx^{2}+operatorname {ch} ^{2}left({frac {y}{R}}right)dy^{2}.

Здесь R — радиус кривизны плоскости Лобачевского, ch — гиперболический косинус.

Евклидова метрика[править | править код]

Евклидова метрика — функция расстояния в евклидовых пространствах, определяемая по теореме Пифагора, непосредственным её применением в двумерном случае, и последовательным в многомерном; для точек n-мерного пространства {displaystyle p=(p_{1},dots ,p_{n})} и {displaystyle q=(q_{1},dots ,q_{n})} расстояние {displaystyle d(p,q)} между ними определяется следующим образом:

{displaystyle d(p,q)={sqrt {sum _{i=1}^{n}{(p_{i}-q_{i})^{2}}}}}.

Теория чисел[править | править код]

Пифагорова тройка — набор из трёх натуральных чисел (x,;y,;z), которые могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника, то есть натуральные числа, удовлетворяющие диофантову уравнению x^{2}+y^{2}=z^{2}. Пифагоровы тройки играют важную роль в теории чисел, задача их эффективного нахождения породила широкий пласт работ, начиная с древнейших времён и вплоть до современности. Формулировка Великой теоремы Ферма аналогична задаче нахождения пифагоровых троек для степени более 2.

Единственная пифагорова тройка, состоящая из трёх последовательных чисел — это 3, 4 и 5: {displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}}[33].

В массовой культуре[править | править код]

С одним из изображений доказательства теоремы связано популярное в русском школьном фольклоре выражение «Пифагоровы штаны на все стороны равны», получившее особенную известность благодаря комической опере 1915 года «Иванов Павел»[34][35].

Примечания[править | править код]

  1. ↑ Кантор ссылается на папирус 6619 Берлинского музея
  2. ↑ History topic: Pythagoras’s theorem in Babylonian mathematics. Дата обращения: 1 июня 2009. Архивировано 6 июня 2011 года.
  3. ↑ Наука, техническая и военная мысль, здравоохранение и образование // Духовная культура Китая: энциклопедия в 5 томах / Титаренко М. Л. — М.: Восточная литература РАН, 2009. — Т. 5. — С. 939—941. — 1055 с. — ISBN 9785020184299. Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine
  4. ↑ Euclid, 1956, p. 351.
  5. ↑ Heath, 1921, vol I, p. 144.
  6. ↑ Kurt Von Fritz. The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum (англ.) // The Annals of Mathematics, Second Series : journal. — Annals of Mathematics, 1945. — April (vol. 46, no. 2). — P. 242—264. — JSTOR 1969021.: «Принадлежит ли эта формула лично перу Пифагора…, но мы можем уверенно считать, что она принадлежит древнейшему периоду пифагорейской математики».
  7. ↑ Георг Гегель. Лекции по истории философии. — Litres, 2016-09-08. — С. 282. — 1762 с. — ISBN 9785457981690.
  8. ↑ Asger Aaboe. Episodes from the early history of mathematics (англ.). — Mathematical Association of America, 1997. — P. 51. — ISBN 0883856131. Архивная копия от 9 августа 2016 на Wayback Machine. — «…it is not until Euclid that we find a logical sequence of general theorems with proper proofs.».
  9. ↑ Шахмейстер А. Х. Треугольники и параллелограммы // Геометрические задачи на экзаменах. Часть 1. Планиметрия : книга / А. Х. Шахмейстер. — СПб. : «Петроглиф» : «Виктория плюс» ; М. : Издательство МЦНМО, 2015. — С. 102. — 392 с. : илл. — (Математика. Элективные курсы). — 1500 экз. — ББК 22.141я71.6. — УДК 373.167.1:512(G). — ISBN 978-5-98712-083-5. — ISBN 978-5-91673-155-2. — ISBN 978-5-4439-0347-7.
  10. ↑ Тимофеева И. Л. Глава 3. Математические определения и теоремы и их строение (п. 3.3. Обратная теорема) // Вводный курс математики: учебное пособие для студентов учреждений высш. пед. проф. образования / И. Л. Тимофеева, И. Е. Сергеева, Е. В. Лукьянова; под ред. В. Л. Матросова. — М.: Издательский центр «Академия», 2011. — С. 134—136. — 240 с. — ISBN 978-5-7695-7960-8, ББК 22.1я73, УДК 51 (075.8).
  11. ↑ Elisha Scott Loomis. Pythagorean Proposition
  12. ↑ См. например Геометрия по Киселёву Архивная копия от 1 марта 2021 на Wayback Machine, § 196.
  13. ↑ См. например Геометрия по Киселёву Архивная копия от 1 марта 2021 на Wayback Machine, § 259.
  14. ↑ Franz Lemmermeyer. Leonardo da Vinci’s Proof of the Pythagorean Theorem (англ.). The College Mathematics Journal 47(5):361 (ноябрь 2016). Дата обращения: 22 октября 2021. Архивировано 7 июня 2022 года.
  15. ↑ См. например Геометрия по Киселёву Архивная копия от 1 марта 2021 на Wayback Machine, § 263.
  16. ↑ Euclid’s Elements: book VI, proposition VI 31: «In right-angled triangles the figure on the side subtending the right angle is equal to the similar and similarly described figures on the sides containing the right angle».
  17. ↑ Lawrence S. Leff. Cited work. — Barron’s Educational Series, 2005. — С. 326. — ISBN 0764128922.
  18. ↑ Howard Whitley Eves. § 4.8: …generalization of Pythagorean theorem // Great moments in mathematics (before 1650) (англ.). — Mathematical Association of America, 1983. — P. 41. — ISBN 0883853108. Архивная копия от 9 августа 2016 на Wayback Machine
  19. ↑ Aydin Sayili. Thâbit ibn Qurra’s Generalization of the Pythagorean Theorem (англ.) // Isis : journal. — 1960. — March (vol. 51, no. 1). — P. 35—37. — doi:10.1086/348837. — JSTOR 227603.
  20. ↑ Judith D. Sally, Paul Sally. Exercise 2.10 (II) // Cited work. — 2007. — С. 62. — ISBN 0821844032. Архивная копия от 9 августа 2016 на Wayback Machine
  21. ↑ George Jennings. Figure 1.32: The generalized Pythagorean theorem // Modern geometry with applications: with 150 figures (англ.). — 3rd. — Springer  (англ.) (рус., 1997. — P. 23. — ISBN 038794222X.
  22. ↑
    Rajendra Bhatia. Matrix analysis. — Springer  (англ.) (рус., 1997. — С. 21. — ISBN 0387948465.
  23. ↑ Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Физматлит, 1961. — C. 194
  24. ↑ Stephen W. Hawking. Cited work. — 2005. — С. 4. — ISBN 0762419229. Архивная копия от 17 августа 2016 на Wayback Machine
  25. ↑ Eric W. Weisstein. CRC concise encyclopedia of mathematics. — 2nd. — 2003. — С. 2147. — ISBN 1584883472. Архивная копия от 17 августа 2016 на Wayback Machine. — «The parallel postulate is equivalent to the Equidistance postulate, Playfair axiom, Proclus axiom, the Triangle postulate and the Pythagorean theorem.».
  26. ↑ Alexander R. Pruss. The principle of sufficient reason: a reassessment (англ.). — Cambridge University Press, 2006. — P. 11. — ISBN 052185959X. Архивная копия от 9 августа 2016 на Wayback Machine. — «We could include… the parallel postulate and derive the Pythagorean theorem. Or we could instead make the Pythagorean theorem among the other axioms and derive the parallel postulate.».
  27. ↑ Victor Pambuccian. Maria Teresa Calapso’s Hyperbolic Pythagorean Theorem (англ.) // The Mathematical Intelligencer : journal. — 2010. — December (vol. 32). — P. 2. — doi:10.1007/s00283-010-9169-0.
  28. ↑ Barrett O’Neill. Exercise 4 // Elementary differential geometry. — 2nd. — Academic Press, 2006. — С. 441. — ISBN 0120887355.
  29. ↑ Saul Stahl. Theorem 8.3 // The Poincaré half-plane: a gateway to modern geometry (англ.). — Jones & Bartlett Learning  (англ.) (рус., 1993. — P. 122. — ISBN 086720298X.
  30. ↑ Микиша А. М., Орлов В. Б. Толковый математический словарь. Основные термины. — М. Русский язык, 1989 г.
  31. ↑ Jane Gilman. Hyperbolic triangles // Two-generator discrete subgroups of PSL (2, R) (англ.). — American Mathematical Society Bookstore, 1995. — ISBN 0821803611.
  32. ↑ Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon. Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica (англ.). — 3rd. — CRC Press, 2006. — P. 194. — ISBN 1584884487.
  33. ↑ Siegel E. This One Equation, 10² + 11² + 12² = 13² + 14², Takes Pythagoras To A Whole New Level (англ.). Forbes (6 марта 2020). Дата обращения: 28 апреля 2020. Архивировано 4 апреля 2020 года.
  34. ↑ Легендарная опера: текст и ноты. LiveJournal (4 августа 2016). Дата обращения: 9 января 2020. Архивировано 9 июня 2020 года.
  35. ↑ Словарь современных цитат. Litres, 20 мар. 2019 г. С. 9.

Литература[править | править код]

  • Ван-дер-Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. — М., 1959.
  • Глейзер Г. И. История математики в школе. — М., 1982.
  • Еленьский Щ. По следам Пифагора. — М.: Детгиз, 1961. — 486 с. : ил., карт.
  • Клауди Альсина. Секта чисел. Теорема Пифагора. — М.: Де Агостини, 2014. — 152 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 5). — ISBN 978-5-9774-0633-8.
  • Литцман В. Теорема Пифагора. — М., 1960.
    • Сайт о теореме Пифагора с большим числом доказательств, материал взят из книги В. Литцмана, большое число чертежей представлено в виде отдельных графических файлов.
  • Скопец З. А. Геометрические миниатюры. — М., 1990
  • Euclid. The Elements (3 vols.) / Translated by Johan Ludvig Heiberg with an introduction and commentary by Thomas L. Heath. — Reprint of 1908. — Dover, 1956. — Vol. 1 (Books I and II). — ISBN 0-486-60088-2.
  • Heath S. A History of Greek Mathematics (2 Vols.). — Edition of Dover Publications, Inc. (1981). — Clarendon Press, Oxford, 1921. — ISBN 0-486-24073-8.

Ссылки[править | править код]

  • История теоремы Пифагора
  • Глейзер Г., академик РАО, Москва. О теореме Пифагора и способах её доказательства
  • Ролик серии «Математические этюды», посвящённый теореме Пифагора (для компьютера, iPhone, iPad)
  • Теорема Пифагора и пифагоровы тройки. Архивная копия от 3 марта 2016 на Wayback Machine Глава из книги Д. В. Аносова «Взгляд на математику и нечто из неё»
  • Теорема Пифагора на WolframMathWorld (англ.)
  • Cut-The-Knot, секция, посвящённая теореме Пифагора, около 70 доказательств и обширная дополнительная информация (англ.)
Источник

Добавить комментарий