Как найти катет по теореме синусов

Как найти стороны прямоугольного треугольника

Онлайн калькулятор

Чтобы вычислить длины сторон прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

  • для гипотенузы (с):
    • длины катетов a и b
    • длину катета (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
    • длину катета (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)
  • для катета:
    • длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов
    • длину гипотенузы (с) и прилежащий к искомому катету (a или b) острый угол (β или α, соответственно)
    • длину гипотенузы (с) и противолежащий к искомому катету (a или b) острый угол (α или β, соответственно)
    • длину одного из катетов (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
    • длину одного из катетов (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)

Введите их в соответствующие поля и получите результат.

Найти гипотенузу (c)

Найти гипотенузу по двум катетам

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны оба катета (стороны a и b)?

Формула

следовательно: c = √ a² + b²

Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 3 см, а катет b = 4 см:

c = √ 3² + 4² = √ 9 + 16 = √ 25 = 5 см

Найти гипотенузу по катету и прилежащему к нему острому углу

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и прилежащий к нему угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а прилежащий к нему ∠β = 60°:

c = 2 / cos(60) = 2 / 0.5 = 4 см

Найти гипотенузу по катету и противолежащему к нему острому углу

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и противолежащий к нему угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а противолежащий к нему ∠α = 30°:

c = 2 / sin(30) = 2 / 0.5 = 4 см

Найти гипотенузу по двум углам

Найти гипотенузу прямоугольного треугольника только по двум острым углам невозможно.

Найти катет

Найти катет по гипотенузе и катету

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и второй катет?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а катет b = 4 см:

a = √ 5² – 4² = √ 25 – 16 = √ 9 = 3 см

Найти катет по гипотенузе и прилежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и прилежащий к искомому катету острый угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а ∠α = 60°:

b = 5 ⋅ cos(60) = 5 ⋅ 0.5 = 2.5 см

Найти катет по гипотенузе и противолежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и противолежащий к искомому катету острый угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 4 см, а ∠α = 30°:

a = 4 ⋅ sin(30) = 4 ⋅ 0.5 = 2 см

Найти катет по второму катету и прилежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и прилежащий к нему острый угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а ∠β = 45°:

b = 2 ⋅ tg(45) = 2 ⋅ 1 = 2 см

Найти катет по второму катету и противолежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и противолежащий к нему острый угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если катет b = 3 см, а ∠β = 35°:

Все формулы для треугольника

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

a , b , c – стороны произвольного треугольника

α , β , γ – противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

a , b – катеты

c – гипотенуза

α , β – острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Формулы для катета, ( b ):

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b – сторона (основание)

a – равные стороны

α – углы при основании

β – угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Формулы длины равных сторон , (a):

4. Найти длину высоты треугольника

Высота– перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется – ортоцентр.

H – высота треугольника

a – сторона, основание

b, c – стороны

β , γ – углы при основании

p – полупериметр, p=(a+b+c)/2

R – радиус описанной окружности

S – площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

Треугольник. Расчет сторон прямоугольного треугольника через тригонометрические функции.

Проанализируем прямоугольный треугольник ABC в котором обозначим катеты как а, b и гипотенузу как с соответственно.

Вполне логично сделать вывод, будут верны следующие равенства:

Значит катет прямоугольного треугольника допускается представить как произведение гипотенузы и синуса угла, противолежащего этому катету, либо и косинуса угла, прилежащего к нему.

На основе этих соотношений так же можно определить гипотенузу прямоугольного треугольника:

Иначе говоря, гипотенуза будет частным от деления катета либо на синус противолежащего к нему угла, либо на косинус прилежащего к катету угла.

Значит, катет прямоугольного треугольника допускается представить как произведением другого катета на тангенс угла, противолежащего первому катету, либо на котангенс угла, прилежащего к первому катету.

[spoiler title=”источники:”]

http://www-formula.ru/2011-10-09-11-08-41

http://www.calc.ru/Treugolnik-Raschet-Storon-Pryamougolnogo-Treugolnika-Cherez-.html

[/spoiler]

Это смотря какие данные нам даны для решения.

Например есть теорема Пифагора:

по ней, если катеты a и b, а гипотенуза c, то:

a²+b²=c²

Отсюда можно найти катет, зная длину гипотенузы и второго катета:

a²=c²-b²

a=√(c²-b²)

Также находим и b:

b=√(c²-a²)

Ещё можно найти катет через тригонометрические функции, то есть зная угол через синусы, косинусы, тангенсы, котангенсы и т.д.

Если представить треугольник как вписанный в круг, то зная угол и размер гипотенузы можно найти катеты.

В рассматриваемом треугольнике, вписанном в круг, гипотенуза будет радиусом круга и приравнивается к 1 (к единице). А катеты – это синус и косинус, они меньше единицы.

Допустим зная угол α можно вычислить sin(α) и cos(α).

Синус соответствует вертикальному катету, а косинус горизонтальному.

Теперь, чтобы найти длины этих катетов, нужно перевести их из коэффициентов, которые меньше единицы, в реальные длины. Для этого их нужно домножить на длину гипотенузы:

Если:

Y – вертикальный катет, а X – горизонтальный катет (см. картинку) a Z – гипотенуза, то:

Y=Z*sin(α)

X=Z*cos(α)

Можно найти катет и зная лишь длину второго катета, а также угол.

Допустим знаем Y и угол α.

Тогда запросто находим гипотенузу, выражая её из предыдущей формулы:

Z=sin(α)/Y

А затем уже находим второй катет: X=Z*cos(α)

Если же наоборот знаем только X катет (горизонтальный, относительно приведённого рисунка), то находим гипотенузу так:

Z=X/cos(α)

А затем уже находим катет Y: Y=Z*sin(α)

Синус, косинус и гипотенуза в треугольнике как катеты

Калькулятор длин сторон треугольника онлайн умеет вычислять длину сторон 14 способами.
Калькулятор может:

  1. Найти все стороны треугольника.
  2. Найти все углы треугольника.
  3. Найти площадь (S) и периметр (P) треугольника.
  4. Найти радиус (r) вписанной окружности.
  5. Найти радиус (R) описанной окружности.
  6. Найти высоту (h) треугольника.

Просто введите любые имеюшиеся данные и, если их достаточно, то калькулятор сам подберет нужные формулы для вычислений и покажет подробный расчет с выводом формул.
 

Сторона треугольника (или длина сторон) может быть найдена различными методами. 
В большинстве случаев достаточно воспользоваться одной из ниже приведенных формул. Однако не редки случаи когда для нахождения искомой стороны понадобиться обратиться к дополнительным материалам или решения в два действия.

Как найти длину стороны треугольника?

Найти длину сторон треугольника очень просто на нашем онлайн калькуляторе. Так же длина может быть найдена самостоятельно по формулам. Выбор нужной формулы зависит от того какие данные известны.

Для прямоугольного треугольника:

1) Найти катет через гипотенузу и другой катет



где a и b – катеты, с – гипотенуза.

2) Найти гипотенузу по двум катетам



где a и b – катеты, с – гипотенуза.

3) Найти катет по гипотенузе и противолежащему углу



где a и b – катеты, с – гипотенуза,α° и β° – углы напротив катетов.

4) Найти гипотенузу через катет и противолежащий угол



где a и b – катеты, с – гипотенуза,α° и β°- углы напротив катетов.

Для равнобедренного треугольника:

1) Найти основание через боковые стороны и угол между ними



где a – искомое основание, b – известная боковая сторона,α° – угол между боковыми сторонами.

2) Найти основание через боковые стороны и угол при основании



где a – искомое основание,b – известная боковая сторона,β° – угол при осноавнии.

3) Найти боковые стороны по углу между ними



где b – искомая боковая сторона, a – основание,α° – угол между боковыми сторонами.

4) Найти боковые стороны по углу при основании



где b – искомая боковая сторона, a – основание,β° – угол при осноавнии.

​​​​​Для равностороннего треугольника:

1) Найти сторону через площадь



где a – искомая сторона, S – площадь треугольника.

2) Найти сторону через высоту



где a – искомая сторона,h – высота треугольника.

3) Найти сторону через радиус вписанной окружности



где a – искомая сторона,r – радиус вписанной окружности.

4) Найти сторону через радиус описанной окружности



где a – искомая сторона,R – радиус описанной окружности.

​​​​​Для произвольного треугольника:

1) Найти сторону через две известные стороны и один угол (теорема косинусов)



где a – искомая сторона, b и с – известные стороны, α° – угол напротив неизвестной стороны.

2) Найти сторону через одну известную сторону и два угла (теорема синусов)



где a – искомая сторона, b – известная сторона, α° и β° известные углы.

Скачать все формулы в формате Word

Как найти катет прямоугольного треугольника

Как найти катет прямоугольного треугольника

В жизни нам часто придется сталкиваться с математическими задачами: в школе, в университете, а затем помогая своему ребенку с выполнением домашнего задания. Люди определенных профессий будут сталкиваться с математикой ежедневно. Поэтому полезно запоминать или вспоминать математические правила. В этой статье мы разберем одно из них: нахождение катета прямоугольного треугольника.

1

Что такое прямоугольный треугольник

Для начала вспомним, что такое прямоугольный треугольник. Прямоугольный треугольник – это геометрическая фигура из трех отрезков, которые соединяют точки, не лежащие на одной прямой, и один из углов этой фигуры равен 90 градусам. Стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, которая лежит напротив прямого угла – гипотенузой.

2

Находим катет прямоугольного треугольника

Существует несколько способов, позволяющих узнать длину катета. Хотелось бы рассмотреть бы их подробнее.

Теорема Пифагора, чтобы найти катет прямоугольного треугольника

Если нам известны гипотенуза и катет, то мы можем найти длину неизвестного катета по теореме Пифагора. Звучит она так: “Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов”. Формула: c²=a²+b², где c – гипотенуза, a и b – катеты. Преобразовываем формулу и получаем: a²=c²-b².

Пример. Гипотенуза равна 5 см, а катет – 3 см. Преобразовываем формулу: c²=a²+b² → a²=c²-b². Далее решаем: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (см).

Тригонометрические соотношения, чтобы найти катет прямоугольного треугольника

Также можно найти неизвестный катет, если известны любая другая сторона и любой острый угол прямоугольного треугольника. Есть четыре варианта нахождения катета при помощи тригонометрических функций: по синусу, косинусу, тангенсу, котангенсу. Для решения задач нам поможет таблица, которая находится чуть ниже. Рассмотрим эти варианты.

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи синуса

Синус угла (sin) – это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Формула: sin=a/c, где а – катет, лежащий против данного угла, а с – гипотенуза. Далее преобразуем формулу и получаем: a=sin*c.

Пример. Гипотенуза равна 10 см, угол А равен 30 градусов. По таблице вычисляем синус угла А, он равен 1/2. Затем по преобразованной формуле решаем: a=sin∠А*c; a=1/2*10; a=5 (см).

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи косинуса

Косинус угла (cos) – это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Формула: cos=b/c, где b – катет, прилежащий к данному углу, а с – гипотенуза. Преобразуем формулу  и получим: b=cos*c.

Пример. Угол А равен 60 градусов, гипотенуза равна 10 см. По таблице вычисляем косинус угла А, он равен 1/2. Далее решаем: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (см).

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи тангенса

Тангенс угла (tg) – это отношение противолежащего катета к прилежащему. Формула: tg=a/b, где а – противолежащий к углу катет, а b – прилежащий. Преобразуем формулу и получаем: a=tg*b.

Пример. Угол А равен 45 градусов, гипотенуза равна 10 см. По таблице вычисляем тангенс угла А, он равен Решаем: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (см).

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи котангенса

Котангенс угла (ctg) – это отношение прилежащего катета к противолежащему. Формула: ctg=b/a, где b – прилежащий к углу катет,  а – противолежащий. Иначе говоря, котангенс – это “перевернутый тангенс”. Получаем: b=ctg*a.

Пример. Угол А равен 30 градусов, противолежащий катет равен 5 см. По таблице тангенс угла А равен √3. Вычисляем: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (см).

Итак, теперь вы знаете, как находить катет в прямоугольном треугольнике. Как видите, это не так уж и сложно, главное – запомнить формулы.

Содержание:

Теорема синусов, теорема косинусов:

Теорема синусов

Вы уже знаете, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона. Пусть Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу окружности, описан­ной около треугольника, т. е.
Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

Пусть дан треугольник АВС, ВС = Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — радиус его описанной окружности. Угол а может быть острым, тупым или прямым. Рассмотрим эти случаи отдельно.

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

1) Угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения острый (рис. 152, а). Проведя диаметр BD и отрезок DC, получим прямоугольный треугольник BCD, в котором Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения как вписанный угол, опирающийся на диаметр. Заметим, что Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу ВС. Из прямоугольного треугольника BCD находим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решеният. е. Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

2) Угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения тупой (рис. 152, б). Проведем диаметр BD и отрезок DC. В четырехугольнике ABDC по свойству вписанного четырехугольника Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Из прямоугольного треугольника Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения как вписанный угол, опирающийся на диаметр) Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Поскольку Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

3) Для Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения справедливость равенства Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения докажите самостоятельно, В силу доказанного Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема доказана.

Теорема синусов дает возможность решать широкий круг задач.
Так, пропорция Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения позволяет решить две следующие задачи:

  • зная две стороны треугольника и угол, противолежащий одной из них, найти синус угла, противолежащего другой стороне;
  • зная два угла треугольника и сторону, противолежащую одному из этих углов, найти сторону, противолежащую другому углу.

С помощью формулы Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияможно решить еще три задачи (рис. 153): 

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

  • зная сторону треугольника и противолежащий ей угол, найти радиус окружности, описанной около треугольника;
  • зная угол треугольника и радиус описанной окружности, найти сторону треугольника, противолежащую данному углу;
  • зная сторону треугольника и радиус его описанной окружности, найти синус угла, противолежащего данной стороне.

Повторение

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

В остроугольном треугольнике известны стороны Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Найти два других угла Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения округлив их значения до 1°, и третью сторону треугольника, округлив ее длину до 0,1.

Решение:

По теореме синусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения При помощи калькулятора (таблиц). находим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Тогда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения По теореме синусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
 

Замечание. Если бы по условию треугольник был тупоугольным с тупым углом Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то, зная Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения вначале мы нашли бы острый угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения А за­тем, используя формулу Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения получили бы, что Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
 

Пример:

Доказать справедливость формулы площади треугольника Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения где Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — его стороны, R — радиус описанной окружности.

Доказательство:

Воспользуемся известной формулой площади треугольника: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения По теореме синусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Тогда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Что и требовалось доказать.

Замечание. Выведенная формула позволяет найти радиус описанной окружности треугольника Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
 

Пример:

Найти радиус R окружности, описанной около равнобедренного треугольника АВС с основанием АС = 10 и боковой стороной ВС =13 (рис. 154).

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Способ 1. Из формулы Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения следует, что Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Найдем Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения. Для этого в треугольнике АВС проведем высоту ВК, которая будет и медианой, откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Из Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияпо теореме Пифагора Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Тогда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Способ 2. Используем формулу Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения из которой Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТак как Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решениято Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Ответ: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
 

Замечание*. Напомним, что в главе II мы находили радиус R описанной окружности равнобедренного треугольника, проводя серединные перпендикуляры к его сторонам и используя подобие полученных прямоугольных треугольников. Также мы могли использовать формулу Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения где Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — боковая сторона, Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — высота, проведенная к основанию Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения 

Заменив Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения в формуле Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения получим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — формулу радиуса описанной окружности для произвольного треугольника. Итак, мы имеем четыре формулы для нахождения радиуса R описанной окружности треугольника:

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема косинусов

Теорема косинусов позволяет выразить длину любой стороны треугольника через длины двух других его сторон и косинус угла между ними (например, длину стороны Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения треугольника АВС (рис. 165) через длины сторон Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения). Теорему косинусов можно назвать самой «работающей» в геометрии. Она имеет многочисленные следствия, которые часто используются при решении задач.

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сум­ме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними, т. е. 

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

Докажем теорему для случая, когда в треугольнике АВС угол А и угол С острые (рис. 166).
Проведем высоту ВН к стороне АС. Из Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения находим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Из Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения по теореме Пифагора Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

По основному тригонометрическому тождеству Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Тогда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Справедливость теоремы для случаев, когда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения или Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения тупой или прямой, докажите самостоятельно. Теорема доказана.
Для сторон Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения теорема косинусов запишется так:

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Замечание. Если Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения, то по теореме Пифагора Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Так как Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Таким образом, теорема Пифагора — частный случай теоремы косинусов.
С помощью теоремы косинусов можно решить следующие задачи:

• зная две стороны и угол между ними, найти третью сторону треугольника;

• зная две стороны и угол, противолежащий одной из этих сторон, найти третью сторону (рис. 167) (в этом случае возможны два решения).

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим следствия из теоремы косинусов, которые дают возможность решить еще целый ряд задач.

Следствие:

Теорема косинусов позволяет, зная три стороны треугольника, най­ти его углы (косинусы углов). Из равенства Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения следует формула

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Для углов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияполучим:

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

В треугольнике АВС стороны АВ = 8, ВС = 5, АС = 7. Найдем ZB (рис. 168).

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

По теореме косинусов

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Используя записанную выше формулу, можно сра­зу получить: 

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Следствие:

С помощью теоремы косинусов можно по трем сторонам определить вид треугольника: остроугольный, прямоугольный или тупоугольный.
 

Так, из формулы Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения с учетом того, что Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения следует:

  1. если Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения острый;
  2. если Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения тупой;
  3. если Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения прямой.

При определении вида треугольника достаточно найти знак косинуса угла, лежащего против большей стороны, поскольку только больший угол треугольника может быть прямым или тупым.
 

Пример:

Выясним, каким является треугольник со сторонами a = 2, 6 = 3 и с = 4. Для этого найдем знак косинуса угла у, лежащего против большей стороны с. Так как Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения тупой и данный треугольник тупоугольный.

Сформулируем правило определения вида треугольника (относительно углов). Треугольник является:

  1. остроугольным, если квадрат его большей стороны меньше суммы квадратов двух других его сторон: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
  2. тупоугольным, если квадрат его большей стороны больше суммы квадратов двух других его сторон:Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
  3. прямоугольным, если квадрат его большей стороны равен сумме квадратов двух других его сторон: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Следствие:

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадра­тов всех его сторон: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

Пусть в параллелограмме ABCD Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения— острый, откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — тупой (рис. 169). По теореме косинусов из Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения                                     (1)
Из Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Поскольку cos Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения                                   (2)

Сложив почленно равенство (1) и равенство (2), получим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения что и требовалось доказать.

Данная формула дает возможность:

  • • зная две соседние стороны и одну из диагоналей параллелограмма, найти другую диагональ;
  • • зная две диагонали и одну из сторон параллелограмма, найти соседнюю с ней сторону.

Следствие:

Медиану Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения треугольника со сторонами а, b и с можно найти по фор­муле Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

 Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

Рассмотрим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — медиана треугольника (рис. 170). Продлим медиану AM за точку М на ее длину: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Проведем отрезки BD и DC. Так как у четырехугольника ABDC диагонали AD и ВС точкой пересечения делятся пополам, то он — параллелограмм. По свойству диагоналей параллелограмма Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Отсюда следует, что Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Утверждение доказано.

Аналогично: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Формула медианы позволяет:

  • зная три стороны треугольника, найти любую из его медиан;
  • зная две стороны и медиану, проведенную к третьей стороне, найти третью сторону;
  • зная три медианы, найти любую из сторон треугольника.

Пример:

а) Дан треугольник АВС, а = 5, 5 = 3, Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Найти сторону с. б) Дан треугольник АВС, а = 7, с = 8, а = 60°. Найти сторону Ь.

Решение:

а) По теореме косинусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения б) Пусть Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения По теореме косинусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то есть Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения или Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения так как для наборов длин отрезков 7, 3, 8 и 7, 5, 8 выполняется неравенство треугольника.
Ответ: а) 7; б) 3 или 5.

Пример:

Две стороны треугольника равны 6 и 10, его площадь — Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Найти третью сторону треугольника при условии, что противолежащий ей угол — тупой.

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Пусть в Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решениястороны АВ = 6, ВС = 10 и Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (рис. 171).
Поскольку Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Так как Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и по условию Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — тупой, то Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения. Для нахождения стороны АС применим теорему косинусов:Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: 14.

Пример:

Найти площадь треугольника, две стороны которого равны 6 и 8, а медиана, проведенная к третьей стороне, равна 5.

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Обозначим стороны треугольника Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Пусть Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — медиана (рис. 172).
По формуле медианы Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения По обратной теореме Пифагора данный треугольник со сторонами 6, 8 и 10 — прямоугольный, его площадь равна половине произведения катетов:Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Ответ: 24.

Формула Герона

Мы знаем, как найти площадь треугольника по основанию и высоте, проведенной к этому основанию: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения а также по двум сторонам и углу между ними: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Теперь мы выведем формулу нахождения площади треугольника по трем сторонам.

Теорема (формула Герона).

Площадь треугольника со сторонами Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения можно найти по формуле Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения где Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения— полупериметр треугольника.

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (рис. 183). Из основ­ного тригонометрического тождества Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения следует, что Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Для Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения синус положительный. Поэтому Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияИз теоремы косинусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Тогда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Так какТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема доказана.

Решение треугольников

Решением треугольника называется нахождение его неизвестных сторон и углов (иногда других элементов) по данным, определяющим треугольник.

Такая задача часто встречается на практике, например в геодезии, астрономии, строительстве, навигации.

Рассмотрим алгоритмы решения трех задач.
 

Пример №1 (решение треугольника по двум сторонам и углу между ними). 

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Дано: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения(рис. 184).

Найти : Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
 

Решение:

Рис. 184
1) По теореме косинусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

2) По следствию из теоремы косинусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

3) Угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения находим при помощи калькулятора или таблиц.

4) Угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Замечание. Нахождение угла Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения по теореме синусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решениятребует выяснения того, острый или тупой угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
 

Пример №2 (решение треугольника по стороне и двум  прилежащим к ней углам).

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Дано: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения(рис. 185).

Найти: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

1) Угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

2) По теореме синусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения(sin Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и sin Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения находим при помощи калькулятора или таблиц).

3) Сторону с можно найти с помощью теоремы косинусов или теоре­мы синусов: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияили Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения(cos Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и sin Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решениянаходим при помощи калькулятора или таблиц).

Пример №3 (решение треугольника по трем сторонам).

Дано: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (рис. 186).

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Найти: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияи радиус R описанной окружности.

Решение:

1) По следствию из теоремы косинусов

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

2) Зная Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения находим при помощи калькулятора или таблиц.

3) Аналогично находим угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

 4) Угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

 5) Радиус R описанной окружности треугольника можно найти по фор­муле Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения где Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
 

Замечание*. Вторым способом нахождения R будет нахождение косинуса любого угла при помощи теоремы косинусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения затем нахождение по косинусу угла его синуса Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и, наконец, использование теоремы синусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решениядля нахождения R.

Пример №4

Найти площадь S и радиус R описанной окружности треугольника со сторонами 9, 12 и 15.

Решение:

Способ 1. Воспользуемся формулой Герона. Обозначим а = 9, b = 12, с = 15. Получим: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Тогда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Радиус R описанной окруж­ности найдем из формулы Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Имеем: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Ответ: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Способ 2. Так как Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияпоскольку Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то треугольник — прямоугольный по обратной теореме Пифагора. Его площадь равна половине произведения катетов: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения а радиус описанной окружности равен половине гипотенузы: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
 

Пример №5

Найти площадь трапеции с основаниями, равными 5 и 14, и боковыми сторонами, равными 10 и 17.

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Пусть в трапеции ABCD основания AD = 14 и ВС = 5, боковые стороны АВ = 10 и Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Проведем Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (рис. 187). Так как АВСК — параллелограмм, то СК = АВ = 10, АК = ВС = 5, откуда KD = AD – АК = 9. Найдем высоту СН треугольника KCD, которая равна высоте трапеции. Площадь треугольника KCD найдем по формуле Герона, обозначив его стороны а = 10, b = 17, с = 9. Получим:

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Так как Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияСН = 8. Площадь трапеции Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: 76.
 

Примеры решения задач с использованием теоремы синусов и теоремы косинусов

Пример:

Внутри угла А, равного 60°, взята точка М, которая находится на расстоянии 1 от одной стороны угла и на расстоянии 2 от другой стороны. Найти расстояние от точки М до вершины угла А (рис. 189, а).

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Пусть Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Найдем
длину отрезка AM. Сумма углов четырехугольника АВМС равна 360°.
Поэтому Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Так как в четырехугольнике АВМС Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения, то около него можно описать окружность по признаку вписанного четырехугольника (рис. 189, б). Поскольку прямой вписанный угол опирается на диаметр, то отрезок AM — диаметр этой окружности, т. е. Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения где R — радиус. Из Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения по теореме косинусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Из Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения по теореме синусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Замечание. Вторым способом решения будет продление отрезка ВМ до пересечения с лучом АС и использование свойств полученных прямоугольных треуголь­ников. Рассмотрите этот способ самостоятельно.

Пример №6

В прямоугольном треугольнике АВС известно: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения высота СН = 2 (рис. 190). Найти гипотенузу АВ.

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Построим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения симметричный Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения относительно прямой АВ (см. рис. 190).
Поскольку Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то вокруг четырехугольника Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения можно описать окруж­ность, где АВ — диаметр этой окружности (прямой вписанный угол опирается на диаметр). Треугольник Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения вписан в эту окруж­ность, Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения По теореме синусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Ответ: 8.

Пример №7

Дан прямоугольный треугольник АВС с катетами ВС = а и АС = Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения На гипотенузе АВ как на стороне построен квадрат ADFB (рис. 191). Найти расстояние от центра О этого квадрата до вершины С прямого угла, т. е. отрезок СО.

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Способ 1. Так как Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (диагона­ли квадрата ADFB взаимно перпендикулярны), то Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения поэтому четырехугольник АОВС является вписанным в окружность, ее диа­метр Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Тогда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Пусть СО = х. По теореме косинусов из Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения находим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

из Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения находим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

По свойству вписанного четырехугольника Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Поскольку Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияоткуда находим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТогда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения.

 Способ 2. Используем теорему Птолемея, которая гласит: «Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон». Для нашей задачи получаем (см. рис. 191):

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Способ 3. Достроим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения до квадрата CMNK, как показано на рисунке 192. Можно показать, что центр квадрата CMNK совпадет с центром квадрата ADFB, т. е. с точкой О (точки В и D симметричны относительно центров обоих квадратов). Тогда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Ответ: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
 

Пример №8

Точка О — центр окружности, вписанной в треуголь­ник АВС, Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Найти стороны треугольника (см. задачу 232*).

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Пусть Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и
Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — радиус вписанной окружности (рис. 193).
Тогда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Применим формулу Герона:

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

С другой стороны, Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Из уравнения Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения находим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения = 2. Откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (см), Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (см), Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (см).
Ответ: 15 см; 20 см; 7 см.

Теорема Стюарта

Следующая теорема позволяет найти длину отрезка, соединяющего вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.
 

Теорема Стюарта. «Если а, b и с — стороны треугольника и отре­зок d делит сторону с на отрезки, равные х и у (рис. 194), то справедлива формула

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

По теореме косинусов из Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияи Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (см. рис. 194) следует:

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения                                     (1)

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения              (2)

Умножим обе части равенства (1) на у, равенства (2) — на Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Сложим почленно полученные равенства:
Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Из последнего равенства выразим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема доказана.

Следствие:

Биссектрису треугольника можно найти по формуле (рис. 195)

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

По свойству биссектрисы треугольника Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Разделив сторону Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияс в отношении Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения получим: 

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения По теореме Стюарта Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Пример №9

Доказать, что если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера—Лемуса).

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

Пусть дан треугольник АВС, Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — биссектрисы, проведенные к сторонам ВС = а и АС = b соответственно, и Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (рис. 196). Нужно доказать, что Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Выразим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и через Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и приравняем полученные выражения. Биссектриса делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Поэтому Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

По формуле биссектрисы треугольника Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Из условия Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения следует: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Перенеся слагаемые в одну сторону равенства и разложив на множители (проделайте это самостоятельно), получим: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (второй множитель при положительных Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения больше нуля). Утверждение доказано.

Теорема Птолемея о вписанном четырехугольнике

Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон, т. е.Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (рис. 197).

Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство:

Из Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения по теореме косинусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Так как Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (по свойству вписанного четырехугольника) и Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияоткуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
Аналогично из Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения получим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТогда  Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Теорема доказана.

Запомните:

  1. Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам про­тиволежащих углов. Отношение стороны треугольника к синусу проти­волежащего угла равно удвоенному радиусу его описанной окружности:Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
  2. Радиус описанной окружности треугольника можно найти, используя формулы: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
  3. Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме ква­дратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
  4. Пусть Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — стороны треугольника и с — большая сторона. Если Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения, то треугольник тупоугольный, если Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то треугольник остроугольный, если Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения, то треугольник прямоугольный.
  5. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
  6. Формула Герона: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
  7. Формула медианы: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
  • Параллельность прямых и плоскостей
  • Перпендикулярность прямой и плоскости
  • Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости
  • Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве
  • Углы и расстояния в пространстве
  • Подобие треугольников
  • Решение прямоугольных треугольников
  • Параллелограмм

Добавить комментарий