Как найти катет в треугольнике через синус

Как найти катет в треугольнике через синус

Как найти стороны прямоугольного треугольника

Онлайн калькулятор

Чтобы вычислить длины сторон прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

  • для гипотенузы (с):
    • длины катетов a и b
    • длину катета (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
    • длину катета (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)
  • для катета:
    • длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов
    • длину гипотенузы (с) и прилежащий к искомому катету (a или b) острый угол (β или α, соответственно)
    • длину гипотенузы (с) и противолежащий к искомому катету (a или b) острый угол (α или β, соответственно)
    • длину одного из катетов (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
    • длину одного из катетов (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)

Введите их в соответствующие поля и получите результат.

Найти гипотенузу (c)

Найти гипотенузу по двум катетам

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны оба катета (стороны a и b)?

Формула

следовательно: c = √ a² + b²

Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 3 см, а катет b = 4 см:

c = √ 3² + 4² = √ 9 + 16 = √ 25 = 5 см

Найти гипотенузу по катету и прилежащему к нему острому углу

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и прилежащий к нему угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а прилежащий к нему ∠β = 60°:

c = 2 / cos(60) = 2 / 0.5 = 4 см

Найти гипотенузу по катету и противолежащему к нему острому углу

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и противолежащий к нему угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а противолежащий к нему ∠α = 30°:

c = 2 / sin(30) = 2 / 0.5 = 4 см

Найти гипотенузу по двум углам

Найти гипотенузу прямоугольного треугольника только по двум острым углам невозможно.

Найти катет

Найти катет по гипотенузе и катету

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и второй катет?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а катет b = 4 см:

a = √ 5² – 4² = √ 25 – 16 = √ 9 = 3 см

Найти катет по гипотенузе и прилежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и прилежащий к искомому катету острый угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а ∠α = 60°:

b = 5 ⋅ cos(60) = 5 ⋅ 0.5 = 2.5 см

Найти катет по гипотенузе и противолежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и противолежащий к искомому катету острый угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 4 см, а ∠α = 30°:

a = 4 ⋅ sin(30) = 4 ⋅ 0.5 = 2 см

Найти катет по второму катету и прилежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и прилежащий к нему острый угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а ∠β = 45°:

b = 2 ⋅ tg(45) = 2 ⋅ 1 = 2 см

Найти катет по второму катету и противолежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и противолежащий к нему острый угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если катет b = 3 см, а ∠β = 35°:

Все формулы для треугольника

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

a , b , c – стороны произвольного треугольника

α , β , γ – противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

a , b – катеты

c – гипотенуза

α , β – острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Формулы для катета, ( b ):

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b – сторона (основание)

a – равные стороны

α – углы при основании

β – угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Формулы длины равных сторон , (a):

4. Найти длину высоты треугольника

Высота– перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется – ортоцентр.

H – высота треугольника

a – сторона, основание

b, c – стороны

β , γ – углы при основании

p – полупериметр, p=(a+b+c)/2

R – радиус описанной окружности

S – площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

Треугольник. Расчет сторон прямоугольного треугольника через тригонометрические функции.

Проанализируем прямоугольный треугольник ABC в котором обозначим катеты как а, b и гипотенузу как с соответственно.

Вполне логично сделать вывод, будут верны следующие равенства:

Значит катет прямоугольного треугольника допускается представить как произведение гипотенузы и синуса угла, противолежащего этому катету, либо и косинуса угла, прилежащего к нему.

На основе этих соотношений так же можно определить гипотенузу прямоугольного треугольника:

Иначе говоря, гипотенуза будет частным от деления катета либо на синус противолежащего к нему угла, либо на косинус прилежащего к катету угла.

Значит, катет прямоугольного треугольника допускается представить как произведением другого катета на тангенс угла, противолежащего первому катету, либо на котангенс угла, прилежащего к первому катету.

[spoiler title=”источники:”]

http://www-formula.ru/2011-10-09-11-08-41

http://www.calc.ru/Treugolnik-Raschet-Storon-Pryamougolnogo-Treugolnika-Cherez-.html

[/spoiler]

Источник

Как найти катет прямоугольного треугольника

Как найти катет прямоугольного треугольника

В жизни нам часто придется сталкиваться с математическими задачами: в школе, в университете, а затем помогая своему ребенку с выполнением домашнего задания. Люди определенных профессий будут сталкиваться с математикой ежедневно. Поэтому полезно запоминать или вспоминать математические правила. В этой статье мы разберем одно из них: нахождение катета прямоугольного треугольника.

1

Что такое прямоугольный треугольник

Для начала вспомним, что такое прямоугольный треугольник. Прямоугольный треугольник – это геометрическая фигура из трех отрезков, которые соединяют точки, не лежащие на одной прямой, и один из углов этой фигуры равен 90 градусам. Стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, которая лежит напротив прямого угла – гипотенузой.

2

Находим катет прямоугольного треугольника

Существует несколько способов, позволяющих узнать длину катета. Хотелось бы рассмотреть бы их подробнее.

Теорема Пифагора, чтобы найти катет прямоугольного треугольника

Если нам известны гипотенуза и катет, то мы можем найти длину неизвестного катета по теореме Пифагора. Звучит она так: “Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов”. Формула: c²=a²+b², где c – гипотенуза, a и b – катеты. Преобразовываем формулу и получаем: a²=c²-b².

Пример. Гипотенуза равна 5 см, а катет – 3 см. Преобразовываем формулу: c²=a²+b² → a²=c²-b². Далее решаем: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (см).

Тригонометрические соотношения, чтобы найти катет прямоугольного треугольника

Также можно найти неизвестный катет, если известны любая другая сторона и любой острый угол прямоугольного треугольника. Есть четыре варианта нахождения катета при помощи тригонометрических функций: по синусу, косинусу, тангенсу, котангенсу. Для решения задач нам поможет таблица, которая находится чуть ниже. Рассмотрим эти варианты.

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи синуса

Синус угла (sin) – это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Формула: sin=a/c, где а – катет, лежащий против данного угла, а с – гипотенуза. Далее преобразуем формулу и получаем: a=sin*c.

Пример. Гипотенуза равна 10 см, угол А равен 30 градусов. По таблице вычисляем синус угла А, он равен 1/2. Затем по преобразованной формуле решаем: a=sin∠А*c; a=1/2*10; a=5 (см).

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи косинуса

Косинус угла (cos) – это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Формула: cos=b/c, где b – катет, прилежащий к данному углу, а с – гипотенуза. Преобразуем формулу  и получим: b=cos*c.

Пример. Угол А равен 60 градусов, гипотенуза равна 10 см. По таблице вычисляем косинус угла А, он равен 1/2. Далее решаем: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (см).

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи тангенса

Тангенс угла (tg) – это отношение противолежащего катета к прилежащему. Формула: tg=a/b, где а – противолежащий к углу катет, а b – прилежащий. Преобразуем формулу и получаем: a=tg*b.

Пример. Угол А равен 45 градусов, гипотенуза равна 10 см. По таблице вычисляем тангенс угла А, он равен Решаем: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (см).

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи котангенса

Котангенс угла (ctg) – это отношение прилежащего катета к противолежащему. Формула: ctg=b/a, где b – прилежащий к углу катет,  а – противолежащий. Иначе говоря, котангенс – это “перевернутый тангенс”. Получаем: b=ctg*a.

Пример. Угол А равен 30 градусов, противолежащий катет равен 5 см. По таблице тангенс угла А равен √3. Вычисляем: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (см).

Итак, теперь вы знаете, как находить катет в прямоугольном треугольнике. Как видите, это не так уж и сложно, главное – запомнить формулы.

Источник

Калькулятор длин сторон треугольника онлайн умеет вычислять длину сторон 14 способами.
Калькулятор может:

  1. Найти все стороны треугольника.
  2. Найти все углы треугольника.
  3. Найти площадь (S) и периметр (P) треугольника.
  4. Найти радиус (r) вписанной окружности.
  5. Найти радиус (R) описанной окружности.
  6. Найти высоту (h) треугольника.

Просто введите любые имеюшиеся данные и, если их достаточно, то калькулятор сам подберет нужные формулы для вычислений и покажет подробный расчет с выводом формул.
 

Сторона треугольника (или длина сторон) может быть найдена различными методами. 
В большинстве случаев достаточно воспользоваться одной из ниже приведенных формул. Однако не редки случаи когда для нахождения искомой стороны понадобиться обратиться к дополнительным материалам или решения в два действия.

Как найти длину стороны треугольника?

Найти длину сторон треугольника очень просто на нашем онлайн калькуляторе. Так же длина может быть найдена самостоятельно по формулам. Выбор нужной формулы зависит от того какие данные известны.

Для прямоугольного треугольника:

1) Найти катет через гипотенузу и другой катет



где a и b – катеты, с – гипотенуза.

2) Найти гипотенузу по двум катетам



где a и b – катеты, с – гипотенуза.

3) Найти катет по гипотенузе и противолежащему углу



где a и b – катеты, с – гипотенуза,α° и β° – углы напротив катетов.

4) Найти гипотенузу через катет и противолежащий угол



где a и b – катеты, с – гипотенуза,α° и β°- углы напротив катетов.

Для равнобедренного треугольника:

1) Найти основание через боковые стороны и угол между ними



где a – искомое основание, b – известная боковая сторона,α° – угол между боковыми сторонами.

2) Найти основание через боковые стороны и угол при основании



где a – искомое основание,b – известная боковая сторона,β° – угол при осноавнии.

3) Найти боковые стороны по углу между ними



где b – искомая боковая сторона, a – основание,α° – угол между боковыми сторонами.

4) Найти боковые стороны по углу при основании



где b – искомая боковая сторона, a – основание,β° – угол при осноавнии.

​​​​​Для равностороннего треугольника:

1) Найти сторону через площадь



где a – искомая сторона, S – площадь треугольника.

2) Найти сторону через высоту



где a – искомая сторона,h – высота треугольника.

3) Найти сторону через радиус вписанной окружности



где a – искомая сторона,r – радиус вписанной окружности.

4) Найти сторону через радиус описанной окружности



где a – искомая сторона,R – радиус описанной окружности.

​​​​​Для произвольного треугольника:

1) Найти сторону через две известные стороны и один угол (теорема косинусов)



где a – искомая сторона, b и с – известные стороны, α° – угол напротив неизвестной стороны.

2) Найти сторону через одну известную сторону и два угла (теорема синусов)



где a – искомая сторона, b – известная сторона, α° и β° известные углы.

Скачать все формулы в формате Word

Источник

Это смотря какие данные нам даны для решения.

Например есть теорема Пифагора:

по ней, если катеты a и b, а гипотенуза c, то:

a²+b²=c²

Отсюда можно найти катет, зная длину гипотенузы и второго катета:

a²=c²-b²

a=√(c²-b²)

Также находим и b:

b=√(c²-a²)

Ещё можно найти катет через тригонометрические функции, то есть зная угол через синусы, косинусы, тангенсы, котангенсы и т.д.

Если представить треугольник как вписанный в круг, то зная угол и размер гипотенузы можно найти катеты.

В рассматриваемом треугольнике, вписанном в круг, гипотенуза будет радиусом круга и приравнивается к 1 (к единице). А катеты – это синус и косинус, они меньше единицы.

Допустим зная угол α можно вычислить sin(α) и cos(α).

Синус соответствует вертикальному катету, а косинус горизонтальному.

Теперь, чтобы найти длины этих катетов, нужно перевести их из коэффициентов, которые меньше единицы, в реальные длины. Для этого их нужно домножить на длину гипотенузы:

Если:

Y – вертикальный катет, а X – горизонтальный катет (см. картинку) a Z – гипотенуза, то:

Y=Z*sin(α)

X=Z*cos(α)

Можно найти катет и зная лишь длину второго катета, а также угол.

Допустим знаем Y и угол α.

Тогда запросто находим гипотенузу, выражая её из предыдущей формулы:

Z=sin(α)/Y

А затем уже находим второй катет: X=Z*cos(α)

Если же наоборот знаем только X катет (горизонтальный, относительно приведённого рисунка), то находим гипотенузу так:

Z=X/cos(α)

А затем уже находим катет Y: Y=Z*sin(α)

Синус, косинус и гипотенуза в треугольнике как катеты

Источник

Теоре́ма си́нусов — теорема, устанавливающая зависимость между длинами сторон треугольника и величиной противолежащих им углов.
Существуют два варианта теоремы; обычная теорема синусов:

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

{frac {a}{sin alpha }}={frac {b}{sin beta }}={frac {c}{sin gamma }}

и расширенная теорема синусов:

Доказательства[править | править код]

Доказательство обычной теоремы синусов[править | править код]

Воспользуемся только определением высоты h_b треугольника, опущенной на сторону b, и синуса для двух углов:

h_b=a sin gamma= c sin alpha . Следовательно, frac{a}{sinalpha} = frac{c}{singamma}, что и требовалось доказать. Повторив те же рассуждения для двух других сторон треугольника, получаем окончательный вариант обычной теоремы синусов. ∎

Доказательство расширенной теоремы синусов[править | править код]

Доказательство через формулы нахождения площади треугольника

Triangle with notations 2.svg

Возьмем две формулы для нахождения площади треугольника {displaystyle S={frac {abc}{4R}}} и {displaystyle S={frac {1}{2}}absin gamma .}

{displaystyle {begin{cases}{frac {abc}{4R}}={frac {1}{2}}absin gamma \{frac {abc}{4R}}={frac {1}{2}}acsin beta \{frac {abc}{4R}}={frac {1}{2}}bcsin alpha end{cases}}Leftrightarrow {begin{cases}{frac {c}{2R}}=sin gamma \{frac {b}{2R}}=sin beta \{frac {a}{2R}}=sin alpha end{cases}}Leftrightarrow {begin{cases}2R={frac {c}{sin gamma }}\2R={frac {b}{sin beta }}\2R={frac {a}{sin alpha }}end{cases}}Leftrightarrow 2R={frac {a}{sin alpha }}={frac {b}{sin beta }}={frac {c}{sin gamma }}.} ∎

Вариации и обобщения[править | править код]

В треугольнике против большего угла лежит бо́льшая сторона, против большей стороны лежит больший угол.

В симплексе

{displaystyle V_{n}={frac {n-1}{n}}cdot {frac {{V_{n-1}^{i}}{V_{n-1}^{j}}}{V_{n-2}^{i,j}}}cdot sin {A_{i,j}},}

где {displaystyle A_{i,j}} — угол между гранями {displaystyle V_{n-1}^{i}} и {displaystyle V_{n-1}^{j}}; {displaystyle V_{n-2}^{i,j}} — общая грань {displaystyle V_{n-1}^{i}} и {displaystyle V_{n-1}^{j}}; V_{n} — объём симплекса.

История[править | править код]

  • В первой главе Альмагеста (около 140 года н. э.) теорема синусов используется, но явно не формулируется[1].
  • Древнейшее из дошедших до нас доказательств теоремы синусов на плоскости описано в книге Насир ад-Дин Ат-Туси «Трактат о полном четырёхстороннике» написанной в XIII веке[2].
  • Теорема синусов для сферического треугольника была доказана математиками средневекового Востока ещё в X веке[3]. В труде Ал-Джайяни XI века «Книга о неизвестных дугах сферы» приводилось общее доказательство теоремы синусов на сфере[4].

Вариации и обобщения[править | править код]

  • Теорема косинусов
  • Теорема котангенсов
  • Теорема о проекциях
  • Теорема Пифагора
  • Теорема тангенсов
  • Тригонометрические тождества
  • Тригонометрические функции
  • Формулы Мольвейде

Примечания[править | править код]

  1. ↑ Florian Cajori. A History of Mathematics (англ.). — 5th edition. — 1991. — P. 47.
  2. ↑ Berggren, J. Lennart. Mathematics in Medieval Islam // The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook (англ.). — Princeton University Press, 2007. — P. 518. — ISBN 9780691114859.
  3. ↑ Sesiano just lists al-Wafa as a contributor. Sesiano, Jacques (2000). «Islamic mathematics», pp. 137. — Page 157, in Selin, Helaine & D’Ambrosio, Ubiratan (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics, Springer, ISBN 1402002602
  4. ↑ Abu Abd Allah Muhammad ibn Muadh Al-Jayyani. Дата обращения: 24 августа 2011. Архивировано 29 мая 2016 года.
Источник

Добавить комментарий