Катет – гипотенуза
Калькулятор нахождения стороны прямоугольного треугольника
Треугольник – это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками соединяющихся тремя точками, у которой все углы внутренние.
Катет – это прилежащая прямому углу сторона треугольника.
Гипотенуза – это сторона треугольника противолежащая прямому углу. Гипотенуза является самой длинной стороной треугольника.
Теорема Пифагора
Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов
Расчет катета треугольника
Катет треугольника – это одна из двух сторон прямоугольного треугольника, образующая между собой прямой угол.
Формула расчета катета:
a = √(c 2 – b 2 ), где
a – катет;
b – катет;
c – гипотенуза.
Быстро выполнить эту математическую операцию можно с помощью нашей онлайн программы. Для этого необходимо в соответствующее поле ввести исходное значение и нажать кнопку.
На этой странице представлен самый простой онлайн калькулятор расчета катета прямоугольного треугольника, если известен его другой катет и гипотенуза. С помощью этой программы вы в один клик сможете рассчитать катет треугольника.
Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы
О чем эта статья:
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Определение равнобедренного треугольника
Какой треугольник называется равнобедренным?
Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.
Давайте посмотрим на такой треугольник:
На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.
А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:
AB и BC — боковые стороны,
AC — основание треугольника.
Для понимания материала нам придется вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.
Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.
Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.
Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.
Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».
В данном треугольнике медианой является отрезок BH.
Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.
Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.
Признаки равнобедренного треугольника
Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.
- Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный.
- Если высота треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
- Если высота треугольника совпадает с его биссектрисой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
- Если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник снова равнобедренный!
Свойства равнобедренного треугольника
Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.
Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Пусть AС — основание равнобедренного треугольника. Проведем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK — общая, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов, значит угол A равен углу C. Изи!
Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, AH = HC и BH — медиана.
Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH — высота.
Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.
Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH — высота.
Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
Δ ABH = Δ CBH по признаку прямоугольных треугольников, равенство гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.
Во-вторых, AH = HC и BH — медиана.
Примеры решения задач
Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать углы и стороны в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.
Задачка раз. Дан ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.
Поскольку вы уже знакомы с различными теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC.
Значит, ∠A = ∠C = 80°.
Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180°.
∠B = 180° − 80° − 80° = 20°.
Задачка два. В треугольнике ABC провели высоту BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см.
Сумма углов треугольника равна 180°, а значит в Δ ABH мы можем узнать угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.
А ведь получается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса.
Ну и раз уж BH является и биссектрисой, и высотой, то Δ ABC — равнобедренный, а значит BC = BA = 5 см.
Изучать свойства и признаки равнобедренного треугольника лучше всего на курсах по математике с опытными преподавателями в Skysmart.
[spoiler title=”источники:”]
http://www.center-pss.ru/math/katet.htm
http://skysmart.ru/articles/mathematic/chto-takoe-ravnobedrennyj-treugolnik
[/spoiler]
Как найти катеты равнобедренного треугольника
Нахождение катетов равнобедренного треугольника – задача, требующая теоретических знаний, пространственного и логического мышления. Не менее важным является и правильное оформление решения.
Вам понадобится
- – тетрадь;
- – линейка;
- – карандаш;
- – ручка;
- – калькулятор.
Инструкция
Катет – сторона прямоугольного треугольника, образующая прямой угол. Противоположная прямому углу сторона треугольника называется гипотенузой.Так как в задании фигурирует понятие “катет”, мы можем сделать вывод, что треугольник – прямоугольный.
В вопросе так же сказано, что треугольник равнобедренный. Это означает, что катеты равны. Для решения этого типа задач введите условные обозначения. Обозначим стороны треугольника буквами а, а, в, где а – катеты, а в – гипотенуза. (см. рис. 1)
Дано:
а = а
с = 20 (значение выбрано произвольно для иллюстрации решения)Найти: а
Чтобы найти катеты равнобедренного треугольника, используйте теорему Пифагора. Она гласит, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Формула: а^2+в^2=с^2.
Решение:а^2+а^2=с^2
2а^2=с2 (это преобразование произошло потому, что в нашей конкретной задаче оба катета равны)
Подставляем известные данные:
2а^2=400 (400 – это квадрат гипотенузы)
а^2=200 (обе части уравнения делятся на два)
а=√200 или 10√2Ответ: √200
Обратите внимание
Катеты существуют только в прямоугольном треугольнике.
Полезный совет
Верна и теорема, обратная теореме Пифагора: если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то этот треугольник прямоугольный.
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Лучший ответ
KissУля
Мудрец
(14550)
14 лет назад
По теореме Пифагора. Пусть катет Х и гипотенуза Y. Тогда Х в квадрате + Х в квадрате = Y в квадрате. 2Х в квадрате=400. Ну и выражая Х получим 10 корней из 2.
Остальные ответы
Евгения Лучинович
Знаток
(307)
14 лет назад
по теореме Пифагора.
Маша Семенюк
Мастер
(1041)
14 лет назад
10 корней из 2 вроде
по теореме пифагора
НАТАША СПИВАК
Ученик
(196)
14 лет назад
десять корней из двух. это точно….
Юлия —
Мастер
(1181)
14 лет назад
в равнобед. тр. катеты будут равны по теореме пифагора 2x(в квадрате) =20
x=корень из10
Анна Мишева
Мастер
(1091)
14 лет назад
Если теругольник равнобедренный, то катеты равны. Обозначим катет х. Тогда по т. Пифагора х^2+x^2=20^2
2x^2=400
x^2=200
x= корень из 200 или 10 корней из 2.
glossen
Мыслитель
(5870)
14 лет назад
по теореме Пифагора с^2=a^2+b^2. Т. к. треугольник равнобедренный, то а=b/
c^2=a^2+a^2 c^2=2a^2
a^2=c^2/2
a=c/V2 V это корень квадратный.
а=10V2
Андрей Верховный
Ученик
(202)
5 лет назад
по теореме Пифагора.
Камиль Исмагилов
Знаток
(456)
3 года назад
a=b, так что будем считать, что с^2=2а^2
20^2/2=а^2=200
Оба катета равняются √200, примерно 14,1421356
Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника по гипотенузе Калькулятор
| Search | ||
| Дом | математика ↺ | |
| математика | Геометрия ↺ | |
| Геометрия | 2D геометрия ↺ | |
| 2D геометрия | Треугольник ↺ | |
| Треугольник | Равнобедренный прямоугольный треугольник ↺ | |
| Равнобедренный прямоугольный треугольник | Сторона равнобедренного прямоугольного треугольника ↺ |
|
✖Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника — это наибольшая сторона равнобедренного прямоугольного треугольника. Длина гипотенузы равна квадратному корню из суммы квадратов длин двух других сторон.ⓘ Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника [H] |
+10% -10% |
|
✖Катетами равнобедренного прямоугольного треугольника являются две равные стороны трех сторон равнобедренного прямоугольного треугольника, которые перпендикулярны друг другу.ⓘ Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника по гипотенузе [SLegs] |
⎘ копия |
Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника по гипотенузе Решение
ШАГ 0: Сводка предварительного расчета
ШАГ 1. Преобразование входов в базовый блок
Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника: 11 метр –> 11 метр Конверсия не требуется
ШАГ 2: Оцените формулу
ШАГ 3: Преобразуйте результат в единицу вывода
7.77817459305202 метр –> Конверсия не требуется
7 Сторона равнобедренного прямоугольного треугольника Калькуляторы
Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника по гипотенузе формула
Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника = Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника/sqrt(2)
SLegs = H/sqrt(2)
Что такое равнобедренный прямоугольный треугольник?
Равнобедренный прямоугольный треугольник – это прямоугольный треугольник, состоящий из двух катетов одинаковой длины. Поскольку две стороны прямоугольного треугольника равны по длине, соответствующие углы также будут равны. Таким образом, в равнобедренном прямоугольном треугольнике две стороны и два острых угла равны.
Что такое гипотенуза?
В геометрии гипотенуза — это самая длинная сторона прямоугольного треугольника, сторона, противоположная прямому углу.
Равнобедренный прямоугольный треугольник
4.1
Средняя оценка: 4.1
Всего получено оценок: 76.
4.1
Средняя оценка: 4.1
Всего получено оценок: 76.
И равнобедренный, и прямоугольный треугольник достаточно привычны любому, кто знаком с геометрией. Сочетание этих признаков встречается довольно редко и плохо поддается визуальному восприятию. Не всегда можно представить полный набор свойств такого треугольника, поэтому поговорим о нем более подробно.
Опыт работы учителем математики – более 33 лет.
Определение
Равнобедренный треугольник – это треугольник, боковые стороны которого равны. Прямоугольный треугольник содержит в себе прямой угол. Значит равнобедренный прямоугольный треугольник – это прямоугольный треугольник, катеты которого равны.
Гипотенуза прямоугольного треугольника всегда больше катета. Это следует из теоремы о соотношениях сторон и углов треугольника. Значит, в прямоугольном треугольнике только гипотенуза может быть основанием, а величина гипотенузы будет соответствовать длине основания.
Свойства
Поговорим подробнее о свойствах и формулах. Не совсем ясно, как будут проходить высоты в таком треугольнике, все привыкли пользоваться свойством, которое говорит о том, что в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, совпадает с медианой и биссектрисой.
В равнобедренном прямоугольном треугольнике такая высота всегда будет направлена из прямого угла к гипотенузе. А две другие высоты будут совпадать с катетами.
Если к гипотенузе прямоугольного равнобедренного треугольника провести высоту, то она разделит треугольник на два, равных между собой, равнобедренных прямоугольных треугольника.
Теорема Пифагора для равнобедренного треугольника выглядит немного упрощенной:
Квадрат гипотенузы равен удвоенному квадрату катета. Это значительно упрощает решение.
Вообще, любые задачи, связанные с прямоугольными равнобедренными треугольниками, решаются очень просто. Любого значения достаточно, чтобы определить все остальное. Значения любого из катетов достаточно, чтобы определить гипотенузу через упрощенную теорему Пифагора, а затем найти периметр и площадь прямоугольного равнобедренного треугольника.
Через гипотенузу можно найти катет и через тригонометрическую функцию, так как все углы прямоугольного равнобедренного треугольника заранее известны: один угол 90 градусов и два по 45.
Разберем подробно, почему известны все углы. В любом прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90 градусам. Это следует из общей суммы углов в треугольнике, которая всегда равна 180 градусам.
При этом углы при основании равнобедренного треугольника, а в нашем случае это всегда гипотенуза, всегда равны. Значит, чтобы найти каждый из острых углов при гипотенузе, нужно их сумму, т.е. 90 градусов, разделить пополам. Получается, что каждый из углов при гипотенузе прямоугольного равнобедренного треугольника будет равен 45 градусам.
Можно рассмотреть это свойство и с другой стороны: если сумма двух углов треугольника равняется 90 градусам и эти углы равны между собой, то этот треугольник является равнобедренным и прямоугольным.
Из этого же свойства вытекает равенство синусов и косинусов острых углов прямоугольного равнобедренного треугольника между собой, а также равенство их тангенсов и котангенсов.
То есть, синус любого острого угла прямоугольного равнобедренного треугольника равен косинусу любого острого угла данного треугольника и равен $${sqrt{2}over2}$$. Тангенс любого острого угла прямоугольного равнобедренного треугольника равен котангенсу любого острого угла данного треугольника и равен 1.
Что мы узнали?
Мы подробно поговорили о всех взаимосвязях свойств прямоугольного и равнобедренного треугольника. А также о том, как эти связи проявляются в равнобедренном прямоугольном треугольнике. Разобрали в подробностях, почему любые задачи на нахождение параметров прямоугольного равнобедренного треугольника легко решаются и выделили основную и единственную проблему в решениях таких задач: трудность визуального восприятия.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда – пройдите тест.
Пока никого нет. Будьте первым!
Оценка статьи
4.1
Средняя оценка: 4.1
Всего получено оценок: 76.
А какая ваша оценка?
