Как найти кажущуюся глубину водоема

Условие задачи:

Кажущаяся глубина водоема (h=4) м. Определить истинную глубину (h_0) водоема, если показатель преломления воды (n=1,33).

Задача №10.3.42 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

(h=4) м, (n=1,33), (h_0-?)

Решение задачи:

Для решения задачи сделаем рисунок. При этом для решения этой задачи нам нужно рассмотреть ход параксиального луча, то есть луча, который распространяется под малым углом к оси OO₁. На рисунке углы (alpha) и (beta) не являются малыми, это сделано исключительно для наглядности рисунка.

Запишем закон преломления света (также известен как закон преломления Снеллиуса):

[{n_2}sin alpha = {n_1}sin beta]

Здесь (alpha) и (beta) – угол падения и угол преломления соответственно, (n_1) и (n_2) – показатели преломления сред. Показатель преломления воздуха (n_1) равен 1, показатель преломления воды (n_2) равен 1,33.

Так как углы (alpha) и (beta) являются малыми, тогда можно воспользоваться тем, что в таком случае (sin alpha approx alpha) и (sin beta approx beta) (здесь углы, разумеется, выражены в радианах). Тогда:

[{n_2}alpha = {n_1}beta ]

[beta = frac{{{n_2}}}{{{n_1}}}alpha ;;;;(1)]

Также из прямоугольных треугольников можно получить следующее:

[left{ begin{gathered}
tgalpha = frac{L}{h_0} hfill \
tgbeta = frac{L}{h} hfill \
end{gathered} right.]

Имеем:

[left{ begin{gathered}
L = {h_0} cdot tgalpha hfill \
L = h cdot tgbeta hfill \
end{gathered} right.]

[{h_0} cdot tgalpha = h cdot tgbeta ]

Опять же, если углы (alpha) и (beta) являются малыми, тогда можно воспользоваться тем, что в таком случае (tg alpha approx alpha) и (tg beta approx beta) (здесь углы, разумеется, выражены в радианах).

[{h_0} cdot alpha = h cdot beta ]

В полученное уравнение подставим выражение (1):

[{h_0} cdot alpha = h cdot frac{{{n_2}}}{{{n_1}}}alpha ]

[{h_0} = frac{{{n_2}}}{{{n_1}}}h]

Задача решена в общем, подставим данные задачи в полученную формулу и посчитаем численный ответ:

[{h_0} = frac{{1,33}}{1} cdot 4 = 5,32;м]

Ответ: 5,32 м.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

10.3.41 Какова истинная глубина водоема, если камень, лежащий на дне его, при рассматривании
10.3.43 На расстоянии 1,5 м от поверхности воды в воздухе находится точечный источник света
10.3.44 Угол падения луча на пластинку толщиной 6 мм и показателем преломления, равным

Явление преломления – это визуальный эффект, который возникает при пересечении световым лучом границы раздела между двумя средами, прозрачными для него. Важными характеристиками этого эффекта являются показатели преломления и углы падения и преломления. Рассмотрим в статье подробнее это оптическое явление.

Закон Снелла для явления преломления

Как известно, любая волна, включая электромагнитную, распространяется прямолинейно и с постоянной скоростью в гомогенном материале. Как только возникают нарушения однородности этого материала, волна изменяет свою прямолинейную траекторию. Ярким примером такого изменения является преломление света.

Преломление луча наступает в локализованной точке пространства, которая находится на границе раздела двух прозрачных сред, имеющих различные физические характеристики. Например, этими средами могут быть стекло, воздух, вода, прозрачный пластик и другие. При попадании во вторую среду свет отклоняется на некоторый угол от первоначальной траектории.

Если мысленно провести перпендикуляр через точку, где луч пересекает плоскость раздела сред, и обозначить угол между перпендикуляром и лучом как θ₁, а угол между этим же перпендикуляром и лучом, прошедшим во вторую среду, как θ₂, тогда будет справедливо следующее соотношение:

sin(θ₁)*n₁ = sin(θ₂)*n₂

Углы тета один (θ₁) и тета два (θ₂) принято называть углом падения и преломления, соответственно. Величины n₁, n₂ – это важные оптические характеристики первой и второй сред, они называются показателями преломления.

Приведенная формула называется законом Снелла (Снеллиуса), поскольку голландский ученый Виллеброрд Снеллиус в начале XVII столетия сформулировал впервые ее в современном виде, анализируя большое количество экспериментального материала.

Показатель преломления

Согласно математическому определению этой физической величины, она равна отношению двух скоростей света: в вакууме и в материале, то есть:

n = c/v

Так как c > v, то n всегда будет больше единицы.

Показатель преломления имеет разные значения для разных веществ. Например, для воздуха он практически равен 1, а для воды составляет 1,33. Величина n зависит также от химического состава одного и того же материала. Например, показатель преломления стекла зависит от сорта последнего и колеблется в пределах от 1,5 до 1,66.

Помимо свойств материала, n сильно изменяется, если поменять частоту света в луче. Угол преломления синего света всегда больше, чем красного. Приведенные в предыдущем абзаце цифры относятся к желтой части видимого человеком спектра (λ ≈ 590 нм).

Оптическая плотность среды

Эта физическая характеристика определяет, как сильно среда замедляет скорость распространения света. Оптическая плотность однозначно определяется показателем преломления. Например, вода является оптически более плотной, чем воздух, а любой сорт стекла более плотным, чем вода.

Если взглянуть на формулу Снелла, то можно заметить, что чем больше будет оптическая плотность среды, тем под меньшим углом к нормали будет распространяться в ней свет. Этот вывод справедлив независимо от того, из какой среды и в какую будет падать световой луч. Так, при рассмотрении границы вода-воздух угол преломления будет меньше угла падения, если луч движется в воду. Если поменять направление движения луча, то меньшим уже окажется угол падения.

Задача на применение закона Снелла

Известно, что луч света падает на поверхность воды под углом 32^o. Необходимо определить угол преломления света, а также величину его изменения, если увеличить угол падения на 10^o.

Величину преломления света можно определить из закона Снелла. Имеем:

θ₂ = arcsin(sin(θ₁)*n₁/n₂)

Поскольку свет падает из воздуха в воду, то n₁ = 1 и n₂ = 1,33. Зная, что θ₁ = 32^o, получаем:

θ₂ = arcsin(sin(32^o)*1 /1,33 ) = 23,48^o

Как видим, угол существенно уменьшился. Теперь рассчитаем угол преломления луча, если θ₁ = 42^o. Пользуясь той же формулой, получаем:

θ₂ = arcsin(sin(42^o)*1/1,33) = 30,21^o

Берем разницу между полученными углами, получаем:

30,21^o – 23,48^o = 6,73^o

Полученный результат означает, что изменения между углами падения и преломления не являются линейными. Увеличение угла падения на 10^o привело к изменению угла преломления лишь на 6,7^o.

Задача на определение кажущейся глубины

Многие замечали, что если смотреть на дно водоема, то лежащие на нем камни и растущие водоросли кажутся близко расположенными к поверхности. Рассчитаем, пользуясь законом преломления, как настоящая и кажущаяся глубины отличаются друг от друга. Для этого будем рассматривать небольшие углы падения, то есть наблюдатель смотрит вертикально вниз на дно водоема. Ниже приведен соответствующий рисунок.

На рисунке изображен предмет, лежащий на дне. Поскольку два луча, которые выходят из одной точки предмета, для наблюдателя будут пересекаться в точке P, то глубина h = MP и будет кажущейся.

Чтобы найти h, следует рассмотреть прямоугольный треугольник POM. Отрезок MO равен H*tg(θ₁), угол POM равен 90 – θ2. Теперь можно записать:

tg(90-θ₂) = h/(H*tg(θ₁))

Зная, что тангенс равен отношению синуса к косинусу, и используя формулы для тригонометрических функций, можно переписать это равенство следующим образом:

cos(θ₂)/sin(θ₂) = cos(θ₁)*h/(H*sin(θ₁))

Поскольку мы рассматриваем небольшие углы (близкие к вертикали), то косинусы будут практически равны единицам, поэтому последняя формула упростится до вида:

h = H*sin(θ₁)/sin(θ₂)

Но ведь отношение синусов равно обратному отношению показателей преломления сред по закону Снелла, поэтому запишем:

h = H*n₂/n₁

Поскольку луч движется из воды, то n₂ – это показатель для воздуха, который равен единице. Конечная формула для кажущейся глубины водоема при вертикальном его рассмотрении имеет вид:

h = H /n, где n = 1,33

Таким образом, кажущаяся глубина приблизительно на 25 % меньше реальной.

Спрятать решение

Источник: Кирик Л. А. Са­мо­сто­я­тель­ные и кон­троль­ные ра­бо­ты для 8 клас­са, Х.: «Гим­на­зия», 2001 (№ 1 (высок.) стр. 102)

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Примеры решения задач. Геометрическая оптика

Подробности

Обновлено 28.11.2018 14:23

Просмотров: 1101

«Физика – 11 класс»

1.
Плоское зеркало повернули на угол α = 17° вокруг оси, лежащей в плоскости зеркала.
На какой угол β повернется отраженный от зеркала луч, если направление падающего луча осталось неизменным?

Р е ш е н и е.

Пусть φ — первоначальный угол падения луча.
По закону отражения угол отражения также равен φ, и, следовательно, угол между падающим лучом и отраженным лучом равен 2φ.
При повороте зеркала на угол α перпендикуляр I к зеркалу, восставленный в точке падения, также повернется на угол α и займет положение II.
Значит, новый угол падения будет равен φ + α.
Таким же будет и новый угол отражения.

Поэтому угол, на который повернется отраженный луч β = (φ + α) + α – φ = 2α = 34°.

2.
Определите, на какой угол θ отклоняется световой луч от своего первоначального направления при переходе из воздуха в воду, если угол падения а = 75°.

Р е ш е н и е.

Из рисунка видно, что θ = α – β.

Согласно закону преломления

где n — показатель преломления воды.

Отсюда

Из таблицы синусов находим: β ≈ 46°33′.
Следовательноб

β ≈ 75° — 46°33′ = 28°27′.

3.
Начертите ход лучей сквозь треугольную стеклянную призму, основанием которой является равнобедренный прямоугольный треугольник.
Лучи падают на широкую грань перпендикулярно этой грани.
Показатель преломления стекла равен 1,5.

Р е ш е н и е.

Проходя через широкую грань, лучи не изменяют своего направления, так как угол падения равен нулю.
На узкой грани АВ лучи полностью отражаются, так как угол падения равен 45° и, следовательно, больше предельного угла полного отражения для стекла, равного 42°.
После полного отражения от левой грани лучи падают на правую грань, снова полностью отражаются и выходят из призмы по направлению, перпендикулярному широкой грани.
Таким образом, направление пучка света изменяется на 180°.
Такой ход лучей используется, например, в призматических биноклях.

4.
Определите, во сколько раз истинная глубина водоема больше кажущейся, если смотреть по вертикали вниз.

Р е ш е н и е.

Построим ход лучей, вышедших из точки S на дне водоема и попавших в глаз наблюдателя.
Так как наблюдение ведется по вертикали, один из лучей SA направим перпендикулярно поверхности воды, другой SB — под малым углом α к перпендикуляру, восставленному в точке В (при больших углах а лучи не попадут в глаз).
Точка S₁ пересечения луча SA и продолжения преломленного луча SB — мнимое изображение точки S.

Угол ASB равен углу падения а (внутренние накрест лежащие углы), а угол AS₁B равен углу преломления Р (соответственные углы при параллельных прямых).
Прямоугольные треугольники ASB и AS₁B имеют общий катет АВ, который можно выразить через истинную глубину водоема SA = Н и через кажущуюся глубину S₁A = h:

АВ = Н tg α = htg β.

где n — показатель преломления воды.

Следовательно,

Истинная глубина водоема больше кажущейся в n = 1,3 раза.

5.

На рисунке показано расположение главной оптической оси MN линзы, светящейся точки S и ее изображения S₁.

Найдите построением оптический центр линзы и ее фокусы.
Определите, собирающей или рассеивающей является эта линза, действительным или мнимым является изображение.

Р е ш е н и е.

Луч, проходящий через оптический центр линзы, не отклоняется от своего направления.
Поэтому оптический центр О совпадает с точкой пересечения прямых SS₁ и MN.

Проведем луч SK, параллельный главной оптической оси.
Преломленный луч KS₁ пройдет через фокус.
Зная, что луч, падающий на линзу через фокус, после преломления идет параллельно главной оптической оси, находим другой фокус.
Линза является собирающей, а изображение — действительным.

6.

Изображение предмета имеет высоту Н = 2 см.
Какое фокусное расстояние F должна иметь линза, расположенная на расстоянии ƒ = 4 м от экрана, чтобы изображение данного предмета на экране имело высоту h = 1м?

Р е ш е н и е.

Из формулы линзы

находим фокусное расстояние:

Увеличение линзы можно выразить так:

Источник: «Физика – 11 класс», учебник Мякишев, Буховцев, Чаругин