Как найти кинематический закон движения

Система
отсчета
–
это
совокупность тела отсчета и системы
пространственных координат,
жестко
связанной с телом отсчета и снабженной
часами.

Материальная
точка (частица)
– это
тело,
размерами
которого в условиях данной задачи можно
пренебречь.
Одно
и то же тело в различных условиях или
может считаться материальной точкой,
или
нет.

Кинематический
закон движения
–
это
функция,
выражающая
положение точки в любой момент времени:
r
= r(t)
(2.1)

Уравнение
(2.1)
является
векторной формой закона.
Движение
материальной точки полностью определено,
если
координаты материальной точки заданы
в зависимости от времени:
x
=
x(t),
y
=
y(t),
z
=
z(t)
. (2.2)

Траектория
–
это
кривая,
которую
описывает радиус-вектор
r(t)
координат
материальной точки (или
тела)
с
течением времени.

Вектор
перемещения
∆r
= r
– r₀
– это
вектор,
проведенный
из начального положения движущейся
точки в положение ее в данный момент
времени (приращение
радиус-вектора
точки за рассматриваемый промежуток
времени):

∆r
= r
– r₀
= r(t)
– r(t₀)
. В
пределе ∆t→0
модуль
элементарного перемещения равен
элементарному пути:
|dr|
=
ds
.

В прошлой статье мы немножко разобрались с тем, что такое механика  и зачем она нужна. Мы уже знаем, что такое система отсчета,  относительность движения и материальная точка. Что ж, пора двигаться дальше!  Здесь мы рассмотрим основные понятия кинематики, соберем вместе самые полезные формулы по основам кинематики  и приведем практический пример решения задачи.

Присоединяйтесь к нам в телеграм и получайте ежедневную рассылку с полезной информацией по актуальным студенческим вопросам.

Траектория, радиус-вектор, закон движения тела

Кинематикой занимался еще Аристотель. Правда, тогда это не называлось кинематикой. Затем очень большой вклад  в развитие механики, и кинематики в частности, внес Галилео Галилей, изучавший свободное падение и инерцию тел.

Итак, кинематика решает вопрос: как тело движется. Причины, по которым оно пришло в движение, ее не интересуют. Кинематике не важно, сама поехала машина, или ее толкнул гигантский динозавр. Абсолютно все равно.

Сейчас мы будем рассматривать самую простую кинематику – кинематику точки. Представим, что тело (материальная точка) движется. Не важно, что это за тело, все равно мы рассматриваем его, как материальную точку. Может быть, это НЛО в небе, а может быть, бумажный самолетик, который мы запустили из окна. А еще лучше, пусть это будет новая машина, на которой мы едем в путешествие. Перемещаясь из точки А в точку Б, наша точка описывает воображаемую линию, которая называется траекторией движения. Другое определение траектории – годограф радиус вектора, то есть линия, которую описывает конец радиус-вектора материальной точки при движении.

Радиус-вектор – вектор, задающий положение точки в пространстве.

Для того, чтобы узнать положение тела в пространстве в любой момент времени, нужно знать закон движения тела – зависимость координат  (или радиус-вектора точки) от времени.

Перемещение и путь

Тело переместилось из точки А в точку Б. При этом перемещение тела – отрезок, соединяющий данные точки напрямую – векторная величина. Путь, пройденный телом – длина его траектории. Очевидно, перемещение и путь не стоит путать. Модуль вектора перемещения и длина пути совпадают лишь в случае прямолинейного движения.

В системе СИ перемещение и длина пути измеряются в метрах.

Перемещение равно разнице радиус-векторов в начальный и конечный моменты времени. Другими словами, это приращение радиус вектора.

Скорость и ускорение

Средняя скорость – векторная физическая величина, равная отношению вектора перемещения к промежутку времени, за которое оно произошло

А теперь представим, что промежуток времени уменьшается, уменьшается, и становится совсем коротким, стремится к нулю. В таком случае о средней скорости говорить на приходится, скорость становится мгновенной. Те, кто помнит основы математического анализа, тут же поймут, что в дальнейшем нам не обойтись без производной.

Мгновенная скорость – векторная физическая величина, равная производной  от радиус вектора по времени. Мгновенная скорость всегда направлена по касательной к траектории.

В системе СИ скорость измеряется в метрах в секунду

Если тело движется не равномерно и прямолинейно, то у него есть не только скорость, но и ускорение.

Ускорение (или мгновенное ускорение) – векторная физическая величина, вторая производная от радиус-вектора по времени, и, соответственно, первая производная от мгновенной скорости

Ускорение показывает, как быстро изменяется скорость тела. В случае прямолинейного движения, направления векторов скорости и ускорения совпадают. В случае же криволинейного движения, вектор ускорения можно разложить на две составляющие: ускорение тангенциальное, и ускорение нормальное.

Тангенциальное ускорение показывает, как быстро изменяется скорость тела по модулю и направлено по касательной к траектории

Нормальное же ускорение характеризует быстроту изменения скорости по направлению. Векторы нормального и тангенциального ускорения взаимно перпендикулярны, а вектор нормального ускорения направлен к центру окружности, по которой движется точка.

Здесь R – радиус окружности, по которой движется тело.

Закон равноускоренного движения

Рассмотрим далее закон равноускоренного движения, то есть движения с постоянным ускорением. Будем рассматривать простейший случай, когда тело движется вдоль оси x.

Здесь  – x нулевое- начальная координата. v нулевое – начальная скорость. Продифференцируем по времени, и получим скорость

Производная по скорости от времени даст значение ускорения a, которое является константой.

Пример решения задачи

Теперь, когда мы рассмотрели физические основы кинематики, пора закрепить знания на практике и решить какую-нибудь задачу. Причем, чем быстрее, тем лучше.

Кстати! Для всех наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы. 

Решим такую задачу: точка движется по окружности радиусом 4 метра. Закон ее движения выражается уравнением S=A+Bt^2. А=8м, В=-2м/с^2. В какой момент времени нормальное ускорение точки равно 9 м/с^2? Найти скорость, тангенциальное и полное ускорение точки для этого момента времени.

Решение: мы знаем, что для того, чтобы найти скорость нужно взять первую производную по времени от закона движения, а нормальное ускорение равняется частному квадрата скорости и радиуса окружности, по которой точка движется. Вооружившись этими знаниями, найдем искомые величины.

Нужна помощь в решении задач? Профессиональный студенческий сервис готов оказать ее.

Кинематика изучает простейшую форму движения – механическое движение. Кинематически определить движение тела – это значит указать его положение относительно выбранной системы отсчета в каждый момент времени.

Движение материальной точки (в дальнейшем будем говорить просто точки) задано, если известен закон движения.

Закон движения. Закон движения – это уравнение, позволяющее определить положение точки относительно выбранной системы отсчета в любой момент времени.

Основная задача кинематики точки. По известному закону движения определить  траекторию движения точки, ее положение на траектории, скорость и ускорение точки в ее положении на траектории.

Способы задания движения точки

В зависимости от выбора системы отсчета существуют три способа задания движения точки – векторный, координатный и естественный. Рассмотрим эти способы задания движения в отдельности.

Векторный способ задания движения точки

Пусть точка  движется вдоль некоторой линии. В качестве начала отсчета выберем произвольный центр . Положение точки  на линии определяется радиус-вектором  (рис.К.9).

 

Таким образом, вектор  определяет положение движущейся точки в любой момент времени. Следовательно, уравнение  является законом движения при векторном способе задания движения.

Величина  называется вектором скорости точки. Вектор скорости точки всегда направлен по касательной к годографу (траектории движения точки) в сторону перемещения точки.

Величина         называется вектором ускорения точки.

Определим направление вектора . Направление вектора  определяется направлением вектора .  Пусть точка  движется по некоторой траектории (рис.К.10) от точки  к точке . Пусть скорость в точке  равна , а скорость в точке  равна . Перенесем вектор  параллельно самому себе из точки  в точку .

Тогда вектор .

 

 Как показано на рис.К.10, вектор  направлен в сторону вогнутости траектории движения точки, следовательно и вектор ускорения  всегда направлен в ту же сторону, то есть в сторону  вогнутости траектории движения точки.

 Координатный способ задания движения точки

Пусть точка  движется вдоль некоторой линии. В качестве системы отсчета выберем декартовую систему координат с началом в произвольном центре . Тогда положение точки  на линии определяются текущими координатами в любой момент времени

Следовательно, система уравнений  определяют закон движения точки при координатном способе задания движения. Исключая из закона движения время , получим уравнение вида , являющееся уравнением траектории движения точки.

Пример. Закон движения записывается уравнениями . Найти уравнение траектории движения точки.

Решение. Из первого уравнения следует, что  или . Тогда из второго уравнения . Или . Таким образом получено, что  траекторией движения точки является прямая линия .

Компоненты скорости и ускорения движущейся точки в любой момент времени определяются по формулам

 

                                                                                                         (К.9)      

                                                                .

Модули скорости и ускорения                                                              

                                                                                      (К.10)                                                     

Векторы скорости и ускорения

                                        

                                         .

Равномерное прямолинейное движение — что это в физике

Прежде чем перейти непосредственно к изучению понятия равномерного прямолинейного движения, необходимо рассмотреть его составляющие.

Прямолинейное движение — движение по прямой линии.
 

Равномерное движение — механическое движение, при котором материальная точка за одинаковые отрезки времени проходит одинаковые расстояния. Величина скорости v остается постоянной и неизменной.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Равномерное движение практически невозможно в обычной жизни, поскольку для этого необходимы очень специфичные обстоятельства. На движущееся тело воздействует множество сил: тяжести, реакции опоры, трения, сила, под воздействием которой двигается тело. Чтобы тело двигалось равномерно, необходимо, чтобы эти силы были уравновешены определенным образом.

Также стоит учитывать особенность величины скорости, которая заключается в том, что скорость относительна и зависит от системы отсчета. Так, если человек движется в поезде, его скорость относительно поезда будет одной, а относительно статичных объектов вне поезда — другой.

Исходя из предыдущих определений и их отличительных признаков, можно вывести искомое.
 

Равномерное прямолинейное движение — это движение по прямой, при котором тело за любые равные промежутки времени проходит одинаковые расстояния.

Скорость такого движения постоянна и не зависит от времени. Ее вектор совпадает с вектором перемещения в каждой точке траектории.

(v;=;const)

Как записывается кинематический закон прямолинейного равномерного движения

Основная задача механики заключается в том, чтобы указать положение тела в пространстве в любой момент времени. Это помогает предсказать положение тела не только в настоящем, но и в любой момент в будущем. Выполнять эту цель помогает закон движения.
 

Закон движения — это математическая формулировка, описывающая, как двигается тело. Это набор зависимостей, которые выявляют данные о движении материальной точки.

При равномерном прямолинейном движении тела по оси Ox за время t уравнение предстает в виде:

(x;=;x_0;+;v_xt;)

Это уравнение следует из двух уравнений:

(Delta x;=;V_x;,) т.е.

(Delta x;=;x;-;x_0)

Если тело движется противоположно положительному направлению оси (O_x), то проекция на ось отрицательна и считается, что скорость тела меньше нуля. Тогда уравнение принимает вид:

(x;=;x_0;-;v_xt;)

Скорость при прямолинейном равномерном движении

Скорость движения (v) — это величина, которая равна отношению перемещения тела за некоторый промежуток времени к этому промежутку.

Т. е. скорость движения тела показывает, какое перемещение совершает тело за единицу времени. Чем больше перемещение за определенный отрезок времени, тем больше скорость.

При прямолинейном равномерном движении скорость остается постоянной по модулю и направлению. Ускорение равно нулю.

В СИ главной единицей измерения скорости является 1 метр в секунду.

Сокращенно эту единицу обозначают как 1 м/с. Иногда используют дополнительные единицы:

• 1 км/ч = 1000 м/3600 с;
• 1 км/мин = 1000 м/60 с;
• 1 км/с = 1000 м/с;
• 1 м/мин = 1 м/60 с;
• 1 см/с = 0,01м/с.

Для измерения модуля скорости используют прибор спидометр.

Основные формулы

Перемещение является векторной величиной.

Скорость тоже является векторной величиной. Это значит, что она имеет не только модуль, но и направление.

При этом время не имеет направления, т. е. является скалярной величиной.

Исходя из определения, скорость равна перемещению, деленному на время, за которое это перемещение состоялось.

Запишем формулу в векторном виде:

(overrightarrow v=frac{overrightarrow s}t)

Если направления скорости и перемещения не имеют значения для решения задачи, векторы можно не учитывать. Тогда вычисления со скоростью и перемещением производятся как с обычными скалярными величинами.

Выведем дополнительные формулы.

Векторное перемещение, или же скалярный пройденный при движении путь, равен скорости, умноженной на время.

(overrightarrow s=overrightarrow vcdot t или overrightarrow s=overrightarrow vcdot t;или;s=vcdot t;)

Тогда время, за которое тело со скоростью v переместилось на расстояние s, равно:

(t=frac{overrightarrow s}{overrightarrow v})

Примеры равномерного прямолинейного движения

Равномерное прямолинейное движение в жизни почти не встречается. Это идеализация, которая использует характеристики прямолинейного движения для упрощения расчета. Создать такие условия, чтобы тело могло достаточно долго двигаться с одинаковой скоростью, почти невозможно. Но движения в реальном, а не идеальном мире могут быть приближены к равномерному с некой степенью погрешности.

Ближе всего в природе к равномерному движению находится движение небесных тел в космосе, где они слабо взаимодействуют друг с другом, а воздействием других сил можно пренебречь.

Есть и другие примеры движения, которое близко к прямолинейному равномерному:

1. Автомобиль едет по прямой автомагистрали с постоянной скоростью.
2. Человек или другое живое существо идет по прямой дороге с неизменной скоростью.

Решение задач

Решение:

Вспомним формулу нахождения скорости при равномерном прямолинейном движении.

(overrightarrow v=frac{overrightarrow s}t)

Выведем из нее формулу нахождения времени:

(t=frac{overrightarrow s}{overrightarrow v})

Произведем вычисления:

(t=frac{3;км}{60;км/ч}=frac1{20}ч.)

Ответ можно было бы записать в таком виде, но лучше привести их к единицам СИ, т. е. к секундам.

(frac1{20}ч;=;3;мин;=;180;с.)

Ответ: 180 с.

Решение:

Запишем уравнение равномерного прямолинейного движения:

(x;=;x_0;+;v_xt;)

Производить вычисления пока нельзя, т. к. единицы измерения величин различны. Переведем км/ч в м/с:(18;км/ч;=;frac{18cdot1000}{3600}=5;м/с

)

Теперь найдем, где оказался спортсмен:

(x;=;7;м;+;5;м/с;cdot;3;с;=;7;м;+;15;м;=;22;м)

Ответ: 22 м.