Как найти кинетическую энергию атома водорода

и энергии
нулевых колебаний осциллятора

Некоторые задачи
квантовой механики могут быть решены
или поняты на качественном уровне, если
использовать различные комбинации
законов классической физики и соотношения
неопределенностей Гейзенберга.

Пример 1. Оценим
энергию основного состояния атома
водорода.

Основным
состоянием атома водорода является
состояние с наименьшей энергией (1 –
энергетический уровень).

Полная механическая
энергия атома водорода равна сумме
кинетической энергии вращающегося
электрона вокруг ядра и потенциальной
энергии взаимодействия электрона с
ядром, т. е.

W
= W_к
+ W_р,

где
W_к
=
p²/(2m)
– кинетическая энергия вращающегося
электрона вокруг ядра;

W_р
=
–q_e²/(4₀r)
– потенциальная энергия взаимодействия
электрона с ядром.

При
допущении неопределенности положения
электрона в пределах радиуса его орбиты,
т. е. r

r
и неопределенность импульса в пределах
самого импульса, т. е. р

р.

Тогда на
основании соотношений неопределенностей
Гейзенберга имеем

r

р

h
/(4)

или
по порядку величины р 
h
/2
r.

Если
возьмем равенство

р
= h
/(2r)

и
подставим в формулу кинетической
энергии, то полная энергия атома водорода

W
= h²/(4²m
r²)
– q_e²/(4₀r).

Теперь
перейдем к условию минимума, т. к. нас
интересует состояние с наименьшей
энергией:

dW/dr
= – h²/(4²m
r³)
+ q_e²/(4₀r²)
= 0.

Корень
этого уравнения, соответствующий
минимуму полной энергии W,
равен

r₁
= ₀h²
/ (m
q_e²).

В
квантовой механике, полученное значение
r₁
называют
радиусом первой боровской орбиты.

После вычисления получим r1  510 11 м. Для энергии основного состояния атома водорода получим

W₁
= –
m
q_e⁴
/ (8²₀²h²).

W₁
= –
13,6 эВ

или

W₁
= –
2,176 10
^18Дж.

Пример 2. Энергия
нулевых колебаний одномерного

гармонического
осциллятора.

В
качестве одномерного гармонического
осциллятора рассмотрим колебания груза
на пружине (пружинный маятник), который
характеризуется потенциальной энергией

W_р
=
k
x²
/
2,

представляющий
собой, параболическую потенциальную
яму.

Для
оценки минимально возможной полной
энергии осциллятора применим соотношения
неопределенностей Гейзенберга.

Полная
механическая энергия данного осциллятора

W
= W_к
+ W_р,

где
W_к
=
p_х²
/
(2m)
– кинетическая энергия осциллятора;
W_р
=
k
x²
/
2.

Следовательно,

W
= p_х²
/
(2m)
+ k
x²
/
2.

Согласно
классической механике минимум полной
энергии W
= 0 соответствует х
= 0 и р_х
=
0, т. е. пружинный маятник неподвижен.

При
рассмотрении квантового случая должны
учесть, что одновременно точные значения
координаты (х)
и проекции импульса на ось х (р_х)
указать
невозможно.

Согласно, принципа
неопределенностей Гейзенберга, имеем

х

р_х

h
/(4).

Если
положим, что х

х ; р_х

р_х
или
по порядку величины х 
р_х

h
/ (2),
т. е. р_х

h
/(2x).

При
переходе к равенству р_х
= h
/(2x)
для полной энергии осциллятора будем
иметь

W
= h²
/(8²mx²)
+ k
x²
/
2.

Перейдем
к условию минимума энергии:

dW
/dx
= – h²
/(4²mx³)
+ k
x
= 0.

Корень
этого уравнения запишем в виде

.

Тогда
минимальное значение полной энергии
рассматриваемого квантового осциллятора

W₀
= h
/(2).

или

W₀
= h,

где

– собственная
круговая частота осциллятора; 
= 2.

Данная
оценка отличается от точного значения
только численным множителем 1/2.

Полная
энергия квантового осциллятора
называется энергией нулевых колебаний
гармонического осциллятора.

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах. 

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте. 

Как быстро и эффективно исправить почерк?  Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью. 

    Для атома водорода основным состоянием является состояние с главным квантовым числом и = 1 Чтобы атом перешел в состояние с другим значением квантового числа, ему необходимо сообщить дополнительную энергию Такой процесс перевода атома или молекулы из основного состояния в одно из состояний с большей энергией называется возбуждением Возбудить атом или молекулу можно различными способами облучением внешним электромагнитным полем с частотой волны = ( Ео)/ ( и о — энергии возбужденного и основного состояний соответственно, А — постоянная Планка), за счет столкновений с другими атомами или молекулами, когда в энергию возбуждения переходит часть кинетической энергии частиц [c.32]

    Силы отталкивания способствуют обмену кинетической и потенциальной энергий между молекулами, установлению термодинамического равновесия. Межмолекулярные химические связи возникают в результате перераспределения электронной плотности в пространстве между молекулами, частичного переноса заряда от молекулы донора к молекуле акцептора. Такой перенос электронного заряда понижает энергию системы и приводит к образованию молекулярных ассоциатов в чистых жидкостях и комплексных соединений в растворах. Разновидностью межмолекулярных химических взаимодействий является водородная связь, осуществляемая с участием водорода. Атом водорода, ковалентно связанный с атомом фтора, кислорода, азота, хлора, серы, фосфора, углерода, может образовать вторую связь с одним из таких же атомов другой молекулы. В воде, спиртах и кислотах энергия водородной связи составляет 20,9 —33,4 кДж/моль в бензоле, растворе ацетон — вода — около 4,2 кДж/моль. [c.247]

    Атом водорода. Простейшим из атомов является атом водорода, построенный из положительно заряженного ядра и одного отрицательно заряженного электрона. Согласно теории Бора электрон и ядро вращаются вокруг общего центра тяжести системы и обладают, таким образом, некоторой кинетической энергией электрон и ядро Е . Радиусы орбит, по которым вращаются электрон и ядро, обратно пропорциональны массам рассматриваемых частиц [c.51]

    Исходя из формулы де Бройля, можно рассчитывать длину волны движущегося электрона, но для этого нужно знать его скорость или кинетическую энергию. Последняя определяется экспериментально и для электрона, находящегося на /(-уровне (иначе говоря, на первой орбите) атом 1 водорода, составляет 0,218.110 Дж. Отсюда [c.29]

    Как отмечалось выше, атомы могут не только отдавать, но и присоединять электроны. Энергия, поглощаемая или выделяющаяся при присоединении электрона к атому, иону, радикалу или молекуле в газовой фазе при Т = О К без передачи частице кинетической энергии, называется сродством атома к электрону. Сродство к электрону, как и энергия ионизации, обычно выражается в электронвольтах и обозначается Ее. Сродство к электрону атома водорода равно [c.83]

    Простейшей атомной системой является атом водорода, состоящий из ядра, в составе которого имеется один протон с зарядом е, и одного вращающегося вокруг него электрона с зарядом —е. Поскольку масса ядра значительно больше массы электрона, движением ядра можно пренебречь и включить в уравнение Шредингера лишь кинетическую энергию электрона и производные гр-функции по его координатам. [c.19]

    В этом разделе книги рассматриваются механизмы гетеролитических реакций замещения водорода. Простейшие из них — изотопный обмен водорода в растворах. При этих реакциях отсутствует тепловой эффект, если пренебречь небольшими изменениями свободной энергии из-за различий нулевых энергий связей С—Н, С—D и С—Т (вследствие неодинаковой массы изотопов водорода). Следовательно, течение реакций определяют только кинетические параметры. Кроме того, при замещении атома водорода на его изотоп мало изменяется строение молекулы органического вещества. Поэтому при наличии в молекуле нескольких атомов водорода замещение одного из них на изотоп почти не отражается на скорости замещения последующих атомов. Когда же атом водорода замещается на галоид, металл или полярную группу, то получаются новые вещества, в которых обычно реакционная способность остальных атомов водорода становится иной. [c.307]

    Реакция замещения активных радикалов менее активными, при которой радикалы атакуют более слабо связанный атом Н метильной группы молекулы пропилена или изобутилена (энергия атакуемой С Н-связи метильной группы молекулы пропилена равна 77 ккал вместо 90 ккал для той же связи в молекуле пропана [64]) и отрывают атом водорода с образованием аллильных радикалов, имеет более высокую энергию активации (порядка 10—15 ккал) и низкий стерический фактор (порядка 10- —10- ). Казалось бы, что реакции присоединения радикалов к олефинам должны преобладать над реакциями замещения, которые характеризуются более высокими величинами энергий активации и таким же низким значением стерических факторов. Поэтому механизм торможения, сопряженный с присоединением радикалов, с кинетической точки зрения должен бы иметь преимуще1ства. Однако в условиях крекинга алканов реакции замещения активных радикалов менее активными, протекают более глубоко, чем реакции присоединения радикалов, которым благоприятствуют низкие температуры. С другой стороны, алкильные радикалы типа этил-, изопроцил- и третичных изобутил-радикалов, несмотря на свою большую устойчивость по отношению к распаду, более активно по сравнению с аллильными радикалами вступают в реакции развития цепей, как пока-зы вает сравнение их реакционной опособности [65]. Малоактивные радикалы, способные замедлить скорость цепного процесса, тем не менее обладают остаточной активностью, отличной от нуля, по величине которой они могут между собой различаться [66]. Именно эта остаточная активность малоактивных радикалов, соответстоующая как бы более низкому качеству свободной валентности радикала (некоторой степени выравнивания электронного облака по всей частице радикала), является причиной того, что и малоактивные радикалы способны в соответствующих условиях развивать цепи, вследствие чего наступает предел тормозящего действия продукта реакции или добавки ингибитора. При этом скорость уменьшается с увеличением концентрации тормозящей добавки только до некоторого предела, а [c.33]

    Такое значение кинетической энергии значительно превышает энергию электронов в атоме, которая, например, для атома водорода равна 13,6 эВ. Электрон, обладающий такой энергией, покинет атом. [c.19]

    При действии на Нг при пониженном давлении тлеющего электрического разряда образуется атомный водород. Он существует около секунды. Сравнительная устойчивость атомного водорода обусловлена тем, что двойные столкновения атомов Н не приводят к образованию молекул Нг, для этого необходимы столкновения трех атомов, чтобы выделяющаяся при образовании Нг энергия была сообщена в виде кинетической энергии третьему атому, который уходит из сферы реакции. Поэтому атомы Н с ычно претерпевают миллионы столкновений прежде, чем прореагируют. [c.454]

    Проведем интерференционное разбиение матрицы плотности для расчета кинетической и потенциальной составляющих энергии связи. Для интерпретации результирующего разложения полезно ввести понятие энергии промотирования . Пусть Н — свободный атом водорода, волновая функция которого является атомной орбиталью вида (3) или (4), а не (2). Допустим, что (Н ) — энергия такого деформированного свободного атома. Применяя вариационный принцип для свободного атома Н, получим, что уровень (Н ) лежит ниже (Н), т. е. Н промоти-рован к более высоким энергиям . Разность энергий [c.267]

    Атом водорода. В этом случае электрон совершает трехмерное движение, вследствие чего его кинетическая энергия равна [c.59]

    Хотя кинетика каталитической реакции дает нам некоторые сведения о протекающем процессе в определенных условиях, сопоставляя кажущуюся и истинную энергии активации поверхностной реакции, можно измерить индивидуальные энергетические члены. Применение дейтерия и других изотопов привело к значительному расширению наших представлений о способах осуществления реакций. Так, например, установлено, что на поверхности никеля может проходить деструктивная гидрогенизация этана до образования метана, однако на основании только кинетических данных нельзя решить, диссоциирует ли этан на два метильных радикала или на этильный радикал и атом водорода, или, наоборот, диссоциирует ли молекула водорода на атомы, которые в свою очередь атакуют этан. Не представляется возможным также на основании только таких данных выявить скорость-определяющую стадию реакции. Дополнительную информацию дает дейтеро-водо-родный обмен, если его проводить в различных условиях, а также использование меченных С соединений. [c.156]

    Значения потенциалов появления указывают на то, что ионизационные потенциалы ато] а водорода и свободного гидроксила мало отличаются и приблизительно равны 13,бУ, и что при образовании Н+-]-ОН избыток кинетической энергии 1 еУ переходит в кинетическую энергию этих частиц. Следы Н и 0 , наблюдающиеся при повышении потенциала сверх 20 V, позволяют предположить, что реакции типа [c.103]

    Представим себе, что активационный комплекс Нг ОН превратился в НгО 4-, Н с выделением 26 ккал энергии (на 1 моль) Если вся эта энергия, только что перешедшая из потенциальной формы в энергию движения, задержится в молекуле НгО в виде внутримолекулярных колебаний, атом Н сможет тут же прореагировать с НгО и все вернется в исходное положение, т. е. снова появятся две молекулы ОН, как будто после упругого столкновения. Для того чтобы этого не случилось, надо так или иначе отвести хотя бы часть энергии движения и увести из поля действия молекулы НгО атом Н. Проще всего это можно себе представить в том случае, если сам атом водорода быстро покинет арену действия, унося с собой заметную долю общей кинетической энергии. Уход водородного атома вместе с частью энергии движения стабилизует молекулу НгО вместе с тем значительная энергия ушедшего атома Н помогает ему при столкновении с быстрой молекулой Ог подняться на 4-25 ккал (на [c.56]

    Следует отчетливо представлять себе, что время жизни электронных возбужденных состояний, как правило, весьма непродолжительно и что электронные переходы осуществляются быстро. Например, время перехода электронов из основного состояния в состояние с более высокой энергией гораздо меньше времени одного колебания молекулы (принцип Франка—Кондона). Если в состоянии с избыточной энергией преобладают силы отталкивания, то происходит диссоциация. Когда атом водорода вылетает из макромолекулы полимера, практически вся избыточная энергия выделяется в виде кинетической энергии этого атома, и он представляет собой горячий атом. Такие атомы, обладающие большим избытком энергии, могут участвовать в последующих реак- [c.398]

    Но, думаю, нельзя не подчеркнуть степень неблагополучия. Давайте вычислим, сколько мог прожить простейший атом — атом водорода, если бы в мире микрочастиц господствовали классические законы. Состав его известен протон и электрон. Без движения такая система суш ествовать не может электрон попросту свалится на протон. Враш ение должно компенсировать силу притяжения е /г (где г — расстояние от электрона до протона). Поскольку ускорение равно у” /г (где V — скорость движения по орбите), из равенства mv /r = = е г следует, что mv 1 = е /2г, а энергия электрона — сумма потенциальной (—е /г) и кинетической mv /2) энергий — равна [c.178]

    Часть таких атомов водорода (которые высвобождаются, унося с собой значительную кинетическую энергию) отрывает еще по атому водорода в непосредственной близости от места высвобождения, в результате чего образуется вторичный радикал  [c.49]

    Все упомянутые выше реакции вызваны, конечно, первичными процессами возбуждения и ионизации. Так, по-видимому, в результате возбуждения молекулы пропана за счет поглощения энергии излучения происходит разрыв С—Н-свя-зи, при котором избыток энергии в форме кинетической сообщается атому водорода СзНв = С3Н7-Ь (Н). Горячий атом водорода способен реагировать с первой сталкивающейся с ним молекулой пропана, отрывая от последней атом [c.74]

    При рассмотрении таких систем мы исходим из состояния, которое может быть определено совершенно безупречно и представлено наглядно рассматриваемый атом полностью разложен на свои составные части — ядро и электроны частицы разделены настолько, что они не взаимодействуют одна с другой и находятся в покое. В простейшем случае, при разложении атома водорода, “ядро и электрон находятся на расстоянии, значительно превышающем расстояние между ними в атоме. В этом состоянии система обладает лишь энергией положения ( потенциальной энергией) и не имеет энергии движения ( кинетической энергии), так как составляющие ее частицы разделены настолько, что они находятся в покое.  [c.9]

    Отношение скоростей не всегда будет столь большим, поскольку в активированном комплексе атом водорода может не быть полностью изолированным. В этом случае все же будет некоторая нулевая энергия соответствуюш,нх колебаний, и изменение Ео при изотопном замещении будет меньшим, чем в приведенном выше примере. Если реакция состоит в переходе атома из одного положения в другое, то возможно даже, что он сильнее связан в активированном комплексе, чем в молекуле. Поэтому может оказаться, что к (тяжелый)>й(легкий) обратный кинетический изотопный эффект). Обратные эффекты могут возникать и по другим причинам, обсуждаемым ниже. [c.298]

    Во многих случаях остается неясность относительно того, какой именно атом водорода отщепляется от валентнонасыщенной молекулы. Для решения этого вопроса с успехом применяется методика определения кинетического изотопного эффекта при замене данного атома водорода на дейтерий. Вследствие различий нулевой колебательной энергии связей С—Н и С—О константа скорости реакции [c.155]

    Если переход 1—О с высвечиванием соответствующего кванта затруднен (а мы знаем, что выходы люминесценции при облучении насыщенных органических веществ весьма малы), то для молекул в состоянии 1 представляются только две возможности — внутренняя конверсия, т. е. переход 1—О с одновременным перераспределением всей энергии по колебательным степеням свободы системы, и диссоциация по СН-связи, в ходе которой перераспределяется значительно меньшее количество энергии (А 1,о—Осн), причем значительная часть ее может быть передана в первичном импульсе легкой частице — атому водорода в виде кинетической энергии. Представляется весьма естественным, что с ростом АЕ ,о второй процесс должен становиться все более и более вероятным из-за все больших затруднений, [c.183]

    Появление максимума на кривой зависимости 5н/т от состава сплава не получило еще надежно обоснованного объяснения. Предположительно это явление можно объяснить следующим образом. Известна сильная поверхностная активность ртути в этом сплаве [98]. При концентрации Hg 0,24% поверхностный избыток ртути составляет около 1 монослоя, т. е. примерно 1/3 от его максимальной величины в насыщенном ртутью сплаве. Отсюда следует, что значительная часть поверхности электрода занята атомалги ртуг.и. Металлический адиус атом.а Hg примерно на 0,2 А больше, чем Оа. Поэтому можно предположить, что ионы гидроксония не могут приблизиться к атомам галлия на такое же расстояние, как на поверхности чистого металла. Это затрудняет туннелирование и повышает, соответственно, кинетический изотопный эффект ири разряде на атомах галлия. Поскольку энергия адсорбции водорода иа галлии больше, разряд на галлии легче, и суммарный изотопный эффект определяется именно увеличением 5н/т для выделения водорода на атомах Оа. При высокой же концентрации ртути поверхность электрода практически покрыта ртутью и ее характеристики (5, Г)) близки к таковым для чистого металла. [c.48]

    Суммируя результаты экспериментальных исследований над ионизацией и возбуждением газа потоком электронов, мы приходим к заключению, что при столкновении электрона с атомом надо различать два случая либо в атоме не происходит никаких изменений, и электрон заметно не изменяет своей скорости, либо электрон отдаёт всю или часть своей кинетической энергии атому, и последний возбуждается или ионизуется. Первый вид столкновений называется упругим столкновением. При столкновении быстро движущегося упругого тела с другим упругим телом, медленно движущимся, первое теряет долю своей энергии, равную в среднем двукратному отношению масс сталкивающихся тел. Так как масса электрона, в 1835 раз меньше массы атома водорода, то при упругих столкновениях с атомами даже лёгких газов электроны теряют лишь около своей кинетической энергии. Столкновение, сопровождаемое передачей кинетической энергии движения электрона атому в виде энергии возбуждения или энергии ионизации, называется неупругим столкновением электрона, и притом неупругим столкновением первого рода в отличие от столкновений второго рода, о которых речь будет ниже. Об ионизации и о потенциале ионизации смотрите обзор 697] с обширным списком литературы, а также Г692, 725, 758. 759]. [c.200]

    Атом водорода трехмерен, ноэтом уравнегше Шредингера должно включать кинетическую энергию во всех трех измерениях и будет иметь несколько более сложный вид, чем представленное в разделе 1.1 этой главы уравнение для одномерного движения. При его решении с наложершем граничных условии, которые вытекают из вероятностной интерпретации волновой функции, бьши получены следуюшде выводы. [c.10]

    Осложняющим обстоятельством в химии Е2- и Е1-реакций является многовариантность отщепления протона, если галогенид-ион или другая отщепляемая функциональная группа занимает место у вторичного или третичного атома углерода. Так, в алкилгалогениде (I) возможно удаление Вг вместе с одним из протонов при Сг, С3- и Сб-атомах с образованием 2-этил-З-метилбутена-1 (II), 3,4-диметилпентена (III), 2,3-диметил-пентена-2 (IV). Все три алкена присутствуют в реакционной смеси. Однако преобладает в большом избытке соединение (IV), в котором протонизирует третичный атом водорода, имеющий минимальную энергию связи по сравнению с вторичным и первичным (см. алканы). В соединении (I) бром находится при третичном атоме углерода. Реакция отщепления НВг происходит через карбкатион по механизму Е1, и скорость реакции не зависит от концентрации алкоголят-иона (спиртового раствора КОН), так как последний не входит в кинетическое уравнение (6.29)  [c.214]

    Определенная в предыдущем абзаце энергия образования молекулярного иона несколько отличается от энергии связи. Последняя величина обозначает энергию, которую нужно затратить для разложения молекулярного иона на протон и атом водорода. Различие связано с тем, что у ядер есть кинетическая энергия. (Следует отметить, что в то время, как энергия молекулярного иона отрицательна, энергия образования н энергия связи берутся положительными. Таким образом, в двухатомной молекуле энергия молекулы равна энергии связи, взятой с обратным энако.и.) При абсолютном нуле два протона, находящиеся на бесконечном расстоянии друг от друга, будут неподвижны. Но, находясь в молекулярном ионе, они совершают небольшие колебания около положения с минимальной потенциальной энергией (г = г ) Поэтому при 0° К энергия связи меньше энергии образования на величину, равную этой колебательной энергии при абсолютном нуле. При более высоких те] пературах нужны дополнительные поправки на энергию поступательного движения молекулярного иона, изо.чированного протона, атома водорода и на энергию вращения молекулярного иона. Таким образом, энергия связи является функцией темпе-ратуры, а энергия образования не зависит от нее. В дальнейшем. [c.57]

    В определенных условиях скорость реакции определяется скоростью диффузии водорода через пленку гидрида. С повышением температуры наблюдается переход из диффузионной области в кинетическую. Энергия активации при этом изменяется от 12—15 до 5,5—5,7 ккал/моль. Указывают, что если при атмосферном давлении и 370° С для завершения реакции требуется 1 ч, то при 10 ат — 210 сек, а при 30 ат в тех же условиях достаточно 10 сек [65]. Одновременно индукционный период снижается с 75 до ХЬсек. Скорость образования гидрида кальция при повышении температуры до 350° С растет, а затем падает. [c.92]

    И. И. Чхеидзе. Атомы водорода, оторванные из кольца, обладают меньшим запасом кинетической энергии и преимущественно присоединяются к кольцу с образованием радикалов СбНбР. Водород, оторванный из СНз-группы, более горяч и способен к реакциям отрыва 1]. Между прочим в пользу того, что способность атома Н к реакции отрыва сильно зависит от энергии, которую несет этот атом, говорят эксперименты, проведенные в лаборатории Л. И. Авраменко [2]. Фишер 3] проводил реакцию атомов Н с бензолом при температуре около —80° С. Он получил почти соверщенно чистый спектр радикала СеН/. Л. И. Авраменко и другие проводили эту реакцию при температурах 20 и 220° С и установили, что доля радикала eHs растет с температурой. Аналогичная картина получена и для фенола. [c.189]

    I ( 3/2) — по краям полосы. Во всех случаях большой избыток энергии кванта над энергией диссоциации связи Н — X приводит к реакциям горячих атомов [52]. Например, при 1849 А имеется избыток кинетической энергии в 84 кпал1молъ, которой, по-видимому, обладает атом водорода (разд. 6-7Б-3). [c.160]

    СвН5)2СОН (СбН5)2СО Н+. Хотя длительность вспышки была слишком велика для того, чтобы однозначно идентифицировать промежуточный триплет бензофенона (по-видимому, являющийся частицей, отрывающей атом водорода, и предшественником кетильного радикала), они доказали его наличие, добавляя в систему нафталин . Они показали — как спектроскопически, так и кинетически, — что при импульсном фотовозбуждении раствора бензофенона в бензоле с добавкой нафталина последний полностью подавляет образование кетильных радикалов, причем одновременно образуется триплет нафталина. Как было найдено [142], ряд других донор-акцепторных пар (в том числе фенантрен — нафталин, трифенилен — нафталин, фенантрен — 1-бромнафталин и диацетил — 1,2-бензантрацен) также обнару>кивает триплет-триплетный перенос энергии. [c.280]

    Возможность протекания первой реакции (наиболее обычной) обеспечивается кинетической энергией поглощаемого нейтрона сравнительно легко. Напротив, две последние реакции требуют большой затраты энергии и поэтому могут протекать только под воздействием достаточно быстрых нейтронов. Одним из продуктов третьей реакции является изотоп водорода с массой 3. — т. н. тритий (Т), распространенность которого в природе ничтожно мала (один атом трития приходится примерно на 10 атомов протия). В результате четвертой реакции происходит как бы размножение нейтронов. [c.563]

Home
 / Учебник ОБЩАЯ ХИМИЯ / Глава 3. Молекула / * Энергия молекулы водорода

* Энергия молекулы водорода

Молекула водорода состоит из двух атомов водорода. При образовании молекулы два электрона, которые до этого времени принадлежали к двум различным атомам водорода, начинают вращаться в плоскости, перпендикулярной к оси, соединяющей ядра (рисунок 3.4).
При образовании ковалентной химической связи за счет перехода электронов от одного атома к внешней оболочке другого происходит выделение энергии. Данное выделение энергии можно объяснить сродством атомов водорода по отношению к электрону. Это соответствует формуле 0.72 эВ х 2, где 0,72 эВ есть энергия сродства одного атома водорода по отношению к одному электрону.
Одновременно при образовании связи электроны и ядра приближаются друг к другу, что приводит к потере энергии. Согласно опытным данным, межъядерное расстояние в молекуле водорода составляет 0.74Å. Соответственно, потеря энергии, происходящая за счет взаимного отталкивания ядер, составляет около 9 эВ.
То есть в соответствии с этим расчетом,  молекула водорода не может быть стабильной. 

Рисунок 3.4  Силы притяжения и отталкивания в  молекуле AB

Рассчитаем энергию молекулы водорода так, как мы это делали для  атома: энергия молекулы также приравнивается к сумме ее электронных энергий.
Согласно этой модели (рисунок 3.4), электроны вращаются вокруг точки Е в плоскости, перпендикулярной к оси, соединяющей ядра А и В. Силы притяжения электронов к ядрам направлены перпендикулярно к плоскости круга, в котором электроны вращаются и где они взаимно уравновешивают друг друга. Их взаимное действие, таким образом, равно нулю. Задача о вычислении энергии молекулы водорода сводится к вопросу об определении энергии гелиеподобного атома (атома с двумя электронами).

Мы показали (см. монографию), что для этого расчета необходимо знать ядерный заряд, так как энергия гелиеподобного атома определяется по формуле:

              E_He = 13,6 .(Z – 0.25)² • 2                                                               (3.4.1)

Следует отметить, что в точке Е нет реального положительного заряда. Электроны притягиваются к этой точке за счет сил F₁¹, которые являются проекциями сил F1 на оси DC.
Данные силы идентичны тем силам, которые удерживают электроны на орбите гелиеподобного атома с зарядом Z. Эти силы предотвращают разрыв электронов из-за взаимного отталкивания F₃ и центробежных сил, то есть 2F₁¹ = F₃+F₄, где F₃ есть силы межэлектронного отталкивания и F₄ – центробежные силы.
В данном случае, как и всегда, мы используем систему вычислений, предложенную Бором для расчета атомарных систем. Энергия системы и линейные параметры в этих расчетах определяются посредством сравнения зарядов и расстояний (радиусов) с энергией электрона и радиусом орбиты в атоме водорода. Заряд электрона принят за единицу заряда, а радиус атома водорода (0,529Å) выступает в качестве единицы длины. Единичная сила в данном случае есть сила взаимодействия протона с электроном в атоме водорода, расстояние между которыми составляет 0,529 Å.
Таким образом, ядерный заряд может иметь сходство с зарядом Z_e, поскольку заряд протона равен заряду электрона. С учетом всех принятых обозначений, определим эффективный заряд Z в точке E молекулы водорода (см. рисунок).

Электроны здесь расположены в точках C и D, а ядра (протоны) – в точках А и В. Точка Е находится в центре, вокруг которого вращаются электроны в плоскости, перпендикулярной по отношению к нему, как это изображено на рисунке. Силы притяжения электронов к ядрам обозначены на рисунке как F₁, силы отталкивания между ядрами – как F₂, силы отталкивания между электронами – как F₃.
Проекции F₁ на оси CD обозначены как F₁¹, проекции F₁ на оси AB – как F₁¹¹.

Свойства молекул водорода не изменяются с течением времени, поэтому расстояния между электронами и ядрами являются постоянными. То есть, силы F₁, притягивающие ядро F₁¹¹ , есть равные силы межъядерного отталкивания. Силы F₁¹¹, действующие на электроны, также равны по той же причине. Эти силы действуют на электроны C и D в противоположных направлениях и являются равными по величине, т. е. их результирующая сила равняется нулю. То же самое относится к силам 2F₁¹ и F₃+F₄.
Теперь обозначим радиус орбиты электрона как а (EC = а), расстояние между ядрами как 2b (AB = 2, b), расстояние между электроном и ядром как с (AC = с), а половину силы, притягивающей электрон к точке Е, как F₅. Таким образом, мы получаем:

F₅ = F₁¹ + F₁¹ = 2F₁¹                                                                                        (3.4.2)

С другой стороны, поскольку силы, действующие на каждый электрон, равны силам в водородоподобных атомах с радиусом а и зарядом Z_e, получаем:

F₅ = Z_e²/a²                                                                                       (3.4.3)

Если подставить значение F₅ в уравнение 3.4.2, мы получаем:

Z_e²/a² = 2F₁¹                                                                                    (3.4.4)

т. е. для того чтобы определить Z и энергию молекулы водорода, надо решить это уравнение.
F₁¹, как уже отмечалось, является проекцией F₁ на ось CD. Согласно тригонометрии:

F11 = F1 x cos ∠ ECB                                                                           (3.4.5)

Тогда cos∠ECB = EC/CB, или, в соответствии с принятыми обозначениями, EC = a и BC = c , следовательно, cos∠ECB = a/c.  Согласно теореме Пифагора и принятым обозначениям, EB = b:  
Cos ∠ECB = a/(a²+b²)^0.5 = a(a²+b²)-^0.5

Подставляя  значение cos ∠ ECB в уравнение 3.4.5, получаем:

F₁¹ = F₁ x a(a²+b²)-^0.5

В соответствии с принятыми обозначениями, BC = c

F₁ = e²/c²                                                                                                 (3.4.6 ),

поскольку положительный заряд в точке B равен 1.
Подставляя значение F₁ из этого уравнения, получаем:

              F₁¹ = e²/c² x a(a²+b²)-^0.5 ;   то есть, c² = a²+b²

Таким образом, мы получаем теорему Пифагора:

F₁¹ = e²a(a²+b²)-^0.5/(a²+b²)= e²a(a²+b²)-^1.5

Подставляя значение F₁¹ из данного уравнения к уравнению 6.1.4, получаем:

Ze²/a² = 2e²a(a²+b²)-^1.5

Умножая обе части этого уравнения на a² и деля их на e², получаем:

  Z = 2a³(a²+b²)-^1.5

Теперь делим и умножаем значение в скобках на а:

    Z = 2a³ • a^-3(1+b²/a²)-^1.5 = 2[1+(b/a)²]-^1.5                                                    (3.4.7).

То есть, для того чтобы определить значение b, мы должны определить значение b/a, для которого мы будем использовать следующее уравнение.

В соответствии с рис. 3.4, 2F₁¹¹ = F₂ или, согласно тригонометрии и рис. 6.1, F₁¹¹ = F₁ cos ∠ CBE, поскольку в соответствии с законами тригонометрии и теоремой Пифагора, cos ∠ CBE = b/(a²+b²)^1.5
Тогда, используя закон Кулона, получим:

F₁¹¹ = [e²/(a²+b²)] • b/(a²+b²)^0.5 = e²b/(a²+b²)^1.5                                          (3.4.8)

С другой стороны, согласно модели и законом Кулона:

2F₁¹¹= e²/4b², то есть, 2e²b/(a²+b²)^1.5 = e²/4b²

Теперь умножим обе части уравнения на следующее        4(a²+b²)(a²+b²)^0.5 / b e² и мы получаем:

e²4(a²+b²)(a²+b²)^0.5 / 4 b² b e² == 2e² • b • 4(a²+b²)(a²+b²) / (a²+b²)^0.5(a²+b²)^0.5 • b • e².

Таким образом, мы имеем:             (a²+b²)(a²+b²)^0.5 / b³ = 8.
Квадрат обеих частей уравнения дает нам:

(a²+b²)2 • (a²+b²) / b⁶ = 64 или: (a²+b²)³ / b⁶ = 64.

По извлечении кубического корня в обеих частях уравнения, имеем:

(a² + b²)/b² = 4  или   a²/b² + 1 = 4; a²/b² = 3; a/b = 30,5                             (3.4-8a)

Подставляя значения b/a = 1/30.5 в уравнение 3.4.7, мы получаем:  

                Z = 2(1+1/30.5)-^1.5 = 2(1,333)-^1.5 = 1,299

Подставляя значение Z в уравнении 3.4.1, мы, наконец, определяем значение энергии молекулы водорода (E_H2), которое составляет:

E_H2=1 317 кДж/моль.•2•(1,299-0.25)² =1,317 • 2 • (1,049)² = 2 898 кДж/моль.

Вычисляя энергию молекулы водорода, мы получили данные, позволяющие нам рассчитать геометрические параметры молекулы.
Суммарный заряд, действующий на электроны, равен 1.049 единиц протона. Таким образом, радиус перехода электрона на 1.049 меньше, чем у атома водорода, который в свою очередь равен 0.529Å.
Соответственно, радиус орбиты  (круга), по которой связывающие электроны вращаются в молекуле водорода, равен 0.504 Å (0.529/1.049 = 0.504). Поскольку расстояние между ядрами равно 2b, и при этом b равно a/30.5, расстояние между ядрами составляет (0.504 • 2/30,5) = 0.582 Å.

Расстояние между ядрами и электронами определяется теоремой Пифагора и составляет (0.5042 + 0.2912)^0.5 = 0.582Å.
Масштабно увеличенные значения расстояний a, b, и c позволяют нам представить фактический размер молекулы водорода, изображенной на рис. 3.4.
Эти значения дают нам возможность определить энергию молекулы водорода, не обращаясь к расчету посредством теоремы вириала.
Потенциальная энергия молекулы водорода рассчитывается с помощью сравнения ее с атомом водорода, потенциальная энергия которого равна 2 634 кДж/моль. Атомы водорода (электроны и протоны которого заряжены с одинаковыми абсолютными величинами и имеют противоположные значения) притягиваются друг к другу и находятся на расстоянии 0.529Å. Потенциальная энергия вычисляется по формуле: E = q₁q₂ / R, где q₁ и q₂ есть заряды в частицах, а R – расстояние между ними.
В атомах и молекулах положительные и отрицательные заряды равны по значению, как и в атоме водорода. Именно поэтому энергия их кулоновского взаимодействия является обратно пропорциональной только по отношению к расстоянию между зарядами в молекулах и атомах водорода.
Суммарная потенциальная энергия молекулы водорода равна разнице между энергией притяжения электронов к ядрам и межэлектронной, межъядерной энергией отталкивания. Энергия притяжения составляет:
E_прит = 2 634 • 0.529 • 4 / 0.582 = 9 577 кДж/моль.

Энергия отталкивания равна:
E_отт = 2 634^.0.529 / 0.582 +2 634 0.529 / 1.008 = 3 776 кДж/моль.
Разница между энергией притяжения (которая определяет стабильность молекулы) и энергией отталкивания равняется 9 577 – 3 776 = 5801 кДж/моль. Энергия притяжения электронов к ядрам для двух атомов водорода составляет 2 634 х2 = 5 268 кДж/моль. То есть, увеличение энергии притяжения (например, потенциальной энергии) при образовании молекулы составляет 5 801 – 5 268 = 533 кДж/моль. Значит, ядра в молекуле связаны с электронами прочнее, и для того, чтобы расщепить молекулу на атомы, требуется больше энергии.
Это было доказано экспериментально. Чтобы расщепить молекулу водорода на атомы, необходимо нагреть ее до температуры свыше 3000 С°.
Суммарная энергия молекулы водорода равна разнице между кинетической и потенциальной энергиями электронов. Согласно теореме вириала, кинетическая энергия равна половине потенциальной энергии системы, в которой действуют только кулоновские силы. Соответственно, суммарная энергия равна половине потенциальной энергии.
Таким образом, суммарная энергия молекулы водорода составляет 5 801/2 = 2900 кДж/моль. Суммарная энергия двух атомов водорода, как указано выше, равна 2 634 кДж/моль. Значит, энергия, выделяющаяся при формировании молекулы водорода из атомов водорода, составляет 2 900 – 2 634 = 266 кДж/моль. 

В ходе наших расчетов, основывающихся на уравновешивающих силах, мы пришли к выводу, что энергия молекулы водорода составляет 2 898 кДж/моль и что потенциальная энергия равняется 5 800 кДж/моль. В соответствии с теоремой вириала, суммарная энергия молекулы водорода составляет 5,800/2 = 2,900 кДж/моль. Значения суммарной энергии, рассчитанные с использованием обоих методов, совпадают, тем самым доказывая, что в молекуле имеют место только обыкновенные кулоновские взаимодействия.

Таким образом, электроны двигаются в молекулах с большей скоростью, чем в атомах, хотя в первом случае они активней притягиваются к ядрам. Выделение энергии, которое происходит за счет большего притяжения электронов к ядрам, в два раза больше, чем потеря энергии, вызванная увеличением кинетической энергии электронов. Образование молекул сопровождается выделением энергии, что и объясняет их устойчивость при комнатной  температуре (≈ 20°C).
Поскольку процесс образования молекулы протекает с выделением энергии, для того, чтобы расщепить молекулу на атомы, т. е. осуществить обратный процесс, необходимо, чтобы молекулы получили некоторое количество энергии, которое можно рассчитать согласно схеме в разделе.

Строение молекулы.Химическая связь >>

Ковалентная связь >>

Модель молекулы водорода >>

Энергия молекулы водорода

Энергия иона водорода Н₂⁺ >>

Другой способ определения энергии молекулы водорода >>

Выводы >>

Про смысл знаков в конце, а сейчас формулы

Центробежная сила
mV^2/R
Притяжение зарядов
e^2/R^2

равны друг другу –
mV^2/R = e^2/R^2 [1]

Кин энергия
1/2 mV^2
Потенциальная энергия електрона в поле протона на расстоянии R
– e^2/R

Из [1] следует

mV^2 = e^2/R

Значит
Епот = – e^2/R = – mV^2 = – 2 Екин

Потенциальную находим сразу – заряд электрона знаем, расстояние дано
Она отризательна.

Кинетическая – положительна и равна половине потенциальной
Екин = – Епот/2

Полная = Екин + Епот = – Епот/2 + Епот = Епот/2
(минус е-квадрат на два эр)
Тоже половина потенциальной, но знак (-), как и у Епот

2) Разберемся со знаками. Извиняюсь, если слишком подробно.

Физическим смыслом обладает не конкретное значение энергии, а разность величины энергии в начальном и конечном состоянии.
Например груз массой М в поле тяжести.
ВАРИАНТ 1. Отсчет энергии начинаем с уровня земли. На земле Епот=0,
На высоте Н Епот= MgH. Работа по перемещению груза от земли на высоту –
А=MgH – 0 = MgH
ВАРИАНТ 2. Имеем полное право отсчет вести от высоты Н и принять величину энергии на ней равным 0.
Тогда Епот на земле будет
Епот = – MgH отрицательна, но главное меньше, чем на высоте
Работа при подъеме
А = 0 – (- MgH ) = MgH
правильного знака и величины.

Теперь о задаче. Определение потенциала эл. поля в некоторой точке – это как раз потенциальная энергия единичного ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО заряда в данной точке. Для неединичного заряда – энергия = потенциал умнож. на заряд.

Потенциалом данной точки называется работа сторонних сил по перемещению ЕДИНИЧНОГО ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО заряда из точки, потенциал которой принят равным 0 (берем всегда бесконечность) , в данную точку.

Чтобы это “отложилось” навсегда надо поставить себя на место внешней силы. Итак есть положительный заряд (протон) . Надо найти потенциал в точке рядом с ним. Берем в руки пробный положительный – они отталкиваются. Двигаемся из бесконечности к заряду, движение вперед, усилия вперед, значит наша работа положительна, значит пот. эн. растет и больше нуля.

А теперь берем электрон, он притягивается к протону, значит его надо не толкать, а придерживать. Двигаем из бесконечности к протону – движение вперед, усилие назад, значит работа отрицательна, значит энергия уменьшается. На бесконечности энергия принята за 0 – значит становиться отрицательной.

Чтобы окончательно представить ситуацию посмотрим на кинетическую энергию еще раз
mV^2/R = e^2/R^2 [1]
mV^2 = e^2/R
при удалении от протона на бесконечность Екин падает до ноля, как 1/R –
т. е. на бесконечности она как и потенциальная ноль.
Значит полная на бесконечности ноль. Двигаем к протону – кинетическая растет и дает плюс, потенциальная уменьшается и дает минус. Уменьшение потенциальной больше увеличения кинетической в два раза, поэтому полная – уменьшается, отрицательна и половина потенциальной.