Задача
Обруч массой m = 2 кг катится без скольжения со скоростью v = 5 м/с. Определить его кинетическую энергию.
m = 2 кг; v = 5 м/с; W = ?
1-й вариант решения
Полная кинетическая энергия катящегося обруча является результатом суммы кинетической энергии поступательного движения центра масс обруча (точка О) со скоростью V и кинетической энергии вращения обруча с линейной скоростью V относительно оси симметрии (О):
Момент инерции обруча относительно оси симметрии:
где R – усредненный радиус обруча.
Угловую скорость можно выразить через линейную скорость:
Кинетической энергии вращательного движения обруча с линейной скоростью V относительно оси симметрии:
Таким образом, полная кинетическая энергия катящегося обруча равна:
2-й вариант решения
Примем точку А за мгновенный центр вращения, тогда полная кинетическая энергия катящегося обруча будет равна кинетической энергии вращения обруча относительно оси, проходящей через точку А перпендикулярно плоскости чертежа:
Момент инерции обруча относительно оси, проходящей через точку А можно определить по теореме Штейнера:
Таким образом, полная кинетическая энергия катящегося обруча равна:
Ставьте лайки и подписывайтесь. 🙂
Как определить кинетическую энергию обруча?
Васек Мартынов
Знаток
(359),
закрыт
4 года назад
Если обруч радиуса R, массой m катиться по гладкой поверхности без проскальзывания с постоянной скоростью v, чему равна его полная кинетическая энергия?
Неизвестно
Профи
(954)
11 лет назад
сумме кинетической энергии поступательного движения mV^2/2 и кинетической энергии вращательного движения IW^2/2
где I=mR^2 момент инерции обруча
W=V/R угловая скорость обруча
2017-04-24 
Определить кинетическую энергию обруча массой $m$, катящегося без проскальзывания со скоростью $v$.
Решение:
Каждая точка обруча совершает сложное движение, состоящее из поступательного движения со скоростью $v$ и вращательного движения со скоростью $v_{вр} = 0$ (движение без проскальзывания). Выберем материальную точку на обруче массой $m_{1}$. Кинетическая энергия этой точки будет складываться из кинетической энергии поступательного движения $frac{m_{i}v^{2}}{2}$ и кинетической энергии вращательного движения $frac{m_{i}v_{вр}^{2}}{2} = frac{m_{i}v^{2}}{2}$. Итак, кинетическая энергия каждой точки обруча $W_{ki} = m_{i}v^{2}$. Просуммировав кинетическую энергию всех точек обруча, получим его кинетическую энергию:
$W_{k} = sum W_{ki} = left ( sum m_{i} right ) v^{2} = mv^{2}$.
Обруч и диск обруч и диск одинаковой массы катятся без скольжения с одинаковой линейной скоростью. кинетическая энергия обруча 4 дж.найти кинетическую энергию диска
Кинетическая энергия диска в этом случае будет состоять из кинетической энергии линейного перемещения и кинетической энергии вращения.
где m – масса, V – линейная скорость, J – момент инерции, w – угловая скорость.
Для диска
С учетом (2) и (3) формула (1) приобретает вид:
Для обруча момент инерции
Кинетическая энергия обруча аналогично кинетической энергии диска:
По условию задачи кинетическая энергия обруча нам известна
Подставим 
Ответ: Кинетическая энергия диска составляет 3 Дж.
-
Основные формулы Кинематика
Скорость и ускорение
прямолинейного движения в общем случае
определяются формулами
,
.
В случае прямолинейного равномерного движения
,
.
В
случае прямолинейного равнопеременного
движения
.
При
криволинейном движении полное ускорение
,
где
–
тангенциальное (касательное ускорение),
–
нормальное (центростремительное)
ускорение.
,
,
где
V
– скорость движения, R
– радиус кривизны траектории в данной
точке.
При вращательном
движении в общем случае угловая скорость
и угловое ускорение находятся по формулам
,
,
где
– угловое перемещение.
В случае равномерного
вращательного движения угловая скорость
,
где
T
– период вращения, n
– частота вращения.
Угловая скорость
и линейная скорость V
связаны соотношением
V=R.
Тангенциальное и
нормальное ускорения при вращательном
движении могут быть выражены в виде
R,
2R.
Динамика Импульс материальной точки массой m, движущейся со скоростью V,
.
Второй закон Ньютона
,
где
– результирующая сила, действующая на
материальную точку.
Если масса тела m
постоянна, то
,
где
– ускорение, которое приобретает тело
массой m под действием
силы
.
Закон сохранения
импульса
,
если
Кинетическая
энергия тела, движущегося поступательно
,
или
.
Потенциальная
энергия:
а) упруго
деформированной пружины
,
где
k
– жесткость пружины, х
– абсолютная деформация.
б) тела, находящегося
в однородном поле силы тяжести,
,
где g
– ускорение свободного падения, h
– высота тела над уровнем, принятым за
нулевой (формула справедлива при условии
h
R,
где R
– радиус Земли).
Закон сохранения
механической энергии
,
если
система замкнута и в ней действуют
только консервативные силы.
Момент M
силы F
относительно произвольной оси вращения
,
где
– кратчайшее расстояние от прямой,
вдоль которой действует сила, до оси
вращения.
Момент инерции
материальной точки относительно
произвольной оси вращения
где
m
– масса материальной точки, r
– ее расстояние от оси вращения.
Момент инерции
некоторых тел массой m
относительно оси Z,
проходящей через центр масс:
а) стержня длиной
относительно оси, перпендикулярной
стержню,
;
б) обруча
(тонкостенного цилиндра) относительно
оси, перпендикулярной плоскости обруча
(совпадающей с осью цилиндра),
где
R
– радиус обруча (цилиндра);
в) диска (однородного
сплошного цилиндра) радиусом R
относительно оси, перпендикулярной
плоскости диска,
.
Основной закон
динамики вращательного движения
где
– проекция момента импульса на ось Z,
– проекция момента сил, приложенных к
телу, на ось Z.
Если момент инерции
J
= const,
то
где
– угловое ускорение, приобретенное
телом под действием момента сил M.
Кинетическая энергия вращающегося тела
,
где J
– момент инерции тела;
– его угловая скорость.
Закон сохранения
момента импульса системы тел, вращающихся
вокруг неподвижной оси Z,
,
если
результирующий момент внешних сил
относительно этой оси равен нулю.
1.2. Примеры решения задач.
Пример 1.
Две гири массами
=
0,3 кг и
=
0,2 кг связаны невесомой нерастяжимой
нитью, перекинутой через блок массой m
= 0,3 кг. Блок считать однородным диском.
Трением пренебречь. Определить ускорение,
с которым движутся гири.
Дано:
= 0,3 кг
=
0,2 кг
m = 0,3 кг
a = ?
Решение.
Система состоит из трех тел: гирь
и
,
движущихся поступательно, и блока m,
вращающегося относительно неподвижной
оси, проходящей через центр инерции
блока. Гиря
находится под действием двух сил: силы
тяжести
и силы натяжения нити
.
Гиря
также находится под действием двух сил:
силы тяжести
и силы натяжения нити
.
Запишем 2-й закон Ньютона для гирь:
, (1)
. (2)
Блок
вращается вокруг неподвижной горизонтальной
оси, проходящей через его центр,
следовательно, момент силы тяжести
блока и момент силы реакции оси равны
нулю. Если предположить, что нить не
скользит относительно блока, то вращают
блок только силы натяжения нити.
Запишем
основное уравнение динамики вращательного
движения для блока:
, (3)
где:
– угловое ускорение,
– момент инерции блока,
и
– моменты сил
и
.
Если нить невесома, то силы натяжения
вдоль нити с каждой стороны блока
одинаковы по модулю, то есть:
,
.
Ускорения обеих
гирь считаем равными по модулю на
основании нерастяжимости нити. Если
нить не проскальзывает относительно
блока, то касательное ускорение его
точек, соприкасающихся с нитью, равно
ускорению нити в любой ее точке и
ускорению гирь:
.
Для перехода к скалярным соотношениям
для описания движения гирь введем ось
Y. Теперь векторные уравнения (1) и
(2) можно заменить скалярными:
(4)
Моменты сил
и
направлены по оси вращения, но в
противоположные стороны. Примем
направление вектора
за положительное. Тогда момент силы
относительно оси вращения будет
положительным, а момент силы
– отрицательным. Векторное уравнение
(3) можно переписать в виде:
,
или
,
где: r – радиус блока.
Учитывая, что момент инерции однородного
диска
и связь линейного и углового ускорений
,
получаем:
,
. (5)
Из уравнений (4) выразим
силы натяжения нитей:
,
.
Подставим в (5), получим:
,
,
.
Проверим размерность:
.
Вычисления:
.
Ответ:
.
Пример 2.
По рельсам свободно движется платформа
с установленным на ней орудием. Скорость
платформы
=
10 м/с. Из орудия производят выстрел вдоль
рельс, в направлении движения. Скорость
снаряда относительно платформы
=
400 м/с. Каково должно быть соотношение
между массой M платформы вместе с орудием
и массой снаряда m, чтобы скорость
платформы уменьшилась в 10 раз?
Дано:
=
10 м/с
=
400 м/с
Решение.
Скорость платформы
меняется вследствие взаимодействия
снаряда и платформы. Выясним, является
ли эта система изолированной. На тела
рассматриваемой системы действуют три
внешние силы: сила тяжести, сила реакции
опоры и силы трения. Первые две силы в
сумме дают ноль. Так как силы взаимодействия,
возникающие при выстреле, очень велики,
то по сравнению с ними силой трения
можно пренебречь. Следовательно, система
снаряд – платформа является изолированной
системой (в первом приближении).
Решение задачи
проведем в системе координат, связанной
с Землей. До выстрела импульс системы:
,
после выстрела:
,
где:
–
скорость снаряда относительно Земли
после выстрела,
–
скорость платформы после выстрела.
По закону
сохранения импульса:
.
Учтем, что
и
запишем в скалярной форме:
,
.
Размерность:
.
Ответ: M/m = 44.
Пример 3.
Два шара массами
=
2,5 кг и
=
1,5 кг движутся друг другу навстречу со
скоростями
=
6 м/с и
=
2 м/с. Найти: 1) скорости шаров после удара,
2) кинетические энергии шаров до и после
удара, 3) энергию, затраченную на деформацию
шаров при ударе. Удар считать прямым,
неупругим, трением
пренебречь.
Дано:
=
2,5 кг,
=
1,5 кг
=
6 м/с,
=
2 м/с
u = ?,
=
?,
=
?,
=
?
Решение:
-
Н
еупругие
шары не восстанавливают после удара
свою первоначальную форму. Следовательно,
не возникают силы, способные оттолкнуть
шары друг от друга. -
Поэтому шары
после удара движутся совместно с
одинаковой скоростью
.
Определим эту скорость по закону
сохранения импульса. Ось Х направим по
вектору.
В проекциях на ось Х закон сохранения
импульса примет вид:
,
.
Проверка
размерности:
,
.
-
Кинетическая
энергия шаров до и после удара:
,
.
.
,
.
-
Энергия
деформации равна разности энергий
шаров до и после удара (по закону
сохранения и превращения энергии):
.
Ответ: u = 3 м/с,
=
48 Дж,
=
18 Дж,
=
30 Дж.
Пример 4.
Человек стоит в центре скамьи Жуковского
(рис.3) и вместе с ней вращается по инерции
с частотой
=
0,5 об/с. Момент инерции человека и скамейки
относительно оси вращения
=
6 кг∙м2. В вытянутых в сторону
руках человек держит две гири массой m
= 2 кг каждая. Расстояние между гирями
=
1,6 м. Сколько оборотов в секунду будет
делать скамейка с человеком, если он
опустит руки и расстояние между гирями
станет равным
=
0,4 м?
Дано:
=
0,5 об/с
=
6 кг∙м2
m = 2 кг
=
1,6 м
=
0,4 м
=
?
Решение.
Поскольку в
данной системе трением пренебрегаем,
а моменты внешних сил тяжести и реакции
опоры будем считать уравновешенными,
для системы человек – скамья – гири
будет выполняться закон сохранения
момента импульса:
или в скалярной
форме (
и
совпадают по направлению):
, (1)
где: I – момент
инерции человека и скамейки,
–
момент инерции гирь в 1-м положении,
–
угловая скорость системы в 1-м положении,
–
момент инерции во 2-м положении,
–
угловая скорость системы во 2-м положении.
Выразим угловую
скорость ω через частоту ν:
,
.
Момент инерции
гири определяется по формуле момента
инерции материальной точки:
.
Гирь в нашем случае две,
,
поэтому:
,
.
Подставляя
выражения для
,
,
и
в равенство (1), получим:
.
Отсюда определим:
.
Проверка
размерности:
.
Ответ:
=
0,7 об/с.
П
ример
5. Мальчик катит обруч по горизонтальной
дороге со скоростью v = 2 м/с. На какое
расстояние может вкатиться обруч на
горку за счет его кинетической энергии?
Уклон горки 10 м на каждые 100 м пути.
Дано:
v = 2 м/с
H = 10 м
L = 100 м
s = ?
Решение.
У подножия горки обруч обладает запасом
кинетической энергии:
,
где:
–
кинетическая энергия поступательного
движения обруча,
–
кинетическая энергия вращательного
движения.
Вкатившись на горку на максимально
возможное расстояние (высота горки в
этом месте h), обруч приобретет запас
потенциальной энергии
,
кинетическая энергия в этом положении
равна нулю.
Пренебрегая трением, воспользуемся
законом сохранения энергии:
,
.
Учтем, что момент инерции обруча
относительно оси, проходящей через
центр инерции:
,
где: m – масса обруча, R – радиус обруча.
Угловая скорость обруча ω связана с
линейной скоростью
точек, лежащих на поверхности обруча:
.
Поскольку за один полный оборот точка,
лежащая на поверхности обруча, проходит
путь
и центр масс смещается тоже на расстояние
,
то
.
Таким образом:
.
Тогда:
,
,
.
Так как
(рис.4), то:
.
Проверка
размерности:
.
Ответ: s = 4,1 м.
Пример 6. С
наклонной плоскости с углом наклона
скатываются без скольжения шар, диск
и обруч. Одновременно по той же плоскости
соскальзывает без трения некоторое
тело. Найти линейные ускорения центров
тяжести всех тел. Начальные скорости
равны нулю.
|
Дано: – угол шар , момент диск, момент обручь, момент |
|
Найти: линейные |
Решение.
-
Если тело
совершает поступательное и и вращательное
движения одновременно, то его кинетическая
энергия
,
где m – масса тела, v – линейная скорость
центра тяжести тела, J – момент инерции;
– угловая скорость
вращения.
-
Вначале
движения тело имело потенциальную
энергию
.
-
В конце
движения потенциальная энергия
преобразуется в кинетическую энергию
.
Отсюда
.
-
Так как
высота наклонной плоскости h = lsin
и = v/R,
то
.
-
Все тела
движутся равноускоренно вниз по
плоскости, так что
.
-
Учитывая
эти формулы, получаем
.
Подставляя значения моментов инерции
в выражения для а, находим
-
для шара
-
для диска
-
для обруча
.
Для соскальживающего тела J = 0,
следовательно,
.
