Как найти кинетическую энергию шаров после удара

Светило науки – 2050 ответов – 14257 раз оказано помощи

Примером применения
законов сохране­ния импульса и энергии
при решении ре­альной физической
задачи является удар абсолютно упругих
и неупругих тел.

Удар
(или соударение)
—
это столкно­вение двух или более тел,
при котором взаимодействие длится очень
короткое время. Исходя из данного
определения, кроме явлений, которые
можно отнести к ударам в прямом смысле
этого слова

28

(столкновения
атомов или биллиардных шаров), сюда
можно отнести и такие, как удар человека
о землю при прыжке с трамвая и т. д. При
ударе в телах воз­никают столь
значительные внутренние силы, что
внешними силами, действующи­ми на
них, можно пренебречь. Это по­зволяет
рассматривать соударяющиеся те­ла
как замкнутую систему и применять к ней
законы сохранения.

Тела
во время удара претерпевают деформацию.
Сущность удара заключает­ся в том,
что кинетическая энергия относи­тельного
движения соударяющихся тел на короткое
время преобразуется в энергию упругой
деформации. Во время удара име­ет
место перераспределение энергии меж­ду
соударяющимися телами. Наблюдения
показывают, что относительная скорость
тел после удара не достигает своего
пре­жнего значения. Это объясняется
тем, что нет идеально упругих тел и
идеально глад­ких поверхностей.
Отношение нормальных составляющих
относительной скорости тел после и до
удара называется коэффици­ентом
восстановления :

 =
v’_n/v_n.

Если
для сталкивающихся тел =0,
то такие тела называются абсолютно
неупру­гими, если
=1—абсолютно
упругими.

На
практике для всех тел 0<<1
(например, для стальных шаров 0,56,
для шаров из слоновой кости 0,89,
для свинца 0).
Однако в не­которых случаях тела можно
с большой точностью рассматривать либо
как абсо­лютно упругие, либо как
абсолютно не­упругие.

Прямая,
проходящая через точку со­прикосновения
тел и нормальная к повер­хности их
соприкосновения, называется линией
удара. Удар
называется централь­ным,
если
тела до удара движутся вдоль прямой,
проходящей через их центры масс. Мы
будем рассматривать только центральные
абсолютно упругие и абсо­лютно
неупругие удары.

Абсолютно
упругий удар — столкнове­ние
двух тел, в результате которого в обо­их
взаимодействующих телах не остается
никаких деформаций и вся кинетическая
энергия, которой обладали тела до удара,
после удара снова превращается в
кинети­ческую энергию

.

Для абсолютно
упругого удара вы­полняются закон
сохранения импульса и закон сохранения
кинетической энергии.

Обозначим
скорости шаров массами m₁
и
m₂
до удара через v₁
и
v₂,
после
удара — через v’₁
и
v’₂
(рис.
18). При пря­мом центральном ударе
векторы скоростей шаров до и после удара
лежат на прямой линии, соединяющей их
центры. Проекции векторов скорости на
эту линию равны модулям скоростей. Их
направления учтем знаками: положительное
значение припи­шем движению вправо,
отрицательное — движению влево.

При указанных
допущениях законы сохранения имеют вид

Произведя
соответствующие преобра­зования в
выражениях (15.1) и (15.2), по­лучим

Решая уравнения
(15.3) и (15.5), находим

Разберем несколько
примеров.

29

Проанализируем
выражения (15.8) и (15.9) для двух шаров
различных масс:

а) m₁
=m₂.
Если
второй шар до удара висел неподвижно
(v₂=0)
(рис.
19), то после удара остановится первый
шар (v’₁=0),
а второй будет двигаться с той же
скоростью и в том же направлении, в
котором двигался первый шар до удара
(v’₂
= v₁);

б)
m₁>m₂.

Первый
шар продолжает двигаться в том же
направлении, как и до удара, но с меньшей
скоростью (v’₁<v₁).
Скорость
второго шара после удара боль­ше, чем
скорость первого после удара (v’₂>v’₁)
(рис.20);

в)
m₁<m₂.
Направление
движения первого шара при ударе изменяется
— шар отскакивает обратно. Второй шар
движется в ту же сторону, в которую
двигался первый шар до удара, но с меньшей
скоростью, т.е. v’₂<v₁
(рис.
21);

г)
m₂>>m₁
(например,
столкновение шара со стеной). Из уравнений
(15.8) и (15.9) следует, что v’₁=-v₁,
v’₂2m₁v₁/m₂0.

2) При
m₁=m2
выражения
(15.6) и (15.7) будут иметь вид

v’₁=v₂,
v’₂=v₁,

т. е. шары равной
массы «обмениваются» скоростями.

Абсолютно
неупругий удар — столкно­вение
двух тел, в результате которого тела
объединяются, двигаясь дальше как единое
целое.

Продемонстрировать
абсолют­но неупругий удар можно с
помощью ша­ров из пластилина (глины),
движущихся навстречу друг другу (рис.
22).

Если
массы шаров m₁
и
m₂,
их скоро­сти до удара v₁
и
v₂,
то,
используя закон сохранения импульса,
можно записать

Если
шары движутся навстречу друг другу, то
они вместе будут продолжать двигаться
в ту сторону, в которую двигал­ся шар,
обладающий большим импульсом. В частном
случае если массы шаров равны (m₁=m₂),
то

v
= (v₁+v₂)/2.

Выясним, как
изменяется кинетиче­ская энергия
шаров при центральном аб­солютно
неупругом ударе. Так как в процессе
соударения шаров между ними дей-

30

ствуют силы,
зависящие не от самих деформаций, а от
их скоростей, то мы имеем дело с силами,
подобными силам трения, поэтому закон
сохранения механи­ческой энергии не
должен соблюдаться. Вследствие деформации
происходит «по­теря» кинетической
энергии, перешедшей в тепловую или
другие формы энергии. Эту «потерю» можно
определить по раз­ности кинетической
энергии тел до и после удара:

Если
ударяемое тело было первона­чально
неподвижно (v₂=0),
то

Когда
m₂>>m₁
(масса
неподвижного тела очень большая), то
v<<v₁
и
почти
вся кинетическая энергия тела при ударе
пере­ходит в другие формы энергии.
Поэтому, например, для получения
значительной де­формации наковальня
должна быть мас­сивнее молотка.
Наоборот, при забивании гвоздей в стену
масса молотка должна быть гораздо
большей (m₁>>m₂),
тогда
vv₁
и
практически вся энергия затрачи­вается
на возможно большее перемещение гвоздя,
а не на остаточную деформацию стены.

Абсолютно неупругий
удар — пример того, как происходит
«потеря» механиче­ской энергии под
действием диссипативных сил.

Контрольные
вопросы

• В чем различие
между понятиями энергии и работы?

• Как найти
работу переменной силы?

• Какую работу
совершает равнодействующая всех сил,
приложенных к телу, равномерно движу­щемуся
по окружности?

• Что такое
мощность? Вывести ее формулу.

• Дайте определения
и выведите формулы для известных вам
видов механической энергии. • Какова
связь между силой и потенциальной
энергией?

• Почему изменение
потенциальной энергии обусловлено
только работой консервативных сил?

• В чем заключается
закон сохранения механической энергии?
Для каких систем он выполняет­ся?

• Необходимо
ли условие замкнутости системы для
выполнения закона сохранения механической
энергии?

• В чем физическая
сущность закона сохранения и превращения
энергии? Почему он является фундаментальным
законом природы?

• Каким свойством
времени обусловливается справедливость
закона сохранения механической энергии?

• Что такое
потенциальная яма? потенциальный барьер?

• Какие заключения
о характере движения тел можно сделать
из анализа потенциальных кри­вых?

• Как
охарактеризовать положения устойчивого
и неустойчивого равновесия? В чем их
разли­чие?

• Чем отличается
абсолютно упругий удар от абсолютно
неупругого?

• Как определить
скорости тел после центрального абсолютно
упругого удара? Следствием каких законов
являются эти выражения?

31

Задачи

3.1. Определить:
1) работу поднятия груза по наклонной
плоскости; 2) среднюю и 3) максималь­ную
мощности подъемного устройства, если
масса груза 10 кг, длина наклонной
плоскости 2 м, угол ее наклона к горизонту
45°, коэффициент трения 0,1 и время подъема
2 с. [1) 170 Дж; 2) 85 Вт; 3) 173 Вт |

3.2. С башни высотой
35 м горизонтально брошен камень массой
0,3 кг. Пренебрегая сопротивле­нием
воздуха, определить: 1) скорость, с которой
брошен камень, если через 1 с после начала
движения его кинетическая энергия 60
Дж; 2) потенциальную энергию камня через
1 с после начала движения. [1) 17,4 м/с; 2)
88,6 Дж ]

3.3. Пренебрегая
трением, определить наименьшую высоту,
с которой должна скатываться тележ­ка
с человеком по желобу, переходящему в
петлю радиусом 10 м, чтобы она сделала
полную петлю и не выпала из желоба. [25
м]

3.4.
Пуля массой m=
10 г, летевшая горизонтально со скоростью
v
= 500 м/с, попадает в балли­стический
маятник длиной l=
1 м и массой М = 5 кг и застревает в нем.
Определить угол отклонения маятника.
[ 18°30′ ]

3.5.
Зависимость потенциальной энергии
частицы в центральном силовом поле от
расстояния r
до

центра
поля задается выражением П(r)
=A/r²
-B/r,
где А
и
В —
положительные постоянные.

Определить
значение r₀,
соответствующее
равновесному положению частицы. Является
ли это положение положением устойчивого
равновесия? [r₀
= 2А/В]

3.6.
При центральном абсолютно упругом ударе
движущееся тело массой m₁
ударяется
в по­коящееся тело массой m₂,
в результате чего скорость первого тела
уменьшается в n=
1,5 ра­за. Определить: 1) отношение m₁/m₂;
2)
кинетическую энергию T’₂,
с
которой начнет двигать­ся второе
тело, если первоначальная кинетическая
энергия первого тела T₁
=
1000 Дж. [ 1) 5; 2) 555 Дж ]

3.7.
Тело массой m₁=4
кг движется со скоростью v₁=3
м/с
и ударяется о неподвижное тело такой
же массы. Считая удар центральным и
неупругим, определить количество
теплоты, выделившееся при ударе. [9 Дж ]

* У. Гамильтон
(1805—1865) — ирланд­ский математик и
физик.

Соседние файлы в папке Трофимова

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах. 

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте. 

Как быстро и эффективно исправить почерк?  Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью. 

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Содержание:

Столкновения:

Наиболее общим явлением, наблюдаемым в природе, является взаимодействие материальных тел. Бильярдные шары, сближаясь, в момент соприкосновения взаимодействуют друг с другом. В результате этого меняются скорости шаров, их кинетические энергии. О таком взаимодействии шаров говорят как об их столкновениях.

Но понятие «столкновение» относится не только к взаимодействиям, происходящим в результате соприкосновения материальных тел. Комета, прилетевшая из отдаленных областей пространства и прошедшая в окрестности Солнца, меняет свою скорость и удаляется. Этот процесс также является столкновением. хотя непосредственного соприкосновения между кометой и Солнцем не произошло, а осуществлено оно было посредством сил тяготения.

Характерная особенность этого взаимодействия, дающая нам возможность рассматривать его как столкновение, заключается в том, что область пространства, в котором оно произошло, относительно мала. Заметное изменение скорости кометы происходит вблизи Солнца (рис. 129).

Приведенные примеры позволяют нам дать следующее определение столкновения.

Что такое столкновение

Столкновением называется взаимодействие двух и большего числа тел, которое происходит в относительно малой области пространства в течение относительно малого промежутка времени. Вне этого промежутка времени можно говорить о начальных и конечных импульсах тел, когда тела можно считать невзаимодействующими.

Столкновение материальных тел часто называется ударом. Удар определяется как процесс, при котором изменяются импульсы соударяющихся тел без существенного изменения их положений. Это частный случай столкновения, например столкновение шаров, шайб, автомобилей и т. п.

Процессы столкновения являются чрезвычайно сложными. Например, при столкновении двух шаров в момент их соприкосновения начинается деформация шаров. В результате часть кинетической энергии переходит в потенциальную энергию деформации. Затем энергия деформации снова превращается в кинетическую, однако не полностью — часть энергии превращается во внутреннюю. Кроме того, после столкновения шары будут вращаться по иному, чем до столкновения.

Главный интерес при рассмотрении столкновений заключается в знании не самого процесса, а результата. Ситуация до столкновения называется начальным состоянием, а после — конечным. Между величинами, характеризующими начальное и конечное состояния, соблюдаются определенные соотношения. независящие от детального характера взаимодействия. Такими величинами. в частности, являются импульс и энергия системы тел.

В зависимости от характера изменения кинетической энергии тел все столкновения делятся на упругие и неупругие.

Если при столкновении кинетическая энергия тел сохраняется, то столкновение называется упругим, если же не сохраняется — неупругим.

Рассмотрим вначале абсолютно неупругое столкновение (абсолютно неупругий удар). Это частный случай неупругого столкновения, при котором после столкновения тела «слипаются» и движутся вместе.

Пусть в некоторой инерциальной системе отсчета первое тело массой m₁ движется до столкновения со скоростью υ₁, а второе тело массой m₂ — со скоростью υ₂. Следовательно, импульсы тел до столкновения равны соответственно:

Процесс столкновения обычно наглядно представляют с помощью векторной диаграммы импульсов (рис. 130). Нетрудно убедиться, что кинетическая энергия системы не сохраняется. До столкновения она составляет:

после столкновения —

Изменение кинетической энергии:
   (2)

Для расчета выберем оси координат так, как показано на рисунке 130, и спроектируем на них равенство (1). B результате получим:

Рис. 130

Отсюда легко находится квадрат скорости тел после столкновения:

Подставив полученное выражение в (2), получим после несложных преобразований:

Как видно, кинетическая энергия системы уменьшилась. Часть кинетической энергии превратилась в теплоту.

Если тела при столкновении не «слипаются», то скорости тел после столкновения можно найти из закона сохранения импульса:

где штрихом отмечены импульсы тел после столкновения.

При этом кинетическая энергия может как уменьшаться, так и увеличиваться. Последнее происходит, например, при различных взрывах. В этом случае часть внутренней энергии превращается в кинетическую энергию осколков.

Как уже отмечалось, при упругом столкновении выполняется закон сохранения импульса и механической энергии.

Рассмотрим вначале лобовое столкновение, т. е. такое столкновение, при котором импульсы тел до и после столкновения параллельны некоторой прямой. Эту прямую мы примем за ось Ox (рис. 131). Закон сохранения импульса в этом случае примет вид:

а закон сохранения кинетической энергии –

Из этих уравнений найдем скорости тел после удара. Для этого перепишем (3) и (4) следующим образом:

Воспользовавшись тем, что a² – b² = (a-b)(a + b), из выражений (5) и (6) легко получить:

Выразив отсюда, например, и подставив его в (5), после несложных преобразований находим:

Аналогично:

Проекции импульсов тел после столкновения равны соответственно:

и 

Проанализируем полученные выражения для некоторых частных случаев.
Предположим, что тело 2 до столкновения покоилось, т. е. .

Тогда

При равных массах тел m₁ = m₂ получим:

Значит, первое тело остановится, а второе придет в движение с таким же импульсом.

Теперь предположим, что масса второго тела намного больше массы первого. Тогда, пренебрегая m₁ по сравнению с m₂ , получим:

Значит, первое тело отскочит назад с таким же по модулю импульсом, а тело 2 получит импульс, равный удвоенному значению импульса первого тела.

Найдем кинетическую энергию тел после столкновения для случая, когда = 0:

        (10)

        (10)

где K₁ — кинетическая энергия первого тела до столкновения.

Из полученных выражений следует, что при m₁ = m₂ первое тело останавливается, а второе приобретает ту же энергию. Если масса второго тела m₂ намного больше массы первого m₁ то из (10) и (11) следует, что , . Значит, кинетическая энергия первого тела не изменяется, а второе тело получает импульс, но его энергия не изменяется.

• Заказать решение задач по физике

Главные выводы:

1. Столкновением называется взаимодействие двух и большего числа тел, которое происходит в относительно малой области пространства в течение относительно малого промежутка времени.
2. Удар определяется как процесс, при котором изменяются импульсы соударяющихся тел без существенного изменения их положений.
3. Столкновение тел называется упругим, если кинетическая энергия тел сохраняется. При неупругом столкновении кинетическая энергия тел не сохраняется.
4. При столкновениях тел выполняется закон сохранения импульса.

Определение столкновения

Законы сохранения энергии и импульса позволяют провести теоретическое исследование процессов столкновения тел без описания сил, действующих между ними.

Под столкновениями понимают механические процессы взаимодействия между телами, происходящие за очень короткий промежуток времени. При этом силы взаимодействия между сталкивающимися телами настолько велики, что внешними силами, действующими на систему, можно пренебречь.

Вследствие того, что длительность столкновения мала по сравнению со временем наблюдения, различают механические состояния до и после столкновения, причем тела, находящиеся на большом расстоянии друг от друга, считают свободными.

Длительность столкновения бильярдных шаров что намного меньше характерного времени движения шаров по столу
Различают упругие (абсолютно упругие) и неупругие столкновения. В первом случае не происходит выделения теплоты, и механическая энергия сохраняется. Во втором случае выделяется некоторое количество теплоты, поэтому механическая энергия после столкновения уменьшается.

Примером упругих столкновений служат столкновения металлических шаров, а примером неупругих — столкновения пластилиновых шаров, которые при этом слипаются и продолжают движение как одно целое.

Для макроскопических тел в большей степени характерными являются неупругие столкновения, в то время как для физики элементарных частиц, ядер атомов, молекул определяющую роль играет упругое взаимодействие.

Если в процессе столкновения тел на них не действуют внешние силы, то к телам применим закон сохранения импульса, а во многих случаях — и закон сохранения механической энергии. Именно эти законы позволяют, зная скорости тел до столкновения, определить их скорости после столкновения, совершенно не интересуясь тем, что происходило во время него.

При абсолютно неупругом столкновении скорости обоих взаимодействующих тел оказываются одинаковыми. Примером таких тел являются тела из различных пластичных веществ. Такое столкновение можно наблюдать, если подвесить тары из пластилина, развести их в разные стороны и отпустить. После столкновения они оба будут двигаться вместе с одинаковой скоростью.

При абсолютно упругом столкновении в обоих телах не остается никаких деформаций. Кроме того, вся кинетическая энергия, которой тела обладали до столкновения, снова превращается в кинетическую энергию. Примерами таких тел являются шары из стали или слоновой кости.
Рассмотрим простейшее столкновение — центральное, когда скорости тел находятся на линии, соединяющей их центры. Очень часто такое столкновение называют лобовым.

Скорость движения после абсолютно неупругого столкновения тел массами движущихся до столкновения со скоростями можно определить из закона сохранения импульса:

Откуда находим

Определим «потери» механической энергии, найдя кинетическую энергию
тел до столкновения:

и после столкновения:

Тогда часть механической энергии, перешедшая во внутреннюю, определяется выражением:

Следовательно, она зависит от масс сталкивающихся тел и относительной скорости их движения до столкновения.

Задача о центральном абсолютно неупругом столкновении впервые была решена Дж. Валлисом в 1669 г.
При абсолютно упругом столкновении двух тел массами на основании закона сохранения импульса и закона сохранения энергии можно записать

Здесь — скорости тел до столкновения, — после столкновения.

Преобразуем систему уравнений (3), перенеся в правую часть все величины, относящиеся к первому телу, а в левую — ко второму:

Разделив второе уравнение на первое, получим

Перепишем это уравнение в виде .

Из него следует, что при центральном абсолютно упругом столкновении тел любой массы их относительная скорость до и после столкновения не изменяется.

Теперь можно дать еще одно определение неупругого столкновения: если относительная скорость тел при центральном столкновении изменяется, то такое столкновение называется неупругим.

Меру неупругости k можно определить как отношение относительных скоростей сталкивающихся тел после и до столкновения:

Она называется коэффициентом восстановления и впервые была измерена Ньютоном в 1687 г. В частности, Ньютон получил значения коэффициента для стали k = 0,55 и стекла k = 0,94, которые приводят и современные справочники.

Абсолютно неупругим является столкновение, при котором скорости тел после столкновения равны т. е. k = 0.
Решая уравнение (4) совместно с первым уравнением системы (3), находим скорости тел после столкновения:

На самом деле при столкновении всегда происходят «потери» механической энергии, т. е. переход части ее в теплоту. Но при малых «потерях» действительный процесс достаточно хорошо описывается абсолютно упругим столкновением.

Задача о центральном абсолютно упругом столкновении впервые была решена X. Гюйгенсом и К. Реном в 1669 г.
Отметим, что осуществить центральное, или лобовое, столкновение на практике очень трудно. Подавляющее число столкновений являются нецентральными.

Основные формулы

Импульс тела  
Закон изменения импульса системы тел:    
 
Закон сохранения импульса системы тел:  

 
Работа: 
Средняя мощность:    
Мгновенная мощность:  
Кинетическая энергия:  

Теорема о кинетической энергии:

Потенциальная энергия: 

Потенциальная энергия упруго деформированного тела:

Закон сохранения механической энергии: