Как найти кинетическую энергию ядер

1. Направление радиоактивных превращений (сопоставление изобарных ядер). Пользуясь поясненной в предыдущем параграфе формулой и положением, что самопроизвольное

превращение ядра возможно только в направлении уменьшения массы покоя (§ 110, стр. 548), нетрудно ответить на следующие вопросы:

1) Почему при одинаковом притяжении между нейтроном и протоном, а также нейтроном и нейтроном не наблюдается ядер, состоящих из одних нейтронов, без протонов?

2) Почему одни ядра устойчивы, а другие неустойчивы и как предугадать тип радиоактивности неустойчивого ядра: будет ли она электронной, позитронной или альфа-распадом?

3) Почему в стабильных (не слишком тяжелых ядрах) число протонов и нейтронов близко к равенству?

Отсутствие ядер, состоящих из одних нейтронов, объясняется весьма просто — неустойчивостью самого нейтрона, который в свободном (внеядерном) состоянии имеет массу, превышающую сумму масс протона и электрона на В связи с этим в превращении освобождается энергия

Очевидно, что если бы произошло соединение двух нейтронов в «бинейтрон» или большего их числа в один комплекс, радиоактивный распад в нем нейтронов быстро превратил бы его в обычное атомное ядро.

Допустим, например, как бы это ни было маловероятно, что вследствие большой концентрации нейтронов и их взаимного притяжения случайно возник комплекс из семи нейтронов. Ничто не препятствует немедленному превращению одного из нейтронов этого комплекса в протон, что должно было бы привести к возникновению ядра Для превращения нейтрона в протон нужно, чтобы энергия исходного ядра превышала энергию образующегося не менее чем на Применяя формулу (34), нетрудно убедиться, что возможно превращение еще одного и даже еще двух нейтронов в протоны, так что вместо ядер в итоге получится ядро Такой же подсчет по формуле (34) показывает, что в ядре превращение еще одного, четвертого нейтрона в протон без сообщения дополнительной энергии извне уже невозможно; и действительно, ядро является стабильным. Для ядра с тем же общим числом нуклонов, равным семи, но с четырьмя протонами, т. е. для ядра [применяя все ту же формулу (34) или же просто сопоставляя массу этого ядра 7,01915 с массой ядра равной 7,018221, мы обнаруживаем энергетическую возможность уже обратного превращения одного из ядерных протонов в нейтрон; и действительно, изотоп бериллия неустойчив — в нем происходит захват ближайшего к ядру электрона -слоя с превращением в ядро

Аналогичная картина получается при сопоставлении масс и для всех других групп изобарных ядер: соотношение факторов, влияющих на энергию ядра, таково, что для заданного значения

всегда имеется определенное значение при котором анергия и масса ядра минимальны (рис. 415). На рис. 415 кривая выражает изменение массы при рассчитанное по формуле (34), а точки указывают фактическое значение масс изобарных атомов (кривизна линии различна для разных А).

При -превращениях масса ядра немного уменьшается — на величину массы выброшенного электрона или позитрона и массы, сопряженной с выделяемой энергией. Стабильное ядро имеет меньшую массу, чем нестабильные ядра причем в диаграмме, представленной на рис. 415, -превращения соответствуютлевой ветви кривой, а -превращения — правой ветви кривой. Таким образом, простое сопоставление масс позволяет предсказать, каше из изобарных ядер устойчивы, а какие радиоактивны. Пример такого сопоставления масс дан в приведенной таблице:

(см. скан)

Рис. 415. Характерное для изобарных ядер изменение атомной массы в зависимости от числа протонов в ядре.

Минимуму энергии и массы ядра при соответствует состав устойчивого ядра. Равенство чисел нейтронов и протонов, т. е. соотношение только приблизительно отвечает условию минимума энергии и массы ядра (для легких ядер). Более точное соотношение между числами нейтронов и протонов в стабильных

ядрах может быть получено из полуэмпирической формулы для масс (34), если, руководствуясь этой формулой, рассматривать массу ядра как непрерывную функцию и отвлечься от ступенчатого влияния спиновых поправок (т. е. не учитывать поправочный член 6). Тогда число протонов в стабильном ядре должно определяться из уравнения

Отсюда для стабильных элементов получается действительно хорошо согласующееся с опытом отношение числа протонов к числу нейтронов

или

В частности, для малых А получается

Если число протонов в ядре (при общем числе нуклонов А) меньше то в -превращении возрастает до хотя это приводит к увеличению кулоновской энергии отталкивания протонов в ядре, тем не менее суммарная энергия (а соответственно, и масса) ядра уменьшается. Это объясняется тем (как пояснено ниже, в п. 2), что кинетическая энергия нуклонов в ядре резко возрастает при отступлениях от (35).

2. Энергия внутриядерного движения нуклонов. Действительные массы нейтрона и протона в ядре отличаются от их массы в изолированном состоянии на величину энергии каждой из этих частиц в ядре, деленную на квадрат скорости света. Массы нейтрона и протона не равные, когда эти частицы изолированы и находятся в покое, в ядре могут оказаться и часто оказываются равными.

Чтобы пояснить взаимосвязь между составом ядра и его энергией (или массой), рассмотрим условия движения нуклонов в ядре. Это позволит попутно ответить на следующие вопросы:

1) Почему в тяжелых ядрах число нейтронов превышает число протонов?

2) Почему ряд ядер с возрастающей массой обрывается при числе нуклонов порядка 240?

3) Почему при сочетании нечетного числа протонов с нечетным числом нейтронов ядра (за редким исключением) неустойчивы?

4) Почему большинство наиболее устойчивых ядер состоит из четного числа нейтронов и четного числа протонов, когда при этом общее число нуклонов кратно четырем?

Нуклоны, как и вообще все частицы с полуцелыми значениями спинов, подчиняются статистике Ферми, основанной на принципе Паули. По принципу Паули, две одинаковые частицы или большее их число не могут находиться в тождественных квантовых состояниях (§ 60). Так как для нуклонов, подобно электронам, возможны две противоположные ориентации спинов, то на каждом квантовом энергетическом уровне может находиться максимально два одноименных нуклона. Чтобы, руководствуясь этим принципом, вычислить, следуя Ферми, энергию движения нуклонов в основном состоянии ядра, отложим на осях координат значения компонент количества движения (импульса) нуклона Состояние движения каждой частицы в любой момент (в любую «фазу») изображается точкой в таком фазовом пространстве. Все изображающие движение частиц точки («фазовые точки») — по числу частиц в системе — будут все вемя находиться внутри сферического объема , описанного в фазовом пространстве из начала координат радиусом, равным максимально возможному импульсу частицы который связан с максимально возможной кинетической энергией частицы обычным соотношением (из

Согласно одному из основных положений квантовой статистики, которое учитывает принцип Паули и которое можно рассматривать как следствие соотношения неопределенностей [§ 65, формула (19)], состояния движения (импульсы) частиц, отличающиеся друг от друга менее чем на неразличимы (здесь планковская постоянная и пределы изменения координат частицы, т. е. в нашем случае линейный размер атомного ядра). Поэтому каждому квантовому состоянию в фазовом пространстве соответствует ячейка, объем которой равен где геометрический объем, занимаемый системой частиц, т. е. в нашем случае объем ядра. Объем интересующей нас части фазового пространства равен:

Число ячеек (число различных по энергии квантовых состояний)

мы найдем, разделив этот объем на объем одной фазовой ячейки, т. е.

В основном состоянии ядра все нуклоны находятся на своих низших энергетических уровнях вплоть до некоторого максимального, причем на каждом энергетическом уровне может находиться только два протона (или два нейтрона) с противоположными ориентациями спинов. Поэтому, обозначая максимальную кинетическую энергию протонов в ядре через макс, а максимальную кинетическую энергию нейтронов через макс, получаем два уравнения, связывающих число протонов в ядре и число нейтронов с их максимальными энергиями внутриядерного движения в основном состоянии:

Определяя отсюда максимальные энергии через числа частиц находим:

Средние энергии движения протонов и нейтронов в ядре, как показывает аналогичное вычисление, получаются равными 3/5 их максимальных энергий.

Таким образом, суммарные энергии движения в ядре протонов и нейтронов, равные их средним энергиям, умноженным на число частиц, определяются выражениями:

Если мы прибавили бы к этим энергиям движения нуклонов их энергию (тоже положительную) кулоновского отталкивания

и определили бы, при каком соотношении между энергия движения и взаимодействия минимальна, то получили бы формулу, совпадающую с формулой (35). Далее, если бы мы поставили себе задачу определить, как возрастает энергия движения нуклонов в ядре, когда соотношение отклоняется от того, которое [по формуле обеспечивает минимум энергии, то получили бы выражение, аналогичное пятому члену в полуэмпирической формуле для энергии атомного ядра [формула (д) § 114].

В-отличие от частиц максвелловского газа суммарная энергия движения нуклонов пропорциональна не первой степени числа частиц, а почти квадрату числа частиц. Только по этой причине энергия внутриядерного движения в основном состоянии оказывается минимальной при приблизительном равенстве числа разнородных нуклонов; здесь сказывается арифметический закон, что сумма квадратов чисел, из которых можно составить число является наименьшей при тождестве слагаемых (например, В конечном счете именно этот арифметический закон и квантовый принцип заполнения энергетических уровней нуклонами и являются основой наблюдаемых закономерностей строения стабильных ядер и превращения неустойчивых ядер.

Уравнения и (38) показывают, что при равенстве чисел нейтронов и протонов в ядре равны (если считать их массы равными) также и их кинетические энергии (максимальные и средние). Но каждый протон в ядре имеет еще положительную кулоновскую энергию отталкивания В тяжелых ядрах она значительна, и поэтому полная энергия наиболее быстрых протонов в ядре (находящихся на высшем энергетическом уровне) и их фактическая масса могут оказаться больше энергии и массы наиболее быстрых нейтронов в ядре. Это неравенство масс обратное тому, которое наблюдается для свободных нуклонов, ведет к одностороннему превращению протонов, находящихся на высших энергетических уровнях, в нейтроны, что и создает в тяжелом ядре некоторое превышение числа нейтронов над числом протонов. Но по (37) при максимальная кинетическая энергия у нейтронов больше, чем у протонов. В итоге устанавливается такое отношение когда полные энергии на верхних уровнях оказываются для протона и нейтрона одинаковыми или отличающимися менее чем на , где — масса электрона (т. е. на

Чем тяжелее ядро, тем большая доля его энергии определяется отталкиванием протонов, которые плотно сконцентрированы ядерными силами в весьма малом объеме ядра. Поэтому, в частности, чем тяжелее ядро, тем сильнее обнаруживается тенденция его к делению, как это было уже пояснено в § 95. «Разрыхлением» ядерной структуры при чрезмерном возрастании заряда ядра и объясняется обрыв периодической системы элементов в области превышающих 100.

Уже при порядка 30—50 влияние кулоновского отталкивания протонов в ядре (конкурируя с выравнивающим влиянием энергии движения) смещает отношение в сторону уменьшения числа протонов на один-два

протона по сравнению с числом нейтронов. При А порядка 100 число нейтронов в стабильных ядрах на 8—10 нейтронов больше числа протонов, а при число нейтронов в стабильных ядрах примерно в полтора раза превышает число протонов. При таком большом отступлении от равенства чисел разноименных нуклонов (что связано с увеличением их энергии движения) и вследствие большого заряда, ядра становятся неустойчивыми в отношении альфа-распада.

В начале периодической системы устойчивость ядра более всего зависит от того, являются ли числа нейтронов и протонов в ядре четными или нечетными. Это существенно влияет, как будет сейчас пояснено, на энергию внутриядерного движения нуклонов.

При выводе формулы (38) мы считали, что все протонные и нейтронные энергетические уровни заполнены парами нуклонов с противоположной ориентацией спинов. Но это возможно только в четно-четных ядрах, т. е. в ядрах с четным числом протонов четным числом нейтронов При нечетности на верхних энергетических уровнях для протоков и нейтронов имеется только по одному нуклону, а не по два. Обозначим число энергетических уровней протонов через а нейтронов через При выводе формулы (38) для четно-четных ядер мы могли принять, что Но при нечетности на верхнем протонном уровне имеется только один протон, и поэтому

При нечетности аналогичное соотношение получается и для нейтронов. Это сказывается, как нетрудно проследить, повторяя вывод формулы (38), в некотором увеличении средней энергии движения нуклонов в ядре. Поэтому средняя энергия связи, в которую энергия движения нуклонов входит с отрицательным знаком, в четно-четных ядрах имеет наибольшую величину, а в нечетно-нечетных ядрах (когда оба нечетные, а стало быть, -четное) наименьшую величину, чем отчасти и объясняется устойчивость первых и неустойчивость вторых. Проведя вычисления, мы пришли бы к обоснованию поправки А в формуле (32).

Рис. 416. Энергетическая диаграмма ядра

На рис. 416 схематически представлена энергетическая диаграмма нечетно-нечетного ядра здесь стрелки символизируют ориентацию спинов. В энергетической диаграмме высота уровней показывает величину суммы энергии движения и потенциальной энергии отталкивания нуклонов. Поэтому уровни протонов расположены выше уровней нейтронов в среднем на величину потенциальной энергии

отталкивания протонов, отнесенной к одному протону Вследствие кулоновского отталкивания связь протонов в ядре слабее, чем нейтронов? и соответственно глубина потенциальной ямы от уровня энергии свободных частиц для протонов получается меньшей, чем для нейтронов, на Но верхний край потенциальной ямы протонов возвышается над уровнем энергии свободных частиц на высоту потенциального кулоновского барьера поэтому и для протонов и для нейтронов глубина потенциальных ям от их верхних краев приблизительно одинакова.

В стабильном ядре высота верхнего уровня протонов, как уже было пояснено, не может превосходить высоту верхнего уровня нейтронов более чем на Различие высот низших протонных и нейтронных уровней не нарушает стабильности ядра, так как эти уровни заполнены, и поэтому одностороннее превращение нуклонов здесь невозможно.

Поскольку верхние уровни у нечетно-нечетных ядер не заполнены, небольшое различие в высоте этих уровней для нейтронов и протонов вызывает превращение одного из нуклонов. Кроме того, как уже упоминалось, энергия связи в этих ядрах несколько уменьшена. Поэтому нечетно-нечетные ядра редко являются стабильными; подавляющее большинство их радиоактивно; исключение составляют Наибольшую устойчивость и наибольшее распространение в природе имеют четно-четные ядра.

Если сопоставлять наиболее стабильные и не слишком тяжелые ядра сходного строения, например четно-четные или же только четно-нечетные, то средняя на нуклон энергия внутриядерного движения в основных состояниях этих ядер оказывается приблизительно одинаковой. Это видно из выведенных выше формул (37) для максимальных энергий нуклонов. Действительно, в формулы (37) входит объем ядра, а он пропорционален числу нуклонов, которое в стабильных и не слишком тяжелых ядрах приблизительно равно удвоенному числу протонов; вследствие этого для ядер сходного строения максимальные энергии нейтрона и протона не зависят от А, а поэтому приблизительно равны и средние энергии движения, которые, как уже было отмечено в связи с обоснованием формулы (38), составляют Если подставить в формулу где то нетрудно вычислить, что максимальная энергия движения нуклона в не слишком тяжелых четно-четных ядрах равна приблизительно и поэтому средняя кинетическая энергия нуклона равна Средняя энергия связи у многих четно-четных ядер составляет а так как она, взятая с обратным знаком, равна сумме средней потенциальной энергии ядерных сил и средней кинетической энергии нуклона, то, стало быть, средняя потенциальная энергия нуклонов в стабильных ядрах составляет — Для нуклонов, находящихся на высшем энергетическом уровне, имеющих кинетическую энергию около энергия связи не сильно отличается от энергии связи других нуклонов. Если ее принять равной для «верхнего» нуклона то глубина потенциальной ямы нуклонов в ядре получается равной (рис. 359, § 94).

Давно было замечено, что наиболее устойчивы ядра, имеющие число нейтронов или же протонов, равное одному из следующих «магических» чисел:

Многие из таких ядер широко распространены в природе. Их полные энергии минимальны в сравнении с энергиями ядер, имеющих близкое к ним число нейтронов или протонов. Для всех

этих ядер весьма характерна также малая (в сравнении с «соседними» ядрами) вероятность радиационного захвата нейтронов.

Если рассматривать движение нуклона происходящим в некотором эффективном поле остальных нуклонов (например, в прямоугольной потенциальной яме), то можно ввести представление об энергетических нуклонных оболочках, заполнение которых при увеличении числа нуклонов в ядре подчинено принципу Паули, как это имеет место для электронных оболочек атомов (§ 60). Приведенные выше магические числа соответствуют как раз таким (наиболее устойчивым) конфигурациям, когда энергетические оболочки нейтронов и протонов в ядре полностью заполнены.

Каждому значению орбитального момента количества движения нуклона I (кроме соответствуют два значения полного момента

(Для обозначения энергетических уровней нуклонов применяют обычную спектроскопическую запись: для для )

Состояния нуклона несколько различаются по энергии. Расчет и эксперимент показывают, что уровень с расположен ниже, чем уровень с а расстояния между уровнями, отвечающими одному и тому же значению растут с ростом Если число вырожденных

Оболочное строение ядер

(см. скан)

состояний в оболочке, то по принципу Паули эта оболочка может содержать не более нейтронов и не более протонов.

Таким образом, получается распределение, указанное в помещенной выше таблице.

Полные моменты отдельных нуклонов складываются в результирующий спин ядра, причем суммарные моменты полностью заполненных оболочек равны нулю.

Считают, что на любом уровне (при каждом значении нуклоны, если число их на этом уровне четное, всегда располагаются так, что их результирующий момент количества движения оказывается равным нулю. Поэтому полный спин ядра равен значению нечетного нуклона на внешней, еще полностью не заполненной оболочке (моменты же всех остальных нуклонов попарно компенсируются).

Например, в ядре протонов заполняют оболочки I, II и На; их результирующий момент равен нулю, и спин ядра определяется значением для низшего состояния оболочки занятого протоном, т. е. По той же причине спин ядра с 15 нейтронами также равен Ядро имеет один нечетный протон в оболочке IV, где низшее состояние и поэтому спин этого ядра

Одновременно с определением спина по приведенной таблице легко установить и значение результирующего орбитального момента ядра которое равно орбитальному моменту нечетного нуклона. Так, для ядер будет для имеем

Спин и орбитальный момент в совокупности определяют магнитный момент ядра

Спины и магнитные моменты некоторых ядер

(см. скан)