Как найти классическую энергию

Физика, 11 класс

Урок №21. Релятивистские эффекты

На уроке рассматриваются понятия: энергия покоя, полная энергия частиц; связь массы и энергии в специальной теории относительности; релятивистский импульс частицы, релятивистская кинетическая энергия; принцип соответствия.

Глоссарий урока:

Релятивистская механика – раздел физики, где описывается движение частиц со скоростями близкими к скорости света.

Закон взаимосвязи энергии и массы – тело обладает энергией и при нулевой скорости, такую энергию называют энергией покоя.

Релятивистская энергия составляет сумму собственной энергии частицы и релятивистской кинетической энергии.

Безмассовыми называют частицы массы, которых в состоянии покоя равны нулю, они существуют только в движении, при этом во всех инерциальных системах отсчёта их импульс и энергия не равны нулю.

Массовыми называют частицы, для которых масса является важной характеристикой, мерой инертности тела.

Принцип соответствия – это подтверждение законов Ньютона и классических представлений о пространстве и времени, рассматриваются как частный случай релятивистских законов при скоростях намного меньших скорость света.

Согласно принципу соответствия любая теория, претендующая на более глубокое описание явлений и на более широкую сферу применимости, должна включать предыдущую теорию, как предельный случай.

Обязательная литература:

1. Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Сотский Н.Н. Физика.11 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.: Просвещение, 2017. – С. 239 – 241.
2. Рымкевич А.П. Физика. Задачник. 10-11 классы. – М.: Дрофа, 2013. — С. 147 – 149

Дополнительная литература:

1. Анциферов Л.И., Физика: электродинамика и квантовая физика. 11кл. Учебник для общеобразовательных учреждений – М.: Мнемозина, 2001. – С. 253-260.
2. Кирик Л.А., Генденштейн Л.Э., Гельфгат И.М.. Задачи по физике. 10-11 классы для профильной школы. – М.: Илекса, 2010. – С. 311-315.
3. Айзексон У., Эйнштейн. Жизнь гения; пер. с анг. А.Ю. Каннуниковой. – М: АСТ, 2016 – С.144-157

Основное содержание темы

«Основы физики претерпели неожиданные и радикальные изменения благодаря смелости молодого и революционно мыслящего гения.»

Вернер Гейзенберг

Эти слова и множество других восхищённых эпитетов будут высказаны в адрес гениального учёного Альберта Эйнштейна. Эйнштейн не боялся опровергать общепринятые утверждения. Он разрушил представление об абсолютном времени и незыблемости пространства. Его теория утверждала, что есть движущиеся системы координат со своим относительным временем. А пространство существует, пока в нём существует всё материальное. Время идёт тем медленнее, если быстрее движется тело. Такие удобные и понятные принципы классической физики: о постоянстве массы, длины, времени, скорости – опровергаются следствиями из постулатов специальной теории относительности Эйнштейна.

Альберт (Einstein) Эйнштейн

14 марта 1879 г. – 18 апреля 1955 г.

Физик-теоретик, один из основателей современной теоретической физики, лауреат Нобелевской премии по физике 1921 года, общественный деятель-гуманист.

По законам классической физики: масса – это мера инертности тела. Но Эйнштейн утверждает другое: масса – это мера энергии, содержащейся в теле.

Любое тело обладает энергией уже в силу своего существования. Альбертом Эйнштейном была установлена пропорциональность между энергией и массой:

На первый взгляд, простая формула, является фундаментальным законом природы, законом взаимосвязи энергии и массы.

Согласно этой формуле тело обладает энергией даже при нулевой скорости, в таком случае энергию называют E энергией покоя. А массу, которая входит в формулу Эйнштейна назовём m₀ массой покоя.

Как же будет выглядеть закон взаимосвязи массы и энергии для движущегося тела? К нему добавляем радикал (релятивистский множитель) из преобразований Лоренца:

Такую формулу называют релятивистской энергией или полной энергией движущегося тела.

Релятивистская механика – раздел физики, где описываются движения тел и частиц со скоростями близкими к скорости света, где используются преобразования Лоренца, перехода из одной инерциальной системы в другую, когда одна система движется относительно другой со скоростью вдоль оси ОХ.

Любые изменения физических величин, связанные с сокращением размеров:

эффект замедления времени:

изменение массы тела при изменении энергии:

закон сложения скоростей:

в специальной теории относительности называют релятивистскими изменениями.

По законам классической физики полная энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий тела или частицы

Отсюда выразим кинетическую энергию тела

Релятивистская энергия составляет сумму собственной энергии частицы и релятивистской кинетической энергии

В классической физике кинетическая энергия вычисляется по формуле

Получим ещё одно выражение

Выразим кинетическую энергию из формулы релятивистской энергии:

Поставим релятивистский радикал, который можно преобразовать при малых скоростях и получим релятивистскую кинетическую энергию частицы:

Или другой способ выражения кинетической энергии, если использовать классическую кинетическую энергию, то получим

– выражение для определения релятивистской кинетической энергии.

Путём не сложных математических вычислений можно доказать, что формула определения кинетической энергии в классической физикеи формула кинетической энергии в релятивистской физике равны между собой.

Давайте проверим работают ли главные законы механики – законы Ньютона в релятивистской физике.

Первый закон Ньютона: существуют системы отсчёта, называемые инерциальными, относительно которых тело движется прямолинейно и равномерно, если на него не действуют другие тела.

Первый постулат СТО Эйнштейна: все физические явления протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчёта, или никакими опытами, проводимыми в инерциальной системе отсчёта, невозможно установить её движение относительно других инерциальных систем.

Внимание! Они не противоречат друг другу!

Третий закон Ньютона: силы с которыми тела действуют друг на друга равны по модулю и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны. Этот закон тоже работает в релятивистской физике (смотрите первый постулат СТО).

А что же со вторым законом классической механики? Второй закон Ньютона: ускорение тела прямо пропорционально силе и обратно пропорционально его массе.

Рассмотрим предельный случай: если на тело долгое время t (время стремится к бесконечности) действовать с постоянной силой F = const, то ускорение будет постоянным a = const. Ускорение в свою очередь, зависит от скорости, с которой движется тело:

Отсюда скорость тоже будет стремиться к бесконечности, а это невозможно (смотрите второй постулат СТО), так как скорость тела или частицы не может быть больше предельного значения скорости света ()!

Но давайте рассмотрим другую формулировку второго закона Ньютона, когда сила прямо пропорциональна изменению импульсов тела ко времени этого изменения:

В классической механике импульс равен произведению массы тела или частицы на его скорость: , где m – постоянная величина, мера инертности тела.

В релятивистской механике выражение импульса можно записать, используя преобразования Лоренца:

При скоростях намного меньших, чем скорость света 𝟅с, формула принимает вид классической механики Ньютона

Эти проявления – подтверждение законов Ньютона и классических представлений о пространстве и времени, рассматривают как частный случай релятивистских законов при скоростях намного меньших скорости света и называют принципом соответствия. Согласно принципу соответствия любая теория, претендующая на более глубокое описание явлений и на более широкую сферу применимости, должна включать предыдущую теорию, как предельный случай. То есть законы классической механики подтверждаются релятивистской, но только для частиц или тел, движущихся с малыми скоростями.

В природе существуют такие частицы (фотоны, мюоны, нейтрино), скорость которых равна или близка к скорости света. Массы таких частиц в состоянии покоя равны нулю, эти частицы называют безмассовыми. Они существуют только в движении, но во всех инерциальных системах отсчёта их импульс и энергия не равны нулю. Тогда подтверждается утверждение Эйнштейна, что масса – это мера энергии тела. Частицы, для которых масса является важной характеристикой – мерой инертности, называют массовыми.

Найдём соотношение между энергией и импульсом:

Взаимно уничтожаются подкоренные выражения, сокращается произведение массы на скорость света, и мы получим простое соотношение энергии и импульса, где нет зависимости от массы.

Энергия и импульс связаны соотношением

Поэтому во всех инерциальных системах отсчёта импульс и энергия не равны нулю. При превращениях элементарных частиц, обладающих массой покоя , в частицы у которых , их энергия покоя целиком превращается в кинетическую энергию вновь образовавшихся частиц. Этот факт является наиболее очевидным экспериментальным доказательством существования энергии покоя.

Во всех инерциальных системах отсчёта импульс частицы и её энергия связаны соотношением:

или

– эта формула является фундаментальным соотношением энергии и импульса для массовых частиц релятивистской механики. Эти соотношения экспериментально подтверждены.

Следовательно, для безмассовых частиц, где или , выражение примет вид

Основное выражение энергии через её импульс записывают так:

Отсюда, масса, движущейся частицы, будет равна

Если частица покоится, то её значение можно определить из основной формулы Эйнштейна взаимосвязи массы и энергии:

В обычных условиях, при нагревании тела или его охлаждении, при химической реакции, эти приращения массы происходят, их можно вычислить, но изменения массы не так заметны. Энергию, полученную из расщепления ядер на атомных электростанциях, используют на благо человека, где незначительные массы радиоактивного топлива вырабатывают энергию, питающую электроэнергией огромные города. Но, к сожалению, такую энергию, высвобождающуюся при цепной реакции, люди использовали и военных целях, для уничтожения городов, людей. Поэтому, только в последствии, понимая ответственность за свои открытия, учёные искренне становятся общественными деятелями: правозащитниками и борцами за мир.

Рассмотрим задачи тренировочного блока урока:

1. Чтобы выработать количество энергии, которой обладает тело массой 1 кг, Красноярской ГЭС потребуется времени _________ суток (1,5·10⁷; 173,6; 182,3). Мощность Красноярской ГЭС 6000МВт.

Дано:

m = 1 кг

P = 6000 МВт = 6·10⁹ Вт

t – ? (сутки)

Воспользуемся выражением, описывающим зависимость энергии тела от массы:

И зависимостью мощности от работы и времени:

Выразим секунды в часах, а затем в сутках:

Ответ: 173,6 суток.

2. Чему равен импульс протона, летящего со скоростью 8,3·10⁷ м/с? На сколько будет допущена ошибка, если пользоваться формулами классической физики? Данные поученных вычислений занесите в таблицу:

Физические величины	Показатели
Масса покоя протона, m	1,67·10-27 кг
Скорость света, с	3·108 м/с
Скорость движения протона, 𝟅	8,3·107 м/с
Импульс протона по классическим законам, рк	?
Импульс протона по релятивистским законам, рр	?
Разница в вычислениях импульса протона,	?

Воспользуемся формулами для определения импульса релятивистским и классическим способами:

Вычислим разницу показаний:

Физические величины	Показатели
Масса покоя протона, m	1,67·10-27кг
Скорость света, с	3·108 м/с
Скорость движения протона, 𝟅	8,3·107 м/с
Импульс протона по классическим законам, рк	1,38·10-19кг·м/с
Импульс протона по релятивистским законам, рр	5,2·10-19 кг·м/с
Разница в вычислениях импульса протона,	в 3,8 раза

Классическая энергия – активация

Cтраница 1

Классическая энергия активации, вычисленная в предположении, что кулоновская энергия составляет 14 / 0 энергии связи двухатомных молекул, найдена равной 48 3 ккал.
 [1]

А, соответственно; классическая энергия активации Екл, согласно сказанному, не зависит от массы изотопов и поэтому из выражения (12.68) выпадает.
 [2]

При всякой химической реакции преодолевается потенциальный барьер, минимальное значение которого – классическая энергия активации – связано с наиболее вероятными состояниями реагирующей системы.
 [3]

Это расстояние, обозначенное на рис. 32 и 33 через Екл, носит название классической энергии активации. В действительности любая атомная система, способная колебаться около положения равновесия, имеет так называемую нулевую энергию, ниже которой энергия системы не может снизиться ни при каких условиях.
 [5]

Заметим, что в уравнении (10.9) и в последующих формулах настоящего параграфа речь, очевидно, идет о классической энергии активации.
 [6]

Как видно, реагирующая система, прежде чем перейти в конечное состояние, должна преодолеть потенциальный барьер, равный Ека классической энергии активации.
 [7]

Предполагая, что 17 / 0 энергии связи составляет кулоновская энергия, и пренебрегая нулевой энергией, можно было найти классическую энергию активации, которая оказалась равной 53 ккал. В предположении 20 / 0 кулоновской энергии, для Ес получается значение 43, 6 ккал.
 [8]

Как видно, реагирующая система, прежде чем перейти к конечному состоянию, должна преодолеть потенциальный барьер, равный ЕКЛ – классической энергии активации. Разность между потенциальными энергиями исходных веществ и продуктов реакции равняется тепловому эффекту Q – ДЯ.
 [9]

Как видно, реагирующая система, прежде чем перейти к конечному состоянию, должна преодолеть потенциальный барьер, равный кл – классической энергии активации. Разность между потенциальными энергиями исходных веществ и продуктов реакции равняется тепловому эффекту Q – ДЯ.
 [11]

Если пренебречь резонансом в активированном состоянии, который, невидимому, мал вследствие слабого взаимодействия между сингулетным и триплет-ным состояниями, то положение точки пересечения двух кривых соответствует классической энергии активации реакции, равной 52 8 ккал. Расстояние N – О для активированного комплекса равно 1 73 А.
 [13]

При вычислении потенциальной энергии системы по уравнению Лондона принимается, что энергия разъединенных атомов равна нулю, в то время как энергия активации обычно принимается равной энергии активированного состояния по отношению к энергии исходного состояния, как это схематически изображено на рис. 18 для реакции X – ] – YZ XY – – Z. Классическая энергия активации при абсолютном нуле, представляющая собой разность потенциальных энергий низших уровней активированного и исходного состояний, без учета нулевых энергий, обозначена через Ес. Очевидно, сумма Е – – Ее численно равна D, представляющему собой теплоту диссоциации YZ плюс энергию нулевого состояния ( ср.
 [15]

Страницы:  

   1

Слово энергия мы слышим очень часто. Жизненная энергия, внутренняя энергия, электроэнергия, атомная энергия… Но попробуйте дать точный ответ на вопрос, что такое энергия? Здесь задумается практически каждый. Так же и с работой. Все ходят на работу, у всех полно работы. Но что такое работа? А ответ прямо здесь, в нашей статье!

Полезная и интересная информация по другим темам – на нашем канале в телеграм.

Энергия

Пойдем по принципу «чем проще – тем лучше». Среди всех определений энергии можно выделить одно:

Энергия – одно из основных свойств материи и мера способности совершать работу.

Энергия в классической механике измеряется в Джоулях и чаще всего обозначается буквой E.

И тут мы плавно подходим к работе. Конечно, работать мало кто любит, отдыхать гораздо приятнее. Но давайте и про работу почитаем.

Работа

Работа – мера воздействия силы на тело или систему тел.

И работа, и энергия – скалярные физические величины. Как и энергия, работа в классической механике измеряется в Джоулях.

Допустим, мы взяли тележку c кирпичами (пусть она весит m килограмм), начали ее толкать с определенной силой F и переместили тем самым все это добро на расстояние s.

Тогда работа, которую мы совершили (а мы определенно совершили работу, пусть и бессмысленную), будет вычисляться по соответствующей формуле для работы в механике:

При этом пока мы толкали тележку, она приобрела какую-то скорость v, а значит, и энергию.

Кинетическая энергия (энергия движения) тележки вычисляется по формуле:

Если мы поднатужимся и закатим нашу телегу на горку высотой h, то она приобретет потенциальную  энергию, которую тоже легко можно вычислить:

Кстати! Для всех наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы. 

Работа не совершается сама по себе. Работа совершается за счет изменения энергии. Какова связь между работой и энергией?

Например, работа силы тяжести по модулю равна изменению потенциальной энергии тела.

Существует теорема о кинетической энергии системы. Она гласит, что изменение кинетической энергии системы равно работе всех внутренних и внешних сил, действующих на тела системы.

Закон сохранения энергии

Закон сохранения энергии – фундаментальный закон природы, о котором никогда не стоит забывать.

Общее количество энергии замкнутой физической системы не прибывает и не убывает, а переходит из одной формы в другую, всегда оставаясь постоянным.

Так, если телега скатится с горки, ее потенциальная энергия перейдет в кинетическую. Силы трения (диссипативные силы) мы здесь не рассматриваем. В реальном мире  телега, конечно, затормозит, но энергия не исчезнет, а перейдет во внутреннюю энергию молекул вследствие трения колес о поверхность.

Закон сохранения энергии применим не только в рамках классической механики. Это закон, применимый к целой Вселенной. Вот что говорил о законе сохранения энергии Ричард Фейман:

Это математический принцип, утверждающий, что существует некоторая численная величина, которая не изменяется ни при каких обстоятельствах. Это отнюдь не описание механизма явления или чего-то конкретного… Просто отмечается то странное обстоятельство, что можно подсчитать какое-то число и затем спокойно следить, как природа будет выкидывать любые свои трюки, а потом опять подсчитать это число — и оно останется прежним.

Пример решения задачи

А теперь рассмотрим пример задачи, в которой нужно найти работу

Какой бы сложной ни казалась задача, эксперты профессионального студенческого сервиса обязательно смогут быстро подобрать к ней ключ! Не стесняйтесь обращаться к нам, помощь профессионалов еще ни для кого не была лишней!

Указанное научное направление тщательно описывает взаимосвязь предметов, движущихся на огромных скоростях, а изучение этого же показателя, который значительно меньше скорости света, занимается классическая (ньютоновская) механика.

Значимые для науки законы релятивистской механики представляют собой обобщение второго закона Ньютона и релятивистскую теорию сохранения энергетического потенциала и импульса, которые являются следствием необычного «смешения» временной координаты и пространственных факторов при преобразованиях Лоренца.

Основной закон релятивистской механики

Первый постулат универсальной теории относительности или принцип инертности Эйнштейна требует обязательного сохранения формы фундаментальных постулатов физики во всех существующих инерциальных системах отсчета.

Основной закон классической динамики Ньютона для материальной точки описывается уравнением, где масса $m$ считается абсолютной и одинаковой во всех инерциальных системах отсчета. При переходе от одной концепции отсчета к другой форма записи закона будет кардинально видоизменяться. Следовательно, он не может стать основой релятивистской динамики.

«Законы релятивистской механики» 👇

Эйнштейн продемонстрировал, что форма второго учения Ньютона сохраняется, если под общей массой понимать сам коэффициент, который измеряется только в инерциальной системе отсчета с помощью материальной точки и скорости света в пустоте. Правильная формулировка этой теории формально совпадает с аналогичным законом классической механики: скорость изменения импульса физического тела равна силе, которая действует на точку.

Закон взаимосвязи массы и энергии

В специальной теории относительности сделан важный вывод о взаимосвязи массы и энергии тела в релятивистской механике. Для его понимания необходимо определить кинетическую энергию материальной точки таким же методом, как и в классической физике, то есть как конкретную величину, действие которой равно работе движущейся на точку силы.

Из этого следует, что приращение кинетической энергии материальной среды прямо пропорционально приращению собственной релятивистской массы. Если физический элемент находится в состоянии покоя, то он в любом случае обладает определенной энергией, называемой в физике показателем стабильности.

Выражение и уравнения, которые демонстрируют взаимосвязь энергетического потенциала и массы физического тела, представляют собой математическую запись фундаментального вывода, сделанного Эйнштейном и носящего название данной теории. В новом понимании полная энергия материального вещества равна произведению релятивистской массы на квадрат скорости света в вакууме. В итоге, полная энергия тела на сегодняшний день приравнивается сумме кинетической интенсивности и коэффициента покоя этого объекта.

Таким образом, масса физического тела, которая в классической механике представляла собой показатель инертности (во втором законе Ньютона), теперь выполняет роль энергосодержателя исследуемого предмета. Даже покоящаяся материальная точка, согласно гипотезе относительности, обладает энергией.

Преобразования Лоренца

Подобно тому, как классические представления и теории о времени и пространстве количественно формулируются посредством преобразований Галилея для соответствующих координат, новые релятивистские идеи реализуются с помощью формул Лоренца.

Если имеется инерциальная система отсчёта, тогда координаты любой точки, например, точки $B$ , в этом пространстве будут обозначаться через $х, у, z$, а время через $t$. Другая инерциальная концепция движется с постоянной скоростью относительно первой системы, а оси $y$ и $z$ параллельны конкретным линиям. Это означает что рассмотрение частных и стабильных преобразований предполагает комплексное изучение движущихся в соответствующей системе тел. Начало отсчета времени необходимо выбирать таким образом, чтобы в момент времени $t$, т точки $O$ и $O*$ полностью совпадали.

Это означает, что в определенных системах одно событие будет предшествовать другому. Сказанное относится только к тем явлениям, между которыми нет причинной связи.

Принцип относительности в релятивистской механике

В релятивистской механике изобретать различные теории для объяснения отрицательных результатов не стоит, ведь это не поможет обнаружить различие между действующими инерциальными системами. Законом природы в этой области науки выступает полное равноправие всех концепций отсчета в отношении электромагнитных и механических явлений. Нет никакого существенного различия между состоянием покоя и прямолинейного равномерного движения.

Но теория относительности в релятивистской механике базируется не только на этом принципе, ведь существует еще и второй постулат: скорость света в пустоте одинакова для существующих в той же среде инерциальных систем отсчета. Она не зависит ни от скорости светового сигнала, ни от скорости самого источника.

Основные следствия, которые вытекают из постулатов теории относительности, заключаются в следующем:

• относительность расстояний между действующими объектами;
• относительность промежутков времени;
• замедления времени в движущихся системах отсчета.

Таким образом, скорость света занимает центральное положение. Более того, как вытекает из закономерностей гипотезы относительности, световая скорость в вакууме считается максимально вероятной скоростью передачи взаимодействия в природе.

Для того чтобы грамотно сформулировать постулаты указанной теории, ученым нужна была большая научная мысль, которая смогла бы противостоять классическим представлениям о времени и пространстве.

В специальной
теории относительности рассматриваются
только инерциальные
системы отсчета. Во всех задачах
считается, что оси у,
у’ и z,
z‘
сонаправлены,
а относительная скорость υ₀
системы
ко­ординат
К’
относительно
системы К
нап­равлена
вдоль общей оси хх’
(рис. 5.1).

•
Релятивистское
(лоренцево) сок­ращение
длины стержня

Рис.
5.1

где l₀
— длина стержня в системе коор­динат
К’
,
относительно
которой стержень покоится
(собственная длина). Стержень параллелен
оси х’;
l—

длина
стержня, измеренная в системе К,
относительно
которой он движется со скоростью υ;
с
— скорость
распространения
электромагнитного излучения.

• Релятивистское
замедление хода часов

где Δt₀
— интервал времени между двумя событиями,
происходя­щими в одной точке системы
K’, измеренный по часам этой системы
(собственное время движущихся часов);
Δt — интервал времени между двумя
событиями, измеренный по часам системы
K.

• Релятивистское
сложение скоростей

,

где υ’ — относительная
скорость (скорость тела относительно
си­стемы K’); υ₀
— переносная
скорость (скорость системы K’ относи­тельно
К), υ0 — абсолютная скорость (скорость
тела относительно системы К).

В теории
относительности абсолютной скоростью
называется скорость тела в системе
координат, условно принятой за
непод­вижную.

• Релятивистская
масса

, ИЛИ
,

где
т₀
— масса покоя; β
— скорость частицы, выраженная в долях
скорости света

• Релятивистский
импульс

, или

• Полная энергия
релятивистской частицы

где Т — кинетическая
энергия частицы;
—
ее энергия
покоя.
Частица называется релятивистской,
если скорость частицы
сравнима
со скоростью света, и классической, если
υ<<с.

• Связь полной
энергии с импульсом релятивистской
частицы

• Связь
кинетической энергии с импульсом
релятивистской частицы

Примеры решения задач

Пример 1. Космический
корабль движется со скоростью υ=0,9 с по
направлению к центру Земли. Какое
расстояние l
прой­дет этот корабль в системе
отсчета, связанной с Землей (K-система),
за интервал времени Δt₀=1
с, отсчитанный по часам, находя­щимся
в космическом корабле (K’-система)?
Суточным вращением Земли и ее орбитальным
движением вокруг Солнца пренебречь.

Решение. Расстояние
l,
которое пройдет космический ко­рабль
в системе отсчета, связанной с Землей
(K-система), определим по формуле

(1)

где
—интервал
времени, отсчитанный в K-системе
отсчета.
Этот
интервал времени связан с интервалом
времени, отсчитан­
ным
в K‘-системе,
соотношением
Подставив
выражение

в формулу (1), получим

После вычислений
найдем

l=619
Мм.

Пример
2. В
лабораторной системе отсчета (K-система)
движется стержень
со скоростью υ=0,8
с
. По
измерениям, произведенным в K-системе,
его длина l
оказалась равной 10 м, а угол φ,
который он составляет
с осью х,
оказался
равным 30°
.
Определить собственную длину
l₀
стержня в K‘-системе,
связанной со стержнем, и угол φ₀,
который он
составляет с осью х’
(рис. 5.2).

Рис.
5.2

Решение.
Пусть в K‘-системе
стержень лежит в плоскости х’О’у’.
Из
рис. 5.2,
а следует, что собственная длина l₀
стержня и угол φ₀,
который он составляет с осью х’,
выразятся
равенствами

(1)

В
K-системе
те же величины окажутся равными (рис.
5.2,
б)

(2)

Заметим,
что при переходе от системы К.’
к
К
размеры
стержня в направлении
оси у
не
изменятся, а в направлении оси х
претерпят
релятивистское
(лоренцево) сокращение, т. е.

(3)

С учетом последних
соотношений собственная длина стержня
выразится равенством

или

Заменив
в этом выражении

на
(рис.
5.2,
б), получим

Подставив
значения величин
в
это выражение и произведя
вычисления,
найдем

l₀=15₍3
м.

Для
определения угла

воспользуемся соотношениями (1), (2)
и (3):

, или

откуда

Подставив
значения φ
и
β
в это выражение и произведя вычисле­ния,
получим

Пример
3. Кинетическая
энергия Т
электрона
равна 1 МэВ. Определить
скорость электрона.

Решение.
Релятивистская формула кинетической
энергии

Выполнив
относительно β
преобразования,
найдем скорость час­тицы,
выраженную в долях скорости света
(β=υ/c):

(1)

где
E₀
— энергия покоя электрона (см. табл.
22).

Вычисления
по этой формуле можно производить в
любых еди­ницах
энергии, так как наименования единиц в
правой части формул сократятся
и в результате подсчета будет получено
отвлеченное число.

Подставив
числовые значения Е₀
и
Т
в
мега электрон-вольтах, получим

β=0,941.
Так
как
,
то

υ
= 2,82-10⁸
м/с.

Чтобы
определить, является ли частица с
кинетической энергией Т
релятивистской
или классической, достаточно сравнить
кинети­ческую
энергию частицы с ее энергией покоя.

Если
,
частицу можно считать классической. В
этом
случае
релятивистская формула (1) переходит в
классическую:

, или

Пример
4.
Определить релятивистский импульс
р
и
кинетическую энергию
Т
электрона,
движущегося со скоростью υ
=0,9 с
(где
с
— скорость
света в вакууме).

Решение.
Релятивистский импульс

(1)

После вычисления
по формуле (1) получим

В
релятивистской механике кинетическая
энергия Т
частицы
определяется как разность между полной
энергией E
и энергией покоя Е₀
этой
частицы, т. е.

Так
как
и
,
то, учитывая зависимость массы от
скорости,
получим

или окончательно

(2)

Сделав вычисления,
найдем

T=106
фДж.

Во
внесистемных единицах энергия покоя
электрона m₀с²=0,51
МэВ. Подставив это значение в формулу
(2),
получим

Т=0,66
МэВ.

Пример
5. Релятивистская
частица с кинетической энергией T=т₀c²
(m₀
— масса покоя частицы) испытывает
неупругое столк­новение
с такой же покоящейся (в лабораторной
системе отсчета) частицей.
При этом образуется составная частица.
Определить: 1)
релятивистскую массу т
движущейся
частицы; 2) релятивистскую массу
т’
и
массу покоя m₀‘
составной
частицы; 3) ее кинетическую энергию
Т’.

Решение.
1.
Релятивистскую массу m
движущейся
частицы
до столкновения найдем из
выражения для кинетической
энергии
релятивистской
частицы
.
Так как
,
то m=
=2т₀.

2.
Для того чтобы найти релятивистскую
массу составной части­цы,
воспользуемся тем, что суммарная
релятивистская масса частиц сохраняется
*: m+m₀=m’,
где
т+т₀
— суммарная релятивистская масса частиц
до столкновения; т’
— релятивистская
масса состав­ной частицы. Так как
т—2т₀
,
то

Массу
покоя m₀‘
составной частицы найдем из соотношения

(1)
Скорость
υ‘
составной
частицы (она совпадает со скоростью V_c
центра
масс в лабораторной системе отсчета)
можно найти из закона
сохранения импульса р=р’,
где
р— импульс релятивистской частицы
до столкновения; р’
— импульс
составной релятивистской
частицы.
Выразим р
через
кинетическую энергию Т:

Так
как
,
то

Релятивистский
импульс
.
Учитывая, что
,
закон
сохранения импульса можно записать в
виде
,
откуда

Подставив
выражения υ’
и т’
в
формулу (I),
найдем
массу покоя составной
частицы:

, или

3.
Кинетическую энергию Т’
составной
релятивистской частицы найдем
как разность полной энергии т’с²
и
энергии покоя т₀‘с²
составной
частицы:

Подставив
выражения т’
и
m₀‘,
получим

• Этот
  закон см., например, в кн.: Савельев
  И. В. Куре
  общей физики.

М.,
1977. Т. I,
§70.