Как найти коэффициент корреляции по уравнению регрессии

Содержание:

Регрессионный анализ:

Регрессионным анализом называется раздел математической статистики, объединяющий практические методы исследования корреляционной зависимости между случайными величинами по результатам наблюдений над ними. Сюда включаются методы выбора модели изучаемой зависимости и оценки ее параметров, методы проверки статистических гипотез о зависимости.

Пусть между случайными величинами X и Y существует линейная корреляционная зависимость. Это означает, что математическое ожидание Y линейно зависит от значений случайной величины X. График этой зависимости (линия регрессии Y на X) имеет уравнение

Линейная модель пригодна в качестве первого приближения и в случае нелинейной корреляции, если рассматривать небольшие интервалы возможных значений случайных величин.

Пусть параметры линии регрессии неизвестны, неизвестна и величина коэффициента корреляции Над случайными величинами X и Y проделано n независимых наблюдений, в результате которых получены n пар значений: Эти результаты могут служить источником информации о неизвестных значениях надо только уметь эту информацию извлечь оттуда.

Неизвестная нам линия регрессии как и всякая линия регрессии, имеет то отличительное свойство, что средний квадрат отклонений значений Y от нее минимален. Поэтому в качестве оценок для можно принять те их значения, при которых имеет минимум функция

Такие значения , согласно необходимым условиям экстремума, находятся из системы уравнений:

Решения этой системы уравнений дают оценки называемые оценками по методу наименьших квадратов.

и

Известно, что оценки по методу наименьших квадратов являются несмещенными и, более того, среди всех несмещенных оценок обладают наименьшей дисперсией. Для оценки коэффициента корреляции можно воспользоваться тем, что где средние квадратические отклонения случайных величин X и Y соответственно. Обозначим через оценки этих средних квадратических отклонений на основе опытных данных. Оценки можно найти, например, по формуле (3.1.3). Тогда для коэффициента корреляции имеем оценку

По методу наименьших квадратов можно находить оценки параметров линии регрессии и при нелинейной корреляции. Например, для линии регрессии вида  оценки параметров находятся из условия минимума функции

Пример:

По данным наблюдений двух случайных величин найти коэффициент корреляции и уравнение линии регрессии Y на X 

Решение. Вычислим величины, необходимые для использования формул (3.7.1)–(3.7.3):

 

По формулам (3.7.1) и (3.7.2) получим

Итак, оценка линии регрессии имеет вид Так как то по формуле (3.1.3)

Аналогично, Поэтому в качестве оценки коэффициента корреляции имеем по формуле (3.7.3) величину 

Ответ.  

Пример:

Получена выборка значений величин X и Y

Для представления зависимости между величинами предполагается использовать модель Найти оценки параметров

Решение. Рассмотрим сначала задачу оценки параметров этой модели в общем виде. Линия играет роль линии регрессии и поэтому параметры ее можно найти из условия минимума функции (сумма квадратов отклонений значений Y от линии должна быть минимальной по свойству линии регрессии)

Необходимые условия экстремума приводят к системе из двух уравнений:

Откуда

Решения системы уравнений (3.7.4) и (3.7.5) и будут оценками по методу наименьших квадратов для параметров

На основе опытных данных вычисляем:

В итоге получаем систему уравнений (?????) и (?????) в виде

Эта система имеет решения

Ответ. 

Если наблюдений много, то результаты их обычно группируют и представляют в виде корреляционной таблицы.

В этой таблице равно числу наблюдений, для которых X находится в интервале а Y – в интервале Через обозначено число наблюдений, при которых а Y произвольно. Число наблюдений, при которых а X произвольно, обозначено через

Если величины дискретны, то вместо интервалов указывают отдельные значения этих величин. Для непрерывных случайных величин представителем каждого интервала считают его середину и полагают, что и   наблюдались раз.

При больших значениях X и Y можно для упрощения вычислений перенести начало координат и изменить масштаб по каждой из осей, а после завершения вычислений вернуться к старому масштабу.

Пример:

Проделано 80 наблюдений случайных величин X и Y. Результаты наблюдений представлены в виде таблицы. Найти линию регрессии Y на X. Оценить коэффициент корреляции.

Решение. Представителем каждого интервала будем считать его середину. Перенесем начало координат и изменим масштаб по каждой оси так, чтобы значения X и Y были удобны для вычислений. Для этого перейдем к новым переменным Значения этих новых переменных указаны соответственно в самой верхней строке и самом левом столбце таблицы.

Чтобы иметь представление о виде линии регрессии, вычислим средние значения при фиксированных значениях :

Нанесем эти значения на координатную плоскость, соединив для наглядности их отрезками прямой (рис. 3.7.1).

По виду полученной ломанной линии можно предположить, что линия регрессии Y на X является прямой. Оценим ее параметры. Для этого сначала вычислим с учетом группировки данных в таблице все величины, необходимые для использования формул (3.31–3.33): 

Тогда

В новом масштабе оценка линии регрессии имеет вид График этой прямой линии изображен на рис. 3.7.1.

Для оценки по корреляционной таблице можно воспользоваться формулой (3.1.3):

Подобным же образом можно оценить величиной Тогда оценкой коэффициента корреляции может служить величина

Вернемся к старому масштабу:

 

Коэффициент корреляции пересчитывать не нужно, так как это величина безразмерная и от масштаба не зависит.

Ответ. 

Пусть некоторые физические величины X и Y связаны неизвестной нам функциональной зависимостью Для изучения этой зависимости производят измерения Y при разных значениях X. Измерениям сопутствуют ошибки и поэтому результат каждого измерения случаен. Если систематической ошибки при измерениях нет, то играет роль линии регрессии и все свойства линии регрессии приложимы к . В частности, обычно находят по методу наименьших квадратов.

Регрессионный анализ

Основные положения регрессионного анализа:

Основная задача регрессионного анализа — изучение зависимости между результативным признаком Y и наблюдавшимся признаком X, оценка функции регрессий.

Предпосылки регрессионного анализа:

1. Y — независимые случайные величины, имеющие постоянную дисперсию;
2. X— величины наблюдаемого признака (величины не случайные);
3. условное математическое ожидание можно представить в виде 

Выражение (2.1), как уже упоминалось в п. 1.2, называется функцией регрессии (или модельным уравнением регрессии) Y на X. Оценке в этом выражении подлежат параметры называемые коэффициентами регрессии, а также — остаточная дисперсия.

Остаточной дисперсией называется та часть рассеивания результативного признака, которую нельзя объяснить действием наблюдаемого признака; Остаточная дисперсия может служить для оценки точности подбора вида функции регрессии (модельного уравнения регрессии), полноты набора признаков, включенных в анализ. Оценки параметров функции регрессии находят, используя метод наименьших квадратов.

В данном вопросе рассмотрен линейный регрессионный анализ. Линейным он называется потому, что изучаем лишь те виды зависимостей которые линейны по оцениваемым параметрам, хотя могут быть нелинейны по переменным X. Например, зависимости

линейны относительно параметров хотя вторая и третья зависимости нелинейны относительно переменных х. Вид зависимости выбирают, исходя из визуальной оценки характера расположения точек на поле корреляции; опыта предыдущих исследований; соображений профессионального характера, основанных и знании физической сущности процесса.

Важное место в линейном регрессионном анализе занимает так называемая «нормальная регрессия». Она имеет место, если сделать предположения относительно закона распределения случайной величины Y. Предпосылки «нормальной регрессии»:

1. Y — независимые случайные величины, имеющие постоянную дисперсию и распределенные по нормальному закону;
2. X— величины наблюдаемого признака (величины не случайные);
3. условное математическое ожидание можно представить в виде (2.1).

В этом случае оценки коэффициентов регрессии — несмещённые с минимальной дисперсией и нормальным законом распределения. Из этого положения следует что при «нормальной регрессии» имеется возможность оценить значимость оценок коэффициентов регрессии, а также построить доверительный интервал для коэффициентов регрессии и условного математического ожидания M(YX=x).

Линейная регрессия

Рассмотрим простейший случай регрессионного анализа — модель вида (2.1), когда зависимость линейна и по оцениваемым параметрам, и

по переменным. Оценки параметров модели (2.1) обозначил Оценку остаточной дисперсии обозначим Подставив в формулу (2.1) вместо параметров их оценки, получим уравнение регрессии коэффициенты которого находят из условия минимума суммы квадратов отклонений измеренных значений результативного признака от вычисленных по уравнению регрессии

Составим систему нормальных уравнений: первое уравнение

откуда  

второе уравнение

откуда

Итак,

Оценки, полученные по способу наименьших квадратов, обладают минимальной дисперсией в классе линейных оценок. Решая систему (2.2) относительно найдём оценки параметров

Остаётся получить оценку параметра . Имеем

где т — количество наблюдений.

Еслит велико, то для упрощения расчётов наблюдавшиеся данные принята группировать, т.е. строить корреляционную таблицу. Пример построения такой таблицы приведен в п. 1.5. Формулы для нахождения коэффициентов регрессии по сгруппированным данным те же, что и для расчёта по несгруппированным данным, но суммызаменяют на

где — частоты повторений соответствующих значений переменных. В дальнейшем часто используется этот наглядный приём вычислений.
 

Нелинейная регрессия

Рассмотрим случай, когда зависимость нелинейна по переменным х, например модель вида
   

На рис. 2.1 изображено поле корреляции. Очевидно, что зависимость между Y и X нелинейная и её графическим изображением является не прямая, а кривая. Оценкой выражения (2.6) является уравнение регрессии

где —оценки коэффициентов регрессии

Принцип нахождения коэффициентов тот же — метод наименьших квадратов, т.е.

или

Дифференцируя последнее равенство по и приравнивая правые части нулю, получаем так называемую систему нормальных уравнений:

В общем случае нелинейной зависимости между переменными Y и X связь может выражаться многочленом k-й степени от x:

Коэффициенты регрессии определяют по принципу наименьших квадратов. Система нормальных уравнений имеет вид

Вычислив коэффициенты системы, её можно решить любым известным способом.
 

Оценка значимости коэффициентов регрессии. Интервальная оценка коэффициентов регрессии

Проверить значимость оценок коэффициентов регрессии — значит установить, достаточна ли величина оценки для статистически обоснованного вывода о том, что коэффициент регрессии отличен от нуля. Для этого проверяют гипотезу о равенстве нулю коэффициента регрессии, соблюдая предпосылки «нормальной регрессии». В этом случае вычисляемая для проверки нулевой гипотезы статистика

имеет распределение Стьюдента с к= n-2 степенями свободы (b — оценка коэффициента регрессии, — оценка среднеквадратического отклонения

коэффициента регрессии, иначе стандартная ошибка оценки). По уровню значимости а и числу степеней свободы к находят по таблицам распределения Стьюдента (см. табл. 1 приложений) критическое значение удовлетворяющее условию то нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента регрессии отвергают, коэффициент считают значимым. Принет оснований отвергать нулевую гипотезу.

Оценки среднеквадратического отклонения коэффициентов регрессии вычисляют по следующим формулам:

где   — оценка остаточной дисперсии, вычисляемая по
формуле (2.5).

Доверительный интервал для значимых параметров строят по обычной схеме. Из условия

где а — уровень значимости, находим

 

Интервальная оценка для условного математического ожидания

Линия регрессии характеризует изменение условного математического ожидания результативного признака от вариации остальных признаков.

Точечной оценкой условного математического ожидания является условное среднее    Кроме точечной оценки для можно
построить доверительный интервал в точке

Известно, что имеет распределение
Стьюдента с k=n—2 степенями свободы. Найдя оценку среднеквадратического отклонения для условного среднего, можно построить доверительный интервал для условного математического ожидания

Оценку дисперсии условного среднего вычисляют по формуле

или для интервального ряда

Доверительный интервал находят из условия

где а — уровень значимости. Отсюда

Доверительный интервал для условного математического ожидания можно изобразить графически (рис, 2.2).

Из рис. 2.2 видно, что в точке границы интервала наиболее близки друг другу. Расположение границ доверительного интервала показывает, что прогнозы по уравнению регрессии, хороши только в случае, если значение х не выходит за пределы выборки, по которой вычислено уравнение регрессии; иными словами, экстраполяция по уравнению регрессии может привести к значительным погрешностям.

Проверка значимости уравнения регрессии

Оценить значимость уравнения регрессии — значит установить, соответствует ли математическая, модель, выражающая зависимость между Y и X, экспериментальным данным. Для оценки значимости в предпосылках «нормальной регрессии» проверяют гипотезу Если она отвергается, то считают, что между Y и X нет связи (или связь нелинейная). Для проверки нулевой гипотезы используют основное положение дисперсионного анализа о разбиении суммы квадратов на слагаемые. Воспользуемся разложением – Общая сумма квадратов отклонений результативного признака

разлагается на (сумму, характеризующую влияние признака

X) и (остаточную сумму квадратов, характеризующую влияние неучтённых факторов). Очевидно, чем меньше влияние неучтённых факторов, тем лучше математическая модель соответствует экспериментальным данным, так как вариация У в основном объясняется влиянием признака X.

Для проверки нулевой гипотезы вычисляют статистику  которая имеет распределение Фишера-Снедекора с А степенями свободы (в п – число наблюдений). По уровню значимости а и числу степеней свободы находят по таблицам F-распределение для уровня значимости а=0,05 (см. табл. 3 приложений) критическое значение удовлетворяющее условию . Если нулевую гипотезу отвергают, уравнение считают значимым. Если то нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

Многомерный регрессионный анализ

В случае, если изменения результативного признака определяются действием совокупности других признаков, имеет место многомерный регрессионный анализ. Пусть результативный признак У, а независимые признаки Для многомерного случая предпосылки регрессионного анализа можно сформулировать следующим образом: У -независимые случайные величины со средним и постоянной дисперсией — линейно независимые векторы . Все положения, изложенные в п.2.1, справедливы для многомерного случая. Рассмотрим модель вида 

Оценке подлежат параметры и остаточная дисперсия.

Заменив параметры их оценками, запишем уравнение регрессии

Коэффициенты в этом выражении находят методом наименьших квадратов.

Исходными данными для вычисления коэффициентов является выборка из многомерной совокупности, представляемая обычно в виде матрицы X и вектора Y:
   

Как и в двумерном случае, составляют систему нормальных уравнений

которую можно решить любым способом, известным из линейной алгебры. Рассмотрим один из них — способ обратной матрицы. Предварительно преобразуем систему уравнений. Выразим из первого уравнения значение через остальные параметры:

Подставим в остальные уравнения системы вместо полученное выражение:

Пусть С — матрица коэффициентов при неизвестных параметрах — матрица, обратная матрице С; — элемент, стоящий на пересечении i-Й строки и i-го столбца матрицы    — выражение
. Тогда, используя формулы линейной алгебры,

запишем окончательные выражения для параметров:

Оценкой остаточной дисперсии является

где — измеренное значение результативного признака; значение результативного признака, вычисленное по уравнению регрессий.

Если выборка получена из нормально распределенной генеральной совокупности, то, аналогично изложенному в п. 2.4, можно проверить значимость оценок коэффициентов регрессии, только в данном случае статистику вычисляют для каждого j-го коэффициента регрессии

где —элемент обратной матрицы, стоящий на пересечении i-й строки и j-
го столбца; —диагональный элемент обратной матрицы.

При заданном уровне значимости а и числе степеней свободы к=n— m—1 по табл. 1 приложений находят критическое значение Если то нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента регрессии отвергают. Оценку коэффициента считают значимой. Такую проверку производят последовательно для каждого коэффициента регрессии. Если то нет оснований отвергать нулевую гипотезу, оценку коэффициента регрессии считают незначимой.

Для значимых коэффициентов регрессии целесообразно построить доверительные интервалы по формуле (2.10). Для оценки значимости уравнения регрессии следует проверить нулевую гипотезу о том, что все коэффициенты регрессии (кроме свободного члена) равны нулю:  — вектор коэффициентов регрессии). Нулевую гипотезу проверяют, так же как и в п. 2.6, с помощью статистики , где — сумма квадратов, характеризующая влияние признаков X; — остаточная сумма квадратов, характеризующая влияние неучтённых факторов; Для уровня значимости а и числа степеней свободы по табл. 3 приложений находят критическое значение Если то нулевую гипотезу об одновременном равенстве нулю коэффициентов регрессии отвергают. Уравнение регрессии считают значимым. При нет оснований отвергать нулевую гипотезу, уравнение регрессии считают незначимым.

Факторный анализ

Основные положения. В последнее время всё более широкое распространение находит один из новых разделов многомерного статистического анализа — факторный анализ. Первоначально этот метод

разрабатывался для объяснения многообразия корреляций между исходными параметрами. Действительно, результатом корреляционного анализа является матрица коэффициентов корреляций. При малом числе параметров можно произвести визуальный анализ этой матрицы. С ростом числа параметра (10 и более) визуальный анализ не даёт положительных результатов. Оказалось, что всё многообразие корреляционных связей можно объяснить действием нескольких обобщённых факторов, являющихся функциями исследуемых параметров, причём сами обобщённые факторы при этом могут быть и неизвестны, однако их можно выразить через исследуемые параметры.

Один из основоположников факторного анализа Л. Терстоун приводит такой пример: несколько сотен мальчиков выполняют 20 разнообразных гимнастических упражнений. Каждое упражнение оценивают баллами. Можно рассчитать матрицу корреляций между 20 упражнениями. Это большая матрица размером 20><20. Изучая такую матрицу, трудно уловить закономерность связей между упражнениями. Нельзя ли объяснить скрытую в таблице закономерность действием каких-либо обобщённых факторов, которые в результате эксперимента непосредственно, не оценивались? Оказалось, что обо всех коэффициентах корреляции можно судить по трём обобщённым факторам, которые и определяют успех выполнения всех 20 гимнастических упражнений: чувство равновесия, усилие правого плеча, быстрота движения тела.

Дальнейшие разработки факторного анализа доказали, что этот метод может быть с успехом применён в задачах группировки и классификации объектов. Факторный анализ позволяет группировать объекты со сходными сочетаниями признаков и группировать признаки с общим характером изменения от объекта к объекту. Действительно, выделенные обобщённые факторы можно использовать как критерии при классификации мальчиков по способностям к отдельным группам гимнастических упражнений.

Методы факторного анализа находят применение в психологии и экономике, социологии и экономической географии. Факторы, выраженные через исходные параметры, как правило, легко интерпретировать как некоторые существенные внутренние характеристики объектов.

Факторный анализ может быть использован и как самостоятельный метод исследования, и вместе с другими методами многомерного анализа, например в сочетании с регрессионным анализом. В этом случае для набора зависимых переменных наводят обобщённые факторы, которые потом входят в регрессионный анализ в качестве переменных. Такой подход позволяет сократить число переменных в регрессионном анализе, устранить коррелированность переменных, уменьшить влияние ошибок и в случае ортогональности выделенных факторов значительно упростить оценку значимости переменных.

Представление, информации в факторном анализе

Для проведения факторного анализа информация должна быть представлена в виде двумерной таблицы чисел размерностью аналогичной приведенной в п. 2.7 (матрица исходных данных). Строки этой матрицы должны соответствовать объектам наблюдений столбцы — признакамтаким образом, каждый признак является как бы статистическим рядом, в котором наблюдения варьируют от объекта к объекту. Признаки, характеризующие объект наблюдения, как правило, имеют различную размерность. Чтобы устранить влияние размерности и обеспечить сопоставимость признаков, матрицу исходных данных    обычно нормируют, вводя единый    масштаб. Самым распространенным видом нормировки является стандартизация. От переменных переходят к переменным В дальнейшем, говоря о матрице исходных переменных, всегда будем иметь в виду стандартизованную матрицу.

Основная модель факторного анализа. Основная модель факторного анализа имеет вид

где -j-й признак (величина случайная); — общие факторы (величины случайные, имеющие нормальный закон распределения); — характерный фактор; — факторные нагрузки, характеризующие существенность влияния каждого фактора (параметры модели, подлежащие определению); — нагрузка характерного фактора.

Модель предполагает, что каждый из j признаков, входящих в исследуемый набор и заданных в стандартной форме, может быть представлен в виде линейной комбинации небольшого числа общих факторов и характерного фактора

Термин «общий фактор» подчёркивает, что каждый такой фактор имеет существенное значение для анализа всех признаков, т.е.

Термин «характерный фактор» показывает, что он относится только к данному j-му признаку. Это специфика признака, которая не может быть, выражена через факторы

Факторные нагрузки . характеризуют величину влияния того или иного общего фактора в вариации данного признака. Основная задача факторного анализа — определение факторных нагрузок. Факторная модель относится к классу аппроксимационных. Параметры модели должны быть выбраны так, чтобы наилучшим образом аппроксимировать корреляции между наблюдаемыми признаками.

Для j-го признака и i-го объекта модель (2.19) можно записать в. виде

где значение k-го фактора для i-го объекта.

Дисперсию признака можно разложить на составляющие: часть, обусловленную действием общих факторов, — общность и часть, обусловленную действием j-го характера фактора, характерность Все переменные представлены в стандартизированном виде, поэтому дисперсий у-го признака Дисперсия признака может быть выражена через факторы и в конечном счёте через факторные нагрузки.

Если общие и характерные факторы не коррелируют между собой, то дисперсию j-го признака можно представить в виде

где —доля дисперсии признака приходящаяся на k-й фактор.

Полный вклад k-го фактора в суммарную дисперсию признаков

Вклад общих факторов в суммарную дисперсию
 

Факторное отображение

Используя модель (2.19), запишем выражения для каждого из параметров:

Коэффициенты системы (2,21) — факторные нагрузки — можно представить в виде матрицы, каждая строка которой соответствует параметру, а столбец — фактору.

Факторный анализ позволяет получить не только матрицу отображений, но и коэффициенты корреляции между параметрами и

факторами, что является важной характеристикой качества факторной модели. Таблица таких коэффициентов корреляции называется факторной структурой или просто структурой.

Коэффициенты отображения можно выразить через выборочные парные коэффициенты корреляции. На этом основаны методы вычисления факторного отображения.

Рассмотрим связь между элементами структуры и коэффициентами отображения. Для этого, учитывая выражение (2.19) и определение выборочного коэффициента корреляции, умножим уравнения системы (2.21) на соответствующие факторы, произведём суммирование по всем n наблюдениям и, разделив на n, получим следующую систему уравнений:

где — выборочный коэффициент корреляции между j-м параметром и к-
м фактором; — коэффициент корреляции между к-м и р-м факторами.

Если предположить, что общие факторы между собой, не коррелированы, то уравнения    (2.22) можно записать в виде

, т.е. коэффициенты отображения равны
элементам структуры.

Введём понятие, остаточного коэффициента корреляции и остаточной корреляционной матрицы. Исходной информацией для построения факторной модели (2.19) служит матрица выборочных парных коэффициентов корреляции. Используя построенную факторную модель, можно снова вычислить коэффициенты корреляции между признаками и сравнись их с исходными Коэффициентами корреляции. Разница между ними и есть остаточный коэффициент корреляции.

В случае независимости факторов имеют место совсем простые выражения для вычисляемых коэффициентов корреляции между параметрами: для их вычисления достаточно взять сумму произведений коэффициентов отображения, соответствующих наблюдавшимся признакам:
где —вычисленный по отображению коэффициент корреляции между j-м
и к-м признаком. Остаточный коэффициент корреляции

Матрица остаточных коэффициентов корреляции называется остаточной матрицей или матрицей остатков

где — матрица остатков; R — матрица выборочных парных коэффициентов корреляции, или полная матрица; R’— матрица вычисленных по отображению коэффициентов корреляции.

Результаты факторного анализа удобно представить в виде табл. 2.10.

Здесь суммы квадратов нагрузок по строкам — общности параметров, а суммы квадратов нагрузок по столбцам — вклады факторов в суммарную дисперсию параметров. Имеет место соотношение

Определение факторных нагрузок

Матрицу факторных нагрузок можно получить различными способами. В настоящее время наибольшее распространение получил метод главных факторов. Этот метод основан на принципе последовательных приближений и позволяет достичь любой точности. Метод главных факторов предполагает использование ЭВМ. Существуют хорошие алгоритмы и программы, реализующие все вычислительные процедуры.

Введём понятие редуцированной корреляционной матрицы или просто редуцированной матрицы. Редуцированной называется матрица выборочных коэффициентов корреляции у которой на главной диагонали стоят значения общностей :

Редуцированная и полная матрицы связаны соотношением

где D — матрица характерностей.

Общности, как правило, неизвестны, и нахождение их в факторном анализе представляет серьезную проблему. Вначале определяют (хотя бы приближённо) число общих факторов, совокупность, которых может с достаточной точностью аппроксимировать все взаимосвязи выборочной корреляционной матрицы. Доказано, что число общих факторов (общностей) равно рангу редуцированной матрицы, а при известном ранге можно по выборочной корреляционной матрице найти оценки общностей. Числа общих факторов можно определить априори, исходя из физической природы эксперимента. Затем рассчитывают матрицу факторных нагрузок. Такая матрица, рассчитанная методом главных факторов, обладает одним интересным свойством: сумма произведений каждой пары её столбцов равна нулю, т.е. факторы попарно ортогональны.

Сама процедура нахождения факторных нагрузок, т.е. матрицы А, состоит из нескольких шагов и заключается в следующем: на первом шаге ищут коэффициенты факторных нагрузок при первом факторе так, чтобы сумма вкладов данного фактора в суммарную общность была максимальной:

Максимум должен быть найден при условии

где —общностьпараметра

Затем рассчитывают матрицу коэффициентов корреляции с учётом только первого фактора Имея эту матрицу, получают первую матрицу остатков:

На втором шаге определяют коэффициенты нагрузок при втором факторе так, чтобы сумма вкладов второго фактора в остаточную общность (т.е. полную общность без учёта той части, которая приходится на долю первого фактора) была максимальной. Сумма квадратов нагрузок при втором факторе

Максимум находят из условия

где — коэффициент корреляции из первой матрицы остатков; — факторные нагрузки с учётом второго фактора. Затем рассчитыва коэффициентов корреляций с учётом второго фактора и вычисляют вторую матрицу остатков:

Факторный анализ учитывает суммарную общность. Исходная суммарная общность Итерационный процесс выделения факторов заканчивают, когда учтённая выделенными факторами суммарная общность отличается от исходной суммарной общности меньше чем на — наперёд заданное малое число).

Адекватность факторной модели оценивается по матрице остатков (если величины её коэффициентов малы, то модель считают адекватной).

Такова последовательность шагов для нахождения факторных нагрузок. Для нахождения максимума функции (2.24) при условии (2.25) используют метод множителей Лагранжа, который приводит к системе т уравнений относительно m неизвестных

Метод главных компонент

Разновидностью метода главных факторов является метод главных компонент или компонентный анализ, который реализует модель вида

где m — количество параметров (признаков).

Каждый из наблюдаемых, параметров линейно зависит от m не коррелированных между собой новых компонент (факторов) По сравнению с моделью факторного анализа (2.19) в модели (2.28) отсутствует характерный фактор, т.е. считается, что вся вариация параметра может быть объяснена только действием общих или главных факторов. В случае компонентного анализа исходной является матрица коэффициентов корреляции, где на главной диагонали стоят единицы. Результатом компонентного анализа, так же как и факторного, является матрица факторных нагрузок. Поиск факторного решения — это ортогональное преобразование матрицы исходных переменных, в результате которого каждый параметр может быть представлен линейной комбинацией найденных m факторов, которые называют главными компонентами. Главные компоненты легко выражаются через наблюдённые параметры.

Если для дальнейшего анализа оставить все найденные т компонент, то тем самым будет использована вся информация, заложенная в корреляционной матрице. Однако это неудобно и нецелесообразно. На практике обычно оставляют небольшое число компонент, причём количество их определяется долей суммарной дисперсии, учитываемой этими компонентами. Существуют различные критерии для оценки числа оставляемых компонент; чаще всего используют следующий простой критерий: оставляют столько компонент, чтобы суммарная дисперсия, учитываемая ими, составляла заранее установленное число процентов. Первая из компонент должна учитывать максимум суммарной дисперсии параметров; вторая — не коррелировать с первой и учитывать максимум оставшейся дисперсии и так до тех пор, пока вся дисперсия не будет учтена. Сумма учтённых всеми компонентами дисперсий равна сумме дисперсий исходных параметров. Математический аппарат компонентного анализа полностью совпадает с аппаратом метода главных факторов. Отличие только в исходной матрице корреляций.

Компонента (или фактор) через исходные переменные выражается следующим образом:

где — элементы факторного решения:— исходные переменные; .— k-е собственное значение; р — количество оставленных главных
компонент.

Для иллюстрации возможностей факторного анализа покажем, как, используя метод главных компонент, можно сократить размерность пространства независимых переменных, перейдя от взаимно коррелированных параметров к независимым факторам, число которых р

Следует особо остановиться на интерпретации результатов, т.е. на смысловой стороне факторного анализа. Собственно факторный анализ состоит из двух важных этапов; аппроксимации корреляционной матрицы и интерпретации результатов. Аппроксимировать корреляционную матрицу, т.е. объяснить корреляцию между параметрами действием каких-либо общих для них факторов, и выделить сильно коррелирующие группы параметров достаточно просто:    из корреляционной матрицы одним из методов

факторного анализа непосредственно получают матрицу нагрузок — факторное решение, которое называют прямым факторным решением. Однако часто это решение не удовлетворяет исследователей. Они хотят интерпретировать фактор как скрытый, но существенный параметр, поведение которого определяет поведение некоторой своей группы наблюдаемых параметров, в то время как, поведение других параметров определяется поведением других факторов. Для этого у каждого параметра должна быть наибольшая по модулю факторная нагрузка с одним общим фактором. Прямое решение следует преобразовать, что равносильно повороту осей общих факторов. Такие преобразования называют вращениями, в итоге получают косвенное факторное решение, которое и является результатом факторного анализа.

Приложения

Значение t – распределения Стьюдента

Понятие о регрессионном анализе. Линейная выборочная регрессия. Метод наименьших квадратов (МНК)

Основные задачи регрессионного анализа:

•  Вычисление выборочных коэффициентов регрессии
•  Проверка значимости коэффициентов регрессии
•  Проверка адекватности модели
•  Выбор лучшей регрессии
•  Вычисление стандартных ошибок, анализ остатков

Построение простой регрессии по экспериментальным данным.

Предположим, что случайные величины  связаны линейной корреляционной зависимостью  для отыскания которой проведено  независимых измерений 

Диаграмма рассеяния (разброса, рассеивания)

 – координаты экспериментальных точек.

Выборочное уравнение прямой линии регрессии  имеет вид

Задача: подобрать  таким образом, чтобы экспериментальные точки как можно ближе лежали к прямой 

Для того, что бы провести прямую  воспользуемся МНК. Потребуем,

чтобы 

Постулаты регрессионного анализа, которые должны выполняться при использовании МНК.

1. подчинены нормальному закону распределения.
2. Дисперсия  постоянна и не зависит от номера измерения.
3. Результаты наблюдений  в разных точках независимы.
4. Входные переменные  независимы, неслучайны и измеряются без ошибок.

Введем функцию ошибок  и найдём её минимальное значение

Решив систему, получим искомые значения 

 является несмещенными оценками истинных значений коэффициентов 

 где 

 несмещенная оценка корреляционного момента (ковариации),
 несмещенная оценка дисперсии 

 выборочная ковариация,

   выборочная дисперсия 

 – выборочный коэффициент корреляции

Коэффициент детерминации

 – наблюдаемое экспериментальное значение  при 

 – предсказанное значение  удовлетворяющее уравнению регрессии

 – средневыборочное значение 

 – коэффициент детерминации, доля изменчивости  объясняемая  рассматриваемой регрессионной моделью. Для парной линейной регрессии

Коэффициент детерминации принимает значения от 0 до 1. Чем ближе значение коэффициента к 1, тем сильнее зависимость. При оценке регрессионных моделей это используется для доказательства адекватности модели (качества регрессии). Для приемлемых моделей предполагается, что коэффициент детерминации должен быть хотя бы не меньше 0,5 (в этом случае коэффициент множественной корреляции превышает по модулю 0,7). Модели с коэффициентом детерминации выше 0,8 можно признать достаточно хорошими (коэффициент корреляции превышает 0,9). Подтверждение адекватности модели проводится на основе дисперсионного анализа путем проверки гипотезы о значимости коэффициента детерминации.

 регрессия незначима

 регрессия значима

 – уровень значимости 

 – статистический критерий

Критическая область – правосторонняя; 

Если  то нулевая гипотеза отвергается на заданном уровне значимости, следовательно, коэффициент детерминации значим, следовательно, регрессия адекватна.

Мощность статистического критерия. Функция мощности

Определение. Мощностью критерия  называют вероятность попадания критерия в критическую область при условии, что справедлива конкурирующая гипотеза.

Задача: построить критическую область таким образом, чтобы мощность критерия была максимальной.

Определение. Наилучшей критической областью (НКО) называют критическую область, которая обеспечивает минимальную ошибку второго рода 

Пример:

По паспортным данным автомобиля расход топлива на 100 километров составляет 10 литров. В результате измерения конструкции двигателя ожидается, что расход топлива уменьшится. Для проверки были проведены испытания 25 автомобилей с модернизированным двигателем; выборочная средняя расхода топлива по результатам испытаний составила 9,3 литра. Предполагая, что выборка получена из нормально распределенной генеральной совокупности с математическим ожиданием  и дисперсией  проверить гипотезу, утверждающую, что изменение конструкции двигателя не повлияло на расход топлива.

3) Уровень значимости 

4) Статистический критерий

5) Критическая область – левосторонняя

  следовательно  отвергается на уровне значимости 

Пример:

В условиях примера 1 предположим, что наряду с  рассматривается конкурирующая гипотеза  а критическая область задана неравенством  Найти вероятность ошибок I рода и II рода.

 автомобилей имеют меньший расход топлива)

  автомобилей, имеющих расход топлива 9л на 100 км, классифицируются как автомобили, имеющие расход 10 литров).

Определение. Пусть проверяется  – критическая область критерия с заданным уровнем значимости  Функцией мощности критерия  называется вероятность отклонения  как функция параметра  т.е.

 – ошибка 1-ого рода

 – мощность критерия

Пример:

Построить график функции мощности из примера 2 для 

 попадает в критическую область.

Пример:

Какой минимальный объем выборки следует взять в условии примера 2 для того, чтобы обеспечить 

Лемма Неймана-Пирсона.

При проверке простой гипотезы  против простой альтернативной гипотезы  наилучшая критическая область (НКО) критерия заданного уровня значимости  состоит из точек выборочного пространства (выборок объема  для которых справедливо неравенство:

 – константа, зависящая от

 – элементы выборки;

 – функция правдоподобия при условии, что соответствующая гипотеза верна.

Пример:

Случайная величина  имеет нормальное распределение с параметрами  известно. Найти НКО для проверки  против причем 

Решение:

Ошибка первого рода: 

НКО: 

Пример:

Для зависимости заданной корреляционной табл. 13, найти оценки параметров  уравнения линейной регрессии  остаточную дисперсию; выяснить значимость уравнения регрессии при 

Решение. Воспользуемся предыдущими результатами

Согласно формуле (24), уравнение регрессии будет иметь вид  тогда 

Для выяснения значимости уравнения регрессии вычислим суммы Составим расчетную таблицу:

Из (27) и (28) по данным таблицы получим 

 по табл. П7 находим  

Вычислим статистику

Так как  то уравнение регрессии значимо. Остаточная дисперсия равна

Решения задач: линейная регрессия и коэффициент корреляции

Парная линейная регрессия – это зависимость между одной переменной и средним значением другой переменной. Чаще всего модель записывается как $y=ax+b+e$, где $x$ – факторная переменная, $y$ – результативная (зависимая), $e$ – случайная компонента (остаток, отклонение).

В учебных задачах по математической статистике обычно используется следующий алгоритм для нахождения уравнения регрессии.

1. Выбор модели (уравнения). Часто модель задана заранее (найти линейную регрессию) или для подбора используют графический метод: строят диаграмму рассеяния и анализируют ее форму.
2. Вычисление коэффициентов (параметров) уравнения регрессии. Часто для этого используют метод наименьших квадратов.
3. Проверка значимости коэффициента корреляции и параметров модели (также для них можно построить доверительные интервалы), оценка качества модели по критерию Фишера.
4. Анализ остатков, вычисление стандартной ошибки регрессии, прогноз по модели (опционально).

Ниже вы найдете решения для парной регрессии (по рядам данных или корреляционной таблице, с разными дополнительными заданиями) и пару задач на определение и исследование коэффициента корреляции.

Примеры решений онлайн: линейная регрессия

Простая выборка

Пример 1. Имеются данные средней выработки на одного рабочего Y (тыс. руб.) и товарооборота X (тыс. руб.) в 20 магазинах за квартал. На основе указанных данных требуется:
1) определить зависимость (коэффициент корреляции) средней выработки на одного рабочего от товарооборота,
2) составить уравнение прямой регрессии этой зависимости.

Пример 2. С целью анализа взаимного влияния зарплаты и текучести рабочей силы на пяти однотипных фирмах с одинаковым числом работников проведены измерения уровня месячной зарплаты Х и числа уволившихся за год рабочих Y:
X 100 150 200 250 300
Y 60 35 20 20 15
Найти линейную регрессию Y на X, выборочный коэффициент корреляции.

Пример 3. Найти выборочные числовые характеристики и выборочное уравнение линейной регрессии $y_x=ax+b$. Построить прямую регрессии и изобразить на плоскости точки $(x,y)$ из таблицы. Вычислить остаточную дисперсию. Проверить адекватность линейной регрессионной модели по коэффициенту детерминации.

Пример 4. Вычислить коэффициенты уравнения регрессии. Определить выборочный коэффициент корреляции между плотностью древесины маньчжурского ясеня и его прочностью.
Решая задачу необходимо построить поле корреляции, по виду поля определить вид зависимости, написать общий вид уравнения регрессии Y на Х, определить коэффициенты уравнения регрессии и вычислить коэффициенты корреляции между двумя заданными величинами.

Пример 5. Компанию по прокату автомобилей интересует зависимость между пробегом автомобилей X и стоимостью ежемесячного технического обслуживания Y. Для выяснения характера этой связи было отобрано 15 автомобилей. Постройте график исходных данных и определите по нему характер зависимости. Рассчитайте выборочный коэффициент линейной корреляции Пирсона, проверьте его значимость при 0,05. Постройте уравнение регрессии и дайте интерпретацию полученных результатов.

Корреляционная таблица

Пример 6. Найти выборочное уравнение прямой регрессии Y на X по заданной корреляционной таблице

Пример 7. В таблице 2 приведены данные зависимости потребления Y (усл. ед.) от дохода X (усл. ед.) для некоторых домашних хозяйств.
1. В предположении, что между X и Y существует линейная зависимость, найдите точечные оценки коэффициентов линейной регрессии.
2. Найдите стандартное отклонение $s$ и коэффициент детерминации $R^2$.
3. В предположении нормальности случайной составляющей регрессионной модели проверьте гипотезу об отсутствии линейной зависимости между Y и X.
4. Каково ожидаемое потребление домашнего хозяйства с доходом $x_n=7$ усл. ед.? Найдите доверительный интервал для прогноза.
Дайте интерпретацию полученных результатов. Уровень значимости во всех случаях считать равным 0,05.

Пример 8. Распределение 100 новых видов тарифов на сотовую связь всех известных мобильных систем X (ден. ед.) и выручка от них Y (ден.ед.) приводится в таблице:
Необходимо:
1) Вычислить групповые средние и построить эмпирические линии регрессии;
2) Предполагая, что между переменными X и Y существует линейная корреляционная зависимость:
А) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию полученных уравнений;
Б) вычислить коэффициент корреляции, на уровне значимости 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными X и Y;
В) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить среднюю выручку от мобильных систем с 20 новыми видами тарифов.

Коэффициент корреляции

Пример 9. На основании 18 наблюдений установлено, что на 64% вес X кондитерских изделий зависит от их объема Y. Можно ли на уровне значимости 0,05 утверждать, что между X и Y существует зависимость?

Пример 10. Исследование 27 семей по среднедушевому доходу (Х) и сбережениям (Y) дало результаты: $overline{X}=82$ у.е., $S_x=31$ у.е., $overline{Y}=39$ у.е., $S_y=29$ у.е., $overline{XY} =3709$ (у.е.)2. При $alpha=0,05$ проверить наличие линейной связи между Х и Y. Определить размер сбережений семей, имеющих среднедушевой доход $Х=130$ у.е.

Полезные ссылки

• Простая линейная регрессия – подробная статья о нахождении уравнения регрессии и сопутствующих расчетах, разобрана работа в Excel
• Решение задач на заказ
• Ссылки на учебники
• Решенные контрольные

Задача

По 20
предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного
работника

 (тыс.руб.) от ввода в действие новых основных
фондов

(% от стоимости фондов на
конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей
численности рабочих

 (смотри таблицу своего варианта).

Требуется:

Построить линейную модель множественной регрессии. Записать стандартизированное
уравнение множественной регрессии. На основе стандартизированных коэффициентов
регрессии и средних коэффициентов эластичности ранжировать факторы по степени
их влияния на результат.
Найти
коэффициенты парной, частной и множественной корреляции. Проанализировать их.
Найти
скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с
нескорректированным (общим) коэффициентов детерминации.
С
помощью

 –критерия Фишера оценить статистическую
надежность уравнения регрессии и коэффициента детерминации


С
помощью частных

 –критериев Фишера оценить целесообразность
включения в уравнение множественной регрессии фактора

 после

 и фактора

 после

.

Составить уравнение линейной парной регрессии, оставив лишь один значащий фактор.

Решение

Для
удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных расчетов в
таблицу:

Найдем
средние квадратические отклонения признаков:

Расчет
парных коэффициентов корреляции и параметров линейного уравнения множественной
регрессии

1) Для
нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии:

необходимо
решить следующую систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров

:

Решать систему уравнений
методом Крамера,
методом обратной матрицы или
методом Гаусса достаточно трудоемко, поэтому
воспользуемся готовыми формулами:

Рассчитаем
сначала парные коэффициенты корреляции:

Находим:

Таким
образом, получили следующее уравнение множественной регрессии:

Коэффициенты
стандартизированного уравнения регрессии

Коэффициенты

 и

 стандартизированного уравнения регрессии

 находятся по формулам:

То есть
уравнение будет выглядеть следующим образом:

Так как
стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой, то можно
сказать, что ввод в действие новых основных фондов оказывает большее влияние на
выработку продукции, чем удельный вес рабочих высокой квалификации.

Коэффициенты
эластичности

Сравнивать
влияние факторов на результат можно также при помощи средних коэффициентов
эластичности:

Вычисляем:

Т.е.
увеличение только основных фондов (от своего среднего значения) или только
удельного веса рабочих высокой квалификации на 1% увеличивает в среднем
выработку продукции на 0,635% или 0,142% соответственно. Таким образом,
подтверждается большее влияние на результат

   фактора

  , чем фактора

 .

Частные
и парные коэффициенты корреляции

2)  Коэффициенты парной корреляции мы уже нашли:

Они
указывают на весьма сильную связь каждого фактора с результатом, а также
высокую межфакторную зависимость (факторы

 и

 явно коллинеарны, так как

). При такой сильной
межфакторной зависимости рекомендуется один из факторов исключить из
рассмотрения.

Частные
коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и
соответствующим факторов при элиминировании (устранении влияния) других
факторов, включенных в уравнение регрессии.

При двух
факторах частные коэффициенты корреляции рассчитываются следующим образом:

Если
сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно увидеть, что из-за
высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные
оценки тесноты связи. Именно по этой причине рекомендуется при наличии сильной
коллинеарности (взаимосвязи) факторов исключать из исследования тот фактор, у
которого теснота парной зависимости меньше, чем теснота межфакторной связи.

Коэффициенты
множественной корреляции и детерминации

Коэффициент
множественной корреляции определить по формуле:

Коэффициент
множественной корреляции показывает на весьма сильную связь всего набора
факторов с результатом.

3)
Нескорректированный коэффициент множественной детерминации

 оценивает долю вариации результата за счет
представленных в уравнении факторов в общей вариации результата. Здесь эта доля
составляет 98,4% и указывает на высокую степень обусловленности вариации
результата вариацией факторов, иными словами – на весьма тесную связь факторов
с результатом.

Скорректированный
коэффициент множественной корреляции:

определяет
тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий. Он дает
такую оценку тесноты связи, которая не зависит от числа факторов и поэтому
может сравниваться по разным моделям с разным числом факторов. Оба коэффициента
указывают на высокую (более 98%) детерминированность результата 

  в модели факторами

  и

 .

Надежность
уравнения регрессии. Критерий Фишера

4) Оценку
надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи

 дает

 –критерий Фишера:

В нашем
случае фактическое значение

 –критерия Фишера:

Получили,
что

 (при

)
(по таблице F-распределения Фишера-Снедекора, при уровне значимости α=0,05 и числе степеней свободы k₁=2 и k₂=20-2=18), то есть вероятность
случайно получить такое значение

 – критерия не превышает допустимый уровень
значимости 5%. Следовательно, полученное значение не случайно, оно
сформировалось под влиянием существенных факторов, то есть подтверждается
статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи

.

5) С
помощью частных

 –критериев Фишера оценим целесообразность
включения в уравнение множественной регрессии фактора

 после

 и фактора

 после

 при помощи формул:

Найдем

 и

.

Получили,
что

. Следовательно, включение
в модель фактора

 после того, как в модель включен фактор

 статистически нецелесообразно: прирост
факторной дисперсии за счет дополнительного признака

 оказывается незначительным, несущественным;
фактор

 включать в уравнение после фактора

 не следует.

Если
поменять первоначальный порядок включения факторов в модель и рассмотреть
вариант включения

 после

, то результат расчета
частного

 –критерия для

 будет иным.

, то есть вероятность его
случайного формирования меньше принятого стандарта

. Следовательно, значение
частного

 –критерия для дополнительно включенного
фактора

 не случайно, является статистически значимым,
надежным, достоверным: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного
фактора

является существенным.
Фактор

 должен присутствовать в уравнении, в том числе
в варианте, когда он дополнительно включается после фактора

.

6) Общий
вывод состоит в том, что множественная модель с факторами

 и

 с

 содержит неинформативный фактор

. Если исключить фактор

, то можно ограничится
уравнением парной регрессии:

Выборочные
средние.



Выборочные
дисперсии:

Среднеквадратическое
отклонение


Коэффициент
корреляции b можно находить по формуле,
не решая систему непосредственно:

Коэффициент корреляции

Рассчитываем
показатель тесноты связи. Таким
показателем является выборочный линейный
коэффициент корреляции, который
рассчитывается по формуле:

Линейный
коэффициент корреляции принимает
значения от –1 до +1.
Связи между
признаками могут быть слабыми и сильными
(тесными). Их критерии оцениваются по
шкале Чеддока:
0.1 < r_xy <
0.3: слабая;
0.3 < r_xy <
0.5: умеренная;
0.5 < r_xy <
0.7: заметная;
0.7 < r_xy <
0.9: высокая;
0.9 < r_xy <
1: весьма высокая;
В нашем примере связь
между признаком Y фактором X высокая и
прямая.
Кроме того, коэффициент линейной
парной корреляции может быть определен
через коэффициент регрессии b:


Уравнение регрессии (оценка
уравнения регрессии).

Линейное
уравнение регрессии имеет вид y = 0.54 x +
75.82
Коэффициентам уравнения линейной
регрессии можно придать экономический
смысл.
Коэффициент регрессии b = 0.54
показывает среднее изменение
результативного показателя (в единицах
измерения у) с повышением или понижением
величины фактора х на единицу его
измерения. В данном примере с увеличением
на 1 единицу y повышается в среднем на
0.54.
Коэффициент a = 75.82 формально
показывает прогнозируемый уровень у,
но только в том случае, если х=0 находится
близко с выборочными значениями.
Но
если х=0 находится далеко от выборочных
значений х, то буквальная интерпретация
может привести к неверным результатам,
и даже если линия регрессии довольно
точно описывает значения наблюдаемой
выборки, нет гарантий, что также будет
при экстраполяции влево или вправо.
Подставив
в уравнение регрессии соответствующие
значения х, можно определить выровненные
(предсказанные) значения результативного
показателя y(x) для каждого наблюдения.
Связь
между у и х определяет знак коэффициента
регрессии b (если > 0 – прямая связь,
иначе – обратная). В нашем примере связь
прямая.
Коэффициент
эластичности.
Коэффициенты
регрессии (в примере b) нежелательно
использовать для непосредственной
оценки влияния факторов на результативный
признак в том случае, если существует
различие единиц измерения результативного
показателя у и факторного признака
х.
Для этих целей вычисляются коэффициенты
эластичности и бета – коэффициенты.
Средний
коэффициент эластичности E показывает,
на сколько процентов в среднем по
совокупности изменится результат у от
своей средней величины при изменении
фактора x на
1% от своего среднего значения.
Коэффициент
эластичности находится по
формуле:


Коэффициент
эластичности меньше 1. Следовательно,
при изменении Х на 1%, Y изменится менее
чем на 1%. Другими словами – влияние Х на
Y не существенно.

Ошибка аппроксимации.
Оценим
качество уравнения регрессии с помощью
ошибки абсолютной аппроксимации. Средняя
ошибка аппроксимации – среднее отклонение
расчетных значений от фактических:

Ошибка
аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует
о хорошем подборе уравнения регрессии
к исходным данным.

Поскольку
ошибка больше 7%, то данное уравнение не
желательно использовать в качестве
регрессии.
Коэффициент
детерминации.
Квадрат
(множественного) коэффициента корреляции
называется коэффициентом детерминации,
который показывает долю вариации
результативного признака, объясненную
вариацией факторного признака.
Чаще
всего, давая интерпретацию коэффициента
детерминации, его выражают в процентах.
R²=
0.841² =
0.7072
т.е. в 70.72 % случаев изменения х
приводят к изменению y. Другими словами
– точность подбора уравнения регрессии
– высокая. Остальные 29.28 % изменения Y
объясняются факторами, не учтенными в
модели (а также ошибками спецификации).
Для
оценки качества параметров регрессии
построим расчетную таблицу (табл. 2)

x	y	y(x)	(yi-ycp)2	(y-y(x))2	(xi-xcp)2	|y – yx|:y
913	596	566.54	22425.06	868.11	50086.44	0.0494
1095	417	664.36	855.56	61185.18	164673.64	0.59
606	354	401.53	8510.06	2259.32	6922.24	0.13
876	526	546.65	6360.06	426.42	34894.24	0.0393
1314	934	782.06	237900.06	23084.89	390375.04	0.16
593	412	394.55	1173.06	304.67	9254.44	0.0424
754	525	481.08	6201.56	1929.12	4199.04	0.0837
528	367	359.61	6280.56	54.62	25985.44	0.0201
520	364	355.31	6765.06	75.52	28628.64	0.0239
539	336	365.52	12155.06	871.53	22560.04	0.0879
540	409	366.06	1387.56	1843.92	22260.64	0.1
682	452	442.38	33.06	92.54	51.84	0.0213
537	367	364.45	6280.56	6.52	23164.84	0.00696
589	328	392.4	13983.06	4146.75	10040.04	0.2
626	460	412.28	189.06	2277.03	3994.24	0.1
521	380	355.85	4389.06	583.36	28291.24	0.0636
626	439	412.28	52.56	713.87	3994.24	0.0609
521	344	355.85	10455.06	140.35	28291.24	0.0344
658	401	429.48	2047.56	811.16	973.44	0.071
746	514	476.78	4590.06	1385.44	3226.24	0.0724
13784	8925	8925	352033.75	103060.32	861867.2	1.97

2.
Оценка параметров уравнения
регрессии.
Значимость
коэффициента корреляции.
Выдвигаем
гипотезы:
H₀:
r_xy =
0, нет линейной взаимосвязи между
переменными;
H₁:
r_xy ≠
0, есть линейная взаимосвязь между
переменными;
Для того чтобы при уровне
значимости α проверить нулевую гипотезу
о равенстве нулю генерального коэффициента
корреляции нормальной двумерной
случайной величины при конкурирующей
гипотезе H₁ ≠
0, надо вычислить наблюдаемое значение
критерия (величина случайной ошибки)

и
по таблице критических точек распределения
Стьюдента, по заданному уровню значимости
α и числу степеней свободы k = n – 2 найти
критическую точку t_крит двусторонней
критической области. Если t_набл <
t_крит оснований
отвергнуть нулевую гипотезу. Если
|t_набл|
> t_крит —
нулевую гипотезу отвергают.

По
таблице Стьюдента с уровнем значимости
α=0.05 и степенями свободы k=18 находим
t_крит:
t_крит (n-m-1;α/2)
= (18;0.025) = 2.101
где m = 1 – количество
объясняющих переменных.
Если |t_набл|
> t_критич,
то полученное значение коэффициента
корреляции признается значимым (нулевая
гипотеза, утверждающая равенство нулю
коэффициента корреляции,
отвергается).
Поскольку |t_набл|
> t_крит,
то отклоняем гипотезу о равенстве 0
коэффициента корреляции. Другими
словами, коэффициент корреляции
статистически значим

В
парной линейной регрессии t²_r =
t²_b и
тогда проверка гипотез о значимости
коэффициентов регрессии и корреляции
равносильна проверке гипотезы о
существенности линейного уравнения
регрессии.
2.2.
Интервальная оценка для коэффициента
корреляции (доверительный
интервал).

Доверительный
интервал для коэффициента корреляции.

r(0.573;1)

2.3.
Анализ точности определения оценок
коэффициентов регрессии.
Несмещенной
оценкой дисперсии возмущений является
величина:


S² =
5725.573 – необъясненная дисперсия (мера
разброса зависимой переменной вокруг
линии регрессии).

S
= 75.67 – стандартная ошибка оценки
(стандартная ошибка регрессии).
S_a –
стандартное отклонение случайной
величины a.


S_b –
стандартное отклонение случайной
величины b.


2.4.
Доверительные интервалы для зависимой
переменной.
Экономическое
прогнозирование на основе построенной
модели предполагает, что сохраняются
ранее существовавшие взаимосвязи
переменных и на период упреждения. Для
прогнозирования зависимой переменной
результативного признака необходимо
знать прогнозные значения всех входящих
в модель факторов.
Прогнозные значения
факторов подставляют в модель и получают
точечные прогнозные оценки изучаемого
показателя.
(a + bx_p ±
ε)
где

t_крит (n-m-1;α/2)
= (18;0.025) = 2.101
Рассчитаем границы
интервала, в котором будет сосредоточено
95% возможных значений Y при неограниченно
большом числе наблюдений и X_p =
104
Вычислим ошибку прогноза для
уравнения y = bx + a

y(104)
= 0.537*104 + 75.824 = 131.721
131.721 ± 106.33
(25.39;238.05)
С
вероятностью 95% можно гарантировать,
что значения Y при неограниченно большом
числе наблюдений не выйдет за пределы
найденных интервалов.
Вычислим ошибку
прогноза для уравнения y = bx + a +
ε

(-59.54;322.98)

Доверительный
интервал для коэффициентов уравнения
регрессии.
Определим
доверительные интервалы коэффициентов
регрессии, которые с надежность 95% будут
следующими:
(b – t_крит S_b;
b + t_крит S_b)
(0.54
– 2.101 • 0.0815; 0.54 + 2.101 • 0.0815)
(0.366;0.709)
С
вероятностью 95% можно утверждать, что
значение данного параметра будут лежать
в найденном интервале.
(a – t_крит S_a;
a + t_крит S_a)
(75.824
– 2.101 • 58.67; 75.824 + 2.101 • 58.67)
(-47.435;199.083)
С
вероятностью 95% можно утверждать, что
значение данного параметра будут лежать
в найденном интервале.
Так как точка
0 (ноль) лежит внутри доверительного
интервала, то интервальная оценка
коэффициента a
статистически
незначима.
2) F-статистика. Критерий
Фишера.
Коэффициент детерминации
R² используется
для проверки существенности уравнения
линейной регрессии в целом.
Проверка
значимости модели регрессии проводится
с использованием F-критерия Фишера,
расчетное значение которого находится
как отношение дисперсии исходного ряда
наблюдений изучаемого показателя и
несмещенной оценки дисперсии остаточной
последовательности для данной модели.
Если
расчетное значение с k₁=(m)
и k₂=(n-m-1)
степенями свободы больше табличного
при заданном уровне значимости, то
модель считается значимой.

где m –
число факторов в модели.
Оценка
статистической значимости парной
линейной регрессии производится по
следующему алгоритму:
1. Выдвигается
нулевая гипотеза о том, что уравнение
в целом статистически незначимо: H₀:
R²=0
на уровне значимости α.
2. Далее
определяют фактическое значение
F-критерия:


где
m=1 для парной регрессии.
3. Табличное
значение определяется по таблицам
распределения Фишера для заданного
уровня значимости, принимая во внимание,
что число степеней свободы для общей
суммы квадратов (большей дисперсии)
равно 1 и число степеней свободы остаточной
суммы квадратов (меньшей дисперсии) при
линейной регрессии равно n-2.
F_табл –
это максимально возможное значение
критерия под влиянием случайных факторов
при данных степенях свободы и уровне
значимости α. Уровень значимости α –
вероятность отвергнуть правильную
гипотезу при условии, что она верна.
Обычно α принимается равной 0,05 или
0,01.
4. Если фактическое значение
F-критерия меньше табличного, то говорят,
что нет основания отклонять нулевую
гипотезу.
В противном случае, нулевая
гипотеза отклоняется и с вероятностью
(1-α) принимается альтернативная гипотеза
о статистической значимости уравнения
в целом.
Табличное значение критерия
со степенями свободы k₁=1
и k₂=18,
F_табл =
4.41

Поскольку фактическое значение
F > F_табл,
то коэффициент детерминации статистически
значим (найденная оценка уравнения
регрессии статистически надежна).
Связь
между F-критерием Фишера и t-статистикой
Стьюдента выражается равенством:

Дисперсионный
анализ.
При
анализе качества модели регрессии
используется теорема о разложении
дисперсии, согласно которой общая
дисперсия результативного признака
может быть разложена на две составляющие
– объясненную и необъясненную уравнением
регрессии дисперсии.
Задача дисперсионного
анализа состоит в анализе дисперсии
зависимой переменной:
∑(y_i –
y_cp)² =
∑(y(x) – y_cp)² +
∑(y – y(x))²
где
∑(y_i –
y_cp)² –
общая сумма квадратов отклонений;
∑(y(x)
– y_cp)² –
сумма квадратов отклонений, обусловленная
регрессией («объясненная» или
«факторная»);
∑(y – y(x))² –
остаточная сумма квадратов отклонений.

Источник вариации	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Дисперсия на 1 степень свободы	F-критерий
Модель (объясненная)	0	1	0	43.48
Остаточная	103060.32	18	5725.57	1
Общая	352033.75	20-1

Показатели
качества уравнения регрессии.

Показатель	Значение
Коэффициент детерминации	0.71
Средний коэффициент эластичности	0.83
Средняя ошибка аппроксимации	9.86

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #