Как найти коэффициент момента

Для описания системы двух случайных
величин, кроме математических ожиданий
и дисперсий составляющих пользуются и
другими характеристиками, к числу
которых относятся корреляционный
моментикоэффициент корреляции(кратко было упомянуто в конце Т.8.п.8.6).

Корреляционным моментом (иликовариацией, или моментом
связи) двух случайных величинX
иY называется
м. о. произведения отклонений этих
величин (см. равенство (5) п. 8.6):

(7)
.

Следствие 1. Для корреляционного
момента с.в. X иYтакже справедливы
равенства:

,

где
соответствующие централизованные с.в.X иY
(см. п.8.6.).

При
этом: если
–
двумерная д.с.в., то ковариация вычисляется
по формуле

(8)
;

если
–
двумерная н.с.в., то ковариация вычисляется
по формуле

(9)

Формулы (8) и (9) получены на основании
формул (6) п.12.1. Имеет место вычислительная
формула

(10)

которая
выводится из определения (9) и на основании
свойств м.о., действительно,

.

Следовательно, формул (36) и (37) можно
переписать в виде

(11)
;

Корреляционный момент служит для
характеристики связи между величинами
X иY.

Как
будет показано ниже, корреляционный
момент равен нулю, если XиY являются
независимыми;

Следовательно, если корреляционный
момент не равен нулю, то X
и Y – зависимые
случайные величины.

Теорема12.1. Корреляционный момент
двух независимых случайных величин X
иY равен нулю,
т.е. для независимых с.в. X
иY,

Доказательство.Так какX
иYнезависимые
случайные величины, то их отклонения

и

также
независимы. Пользуясь свойствами
математического ожидания (математическое
ожидание произведения независимых с.
в. равно произведению математических
ожиданий сомножителей,,
поэтому

.

Замечание. Из этой теоремы следует,
что если
то с.в. X иY
зависимы и в таких случаях с.в. X
иYназываюткоррелированными. Однако из того,
что
не следует независимость с.в.X
иY.

В этом случае (с.в.X иYназываютнекоррелированными, тем
самым из

независимости
вытекает некоррелированность;
обратное утверждение, вообще говоря,
неверно (см. далее пример 2.)

Рассмотрим основные свойства
корреляционного момента.

Cвойства ковариации:

1.Ковариация симметрична, т.е.
.

Непосредственно следует из формулы
(38).

2. Имеют место равенства:т.е.
дисперсия с.в. является ковариацией её
с самой собой.

Эти равенства прямо следуют из определения
дисперсии и равенство (38) соотвеиственно
при

3. Справедливы равенства:

Эти
равенства выводятся из определения
дисперсии, ковариации с.в.и,
свойств 2.

По определению дисперсии (с учётом
централизованности с.в.
)
мы имеем

теперь,
на основании (33) и свойств 2 и 3, получим
первое (со знаком плюс) свойство 3.

Аналогично,
вторая часть свойства3, выводится из
равенство

.

4. Пустьпостоянные
числа,тогда справедливы равенства:

Обычно
эти свойства называются свойствами
однородностью первого порядка и
периодичностью по аргументам.

Докажем
первое равенство, при этом будем
использовать свойства м.о.
.

.

Теорема 12.2. Абсолютное значение
корреляционного момента двух
произвольных случайных величин X
и Y не превышает
среднего геометрического их дисперсий:
т.е.

(12)

Доказательство. Заметим, что для
независимых с.в. неравенство выполняется
(с.м. теорему 12.1.). Итак, пусть с.в.X
и Y зависимые.
Рассмотрим стандартные с.в.ии вычислим дисперсию с.в.с учётом свойства 3, имеем: с одной
стороныС другой стороны

Следовательно,
с учётом того, что
и–
нормированные (стандартизированные)
с.в., то для них м.о. равна нулю, а дисперсия
равна 1, поэтому, пользуясь свойством
м.о.получим

а
следовательно, на основании того, что

получим

Отсюда
следует, что
т.е.

=

Утверждение доказано.

Из определения и свойства ковариации
следует, что она характеризует и степень
зависимости с.в., и их рассеяния вокруг
точки
Размерность ковариации равна произведению
размерностей случайных величинXиY. Другими словами,
величина корреляционного момента
зависит от единиц измерения случайных
величин. По этой причине для одних и тех
же двух величинXиY,
величина корреляционного момента
будет иметь различные значения в
зависимости от того, в каких единицах
были измерены величины.

Пусть, например, X
и Y
были измерены в
сантиметрах и
;
если измерить XиY в миллиметрах,
тоЭта особенность корреляционного момента
и есть недостатком этой числовой
характеристики, так как сравнение
корреляционных моментов различных
систем случайных величин становится
затруднительным.

Для того чтобы устранить этот недостаток,
вводят новую числовую характеристику-
– «коэффициент корреляции».

Коэффициентом корреляции
случайных величин
иназывают отношение корреляционного
момента к произведению средних
квадратических отклонений этих величин:

(13)
.

Так как размерность
равна произведению размерностей величин
и,имеет размерность величиныσ_yимеет размерность величины,
то
есть просто число (т.е. «безразмерная
величина»). Таким образом, величина
коэффициента корреляции не зависит от
выбора единиц измерения с.в., в этом
состоитпреимуществокоэффициента
корреляции перед корреляционным
моментом.

В Т.8. п.8.3 нами было введено понятие
нормированной с.в.,
формула (18), и доказана теорема о том,
чтои(см.
там же теорема 8.2.). Здесь докажем следующее
утверждение.

Теорема 12.3. Длялюбых двух случайных
величин
и
справедливо
равенство.Другими словами, коэффициент корреляции
любых двух с.в.X
иYравно
корреляционному моменту их соответствующих
нормированныхс.в.и .

Доказательство. По определению
нормированных случайных величини

и.

Учитывая свойство математического
ожидания:
и равенство (40) получим

Утверждение
доказано.

Рассмотрим некоторые часто встречающие
свойства коэффициента корреляции.

Свойства коэффициента корреляции:

1. Коэффициент
корреляции по абсолютной величине
непревосходит 1, т.е.

Это
свойство прямо следует из формулы (41)
– определения коффициента корреляции
и теоремы 13.5. ( см. равенство (40)).

2. Если случайные величиныинезависимы,
токоэффициент корреляции
равен нулю, т.е.
.

Это свойство является прямым
следствием равенства (40) и теоремы 13.4.

Следующее свойство
сформулируем в виде отдельной теоремы.

Теорема 12.4.

Если
с.в.имежду
собой связаны линейной функциональной
зависимостью, т.е.то

при этом

и
наоборот, если
,то
с.в.и
между собой связаны линейной функциональной
зависимостью, т.е. существуют постоянныеи
такие, что имеет место равенство

Доказательство.
Пусть
тогда на основании
свойства 4 ковариации, имеем

и
поскольку,
,
поэтому

Следовательно,
.
Равенство в одну сторону получено. Пусть
далее,,
тогда

следует
рассматривать два случая:1)
и
2)Итак, рассмотрим первый случай. Тогда
по определениюи
следовательно из равенства,
где.
В нашем случае,
поэтому из равенства (см. доказательство
теоремы 13.5.)

=,

получаем,
что
,
значитпостоянна.
Так каки поскольку,
тодействительно,

.

Следовательно,

.

Аналогично,
показывается, что для
имеет место (проверьте самостоятельно!)

,.

Некоторые выводы:

1. Если
инезависимыес.в., то

2. Если с.в.имежду
собой связаны линейно, то.

3. В остальных случаях
:

В этом
случае говорят, что с.в.исвязаны между собойположительной
корреляцией, еслив случаях жеотрицательной
корреляцией. Чем ближек единице, тем больше оснований считать,
чтос.в.исвязаны линейной зависимостью.

Отметим, что корреляционные моменты и
дисперсии системы с.в. обычно задаются
корреляционной матрицей:

.

Очевидно, что определитель
корреляционной матрицы удовлетворяет:

.

Как уже было отмечено, если две случайные
величины зависимы, то они могут быть
как коррелированными, так инекоррелированными.Другими словами,
корреляционный момент двух зависимых
величин может бытьне равен нулю,
но может иравняться нулю.

Пример 1. Закон распределения
дискретной с.в.задан таблицей

	-1	0	1
0
1

Найти
коэффициент корреляции

Решение. Находим законы распределения
составляющихи:

Теперь
вычислим м.о. составляющих:

.

Этих
величин можно было находить на основании
таблицы распределения с.в.

из
равенства (1) пункта 12.1. Например,

.

Аналогично,
находите
самостоятельно.

Вычислим
дисперсии составляющих при это будем
пользоваться вычислительной формулой:

Следовательно,Далее, на основании первой формулы

(6) имеем:

Составим
закон распределения
,
а затем найдём:

При
составлении таблицы закона распределения
следует выполнять действия:

1) оставить лишь различные значения
всевозможных произведений
.

2) для определения вероятности данного
значения
,
нужно

складывать все соответствующие
вероятности, находящиеся на пересечении
основной таблицы, благоприятствующие
наступлению данного значения.

В нашем примере с.в.принимает
всего три различных значения.
Здесь первое значение ()
соответствует произведениюиз второй строки ииз первого столбца, поэтому на их
пересечении находится вероятностное
числоаналогично

,

которое
получено из суммы вероятностей,
находящихся на пересечениях соответственно
первой строки и первого столбца (0,15 ;
0,40; 0,05) и одно значение
,
которое находится на пересечении второй
строки и второго столбца, и наконец,,
которое находится на пересечении второй
строки и третьего столбца.

Из нашей таблицы находим:

Находим
корреляционный момент, используя формулу
(38):

Находим
коэффициент корреляции по формуле
(41)

Таким образом, отрицательная корреляция.

Упражнение.Закон
распределения дискретной с.в. задан
таблицей

	-1	0,5	1
0,2
1

Найти коэффициент корреляции

Рассмотрим
пример, где окажется две зависимые
случайные величинымогут бытьнекоррелированными.

Пример 2. Двумерная случайная величина
)задана функцией плотностью

Докажем, что
и
зависимые,нонекоррелированные
случайные величины.

Решение.Воспользуемся ранее
вычисленными плотностями распределения
составляющихи
:

Так
как
,то изависимые
величины. Для того, чтобы доказать
некоррелированность
и,
достаточно убедиться в том, что

Найдем
корреляционный момент по формуле:

Поскольку дифференциальная функция

симметрична относительно
оси OY,
то
аналогично,
в силу симметрии
относительно оси OX.
Поэтому,

вынося
постоянный множитель

Внутренний интеграл равен
нулю (подынтегральная функция нечетна,
пределы интегрирования симметричны
относительно начала координат),
следовательно,
,
т.е. зависимые случайные величиныи
между собой некоррелируют.

Итак, из коррелированности двух
случайных величин следует их зависимость,
но из некоррелированности ещё нельзя
заключить о независимости этих величин.

Однако, для нормально
распределённых с.в. такой вывод является
исключением,
т.е. из некоррелированности
нормально распределенных
с.в. вытекает их независимость.

Этому вопросу посвящается
следующий пункт.

Для описания системы двух случайных величин, кроме математических ожиданий и дисперсий составляющих, используют и другие характеристики; к их числу относятся корреляционный момент и коэффициент корреляции.

Корреляционным моментом случайных величин X и Y называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин: .

Для вычисления корреляционного момента дискретных величин используют формулу

,

а для непрерывных величин – формулу .

Корреляционный момент служит для характеристики связи между величинами X и Y . Как будет показано ниже, корреляционный момент равен нулю, если X и Y независимы; следовательно, если корреляционный момент не равен нулю, то X и Y – зависимые случайные величины.

Корреляционный момент можно записать в виде

.

ТЕОРЕМА 13.1.18. Корреляционный момент двух независимых случайных величин X и Y равен нулю.

Доказательство. Так как X и Y – независимые случайные величины, то их отклонения X – M(X) и Y – M(Y) также независимы. Пользуясь свойствами математического ожидания (математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей) и отклонения (математическое ожидание отклонения равно нулю), получим

.

Из определения корреляционного момента следует, что он имеет размерность, равную произведению размерностей величин X и Y. Другими словами, величина корреляционного момента зависит от единиц измерения случайных величин. По этой причине для одних и тех же двух величин величина корреляционного момента имеет различные значения в зависимости от того, в каких единицах были измерены величины.

Пусть, например, X и Y были измерены в сантиметрах и ; если измерить X и Y в миллиметрах, то и . Такая особенность корреляционного момента является недостатком этой числовой характеристики, поскольку сравнение корреляционных моментов различных систем случайных величин становится затруднительным. Для того, чтобы устранить этот недостаток, вводят новую числовую характеристику – коэффициент корреляции.

Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин:

.

Так как размерность равна произведению размерностей величин X и Y, имеет размерность величины X, имеет размерность величины Y, то — безразмерная величина. Таким образом, величина коэффициента корреляции не зависит от выбора единиц измерения случайных величин. В этом состоит преимущество коэффициента корреляции перед корреляционным моментом.

Очевидно, коэффициент корреляции независимых случайных величин равен нулю, так как .

ТЕОРЕМА 13.1.19. Абсолютная величина корреляционного момента двух случайных величин X и Y не превышает среднего геометрического их дисперсий:

.

Доказательство. Введем в рассмотрение случайную величину
и найдем ее дисперсию . Выполнив выкладки, получим

.

Любая дисперсия неотрицательна, поэтому .

Отсюда (13.1.51)

Введя случайную величину , аналогично найдем

.(13.1.52)

Объединим (1.51) и (1.52):

, (13.1.53)

или .

Итак,

.

ТЕОРЕМА 13.1.20. Абсолютная величина коэффициента корреляции не превышает единицы:

.

Доказательство. Разделим обе части двойного неравенства (13.1.53) на произведение положительных чисел :

.

Итак, .

Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >

Сохранить или поделиться с друзьями

Вы находитесь тут:

На нашем сайте Вы можете получить решение задач и онлайн помощь

Подробнее

Коэффициент момента Решение

ШАГ 0: Сводка предварительного расчета

ШАГ 1. Преобразование входов в базовый блок

Момент: 59 Ньютон-метр –> 59 Джоуль (Проверьте преобразование здесь)
Динамическое давление: 10 паскаль –> 10 паскаль Конверсия не требуется
Площадь: 50 Квадратный метр –> 50 Квадратный метр Конверсия не требуется
Длина хорды: 3.8 метр –> 3.8 метр Конверсия не требуется

ШАГ 2: Оцените формулу

ШАГ 3: Преобразуйте результат в единицу вывода

0.0310526315789474 –> Конверсия не требуется

20 Параметры Калькуляторы

Коэффициент момента формула

Коэффициент момента = Момент/(Динамическое давление*Площадь*Длина хорды)

Cm = M_t/(P_dynamic*A*L_Chord)

Что такое коэффициент момента?

Если момент разделить на динамическое давление, площадь и хорду аэродинамического профиля, результат известен как коэффициент момента тангажа. Этот коэффициент мало изменяется в рабочем диапазоне углов атаки профиля.

Коэффициент – момент

Cтраница 1

Коэффициенты моментов характеризуют момент, действующий на летательный аппарат, или его модель в аэродинамической трубе. Момент может быть разложен по координатным осям на три составляющие. Названия компонент момента как в поточных, так и в связанных осях координат одинаковы Рис 9 Схема разложения ( рис. 9): Мх, Мх, – момент крена, вектора коэффициента мо – Му, My, – момент рысканья, Мг, мента по осям координат.
 [1]

Коэффициент момента mzA вычисляют также по этой хорде.
 [2]

Коэффициенты момента определяют по кривой Ai f ( i) характеристики гидротрансформатора. По полученным данным строят кривые Mi, которые при совмещении с моментной характеристикой Мд дизеля ( рис. XVI.21, а) определяют частоту вращения nt и момент MI дизеля для рассматриваемых нагрузочных характеристик гидротрансформатора.
 [3]

Коэффициент момента г находится в следующей зависимости от нагрузки на долото и критической нагрузки.
 [4]

Коэффициент момента зависит от выбора точки, относительно которой берутся моменты.
 [5]

Коэффициент момента kz зависит от условий работы винта. Уравнения (9.4) и (9.5) называются винтовыми характеристиками.
 [6]

Коэффициенты момента т затворов с дисками формы 3 – А и 3 – В ( табл. 23), определенные по моментным характеристикам, показывают, что при этих формах дисков конфузорные переходы улучшают моментную характеристику затвора.
 [7]

Коэффициенты моментов т затворов с равнопрочными дисками различных форм ( табл. 26) справедливы при работе затворов без конфузорных переходов за ними.
 [8]

Коэффициент момента См также может быть вычислен путем соответствующего преобразования предыдущего асимптотического случая, причем, это, по-видимому, наиболее подходящий способ вычисления коэффициента См в конкретных задачах.
 [9]

Коэффициент момента гидромуфты на тяговом режиме работы при / 1 имеет минимальное, а при z 0 максимальное значение.
 [10]

Коэффициент момента Хр определяют по хар актеристике 7 – Г натурного образца, а значения момента и числа оборотов должны соответствовать характеристике двигателя на номинальном или другом характерном для данного привода режиме.
 [12]

Коэффициент момента сопротивления См зависит от режима движения и конструкции.
 [14]

Коэффициенты момента мри прпшснин прямоугольного ( Х – 1 0) исгрслоппдпиго [ ( 1: к 45л; n – l) крьим.
 [15]

Страницы:  

   1

   2

   3

   4

Теория
Работа проверена:

Время решения: 7 мин

Сложность: 4.6

• Корреляция
  • Корреляционный момент и коэффициент корреляции
  • Коррелированность и зависимость случайных величин
  • Нормальный закон распределения на плоскости
  • Линейная регрессия. Прямые линии среднеквадратической регрессии
  • Линейная корреляция. Нормальная корреляция
  • Коэффициент корреляции Пирсона
  • Коэффициент корреляции Пирсона: пример решения задачи
  • Коэффициент ранговой корреляции Спирмена
  • Коэффициент корреляции Спирмена: пример решения задачи

Случайная величина описывается двумя числовыми характеристиками: математическим ожиданием и дисперсией. Чтобы описать систему из двух случайных величин кроме «основных» характеристик используют так же корреляционный момент и коэффициент корреляции.
Корреляционным моментом µ_xy случайных величин X и У называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин:

µ_xy = M { [ X – M(X) ] [ Y – M(Y) ] }

Для нахождения корреляционного момента дискретных величин используют формулу:

,

а для непрерывных величин — формулу :

Корреляционный момент характеризует наличие (отсутствие) связи между величинами X и У. Ниже будет доказано, что корреляционный момент равен нулю, если X и У независимы; Если же корреляционный момент для случайных величин X и Y не равен нулю, то между ними имеется завимость.

Замечание 1. Приняв во внимание, что отклонения есть центрированные случайные величины, можно дать корреляционному моменту определение, как математическому ожиданию произведения двух центрированных случайных величин:

µ_xy= М [X_цY_ц].

Замечание 2. Не сложно доказать, что корреляционный момент можно записать в виде

µ_xy= М (ХY) – М(X) М(У).

Теорема 1.  Корреляционный момент двух независимых случайных величин X и Y равен нулю.

Доказательство. Так как X и У— независимые случайные величины, то их отклонения X—М (X) и У—М (У) также независимы. Пользуясь свойствами математического ожидания (математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей) и отклонения (математическое ожидание отклонения равно нулю), получим

µ_xy= М {[X — М (X)] M[Y — M (У)]} = М [X — М (X)] M[Y — M (У)] = 0.

Из определения корреляционного момента следует, что он имеет размерность, равную произведению размерностей величин X и У. Другими словами, величина корреляционного момента зависит от единиц измерения случайных величин. По этой причине для одних и тех же двух величин величина корреляционного момента имеет различные значения в зависимости от того, в каких еди- ницах были измерены величины. Пусть, например, X и У были измерены в сантиметрах и µxy = 2 см2; если измерить X и У в миллиметрах,
то µxy = 200 мм. Такая особенность корреляционного мо-мента является недостатком этой числовой характеристики, поскольку сравнение корреляционных моментов различных систем случайных величин становится затруднительным. Для того чтобы устранить этот недостаток, вводят новую числовую характеристику—коэффициент корреляции.
Коэффициентом корреляции г_ху случайных величин X и У называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих
величин:

r_xy= µ_xy/σ_xσ_y

Так как размерность µxy равна произведению размерностей величин X и У, σ_x имеет размерность величины X, σ_y имеет размерность величины Y, то r_xy —безразмерная величина. Таким образом, величина коэффициента корреляции не зависит от выбора единиц измерения случайных величин. В этом состоит преимущество коэффициента корреляции перед корреляционным моментом.
Очевидно, коэффициент корреляции независимых случайных величин равен нулю (так как µ_xy = 0).

Замечание 3. Во многих вопросах теории вероятностей целесообразно вместо случайной величины X рассматривать нормированную случайную величину X’, которую определяют как отношение отклонения к среднему квадратическому отклонению:

Х’ = (Х — М(Х))/σ_x.

Нормированная величина имеет математическое ожидание, равное нулю, и дисперсию, равную единице. Действительно, используя свойства математического ожидания и дисперсии, имеем:

Легко убедиться, что коэффициент корреляции r_ху равен корреляционному моменту нормированных величин Х’ и Y’ :

Теорема 2.  Абсолютная величина корреляционного момента двух случайных величин X и Y не превышает среднего геометрического их дисперсий:

Доказательство.  Введем в рассмотрение случайную величину Z₁= σ_yX — σ_xY и найдем ее дисперсию D(Z_l) = M[Z₁—m_Zl]². Выполнив выкладки, получим

D(Z₁) = 2σ_x²σ_y² – 2σ_xσ_yµ_xy

Любая дисперсия неотрицательна, поэтому

2σ_x²σ_y² – 2σ_xσ_yµ_xy ≥0.

Отсюда

µ_xy ≤ σ_xσ_y.

Введя случайную величину Z_t = σ_yX+ σ_xY, аналогично найдем

µ_xy ≥ − σ_xσ_y.

Объединим два этих неравенства:

σ_xσ_y ≤ µ_xy ≤ σ_xσ_y или | µ_xy | ≤ σ_xσ_y

Итак,

Теорема 3.  Абсолютная величина коэффициента корреляции не превышает единицы:

Доказательство:  Разделим обе части полученного двойного неравенства на произведение положительных чисел σxσy :

-1 ≤ r_xy ≤ 1

Итак,

| rxy | ≤ 1