Прямая и обратная пропорциональность
- Прямая пропорциональность
- Формула прямой пропорциональности
- Обратная пропорциональность
- Формула обратной пропорциональности
Пропорциональность — это зависимость одной величины от другой, при которой изменение одной величины приводит к изменению другой во столько же раз.
Пропорциональность величин может быть прямой и обратной.
Прямая пропорциональность
Прямая пропорциональность — это зависимость двух величин, при которой одна величина зависит от второй величины так, что их отношение остаётся неизменным. Такие величины называются прямо пропорциональными или просто пропорциональными.
Рассмотрим пример прямой пропорциональности на формуле пути:
s = vt,
где s — это путь, v — скорость, а t — время.
При равномерном движении путь пропорционален времени движения. Если взять скорость v равной 5 км/ч, то пройденный путь s будет зависеть только от времени движения t:
| Скорость v = 5 км/ч | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| Время t (ч) | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 |
| Путь s (км) | 5 | 10 | 20 | 40 | 80 |
Из примера видно, что во сколько раз увеличивается время движения t, во столько же раз увеличивается пройденное расстояние s. В примере мы увеличивали время каждый раз в 2 раза, так как скорость не менялась, то и расстояние увеличивалось тоже в два раза.
В данном случае скорость (v = 5 км/ч) является коэффициентом прямой пропорциональности, то есть отношением пути ко времени, которое остаётся неизменным:
следовательно,
| 5 | = | 10 | = | 20 | = | 40 | = | 80 | = 5. |
| 1 | 2 | 4 | 8 | 16 |
Если время движения остаётся неизменным, то при равномерном движении расстояние будет пропорционально скорости:
| Время t = 2 ч | ||||
|---|---|---|---|---|
| Скорость v (км/ч) | 5 | 15 | 45 | 90 |
| Расстояние s (км) | 10 | 30 | 90 | 180 |
В этом примере коэффициентом прямой пропорциональности, то есть, отношением пути к скорости, которое остаётся неизменным, является время (t = 2 ч):
следовательно,
| 10 | = | 30 | = | 90 | = | 180 | = 2. |
| 5 | 15 | 45 | 90 |
Из данных примеров следует, что две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз.
Формула прямой пропорциональности
Формула прямой пропорциональности:
y = kx,
где y и x — это переменные величины, а k — это постоянная величина, называемая коэффициентом прямой пропорциональности.
Коэффициент прямой пропорциональности — это отношение любых соответствующих значений пропорциональных переменных y и x равное одному и тому же числу.
Формула коэффициента прямой пропорциональности:
Обратная пропорциональность
Обратная пропорциональность — это зависимость двух величин, при которой увеличение одной величины приводит к пропорциональному уменьшению другой. Такие величины называются обратно пропорциональными.
Рассмотрим пример обратной пропорциональности на формуле пути:
s = vt,
где s — это путь, v — скорость, а t — время.
При прохождении одного и того же пути с разной скоростью движения время будет обратно пропорционально скорости. Если взять путь s равным 120 км, то потраченное на преодоление этого пути время t будет зависеть только от скорости движения v:
| Путь s = 120 км | ||||
|---|---|---|---|---|
| Скорость v (км/ч) | 10 | 20 | 40 | 80 |
| Время t (ч) | 12 | 6 | 3 | 1,5 |
Из примера видно, что во сколько раз увеличивается скорость движения v, во столько же раз уменьшается время t. В примере мы увеличивали скорость движения каждый раз в 2 раза, а так как расстояние, которое нужно преодолеть, не менялось, то количество времени на преодоление данного расстояния сокращалось тоже в два раза.
В данном случае путь (s = 120 км) является коэффициентом обратной пропорциональности, то есть произведением скорости на время:
s = vt,
следовательно,
10 · 12 = 20 · 6 = 40 · 3 = 80 · 1,5 = 120.
Из данного примера следует, что две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.
Формула обратной пропорциональности
Формула обратной пропорциональности:
где y и x — это переменные величины, а k — это постоянная величина, называемая коэффициентом обратной пропорциональности.
Коэффициент обратной пропорциональности — это произведение любых соответствующих значений обратно пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.
Формула коэффициента обратной пропорциональности:
xy = k.
Обратная пропорциональность
4.7
Средняя оценка: 4.7
Всего получено оценок: 162.
Обновлено 27 Октября, 2021
4.7
Средняя оценка: 4.7
Всего получено оценок: 162.
Обновлено 27 Октября, 2021
Обратная пропорциональность занимает куда больше времени при изучении, чем прямая. Поэтому ученикам стоит быть готовыми к тому, что обратная пропорциональность потребует времени и усилий для решения задач. Главное — помнить основные определения и быть внимательным при решении задач.
Пропорциональность.
Пропорциональностью называется зависимость одного числа от другого. Например, если в кошельке у человека определённое количество денег, а он покупает конфеты, то при увеличении цены на конфеты уменьшится число конфет, которые человек сможет купить.
Можно выделить две разновидности пропорциональностей:
- Прямая пропорциональность. Это зависимость, при которой увеличение одного числа ведет к увеличению другого во столько же раз. А уменьшение одно числа ведёт к уменьшению другого во столько же раз.
- Обратная пропорциональность. Это зависимость, при которой уменьшение одного числа ведет к увеличению другого во столько же раз. А увеличение числа, наоборот, ведёт к уменьшению другого во столько же раз.
Несколько раз в определении повторялась фраза «в столько же раз». Бывают ситуации, в особенности в физике, когда величины пропорциональны, но не имеют ярко выраженного коэффициента пропорциональности. Например, температура ведёт к увеличению внутренней энергии тела, но не прямо пропорционально. В таких ситуациях говорят, что числа пропорциональны.
Обратная пропорциональность.
И прямую, и обратную пропорциональность проще рассматривать на задачах движения. Представим себе автомобиль, который едет со скоростью 90 км/ч. Если примем расстояние между двумя городами за 180 км, то такой путь машина должна проехать за 2 часа. Пока всё понятно.
Но что будет, если водитель поспешит и увеличит скорость до 180 км/ч? Требуемый отрезок пути он проедет быстрее. То есть на то же расстояние водитель потратит не 2 часа, а 1 — увеличение скорости привело к уменьшению времени в дороге.
А что будет, если водитель уменьшит скорость в два раза, со 120 км/ч до 60 км/ч? Значит, время в пути тоже увеличится в два раза и будет составлять не 2 часа, а 4. Так уменьшение скорости привело к увеличению времени в пути.
График обратно пропорциональной зависимости
Для любой зависимости можно построить график функции.
Что такое функция? Это зависимость двух чисел. Одно из них, как правило, у, называется функцией и зависит от х, то есть аргумента.
Если представить обратную пропорциональность в виде формулы, то это будет выглядеть так:
у=к:х, где у – зависимое число или функция
х – независимое число или аргумент
к – постоянная величина, которая называется коэффициентом обратной пропорциональности.
Кстати, для приведённого нами примера коэффициентом обратной пропорциональности является величина пути между двумя городами, которую мы сделали постоянной. Если бы величина пройденного пути была плавающей, то обратной пропорциональности не получилось бы.
Пример
В качестве примера проверим, насколько верно работает приведённая формула и действительно ли она отображает обратную пропорцию. Выберем коэффициент пропорциональности, например, число 3. Тогда функция примет вид:
у=3:х. В качестве первого значения х выберем число 6, тогда у=0,5. Если мы уменьшим число х в 2 раза, то получится число 3, которому соответствует у=1. То есть в результате уменьшения х в два раза у в два раза увеличился, что полностью соответствует определению обратной пропорциональности. Для построения графика требуется несколько точек, поэтому, если по условиям задачи нужны построения, лучше записывать все значения в таблицу.
Особенно отметим, что коэффициент пропорциональности не может равняться нулю или быть отрицательным числом. А аргумент не может быть равным нулю, но отрицательным числом быть может.
Что мы узнали?
Мы поговорили о том, что такое пропорциональность. Разделили определение обратной пропорциональности и прямой пропорциональности. Привели пример обратной пропорциональной зависимости, а также записали формулу обратной пропорциональности.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда – пройдите тест.
-
Дарья Кубрин
10/10
-
Анна Ножеева
8/10
-
София Крючкова
9/10
-
Никита Новосёлов
10/10
-
Артур Севастьянов
8/10
Оценка статьи
4.7
Средняя оценка: 4.7
Всего получено оценок: 162.
А какая ваша оценка?
Задача. Расстояние между двумя посёлками равно (240) км. Определи, за какое время можно доехать из одного посёлка в другой, если скорость (20) км/ч увеличить в (2) раза, (3) раза, в (4) раза?
Заполним таблицу.
| Скорость, км/ч |
(20) |
(40) |
(60) |
(80) |
| Время, ч |
(12) |
(6) |
(4) |
(3) |
Заметим, что при увеличении скорости в (2) раза (была (20) км/ч, стала — (40) км/ч) время сократилось (уменьшилось) в (2) раза (было (12) ч., стало — (6) ч.).
Аналогично, при увеличении скорости в (3) раза (была (20) км/ч, стала — (60) км/ч) время сократилось (уменьшилось) в (3) раза (было (12) ч., стало — (4) ч.).
Вывод: при увеличении скорости в несколько раз время уменьшается во столько же раз.
Это значит, что скорость обратно пропорциональна времени.
Если при увеличении (уменьшении) одной величины в несколько раз другая величина уменьшается (увеличивается) во столько же раз, то эти величины называют обратно пропорциональными.
Обрати внимание!
Произведение обратно пропорциональных величин не изменяется.
Проверим это утверждение на приведённой выше задаче:
.
Обратную пропорциональность можно задать формулой.
Формулу
y=kx
, где (y) и (x) — переменные величины, а (k) — коэффициент, является постоянной величиной, называют формулой обратной пропорциональности.
Что такое коэффициент обратной пропорциональности? Коэффициент обратной пропорциональности это как?
С обратной пропорциональностью неразрывно связано понятие коэффициент обратной пропорциональности.
Обратная пропорциональность есть функция вида y = k/x, см. Обратная пропорциональность определение.
В этой формуле k есть коэффициент обратной пропорциональности.
Рассмотрим примеры коэффициента обратной пропорциональности.
Коэффициент обратной пропорциональности примеры
Пример коэффициента обратной пропорциональности
Здесь коэффициент обратной пропорциональности равен 54. О чем это говорит?
Если мы будем умножать значения переменной y на значения переменной x, то всегда будем получать 54, а это и есть наш коэффициент обратной пропорциональности.
Область определения обратной пропорциональности – все числа, кроме нуля.
Возьмем для примера из области определения три любые значения икс, пусть это будут 2, 27 и 54.
Найдем соответствующие значения y и заполним таблицу для y = 54/x
Далее, если мы будем умножать значения переменной x на соответствующее значение переменной y, то всегда будем получать коэффициент пропорциональности 54
2 * 27 = 54
27 * 2 = 54
54 * 1 = 54
То, что все эти произведения равны одному и тому же числу 54, и говорит о том, что наша функция y = 54/x есть обратная пропорциональность.
Может коэффициент обратной пропорциональности быть целым?
Может
Здесь коэффициент обратной пропорциональности равен 10.
Может коэффициент обратной пропорциональности быть отрицательным?
Может
Здесь коэффициент обратной пропорциональности равен минус 10.
Может коэффициент пропорциональности быть дробным?
Может
Здесь коэффициент обратной пропорциональности равен минус десять целых пять десятых.
Прямая и обратная пропорциональность
О чем эта статья:
Основные определения
Математическая зависимость — это соответствие между элементами двух множеств, при котором каждому элементу одного множества ставится в соответствие элемент из другого множества.
- Прямая зависимость. Чем больше одна величина, тем больше вторая. Чем меньше одна величина, тем меньше вторая величина.
- Обратная зависимость. Чем больше одна величина, тем меньше вторая. Чем меньше одна величина, тем больше вторая.
Пропорция в математике — это равенство между отношениями двух или нескольких пар чисел или величин. Пропорциональными называются две взаимно-зависимые величины, если отношение их значений остается неизменным.
Пропорциональность — это взаимосвязь между двумя величинами, при которой изменение одной из них влечет за собой изменение другой во столько же раз. Проще говоря — это зависимость одного числа от другого.
Есть две разновидности пропорциональностей:
- Прямая пропорциональность. Это зависимость, при которой увеличение одного числа ведет к увеличению другого во столько же раз. А уменьшение одного числа ведет к уменьшению другого во столько же раз.
- Обратная пропорциональность. Это зависимость, при которой уменьшение одного числа ведет к увеличению другого во столько же раз. А увеличение числа наоборот ведет к уменьшению другого во столько же раз.
Коэффициент пропорциональности — это неизменное отношение пропорциональных величин. Он показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой. Коэффициент пропорциональности обозначается латинской буквой k.
Прямо пропорциональные величины
Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз — другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз.
Прямая пропорциональность в виде схемы: «больше — больше» или «меньше — меньше».
a и d называются крайними членами, b и c — средними.
Свойство прямо пропорциональной зависимости:
Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений этих величин равны.
Примеры прямо пропорциональной зависимости:
- при постоянной скорости пройденный маршрут прямо-пропорционально зависит от времени;
- периметр квадрата и его сторона — прямо-пропорциональные величины;
- стоимость конфет, купленных по одной цене, прямо-пропорционально зависит от их количества.
Если говорить метафорами, то прямую пропорциональную зависимость можно отличить от обратной по пословице: «Чем дальше в лес, тем больше дров». Что значит, чем дольше ты идешь по лесу, тем больше дров можно собрать.
Формула прямой пропорциональности
y = kx,
где y и x — переменные величины, k — постоянная величина, которую называют коэффициентом прямой пропорциональности.
Коэффициент прямой пропорциональности — это отношение любых соответствующих значений пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.
Формула коэффициента прямой пропорциональности:
Пример 1.
В одно и то же путешествие поехали два автомобиля. Один двигался со скоростью 70 км/ч и за 2 часа проделал тот же путь, что другой за 7 часов. Найти скорость второго автомобиля.
- Вспомним формулу для определения пути через скорость и время: S = V * t.
- Так как оба автомобиля проделали одинаковый путь, можно составить пропорцию из двух выражений: 70 * 2 = V * 7
- Найдем скорость второго автомобиля: V = 70 * 2/7 = 20
Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.
Пример 2.
Блогер за 8 дней может написать 14 постов. Сколько помощников ему понадобится, чтобы написать 420 постов за 12 дней?
Количество человек (блогер и помощники) увеличивается с увеличением объема работы, если ее нужно сделать за то же количество времени.
Если разделить 420 на 14, узнаем, что объем увеличивается в 30 раз.
Но так как по условию задачи на работу дается больше времени, то количество помощников увеличивается не в 30 раз. Таким образом:
- х = 1 (блогер) * 30 (раз) : 12/8 (дней).
- х = 1 * 30 : 12/8
- х = 20
Ответ: 20 человек напишут 420 постов за 12 дней.
Обратно пропорциональные величины
Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз — другая уменьшается (или увеличивается) во столько же раз.
Объясним, что значит обратно пропорционально в виде схемы: «больше — меньше» или «меньше — больше».
Свойство обратной пропорциональности величин:
Если две величины находятся в обратно пропорциональной зависимости, то отношение двух произвольно взятых значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.
Примеры обратно пропорциональной зависимости:
- время на маршрут и скорость, с которой путь был пройден — обратно пропорциональные величины;
- при одинаковой продуктивности количество школьников, решающих конкретную задачу, обратно пропорционально времени выполнения этой задачи;
- количество конфет, купленных на определенную сумму денег, обратно пропорционально их цене.
Формула обратной пропорциональности
где y и x — это переменные величины,
k — постоянная величина, которую называют коэффициентом обратной пропорциональности.
Коэффициент обратной пропорциональности — это произведение любых соответствующих значений обратно пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.
Формула коэффициента обратной пропорциональности:
Потренируемся
Пример 1. 24 человека за 5 дней раскрутили канальчик в ютубе. За сколько дней выполнят ту же работу 30 человек, если будут работать с той же эффективностью?
- В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.
- Чем больше людей, тем меньше времени нужно для выполнения определенной работы (раскрутки канала). Значит, это обратно пропорциональная зависимость.
- Поэтому направим вторую стрелку в противоположную сторону. Обратная пропорция выглядит так:
- Пусть за х дней могут раскрутить канал 30 человек. Составляем пропорцию: 30 : 24 = 5 : х
- Чтобы найти неизвестный член пропорции, нужно произведение средних членов разделить на известный крайний член: х = 24 * 5 : 30; х = 4
- Значит, 30 человек раскрутят канал за 4 дня.
Пример 2. Автомобиль проезжает от одного города до другого за 13 часов со скоростью 75 км/ч. Сколько времени ему понадобится, если он будет ехать со скоростью 52 км/ч?
Скорость и время связаны обратно пропорциональной зависимостью: чем больше скорость, тем меньше времени понадобится.
-
Составим пропорцию: v1/v2 = t2/t1.
Соотношения равны, но перевернуты относительно друг друга.
Прямая и обратная пропорциональность
Пропорциональность — это взаимосвязь между двумя величинами, при которой изменение одной из них влечет за собой изменение другой во столько же раз.
Пропорциональность бывает прямой и обратной. В данном уроке мы рассмотрим каждую из них.
Прямая пропорциональность
Предположим, что автомобиль двигается со скоростью 50 км/ч. Мы помним, что скорость это расстояние, пройденное за единицу времени (1 час, 1 минуту или 1 секунду). В нашем примере автомобиль двигается со скоростью 50 км/ч, то есть за один час он будет проезжать расстояние, равное пятидесяти километрам.
Изобразим на рисунке расстояние, пройденное автомобилем за 1 час
Пусть автомобиль проехал еще один час с той же скоростью, равной пятидесяти километрам в час. Тогда получится, что автомобиль проедет 100 км
Как видно из примера, увеличение времени в два раза привело к увеличению пройденного расстояния во столько же раз, то есть в два раза.
Такие величины, как время и расстояние называют прямо пропорциональными. А взаимосвязь между такими величинами называют прямой пропорциональностью.
Прямой пропорциональностью называют взаимосвязь между двумя величинами, при которой увеличение одной из них влечет за собой увеличение другой во столько же раз.
и наоборот, если одна величина уменьшается в определенное число раз, то другая уменьшается во столько же раз.
Предположим, что изначально планировалось проехать на автомобиле 100 км за 2 часа, но проехав 50 км, водитель решил отдохнуть. Тогда получится, что уменьшив расстояние в два раза, время уменьшится во столько же раз. Другими словами, уменьшение пройденного расстояния приведет к уменьшению времени во столько же раз.
Интересная особенность прямо пропорциональных величин заключается в том, что их отношение всегда постоянно. То есть при изменении значений прямо пропорциональных величин, их отношение остается неизменным.
В рассмотренном примере расстояние сначала было равно 50 км, а время одному часу. Отношение расстояния ко времени есть число 50.
Но мы увеличили время движения в 2 раза, сделав его равным двум часам. В результате пройденное расстояние увеличилось во столько же раза, то есть стало равно 100 км. Отношение ста километров к двум часам опять же есть число 50
Число 50 называют коэффициентом прямой пропорциональности. Он показывает сколько расстояния приходится на час движения. В данном случае коэффициент играет роль скорости движения, поскольку скорость это отношение пройденного расстояния ко времени.
Из прямо пропорциональных величин можно составлять пропорции. К примеру, отношения и составляют пропорцию:
Это отношение можно прочитать следующим образом:
Пятьдесят километров так относятся к одному часу, как сто километров относятся к двум часам.
Пример 2. Стоимость и количество купленного товара являются прямо пропорциональными величинами. Если 1 кг конфет стоит 30 рублей, то 2 кг этих же конфет обойдутся в 60 рублей, 3 кг в 90 рублей. С увеличением стоимости купленного товара, его количество увеличивается во столько же раз.
Поскольку стоимость товара и его количество являются прямо пропорциональными величинами, то их отношение всегда постоянно.
Запишем чему равно отношение тридцати рублей к одному килограмму
Теперь запишем чему равно отношение шестидесяти рублей к двум килограммам. Это отношение опять же будет равно тридцати:
Здесь коэффициентом прямой пропорциональности является число 30. Этот коэффициент показывает сколько рублей приходится на килограмм конфет. В данном примере коэффициент играет роль цены одного килограмма товара, поскольку цена это отношение стоимости товара на его количество.
Обратная пропорциональность
Рассмотрим следующий пример. Расстояние между двумя городами 80 км. Мотоциклист выехал из первого города, и со скоростью 20 км/ч доехал до второго города за 4 часа.
Если скорость мотоциклиста составила 20 км/ч это значит, что каждый час он проезжал расстояние равное двадцати километрам. Изобразим на рисунке расстояние, пройденное мотоциклистом, и время его движения:
На обратном пути скорость мотоциклиста была 40 км/ч, и на тот же путь он затратил 2 часа.
Легко заметить, что при изменении скорости, время движения изменилось во столько же раз. Причем изменилось в обратную сторону — то есть скорость увеличилась, а время наоборот уменьшилось.
Такие величины, как скорость и время называют обратно пропорциональными. А взаимосвязь между такими величинами называют обратной пропорциональностью.
Обратной пропорциональностью называют взаимосвязь между двумя величинами, при которой увеличение одной из них влечет за собой уменьшение другой во столько же раз.
и наоборот, если одна величина уменьшается в определенное число раз, то другая увеличивается во столько же раз.
К примеру, если на обратном пути скорость мотоциклиста составила бы 10 км/ч, то те же 80 км он преодолел бы за 8 часов:
Как видно из примера, уменьшение скорости привело к увеличению времени движения во столько же раз.
Особенность обратно пропорциональных величин заключается в том, что их произведение всегда постоянно. То есть при изменении значений обратно пропорциональных величин, их произведение остается неизменным.
В рассмотренном примере расстояние между городами было равно 80 км. При изменении скорости и времени движения мотоциклиста, это расстояние всегда оставалось неизменным
Мотоциклист мог проехать это расстояние со скоростью 20 км/ч за 4 часа, и со скоростью 40 км/ч за 2 часа, и со скоростью 10 км/ч за 8 часов. Во всех случаях произведение скорости и времени было равно 80 км
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
11 thoughts on “Прямая и обратная пропорциональность”
что ценно теория методически верно преподается. очень добрый сайт.
мне теперь всё понятно, большое спасибо сайту
Уравнение и график обратной пропорциональности
Ключевые слова: функция обратной пропорциональности, график функции, парабола
Переменные x и y связаны обратно пропорциональной зависимостью $$y=frac$$ ,
где $$kne 0$$ , k – коэффициент обратной пропорциональности.
- Графиком обратной пропорциональности $$y=frac$$ является кривая, состоящая из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. Этот график называется гиперболой.
- Область определения функции функции $$y=frac$$ есть множество всех чисел, отличных от нуля,
т.е $$D(f)= (-infty; 0)cup (0: +infty)$$ - Гипербола не имеет общих точек с осями координат, а лишь сколь угодно близко к ним приближается,
т.к. $$xne 0$$ . - Если k > 0 , то ветви гиперболы в I и III координатных четвертях,
если k IV четвертях координатной плоскости.
См. также:
Свойства элементарных функций, Исследование функции
[spoiler title=”источники:”]
http://spacemath.xyz/pryamaya_proporcionalnost/
http://uztest.ru/abstracts/?idabstract=96
[/spoiler]
