Как найти коэффициент подобия в квадрате

Вступление

Думаю много кого интересовал факт того, что у подобных фигур площади соотносятся как квадрат коэффициента подобия соответственно. Сегодня я покажу как это доказывается.

Квадрат коэффициента подобия.

У нас есть два треугольника, они подобны с коэффициентом k – а это значит, что у большого треугольника все соответственные стороны, высоты, биссектрисы, и т.д. увеличены в k раз.

Как видно, основание большого треугольника увеличено в k раз.

Давайте теперь к основаниям этих треугольников опустим высоты.

Как опять видно, высота тоже будет увеличена в k раз, т.к. она опущена на соответственную сторону.

Ну и теперь посчитаем площадь этих треугольников через основание и высоту(моя статья где есть док-во этой формулы).

Для удобства запишем формулы рядом.

И теперь сделаем вот такой трюк, мы возьмем и разделим два этих равенства друг на друга.(так можно делать, если они, конечно, не равны нулю, про это я писал статью).

Ну а далее сокращаем одинаковые множители.

Вот и всё, для удобства можно перевернуть дроби

Этот факт очень часто используется на ЕГЭ, он особенно полезен в задачах, связанных с окружностью, здесь есть разбор подобного задания(пример 1).

Спасибо за просмотр, подписывайтесь, ставьте лайки 🙂

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по геометрии 7-9 класс
4. Подобные треугольники
5. Отношение площадей подобных треугольников

Советуем посмотреть:

Пропорциональные отрезки

Определение подобных треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Средняя линия треугольника

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Практические приложения подобия треугольников

О подобии произвольных фигур

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60

Подобные треугольники

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 543,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 544,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 545,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 546,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 622,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 627,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1077,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1143,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1209*,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1308,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

---

Подобные треугольники

3 октября 2022

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого.

Подобные треугольники — ключевая тема геометрии 8 класса. Они будут преследовать нас до самого конца школы. И сегодня мы разберём всё, что нужно знать о них.

План такой:

1. Основное определение
2. Лемма о подобных треугольниках
3. Свойства подобных треугольников
4. Разбор задач

1. Основное определение

Определение. Треугольники называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $MNK$:

У них есть равные углы: $angle A=angle M$, $angle B=angle N$, $angle C=angle K$. И пропорциональные стороны:

[frac{AB}{MN}=frac{BC}{NK}= frac{AC}{MK}= frac{color{red}{3}}{color{red}{2}}]

Следовательно, треугольники $ABC$ и $MNK$ подобны. Записывается это так:

[Delta ABCsim Delta MNK]

Число $k={color{red}{3}}/{color{red}{2}};$ называется коэффициентом подобия. К нему мы ещё вернёмся.

Пропорциональные стороны подобных треугольников (например, $AB$ и $MN$, либо $BC$ и $NK$) в некоторых учебниках называют сходственными. На практике этот термин применяется редко. Мы будем говорить просто «соответственные стороны».

Дальше идёт очень важное замечание.

1.1. Обозначение подобных треугольников

В геометрии один и тот же треугольник можно называть по-разному. Например, $Delta ABC$, $Delta BCA$ или $Delta CAB$ — это всё один и тот же треугольник. То же самое касается и углов.

Но в подобных треугольниках есть негласное правило:

При обозначении подобных треугольников порядок букв выбирают так, чтобы равные углы перечислялись в одной и той же последовательности.

Вернёмся к нашим треугольникам $ABC$ и $MNK$:

Поскольку $anglecolor{red}{A}=anglecolor{red}{M}$ и $anglecolor{blue}{B}=anglecolor{blue}{N}$, можно записать $Deltacolor{red}{A}color{blue}{B}Csim Deltacolor{red}{M}color{blue}{N}K$. Или $Delta Ccolor{red}{A}color{blue}{B}sim Delta Kcolor{red}{M}color{blue}{N}$. Но никак не $Deltacolor{red}{A}color{blue}{B}Csim Delta Kcolor{red}{M}color{blue}{N}$.

Да, это негласное правило. И если вы нарушите последовательность букв, это не ошибка. Никто не снизит вам за это баллы. А если снизит — добро пожаловать на апелляцию.

Правильная запись позволяет быстро и безошибочно выписывать пропорциональные стороны треугольников. Рассмотрим два подобных треугольника:

[Delta ABCsim Delta MNK]

Берём две первые буквы из каждого треугольника: ${AB}/{MN};$. Затем две последние буквы: ${BC}/{NK};$. Наконец, вычёркиваем «центральную» букву: ${AC}/{MK};$.

Приравниваем полученные три дроби:

[frac{AB}{MN}=frac{BC}{NK}=frac{AC}{MK}]

Вот и всё! Даже рисунок не нужен! Этот приём настолько прост и эффективен, что его в обязательном порядке изучают на моих занятиях, курсах и вебинарах.

В будущем мы увидим, что подобные треугольники чаще всего ищут как раз для составления таких пропорций.

2. Лемма о подобных треугольниках

Подобные треугольники появляются всякий раз, когда прямая, параллельная стороне треугольника, пересекает его стороны.

Теорема 1. Прямая, пересекающая две стороны треугольника и параллельная третьей стороне, отсекает треугольник, подобный исходному.

Доказательство. Рассмотрим треугольник $ABC$. Пусть прямая $MNparallel AB$ отсекает треугольник $MNC$:

Докажем, что $Delta ABCsim Delta MNC$. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $MNC$. У них есть общий угол $ACB$.

Углы $ABC$ и $MNC$ — соответственными при $MNparallel AB$ и секущей $BC$. Следовательно, они равны: $angle ABC=angle MNC$.

Аналогично равны углы $BAC$ и $NMC$. Следовательно, треугольники $ABC$ и $MNC$ имеют три соответственно равных угла.

Докажем теперь, что соответственные стороны пропорциональны. Т.е. докажем пропорцию

[frac{AB}{MN}=frac{BC}{NC}=frac{AC}{MC}]

Рассмотрим угол $ACB$. Параллельные прямые $AB$ и $MN$ пересекают стороны этого угла. По теореме о пропорциональных отрезках:

[frac{AC}{MC}=frac{BC}{NC}]

Это равенство — второе в искомом:

[frac{AB}{MN}= color{red}{frac{BC}{NC}=frac{AC}{MC}}]

Осталось доказать первое равенство. Дополнительное построение: прямая $KNparallel AC$:

Поскольку $AMparallel KN$ (по построению) и $AKparallel MN$ (по условию), четырёхугольник $AKNM$ — параллелограмм. Поэтому $AK=MN$.

Рассмотрим угол $ABC$. Параллельные прямые $AC$ и $KN$ пересекают стороны этого угла. По теореме о пропорциональных отрезках:

[frac{AB}{AK}=frac{BC}{NC}]

Учитывая, что $AK=MN$, получаем

[frac{AB}{MN}=frac{BC}{NC}=frac{AC}{MC}]

Итак, соответственные углы треугольников $ABC$ и $MNC$ равны, а их стороны пропорциональны. Следовательно, по определению подобных треугольников

[Delta ABCsim Delta MNC]

Что и требовалось доказать.

Эта лемма — не признак подобия. Это самостоятельная теорема, которая ускоряет решение многих задач.

Признаки подобия разобраны в отдельном уроке — см. «Признаки подобия треугольников».

Частный случай этой леммы — средняя линия. Она отсекает треугольник со сторонами в два раза меньше, чем у исходного:

Оформляется это так. Поскольку $AM=MC$ и $BN=NC$, то $MN$ — средняя линия треугольника $ABC$. Следовательно, прямые $AB$ и $MN$ параллельны, откуда

[Delta ABCsim Delta MNC]

3. Свойства подобных треугольников

Два важнейших свойства: связь периметров и связь площадей.

3.1. Периметры подобных треугольников

Теорема 2. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Доказательство. Рассмотрим подобные треугольники $ABC$ и $MNK$:

Запишем равенство из определения подобия. Поскольку $Delta ABCsimDelta MNK$, стороны этих треугольников пропорциональны:

[frac{AB}{MN}=frac{BC}{NK}=frac{AC}{MK}=color{red}{k}]

Здесь число $color{red}{k}$ — коэффициент подобия. Полученное тройное равенство можно переписать так:

[frac{AB}{MN}=color{red}{k}; frac{BC}{NK}=color{red}{k}; frac{AC}{MK}=color{red}{k}]

Или, что то же самое:

[begin{align}AB&=color{red}{k}cdot MN \ BC &=color{red}{k}cdot NK \ AC &=color{red}{k}cdot MK \ end{align}]

Периметр треугольника $MNK$:

[{{P}_{Delta MNK}}=MN+NK+MK]

Периметр треугольника $ABC$:

[begin{align}{{P}_{Delta ABC}} &=AB+BC+CD= \ &=color{red}{k}cdot MN+color{red}{k}cdot NK+color{red}{k}cdot MK= \ &=color{red}{k}cdot left( MN+NK+MK right)= \ &=color{red}{k}cdot {{P}_{Delta MNK}} end{align}]

Итого получаем равенство

[{{P}_{Delta ABC}}=color{red}{k}cdot {{P}_{Delta MNK}}]

Обычно именно в таком виде это равенство и применяют. Но можно записать его и как отношение:

[frac{{{P}_{Delta ABC}}}{{{P}_{Delta MNK}}}=color{red}{k}]

В любом случае, мы получили отношение, которое и требовалось доказать.

3.2. Площади подобных треугольников

Теорема 3. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Доказательство. Первые шаги очень похожи на доказательство предыдущей теоремы. Вновь рассмотрим подобные треугольники $ABC$ и $MNK$:

Поскольку $Delta ABCsimDelta MNK$, углы $ABC$ и $MNK$ равны. Следовательно, равны синусы этих углов:

[begin{align}angle ABC &=angle MNK=color{blue}{alpha} \ sin angle ABC &=sin angle MNK=sin color{blue}{alpha} end{align}]

Кроме того, стороны подобных треугольников пропорциональны:

[frac{AB}{MN}=frac{BC}{NK}=frac{AC}{MK}=color{red}{k}]

В частности, из этого равенства следует, что

[frac{AB}{MN}=color{red}{k}; frac{BC}{NK}=color{red}{k}]

Или, что то же самое:

[begin{align}AB &= color{red}{k}cdot MN \ BC &= color{red}{k}cdot NK \ end{align}]

Площадь треугольника $MNK$:

[{{S}_{Delta MNK}}=frac{1}{2}cdot MNcdot NKcdot sin color{blue}{alpha} ]

Площадь треугольника $ABC$:

[begin{align}{{S}_{Delta ABC}} &=frac{1}{2}cdot ABcdot BCcdot sincolor{blue}{alpha} = \ &=frac{1}{2}cdotcolor{red}{k}cdot MNcdotcolor{red}{k}cdot NKcdot sincolor{blue}{alpha} = \ &={color{red}{k}^{2}}cdot frac{1}{2}cdot MNcdot NKcdot sin alpha = \ &={color{red}{k}^{2}}cdot {{S}_{Delta MNK}} end{align}]

Получаем равенство

[{{S}_{Delta ABC}}={color{red}{k}^{2}}cdot {{S}_{Delta MNK}}]

Перепишем в виде отношения:

[frac{{{S}_{Delta ABC}}}{{{S}_{Delta MNK}}}={color{red}{k}^{2}}]

Что и требовалось доказать.

Для доказательства теоремы мы использовали формулу площади треугольника:

[{{S}_{Delta }}=frac{1}{2}absin alpha ]

Тригонометрию проходят после подобия, поэтому мы опираемся на ещё не изученный материал.

Впрочем, ничто не мешает взять уже известную формулу:

[{{S}_{Delta }}=frac{1}{2}ah]

Здесь $a$ — сторона треугольника, $h$ — высота, проведённая к этой стороне. Дело в том, что высоты в подобных треугольниках тоже пропорциональны. И не только высоты. Назовём это Свойством 3.3.:)

3.3. Элементы подобных треугольников

Теорема 4. Отношение высот, биссектрис и медиан, проведённых к соответствующим сторонам подобных треугольников, равно коэффициенту подобия.

Проиллюстрируем это на высотах. Пусть треугольники $ABC$ и $MNK$ подобны:

В этом случае высоты $CDbot AB$ и $KLbot MN$ относятся как

[frac{CD}{KL}=frac{AB}{MN}= color{red}{k}]

Для доказательства этой теоремы нужно знать признаки подобия. Поэтому оставим его до следующего урока. А сейчас переходим к задачам.

4. Задачи на подобие

Здесь разобрано пять задач на подобие треугольников. Все они довольно простые. За сложными задачами добро пожаловать в задачник.:)

Задача 1. Готовые треугольники

Известно, что треугольники $ABC$ и $MNK$ подобны, причём $angle A=angle M$, $angle B=angle N$, $angle C=angle K$. Кроме того, стороны $AB=6$, $BC=7$, $AC=10$ и $MN=9$. Найдите стороны $NK$ и $MK$.

Решение. Построим треугольники $ABC$ и $MNK$, отметим известные стороны:

Из условия $Delta ABCsim Delta MNK$ следует, что верно равенство

[frac{AB}{MN}=frac{BC}{NK}=frac{AC}{MK}]

Подставим в это равенство всё, что нам известно:

[frac{color{red}{6}}{color{red}{9}}=frac{color{red}{7}}{NK}=frac{color{red}{10}}{MK}]

Опустим последнюю дробь и получим пропорцию

[frac{color{red}{6}}{color{red}{9}}=frac{color{red}{7}}{NK}]

Найдём сторону $NK$:

[NK=frac{color{red}{9}cdot color{red}{7}}{color{red}{6}}=10,5]

Аналогично, убирая среднюю дробь, получим пропорцию

[frac{color{red}{6}}{color{red}{9}}=frac{color{red}{10}}{MK}]

Найдём сторону $MK$:

[NK=frac{color{red}{9}cdot color{red}{10}}{color{red}{6}}=15]

Ответ: $NK=10,5$, $MK=15$.

Задача 2. Прямая, параллельная стороне

Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, пересекает сторону $AB$ в точке $D$, а сторону $BC$ — в точке $E$. Найдите:

а) Отрезок $BD$, если $AB=16$, $AC=20$, $DE=15$.

б) Отрезок $AD$, если $AB=28$, $BC=63$, $BE=27$.

Решение. Для начала построим рисунок. Он будет общий для обоих пунктов.

Из условия следует, что прямая $DE$ пересекает стороны треугольника $ABC$:

Поскольку $DEparallel AC$, по лемме о подобных треугольниках прямая $DE$ отсекает от треугольника $ABC$ новый треугольник, подобный исходному:

[Delta ABCsim Delta DBE]

Из подобия треугольников $ABC$ и $DBE$ следует равенство

[frac{AB}{DB}=frac{BC}{BE}=frac{AC}{DE}]

Решаем пункт а). Подставляем в это равенство всё, что нам известно:

[frac{color{red}{16}}{DB}=frac{BC}{BE}=frac{color{red}{20}}{color{red}{15}}]

Вычёркиваем среднюю дробь и получаем пропорцию

[frac{color{red}{16}}{DB}=frac{color{red}{20}}{color{red}{15}}]

Отсюда легко найти $DB$ (или, что то же самое, $BD$):

[DB=frac{color{red}{16}cdotcolor{red}{15}}{color{red}{20}}=12]

Аналогично решаем пункт б). Подставляем в исходное равенство известные величины:

[frac{color{red}{28}}{DB}=frac{color{red}{63}}{color{red}{27}}=frac{AC}{DE}]

Первые две дроби образуют пропорцию, из которой вновь легко найти $DB$:

[DB=frac{color{red}{28}cdotcolor{red}{27}}{color{red}{63}}=12]

Осталось найти $AD$:

[begin{align}AD &=AB-BD= \ &=color{red}{28}-color{red}{12}=16 end{align}]

Ответ: а) $BD=12$; б) $AD=16$.

Важное замечание по работе с пропорциями. Ни в коем случае не нужно перемножать числа в числителе.

Напротив: нужно разложить их на множители и сократить!

Взгляните:

[DB=frac{color{red}{28}cdotcolor{red}{27}}{color{red}{63}}=frac{4cdotcolor{blue}{7}cdot 3cdotcolor{green}{9}}{color{blue}{7}cdotcolor{green}{9}}=12]

Так вы сэкономите время, избежите умножения столбиком и защитите себя от множества ошибок. Никогда не умножайте большие числа, если дальше их нужно будет сокращать.

Задача 3. Доказательство подобия

Точки $M$ и $K$ — середины сторон $CD$ и $AD$ квадрата $ABCD$ соответственно. Докажите, что треугольники $MDK$ и $BCD$ подобны.

Решение. Сделаем первоначальный рисунок по условию задачи:

Здесь нет прямых, параллельных сторонам треугольника, поэтому лемма о подобных треугольниках не поможет. Докажем подобие по определению.

Сначала разберёмся с углами. Поскольку $ABCD$ — квадрат, и $KD=MD$ — половина стороны квадрата, треугольники $MDK$ и $BCD$ — прямоугольные и равнобедренные.

Все острые углы треугольников $MDK$ и $BCD$ равны 45°. Можем записать это так:

[begin{align}angle BCD &=angle MDK={90}^circ \ angle CBD &=angle DMK={45}^circ \ angle CDB &=angle DKM={45}^circ \ end{align}]

Дополнительное построение: диагональ квадрата $color{red}{AC}$:

Рассмотрим треугольник $ACD$. Отрезок $KM$ — средняя линия, поэтому $KM={color{red}{AC}}/{2};$. С другой стороны, $AC=BD$ как диагонали квадрата. Поэтому верно равенство

[frac{KM}{BD}=frac{KM}{color{red}{AC}}=frac{1}{2}]

Но тогда выполняется следующее равенство:

[frac{MD}{BC}=frac{DK}{CD}=frac{MK}{BD}=frac{1}{2}]

А это вместе с равенством углов как раз и означает, что треугольники $MDK$ и $BCD$ подобны:

[Delta MDKsim Delta BCD]

Доказательство завершено.

Мы доказали подобие треугольников по определению. Если пользоваться признаками подобия, всё будет намного быстрее. Но пока мы не вправе пользоваться этими признаками.

Задача 4. Вписанный ромб

В треугольник $ABC$ вписан ромб $BDEK$ так, как показано на рисунке. Найдите сторону ромба, если $AB=10$, $BC=15$.

Решение. Пусть искомая сторона ромба равна $color{red}{x}$. Из условия задачи получим такой рисунок:

Зная, что $AB=10$ и $BC=15$, выразим $AK$ и $CD$:

[begin{align}AK &=10-color{red}{x} \ CD &=15-color{red}{x} \ end{align}]

Далее рассмотрим треугольник $ABC$. Поскольку $BDEK$ — ромб, то $KEparallel BC$. По лемме о подобных треугольниках имеем:

[Delta ABCsim Delta AKE]

В подобных треугольниках подобные стороны пропорциональны, поэтому

[frac{AB}{AK}=frac{BC}{KE}=frac{AC}{AE}]

Подставим в это равенство всё, что нам известно или выражено через $color{red}{x}$:

[frac{10}{10-color{red}{x}}=frac{15}{color{red}{x}}=frac{AC}{AE}]

Последняя дробь оказалась бесполезной. Вычеркнем её и получим пропорцию:

[frac{10}{10-color{red}{x}}=frac{15}{color{red}{x}}]

Применяем основное свойство пропорции и уравнение:

[begin{align}10cdotcolor{red}{x} &=15cdot left( 10- color{red}{x} right) \ 2cdotcolor{red}{x} &=3cdot left( 10- color{red}{x} right) \ &cdots\ color{red}{x} &=6 end{align}]

Это и есть искомая сторона ромба. Она равна $color{red}{x}=6$.

Ответ: $BD=6$.

Задача 5. Свойства биссектрисы

В треугольнике $ABC$ стороны $AB=8$, $BC=12$, угол $ABC={120}^circ $. Отрезок $BD$ — биссектриса. Найдите длину $BD$.

Решение. Из условия задачи можно сделать вот такой рисунок:

Поскольку $BD$ — биссектриса угла в треугольнике, точка $D$ делит сторону $AC$ на отрезки, пропорциональные сторонам $AB$ и $BC$. Это можно записать так:

[frac{AD}{CD}=frac{AB}{CB}=frac{color{red}{8}}{color{red}{12}}=frac{color{red}{2}}{color{red}{3}}]

Обозначим пропорциональные отрезки переменными. Пусть $AD=color{blue}{2x}$, $CD=color{blue}{3x}$.

Дополнительное построение: прямая $DMparallel AB$:

Рассмотрим угол $ACB$. Поскольку $DMparallel AB$, по теореме о пропорциональных отрезках получаем, что

[frac{BM}{CM}=frac{AD}{CD}=frac{color{red}{2}}{color{red}{3}}]

Вновь обозначим пропорциональные отрезки переменными. Пусть $BM=color{blue}{2y}$, $CM=color{blue}{3y}$. Но тогда

[BC=BM+MC=color{blue}{5y}=color{red}{12}]

Получаем, что $color{blue}{y}=color{red}{2,4}$. Отсюда легко найти длину $BM$:

[BM=color{blue}{2y}=2cdotcolor{red}{2,4}= color{red}{4,8}]

Далее заметим, что если угол $ABC$ равен 120°, то

[angle ABD=angle CBD={60}^circ ]

С другой стороны, прямые $AB$ и $MD$ параллельны по построению. Прямая $BD$ — секущая для этих параллельных прямых.

Следовательно, углы $ABD$ и $BDM$ — внутренние накрест лежащие, поэтому

[angle BDM=angle ABD={60}^circ ]

Рассмотрим треугольник $BDM$. В нём есть два угла по 60°. Следовательно, это равносторонний треугольник:

[BD=BM=color{red}{4,8}]

Мы нашли длину отрезка $BD$. Задача решена.

Ответ: $BD=4,8$.

Итак, с определением разобрались. В следующем уроке разберём признаки подобия.:)

Смотрите также:

1. Как применяется теорема косинусов и подобие треугольников для решения широкого класса задач в планиметрии.
2. Теорема менелая
3. Комбинаторика в задаче B6: легкий тест
4. Введение системы координат
5. Четырехугольная пирамида: как найти координаты вершин
6. Нестандартная задача B5 на площадь круга

Коэффициент подобия треугольников – что это? Как его найти? Коэффициент подобия треугольников, определение. Подобные треугольники имеют равные углы и пропорциональные сходственные стороны. Сходственные стороны (другое название – соответственные) – это стороны, которые лежат напротив равных углов. На рисунке представлены подобные треугольники ABC и A1B1C1. Для их сторон выполняется следующее равенство: Величина, которая равна отношению сходственные сторон треугольников, называется коэффициентом подобия. Коэффициент подобия треугольников обозначается буквой k, k > 0. Таким образом, приведённое выше равенство можно записать в виде: Найти коэффициент подобия треугольников можно несколькими способами. 1) Через отношение сходственных сторон (например, AB / A1B1). 2) Этот коэффициент также равен отношению периметров подобных треугольников. P(ABC) = A + B + C, P(A1B1C1) = A1 + B1 + C1. k = P(ABC) / P(A1B1C1). 3) Через площади подобных треугольников. k² = S(ABC) / S(A1B1C1). 4) Отношение длин высот, медиан, биссектрис подобных треугольников также равно коэффициенту подобия. Пример. Даны подобные треугольники DEC и AON. Коэффициент подобия = 1,5, а сторона DE = 12 см. Требуется найти сторону AO. _ По определению коэффициента подобия k = DE / AO = 1,5. Так как DE = 12 см, то можно записать: 12 / AO = 1,5. AO = 12 / 1,5 = 8 см. Значит, длина стороны AO составляет 8 см. модератор выбрал этот ответ лучшим smile­6008 [28.5K] 3 года назад  Для того чтобы найти коэффициент подобия треугольников необходимо сначала определиться что же это понятие значит. Итак, подобный треугольник, это треугольник, геометрическая фигура, у которой одинаковые углы и одинаковые стороны, которые находятся напротив друг друга. То есть называются подобными. Для того чтобы найти коэффициент подобия треугольников обратимся к формуле. Для вычисления коэффициент используют разные способы расчёта. Проще всего найти коэффициент, если вычислить площади треугольников. Другой способ расчёта коэффициента примениние расчёта через отношение сходственных сторон подобных треугольников. Дубло­н [177K] 2 месяца назад  Говоря о коэффициенте подобия треугольников, необходимо знать, что есть подобные фигуры, а точнее подобные треугольники. Под таковыми являются треугольники, чьи углы равные, а сходственные стороны этих треугольников пропорциональны. Так вот, отношение этих сходственных сторон и есть коэффициент подобия. Коэффициент подобия можно определить, зная величину как сходственных сторон, так и величину периметров подобных треугольников, так и величину площади подобных треугольников. Бутаф­ога [31.1K] 3 месяца назад  Говоря простым языком, подобные треугольники называют такие геометрические фигуры, у которых углы одинаковые, а стороны пропорциональные. Стоит отметить как понятие соответственных сторон, лежащих напротив одинаковых углов. Отсюда вытекает коэффициент подобия, равный отношению соответственных сторон подобных треугольников. Корне­тОбол­енски­й [162K] 3 месяца назад  Подобными называются фигуры, одинаковые по форме, но разные по размеру. Треугольники считаются подобными, если у них углы равны, а их соответственные стороны пропорциональны друг другу. Рассмотрим рисунок: Изображённые на нем треугольники подобны, поскольку у них соответствующие углы равны между собой, а соответственные (второе название сходственные) стороны пропорциональны. Коэффициент подобия равняется отношению сходственных сторон имеющихся подобных треугольников, т.е. сторон, лежащих напротив равных углов. Простыми словами, Коэффициент подобия показывает, в какое количество раз один треугольник больше другого, обозначается буквой k, при этом k>0. Т.е. коэффициент подобия всегда является положительной величиной. Коэффициент подобия можно найти несколькими способами: поделить одну сходственную сторону на другую. Это правило работает, если известны длины сторон треугольников. Можно вычислить также коэффициент подобия треугольников в случае, если по условию задачи известны их площади. Существует свойство подобных треугольников, говорящее, что отношение их площадей равняется коэффициента подобия, умноженному на себя, т.е. собственному квадрату. Тогда, разделив значения площадей у подобных треугольников и, извлекши квадратный корень из результата, получим коэффициент подобия. Также k находится через отношение длин медиан, биссектрис или серединных перпендикуляров, проведенных к соответственным сторонам, если длины этих медиан, серединных перпендикуляров или биссектрис известны по условию задачи. Если известны периметры подобных треугольников, то их отношение будет давать всё тот же коэффициент подобия. Если в подобные треугольники вписаны окружности, то отношение их радиусов или диаметров также даст коэффициент подобия. У подобных треугольников отношение диаметров или радиусов описанных вокруг них окружностей равно коэффициенту подобия. Если по условиям задачи известны диаметры или радиусы этих окружностей, либо есть возможность каким-либо способом вычислить из площадей окружностей, то коэффициент подобия ищется и таким способом. Krust­all [125K] 8 месяцев назад  Подобными фигурами называются фигуры, одинаковые по форме, но разные по величине. Треугольники подобны, если их углы равны, а стороны пропорциональны друг другу. Также есть три признака, которые позволяют определить сходство без выполнения всех условий. Первый признак состоит в том, что в подобных треугольниках два угла одного равны двум углам другого. Второй признак подобия треугольников состоит в том, что две стороны одного пропорциональны двум сторонам другого и углы между этими сторонами равны. Третий признак сходства — пропорциональность трех сторон одного по отношению к трем сторонам другого. Треугольники называются подобными, если они имеют равные углы и соответствующие стороны пропорциональны. Число k, равное отношению соответствующих сторон треугольников, называется коэффициентом подобия. Давайте вспомним, какие треугольники называются подобными. Треугольники считаются подобными, если у них: равны углы, пропорциональны соответственные стороны. Выделяют три признаки по добия треугольников: по трем сторонам, по двум сторонам и углу между ними, по двум углам. Коэффициент подобия треугольников равен отношению соответственных ( сходственных ) сторон этих треугольников. Вычислить этот коэффициент можно несколькими путями, в основе которых, по сути, лежит пропорциональность их сходственных сторон: 1.) Непосредственно как отношение сторон. 2.) Через периметры этих треугольников ( то есть через суммы длин их сторон ). 3.) Через площади этих фигур. 4.) Как отношение их биссектрис, высот или медиан. Серге­й Гории­нов [5.5K] 5 лет назад  Коэффициент подобия треугольников – это безразмерная величина, равная отношению соответствующих сторон подобных треугольников: К=a1/a2=b1/b2=c1/c2, где a1,b1,c1 – стороны первого подобного треугольника, а a2,b2,c2 – стороны второго подобного треугольника. Также существует коэффициент подобия площадей подобных треугольников, равный квадрату коэффициента подобия треугольника. Лара Изюми­нка [59.9K] 2 года назад  При изучении темы “Подобие треугольников” очень важно понимание , что такое коэффициент подобия траугольников. Итак, коэффициент подобия – это отношение сходственных сторон в подобных треугольниках. Сходственные стороны, это стороны, которые лежат против равных углов. Коэффициент подобия помогает найти площадь подобного треугольника, если известна площадь другого. Здесь пользуемся тем , что отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Также можно найти стороны одного подобного треугольника, если есть стороны другого и известен коэффициент подобия. Ьема изучается в 8 классе в курсе геометрии. Nasty­a Chuk [6.8K] 3 года назад  Актуальный вопрос на самом деле, поскольку он необходим для понимания различий между видами треугольников и их пропорциями.Предназн­ачение коэффициента подобия : показывает во сколько раз стороны нашего треугольника соответственно больше сторон другого треугольника и какую же часть составляют они от сходственных стороны.Коэффициент подобия обозначается как “к” и выражается всегда через некое соотношение 2-х или 3-х треугольников. Знаете ответ?

Как найти коэффициент подобия треугольников

Подобные фигуры – это фигуры, одинаковые по форме, но разные по размеру.Треугольники являются подобными, если их углы равны, а стороны пропорциональны друг другу. Существуют также три признака, позволяющих определить подобие без соблюдения всех условий. Признак первый – у подобных треугольников два угла одного равны двум углам другого. Второй признак подобия треугольников – две стороны одного пропорциональны двум сторонам другого, а углы между этими сторонами у них равны. Третий признак подобия – это пропорциональность трех сторон одного трем сторонам другого.

Вам понадобится

• – ручка;
• – бумага для записей.

Инструкция

Коэффициент подобия выражает пропорциональность, это отношение длин сторон одного треугольника к сходственным сторонам другого: k = AB/A’B’= BC/B’C’ = AC/A’C’. Сходственные стороны в треугольниках находятся напротив равных углов. Коэффициент подобия можно найти разными способами.

Например, в задании даны подобные треугольники и приведены длины их сторон. Требуется найти коэффициент подобия. Поскольку треугольники подобны по условию, найдите их сходственные стороны. Для этого запишите длины сторон одного и другого по возрастанию. Найдите отношение сходственных сторон, которое будет коэффициентом подобия.

Вы можете вычислить коэффициент подобия треугольников, если вам известны их площади. Одно из свойств подобных треугольников гласит, что отношение их площадей равняется квадрату коэффициента подобия. Разделите значения площадей подобных треугольников одно на другое и извлеките квадратный корень из результата.

Отношения периметров, длин медиан, медиатрис, построенных к сходственным сторонам, равны коэффициенту подобия. Если разделить длину биссектрис или высот, проведенных из одинаковых углов, вы также получите коэффициент подобия. Воспользуйтесь этим свойством для нахождения коэффициента, если в условии задачи даны эти величины.

По теореме синусов для любого треугольника отношения сторон к синусам противолежащих углов равны диаметру описанной вокруг него окружности. Из этого вытекает, что у подобных треугольников отношение радиусов или диаметров описанных окружностей равно коэффициенту подобия. Если в задаче известны радиусы этих окружностей, или их можно вычислить из площадей кругов, найдите коэффициент подобия этим путем.

Используйте аналогичный путь для нахождения коэффициента, если у вас имеются вписанные в подобные треугольники окружности с известными радиусами.

Источники:

• как найти отношение сторон
• Ритмичность работы предприятия

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?