Как найти коэффициент последовательности

По просьбам читателей возобновляем рубрику «Математика для чайников». Говорим о числовых последовательностях и вычислении их пределов. Выясняем, чем последовательность отличается от простого набора чисел и как ее можно задать.

Нужно больше полезной и интересной информации? Этого добра много не бывает! Присоединяйтесь к нам в телеграм.

Последовательности чисел

Мы сталкиваемся с последовательностями чисел каждый день. Вот только встреча с последовательностями на экзамене может быть не самой приятной. 

Чтобы было иначе, читаем эту статью, а если что-то непонятно, смело обращаемся к нашим консультантам за помощью.

Одна из самых интересных и известных последовательностей – числа Фибоначчи. Эта последовательность имеет удивительные свойства и часто встречается в природе. Например, семечки у подсолнуха упорядочены в две спирали. Числа, обозначающие количество семечек в каждой из них, являются членами последовательности Фибоначчи.

Что такое числовая последовательность? 

Последовательность – это набор элементов множества, который удовлетворяет следующим условиям:

  • для каждого натурального числа существует элемент данного множества;
  • это число является номером элемента и обозначает позицию данного элемента в последовательности;
  • для любого элемента последовательности можно указать следующий за ним элемент.

Числовая последовательность – это функция переменной n, которая принадлежит множеству натуральных чисел N

Последовательности чисел

Существованием функции, по которой можно вычислить любой член последовательности, она и отличается от случайного набора чисел.

На словах звучит громоздко и сложно. Но на то это и математика, чтобы записывать все буквами и числами. Обычно последовательность обозначают буквой x, хотя можно применять и другие.

Последовательности чисел

Какие бывают последовательности

Различают:

  • постоянную, или монотонную последовательность: 1, 1, 1, 1, 1… 
  • возрастающую последовательность, в которой каждый следующий элемент больше предыдущего
  • убывающую последовательность, в которой каждый следующий элемент меньше предыдущего

Также последовательности делятся на сходящиеся и расходящиеся. Сходящаяся последовательность имеет конечный предел. А предел расходящейся последовательности равен бесконечности, либо последовательность вообще не имеет предела. Но о пределах немного позже.

Рассмотрим самые известные примеры последовательностей. Еще со школы всем знакомы арифметическая и геометрическая прогрессии.

Арифметическая прогрессия

Посмотрим на числа:

Арифметическая прогрессия

Что у них общего? Они все нечетные и каждое следующее можно получить из предыдущего, прибавляя к нему одно и то же число. Назовем его d. В данном случае d=2.

Описанная выше последовательность – арифметическая прогрессия. Приведем основные формулы для нее:

Арифметическая прогрессия

Элемент a с номером n называется общим членом последовательности. А число – разностью афифметической прогрессии.

Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия

Сумма первых n членов прогрессии вычисляется по формуле:

Арифметическая прогрессия
Также африфметическая прогрессия обладает характреристическим свойством:

Арифметическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число – знаменатель прогрессии. Элементы геометрической прогрессии задаются соотношением:

Геометрическая прогрессия

Основные формулы для геометрической прогрессии приведены ниже. Формула n-го члена прогрессии:

Геометрическая прогрессия

Сумма первых n членов прогрессии:

Геометрическая прогрессия

Характеристическое свойство геометрической прогрессии:

Геометрическая прогрессия

Способы задания последовательностей

Последовательность можно задать несколькими способами:

  1. Аналитически или, проще говоря, формулой.
  2. Реккурентно. Здесь известно несколько первых членов прогрессии и есть формула, которая позволяет вычислить последующие.
  3. Описательно, простым перечислением всех элементов последовательности.

Предел последовательности

Мы уже говорили о пределах функций и способах их вычисления. Из определения последовательности следует, что последовательность – это и есть некоторая функция. Так что, вычисление пределов последовательностей будет во многом схоже с вычислением пределов функций. Правда, со своими особенностями.

Предел последовательности – это такой объект, к которому стремятся члены последовательности с ростом порядкового номера n.

Скажем иначе. Это число, в окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого.

Переменная n в последовательностях всегда стремится к бесконечности, в сторону увеличения натуральных чисел. 

Что нужно помнить, вычисляя пределы последовательностей

Кстати! Также полезно помнить, что для всех наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы.

  1. Последовательность может иметь только один предел.
  2. Если последовательность имеет предел, то она ограничена. Обратное верно не всегда!
  3. Если члены некоторой последовательности zn заключены между соответствующими членами двух последовательностей xn, yn, сходящихся к одному пределу, то и эта последовательность сходится к тому же пределу.
  4. Предел постоянной последовательности равен ее постоянному.
  5. Если две последовательности x и y равны между собой, то пределы этих последовательностей также равны между собой, если они существуют.
  6. Если каждый член сходящейся последовательности не превосходит соответствующего члена другой сходящейся последовательности, то и предел первой не превосходит предела второй.
  7. Предел суммы (разности) двух последовательностей равен сумме (разности) их пределов. При условии, что обе последовательности имеют пределы.
  8. Предел произведения двух последовательностей, имеющих пределы, существует и равен произведению пределов последовательностей. 
  9. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
  10. Предел частного двух последовательностей, имеющих пределы, равен частному пределов этих последовательностей, если предел знаменателя не равен нулю.

Для проверки своих решений при вычислении пределов не обязательно нести работу на проверку преподавателю. Достаточно воспользоваться онлайн калькулятором. 

Тема последовательностей разрабатывалась многими математиками на протяжении веков. Охватить ее в одной статье просто невозможно. Здесь мы дали лишь поверхностное представление. Если у вас есть вопросы или нужна консультация – обращайтесь к специалистам студенческого сервиса, которые помогут быстро прийти к понимаю.

Содержание:

Предел последовательности

С понятием последовательности вы ознакомились ещё в основной школе, когда изучали арифметическую и геометрическую прогрессии. Несколько последовательностей рассматривались. А именно:

1)    бесконечная последовательность рациональных приближений числа Предел числовой последовательности с примерами решения

Предел числовой последовательности с примерами решения

2)    последовательность степеней с основанием 3, показателями которых являются рациональные приближения числа Предел числовой последовательности с примерами решения с точностью до десятых, сотых, тысячных и т. д.:

Предел числовой последовательности с примерами решения

Числовой последовательностью называется функция Предел числовой последовательности с примерами решения  которая задана на множестве натуральных чисел. При таком задании Предел числовой последовательности с примерами решения — соответственно первый, второй,…, Предел числовой последовательности с примерами решения… члены числовой последовательности.

Обозначают числовые последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения

Числовые последовательности задают описательно, перечнем членов, либо с помощью формулы Предел числовой последовательности с примерами решения члена или рекуррентной).

Например:

Предел числовой последовательности с примерами решения

В курсе геометрии, чтобы вывести формулы длины окружности и площади круга, рассматривают последовательности вписанных в круг и описанных вокруг круга многоугольников. При этом отмечают, что при неограниченном увеличении числа сторон многоугольника его периметр всё ближе и ближе приближается к длине окружности (рис. 41).
Предел числовой последовательности с примерами решения

Так получают первое интуитивное понятие предела числовой последовательности. В курсе математического анализа — это одно из важнейших понятий. Рассмотрим его подробнее.

Пусть задано числовую последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения Вычислим её первые пять членов и изобразим их на координатной прямой (рис. 42). Имеем:

Предел числовой последовательности с примерами решения

Как видим, с увеличением номера члена последовательности сами члены последовательности всё ближе и ближе приближаются к числу 1. Поскольку расстоянием между точками, которые соответствуют числам на координатной прямой, есть модуль разности этих чисел, то можно утверждать, что для данной последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения

Очевидно, что при росте числа Предел числовой последовательности с примерами решения члены заданной последовательности всё меньше и меньше будут отличаться от числа 1. Например: Предел числовой последовательности с примерами решения

В данном случае для любого достаточно малого числа Предел числовой последовательности с примерами решения (эпсилон) можно найти такое число Предел числовой последовательности с примерами решения (номер члена последовательности), что для всех последующих членов этой последовательности будет выполняться неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения

Например, в рассмотренной выше последовательности для Предел числовой последовательности с примерами решения таким членом будет Предел числовой последовательности с примерами решения поскольку Предел числовой последовательности с примерами решения а для Предел числовой последовательности с примерами решения таким членом Предел числовой последовательности с примерами решения ( проверьте).

В этом случае говорят, что число 1 является пределом заданной числовой последовательности.

Предел числовой последовательности с примерами решения

Число Предел числовой последовательности с примерами решения называют пределом числовой последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения если для любого Предел числовой последовательности с примерами решения существует номер члена последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения такой, что для всех Предел числовой последовательности с примерами решения выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения

Обозначают: Предел числовой последовательности с примерами решения Читают: предел числовой последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения при Предел числовой последовательности с примерами решения стремящемся к бесконечности, равен Предел числовой последовательности с примерами решения

Пример №503

Вычислите предел последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения

Решение:

Запишем несколько членов заданной последовательности: Предел числовой последовательности с примерами решения Как видим, ее члены стремятся к числу 1. Проверим наше предположение. По определению предела надо найти такое число Предел числовой последовательности с примерами решения что для всех Предел числовой последовательности с примерами решения будет выполняться неравенство: Предел числовой последовательности с примерами решения Имеем: Предел числовой последовательности с примерами решенияСледовательно, такое число существует. Например, при Предел числовой последовательности с примерами решения последнее неравенство будет иметь вид Предел числовой последовательности с примерами решения То есть, начиная с 100-го члена последовательности расстояние между любым членом последовательности и числом 1 будет меньше 0,01.

Следовательно, Предел числовой последовательности с примерами решения

Докажите самостоятельно и запомните, что Предел числовой последовательности с примерами решения

Если числовая последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения имеет предел, то она называется сходящейся. Если числовая последовательность предела не имеет, то она называется расходящейся.

Рассмотрим свойства сходящихся последовательностей:

  1. Если последовательность имеет предел, то этот предел единственный.
  2. Предел постоянной последовательности равен значению любого члена этой последовательности, то естьПредел числовой последовательности с примерами решения
  3. Предел суммы (разности) двух сходящихся последовательностей равен сумме (разности) пределов этих последовательностей, то есть:Предел числовой последовательности с примерами решения
  4. Предел произведения двух сходящихся последовательностей равен произведению пределов этих последовательностей, т.е.Предел числовой последовательности с примерами решения
  5. Если последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения — сходящиеся, Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения то числовая последовательность выполняется равенство Предел числовой последовательности с примерами решения тоже сходящаяся и выполняется равенство Предел числовой последовательности с примерами решения 

Пример №504

Найдите предел последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения

Решение:

Эту последовательность можно представить в виде суммы двух сходящихся последовательностей Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения (проверьте). На основании свойств 2 и 3 имеем:

Предел числовой последовательности с примерами решения

Для вычисления предела последовательности, которая задается как отношение двух многочленов Предел числовой последовательности с примерами решения используют следующее правило.

Для того чтобы вычислить предел числовой последовательности, которая задаётся как отношение двух многочленов Предел числовой последовательности с примерами решения (одной переменной Предел числовой последовательности с примерами решениястепеней Предел числовой последовательности с примерами решения соответственно), каждый из которых имеет предел, равный бесконечности, необходимо каждый член заданных многочленов разделить на наивысшую степень п и выяснить, к чему стремится каждый из полученных членов заданного отношения.

Пример №505

Вычислите Предел числовой последовательности с примерами решения

Решение:

Здесь Предел числовой последовательности с примерами решения Предел каждого многочлена равен бесконечности. Поскольку Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения то делим каждый член многочленов на Предел числовой последовательности с примерами решения и выясняем, к чему стремится каждый из полученных членов.

Предел числовой последовательности с примерами решения

Пример №506

Вычислите:

Предел числовой последовательности с примерами решения

Решение:

Предел числовой последовательности с примерами решения

Предел числовой последовательности с примерами решения

Заметим, что здесь не происходит деление на ноль, поскольку знаменатель лишь стремится к нулю, но ему не равен.

Проанализируем полученные ответы. В примере 3 степень числителя меньше степени знаменателя. Это означает, что знаменатель стремится к бесконечности быстрее, чем числитель, а следовательно, предел их отношения будет равняться нулю. В примере 4, в задании а) степени числителя и знаменателя одинаковы и в результате получили отношение коэффициентов при старших степенях. В задании б) степень числителя больше степени знаменателя. Это означает, что числитель стремится к бесконечности быстрее, чем знаменатель, а потому предел их отношения равен бесконечности. Итак, имеем еще такое правило.

Для того чтобы вычислить предел числовой последовательности при Предел числовой последовательности с примерами решениякоторая задаётся как отношение двух многочленов Предел числовой последовательности с примерами решения (одной переменной Предел числовой последовательности с примерами решения степеней Предел числовой последовательности с примерами решения соответственно), каждый из которых имеет предел, равный бесконечности, необходимо сравнить эти степени. Если:

  • Предел числовой последовательности с примерами решения то предел равен отношению коэффициентов при старших степенях заданных многочленов;
  • Предел числовой последовательности с примерами решения то предел равен нулю;
  • Предел числовой последовательности с примерами решения то предел равен бесконечности.

Пример №507

Пользуясь определением предела числовой последовательности, докажите, что Предел числовой последовательности с примерами решения

Решение:

Нужно доказать, что существует такое Предел числовой последовательности с примерами решения что для всех  Предел числовой последовательности с примерами решениявыполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения  Преобразуем выражение, стоящее в левой части:
Предел числовой последовательности с примерами решения

Пусть Предел числовой последовательности с примерами решения тогда Предел числовой последовательности с примерами решенияДля любого Предел числовой последовательности с примерами решения можем найти соответствующее Предел числовой последовательности с примерами решения например Предел числовой последовательности с примерами решения

Итак, пределом заданной последовательности является число 2.

Пример №508

Вычислите: Предел числовой последовательности с примерами решения

Решение:

а) Умножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на сопряжённое.
Предел числовой последовательности с примерами решения

б) Разделим числитель и знаменатель дроби на Предел числовой последовательности с примерами решения Имеем:

Предел числовой последовательности с примерами решения

Предел числовой последовательности

Общее понятие функции. Числовые последовательности

Определение 2.1. Пусть X, Y —два произвольных множества. Функцией f с областью определения X и множеством значений из Y называется такое соответствие между X и Y, при котором любому Предел числовой последовательности с примерами решения соответствует ровно один Предел числовой последовательности с примерами решения. Множество X называется областью определения функции (обозначается Предел числовой последовательности с примерами решения); множество элементов Предел числовой последовательности с примерами решения, которые соответствуют некоторым Предел числовой последовательности с примерами решения, называется множеством значений функции (обозначается Предел числовой последовательности с примерами решения). Величина Предел числовой последовательности с примерами решения называется аргументом функции f.

Предел числовой последовательности с примерами решения

Отмстим, что Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения, но не обязано совпадать с Y. Возможно, различным х соответствует один и тот же у, но каждому х — ровно один у (см. рис. 2.1).

Пример 2.1. X — множество человек, присутствующих на лекции; Y = N. Функция у = f(x) определяется как год рождения х. Ясно, что Предел числовой последовательности с примерами решения, но не совпадает с Y. Многим х может соответствовать один и тот же у, но каждому х — ровно один у.

Определение 2.2. Числовой последовательностью называется функция с областью определения N и множеством значений, принадлежащим Предел числовой последовательности с примерами решения. Обычно аргумент записывается в виде индекса: Предел числовой последовательности с примерами решения и т.д.

Определение 2.3. Пусть Предел числовой последовательности с примерами решения. Функция f называется ограниченной (ограниченной сверху, ограниченной снизу) на множестве X, если её множество значений ограничено (ограничено сверху, ограничено снизу). Точная верхняя и нижняя грани Предел числовой последовательности с примерами решения называются точной верхней и нижней гранями f на X (обозначаются Предел числовой последовательности с примерами решения). Числовая последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения называется ограниченной (ограниченной сверху, ограниченной снизу), если множество её значений ограничено (ограничено сверху, ограничено снизу). Точная верхняя и нижняя грани этого множества называются точной верхней и нижней гранями Предел числовой последовательности с примерами решения (обозначаются Предел числовой последовательности с примерами решения).

Пример 2.2. Последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения ограничена, так как для всех n выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения. Отмстим, что Предел числовой последовательности с примерами решения: поэтому Предел числовой последовательности с примерами решения (в дальнейшем такие последовательности мы будем называть строго возрастающими). Отсюда следует, что последовательность имеет наименьший член Предел числовой последовательности с примерами решения по лемме Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения (достигается). Докажем, что Предел числовой последовательности с примерами решения (не достигается). В самом деле, для всех п выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения. Докажем, что для каждого числа Предел числовой последовательности с примерами решения найдётся номер п такой, что Предел числовой последовательности с примерами решения. Неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения перепишем в виде Предел числовой последовательности с примерами решения (здесь использовано то, что Предел числовой последовательности с примерами решения). Такой номер п найдётся по принципу Архимеда. Доказано, что Предел числовой последовательности с примерами решения

Лемма 2.1. Функция f ограничена на множество Предел числовой последовательности с примерами решения найдётся такое положительное число С, что для всех Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения

Предел числовой последовательности с примерами решения Неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения равносильно Предел числовой последовательности с примерами решения Так как это двойное неравенство выполняется для всех Предел числовой последовательности с примерами решения, то это и означает, что множество значений f ограничено.

Предел числовой последовательности с примерами решения Так как для любого Предел числовой последовательности с примерами решения выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения, то отсюда следует, что Предел числовой последовательности с примерами решения, где С — наибольшее из чисел Предел числовой последовательности с примерами решения.    

Следствие. Последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения ограничена Предел числовой последовательности с примерами решения найдётся такое положительное число С, что для всех п выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения

Подобные утверждения, формулировка которых содержит логический знак Предел числовой последовательности с примерами решения («тогда и только тогда», «необходимо и достаточно»), часто будут встречаться в нашем курсе. Доказательство их, как правило, будет состоять из двух частей: Предел числовой последовательности с примерами решения— достаточность, Предел числовой последовательности с примерами решения — необходимость. Лемма 2.1, например, может быть сформулирована так: для того чтобы функция f была ограничена на множестве X, необходимо и достаточно, чтобы нашлось положительное число С такое, что для всех Предел числовой последовательности с примерами решения выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения.

Определение и простейшие свойства предела последовательности

Определение 2.4. Предел числовой последовательности с примерами решения-окрестностью точки а называется интервал Предел числовой последовательности с примерами решения

Обозначение: Предел числовой последовательности с примерами решения; это множество точек, удаленных от точки а на числовой прямой на расстояние, меньшее, чем Предел числовой последовательности с примерами решения

Определение 2.5 (геометрическое определение предела). Число а называется пределом последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения, если вне любой окрестности точки а содержится не более конечного числа членов Предел числовой последовательности с примерами решения (обозначение:Предел числовой последовательности с примерами решения).

Ясно, что вне Предел числовой последовательности с примерами решения содержится не более конечного числа Предел числовой последовательности с примерами решения —это всё равно, что в Предел числовой последовательности с примерами решения содержатся все члены, начиная с некоторого номера. Определение предела можно сформулировать так.

Определение 2.5′. Число а называется пределом последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения, если для любого положительного числа Предел числовой последовательности с примерами решения найдётся номер Предел числовой последовательности с примерами решения такой, что при всех Предел числовой последовательности с примерами решения выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения

На языке кванторов это можно записать так:

Предел числовой последовательности с примерами решения

Любая подобная запись, где квантор существования Предел числовой последовательности с примерами решения стоит после квантора общности Предел числовой последовательности с примерами решения, означает функциональную зависимость: здесь Предел числовой последовательности с примерами решения, следовательно, Предел числовой последовательности с примерами решения

Напишем на языке кванторов отрицание последнего определения (число а не является пределом последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения):

Предел числовой последовательности с примерами решения

Здесь уже нельзя считать, что Предел числовой последовательности с примерами решения; здесь Предел числовой последовательности с примерами решения

Пример 2.3. Предел числовой последовательности с примерами решения

Предел числовой последовательности с примерами решения

□ Докажем требуемое равенство по определению предела. Нужно, чтобы Предел числовой последовательности с примерами решения Последнее неравенство имеет вид Предел числовой последовательности с примерами решения и выполняется при Предел числовой последовательности с примерами решения.

По принципу Архимеда найдётся натуральное число Предел числовой последовательности с примерами решения, а при всех Предел числовой последовательности с примерами решения по нужное неравенство и подавно выполняется. ■

Попробуем явно записать функциональную зависимость Предел числовой последовательности с примерами решения. Для этого применим функцию Предел числовой последовательности с примерами решения («целая часть х»). Она определяется как наибольшее целое число, не превосходящее х. График этой функции изображён на рис. 2.2. Для всех «ступенек» крайняя левая точка принадлежит графику, крайняя правая — нет.

Ясно, что в качестве натурального числа Предел числовой последовательности с примерами решения можно взять Предел числовой последовательности с примерами решения; для всех Предел числовой последовательности с примерами решения нужное неравенство выполняется.

Определение 2.6. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.

Лемма 2.2. Сходящаяся последовательность имеет ровно один предел.

□ Пусть Предел числовой последовательности с примерами решения: для определённости, a < b.

Зафиксируем Предел числовой последовательности с примерами решения такое, что

Предел числовой последовательности с примерами решения               Предел числовой последовательности с примерами решения

По определению предела:

Предел числовой последовательности с примерами решения

Тогда если Предел числовой последовательности с примерами решения — наибольший из номеров Предел числовой последовательности с примерами решения и Предел числовой последовательности с примерами решения, то при Предел числовой последовательности с примерами решения имеем включение Предел числовой последовательности с примерами решения — противоречие.    ■

Для доказательства большинства утверждений в теории пределов последовательностей достаточно представить себе геометрическую картинку (в данном случае рис. 2.3). После этого, как правило, уже несложно привести аккуратное доказательство.

Часто бывает удобно в качестве области определения последовательности рассматривать не всё множество N, а множество целых чисел, не меньших некоторого фиксированного целого числа Предел числовой последовательности с примерами решения. Например, последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения определена (как последовательность) при Предел числовой последовательности с примерами решения можно определить при Предел числовой последовательности с примерами решения

В силу геометрического определения предела, сходимость последовательности и величина предела не зависят от конечного числа членов (конечное число членов можно выбросить, добавить, заменить — сходимость и величина предела не изменятся). При исследовании сходимости можно считать, что хп определена при Предел числовой последовательности с примерами решения, где Предел числовой последовательности с примерами решения — фиксированное целое число.

Лемма 2.3. Если последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения ограничена при Предел числовой последовательности с примерами решения (т.е. Предел числовой последовательности с примерами решения), и определена при всех Предел числовой последовательности с примерами решения, то она ограничена.

□    Вне отрезка [m, М] имеется не более конечного числа членов Предел числовой последовательности с примерами решения (разве что Предел числовой последовательности с примерами решения). Рассмотрим Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения; Предел числовой последовательности с примерами решения. Тогда для всех натуральных п выполняются неравенства Предел числовой последовательности с примерами решения, т.е. Предел числовой последовательности с примерами решения ограничена.    ■

Лемма 2.4. Сходящаяся последовательность ограничена.

□    Пусть Предел числовой последовательности с примерами решения. По определению предела (е = 1): Предел числовой последовательности с примерами решения Предел числовой последовательности с примерами решенияПо лемме 2.3 Предел числовой последовательности с примерами решения ограничена.    ■

Обратное неверно. Ограниченная последовательность не обязана сходиться.

Пример 2.4. Рассмотрим последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения Предел числовой последовательности с примерами решения при чётном Предел числовой последовательности с примерами решения при нечетном n). Так как при всех Предел числовой последовательности с примерами решения выполняются неравенства Предел числовой последовательности с примерами решения, то Предел числовой последовательности с примерами решения ограничена. Докажем, что Предел числовой последовательности с примерами решения расходится.

□    Пусть Предел числовой последовательности с примерами решения сходится и Предел числовой последовательности с примерами решения. Тогда по определению предела Предел числовой последовательности с примерами решения:

Предел числовой последовательности с примерами решения

Рассмотрим Предел числовой последовательности с примерами решения

Предел числовой последовательности с примерами решения

Но одно из чисел Предел числовой последовательности с примерами решения равно 1, другое равно — 1. Поэтому Предел числовой последовательности с примерами решения, т.е. одновременно 0 < а < 2 и —2 < а < 0. Противоречие.    ■

Мы будем часто использовать обозначение sign [ (читается «сигнум», что по латыни означает «знак»). По определению  

Предел числовой последовательности с примерами решения

График функции у = sign ж изображён на рис. 2.4.

Предел числовой последовательности с примерами решения

Лемма 2.5. Если Предел числовой последовательности с примерами решения, то найдётся номер Предел числовой последовательности с примерами решения такой, что при всех Предел числовой последовательности с примерами решения выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения причем sign xn = sign а. Иными словами:

если a > 0, то найдётся номер Предел числовой последовательности с примерами решения такой, что при всех Предел числовой последовательности с примерами решения выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения

если a < 0, то найдётся номер Предел числовой последовательности с примерами решения такой, что при всех Предел числовой последовательности с примерами решения выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения

□ Пусть a > 0. Рассмотрим в определении предела Предел числовой последовательности с примерами решения Тогда Предел числовой последовательности с примерами решения откуда следует, что Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения (см. рис. 2.5). Случай a < 0 рассматривается аналогично (в определении предела берётся Предел числовой последовательности с примерами решения см. рис. 2.6).    ■

Предел числовой последовательности с примерами решения

Отсюда моментально следует

Лемма 2.6 (о сохранении знака). Если Предел числовой последовательности с примерами решения, то найдётся номер Предел числовой последовательности с примерами решения такой, что при всех Предел числовой последовательности с примерами решения знаки Предел числовой последовательности с примерами решения и a совпадают. Иными словами, если a > 0, то найдётся номер Предел числовой последовательности с примерами решения такой, что при всех Предел числовой последовательности с примерами решения выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения; если a < 0, то найдётся номер Предел числовой последовательности с примерами решения такой, что при всех Предел числовой последовательности с примерами решения выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения

Определение 2.7. Последовательность an называется бесконечно малой, если Предел числовой последовательности с примерами решения

Лемма 2.7. Предел числовой последовательности с примерами решения где Предел числовой последовательности с примерами решения — бесконечно малая последовательность.

□    Пусть Предел числовой последовательности с примерами решения Тогда

Предел числовой последовательности с примерами решения

Отметим, что если Предел числовой последовательности с примерами решения при Предел числовой последовательности с примерами решения (постоянная последовательность), то Предел числовой последовательности с примерами решения; это следует из того, что Предел числовой последовательности с примерами решения— очевидно, бесконечно малая последовательность.

Лемма 2.8. Сумма двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой.

□    Пусть Предел числовой последовательности с примерами решения — бесконечно малые. Поэтому

Предел числовой последовательности с примерами решения

Тогда при Предел числовой последовательности с примерами решения, где Предел числовой последовательности с примерами решения, выполняется неравенство

Предел числовой последовательности с примерами решения

т.е. Предел числовой последовательности с примерами решения — бесконечно малая.    ■

Лемма 2.9. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную является бесконечно малой.

□    Если последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения ограничена, то

Предел числовой последовательности с примерами решения

Если Предел числовой последовательности с примерами решения — бесконечно малая, то

Предел числовой последовательности с примерами решения

Тогда при Предел числовой последовательности с примерами решения выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения т.е. Предел числовой последовательности с примерами решения — бесконечно малая.    ■

Следствие 1. Если Предел числовой последовательности с примерами решения — бесконечно малая последовательность, Предел числовой последовательности с примерами решения то Предел числовой последовательности с примерами решения — бесконечно малая.

□    Следует из того, что постоянная последовательность ограничена.    ■

Следствие 2. Произведение двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой.

□    Следует из того, что одну из этих последовательностей можно рассматривать просто как имеющую предел, следовательно, ограниченную.    ■

Пример 2.5. Предел числовой последовательности с примерами решения, так как Предел числовой последовательности с примерами решения —произведение ограниченной последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения на бесконечно малую Предел числовой последовательности с примерами решения

Теорема 2.1 (об арифметических операциях с пределами). Пусть Предел числовой последовательности с примерами решения Тогда

Предел числовой последовательности с примерами решения

Предел числовой последовательности с примерами решения — бесконечно малые последовательности.

1)Предел числовой последовательности с примерами решения где Предел числовой последовательности с примерами решения — бесконечно малая, поэтому Предел числовой последовательности с примерами решения

2)Предел числовой последовательности с примерами решения где Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения — бесконечно малая, так как все три слагаемые являются бесконечно малыми по следствиям из леммы 2.9, поэтому Предел числовой последовательности с примерами решения Отметим, что лемма 2.8 по индукции распространяется на случай суммы любого конечного фиксированного числа бесконечно малых последовательностей.

3)Так как Предел числовой последовательности с примерами решения, то по лемме 2.6 найдётся номер Предел числовой последовательности с примерами решения такой, что при всех Предел числовой последовательности с примерами решения выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения, и последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения определена при всех Предел числовой последовательности с примерами решения. Она может быть не определена при некоторых значениях Предел числовой последовательности с примерами решения, но, как мы уже отмечали, при исследовании сходимости последовательность может быть определена лишь при Предел числовой последовательности с примерами решения, где Предел числовой последовательности с примерами решения — фиксированное целое число. В условии теоремы нет необходимости требовать, чтобы Предел числовой последовательности с примерами решения; достаточно потребовать Предел числовой последовательности с примерами решения. Имеем

Предел числовой последовательности с примерами решения

Последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения — бесконечно малая по лемме 2.8 и следствию 1 из леммы 2.9. Так как Предел числовой последовательности с примерами решения то по лемме 2.5 Предел числовой последовательности с примерами решения откуда следует, что Предел числовой последовательности с примерами решения Последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения ограничена при Предел числовой последовательности с примерами решения. По лемме 2.3 эта последовательность ограничена (она может быть не определенной при конечном числе номеров Предел числовой последовательности с примерами решения тех, где Предел числовой последовательности с примерами решения=0, но на наличие предела это не влияет). Тогда по лемме 2.9 последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения — бесконечно малая, иПредел числовой последовательности с примерами решения

Следствия. В условиях теоремы 2.1

Предел числовой последовательности с примерами решения

Теорема 2.2 (предельный переход в неравенстве).

Если Предел числовой последовательности с примерами решения, причем найдётся номер Предел числовой последовательности с примерами решения такой, что при всех Предел числовой последовательности с примерами решения выполнено неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения, то Предел числовой последовательности с примерами решения

Предел числовой последовательности с примерами решения

□ Пусть a > b. Рассмотрим Предел числовой последовательности с примерами решения такое, что Предел числовой последовательности с примерами решения (например, Предел числовой последовательности с примерами решения) Тогда:

Предел числовой последовательности с примерами решения

При Предел числовой последовательности с примерами решения выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения, что противоречит условию (см. рис. 2.7).    ■

Следствие. Если найдётся номер Предел числовой последовательности с примерами решения такой, что при всех Предел числовой последовательности с примерами решения члены Предел числовой последовательности с примерами решения и Предел числовой последовательности с примерами решения, то Предел числовой последовательности с примерами решения

Замечание. Если Предел числовой последовательности с примерами решения и при всех Предел числовой последовательности с примерами решения выполнено неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения то Предел числовой последовательности с примерами решения (возможно, Предел числовой последовательности с примерами решения). Например: Предел числовой последовательности с примерами решения Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения

Теорема 2.3. Если Предел числовой последовательности с примерами решения. и найдется номер Предел числовой последовательности с примерами решения такой, что при всех Предел числовой последовательности с примерами решения выполнено неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения, то Предел числовой последовательности с примерами решения

Предел числовой последовательности с примерами решения

Тогда при всех Предел числовой последовательности с примерами решения выполняются неравенства Предел числовой последовательности с примерами решения  т.е Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения Значит Предел числовой последовательности с примерами решения

В официальной литературе теорема 2.3 называется теоремой о трёх последовательностях или теоремой о зажатой переменной. Тем не менее на студенческом жаргоне и в различных внутривузовских изданиях она обычно называется «теоремой о двух милиционерах». В самом деле, если два представителя силовых структур Предел числовой последовательности с примерами решения ведут задержанного Предел числовой последовательности с примерами решения в отделение внутренних дел так, что Предел числовой последовательности с примерами решения всё время находится между Предел числовой последовательности с примерами решения, то Предел числовой последовательности с примерами решения придёт туда же. Аналогичные названия этого утверждения имеются и в других языках («теорема о двух карабинерах» и т.д.), так что переименование милиции в полицию вряд ли что-нибудь здесь изменит.

Лемма 2.10. Если Предел числовой последовательности с примерами решения, то Предел числовой последовательности с примерами решения

1) При Предел числовой последовательности с примерами решения = 0 утверждение очевидно.

2) Пусть 0 < q < 1. Тогда Предел числовой последовательности с примерами решения. В элементарной алгебре хорошо известно неравенство Бернулли Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения, справедливое при Предел числовой последовательности с примерами решения; его несложно доказать, например, по индукции. Тогда (учитывая, что у нас а > 0)

Предел числовой последовательности с примерами решения

Так как Предел числовой последовательности с примерами решения, то Предел числовой последовательности с примерами решения, и, по теореме 2.3, Предел числовой последовательности с примерами решения 0

3) Пусть -1 < q < 0. Тогда рассмотрим Предел числовой последовательности с примерами решения 1. Так как по только что доказанному, Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения — также бесконечно малая последовательность, как произведение ограниченной Предел числовой последовательности с примерами решения на бесконечно малую Предел числовой последовательности с примерами решения ■

Доказанные утверждения позволяют вычислять некоторые простые пределы.

Пример 2.6

Предел числовой последовательности с примерами решения

(и вообще, предел последовательности отношения двух многочленов от Предел числовой последовательности с примерами решения одинаковой степени равен отношению их старших коэффициентов).

Пример 2.7

Предел числовой последовательности с примерами решения

(здесь использована лемма 2.10).

Пример 2.8

Предел числовой последовательности с примерами решения

Последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения представляет собой сумму п слагаемых, предел каждого из которых равен 0. Но было бы ошибкой на основании леммы о сумме бесконечно малых заявить, что Предел числовой последовательности с примерами решения. Лемма 2.8 была доказана для двух слагаемых и, как было отмечено, справедлива для конечного фиксированного числа слагаемых. В нашем же случае число слагаемых равно Предел числовой последовательности с примерами решения (неограниченно растёт). Оценим последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения сверху и снизу; воспользуемся тем, что самое большое слагаемое в сумме — первое, самое маленькое — последнее. Поэтому

Предел числовой последовательности с примерами решения

Аналогично примеру 2.6, Предел числовой последовательности с примерами решения. Поэтому по теореме 2.3 Предел числовой последовательности с примерами решения (не равен нулю!).

Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса

Определение 2.8. Последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения называется строго возрастающей, если для всех номеров n выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения строго убывающей, если для всех n выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения нестрого возрастающей, если для всех п выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения; нестрого убывающей, если для всех п выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения. Все такие последовательности называются монотонными.

Применяем обозначения: Предел числовой последовательности с примерами решения для возрастаютцих последовательностей (строго или нестрого), Предел числовой последовательности с примерами решения для убывающих последовательностей (строго или нестрого). Последовательность может быть монотонной, начиная с некоторого номера. Например, последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения является строго убывающей, начиная с номера Предел числовой последовательности с примерами решения, если Предел числовой последовательности с примерами решения и т.д.

Теорема 2.4 (Вейерштрасса). Если последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения возрастает (вообще говоря, нестрого) и ограничена сверху, то существует предел последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения, равный её точной верхней грани. Если последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения убывает (вообще говоря, нестрого) и ограничена снизу, то существует предел последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения, равный ее точной нижней грани. 

Докажем первую часть теоремы; вторая доказывается аналогично. По теореме 1.5 последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения имеет точную верхнюю грань sup Предел числовой последовательности с примерами решения = а. Тогда

Предел числовой последовательности с примерами решения

Удобно обозначить Предел числовой последовательности с примерами решения

В силу возрастания последовательности, для всех Предел числовой последовательности с примерами решения выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения, но при этом Предел числовой последовательности с примерами решения

Предел числовой последовательности с примерами решения

Итак:

Предел числовой последовательности с примерами решения

а отсюда следует, что Предел числовой последовательности с примерами решения (см. рис. 2.8). Значит, Предел числовой последовательности с примерами решения

Теорема Вейерштрасса — чистая теорема существования. Она не даст непосредственной возможности вычислять значение предела.

Пример 2.9. Рассмотрим последовательность

Предел числовой последовательности с примерами решения

(символ Предел числовой последовательности с примерами решения означает Предел числовой последовательности с примерами решения). Ясно, что эта последовательность строго возрастает, так как Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения Далее, при Предел числовой последовательности с примерами решения выполняется оценка

Предел числовой последовательности с примерами решения

поэтому

Предел числовой последовательности с примерами решения

Последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения возрастает и ограничена сверху, поэтому она сходится. Значение Предел числовой последовательности с примерами решения совпадает с Предел числовой последовательности с примерами решения, но мы не можем найти ни то, ни другое. Можно показать, что Предел числовой последовательности с примерами решения но это доказательство нам пока недоступно.

Пример 2.10. Рассмотрим последовательность Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения Докажем, что последовательность строго возрастает и для всех n выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения. Отсюда будет следовать, что существует Предел числовой последовательности с примерами решения. Этот предел обозначается буквой е. Число е иррациональное, е = 2,718281828459045… Это число играет исключительную роль в математическом анализе.

□ Напомним формулу бинома Ньютона:

Предел числовой последовательности с примерами решения

—так называемые биномиальные коэффициенты. Напомним также, что n! (n факториал) — это произведение всех натуральных чисел от Предел числовой последовательности с примерами решения; по дополнительному определению, 0! = 1. Легко видеть, что Предел числовой последовательности с примерами решения при Предел числовой последовательности с примерами решения; Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения и т.д.

Имеем

Предел числовой последовательности с примерами решения

Нетрудно заметить, что при Предел числовой последовательности с примерами решения

Предел числовой последовательности с примерами решения

Поэтому так как при Предел числовой последовательности с примерами решения последнее слагаемое положительно, то Предел числовой последовательности с примерами решения. Значит, последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения строго возрастает. Далее,

Предел числовой последовательности с примерами решения

поэтому Предел числовой последовательности с примерами решения и при всех n

Предел числовой последовательности с примерами решения

Иногда теорема Вейерштрасса позволяет установить сходимость последовательности, после чего, переходя к пределу в рекуррентном соотношении, можно вычислить значение предела.

Пример 2.11. Докажем, что если Предел числовой последовательности с примерами решения, то Предел числовой последовательности с примерами решения

□ Если Предел числовой последовательности с примерами решения, то Предел числовой последовательности с примерами решения и по теореме 2.3 Предел числовой последовательности с примерами решения

Пусть теперь а > 1. Тогда Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения. Напишем определение предела при Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения в силу положительности Предел числовой последовательности с примерами решения последнее неравенство даст Предел числовой последовательности с примерами решения. Значит, последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения убывает при Предел числовой последовательности с примерами решения; при этом Предел числовой последовательности с примерами решения. Так как конечное число членов последовательности не влияет на сходимость, то по теореме Вейерштрасса последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения сходится; обозначим Предел числовой последовательности с примерами решения

Мы уже видели, что последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения удовлетворяет рекуррентному соотношению

Предел числовой последовательности с примерами решения

Последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения — та же последовательность, что и Предел числовой последовательности с примерами решения (если выбросить Предел числовой последовательности с примерами решения): поэтому Предел числовой последовательности с примерами решения. Переходя к пределу в (2.1), получим

Предел числовой последовательности с примерами решения   ■

Теорема Кантора о вложенных отрезках

Если проанализировать изложенный выше материал, то можно заметить, что только три утверждения: теорема 1.4 Дедекинда, теорема 1.5 о точных верхней и нижней гранях и теорема 2.4 Вейерштрасса о пределе монотонной ограниченной последовательности — характерны именно для действительных чисел и выражают свойство их полноты (непрерывности). Все остальные утверждения имели бы место и во множестве рациональных чисел. Например, если Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения то существует Предел числовой последовательности с примерами решения А вот если последовательность рациональных чисел возрастает и ограничена сверху, то она может не иметь рационального предела (и соответственно рациональной точной верхней грани). В качестве примера можно рассмотреть последовательность десятичных приближений снизу какого-нибудь иррационального числа а. Эта последовательность имеет предел а (мы сейчас докажем это полезное утверждение), но не имеет рационального предела; если бы она имела рациональный предел Предел числовой последовательности с примерами решения то у неё было бы два разных действительных предела а и Предел числовой последовательности с примерами решения что противоречит лемме 2.2.

Лемма 2.11. Пусть Предел числовой последовательности с примерами решения — последовательности десятичных приближений снизу и сверху действительного числа а. Тогда Предел числовой последовательности с примерами решения

□Как известно, для любого п выполняется неравенство

Предел числовой последовательности с примерами решения

Тогда Предел числовой последовательности с примерами решения

Значит, Предел числовой последовательности с примерами решения, по теореме 2.3 Предел числовой последовательности с примерами решения Аналогично доказывается вторая часть утверждения.    ■

Приведём ещё одну очень важную теорему, выражающую свойство полноты действительных чисел.

Теорема 2.5 (Кантора о вложенных отрезках). Если Предел числовой последовательности с примерами решения (бесконечная последовательность вложенных отрезков), то существует точка Предел числовой последовательности с примерами решения общая для всех отрезков (т.е. для всех п выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения)- Если при этом последовательность длин отрезков стремится к нулю Предел числовой последовательности с примерами решения, то такая точка Предел числовой последовательности с примерами решения единственна, при этом

Предел числовой последовательности с примерами решения

□Так как для всех n

Предел числовой последовательности с примерами решения

то для любых натуральных n и m выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения. Рассмотрим множества Предел числовой последовательности с примерами решения и Предел числовой последовательности с примерами решения. При любом фиксированном m =Предел числовой последовательности с примерами решения множество А ограничено сверху числом Предел числовой последовательности с примерами решения значит, существует Предел числовой последовательности с примерами решения; при этом по лемме 1.3 для любого m выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения. Аналогично множество В ограничено снизу и существует Предел числовой последовательности с примерами решения и для любого n выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения Из последнего неравенства и леммы 1.3 следует, что Предел числовой последовательности с примерами решения. Итак, для любого n выполняются неравенства Предел числовой последовательности с примерами решения Ясно, что точки Предел числовой последовательности с примерами решения (и весь отрезок Предел числовой последовательности с примерами решения, если Предел числовой последовательности с примерами решения) принадлежат всем отрезкам Предел числовой последовательности с примерами решения. Первая часть теоремы доказана. Отметим, что здесь нигде не использовалось понятие предела.

Пусть теперь Предел числовой последовательности с примерами решения. Тогда

Предел числовой последовательности с примерами решения

(мы учли, чтоПредел числовой последовательности с примерами решения). Так как Предел числовой последовательности с примерами решения, то из леммы 1.5 следует, что Предел числовой последовательности с примерами решения. Обозначим их общее значение Предел числовой последовательности с примерами решения. Тогда Предел числовой последовательности с примерами решения. В силу монотонного возрастания и ограниченности сверху последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения по теореме Вейерштрасса Предел числовой последовательности с примерами решения. Аналогично Предел числовой последовательности с примерами решения.

Если существует ещё одна точка Предел числовой последовательности с примерами решения такая, что для всех n выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения, то по лемме 1.5 Предел числовой последовательности с примерами решения Единственность общей точки доказана.    ■

Пример 2.12. Предел числовой последовательности с примерами решения; это — последовательность вложенных отрезков, для которой Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения Существует единственная общая точка 0.

Пример 2.13. Предел числовой последовательности с примерами решения: это — последовательность вложенных отрезков, для которой Предел числовой последовательности с примерами решения и Предел числовой последовательности с примерами решения. Общие точки заполняют целый отрезок Предел числовой последовательности с примерами решения.

Пример 2.14. Для последовательности вложенных интервалов теорема теряет силу. Пусть Предел числовой последовательности с примерами решения. Эта последовательность вложенных интервалов не имеет общих точек, при этом Предел числовой последовательности с примерами решения

Бесконечно большие последовательности

Наряду с Предел числовой последовательности с примерами решенияокрестностями конечных чисел рассмотрим Предел числовой последовательности с примерами решенияокрестности символов Предел числовой последовательности с примерами решения

Определение 2.9. При Предел числовой последовательности с примерами решения

Предел числовой последовательности с примерами решения

Определение 2.10. Говорят, что Предел числовой последовательности с примерами решения, еслиПредел числовой последовательности с примерами решения

Говорят, что Предел числовой последовательности с примерами решения, если Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения

В последнем случае последовательность называется бесконечно большой.

В определении конечного предела по существу малые Предел числовой последовательности с примерами решения (если Предел числовой последовательности с примерами решения для малых е, то и подавно для больших). В определениях бесконечных пределов по существу большие е; из эстетических соображений лучше вместо е писать большую букву Е.

Очевидно, что если Предел числовой последовательности с примерами решения или Предел числовой последовательности с примерами решения то Предел числовой последовательности с примерами решения — бесконечно большая. Обратное неверно; для бесконечно большой последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения не обязательно Предел числовой последовательности с примерами решения или Предел числовой последовательности с примерами решения

Пример 2.15. Предел числовой последовательности с примерами решения

Предел числовой последовательности с примерами решения. Неравенство n > Е выполняется для всех Предел числовой последовательности с примерами решения, где Предел числовой последовательности с примерами решения; напомним, что там, где квантор существования стоит после квантора общности, имеет место функциональная зависимость Предел числовой последовательности с примерами решения.

Пример 2.16. Предел числовой последовательности с примерами решения (аналогично).

Пример 2.17. Предел числовой последовательности с примерами решения. Так как Предел числовой последовательности с примерами решения, то Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения, но знаки Предел числовой последовательности с примерами решения чередуются: поэтому неверно ни то, что Предел числовой последовательности с примерами решения, ни то, что Предел числовой последовательности с примерами решения

Очевидно, что Предел числовой последовательности с примерами решения тогда и только тогда, когда Предел числовой последовательности с примерами решения бесконечно большая и Предел числовой последовательности с примерами решения Предел числовой последовательности с примерами решения тогда и только тогда, когда Предел числовой последовательности с примерами решения бесконечно большая и Предел числовой последовательности с примерами решения

Лемма 2.12. Бесконечно большая последовательность является неограниченной.

Предел числовой последовательности с примерами решения неограничена:

Предел числовой последовательности с примерами решения

Предел числовой последовательности с примерами решения бесконечно большая:

Предел числовой последовательности с примерами решения

Ясно, что бесконечно большая последовательность неограничена.  

Обратное неверно. Неограниченная последовательность не обязана быть бесконечно большой.

Пример 2.18. Рассмотрим последовательность

Предел числовой последовательности с примерами решения

Она неограничена, но не является бесконечно большой.

□Последовательность неограничена за счёт четных номеров. Предел числовой последовательности с примерами решения — четное: Предел числовой последовательности с примерами решения. Это верно, так как Предел числовой последовательности с примерами решения чётное Предел числовой последовательности с примерами решения (например, Предел числовой последовательности с примерами решения).

За счёт нечётных номеров последовательность не является бесконечно большой:

Предел числовой последовательности с примерами решения

Это верно. Возьмём, например, Е = 1. Для любого номера Предел числовой последовательности с примерами решения найдётся нечётное натуральное число Предел числовой последовательности с примерами решения, например, Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения при этом Предел числовой последовательности с примерами решения   

Схема, изображённая на рис. 2.9, должна помочь разобраться в понятиях, связанных со сходимостью, ограниченностью и т.д., а также усвоить связь между этими понятиями.

Предел числовой последовательности с примерами решения

Лемма 2.13. 1) Если последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения является бесконечно большой, то последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения — бесконечно малая.

2) Если последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения бесконечно малая и найдётся номер Предел числовой последовательности с примерами решения такой, что для всех Предел числовой последовательности с примерами решения выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения, то последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения бесконечно большая.

□1)Предел числовой последовательности с примерами решения. Тогда при Предел числовой последовательности с примерами решения выполнено неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения; последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения определена, и не нужно делать дополнительную оговорку, как во второй части леммы. Для любого числа Предел числовой последовательности с примерами решения рассмотрим Предел числовой последовательности с примерами решения. Тогда Предел числовой последовательности с примерами решения, значит, Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения, т.е. Предел числовой последовательности с примерами решения — бесконечно малая.

2) Доказательство аналогично.

Лемму 2.13 символически можно записать так: Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения. Но отсюда вовсе не следует, что Предел числовой последовательности с примерами решения. Бесконечные символы — это не числа, с ними нельзя «вольно» обращаться, т.е. автоматически переносить на них формальные правила операций с действительными числами. Выражение Предел числовой последовательности с примерами решения называется «неопределённостью», так как в зависимости от конкретных бесконечно малой Предел числовой последовательности с примерами решения и бесконечно большой Предел числовой последовательности с примерами решения предельное поведение последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения может быть самым разнообразным. Произведение Предел числовой последовательности с примерами решения может быть: а) бесконечно малым; б) бесконечно большим; в) иметь конечный ненулевой предел; г) не иметь предела — ни конечного ни бесконечного.

Пример 2.19. Во всех случаях Предел числовой последовательности с примерами решения:

Предел числовой последовательности с примерами решения

 ограничена, но расходится.

Традиционно принято рассматривать 7 типов неопределённостей: Предел числовой последовательности с примерами решения, для каждого из которых можно построить примеры типа а-г. Классическим типом неопределенности Предел числовой последовательности с примерами решения является предел Предел числовой последовательности с примерами решения

Теоремы об арифметических действиях с пределами нельзя автоматически переносить на бесконечные символы. Если в каком-то случае такой перенос имеет место, то нужно доказать соответствующее утверждение.

Лемма 2.14. Если Предел числовой последовательности с примерами решения, то Предел числовой последовательности с примерами решения (символическая запись: Предел числовой последовательности с примерами решения.

□Достаточно провести доказательство для случая, когда Предел числовой последовательности с примерами решения ограничена снизу Предел числовой последовательности с примерами решения Так как Предел числовой последовательности с примерами решениято Предел числовой последовательности с примерами решения (строго говоря, это верно при Предел числовой последовательности с примерами решения но если Предел числовой последовательности с примерами решения, неравенство и подавно верно). Итак,

Предел числовой последовательности с примерами решения

значит Предел числовой последовательности с примерами решения

Можно привести ещё немало символических записей с участием бесконечных символов, которые фактически применяются в различных рассуждениях. При этом нужно уметь аккуратно формулировать и доказывать возникающие утверждения (аналогично лемме 2.14). Например:

Предел числовой последовательности с примерами решения

Лемма 2.15. 1) Если Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения

2) если Предел числовой последовательности с примерами решения то Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения

□1) Так как Предел числовой последовательности с примерами решения то Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения Пусть Предел числовой последовательности с примерами решения. Тогда Предел числовой последовательности с примерами решения а это значит, что Предел числовой последовательности с примерами решения

2)Доказательство аналогично.    

Эта лемма является аналогом теоремы 2.3 для случая бесконечно больших последовательностей.

Пример 2.20. Предел числовой последовательности с примерами решения

□Так как Предел числовой последовательности с примерами решения, то по лемме 2.13, Предел числовой последовательности с примерами решения (с учётом того, что Предел числовой последовательности с примерами решения). Остаётся заметить, что Предел числовой последовательности с примерами решения и применить лемму 2.15.    

Теорема 2.6 (аналог теоремы Вейерштрасса для неограниченных последовательностей). Если последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения возрастает (вообще говоря, нестрого) и неограничена сверху, то Предел числовой последовательности с примерами решения. Если последовательность Предел числовой последовательности с примерами решенияубывает (вообще говоря, нестрого) и неограничена снизу, то Предел числовой последовательности с примерами решения

□Докажем первую часть теоремы, вторая доказывается аналогично. Так как Предел числовой последовательности с примерами решения неограничена сверху, то

Предел числовой последовательности с примерами решения

(естественно, можно считать, что Е > 0, при Е Предел числовой последовательности с примерами решения 0 неравенство и подавно верно). В силу возрастания последовательности при всех Предел числовой последовательности с примерами решения выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения, поэтому

Предел числовой последовательности с примерами решения

Значит, Предел числовой последовательности с примерами решения

В отличие от теоремы Вейерштрасса 2.4 эта теорема имеет место и во множестве рациональных чисел, она не является характерной именно для действительных чисел.

Для неограниченной сверху последовательности мы считаем по определению, что Предел числовой последовательности с примерами решения, а для неограниченной снизу Предел числовой последовательности с примерами решения. Поэтому для любой нестрого возрастающей последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения, а для любой нестрого убывающей Предел числовой последовательности с примерами решения

Односторонние пределы

Введём символы а + 0 и а — 0 («а справа» и «а слева»), Предел числовой последовательности с примерами решения, и определим Предел числовой последовательности с примерами решения-окрестности этих символов.

Определение 2.11. При Предел числовой последовательности с примерами решения

Предел числовой последовательности с примерами решения

Определение 2.12. Говорят, что Предел числовой последовательности с примерами решения, если

Предел числовой последовательности с примерами решения

(т.е. Предел числовой последовательности с примерами решения).

Говорят, что Предел числовой последовательности с примерами решения, если

Предел числовой последовательности с примерами решения

(т.е. Предел числовой последовательности с примерами решения).

Ясно, что в обоих этих случаях Предел числовой последовательности с примерами решения. А вот если предел последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения равен а, то не обязательно он равен а + 0 или а — 0.

Пример 2.21. Предел числовой последовательности с примерами решения = +0 (вместо 0 + 0 обычно пишут +0); Предел числовой последовательности с примерами решения = -0 (вместо 0 — 0 обычно пишут —0). А вот Предел числовой последовательности с примерами решения но этот предел не равен ни +0, ни -0, так как последовательность всё время меняет знак.

Очевидно, что Предел числовой последовательности с примерами решения тогда и только тогда, когда Предел числовой последовательности с примерами решения  тогда и только тогда, когда Предел числовой последовательности с примерами решения

В дальнейшем под словами «6 стандартных предельных символов (СПС)» будем понимать

Предел числовой последовательности с примерами решения

Частичные пределы. Теорема Больцано-Вейерштрасса

Определение 2.13. Пусть Предел числовой последовательности с примерами решения — числовая последовательность, a Предел числовой последовательности с примерами решения — строго возрастающая последовательность натуральных чисел. Тогда последовательность Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения (с индексом к) называется подпоследовательностью последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения.

Определение 2.14. Число Предел числовой последовательности с примерами решения называется частичным пределом (предельной точкой) последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения, если существует такая строго возрастающая последовательность индексов Предел числовой последовательности с примерами решения, что Предел числовой последовательности с примерами решения

Пример 2.22. Рассмотрим последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения Предел числовой последовательности с примерами решения. Она расходится, но имеет сходящиеся подпоследовательности Предел числовой последовательности с примерами решения. Таким образом, она имеет частичные пределы 1 и —1.

Условие строгого возрастания последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения в определении 2.13 является достаточным (но не необходимым) условием для того, чтобы Предел числовой последовательности с примерами решения В самом деле, Предел числовой последовательности с примерами решения Предел числовой последовательности с примерами решения и т.д. По индукции нетрудно доказать, что Предел числовой последовательности с примерами решения при Предел числовой последовательности с примерами решения Но Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения(пример 2.20); по лемме 2.15, Предел числовой последовательности с примерами решения При отказе от этого условия может оказаться так, что последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения ограничена, и ни о каком поведении при Предел числовой последовательности с примерами решения не может быть речи (например, при Предел числовой последовательности с примерами решения последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения не имеет никакого отношения к предельному поведению последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения).

Лемма 2.16. Если Предел числовой последовательности с примерами решения, где а — один из 6 СПС, то для любой последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения также Предел числовой последовательности с примерами решения

□По геометрическому определению предела, сохраняющемуся для любого СПС а, вне любой Предел числовой последовательности с примерами решения, имеется не более конечного числа членов Предел числовой последовательности с примерами решения Так как все пд. различны, то вне любой Предел числовой последовательности с примерами решения и подавно имеется не более конечного числа Предел числовой последовательности с примерами решения значит, Предел числовой последовательности с примерами решения

Следствие. Если Предел числовой последовательности с примерами решения, то а — единственный частичный предел Предел числовой последовательности с примерами решения

Под частичными пределами можно понимать также символы Предел числовой последовательности с примерами решения. Таким образом, частичными пределами могут быть не все 6 СПС, а только три: Предел числовой последовательности с примерами решения

Если Предел числовой последовательности с примерами решения, то по лемме 2.16 единственным частичным пределом последовательности является Предел числовой последовательности с примерами решения. Если Предел числовой последовательности с примерами решения, то единственным частичным пределом последовательности является Предел числовой последовательности с примерами решения

Теорема 2.7 (критерий частичного предела). Пусть a — один из символов Предел числовой последовательности с примерами решенияТогда а является частичным пределом Предел числовой последовательности с примерами решения в любой Предел числовой последовательности с примерами решения-окрестности а Предел числовой последовательности с примерами решения содержится бесконечно много членов Предел числовой последовательности с примерами решения.

Предел числовой последовательности с примерами решения Если а — частичный предел Предел числовой последовательности с примерами решения, то существует подпоследовательность Предел числовой последовательности с примерами решения такая, что Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения Тогда для любого Предел числовой последовательности с примерами решения вне Предел числовой последовательности с примерами решения содержится не более конечного числа членов Предел числовой последовательности с примерами решения, а внутри Предел числовой последовательности с примерами решения — все Предел числовой последовательности с примерами решения, начиная с некоторого номера Предел числовой последовательности с примерами решения, а значит, бесконечно много членов Предел числовой последовательности с примерами решения.

Предел числовой последовательности с примерами решения Сначала рассмотрим случай Предел числовой последовательности с примерами решения Возьмём Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения — некоторый член Предел числовой последовательности с примерами решения. Возьмём теперь Предел числовой последовательности с примерами решения Так как в Предел числовой последовательности с примерами решения содержится бесконечно много членов Предел числовой последовательности с примерами решения, то выберем Предел числовой последовательности с примерами решения так что Предел числовой последовательности с примерами решения и т.д. Пусть построены Предел числовой последовательности с примерами решения где Предел числовой последовательности с примерами решения. Так как в Предел числовой последовательности с примерами решения бесконечно много Предел числовой последовательности с примерами решения, то выберем Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения так, что Предел числовой последовательности с примерами решения. Таким образом, построена бесконечная последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения, причём Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения т.е. Предел числовой последовательности с примерами решения По теореме 2.3 Предел числовой последовательности с примерами решения, т.е. а — частичный предел Предел числовой последовательности с примерами решения.

Для Предел числовой последовательности с примерами решения или Предел числовой последовательности с примерами решения доказательство аналогично. Например, для Предел числовой последовательности с примерами решения нужно брать Предел числовой последовательности с примерами решения Предел числовой последовательности с примерами решения выбирать таким, что Предел числовой последовательности с примерами решения т.е. Предел числовой последовательности с примерами решения Тогда по лемме 2.15 Предел числовой последовательности с примерами решения

Заметим, что если в любой Предел числовой последовательности с примерами решения содержится бесконечно много Предел числовой последовательности с примерами решения, то отсюда ещё не следует, что вне Предел числовой последовательности с примерами решения не более конечного числа Предел числовой последовательности с примерами решения (вне Предел числовой последовательности с примерами решения тоже может быть бесконечно много Предел числовой последовательности с примерами решения). Этим и отличается частичный предел от предела последовательности. В популярных изданиях для школьников раньше предел последовательности иногда назывался «ловушкой», а частичный предел — «кормушкой». Кормушек может быть много, а ловушка — только одна.

В примере 2.22 других частичных пределов, кроме 1 и — 1, последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения не имеет. В самом деле, если Предел числовой последовательности с примерами решения, или Предел числовой последовательности с примерами решения, то существует окрестность а, в которой вообще нет членов Предел числовой последовательности с примерами решения.

Пример 2.23. Предел числовой последовательности с примерами решения (см. пример 2.18). Так как Предел числовой последовательности с примерами решения, то частичными пределами последовательности являются 0 и Предел числовой последовательности с примерами решения. Других частичных пределов последовательность не имеет (для других а существует окрестность, в которой вообще нет членов Предел числовой последовательности с примерами решения).

Пример 2.24. Предел числовой последовательности с примерами решения, т.е. Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения Так как Предел числовой последовательности с примерами решения то частичными пределами последовательности являются Предел числовой последовательности с примерами решения и Предел числовой последовательности с примерами решения; других частичных пределов последовательность не имеет.

Пример 2.25. Пусть Предел числовой последовательности с примерами решения — последовательность, в которую каким-то образом занумерованы все рациональные числа (это можно сделать в силу счетности множества Q). Так как в любой окрестности любого действительного числа а содержится бесконечно много рациональных чисел (если Предел числовой последовательности с примерами решения, то возьмём Предел числовой последовательности с примерами решения если Предел числовой последовательности с примерами решения, то Предел числовой последовательности с примерами решения; в любом случае Предел числовой последовательности с примерами решения и в любой Предел числовой последовательности с примерами решения содержатся все Предел числовой последовательности с примерами решения при Предел числовой последовательности с примерами решения, т.е. бесконечно много членов Предел числовой последовательности с примерами решения), то а — частичный предел Предел числовой последовательности с примерами решения. Аналогично, для Предел числовой последовательности с примерами решения возьмём Предел числовой последовательности с примерами решения, для Предел числовой последовательности с примерами решения возьмём Предел числовой последовательности с примерами решения. Итак, частичными пределами Предел числовой последовательности с примерами решения являются все действительные числа, а также символы Предел числовой последовательности с примерами решения.

Как мы знаем, ограниченная последовательность может расходиться, но при этом иметь частичные пределы (пример 2.22). Это не случайно, имеет место 

Теорема 2.8 (Больцано-Вейерштрасса). Любая ограниченная последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность (т.е. имеет конечный частичный предел).

□Пусть для всех Предел числовой последовательности с примерами решения выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения. Разобьём отрезок Предел числовой последовательности с примерами решения на 2 равных отрезка Предел числовой последовательности с примерами решения: выберем ту половину Предел числовой последовательности с примерами решения, где содержится бесконечно много членов Предел числовой последовательности с примерами решения (и там, и там конечного числа Предел числовой последовательности с примерами решения быть не может, так как тогда их всего было бы конечное число). Если и там, и там бесконечно много Предел числовой последовательности с примерами решения, то Предел числовой последовательности с примерами решения —любая из половинок. В отрезке Предел числовой последовательности с примерами решения выберем половину Предел числовой последовательности с примерами решения, где бесконечно много Предел числовой последовательности с примерами решения (аналогично), в Предел числовой последовательности с примерами решения — половину Предел числовой последовательности с примерами решения, где бесконечно много Предел числовой последовательности с примерами решения и т.д. На к-м шагу в Предел числовой последовательности с примерами решения выберем половину Предел числовой последовательности с примерами решения, где бесконечно много Предел числовой последовательности с примерами решения. Имеем последовательность вложенных отрезков Предел числовой последовательности с примерами решения, причём длина n-го отрезка равна Предел числовой последовательности с примерами решения — стремится к нулю по лемме 2.10.

По теореме Кантора о вложенных отрезках существует единственная точка с, принадлежащая всем отрезкам Предел числовой последовательности с примерами решения. Пусть Предел числовой последовательности с примерами решения. Так как Предел числовой последовательности с примерами решения длина Предел числовой последовательности с примерами решения, то при Предел числовой последовательности с примерами решения отрезок Предел числовой последовательности с примерами решения целиком принадлежит Предел числовой последовательности с примерами решения (см. рис. 2.10), значит, в Предел числовой последовательности с примерами решения бесконечно много членов Предел числовой последовательности с примерами решения. По теореме 2.7 с — частичный предел Предел числовой последовательности с примерами решения.    

Теорема 2.9 (аналог теоремы Больцано-Вейерштрасса для неограниченных последовательностей).

Если последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения неограничена сверху, то она имеет частичный предел Предел числовой последовательности с примерами решения. Если последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения неограничена снизу, то она имеет частичный предел Предел числовой последовательности с примерами решения.

□Докажем первую часть теоремы: вторая доказывается аналогично. Зафиксируем Е > 0. Так как Предел числовой последовательности с примерами решения неограничена сверху, то Предел числовой последовательности с примерами решения В качестве нового Е в определении неограниченности сверху рассмотрим Предел числовой последовательности с примерами решения. Тогда Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения Аналогично, Предел числовой последовательности с примерами решения и т.д. Мы выбрали бесконечно много различных членов последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения таких, что Предел числовой последовательности с примерами решения. По теореме 2.7 Предел числовой последовательности с примерами решения — частичный предел Предел числовой последовательности с примерами решения.  

Итак, любая последовательность имеет частичный предел: ограниченная — конечный, неограниченная — равный Предел числовой последовательности с примерами решенияили Предел числовой последовательности с примерами решения.

Отмстим, что теорема Больцано-Вейерштрасса характерна именно для действительных чисел и выражает свойство их полноты (непрерывности). Её аналог — теорема 2.9 — выполняется и во множестве рациональных чисел.

Теорема 2.10 (о единственном частичном пределе). Пусть последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения ограничена и имеет единственный частичный предел а. Тогда последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения сходится к числу а.

□Пусть для любого номера n выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения. Так как для некоторой последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения предел Предел числовой последовательности с примерами решения, и Предел числовой последовательности с примерами решения для всех к, то по теореме 2.2 Предел числовой последовательности с примерами решения. Докажем, что существует Предел числовой последовательности с примерами решения

Если это не так, то найдётся Предел числовой последовательности с примерами решения, вне которой имеется бесконечно много членов Предел числовой последовательности с примерами решения. Пусть для определённости бесконечно много членов Предел числовой последовательности с примерами решения имеется правее Предел числовой последовательности с примерами решения, т.е. на Предел числовой последовательности с примерами решения (см. рис. 2.11).

Предел числовой последовательности с примерами решения

На Предел числовой последовательности с примерами решения тоже может быть бесконечно много Предел числовой последовательности с примерами решения. а может быть и нет. Не исключено даже, что Предел числовой последовательности с примерами решения. По теореме Больцано-Вейерштрасса, на Предел числовой последовательности с примерами решения существует частичный предел Предел числовой последовательности с примерами решения, отличный от а, что противоречит единственности частичного предела. Полученное противоречие показывает, что Предел числовой последовательности с примерами решения

Определение 2.15. Предельным множеством последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения называется множество всех сё частичных пределов (включая символы Предел числовой последовательности с примерами решения, если они являются частичными пределами).

Определение 2.16. Верхним пределом последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения (обозначается Предел числовой последовательности с примерами решения) называется точная верхняя грань её предельного множества, нижним пределом Предел числовой последовательности с примерами решения— точная нижняя грань её предельного множества. Если предельное множество содержит символ Предел числовой последовательности с примерами решения Предел числовой последовательности с примерами решения (соответственно Предел числовой последовательности с примерами решения). Если предельное множество состоит из единственного символа Предел числовой последовательности с примерами решения, то Предел числовой последовательности с примерами решения (соответственно Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения).

Пример 2.26. Если Предел числовой последовательности с примерами решения (или Предел числовой последовательности с примерами решения, или Предел числовой последовательности с примерами решения), то Предел числовой последовательности с примерами решения(соответственно Предел числовой последовательности с примерами решения, или Предел числовой последовательности с примерами решения). Если Предел числовой последовательности с примерами решения Если Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения, то Предел числовой последовательности с примерами решения Если Предел числовой последовательности с примерами решения то Предел числовой последовательности с примерами решения

Лемма 2.17. Для любой последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения выполняются неравенства Предел числовой последовательности с примерами решения При этом формально считается, что Предел числовой последовательности с примерами решения, и для любого действительного числа а выполняются неравенства Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения.

□Неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения следует из определения 2.16. Если последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения неограничена сверху, то Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения, и неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения очевидно. Если Предел числовой последовательности с примерами решения ограничена сверху и Предел числовой последовательности с примерами решения, то для любой подпоследовательности Предел числовой последовательности с примерами решения при Предел числовой последовательности с примерами решения выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения. По теореме 2.2 для любого частичного предела a выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения, и по лемме 1.3 Предел числовой последовательности с примерами решения

Неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения доказывается аналогично. ■

Лемма 2.18. 1) Последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения ограничена сверху Предел числовой последовательности с примерами решения (т.е. конечен или равен Предел числовой последовательности с примерами решения);

2) последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения ограничена снизу Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения(т.е. конечен или равен Предел числовой последовательности с примерами решения).

□Докажем первую часть леммы, вторая доказывается аналогично. Если Предел числовой последовательности с примерами решения ограничена сверху, то Предел числовой последовательности с примерами решения, и утверждение леммы следует из леммы 2.17. Если Предел числовой последовательности с примерами решения неограничена сверху, то по теореме 2.9 она имеет частичный предел Предел числовой последовательности с примерами решения; значит, Предел числовой последовательности с примерами решения

Теорема 2.11. Пусть Предел числовой последовательности с примерами решения конечны и совпадают. Тогда последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения сходится к их общему значению.

□Из леммы 2.18 следует, что последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения ограничена сверху и снизу. Так как предельное множество состоит из единственного числа Предел числовой последовательности с примерами решения (по теореме Больцано-Вейерштрасса предельное множество непусто и никакого другого частичного предела, кроме а, быть не может), то Предел числовой последовательности с примерами решения ограничена и имеет единственный частичный предел а. По теореме 2.10 существует Предел числовой последовательности с примерами решения

Пример 2.27. Рассмотрим последовательность Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения. Так как Предел числовой последовательности с примерами решения, то Предел числовой последовательности с примерами решения, последовательность имеет частичные пределы 1 и —1. Легко видеть, что при всех п выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения. С другой стороны, для любого числа Предел числовой последовательности с примерами решения найдётся нечетное число Предел числовой последовательности с примерами решения такое, что Предел числовой последовательности с примерами решения (последнее неравенство имеет вид

Предел числовой последовательности с примерами решения

можно взять Предел числовой последовательности с примерами решения Значит Предел числовой последовательности с примерами решения (не достигается). Так как Предел числовой последовательности с примерами решения, то Предел числовой последовательности с примерами решения

Далее при всех Предел числовой последовательности с примерами решения выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения При нечётных n значения Предел числовой последовательности с примерами решения, поэтому наибольший член последовательности равен Предел числовой последовательности с примерами решения. Значит, Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения Никакое число, большее 1, не может быть частичным пределом Предел числовой последовательности с примерами решения, так как в достаточно малой окрестности этого числа либо совсем нет членов последовательности, либо содержится единственный член (само это число). Поэтому Предел числовой последовательности с примерами решения

В нашем случае

Предел числовой последовательности с примерами решения

Теорема 2.12. Верхний и нижний пределы числовой последовательности являются частичными пределами (таким образом, конечный верхний (нижний) предел является наибольшим (соответственно наименьшим) частичным пределом).

□ Пусть сначала Предел числовой последовательности с примерами решения где X — предельное множество последовательности. Тогда

Предел числовой последовательности с примерами решения

Рассмотрим произвольное Предел числовой последовательности с примерами решения0 и выберемПредел числовой последовательности с примерами решения Возьмем соответствующее Предел числовой последовательности с примерами решения такое, что Предел числовой последовательности с примерами решения Если р = а, то а — частичный предел, и всё доказано. Если же Предел числовой последовательности с примерами решения, то выберем Предел числовой последовательности с примерами решения такое, что Предел числовой последовательности с примерами решения (см. рис. 2.12). В Предел числовой последовательности с примерами решения содержится бесконечно много членов Предел числовой последовательности с примерами решения, так как р — частичный предел. Поэтому на интервале Предел числовой последовательности с примерами решения бесконечно много Предел числовой последовательности с примерами решения, значит, в Предел числовой последовательности с примерами решения — бесконечно много Предел числовой последовательности с примерами решения. Так как Предел числовой последовательности с примерами решения0 — произвольно, то по критерию частичного предела а — частичный предел. Если Предел числовой последовательности с примерами решения, то по лемме 2.18 последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения неограничена сверху. По теореме 2.9 последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения имеет частичный предел Предел числовой последовательности с примерами решения.

Наконец, если Предел числовой последовательности с примерами решения, то из определения 2.16 видно, что предельное множество содержит единственный символ Предел числовой последовательности с примерами решения, т.е. Предел числовой последовательности с примерами решения является частичным пределом (и просто пределом) Предел числовой последовательности с примерами решения

Случай нижнего предела рассматривается аналогично. ■

Критерий Коши сходимости последовательности

Определение 2.17. Последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения называется фундаментальной, если Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения (для любого положительного числа Предел числовой последовательности с примерами решения найдётся номер по такой, что для любых двух номеров Предел числовой последовательности с примерами решения и Предел числовой последовательности с примерами решения выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения.

Теорема 2.13 (критерий Коши). Последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения сходится Предел числовой последовательности с примерами решения фундаментальна.

Предел числовой последовательности с примерами решения Пусть Предел числовой последовательности с примерами решения Тогда

Предел числовой последовательности с примерами решения

Тогда для любых Предел числовой последовательности с примерами решения выполняется неравенство

Предел числовой последовательности с примерами решения

значит, последовательность фундаментальна.

Предел числовой последовательности с примерами решения Пусть Предел числовой последовательности с примерами решения — фундаментальная последовательность. Докажем сначала, что она ограничена. При Предел числовой последовательности с примерами решения = 1 имеем

Предел числовой последовательности с примерами решения

Зафиксируем Предел числовой последовательности с примерами решения. Тогда при Предел числовой последовательности с примерами решения выполнено неравенство

Предел числовой последовательности с примерами решения

Таким образом, последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения ограничена при Предел числовой последовательности с примерами решения. По лемме 2.3 последовательность ограничена.

По теореме Больцано-Вейерштрасса последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения имеет конечный частичный предел. В силу теоремы 2.10 о единственном частичном пределе достаточно доказать, что других частичных пределов последовательность не имеет. Пусть это не так, и последовательность имеет два различных частичных предела а и b (для определённости, а < b). Возьмём в определении фундаментальности Предел числовой последовательности с примерами решения (так, чтобы Предел числовой последовательности с примерами решения не только не пересекались, но ещё имели между собой зазор ширины Предел числовой последовательности с примерами решения):

Предел числовой последовательности с примерами решения

Но в Предел числовой последовательности с примерами решения содержится бесконечно много членов Предел числовой последовательности с примерами решения (по теореме 2.7). Значит, Предел числовой последовательности с примерами решения Аналогично Предел числовой последовательности с примерами решения

Тогда (см. рис. 2.13) Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения.

Предел числовой последовательности с примерами решения

Полученное противоречие показывает единственность частичного предела. ■

На практике критерий Коши удобно использовать для доказательства расходимости последовательности.

Пример 2.28. Докажем, что последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения Предел числовой последовательности с примерами решения расходится.

□Отрицание определения фундаментальности звучит так:

Предел числовой последовательности с примерами решения

В самом деле, рассмотрим Предел числовой последовательности с примерами решения = 2. Для любого номера Предел числовой последовательности с примерами решения возьмём Предел числовой последовательности с примерами решения Тогда одно из чисел Предел числовой последовательности с примерами решения и Предел числовой последовательности с примерами решения равно 1, другое равно — 1, поэтому Предел числовой последовательности с примерами решения Последовательность не является фундаментальной, значит, расходится.    ■

Рассмотрим другую форму записи определения фундаментальности. Ясно, что можно считать Предел числовой последовательности с примерами решения входят в определение симметрично, а при Предел числовой последовательности с примерами решения имеем Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения для любого Предел числовой последовательности с примерами решения > 0). Тогда Предел числовой последовательности с примерами решения

Последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения сходится Предел числовой последовательности с примерами решения

Предел числовой последовательности с примерами решения

Последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения расходится Предел числовой последовательности с примерами решения

Предел числовой последовательности с примерами решения

Пример 2.29. Предел числовой последовательности с примерами решения(сходимость этой последовательности была установлена в примере 2.9 при помощи теоремы Вейерштрасса; теперь применим критерий Коши).

□Имеем

Предел числовой последовательности с примерами решения

Это выражение меньше Предел числовой последовательности с примерами решения при Предел числовой последовательности с примерами решения, т.е. при Предел числовой последовательности с примерами решения 1.

Итак, Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения Последовательность сходится.   

Отмстим, что номер Предел числовой последовательности с примерами решения должен зависеть только от Предел числовой последовательности с примерами решения и ни в косм случае не должен зависеть от р.

Пример 2.30. Предел числовой последовательности с примерами решения Хотя внешне эта последовательность мало отличается от предыдущей, но она расходится.

□Имеем

Предел числовой последовательности с примерами решения

(в сумме р слагаемых, самое маленькое равно Предел числовой последовательности с примерами решения Возьмём Предел числовой последовательности с примерами решения Тогда Предел числовой последовательности с примерами решения

Итак, Предел числовой последовательности с примерами решения Последовательность расходится.  

В качестве предостережения приведём неверное «доказательство» того, что эта последовательность сходится.

Имеем Предел числовой последовательности с примерами решения при всех Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения

Отсюда нельзя сделать вывод о фундаментальности последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения, так как номер Предел числовой последовательности с примерами решения такой, что при Предел числовой последовательности с примерами решения выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения, зависит не только от Предел числовой последовательности с примерами решения, но и от р.

Пример 2.31. Если р — фиксированное натуральное число, Предел числовой последовательности с примерами решения В частности, Предел числовой последовательности с примерами решения Верно ли, что из выполнения для любого Предел числовой последовательности с примерами решения равенства Предел числовой последовательности с примерами решения следует  сходимость Предел числовой последовательности с примерами решения?

Ответ: нет (рассмотреть последовательность из примера 2.30).

Доказательство Предел числовой последовательности с примерами решения критерия Коши (необходимость) сохраняется во множестве рациональных чисел, доказательство Предел числовой последовательности с примерами решения (достаточность) характерно именно для действительных чисел. Сходимость фундаментальной последовательности выражает полноту (непрерывность) множества действительных чисел. Любая фундаментальная последовательность рациональных чисел сходится к действительному числу, но не обязана сходиться к рациональному числу. Таким образом, фундаментальные последовательности рациональных чисел в теории действительных чисел играют ту же роль, что и сечения. Если фундаментальная последовательность рациональных чисел не имеет рационального предела, то она является такой же «дыркой» во множестве рациональных чисел, как и сечение III типа. Наличие таких дырок говорит о неполноте множества рациональных чисел. А вот во множестве действительных чисел таких «дырок» уже нет — любая фундаментальная последовательность сходится.

  • Заказать решение задач по высшей математике

Пределы числовых последовательностей

Определение 2.1. Пусть Х и Y – множества произвольной природы
и каждому элементу x Предел числовой последовательности с примерами решенияX поставлен в соответствие некоторый элемент
y Предел числовой последовательности с примерами решенияY. Такое соответствие называется функцией. Обозначим его f,
или f:X →Y , или Предел числовой последовательности с примерами решения. При этом множество Х называется
областью определения (f )D функции f , D(f )=X, а множествоПредел числовой последовательности с примерами решения называется областью значений
Предел числовой последовательности с примерами решения рис. 2.1.
Предел числовой последовательности с примерами решения
П р и м е р 2.1
Предел числовой последовательности с примерами решения– множество всех неотрицательных чисел из R.
Предел числовой последовательности с примерами решения
Определение 2.2. Числовой последовательностью называется произвольная функция f : N →R. При этом числа Предел числовой последовательности с примерами решения из области значений E(f) обозначаются: Предел числовой последовательности с примерами решения  Число Предел числовой последовательности с примерами решения называется n-м членом последовательности. Для задания последовательности достаточно задать Предел числовой последовательности с примерами решения.
П р и м е р 2.2
Предел числовой последовательности с примерами решенияПодставив n=1, 2, 3, … получим Предел числовой последовательности с примерами решения

Определение 2.3. Число a называется пределом числовой последовательности
Предел числовой последовательности с примерами решения существует число Предел числовой последовательности с примерами решения, такое что Предел числовой последовательности с примерами решения выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения Более коротко будем записывать это определение в видеПредел числовой последовательности с примерами решенияПоследовательности, имеющие предел, называются сходящимися, а не имеющие предела – расходящимися.
П р и м е р 2.3
Доказать, что Предел числовой последовательности с примерами решения
Доказательство
Пусть Предел числовой последовательности с примерами решения Рассмотрим цепочку эквивалентных неравенств
Предел числовой последовательности с примерами решения
Пусть N – натуральное число, большее Предел числовой последовательности с примерами решения, например Предел числовой последовательности с примерами решения тогда N удовлетворяет соотношению (2.1), что и требовалось доказать.
У п р а ж н е н и е 2.1.

Доказать, что Предел числовой последовательности с примерами решения
Геометрически равенство Предел числовой последовательности с примерами решения означает, что Предел числовой последовательности с примерами решения все члены последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения, начиная с номераПредел числовой последовательности с примерами решения, попадают в Предел числовой последовательности с примерами решения
окрестность Предел числовой последовательности с примерами решения точки а (рис. 2.2).
Предел числовой последовательности с примерами решения

Например, для последовательности Предел числовой последовательности с примерами решенияиз примера 2.3, если
Предел числовой последовательности с примерами решения
Определение 2.4. Последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения называется ограниченной,
если Предел числовой последовательности с примерами решения, такое что Предел числовой последовательности с примерами решения
Теорема 2.1. (необходимый признак сходимости последовательности).
Если последовательность сходится, то она ограничена.
Доказательство
Из соотношений (2.1) следует, что все члены сходящейся последова-
тельности после номера N лежат в интервалеПредел числовой последовательности с примерами решения, далее доказательство очевидно.
Определение 2.5. Последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения называется бесконечно большой, если Предел числовой последовательности с примерами решения
Говорят, что бесконечно большая последовательность имеет предел Предел числовой последовательности с примерами решения, и пишут Предел числовой последовательности с примерами решения
Если все члены бесконечно большой последовательности, начиная с некоторого номера, становятся положительными, то есть Предел числовой последовательности с примерами решениято пишут Предел числовой последовательности с примерами решения
Если все члены бесконечно большой последовательности, начиная с некоторого номера, становятся отрицательными, то есть 

Предел числовой последовательности с примерами решениято пишут Предел числовой последовательности с примерами решения

П р и м е р 2.4
Предел числовой последовательности с примерами решения
Бесконечно большие последовательности не являются сходящимися и отличаются по своим свойствам от свойств сходящихся последовательностей.
Определение 2.6. Числовая последовательность называется возрастающей
(убывающей), если Предел числовой последовательности с примерами решения

Возрастающие (убывающие) последовательности называются строго монотонными.
Числовая последовательность называется неубывающей (невозрастающей), если
Предел числовой последовательности с примерами решения
Неубывающие (невозрастающие) последовательности называются
монотонными.

Теорема 2.3. Пусть последовательности Предел числовой последовательности с примерами решениясходятся и Предел числовой последовательности с примерами решения – постоянное число. ТогдаПредел числовой последовательности с примерами решения
Доказательство
Докажем, например, формулу Предел числовой последовательности с примерами решения Так как последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения
сходится, то она ограничена, то есть Предел числовой последовательности с примерами решения число Предел числовой последовательности с примерами решения, такое что Предел числовой последовательности с примерами решения. Пусть
Предел числовой последовательности с примерами решения
Так как последовательность Предел числовой последовательности с примерами решениясходится, то Предел числовой последовательности с примерами решения, такой что при Предел числовой последовательности с примерами решения
Так как последовательность Предел числовой последовательности с примерами решениясходится, то Предел числовой последовательности с примерами решения такой что при Предел числовой последовательности с примерами решения
(считаем, что 0≠ b; если 0= b, то второго слагаемого в формуле (2.3) нет).
Пусть Предел числовой последовательности с примерами решения. Тогда из (2.3) при n >N следует Предел числовой последовательности с примерами решения что и требовалось доказать.
Определение 2.8. Пусть Предел числовой последовательности с примерами решениятогда последовательность называется бесконечно малой. Пусть Предел числовой последовательности с примерами решения – бесконечно малые последовательности. Тогда Предел числовой последовательности с примерами решения называется неопределенностью видаПредел числовой последовательности с примерами решения. Вычисление таких пределов называется раскрытием неопределенности. Аналогично определяются неопределенности видаПредел числовой последовательности с примерами решения

П р и м е р 2.7
Предел числовой последовательности с примерами решения
П р и м е р 2.8
Предел числовой последовательности с примерами решения
П р и м е р 2.9

Предел числовой последовательности с примерами решения
П р и м е р 2.10

Предел числовой последовательности с примерами решения

Теорема 2.4. а. Пусть последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения– бесконечно малая Предел числовой последовательности с примерами решенияТогда последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения– бесконечно большая
Предел числовой последовательности с примерами решения
б. Пусть последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения – бесконечно большая Предел числовой последовательности с примерами решениятогда последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения– бесконечно малая.
П р и м е р 2.11
Предел числовой последовательности с примерами решения

Предел числовой последовательности с примерами решения
Определение 2.9. Последовательность Предел числовой последовательности с примерами решенияимеет предел при Предел числовой последовательности с примерами решения, если
Предел числовой последовательности с примерами решения
Легко видеть, что число а в определении 2.9 единственно, поэтому
определения 2.3 и 2.9 эквивалентны.
Из определения 2.9 следует, что последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения – расходящаяся
(не имеет предела), если Предел числовой последовательности с примерами решения(2.4)

——

Числовая последовательность и ее предел

Понятие числовой последовательности

Определение 2.1. Если каждому натуральному числу Предел числовой последовательности с примерами решения поставлено в соответствие число Предел числовой последовательности с примерами решения то говорят, что задана числовая последовательность или просто последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения

Числа Предел числовой последовательности с примерами решенияэлементы или члены последовательности, Предел числовой последовательности с примерами решенияобщий или Предел числовой последовательности с примерами решенияй член последовательности. Последовательность обозначают как Предел числовой последовательности с примерами решения или Предел числовой последовательности с примерами решения или задают с помощью Предел числовой последовательности с примерами решенияго члена.

Частным случаем последовательности являются арифметическая и геометрическая прогрессии.

Пример 2.1.  Предел числовой последовательности с примерами решения

Определение 2.2. Последовательность называется ограниченной, если существуют такие числа Предел числовой последовательности с примерами решения и Предел числовой последовательности с примерами решения что при всех Предел числовой последовательности с примерами решения выполняются неравенства

Предел числовой последовательности с примерами решения

При этом говорят, что число Предел числовой последовательности с примерами решения ограничивает последовательность снизу, a Предел числовой последовательности с примерами решения – сверху.

Определение 2.2′.  Последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения называется ограниченной, если Предел числовой последовательности с примерами решения такое, что для Предел числовой последовательности с примерами решения

Заметим, что не всякая последовательность ограничена.

Пример 2.2. Последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения ограничена снизу 0, сверху Предел числовой последовательности с примерами решенияпоследовательность Предел числовой последовательности с примерами решения ограничена снизу 1.

Определение 2.3. Последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения называется неограниченной, если для Предел числовой последовательности с примерами решения

Пример 2.3. Последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения не ограничена.

Если изображать члены последовательности точками координатной прямой, то все члены ограниченной последовательности лежат на некотором отрезке. Для неограниченной последовательности вне любого отрезка найдутся члены этой последовательности.

Определение 2.4. Если из некоторого бесконечного подмножества членов последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения образована новая последовательность, порядок следования членов в которой такой же, как и в Предел числовой последовательности с примерами решения то она называется подпоследовательностью Предел числовой последовательности с примерами решения и обозначается Предел числовой последовательности с примерами решения причем Предел числовой последовательности с примерами решения

Определение 2.5. Суммой, разностью, произведением, отношением последовательностей Предел числовой последовательности с примерами решения и Предел числовой последовательности с примерами решения называют последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения члены которых образованы по следующим правилам:

Предел числовой последовательности с примерами решения

Произведением последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения на число Предел числовой последовательности с примерами решения называется последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения

Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

Определение 2.6. Последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения называется бесконечно большой последовательностью (ББП), если для Предел числовой последовательности с примерами решения (сколь бы большим его ни взяли) Предел числовой последовательности с примерами решения такой номер, что для Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения

Заметим, что если последовательность бесконечно большая, то она является неограниченной, но не наоборот, т. е. неограниченная последовательность не обязательно будет ББП.

Определение 2.7. Последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения называется бесконечно малой последовательностью (БМП), если для Предел числовой последовательности с примерами решения такой номер, что для Предел числовой последовательности с примерами решения

Пример 2.4. Предел числовой последовательности с примерами решения – ББП, Предел числовой последовательности с примерами решения – БМП.

Теорема 2.1. Если последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения – ББП, и все ее члены отличны от нуля Предел числовой последовательности с примерами решения то последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения будет БМП; и обратно, если Предел числовой последовательности с примерами решения – БМП, Предел числовой последовательности с примерами решения то последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения – ББП.

Доказательство.

Пусть Предел числовой последовательности с примерами решения – ББП. Рассмотрим Предел числовой последовательности с примерами решения и положим Предел числовой последовательности с примерами решения Согласно определению ББП, для этого Предел числовой последовательности с примерами решения будет Предел числовой последовательности с примерами решения такой номер, что для Предел числовой последовательности с примерами решения Тогда

Предел числовой последовательности с примерами решения

т. е. для Предел числовой последовательности с примерами решения что Предел числовой последовательности с примерами решения А это и означает, что

Предел числовой последовательности с примерами решения – БМП.

Аналогично доказывается вторая часть теоремы.

Свойства БМП

1. Алгебраическая сумма любого конечного числа БМП есть БМП.

2. Произведение любого конечного числа БМП есть БМП.

3. Произведение ограниченной последовательности на БМП есть БМП.

Следствие 2.1*. Произведение БМП иа число есть БМП.

Сходящиеся последовательности

Определение 2.8. Число Предел числовой последовательности с примерами решения называется пределом числовой последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения если для Предел числовой последовательности с примерами решения такой, что Предел числовой последовательности с примерами решенияПредел числовой последовательности с примерами решения

Предел числовой последовательности с примерами решения (2.1)

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Из (2.1) рассмотрим условие Предел числовой последовательности с примерами решения

Предел числовой последовательности с примерами решения

Последние неравенства означают, что при Предел числовой последовательности с примерами решения элемент последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения должен находиться в интервале Предел числовой последовательности с примерами решения Напомним, что данный интервал называется Предел числовой последовательности с примерами решенияокрестностыо точки Предел числовой последовательности с примерами решения

Определение 2.8′. Число Предел числовой последовательности с примерами решения называется пределом числовой последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения если для Предел числовой последовательности с примерами решения начиная с которого все члены последовательности принадлежат Предел числовой последовательности с примерами решенияокрестности точки Предел числовой последовательности с примерами решения Геометрический смысл предела последовательности: Предел числовой последовательности с примерами решения если вне любой Предел числовой последовательности с примерами решенияокрестности точки а имеется лишь конечное число членов этой последовательности.

Пример 2.5. Доказать, что Предел числовой последовательности с примерами решения

Решение. Согласно условию, требуется доказать, что число «1» является пределом последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения для Предел числовой последовательности с примерами решениянужно указать номер Предел числовой последовательности с примерами решенияначиная с которого для всех членов последовательности будет выполнено Предел числовой последовательности с примерами решения т. е. 

Предел числовой последовательности с примерами решения

Из неравенства Предел числовой последовательности с примерами решения получаем Предел числовой последовательности с примерами решения Таким образом, для Предел числовой последовательности с примерами решения полагая Предел числовой последовательности с примерами решения получаем, что для Предел числовой последовательности с примерами решения будет выполнено Предел числовой последовательности с примерами решения Заметим, что величина Предел числовой последовательности с примерами решения представляет собой целую часть выражения Предел числовой последовательности с примерами решения тогда Предел числовой последовательности с примерами решения

Поэтому для выполнения условия Предел числовой последовательности с примерами решения при Предел числовой последовательности с примерами решения полагаем Предел числовой последовательности с примерами решения

Теорема 2.2. Числовая последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения имеет своим пределом число «а» тогда только тогда, когда

Предел числовой последовательности с примерами решения

где Предел числовой последовательности с примерами решениячлены БМП Предел числовой последовательности с примерами решения

Доказательство.

Необходимость. Пусть Предел числовой последовательности с примерами решения Обозначим Предел числовой последовательности с примерами решенияПолучим Предел числовой последовательности с примерами решения т. е. Предел числовой последовательности с примерами решения – БМП.

Достаточность. Пусть Предел числовой последовательности с примерами решения где Предел числовой последовательности с примерами решения – БМП. Тогда Предел числовой последовательности с примерами решения т. e. Предел числовой последовательности с примерами решения

Свойства сходящихся последовательностей

1. Сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

2. Всякая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу.

3. Сходящаяся последовательность ограничена.

4. Если последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения имеет предел Предел числовой последовательности с примерами решениято, начиная с некоторого номера Предел числовой последовательности с примерами решения выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения Предел числовой последовательности с примерами решения т. е. члены последовательности сохраняют знак числа Предел числовой последовательности с примерами решения

5. Пусть Предел числовой последовательности с примерами решения и, начиная с некоторого номера Предел числовой последовательности с примерами решения

выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решениятогда Предел числовой последовательности с примерами решения

6. Пусть для последовательностей Предел числовой последовательности с примерами решения и Предел числовой последовательности с примерами решения выполнены неравенства Предел числовой последовательности с примерами решения Тогда  Предел числовой последовательности с примерами решения

7. Если последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения и Предел числовой последовательности с примерами решения сходятся и Предел числовой последовательности с примерами решения Предел числовой последовательности с примерами решения

7.1. Предел числовой последовательности с примерами решения

7.2. Предел числовой последовательности с примерами решения

7.3. Предел числовой последовательности с примерами решения

7.4. Предел числовой последовательности с примерами решения

Таким образом, согласно свойству 7, арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же арифметическим операциям над их пределами.

На основании свойства 2 можно получить условие расходимости последовательности.

Следствие 2.2*. Если из последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения можно выделить две подпоследовательности Предел числовой последовательности с примерами решения и Предел числовой последовательности с примерами решения сходящиеся к Предел числовой последовательности с примерами решения и Предел числовой последовательности с примерами решения то Предел числовой последовательности с примерами решения не имеет предела.

Пример 2.6. Доказать, что последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения не имеет предела.

Решение. Выделим из исходной последовательности две подпоследовательности :

Предел числовой последовательности с примерами решения

Так как Предел числовой последовательности с примерами решения то исходная последовательность не имеет предела.

Замечание 2.1. Обратное к свойству 3, вообще говоря, не верно, т. е. ограниченная последовательность может не быть сходящейся.

Определение 2.9. Последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения называется:

– возрастающей, если Предел числовой последовательности с примерами решения

– неубывающей, если Предел числовой последовательности с примерами решения

– убывающей, если Предел числовой последовательности с примерами решения

– невозрастающей, если Предел числовой последовательности с примерами решения

Все указанные последовательности называются также монотонными, а возрастающая и убывающая последовательности – строго монотонными.

Теорема 2.3. Для того чтобы монотонная последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной.

Доказательство.

Необходимость. Согласно свойству 3, всякая сходящаяся последовательность ограничена.

Достаточность. Пусть Предел числовой последовательности с примерами решения монотонно неубывающая ограниченная сверху последовательность, т. е. Предел числовой последовательности с примерами решения и Предел числовой последовательности с примерами решения такое, что Предел числовой последовательности с примерами решения

Рассмотрим числовое множество Предел числовой последовательности с примерами решения состоящее из элементов данной последовательности. Это множество ограничено сверху и непусто. Поэтому Предел числовой последовательности с примерами решения имеет точную верхнюю грань Предел числовой последовательности с примерами решения Тогда, по определению Предел числовой последовательности с примерами решения Так как Предел числовой последовательности с примерами решения – точная верхняя грань множества элементов последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения то для Предел числовой последовательности с примерами решения такой, что Предел числовой последовательности с примерами решения и так как последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения неубывающая, то при Предел числовой последовательности с примерами решения

Таким образом, Предел числовой последовательности с примерами решения т. е. Предел числовой последовательности с примерами решения А это и означает, что число Предел числовой последовательности с примерами решения – предел последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения

Аналогично доказывается случай монотонно невозрастающей последовательности. 

Замечание 2.2. На основании данной теоремы можно доказать существование предела последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения а именно Предел числовой последовательности с примерами решения

где Предел числовой последовательности с примерами решения (число Эйлера) – иррациональное число, Предел числовой последовательности с примерами решения

Теорема 2.4* (Больцапо-Вейерштрасса). Из всякой ограниченной последовательности чисел можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Определение 2.10. Совокупность отрезков Предел числовой последовательности с примерами решения образует систему вложенных отрезков, если выполнены следующие условия:

Предел числовой последовательности с примерами решения (2.2)

Система вложенных отрезков будет системой стягивающихся отрезков, если

Предел числовой последовательности с примерами решения   (2.3)

Теорема 2.5 (Кантора). Всякая последовательность вложенных стягивающихся отрезков имеет единственную общую точку, принадлежащую всем отрезкам.

Доказательство.

Из (2.2) следует, что монотонные последовательности концов отрезков Предел числовой последовательности с примерами решения и Предел числовой последовательности с примерами решения сходятся, причем из равенства (2.3):

Предел числовой последовательности с примерами решения

Тогда

Предел числовой последовательности с примерами решения

Из теоремы 2.3 следует, что общей точкой, принадлежащей отрезкам Предел числовой последовательности с примерами решенияявляется

Предел числовой последовательности с примерами решения

Пример 2.7. Найти предел Предел числовой последовательности с примерами решения
Решение.

Предел числовой последовательности с примерами решения

ОтветПредел числовой последовательности с примерами решения

Пример 2.8. Найти предел Предел числовой последовательности с примерами решения

Решение.

Предел числовой последовательности с примерами решения

Ответ. 0. 

Пример 2.9. Найти предел Предел числовой последовательности с примерами решения

Решение.

Предел числовой последовательности с примерами решения

Ответ: Предел числовой последовательности с примерами решения4

Пример 2.10. Найти предел Предел числовой последовательности с примерами решения

Решение.

Предел числовой последовательности с примерами решения

Ответ: Предел числовой последовательности с примерами решения

—-

Предел последовательности и функция

Число Предел числовой последовательности с примерами решения называют пределом числовой последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения если для любого Предел числовой последовательности с примерами решения существует номер члена последовательности Предел числовой последовательности с примерами решения такой, что для всех Предел числовой последовательности с примерами решения выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения

Если числовая последовательность Предел числовой последовательности с примерами решения имеет предел, то она называется сходящейся. Если числовая последовательность предела не имеет, то она называется расходящейся.

Число Предел числовой последовательности с примерами решения называется пределом функции Предел числовой последовательности с примерами решения в точке Предел числовой последовательности с примерами решения если для любого положительного числа Предел числовой последовательности с примерами решения можно указать такое положительное число Предел числовой последовательности с примерами решения что для всех значений Предел числовой последовательности с примерами решения из промежутка Предел числовой последовательности с примерами решения кроме, возможно, самой точки  Предел числовой последовательности с примерами решения выполняется неравенство Предел числовой последовательности с примерами решения

Если каждая из функций Предел числовой последовательности с примерами решения имеет предел в точке Предел числовой последовательности с примерами решения то в этой точке существуют пределы функций Предел числовой последовательности с примерами решения

Предел числовой последовательности с примерами решения и имеют место равенства:
Предел числовой последовательности с примерами решения

Сформулированные свойства правильны также для пределов последовательностей и для предела на бесконечности.

Предел числовой последовательности с примерами решенияпервый замечательный предел.

Функция Предел числовой последовательности с примерами решения называется непрерывной в точке Предел числовой последовательности с примерами решения если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в точке Предел числовой последовательности с примерами решения

Предел числовой последовательности с примерами решения

Функция Предел числовой последовательности с примерами решения называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой его точке.

Точка, в которой функция не является непрерывной, называется точкой разрыва функции, а сама функция в этой точке называется разрывной.

Теорема (Больцано—Коши). Если функция Предел числовой последовательности с примерами решения непрерывна на Предел числовой последовательности с примерами решения и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, то на интервале Предел числовой последовательности с примерами решения обязательно существует точка Предел числовой последовательности с примерами решения такая что Предел числовой последовательности с примерами решения

Производной функции f(x) в точке Предел числовой последовательности с примерами решения называют предел отношения приращения функции в точке Предел числовой последовательности с примерами решения к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю, а предел существует,

Предел числовой последовательности с примерами решения

  • Предел и непрерывность числовой функции одной переменной
  • Функции, их свойства и графики
  • Параллельность в пространстве
  • Перпендикулярность в пространстве
  • Квадратные корни
  • Квадратные уравнения
  • Неравенства
  • Числовые последовательности

Последовательность – коэффициент

Cтраница 1

Последовательность коэффициентов имеет одну перемену знака, следовательно уравнение имеет один действительный положительный корень. Уравнение (2.37) имеет еще один отрицательный корень и пару комплексно-сопряженных корней. Это следует из того, что если в (2.37) Tw заменить на – Тш, в ряду коэффициентов полученного многочлена также будет одна перемена знака.
 [1]

Поскольку последовательности коэффициентов в степенных разложениях (2.120) линейно независимы, коэффициенты перед каждой степенью и перед их смешанными произведениями должны равняться нулю.
 [2]

Приведенная выше последовательность коэффициентов перед числами верхнего ряда, встречающимися в треугольнике ( 6, 20, 34, 34, 20, 6), совпадает с уменьшенными на единицу числами, образующими седьмую строку треугольника Паскаля.
 [3]

Qncn) есть последовательность коэффициентов Фурье некоторой меры.
 [4]

Предполагая, что последовательность коэффициентов сп ( t) остается ограниченной при каждом t, В. Более того, в этом случае ни у одной из двух наших систем нет других решений, и поэтому эти системы по существу эквивалентны.
 [5]

Вейерштрасса о существовании последовательности коэффициентов степенного ряда, сколь угодно точно приближающего произвольную непрерывную функцию.
 [6]

Последовательность уп представляет собой последовательность коэффициентов Фурье некоторой меры F на окружности в том и только том случае, когда она положительно определена.
 [7]

Соотношениями (6.34) и (6.35) последовательность коэффициентов un ( i) определяется однозначно.
 [8]

Убедитесь в том, что последовательность коэффициентов Yx ( m) получается такой же при использовании алгоритма типа Кули – Тьюки.
 [9]

Система линейных уравнений (3.22) содержит две последовательности коэффициентов А и Вп.
 [10]

Решение системы уравнений ( 4) дает последовательность коэффициентов Vi для каждой функции. Эти коэффициенты могли бы быть непосредственно использованы при классификации. Однако их трудно интерпретировать, соответствующие им значения дискриминантной функции не имеют определенного смысла. Причина заключается в том, что данное решение не имеет ограничения по метрике дискриминантного пространства. Хотя это пространство вводится для обеспечения максимального разделения классов, последние могут располагаться в любой его области.
 [11]

Из таблицы видно, что для различных изомеров последовательность коэффициентов селективности согласуется с последовательностью поверхностного натяжения неподвижных фаз.
 [13]

Алгоритмы БПФ, в которых на уменьшающиеся последовательности разлагается последовательность коэффициентов S ( k) дискретного преобразования Фурье, называют алгоритмами БПФ с прореживанием по частоте.
 [14]

Число положительных действительных корней меньше или равно числу перемен знаков в последовательности коэффициентов я0, i, ап. Заменяя х на – х в уравнении (5.5), таким же способом можно оценить число отрицательных корней.
 [15]

Страницы:  

   1

   2

   3

   4

Биномиальный коэффициент — коэффициент перед членом разложения бинома Ньютона (1+x)^{n} по степеням x. Коэффициент при x^{k} обозначается textstyle {binom  {n}{k}} или textstyle C_n^k и читается «биномиальный коэффициент из n по k» (или «число сочетаний из n по k»):

{displaystyle (1+x)^{n}={binom {n}{0}}+{binom {n}{1}}x+{binom {n}{2}}x^{2}+ldots +{binom {n}{n}}x^{n}=sum _{k=0}^{n}{binom {n}{k}}x^{k}}

для натуральных степеней n.

Биномиальные коэффициенты могут быть также определены для произвольных действительных показателей n. В случае произвольного действительного числа n биномиальные коэффициенты определяются как коэффициенты разложения выражения (1+x)^{n} в бесконечный степенной ряд:

{displaystyle (1+x)^{n}=sum _{k=0}^{infty }{binom {n}{k}}x^{k}},

где в случае неотрицательных целых n все коэффициенты textstyle {binom  {n}{k}} при k>n обращаются в нуль и поэтому данное разложение является конечной суммой.

В комбинаторике биномиальный коэффициент textstyle {binom  {n}{k}} для неотрицательных целых чисел n и k интерпретируется как количество сочетаний из n по k, то есть как количество всех (нестрогих) подмножеств (выборок) размера k в n-элементном множестве.

Биномиальные коэффициенты часто возникают в задачах комбинаторики и теории вероятностей. Обобщением биномиальных коэффициентов являются мультиномиальные коэффициенты.

Явные формулы[править | править код]

Вычисляя коэффициенты в разложении (1+x)^{n} в степенной ряд, можно получить явные формулы для биномиальных коэффициентов textstyle {binom  {n}{k}}.

Для всех действительных чисел n и целых чисел k:

{displaystyle {binom {n}{k}}={begin{cases}{frac {n(n-1)(n-2)cdot ldots cdot (n-k+1)}{k!}},&kgeqslant 0\0,&k<0end{cases}}},

где k! обозначает факториал числа k.

Для неотрицательных целых n и k также справедливы формулы:

{displaystyle {binom {n}{k}}={begin{cases}{frac {n!}{k!(n-k)!}},&0leqslant kleqslant n\0,&k>nend{cases}}}.

Для целых отрицательных показателей коэффициенты разложения бинома {displaystyle (1+x)^{-n}} равны:

{displaystyle {binom {-n}{k}}={begin{cases}(-1)^{k}cdot {frac {(n+k-1)!}{k!(n-1)!}},&kgeqslant 0\0,&k<0end{cases}}}.

Треугольник Паскаля[править | править код]

Треугольник Паскаля.svg

Visualisation of binomial expansion up to the 4th power

Визуализация биномиального коэффициента до 4 степени

Тождество:

{n choose k}={n-1 choose k-1}+{n-1 choose k}

позволяет расположить биномиальные коэффициенты для неотрицательных целых чисел n, k в виде треугольника Паскаля, в котором каждое число равно сумме двух вышестоящих:

{begin{matrix}n=0:&&&&&1&&&&\n=1:&&&&1&&1&&&\n=2:&&&1&&2&&1&&\n=3:&&1&&3&&3&&1&\n=4:&1&&4&&6&&4&&1\vdots &&vdots &&vdots &&vdots &&vdots &end{matrix}}.

Треугольная таблица, предложенная Паскалем в «Трактате об арифметическом треугольнике» (1654), отличается от той, что выписана здесь, поворотом на 45°. Таблицы для изображения биномиальных коэффициентов были известны и ранее (Тарталье, Омару Хайяму).

Если в каждой строке треугольника Паскаля все числа разделить на 2^{n} (это сумма всех чисел в строке), то все строки при стремлении n к бесконечности примут вид функции нормального распределения.

Свойства[править | править код]

Производящие функции[править | править код]

Для фиксированного значения n производящей функцией последовательности биномиальных коэффициентов {displaystyle {tbinom {n}{0}},;{tbinom {n}{1}},;{tbinom {n}{2}},dots } является:

{displaystyle sum _{k=0}^{infty }{binom {n}{k}}x^{k}=(1+x)^{n}}.

Для фиксированного значения k производящая функция последовательности коэффициентов {displaystyle {tbinom {0}{k}},;{tbinom {1}{k}},;{tbinom {2}{k}},dots } равна:

{displaystyle sum _{n}{binom {n}{k}}y^{n}={frac {y^{k}}{(1-y)^{k+1}}}}.

Двумерной производящей функцией биномиальных коэффициентов tbinom{n}{k} для целых n,k является:

{displaystyle sum _{n,k}{binom {n}{k}}x^{k}y^{n}={frac {1}{1-y-xy}}}, или {displaystyle sum _{n=0}^{infty }sum _{k=0}^{n}{binom {n}{k}}x^{k}y^{n}={frac {1}{1-y-xy}}}.

Делимость[править | править код]

Из теоремы Люка следует, что:

Основные тождества[править | править код]

  • {n choose k}={n-1 choose k-1}+{n-1 choose k}.
  • {displaystyle {binom {n}{k}}=(-1)^{k}{binom {-n+k-1}{k}}}.
  • {n choose k}={n choose n-k} (правило симметрии).
  • {displaystyle {n choose k}={frac {n}{k}}{n-1 choose k-1}} (вынесение за скобки).
  • {displaystyle {n choose {color {Green}m}}{{color {Green}m} choose n-{color {Green}k}}={n choose {color {Green}k}}{{color {Green}k} choose n-{color {Green}m}}} (замена индексов).
  • {displaystyle (n-k){n choose k}=n{n-1 choose k}}.

Бином Ньютона и следствия[править | править код]

а более общем виде

{displaystyle sum _{k=-a}^{a}(-1)^{k}{a+b choose a+k}{b+c choose b+k}{c+a choose c+k}={frac {(a+b+c)!}{a!,b!,c!}}}.

Свёртка Вандермонда и следствия[править | править код]

Свёртка Вандермонда:

{displaystyle sum _{k}{r choose m+k}{s choose n-k}={r+s choose m+n}},

где {displaystyle m,nin mathbb {Z} ,} а {displaystyle r,sin mathbb {R} }. Это тождество получается вычислением коэффициента при {displaystyle x^{m+n}} в разложении {displaystyle (1+x)^{r}(1+x)^{s}} с учётом тождества {displaystyle (1+x)^{r+s}=(1+x)^{r}(1+x)^{s}}. Сумма берётся по всем целым k, для которых {displaystyle textstyle {r choose m+k}{s choose n-k}neq 0}. Для произвольных действительных r, s число ненулевых слагаемых в сумме будет конечно.

Следствие свёртки Вандермонда:

{n choose 0}{a choose a}-{n choose 1}{a+1 choose a}+ldots +(-1)^{n}{n choose n}{a+n choose a}=(-1)^{n}{a choose n}.

Более общее тождество:

sum _{{i=0}}^{{p}}(-1)^{i}{p choose i}prod _{{m=1}}^{{n}}{i+s_{m} choose s_{m}}=0, если sum _{{m=1}}^{n}{s_{m}}<p.

Ещё одним следствием свёртки является следующее тождество:
{displaystyle {n choose 0}^{2}+{n choose 1}^{2}+ldots +{n choose n}^{2}={2n choose n}}.

Другие тождества[править | править код]

{displaystyle {binom {n}{t}}+{binom {n}{t+s}}+{binom {n}{t+2s}}+ldots ={frac {1}{s}}sum _{j=0}^{s-1}left(2cos {frac {pi j}{s}}right)^{n}cos {frac {pi (n-2t)j}{s}}}.

Также имеют место равенства:

{displaystyle {begin{alignedat}{2}{binom {n}{3}}&={frac {n(n-1)(n-2)}{color {Green}2}}-sum _{i=2}^{n-1}{(n-i)(n-i+1)}=\&=n(n-1)(n-2)-sum _{i=2}^{n-1}{(n-i)({color {Green}2}n-i+1)}=\&=3{binom {n}{3}}-2{binom {n}{3}};\end{alignedat}}}
{displaystyle {begin{alignedat}{2}{binom {n}{4}}&={frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{color {Green}2}}-sum _{i=3}^{n-1}{(n-i)left(n(n-1)-sum _{i_{0}=1}^{i-2}i_{0}right)}=\&=n(n-1)(n-2)(n-3)-sum _{i=3}^{n-1}{(n-i)left({color {Green}2}n(n-1)-sum _{i_{0}=1}^{i-2}i_{0}right)}=\&=24{binom {n}{4}}-23{binom {n}{4}};\end{alignedat}}}
{displaystyle {begin{alignedat}{2}{binom {n}{5}}&={frac {n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{color {Green}2}}-\&-sum _{i=4}^{n-1}{(n-i)left(n(n-1)(n-2)-sum _{i_{0}=1}^{i-3}sum _{i_{1}=1}^{i_{0}}i_{1}right)}=\&=n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)-\&-sum _{i=4}^{n-1}{(n-i)left({color {Green}2}n(n-1)(n-2)-sum _{i_{0}=1}^{i-3}sum _{i_{1}=1}^{i_{0}}i_{1}right)}=\&=120{binom {n}{5}}-119{binom {n}{5}}.end{alignedat}}}

Откуда следует:

{displaystyle {binom {n}{3}}={frac {sum limits _{i=2}^{n-1}{(n-i)(2n-i+1)}}{2}}={frac {sum limits _{i=2}^{n-1}{(n-i)left(2A_{n}^{1}-{binom {i-1}{1}}right)}}{2}};}
{displaystyle {binom {n}{4}}={frac {sum limits _{i=3}^{n-1}{(n-i)left(2n(n-1)-sum limits _{i_{0}=1}^{i-2}i_{0}right)}}{23}}={frac {sum limits _{i=3}^{n-1}{(n-i)left(2A_{n}^{2}-{binom {i-1}{2}}right)}}{23}};}
{displaystyle {begin{alignedat}{2}&{binom {n}{5}}={frac {sum limits _{i=4}^{n-1}{(n-i)left(2n(n-1)(n-2)-sum limits _{i_{0}=1}^{i-3}sum limits _{i_{1}=1}^{i_{0}}i_{1}right)}}{119}}=\&={frac {sum limits _{i=4}^{n-1}{(n-i)left(2A_{n}^{3}-{binom {i-1}{3}}right)}}{119}};\end{alignedat}}}
{displaystyle {binom {n}{k}}={frac {sum limits _{i=k-1}^{n-1}{(n-i)left(2A_{n}^{k-2}-{binom {i-1}{k-2}}right)}}{k!-1}}},

где A_{n}^{k} — количество размещений из n по k.

Матричные соотношения[править | править код]

Если взять квадратную матрицу, отсчитав N элементов по катетам треугольника Паскаля и повернув матрицу на любой из четырёх углов, то детерминант этих четырёх матриц равен ±1 при любом N, причём детерминант матрицы с вершиной треугольника в верхнем левом углу равен 1.

В матрице {begin{bmatrix}{tbinom  {i+j}{i}}end{bmatrix}} числа на диагонали {displaystyle i+j=mathrm {Const} } повторяют числа строк треугольника Паскаля ({displaystyle i,j=0,1,dots }). Её можно разложить в произведение двух строго диагональных матриц: нижнетреугольной и получаемой из неё транспонированием:

{displaystyle {begin{bmatrix}{binom {i+j}{i}}end{bmatrix}}=UU^{T}},

где U={begin{bmatrix}{tbinom  {i}{j}}end{bmatrix}}. Обратная матрица к U имеет вид:

{displaystyle U^{-1}={begin{bmatrix}(-1)^{i+j}{binom {i}{j}}end{bmatrix}}}.

Таким образом, можно разложить обратную матрицу к {begin{bmatrix}{tbinom  {i+j}{i}}end{bmatrix}} в произведение двух строго диагональных матриц: первая матрица — верхнетреугольная, а вторая получается из первой путём транспонирования, что позволяет дать явное выражение для обратных элементов:

{begin{bmatrix}{binom  {i+j}{i}}end{bmatrix}}_{{m,n}}^{{-1}}=sum _{{k=0}}^{{p}}(-1)^{{m+n}}{binom  {k}{m}}{binom  {k}{n}}, где i, j, m, {displaystyle n=0dots p}.

Элементы обратной матрицы меняются при изменении её размера и, в отличие от матрицы {begin{bmatrix}{tbinom  {i+j}{i}}end{bmatrix}}, недостаточно приписать новую строку и столбец. Столбец j матрицы {begin{bmatrix}{tbinom  {i+j}{i}}end{bmatrix}} есть многочлен степени j по аргументу i, следовательно, первые p столбцов образуют полный базис в пространстве векторов длины p+1, чьи координаты могут быть интерполированы многочленом равной или меньшей степени p-1. Нижняя строка матрицы {begin{bmatrix}{binom  {i+j}{i}}end{bmatrix}}_{{m,n}}^{{-1}} ортогональна любому такому вектору.

{begin{bmatrix}{binom  {i+j}{i}}end{bmatrix}}_{{p,n}}^{{-1}}=sum _{{k=0}}^{{p}}(-1)^{{p+n}}{binom  {k}{p}}{binom  {k}{n}}=(-1)^{{p+n}}{binom  {p}{n}}
sum _{{n=0}}^{{p}}(-1)^{{p+n}}{binom  {p}{n}}{P}_{{a}}(n)=0 при a<p, где {P}_{{a}}(n) многочлен степени a.

Если произвольный вектор длины p+1 можно интерполировать многочленом степени i<p, то скалярное произведение со строками i+1,i+2,dots ,p (нумерация с 0) матрицы {begin{bmatrix}{binom  {i+j}{i}}end{bmatrix}}_{{m,n}}^{{-1}} равно нулю.
Используя тождество выше и равенство единицы скалярного произведения нижней строки матрицы {begin{bmatrix}{binom  {i+j}{i}}end{bmatrix}}_{{m,n}}^{{-1}} на последний столбец матрицы {begin{bmatrix}{tbinom  {i+j}{i}}end{bmatrix}}, получаем:

{displaystyle sum _{n=0}^{p}(-1)^{p+n}{binom {p}{n}}{n}^{p}=p!}.

Для показателя большего p можно задать рекуррентную формулу:

{displaystyle sum _{n=0}^{p}(-1)^{p+n}{binom {p}{n}}{n}^{p+a}=p!{P}_{2a}(p)={f}_{a}(p)},

где многочлен

{displaystyle {P}_{2a+2}(p)=sum _{x=1}^{p}x{P}_{2a}(x);quad ageqslant 0;quad {P}_{0}(p)=1}.

Для доказательства сперва устанавливается тождество:

{displaystyle {f}_{a}(p+1)=sum _{x=0}^{a}{(p+1)}^{x+1}{f}_{a-x}(p)}.

Если требуется найти формулу не для всех показателей степени, то:

{displaystyle {P}_{2a}(p)={frac {p}{{2}^{a}}}{binom {p+a}{a}}{Q}_{a-1}(p);quad a>0}.

Старший коэффициент {Q}_{{a-1}}(p) равен 1, потребуется a-1 значений, чтобы найти другие коэффициенты:

{Q}_{{a-1}}(p)=p(p+1){T}_{{a-3}}(p) для {displaystyle aequiv 1{pmod {2}};ageqslant 3}.

Асимптотика и оценки[править | править код]

Непосредственно из формулы Стирлинга следует, что для alpha in (0;1) верно C_{n}^{{alpha n}}sim {sqrt  {{frac  {1}{2pi alpha (1-alpha )n}}}}left({{frac  {1}{alpha }}}right)^{{alpha n}}left({{frac  {1}{1-alpha }}}right)^{{(1-alpha )n}}=left({{frac  {1}{alpha ^{alpha }{(1-alpha )}^{{(1-alpha )}}}}+o(1)}right)^{{n}}.

Целозначные полиномы[править | править код]

Биномиальные коэффициенты {displaystyle {tbinom {x}{0}}=1,{tbinom {x}{1}}=x,{tbinom {x}{2}}={tfrac {x^{2}}{2}}-{tfrac {x}{2}}}, … являются целозначными полиномами от x, то есть принимают целые значения при целых значениях x, — это нетрудно понять, например, по треугольнику Паскаля. Более того, они образуют базис целозначных полиномов, в котором все целозначные полиномы выражаются как линейные комбинации с целыми коэффициентами.[1]

В то же время стандартный базис {displaystyle 1,x,x^{2}}, … не позволяет выразить все целочисленные полиномы, если использовать только целые коэффициенты, так как уже {displaystyle {tbinom {x}{2}}={tfrac {x^{2}}{2}}-{tfrac {x}{2}}} имеет дробные коэффициенты при степенях x.

Этот результат обобщается на полиномы многих переменных. А именно, если полином R(x_1, dots, x_m) степени k имеет вещественные коэффициенты и принимает целые значения при целых значениях переменных, то

{displaystyle R(x_{1},dots ,x_{m})=Pleft({binom {x_{1}}{1}},dots ,{binom {x_{1}}{k}},dots ,{binom {x_{m}}{1}},dots ,{binom {x_{m}}{k}}right)},

где P — полином с целыми коэффициентами.[2]

Алгоритмы вычисления[править | править код]

Биномиальные коэффициенты можно вычислить с помощью рекуррентной формулы {tbinom  {n}{k}}={tbinom  {n-1}{k}}+{tbinom  {n-1}{k-1}}, если на каждом шаге n хранить значения tbinom{n}{k} при {displaystyle k={overline {0,1,;ldots ,n}}}. Этот алгоритм особенно эффективен, если нужно получить все значения tbinom{n}{k} при фиксированном n. Алгоритм требует O(n) памяти (O(n^{2}) при вычислении всей таблицы биномиальных коэффициентов) и O(n^{2}) времени (в предположении, что каждое число занимает единицу памяти и операции с числами выполняются за единицу времени), где O — «o» большое.

При фиксированном значении k биномиальные коэффициенты могут быть вычислены по рекуррентной формуле {displaystyle {tbinom {n}{k}}={tfrac {n}{n-k}}cdot {tbinom {n-1}{k}}} с начальным значением {tbinom  {k}{k}}=1. Для вычисления значения tbinom{n}{k} этот метод требует O(1) памяти и O(n) времени.

Если требуется вычислить коэффициенты tbinom{n}{k} при фиксированном значении n, можно воспользоваться формулой {displaystyle {tbinom {n}{k}}={tfrac {n-k+1}{k}}cdot {tbinom {n}{k-1}}} при начальном условии {displaystyle {tbinom {n}{0}}=1}. При каждом шаге итерации числитель уменьшается на 1 (начальное значение равно n), а знаменатель соответственно увеличивается на 1 (начальное значение — 1). Для вычисления значения tbinom{n}{k} этот метод требует O(1) памяти и O(k) времени.

Примечания[править | править код]

  1. Прасолов В. В. Глава 12. Целозначные многочлены // Многочлены. — М.: МЦНМО, 1999, 2001, 2003. Архивная копия от 21 января 2022 на Wayback Machine
  2. Ю. Матиясевич. Десятая проблема Гильберта. — Наука, 1993.

Литература[править | править код]

  • Биномиальные коэффициенты // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
  • Фукс Д., Фукс М. Арифметика биномиальных коэффициентов // Квант. — 1970. — № 6. — С. 17—25.
  • Кузьмин О. В. Треугольник и пирамида Паскаля: свойства и обобщения // Соросовский Образовательный Журнал. — 2000. — Т. 6, № 5. — С. 101—109.
  • Ландо С. К. Теневое исчисление // VIII летняя школа «Современная математика». — Дубна, 2008.
  • Винберг Э. Б. Удивительные арифметические свойства биномиальных коэффициентов // Математическое просвещение. — 2008. — Вып. 12. — С. 33–42.
  • Дональд Кнут, Роналд Грэхем, Орен Паташник. Конкретная математика. Математические основы информатики = Concrete Mathematics. A Foundation for Computer Science. — 2-е. — М.: Мир; Бином. Лаборатория знаний; «Вильямс», 1998—2009. — 703, 784 с. — ISBN 95-94774-560-7, 78-5-8459-1588-7.

61

11. 1. Рекуррентные соотношения

Последовательность u0, u1, u2,… называют рекуррентной, если указана зависимость общего члена последовательности от предыдущих и заданы значения необходимого числа начальных членов. Саму зависимость иногда называют рекуррентностью.

Примерами рекуррентных последовательностей могут служить арифметические и геометрические прогрессии.

Члены геометрической прогрессии u0, u1, u2,… со знаменателем q связаны рекуррентным соотношением

un+1 = qun.

Члены

произвольной

арифметической

прогрессии

u0, u1, u2,… связаны рекуррентным соотношением

un+2 = 2un+1 un.

Последовательность

факториалов

1, 1, 2, 6, …, n!,…

определяется рекуррентным соотношением un+1 = (n + 1)un

(при u0 = 1).

Как рекуррентость может трактоваться формула

Ck+ = Ck 1 +Ck ,

n 1 n n

связывающая биномиальные коэффициенты.

В качестве еще одного примера рассмотрим задачу о разбиении плоскости прямыми.

62

Пусть Dn – число областей, на которые разбивают плоскость n прямых общего положения (таких, что никакие три из них не пересекаются в общей точке и никакие две прямые не параллельны). Ясно, что D0 = 1, D2 = 2. Предположим, что на плоскости уже проведено n прямых, и посмотрим, сколько новых областей добавляется при проведении «новой» n + 1-й прямой (рис. 1).

1

2

n +1

Рис. 1 Каждую область, по которой проходит эта прямая, она

рассекает на две, поскольку все области выпуклы. Таким образом, общее число областей увеличится на число областей, через которые проходит n + 1-я прямая. Двигаясь по n + 1-й прямой в одном направлении, мы пересечем границы областей n раз по числу «старых» прямых. Значит, n + 1-я прямая пройдет через n + 1 область (в последовательности область – граница – … – область – граница – область число областей на единицу больше, чем число границ).

В результате получаем рекуррентное соотношение

Dn+1 = Dn + (n + 1).

63

Чтобы найти замкнутое выражение для членов последовательности Dn, просуммируем следующие равенства:

D1 = D0 + 1;

D2 = D1 + 2;

………………

Dn = Dn–1 + n .

После сокращений получаем

Dn = D0 + 1 + 2 +…+n .

Следовательно,

Dn = 1 + n(n +1) . 2

11. 2. Линейные рекуррентные соотношения

Рекуррентная последовательность u0, u1, u2,… называется линейной, если ее члены связаны соотношением вида

un+r = a1un+r–1 + a2un+r–2 +…+ arun , (1)

где ai, i = 1, 2,…, r, – постоянные, не зависящие от n. Соотношение (1) называется линейным рекуррентным уравнением порядка r.

Например, члены геометрической прогрессии связаны линейным рекуррентным уравнением первого порядка:

un+1 = qun.

Члены арифметической прогрессии связаны линейным рекуррентным уравнением второго порядка:

un+2 = 2un+1 un.

64

Члены последовательности факториалов связаны нелинейным соотношением:

un+1 = (n + 1)un.

Еще один важный пример – рекуррентность, заданная линейным уравнением второго порядка

un+2 = un+1 + un.

Этому уравнению удовлетворяет последовательность чисел Фибоначчи F0, F1, F2, F3, которая получается, если положить F0 =0 и F1 =1:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …

Числа Фибоначчи имеют много важных приложений, в том числе в финансовом анализе. Изучению чисел Фибоначчи

посвящена следующая глава.

Последовательность

сумм.

Пусть

u0, u1, u2,… –

рекуррентная

последовательность,

удовлетворяющая

соотношению (1). Покажем, что последовательность сумм

s0 = u0,

s1 = u0 + u1,

…, sn = u0 + u1 +…+ un, …

также удовлетворяет некоторому линейному рекуррентному соотношению. Заметим сначала, что

un+1 = sn+1 sn , n = 0, 1, … .

С учетом этого рекуррентное соотношение, связывающее члены последовательности u0, u1, u2,…, перепишется следующим образом:

sn+r+1 sn+r =

= a1(sn+r sn+r–1) + a2(sn+r–1 sn+r–2) + …+ ar(sn+1 sn).

65

Отсюда

sn+r+1 =

= (1 + a1)sn+r +(a2 a1)sn+r–1+…+( ar ar–1)sn+1 arsn

(2)

Таким образом, последовательные суммы связаны рекуррентным соотношением порядка r + 1.

Примеры. 1. Для сумм членов геометрической прогрессии имеем:

sn+2 sn+1 = q(sn+1 sn),

откуда

sn+2 = (1 + q)sn+1 qsn.

2. Для сумм членов арифметической прогрессии имеем: sn+3 sn+2 = 2(sn+2 sn+1) – (sn+1 sn),

и, значит,

sn+3 = 3sn+2 – 3sn+1 + sn.

Последовательность степеней натуральных чисел. Начнем с последовательности квадратов:

u0 = 0, u1 = 1, u2 = 4,…, un = n2, … .

Члены этой последовательности удовлетворяют следующим соотношениям:

un+1 = un + 2n + 1; un+2 = un+1 + 2n + 3; un+3 = un+2 + 2n + 5.

Вычитая из второго уравнения первое, а из третьего второе, находим:

66

un+2 un+1 = un+1 un + 2;

un+3 un+2 = un+2 un+1 + 2.

Теперь, вычитая первое из полученных уравнений из второго, получаем рекуррентное соотношение

un+3 = 3un+2 – 3un+1 + un .

Подобно тому как это сделано для последовательности квадратов, несложно поверить, что последовательность кубов

u0 = 0, u1 = 1, u2 = 8,…, un = n3, …

удовлетворяет соотношению

un+4 = 4un+3 – 6un+2 + 4un+1 un.

В общем случае последовательность

u0 = 0, u1 = 1, u2 = 2r,…, un = nr, …

удовлетворяет соотношению порядка r + 1:

r +1

un+r+1 = (1)k 1Crk+1un+r +1k . (3)

k =1

Используя рекуррентные соотношения для степеней натуральных чисел, можно получить рекуррентные соотношения для сумм степеней.

Например, последовательность квадратов натуральных чисел удовлетворяет соотношению

un+3 = 3un+2 – 3un+1 + un .

Следовательно, последовательность сумм квадратов удовлетворяет соотношению

sn+4 = 4sn+3 – 6sn+2 + 4sn+1 sn.

67

11.3. Производящие функции линейных рекуррентных последовательностей

Наша ближайшая цель – определить, какой вид имеет производящая функция произвольной линейной рекуррентной последовательности.

Рассмотрим в качестве примера производящую функцию

последовательности чисел Фибоначчи:

F(z) = F0 + F1z + F2z2 + … .

(4)

Умножим F(z) на z и на z2:

zF(z)

= F0z + F1z2 + F2z3 + … ;

z2F(z)

=

F0z2 + F1z3 + F2z2 + … .

Так как F2 = F1 + F0; F3 = F2 + F1;… , то

zF(z) + z2F(z) = F0z + F2z2 + F3z3 + … .

Учитывая, что F0 = 0 и F1 =1, получаем:

z + zF(z) + z2F(z) = F(z).

Отсюда получается компактная формула:

F(z) =

z

.

(5)

1 z z2

Используя (5),

можно найти явные выражения для чисел

Фибоначчи. Начнем с того, что представим дробь из (5) в виде

z

=

A

+

B

.

(6)

1 z z2

1бz

1 вz

Тогда

A

= Az)n ;

B

= B z)n ,

1 бz

1 вz

n0

n0

68

и, значит,

1 zzz2 = An0z)n + Bn0z)n = n0( Aбn + Bвn )zn .

Таким образом,

Fn = Aαn + Bβn.

Чтобы найти неизвестные коэффициенты A, B, α и β, приведем дроби из (6) к общему знаменателю и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях z. Получаются следующие уравнения:

α + β = 1;

αβ = –1;

A + B = 0;

Aβ +Bα = –1.

Решая полученную систему, находим:

б =1+ 5 ; в =

15 ; A =

1

; B =

1 .

2

2

5

5

Окончательно получаем:

Fn =

1

n

n

(7)

1+

5

1

5

.

5

2

2

Пусть теперь

u0, u1, u2,… –

(8)

произвольная

рекуррентная

последовательность,

удовлетворяющая соотношению

un+r = a1un+r–1 + a2un+r–2 +…+ arun ,

(9)

и

f(z) = u0 + u1z + u2z2 +… –

69

ее производящая функция. Рассмотрим произведение f(z) на многочлен

h(z) = 1 – a1z a2z2 –…– arzr .

Коэффициент при zn+r равен

un+r a1un+r–1 a2un+r–2 –…– arun ,

и, значит, обращается в ноль в силу (9). Таким образом, в произведении h(z)f(z) все коэффициенты при степенях z, больших или равных r, обращаются в ноль, т. е. g(z) = h(z)f(z) –

это многочлен степени не выше чем r – 1. Производящая функция последовательности (8) оказывается равной дробно-

рациональной функции f (z) = gh((zz)) .

Примеры. 1. Для геометрической прогрессии со

знаменателем q имеем

f(z) = u0 + u0qz + u0qz2 +…;

h(z) = 1 – qz; h(z)f(z) = u0 ,

откуда получается хорошо известная формула:

f(z) =1 u0qz .

2.Пусть теперь u0, u1, u2,… – арифметическая прогрессия.

Так как un+2 = 2un+1 un , то

h(z) = 1 – 2z + z2

и

h(z)f(z) = u0 + (u1 – 2u0)z2.

Следовательно,

70

f (z) =

u0 +(u1 2u0 )z

.

(10)

(1z)2

Рассмотрим,

в

частности,

последовательность

положительных

целых

чисел

1, 2, 3, … .

Запишем ее

производящую функцию:

f(z) = 1 + 2z + 3z2 + … .

(11)

По формуле (10) получаем:

f (z) =

1

.

(12)

(1

z)2

К тому же результату можно придти по-другому. Ряд (11) получается как производная ряда

z + z2 + z3+ … ,

сумма которого (как сумма геометрической прогрессии) равна

1 z

Дифференцируя (13), получаем (12).

Наряду с многочленом h(z) рассмотрим многочлен k(z) = zr a1zr–1 a2zr–2 –…– ar,

называемый характеристическим (для последовательности, члены которой удовлетворяют рекуррентному соотношению (1)).

Многочлены h(z) и k(z) связаны простым соотношением: h(z) = zrk(1/z).

Пусть α1, α2, …, αs – корни характеристического многочлена (возможно, комплексные) с кратностями p1, p2, …, ps. Тогда

71

k(z) = (z б1) p1 (z б2 ) p2 K(z бs ) ps ,

и, соответственно,

h(z) = (1 б z) p1 (1 б

2

z) p2 K(1 б

s

z) ps .

1

Рациональная функция

f (z) =

g(z)

может быть представлена в

h(z)

виде суммы простых дробей вида

в

,

(14)

(1 бz) p

где α = αi – один из корней характеристического многочлена, p

лежит в

промежутке от

1 до pi, а β – некоторое число.

Разлагая (14) по формуле бинома, получаем:

в

p

=

в

(1)n бn zn .

(1 бz) p

n0

n

Относительно n выражение

p

(1)n = Cn

= C p 1

(1)n = (1)n Cn

p +n1

p +n1

p +n1

n

является многочленом степени не выше p – 1 и, тем более, не выше pi – 1. Следовательно, сумма всех дробей вида (14),

относящихся к одному и тому же корню α = αi, может быть

представлена в виде Pi (nin zn , причем степень многочлена

n0

Pi(n) не превышает pi – 1. Суммируя по всем i = 1, 2, …, s, получаем:

f (z) = n0 i=s1 Pi (n)αin zn .

72

Сравнивая полученное выражение с

f(z) = u0 + u1z + u2z2 +… ,

приходим к заключению, что

i=1

Пример. Рассмотрим последовательность 6, 0, 12, … , удовлетворяющую рекуррентному соотношению

un+3 = 3un+1 + 2un.

Многочлен

k(z) = z3 –3z – 2

является характеристическим для этой последовательности. Раскладывая его на множители получаем:

k(z) = (z + 1)2(z – 2).

Следовательно, члены рассматриваемой последовательности имеют вид

un = P(n) (–1)n + Q 2n ,

где P(n) – многочлен степени не выше первой, а Q – степени не выше нулевой (т. е. ноль или некоторое число).

Будем искать un

в виде

un = (An + B) (–1)n + Q 2n .

Поскольку u0 = 6,

u1 = 0, u2 = 12,

получаем следующие

уравнения относительно A, B и Q:

B + Q = 6; –(A + B) + 2Q = 0;

2A + B + 4Q = 12.

Решая систему, находим:

73

A = 0; B = 4; Q = 2.

Следовательно,

un = (–1)n 4 + 2n+1.

Пример. Используя (15), найдем формулу для суммы квадратов первых n натуральных чисел.

Суммы квадратов связаны рекуррентным соотношением

sn+4 = 4sn+3 – 6sn+2 + 4sn+1 sn.

Характеристический многочлен последовательности сумм квадратов

k(z) = z4 – 4z3 + 6z2 – 4z +1 = (z – 1)4

имеет единственный корень 1 кратности четыре. Следовательно, sn представимо в виде

sn = An3 + Bn2 + Cn +D.

Так как

s0 = 0, s1 = 1, s2 = 5, s3 = 14,

то

D = 0;

A + B + C = 1;

8A + 4B + 2C = 5;

27A + 9B + 3C = 14.

Вычисляем определитель системы уравнений, содержащих неизвестные A, B, C, и определители, соответствующие

переменным:

1

1

1

1

1

1

8

4

2

5

4

2

= −4 ;

∆ =

= −12 ; A =

27

9

3

9

3

14

Добавить комментарий