Как найти коэффициент прямой линейной функции

На этой странице вы узнаете:

• За что отвечают коэффициенты в записи линейной функции?
• Как пронумерованы четверти на координатной плоскости?
• Чем отличается график функции квадратного корня от графика квадратичной функции и почему?

Линейная функция

Любую функцию можно изобразить на графике (рисунке) и наглядно определить многие её свойства. Этим пользуются люди, составляя графики движения транспорта, посещения соцсетей или просмотра видеороликов на канале.  

Вспомним, что функция – это зависимость одной переменной от другой, а график функции – это представление данной зависимости на координатной плоскости. 

С помощью графика функции можно изучать поведение функции: возрастает или убывает, имеет ли нули, на каких промежутках значения положительные, а на каких отрицательные, наибольшее и наименьшее значение, является ли симметричной относительно OY.

Теперь давайте рассмотрим основные элементарные функции.

Что же такое линейная функция? 

Линейная функция – это функция вида y=kx+b, где k и b – известные числа, графиком которой является прямая.

y = kx + b, где
k – коэффициент
b – свободный член
x – переменная 

С линейной функцией мы встречаемся, когда оплачиваем проезд  в общественном транспорте.

Коэффициент и переменная определяют стоимость билета в зависимости от дальности поездки. Свободным членом может выступать доплата за комфортное место или за поезд-экспресс.

Пункт назначения	Станция 200 км	Станция 300 км	Станция 400 км
Цена поездки в обычном вагоне (kx)	500 руб.	750 руб.	1000 руб.
Цена за вагон “Люкс” (kx + b)	750 руб.	1000 руб.	1250 руб.

Рассмотрим пример такой функции и ее график:
y = 2x + 3

Составим таблицу значений.

Теперь отметим найденные точки на координатной плоскости и проведём через них прямую.

Полученный нами график является графиком данной линейной функции.

Также можно составить уравнение линейной функции самостоятельно при наличии графика.

На графике найдем сначала коэффициент b , после определим координаты двух произвольных точек прямой и вычислим коэффициент k.

Подставим найденные коэффициенты в формулу линейной функции и получим
(y = frac{1}{2}x + 2)

Свойства линейной функции:

1. Область определения: D(y) = (-∞; +∞)
2. Область значений функции: E(y) = (-∞; +∞)
3. Наименьшего и наибольшего значения не существует.
4. Непериодическая.
5. Возрастает при  k > 0, убывает при k < 0.

Квадратичная функция

Квадратичная функция – это функция вида y = ax², где a – известное число и a ≠ 0, графиком которой является парабола.

y = ax², где 
a – известное число 
a ≠ 0
x – переменная

Для примера построим график функции y = 2x²

Параболой можно описать полет мяча в баскетбольную корзину.

Какой вид имеет парабола в зависимости от коэффициента a ?

При a > 0 – ветви параболы вверх

При a < 0 – ветви параболы вниз

Сдвиг параболы по оси Y

y = ax² + c

При c > 0 – сдвиг параболы вверх 

При c < 0 – сдвиг параболы вниз 

Сдвиг параболы по оси X

y = a(x — n)²

При n > 0 – сдвиг параболы вправо 

При n < 0 – сдвиг параболы влево 

Свойства квадратичной функции:

1. Область определения: D(y) = (-∞; +∞)
2. Область значений функции: E(y) = [0; +∞)
3. При a > 0 – наименьшее значение y = 0.
   При a < 0 – наибольшее значение y=0.
4. Непериодическая.
5. На (-∞; 0] – убывает при  a > 0 и возрастает при a < 0.
   На [0; +∞) — убывает при a < 0 и возрастает при a > 0.
6. Нуль функции x=0.
7. Четная (симметричная относительно OY).

Функция обратной пропорциональности

Функция обратной пропорциональности – это функция вида y = (frac{k}{x}), где k – известное число и k ≠ 0, графиком которой является гипербола.

(y = frac{k}{x}), где 
k – известное число 
k ≠ 0
x – переменная

Рассмотрим пример такой функции (y = frac{2}{x})

Как коэффициент k влияет на расположение гиперболы?

Гипербола при k > 0 – в первой и третьей плоскостях

Гипербола при k< 0 – во второй и четвертой плоскостях

Гипербола может также двигаться по оси X или по оси Y

Движение графика по оси Y

(y = frac{k}{x} + n) при k> 0

При n < 0, сдвиг вниз
При n > 0, сдвиг вверх

По графику выше можно сделать вывод, что n = 3.

Движение графика по оси X

(y = frac{k}{x + c}) при k> 0

При c < 0, сдвиг вправо
При c > 0, сдвиг влево

По графику выше можно сделать вывод, что c = 3.

Свойства функции обратной пропорциональности:

1. Область определения: D(y) = (-∞; 0) U (0; +∞)
2. Область значений функции: E(y) = (-∞; 0) U (0; +∞)
3. Наименьшего и наибольшего значений не существует.
4. Непериодическая.
5. При k > 0 убывает на (-∞;0) и (0; +∞).
   При k < 0 возрастает на (-∞; 0) и (0; +∞).
6. Нулей нет.
7. Нечетная.

Где же в реальной жизни мы можем встретить эту функцию? 

Самый простой пример – движение автомобиля: чем выше его скорость, тем меньше времени потребуется, чтобы преодолеть одно и то же расстояние.

Функция квадратного корня

Функция квадратного корня – это функция вида (y = sqrt{x}), где x ≥ 0 .

(y = sqrt{x}), где
x – переменная
x ≥ 0

В жизни такая функция часто используется для определения стороны квадрата при известной площади. Например: при проектировании дома или разбиения участка земли на квадраты.

Рассмотрим график такой функции.

Какие бывают сдвиги функции квадратного корня?

Сдвиг по оси Y

(y = sqrt{x} + n)

При n < 0, сдвиг вниз
При n > 0, сдвиг вверх

По графику выше можно утверждать, что n = -2.

Сдвиг по оси X

(y = sqrt{x + c})

При c < 0, сдвиг вправо
При c > 0, сдвиг влево

Сделаем вывод, что для рисунка выше c = -2.

Свойства функции квадратного корня:

1. Область определения: D(y) = [0; +∞)
2. Область значений функции: E(y) = [0; +∞)
3. Наименьшее значение при y = 0.
4. Непериодическая.
5. Возрастает на всей области определения.
6. Нуль функции x = 0.

Фактчек

• Линейная функции y = kx + b.
• Квадратичная функции y = ax².
• Функция обратной пропорциональности (y = frac{k}{x}).
• Функция квадратного корня (y = sqrt{x}).

Термины

Элементарная функция – это функция вида y = f(x) , где f(x) – это формула, содержащая конечное число арифметических операций. 

Парабола – это незамкнутая линия, точки на которой равноудалены от оси ординат.

Проверь себя

Задание 1.
Определите какая из функций является линейной

1. (y = 2x^2 + frac{1}{2})
2. (y = sqrt{x + 2})
3. (y = frac{1}{2}x + 3)
4. (y = frac{1}{x — 2})

Задание 2.
Определите какая из функций является квадратичной

1. y = 4(x — 1)²
2. y = 2x + 11
3. (y = frac{x}{2} + 1)
4. (y = sqrt{x} + 3)

Задание 3.
Определите какая функция является обратной пропорциональностью

1. (y = frac{x}{2} + 5)
2. (y = frac{1}{x + 2})
3. (y = sqrt{x + 1})
4. y = x²

Задание 4.
Определите какая функция является функцией квадратного корня

1. y = x²
2. (y = sqrt{x — 1} — 4)
3. (y = 6x + frac{1}{3})
4. y = 2x² + 3

Задание 5.
В какую сторону будет сдвиг у параболы y = (x + 4)²?

1. Вправо
2. Вниз
3. Вверх
4. Влево

Ответы: 1. – 3; 2. – 1; 3. – 2; 4. – 2; 5. – 4

В новой 9 задаче профильного ЕГЭ много заданий на линейные функции. Самое сложное, что нужно сделать, решая эти задачи – определить формулу линейной функции, т.е. найти (k) и (b) по графику. Примеры таких заданий (решения будут внизу статьи):

В статье я расскажу про два простых способа найти (k) и (b), если известен график линейной функции.

Способ 1

Первый способ основывается на трех фактах:

1. Линейная функция пересекает ось (y) в точке (b).
   Примеры:

   

   Но не советую определять так (b), если прямая пересекает ось не в целом значении или если точка пересечения вообще не видна на графике. Для таких случаев пользуйтесь вторым способом.

   Примеры:

   

2. Если функция возрастает, то знак коэффициента (k) плюс, если убывает – минус, а если постоянна, то (k=0).

   Примеры:

   

3. Чтоб конкретнее определить (k) надо построить на прямой прямоугольный треугольник так, чтобы гипотенуза лежала на графике функции, а вершины треугольника совпадали с вершинами клеточек. Далее, чтоб определить (k) нужно вертикальную сторону треугольника поделить на горизонтальную и поставить знак согласно возрастанию/убыванию функции.

   Примеры:

   

Пример (ЕГЭ)

Давайте пока что не будем искать формулу иррациональной функции, сосредоточимся только на линейной функции.

(b=3) – это сразу видно. Функция идет вниз, значит (k<0).

Достроим прямую до прямоугольного треугольника. Вершинами будут жирные точки, которые нам дали в задаче.

(k=-frac{AC}{BC}=-frac{1}{3}). Получается (g(x)=-frac{1}{3}x+3).

Способ 1 быстрее способа 2, но не во всех ситуациях помогает. Поэтому важно владеть и вторым способом тоже.

Способ 2

Вы обращали внимание, что в задачах ЕГЭ на прямых всегда жирно выделяют 2 точки? Так вот, чтобы найти формулу линейной функции, достаточно подставить координаты этих точек в формулу (f(x)=kx+b) и решить получившуюся систему уравнений.

Пример (ЕГЭ)

Обозначим жирные точки какими-нибудь буквами и найдем их координаты.

(A(-2;2)) и (B(2;-5)) подставим эти значения вместо (x) и (f(x)) в формулу (f(x)=kx+b):

Получим:

(begin{cases}2=-2k+b\-5=2k+bend{cases})

Теперь найдем (k) и (b), решив эту систему.

Для этого сложим уравнения друг с другом, чтобы исчезло (k):

(2+(-5)=-2k+b+2k+b)
(-3=2b)
(b=-1,5)

Теперь подставим найденное (b) во второе уравнение системы и найдем (k):

(-5=2k-1,5)
(-5+1,5=2k)
(-3,5=2k)
(k=-1,75)

Получается (f(x)=-1,75x-1,5). Остается последний шаг – вычислим при каком иксе функция, то есть (f(x)), равна (16):

(16=-1,75x-1,5)
(17,5=-1,75x)
(x=-10).

Ответ: (-10).

Пример (ЕГЭ)

Чтоб решить задачу, нам понадобятся формулы каждой из двух функций. Давайте формулу нижней функции найдем с помощью способа 1, а формулу верхней с помощью способа 2. Начнем с нижней функции.

Функция (f(x)) возрастает, значит (k>0). (k=+frac{AC}{BC}=frac{4}{4}=1,b=1). (f(x)=x+1).

Теперь перейдем к функции (g(x)). Найдем координаты точек (D) и (E): (D(-2;4)), (E(-4;1)). Можно составить систему:

(begin{cases}4=-2k+b\1=-4k+bend{cases})

Вычтем второе уравнение из первого, чтоб убрать (b):

(4-1=-2k+b-(-4k+b))
(3=2k)
(k=1,5)

Найдем (b):

(4=-2cdot 1,5+b)
(4=-3+b)
(b=7)

(g(x)=1,5x+7). Обе функции найдены, теперь можно найти абсциссу (икс) точки пересечения. Приравняем (f(x)) и (g(x)).

(x+1=1,5x+7)
(x-1,5x=7-1)
(-0,5x=6)
(x=6:(-0,5))
(x=-12).

Ответ: (-12).

Картинку в хорошем качестве, можно скачать нажав на кнопку “скачать статью”.

Смотрите также:
Как определить a, b и c по графику параболы

Скачать статью

Была ли эта статья полезной?

На прошлых уроках мы рассмотрели линейную функцию и научились строить ее график на координатной плоскости. На этом уроке мы углубимся в теорию и разберем, почему график выглядит именно так.

Вспомним, что линейная функция имеет вид $y = kx+b$, где $x$ – переменная, а $k$ и $b$ – некоторые числа, называемые коэффициентами.

Например,

• $y = textcolor{blue}{5}x + color{green}{10}$ – линейная функция
• $color{blue} k = 5$
• $color{green} b = 10$.

График линейной функции – прямая линия, а ее положение на плоскости зависит от того, какие у функции $k$ и $b$.

Коэффициент $k$ называют угловым, так как он показывает угол наклона линейной функции на графике относительно оси $Ox$

Коэффициент b

Коэффициент $b$ называют свободным. На графике он показывает длину отрезка, который отсекает линия функции по оси ординат относительно начала координат. 

Другими словами, коэффициент $b$ показывает, насколько график выше или ниже оси $Oy$.

• Если $b > 0$, график сдвинут вверх,
• если $b < 0$, то график сдвинут вниз.

На нашем графике функции из примера про копилку видно, что прямая пересекает ось $Oy$ выше начала координат на $500$ единиц (этому числу и равен коэффициент $b$).

Частные случаи. b = 0

Если коэффициент $b = 0$, функция приобретает вид $y = kx + 0$, что можно сократить до $y = kx$.

Подставим в формулу $x = 0$, получим: $$y = k times 0$$

Значит, график будет проходить через начало координат $O(0;0)$.

Для построения графика функции вида $y = kx$ достаточно найти одну точку, вторая – начало координат.

k = 0

Если коэффициент $k = 0$, угол наклона также будет равен $0$.

Функция при этом принимает вид $y = 0 times x + b$, то есть $y = b$.

Куда делась переменная $x$? Она нам больше не нужна, так как какой бы $x$ мы не подставили, значение $y$ не изменится.

Таблица

Линейная функция

Но сначала официальное определение «Функции» – теперь ты его поймешь. Держи в уме: деньги – зарплата, вес – круассаны, расстояние – время.

Функция – это правило, по которому каждому элементу одного множества (аргументу) ставится в соответствие некоторый (единственный!) элемент другого множества (множества значений функции).

То есть, если у тебя есть функция ( y=fleft( x right)), это значит что каждому допустимому значению переменной ( x) (которую называют «аргументом») соответствует одно значение переменной ( y) (называемой «функцией»).

Что значит «допустимому»?

Все дело в понятии «область определения»: для некоторых функций не все аргументы «одинаково полезны» — не все можно подставить в зависимость.

Например, для функции ( y=sqrt{x}) отрицательные значения аргумента ( x) – недопустимы.

Ну и вернемся, наконец, к теме данной статьи.

Линейной называется функция вида ( y=kx+b), где ( k) и ( b) ­– любые числа (они называются коэффициентами).

Другими словами, линейная функция – это такая зависимость, что функция прямо пропорциональна аргументу.

Как думаешь, почему она называется линейной?

Все просто: потому что графиком этой функции является прямая линия. Но об этом чуть позже.

Как уже говорилось в теме «Функции», важнейшими понятиями, связанными с любой функцией, являются ее область определения ( Dleft( y right)) и область значений ( Eleft( y right)).

Область значений линейной функции

Тут тоже все просто: поскольку функция прямо пропорциональна аргументу, то чем больше аргумент ( x), тем больше значение функции ( y).

Значит, ( y) так же как и ( x) может принимать все возможные значения, то есть ( Eleft( y right)=mathbb{R}), верно?

Верно, да не всегда. Есть такие линейные функции, которые не могут принимать любые значения. Как думаешь, в каком случае возникают ограничения?

Вспомним формулу: ( y=kx+b). Какие нужно выбрать коэффициенты ( k) и ( b), чтобы значение функции y не зависело от аргумента ( x)?

А вот какие: ( b) – любое, но ( k=0). И правда, каким бы ни был аргумент ( x), при умножении на ( k=0) получится ( 0)!

Тогда функция станет равна ( y=0cdot x+b=b), то есть она принимает одно и то же значение при всех ( x):

( y = kx + b:{rm{ }}left[ begin{array}{l}Eleft( y right) = mathbb{R}{rm{ при }}k ne 0\Eleft( y right) = left{ b right}{rm{ при }}k = 0.end{array} right.)

Теперь рассмотрим несколько задач на линейную функцию.

График линейной функции

Как я уже упоминал ранее, график такой функции – прямая линия.

Как известно из геометрии, прямую можно провести через две точки (то есть, если известны две точки, принадлежащие прямой, этого достаточно, чтобы ее начертить).

Предположим, у нас есть функция линейная функция ( y=2x+1). Чтобы построить ее график, нужно вычислить координаты любых двух точек.

То есть нужно взять любые два значения аргумента ( x) и вычислить соответствующие два значения функции.

Затем для каждой пары ( left( x;y right)) найдем точку в системе координат, и проведем прямую через эти две точки.

Проще всего найти функцию, если аргумент ( x=0:yleft( 0 right)=2cdot 0+1=1).

Итак, первая точка имеет координаты ( left( 0;1 right)).

Теперь возьмем любое другое число в качестве ( x), например, ( x=1:yleft( 1 right)=2cdot 1+1=3).

Вторая точка имеет координаты ( left( 1;3 right)).

Ставим эти две точки на координатной плоскости:

Теперь прикладываем линейку, и проводим прямую через эти две точки:

Вот и все, график построен!

Давай теперь на этом же рисунке построим еще два графика: ( y={x} -1) и ( y=-x+2).

Построй их самостоятельно так же: посчитай значение y для любых двух значений ( x), отметь эти точки на рисунке и проведи через них прямую.

Должно получиться так:

Коэффициенты линейной функции

Для начала выясним, что делает коэффициент ( displaystyle b). Рассмотрим функцию ( displaystyle y=x+b), то есть ( displaystyle k=1).

Меняя ( displaystyle b) будем следить, что происходит с графиком.

Итак, начертим графики для разных значений ( displaystyle b:b=-2,text{ -}1,text{ }0,text{ }1,text{ }2):

Что ты можешь сказать о них? Чем отличаются графики?

Это сразу видно: чем больше ( displaystyle b), тем выше располагается прямая.

Более того, заметь такую вещь: график пересекает ось ( displaystyle mathbf{y}) в точке с координатой, равной ( displaystyle mathbf{b})!

И правда. Как найти точку пересечения графика с осью ( displaystyle y)? Чему равен ( displaystyle x) в такой точке?

В любой точке оси ординат (это название оси ( displaystyle y), если ты забыл) ( displaystyle x=0).

Значит достаточно подставить ( displaystyle x=0) в функцию, и получим ординату пересечения графика с осью ( displaystyle y):

Построим графики для ( displaystyle k=-3,text{ -}1,text{ }0,text{ }1,text{ }2:)

Так, теперь ясно: ( displaystyle k) влияет на наклон графика.

Чем больше ( displaystyle k) по модулю (то есть несмотря на знак), тем «круче» (под большим углом к оси абсцисс – ( displaystyle Ox)) расположена прямая.

Если ( displaystyle k>0), график наклонен «вправо», при ( displaystyle k<0) – «влево». А когда ( displaystyle k=0), прямая располагается вдоль оси абсциссс.

Давай разбираться. Начертим новый график ( displaystyle y=kx+b):

Выберем на графике две точки ( displaystyle A) и ( displaystyle B). Для простоты выберем точку ( displaystyle A) на пересечении графика с осью ординат. Точка ( displaystyle B) – в произвольном месте прямой, пусть ее координаты равны ( displaystyle left( x;y right)).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ( displaystyle ABC), построенный на отрезке ( displaystyle AB) как на гипотенузе.

Из рисунка видно, что ( displaystyle AC=x), ( displaystyle BC=y-b).

Подставим ( displaystyle y=kx+b) в ( displaystyle BC:BC=y-b=kx+b-b=kx).

Получается, что ( BC = k cdot AC{rm{ }} Rightarrow {rm{ }}k = frac{{BC}}{{AC}} = {mathop{rm tg}nolimits} alpha ).

Итак, коэффициент ( displaystyle k) равен тангенсу угла наклона графика, то есть угла между графиком и осью абсциссс.

Именно поэтому его (коэффициент ( displaystyle k)) обычно называют угловым коэффициентом.

В случае, когда ( k < 0,{mathop{rm tg}nolimits} alpha < 0,) что соответствует тупому углу:

Если же ( displaystyle k=0), тогда и ( {mathop{rm tg}nolimits} alpha = 0,) следовательно ( displaystyle alpha =0), то есть прямая параллельна оси абсцисс.

Понимать геометрическое значение коэффициентов очень важно, оно часто используется в различных задачах на линейную функцию.