Как найти коэффициент разности

Калькулятор коэффициента разности

Этот калькулятор позволит вам вычислить коэффициент разности для любой допустимой функции, которую вы предоставляете, показывая все шаги. Убедитесь, что вы предоставляете допустимую функцию, которая не приводит к какой-либо двусмысленности, расставляя скобки в правильных местах, чтобы избежать непреднамеренных вычислений.

Например, f(x) = sin 2 x – 2 неоднозначно, потому что вы можете иметь в виду sin(2) * x -2, или sin(2x)-2, или sin(2x-2), которые все разные. Так что это зависит от того, где вы ставите скобки. Если вы не поместите круглые скобки, система интерпретирует f(x) = sin 2 x – 2 как f(x) = (sin(2))*x – 2, что, скорее всего, не так, как предполагалось.

Затем, когда будет предоставлена действительная функция, вам нужно нажать “Рассчитать”, чтобы получить все шаги, показанные для расчета разности коэффициентов.

Коэффициенты разности очень важны, поскольку они тесно связаны с

расчет производных

, и они имеют геометрическую интерпретацию наклона секущей, а также

Средняя скорость изменения

.

Формула коэффициента разности

Коэффициент разности — это то, что вы вычисляете для заданной функции (f(x)). Формула разности частных

[ displaystyle frac{f(x+h)-f(x)}{h} ]

Это похоже на что-то, что вы знаете? Конечно, это похоже на производную формулу, только без ограничения. Так когда

вычисление производных

на самом деле вы сначала вычисляете коэффициент разности, а затем берете предел, который (h) приближается к 0.

Этапы расчета разностных коэффициентов

• 
  Шаг 1:
  
  Четко определите функцию f(x), с которой вы хотите работать. Прежде чем двигаться дальше, убедитесь, что функция правильно определена.
• 
  Шаг 2:
  
  Как только вы узнаете, что f(x) допустимо, вы оцениваете функцию при двух общих значениях x + h и x и вычисляете разницу f(x+h) – f(x)
• 
  Шаг 3:
  
  Затем разделите то, что вы нашли выше, на h, чтобы получить (f(x+h)-f(x))/h, что является коэффициентом разности
• 
  Шаг 4:
  
  Максимально упростите выражение, которое вы нашли выше.

Разностное частное обычно вычисляется с точки зрения вычисления производной, но не всегда, так как часто вы собираетесь использовать его как среднюю скорость изменения функции, когда значение аргумента изменяется от x до x. +ч.

Использование калькулятора коэффициента разности

Этот калькулятор коэффициента разности шаг за шагом покажет вам, что необходимо для получения конечного результата, от установки члена частного до упрощения конечного выражения.

Обратите внимание, что существует альтернативная форма, которая

[ displaystyle frac{f(x)-f(a)}{x-a} ]

но, естественно, вы видите, что если вы определяете (h = x-a), у вас есть (x = a+h), и вы попадаете в исходную форму.

Зачем вам нужны коэффициенты разности?

Как мы говорили в предыдущем разделе, коэффициенты разности — это, по сути, расчет преамбулы, необходимый для дифференциации функций. Тогда они играют очень важную роль.

Кроме того, возможность получения упрощенного разностного отношения позволит найти предел, определяющий производную, всякий раз, когда основной

Правила производных

не применяются, и мы вынуждены вычислять производную вручную.

Пример: вычисление разностного отношения функции

Найдите коэффициент разности: (f(x) = x^2 + 2x – 4)

Решение:

чем завершается расчет.

Пример: разностное частное квадратного корня

Найдите коэффициент разности : (f(x) = sqrt x)

Отвечать:

Просто подставив значения (x+h) и (x) в функцию, мы получим

[ displaystyle frac{f(x+h)-f(x)}{h} = displaystyle frac{sqrt{x+h}-sqrt x}{h} ]

Рационализация:

[ displaystyle frac{(sqrt{x+h}-sqrt x)(sqrt{x+h}+sqrt x)}{h(sqrt{x+h}+sqrt x)} ]

[ = displaystyle frac{x+h-x}{h(sqrt{x+h}+sqrt x)} ]

[ = displaystyle frac{h}{h(sqrt{x+h}+sqrt x)} ]

чем завершается расчет.

Больше решателей исчисления

Один из самых полезных инструментов, которые вы найдете для исчисления, — это

производный калькулятор

, который вычислит для вас производную, показывающую все шаги. Почти все, что вы делаете в исчислении, связано с вычислением производных.

Тесно связанный с коэффициентом разности, у вас есть представление о

Касательная линия

, что отражает некоторый мгновенный разностный коэффициент.

The difference quotient formula is part of the definition of a function’s derivative. The derivative of a function is obtained by applying the limit as the variable h goes to 0 to the difference quotient of a function. Let’s take a look at the difference quotient formula as well as its derivation.

Difference Quotient Formula

In single-variable calculus, the difference quotient is the term given to the formula that, when h approaches zero, produces the derivative of the function f. The Difference Quotient Formula is used to calculate the slope of a line that connects two locations. It’s also utilized in the derivative definition.

The difference quotient formula of a function y = f(x) is given by,

where,

f (x + h) is evaluated by substituting x as x + h in f(x),

f(x) is the given function.

Derivation

Consider the function y = f(x) and a secant line that passes through two points on the curve (x, f(x)) and (x + h, f(x + h)). It is depicted as a curve below:

Using the slope formula , the slope of the secant line is,

This proves the difference quotient formula.

Sample Problems

Question 1. Find the difference quotient of the function f(x) = x – 3.

Solution:

Use the difference quotient formula for f(x) = x – 3.

D = [ f(x + h) – f(x) ] / h

= [ (x + h) – 3 – (x – 3) ] / h

= [ x + h – 3 – x + 3 ] / h

= h/ h

= 1

Question 2. Find the difference quotient of the function f(x) = 4x – 1.

Solution:

Use the difference quotient formula for f(x) = 4x – 1.

D = [ f(x + h) – f(x) ] / h

= [ 4(x + h) – 1 – (4x – 1) ] / h

= [ 4x + 4h – 1 – 4x + 1 ] / h

= 4h/ h

= 4

Question 3. Find the difference quotient of the function f(x) = 7x – 2.

Solution:

Use the difference quotient formula for f(x) = 7x – 2.

D = [ f(x + h) – f(x) ] / h

= [ 7(x + h) – 2 – (7x – 2) ] / h

= [ 7x + 7h – 2 – 7x + 2 ] / h

= 7h/ h

= 7

Question 4. Find the difference quotient of the function f(x) = x² – 4.

Solution:

Use the difference quotient formula for f(x) = x² – 4.

D = [ f(x + h) – f(x) ] / h

= [ (x + h)² – 4 – (x² – 4) ] / h

= [ x² + h² + 2xh – 4 – x² + 4 ] / h

= (h² + 2xh)/ h

= h (h + 2x)/h

= h + 2x

Question 5. Find the difference quotient of the function f(x) = 3x² – 5.

Solution:

Use the difference quotient formula for f(x) = 3x² – 5.

D = [ f(x + h) – f(x) ] / h

= [ 3(x + h)² – 5 – (3x² – 5) ] / h

= [ 3(x² + h² + 2xh) – 3x² + 5 ] / h

= (3x² + 3h² + 6xh – 5 – 3x² + 5)/h 

= (3h² + 6xh)/h

= 3h (h + 2x)/h

= 3(h + 2x)

Question 6. Find the difference quotient of the function f(x) = x/2.

Solution:

Use the difference quotient formula for f(x) = x/2.

D = [ f(x + h) – f(x) ] / h

= [ (x + h)/2 – x/2 ] / h

= [ (x + h – x)/2 ] / h

= (h/2) / h

= 1/2

Question 7. Find the difference quotient of the function f(x) = log x.

Solution:

Use the difference quotient formula for f(x) = log x.

D = [ f(x + h) – f(x) ] / h

= [ log(x + h) – log x ] / h

Use the quotient property log a – log b = log (a/b).

= log [ (x + h)/h ]/ h

Last Updated :
24 Feb, 2022

Like Article

Save Article

В одной переменной исчисление, то коэффициент разницы обычно это имя выражения

который, когда его доставили в предел в качестве час приближается к 0 дает производная из функция ж.^[1][2][3][4] Название выражения связано с тем, что это частное из разница значений функции на разность соответствующих значений ее аргумента (последний равен (Икс+час)-Икс=час в этом случае).^[5][6] Коэффициент разницы – это мера средний скорость изменения функции над интервал (в данном случае интервал длины час).^{[7][8]:237[9]} Таким образом, предел разностного отношения (т. Е. Производной) равен мгновенный скорость изменения.^[9]

Путем небольшого изменения обозначений (и точки зрения) для интервала [а, б], коэффициент разности

называется^[5] среднее (или среднее) значение производной от ж на интервале [а, б]. Это название оправдано теорема о среднем значении, который утверждает, что для дифференцируемая функция ж, его производная f ′ достигает своего среднее значение в какой-то момент интервала.^[5] Геометрически этот разностный фактор измеряет склон из секущая линия проходя через точки с координатами (а, ж(а)) и (б, ж(б)).^[10]

Коэффициенты разницы используются как приближения в численное дифференцирование,^[8] но они также были предметом критики в этом приложении.^[11]

Коэффициент разницы иногда также называют Частное Ньютона^{[10][12][13][14]} (после Исаак Ньютон ) или же Коэффициент разности Ферма (после Пьер де Ферма ).^[15]

Обзор

Типичное понятие разностного коэффициента, обсуждавшееся выше, является частным случаем более общего понятия. Основной автомобиль исчисление и другая высшая математика функция. Его “входным значением” является его аргумент, обычно точка (“P”), выражаемая на графике. Разница между двумя точками сама по себе известна как их Дельта (Δп), как и различие в их функциональном результате, причем конкретное обозначение определяется направлением образования:

• Прямая разница: ΔF(п) = F(п + Δп) − F(п);
• Центральная разность: δF (P) = F (P + ½ΔP) – F (P – ½ΔP);
• Обратная разница: ∇F (P) = F (P) – F (P – ΔP).

Общее предпочтение – это прямая ориентация, поскольку F (P) является базой, к которой добавляются различия (т.е. «ΔP»). Более того,

Разность функций, деленная на разницу в пунктах, называется «коэффициентом разницы»:

Если ΔP бесконечно мала, то разностный фактор равен производная, иначе это разделенная разница:

Определение диапазона точек

Независимо от того, бесконечно мала или конечна ΔP, существует (по крайней мере – в случае производной – теоретически) диапазон точек, где границы составляют P ± (0,5) ΔP (в зависимости от ориентации – ΔF (P), δF ( P) или ∇F (P)):

LB = нижняя граница; UB = верхняя граница;

Производные инструменты можно рассматривать как сами функции, содержащие собственные производные инструменты. Таким образом, каждая функция является домом для последовательных степеней («более высоких порядков») происхождения, или дифференциация. Это свойство можно обобщить на все разностные коэффициенты.
Поскольку для такой последовательности требуется соответствующее разделение границ, целесообразно разбить диапазон точек на более мелкие части одинакового размера, при этом каждая часть будет отмечена промежуточной точкой (п_я), где LB = п₀ и UB = п_ń, то пй балл, равный степени / порядку:

  LB = P0  = P0 + 0Δ1P = Pń - (Ń-0) Δ1П; п1  = P0 + 1Δ1P = Pń - (Ń-1) Δ1П; п2  = P0 + 2Δ1P = Pń - (Ń-2) Δ1П; п3  = P0 + 3Δ1P = Pń - (Ń-3) Δ1П; ↓ ↓ ↓ ↓ PНН-3 = P0 + (Ń-3) Δ1P = Pń - 3Δ1П; пН-2 = P0 + (Ń-2) Δ1P = Pń - 2Δ1П; пн-1 = P0 + (Ń-1) Δ1P = Pń - 1Δ1П; UB = Pн-0 = P0 + (Ń-0) Δ1P = Pń - 0Δ1P = Pń;

  ΔP = Δ1P = P1 - П0 = P2 - П1 = P3 - П2 = ... = Pń - Пн-1;

  ΔB = UB - LB = Pń - П0 = ΔńP = ŃΔ1П.

Коэффициент первичной разности (Ń = 1)

Как производная

Фактор разности как производная не требует объяснения, кроме как указать, что, поскольку P₀ по существу равно P₁ = P₂ = … = P_ń (поскольку различия бесконечно малы), Обозначение Лейбница и производные выражения не различают P и P₀ или P_ń:

Есть другие производные обозначения, но это наиболее известные стандартные обозначения.

Как разделенная разница

Разделенная разница, однако, требует дальнейшего пояснения, поскольку она равна средней производной между LB и UB включительно:

В этой интерпретации P_ã представляет извлеченную функцию, среднее значение P (среднее значение, но обычно не совсем среднее значение), конкретная оценка в зависимости от функции усреднения, из которой оно извлекается. Более формально P_ã находится в теорема о среднем значении исчисления, в котором говорится:

Для любой функции, непрерывной на [LB, UB] и дифференцируемой на (LB, UB), существует некоторая P_ã в интервале (LB, UB), так что секущая, соединяющая концы интервала [LB, UB], параллельна касательной в точке P_ã.

По сути, P_ã обозначает некоторое значение P между LB и UB, следовательно,

который связывает результат среднего значения с разделенной разницей:

Поскольку по самому определению существует ощутимая разница между LB / P₀ и UB / P_ń, выражения Лейбница и производные делать требовать разделение аргумента функции.

Коэффициенты разности высших порядков

Второго порядка

Третий порядок

Ńй заказ

Применение разделенной разницы

Квинтэссенция применения разделенной разности заключается в представлении определенного интеграла, который является не чем иным, как конечной разностью:

Учитывая, что форма среднего значения, производная форма выражения предоставляет всю ту же информацию, что и классическая интегральная нотация, форма среднего значения может быть предпочтительным выражением, например, в местах написания, которые только поддерживают / принимают стандартные ASCII текста или в случаях, когда требуется только средняя производная (например, при нахождении среднего радиуса в эллиптическом интеграле). Это особенно верно для определенных интегралов, которые технически имеют (например) 0 и либо или же как границы, с такой же разделенной разницей, что и с границами 0 и (что требует меньшего усреднения):

Это также становится особенно полезным при работе с повторяется и кратный интегралs (ΔA = AU – AL, ΔB = BU – BL, ΔC = CU – CL):

Следовательно,

и

Смотрите также

• Разделенные различия
• Теория Ферма
• Полином Ньютона
• Прямоугольный метод
• Правило частного
• Фактор симметричной разности

Рекомендации

внешняя ссылка

• Колледж Сент-Винсент: Br. Дэвид Карлсон, O.S.B. –MA109 Коэффициент разницы
• Бирмингемский университет: Дирк Херманс—Разделенные различия
• Mathworld:
  • Разделенная разница
  • Теорема о среднем значении
• Университет Висконсина: Томас В. Репс и Луи Б. Ралл –Вычислительная арифметика деленных разностей и разностей
• Интерактивный симулятор разницы для объяснения производной

Разностный коэффициент

В исчислении с одной переменной коэффициент разности – обычно имя выражения

f (x + h) – f (x) h { displaystyle { frac {f (x + h) -f (x)} {h}}}

, который при приближении к пределу, когда h приближается к 0, дает производную функции функции f. Название выражения связано с тем, что оно является частным от разницы значений функции на разность соответствующих значений ее аргумента (последняя равна (x + h) -x = h в этом случае). Коэффициент разности является мерой средней скорости изменения функции на интервале (в данном случае – интервале длиной h). Таким образом, предел коэффициента разности (т. Е. Производной) составляет мгновенную скорость изменения.

Путем небольшого изменения обозначений (и точки зрения) для интервала [a, b ], коэффициент разности

f (b) – f (a) b – a { displaystyle { frac {f (b) -f (a)} {ba}}}

называется средним ( или среднее) значение производной f на интервале [a, b]. Это название оправдано теоремой о среднем значении, которая утверждает, что для дифференцируемой функции f ее производная f ‘достигает своего среднего значения в какой-то момент интервал. Геометрически этот коэффициент разности измеряет наклон секущей линии , проходящей через точки с координатами (a, f (a)) и (b, f (b)).

Коэффициенты разности используются как приближения в числовом дифференцировании, но они также подвергались критике в этом приложении.

Коэффициент разности иногда также называют Ньютоном частное (после Исаака Ньютона ) или коэффициент разности Ферма (после Пьера де Ферма ).

Содержание

• 1 Обзор
• 2 Определение диапазона точек
• 3 Частное первичной разности (= 1)
  • 3.1 Как производная
  • 3.2 Как разделенная разность
• 4 Разностные отношения высшего порядка
  • 4.1 Второй порядок
  • 4.2 Третий порядок
  • 4.3 Ń-й порядок
• 5 Применение разделенной разности
• 6 См. Также
• 7 Ссылки
• 8 Внешние ссылки

Обзор

Типичное понятие коэффициента разницы, обсуждавшееся выше, выглядит следующим образом: частный случай более общей концепции. Ключевым элементом исчисления и другой высшей математики является функция . Его «входным значением» является его аргумент, обычно точка («P»), отображаемая на графике. Разница между двумя точками сама по себе известна как их Дельта (ΔP), как и разница в их функциональном результате, причем конкретное обозначение определяется направлением образования:

• Прямая разница: ΔF (P) = F (P + ΔP) – F (P);
• Центральная разность: δF (P) = F (P + ½ΔP) – F (P – ½ΔP);
• Разница в обратном направлении: ∇F (P) = F (P) – F (P – ΔP).

Общее предпочтение – прямая ориентация, поскольку F (P) – это основание, по отношению к которому различия (т.е. «ΔP» s) добавляются к нему. Кроме того,

Разность функций, деленная на разность точек, известна как «коэффициент разности»:

Δ F (P) Δ P = F (P + Δ P) – F (P) Δ P = ∇ F (P + Δ P) Δ P. { Displaystyle { frac { Delta F (P)} { Delta P}} = { frac {F (P + Delta P) -F (P)} { Delta P}} = { frac { nabla F (P + Delta P)} { Delta P}}. , !}

Если ΔP бесконечно малая, то разностное отношение является производной, в противном случае – разделенная разница :

Если | Δ P | = ι: Δ F (P) Δ P = d F (P) d P = F ′ (P) = G (P); { displaystyle { text {If}} | Delta P | = { mathit { iota}}: quad { frac { Delta F (P)} { Delta P}} = { frac {dF (P)} {dP}} = F ‘(P) = G (P); , !}

Если | Δ P |>ι: Δ F (P) Δ P = D F (P) D P = F [P, P + Δ P]. { displaystyle { text {If}} | Delta P |>{ mathit { iota}}: quad { frac { Delta F (P)} { Delta P}} = { frac {DF (P)} {DP}} = F [P, P + Delta P]. , !}

Определение диапазона точек

Независимо от того, бесконечно ли ΔP или нет, является (по крайней мере – в случае производной – теоретически) точечным диапазоном, где границы составляют P ± (0,5) ΔP (в зависимости от ориентации – ΔF (P), δF (P) или ∇F (P)) :

LB = нижняя граница; UB = верхняя граница;

Производные можно рассматривать как сами функции, укрывающие свои собственные производные. Таким образом, каждая функция является домом для последовательных степеней (“более высоких порядков”) деривации или дифференцирования. Это свойство можно обобщить на все коэффициенты разности.. Поскольку для этого упорядочивания требуется соответствующая граница расщепление, целесообразно разбить диапазон точек на более мелкие части одинакового размера, каждая из которых помечена промежуточной точкой (P i), где LB = P 0 и UB = P ń, n-я точка, равная степени / порядку:

LB = P 0 = P 0 + 0Δ 1 P = P ń - (Ń-0) Δ 1 P; P 1 = P 0 + 1Δ 1 P = P ń - (Ń-1) Δ 1 П; P 2 = P 0 + 2Δ 1 P = P ń - (Ń-2) Δ 1 П; P 3 = P 0 + 3Δ 1 P = P ń - (Ń-3) Δ 1 П; ↓ ↓ ↓ ↓ P ń-3 = P 0 + (Ń-3) Δ 1 P = P ń - 3Δ 1 P; P ń-2 = P 0 + (Ń-2) Δ 1 P = P ń - 2Δ 1 P; P ń-1 = P 0 + (Ń-1) Δ 1 P = P ń - 1Δ 1 P; UB = P ń-0 = P 0 + (Ń-0) Δ 1 P = P ń - 0Δ 1 P = P ń;

ΔP = Δ 1 P = P 1 - P 0 = P 2 - P 1 = P 3 - P 2 =... = P ń - P ń-1 ;

ΔB = UB - LB = P ń - P 0 = Δ ń P = ŃΔ 1 P.

Коэффициент первичной разности (Ń = 1)

Δ F (P 0) Δ P = F (P n ´) – F (P 0) Δ n ´ P = F (P 1) – F (P 0) Δ 1 P = F (P 1) – F (P 0) P 1 – P 0. { displaystyle { frac { Delta F (P_ {0})} { Delta P}} = { frac {F (P _ { строго {n}}) – F (P_ {0})} { Дельта _ { строго {n}} P}} = { frac {F (P_ {1}) – F (P_ {0})} { Delta _ {1} P}} = { frac {F ( P_ {1}) – F (P_ {0})} {P_ {1} -P_ {0}}}. , !}

В качестве производной

Фактор разности в качестве производной не требует объяснения, за исключением указания на то, что, поскольку P 0 по существу равно P 1 = P 2 =… = P ń ( поскольку различия бесконечно малы), нотация Лейбница и производные выражения не различают P и P 0 или P ń:

d F (P) d P = F (P 1) – F (P 0) d P = F ′ (P) = G (P). { displaystyle { frac {dF (P)} {dP}} = { frac {F (P_ {1}) – F (P_ {0})} {dP}} = F ‘(P) = G ( P). , !}

Существуют другие производные обозначения, но это наиболее известные стандартные обозначения.

В качестве разделенной разности

Разделенная разность, однако, требует дальнейшего пояснения, так как она равна средней производной между LB и UB включительно:

P (tn) = LB + TN – 1 UT – 1 Δ B = UB – UT – TNUT – 1 Δ B;. (P (1) = L B, P (u t) = U B). F ′ (P a ~) = F ′ (LB < P < U B) = ∑ T N = 1 U T = ∞ F ′ ( P ( t n)) U T. {displaystyle {begin{aligned}P_{(tn)}=LB+{frac {TN-1}{UT-1}}Delta B =UB-{frac {UT-TN}{UT-1}}Delta B;\[10pt]{}qquad {color {white}.}(P_{(1)}=LB, P_{(ut)}=UB){color {white}.}\[10pt]F'(P_{tilde {a}})=F'(LB

В этой интерпретации P ã представляет собой извлеченную функцию, среднее значение P (среднее значение, но обычно не совсем среднее), конкретная оценка зависит от при усреднении функции он извлекается из. Более формально, P ã находится в теореме о среднем значении исчисления, которая гласит:

Для любой функции, которая является непрерывной на [ LB, UB] и дифференцируемых на (LB, UB) существует некоторое P ã в интервале (LB, UB) такое, что секанс, соединяющий концы интервала [LB, UB], параллелен касательная в точке P ã.

По сути, P ã обозначает некоторое значение P между LB и UB – следовательно,

P a ~: = LB < P < U B = P 0 < P < P n ´ {displaystyle P_{tilde {a}}:=LB

, который связывает результат среднего значения с разделенной разностью :

DF (P 0) DP = F [P 0, P 1] = F (P 1) – F (P 0) P 1 – P 0 = F ‘(P 0 < P < P 1) = ∑ T N = 1 U T = ∞ F ′ ( P ( t n)) U T, = D F ( L B) D B = Δ F ( L B) Δ B = ∇ F ( U B) Δ B, = F [ L B, U B ] = F ( U B) − F ( L B) U B − L B, = F ′ ( L B < P < U B) = G ( L B < P < U B). {displaystyle {begin{aligned}{frac {DF(P_{0})}{DP}}=F[P_{0},P_{1}]={frac {F(P_{1})-F(P_{0})}{P_{1}-P_{0}}}=F'(P_{0}

Как есть, по само его определение, ощутимая разница между LB / P 0 и UB / P ń, выражения Лейбница и производные выражения требуют разделения аргумент функции.

Разностные коэффициенты высшего порядка

Второй порядок

Δ 2 F (P 0) Δ 1 P 2 = Δ F ‘(P 0) Δ 1 P = Δ F (P 1) Δ 1 P – Δ F (P 0) Δ 1 P Δ 1 P, = F (P 2) – F (P 1) Δ 1 P – F (P 1) – F (P 0) Δ 1 P Δ 1 P, = F (P 2) – 2 F (P 1) + F (P 0) Δ 1 P 2; { displaystyle { begin {align} { frac { Delta ^ {2} F (P_ {0})} { Delta _ {1} P ^ {2}}} = { frac { Delta F ‘(P_ {0})} { Delta _ {1} P}} = { frac {{ frac { Delta F (P_ {1})} { Delta _ {1} P}} – { frac { Delta F (P_ {0})} { Delta _ {1} P}}} { Delta _ {1} P}}, \ [10pt] = { frac {{ frac {F (P_ {2}) – F (P_ {1})} { Delta _ {1} P}} – { frac {F (P_ {1}) – F (P_ {0})} { Delta _ {1} P}}} { Delta _ {1} P}}, \ [10pt] = { frac {F (P_ {2}) – 2F (P_ {1}) + F (P_ {0 })} { Delta _ {1} P ^ {2}}}; end {align}}}

d 2 F (P) d P 2 = d F ′ (P) d P = F ′ ( P 1) – F ′ (P 0) d P, = d G (P) d P = G (P 1) – G (P 0) d P, = F (P 2) – 2 F (P 1) + F (P 0) d P 2, = F ″ (P) = G ′ (P) = H (P) { displaystyle { begin {align} { frac {d ^ {2} F (P)} { dP ^ {2}}} = { frac {dF ‘(P)} {dP}} = { frac {F’ (P_ {1}) – F ‘(P_ {0})} {dP}}, \ [10pt] = { frac {dG (P)} {dP}} = { frac {G (P_ {1}) – G (P_ {0})} {dP}}, \ [10pt] = { frac {F (P_ {2}) – 2F (P_ {1}) + F (P_ {0})} {dP ^ {2}}}, \ [10pt] = F ” (P) = G ‘(P) = H (P) end {align}}}

D 2 F (P 0) DP 2 = DF ′ (P 0) DP = F ′ (P 1 < P < P 2) − F ′ ( P 0 < P < P 1) P 1 − P 0,. ≠ F ′ ( P 1) − F ′ ( P 0) P 1 − P 0, = F [ P 0, P 1, P 2 ] = F ( P 2) − 2 F ( P 1) + F ( P 0) ( P 1 − P 0) 2, = F ″ ( P 0 < P < P 2) = ∑ T N = 1 ∞ F ″ ( P ( t n)) U T, = G ′ ( P 0 < P < P 2) = H ( P 0 < P < P 2). {displaystyle {begin{aligned}{frac {D^{2}F(P_{0})}{DP^{2}}}={frac {DF'(P_{0})}{DP}}={frac {F'(P_{1}

Третий порядок

Δ 3 F (P 0) Δ 1 P 3 = Δ 2 F ′ (P 0) Δ 1 P 2 = Δ F ″ (P 0) Δ 1 P = Δ F ′ (P 1) Δ 1 P – Δ F ′ (P 0) Δ 1 P Δ 1 P, = Δ F (P 2) Δ 1 P – Δ F ‘(P 1) Δ 1 P Δ 1 P – Δ F’ (P 1) Δ 1 P – Δ F ‘(P 0) Δ 1 P Δ 1 P Δ 1 P, = F (P 3) – 2 F (P 2) + F (P 1) Δ 1 P 2 – F (P 2) – 2 F (P 1) + F (P 0) Δ 1 P 2 Δ 1 P, = F (P 3) – 3 F (P 2) + 3 F (P 1) – F (P 0) Δ 1 P 3; { displaystyle { begin {align} { frac { Delta ^ {3} F (P_ {0})} { Delta _ {1} P ^ {3}}} = { frac { Delta ^ {2} F ‘(P_ {0})} { Delta _ {1} P ^ {2}}} = { frac { Delta F’ ‘(P_ {0})} { Delta _ {1} P}} = { frac {{ frac { Delta F ‘(P_ {1})} { Delta _ {1} P}} – { frac { Delta F’ (P_ {0})} { Delta _ {1} P}}} { Delta _ {1} P}}, \ [10pt] = { frac {{ frac {{ frac { Delta F (P_ {2})} { Delta _ {1} P}} – { frac { Delta F ‘(P_ {1})} { Delta _ {1} P}}} { Delta _ {1} P}} – { frac {{ frac { Delta F ‘(P_ {1})} { Delta _ {1} P}} – { frac { Delta F’ (P_ {0})} { Delta _ {1} P}}} { Delta _ {1} P}}} { Delta _ {1} P}}, \ [10pt] = { frac {{ frac {F (P_ {3}) – 2F (P_ {2}) + F (P_ {1})} { Delta _ {1} P ^ {2}}} – { frac {F (P_ {2}) – 2F (P_ {1}) + F (P_ {0})} { Delta _ {1} P ^ {2}}}} { Delta _ {1} P}}, \ [10pt] = { frac {F (P_ {3 }) – 3F (P_ {2}) + 3F (P_ {1}) – F (P_ {0})} { Delta _ {1} P ^ {3}}}; end {align}}}

d 3 F (P) d P 3 = d 2 F ′ (P) d P 2 = d F ″ (P) d P = F ″ (P 1) – F ″ (P 0) d P, = d 2 G (P) d P 2 = d G ′ (P) d P = G ′ (P 1) – G ′ (P 0) d P,. = d H (P) d P = H (P 1) – H (P 0) d P, = G (P 2) – 2 G (P 1) + G (P 0) d P 2, = F (P 3) – 3 F (P 2) + 3 F (P 1) – F (P 0) d P 3, = F ‴ (P) = G ″ (P) = H ′ (P) = I (P); { displaystyle { begin {align} { frac {d ^ {3} F (P)} {dP ^ {3}}} = { frac {d ^ {2} F ‘(P)} {dP ^ {2}}} = { frac {dF ” (P)} {dP}} = { frac {F ” (P_ {1}) – F ” (P_ {0})} {dP} }, \ [10pt] = { frac {d ^ {2} G (P)} {dP ^ {2}}} = { frac {dG ‘(P)} {dP}} = { frac {G ‘(P_ {1}) – G’ (P_ {0})} {dP}}, \ [10pt] { color {white}.} qquad qquad = { frac {dH (P)} {dP}} = { frac {H (P_ {1}) – H (P_ {0})} {dP}}, \ [10pt] = { frac {G ( P_ {2}) – 2G (P_ {1}) + G (P_ {0})} {dP ^ {2}}}, \ [10pt] = { frac {F (P_ {3}) – 3F (P_ {2}) + 3F (P_ {1}) – F (P_ {0})} {dP ^ {3}}}, \ [10pt] = F ” ‘(P) = G’ ‘(P) = H’ (P) = I (P); end {align}}}

D 3 F (P 0) DP 3 = D 2 F ‘(P 0) DP 2 = DF ″ ( P 0) DP = F ″ (P 1 < P < P 3) − F ″ ( P 0 < P < P 2) P 1 − P 0,. ≠ F ″ ( P 1) − F ″ ( P 0) P 1 − P 0, = F ′ ( P 2 < P < P 3) − F ′ ( P 1 < P < P 2) P 1 − P 0 − F ′ ( P 1 < P < P 2) − F ′ ( P 0 < P < P 1) P 1 − P 0 P 1 − P 0, = F ′ ( P 2 < P < P 3) − 2 F ′ ( P 1 < P < P 2) + F ′ ( P 0 < P < P 1) ( P 1 − P 0) 2, = F [ P 0, P 1, P 2, P 3 ] = F ( P 3) − 3 F ( P 2) + 3 F ( P 1) − F ( P 0) ( P 1 − P 0) 3, = F ‴ ( P 0 < P < P 3) = ∑ T N = 1 U T = ∞ F ‴ ( P ( t n)) U T, = G ″ ( P 0 < P < P 3) = H ′ ( P 0 < P < P 3) = I ( P 0 < P < P 3). {displaystyle {begin{aligned}{frac {D^{3}F(P_{0})}{DP^{3}}}={frac {D^{2}F'(P_{0})}{DP^{2}}}={frac {DF”(P_{0})}{DP}}={frac {F”(P_{1}

Ń -й порядок

Δ n ´ F (P 0) = F (n ´ – 1) (P 1) – F (n ´ – 1) (P 0), = F (n ´ – 2) (P 2) – F (n ´ – 2) (P 1) Δ 1 P – F (n ´ – 2) (P 1) – F (n ´ – 2) (P 0) Δ 1 P, = F (n ´ – 3) (P 3) – F (n ´ – 3) (P 2) Δ 1 P – F (n ´ – 3) (P 2) – F (n ´ – 3) (P 1) Δ 1 P Δ 1 P. – F (n ´ – 3) (P 2) – F (n ´ – 3) (P 1) Δ 1 P – F (n ´ – 3) ( P 1) – F (n ´ – 3) (п 0) Δ 1 п Δ 1 п, знак равно ⋯ { displaystyle { begin {выровнено} Delta ^ { строго {n}} F (P_ {0}) = F ^ {({ строго {n}} – 1)} (P_ {1}) – F ^ {({ строго {n}} – 1)} (P_ {0}), \ [10pt] = { frac {F ^ {({ строго {n}} – 2)} (P_ {2}) – F ^ {({ строго {n}} – 2)} (P_ {1})} { Delta _ {1} P }} – { frac {F ^ {({ строго {n}} – 2)} (P_ {1}) – F ^ {({ строго {n}} – 2)} (P_ {0}) } { Delta _ {1} P}}, \ [10pt] = { frac {{ frac {F ^ {({ строго {n}} – 3)} (P_ {3}) – F ^ {({ строго {n}} – 3)} (P_ {2})} { Delta _ {1} P}} – { frac {F ^ {({ строго {n}} – 3) } (P_ {2}) – F ^ {({ строго {n}} – 3)} (P_ {1})} { Delta _ {1} P}}} { Delta _ {1} P} } \ [10pt] { color {white}.} Qquad – { frac {{ frac {F ^ {({ строго {n}} – 3)} (P_ {2}) – F ^ {({ строго {n}} – 3)} (P_ {1})} { Delta _ {1} P}} – { frac {F ^ {({ строго {n}} – 3)} (P_ {1}) – F ^ {({ строго {n}} – 3)} (P_ {0})} { Delta _ {1} P}}} { Delta _ {1} P}}, \ [10pt] = cdots end {align}}}

Δ n ´ F (P 0) Δ 1 P n ´ = ∑ I = 0 N ´ (- 1 N ´ – I) (N Z I) F (P 0 + I Δ 1 P) Δ 1 P n ´; ∇ n ´ F (P n ´) Δ 1 P n ´ = ∑ I = 0 N ´ (- 1 I) (N ´ I) F (P n ´ – I Δ 1 P) Δ 1 P n ´; { displaystyle { begin {align} { frac { Delta ^ { Acute {n}} F (P_ {0})} { Delta _ {1} P ^ { Acute {n}}}} = { frac { sum _ {I = 0} ^ { строго {N}} {- 1 choose { строго {N}} – I} {{ строго {N}} выбрать I} F ( P_ {0} + I Delta _ {1} P)} { Delta _ {1} P ^ { sharp {n}}}}; \ [10pt] { frac { nabla ^ { строго {n}} F (P _ { строго {n}})} { Delta _ {1} P ^ { строго {n}}}} \ [10pt] = { frac { sum _ {I = 0} ^ { строго {N}} {- 1 choose I} {{ строго {N}} choose I} F (P _ { строго {n}} – I Delta _ {1} P) } { Delta _ {1} P ^ { строго {n}}}}; end {align}}}

dn ´ F (P 0) d P n ´ = dn ´ – 1 F ′ (P 0) d P n ´ – 1 = dn ´ – 2 F ″ (P 0) d P n ´ – 2 = dn ´ – 3 F ‴ (P 0) d P n ´ – 3 = ⋯ = dn ´ – r F (r) (P 0) d P n ´ – r, = dn ´ – 1 G (P 0) d P n ´ – 1 = dn ´ – 2 G ′ (P 0) d P n ´ – 2 = dn ´ – 3 G ″ (P 0) d P n ´ – 3 = ⋯ = dn ´ – r G (r – 1) (P 0) d P n ´ – r,. = dn ´ – 2 H (P 0) d P n ´ – 2 = dn ´ – 3 H ′ (P 0) d P n ´ – 3 = ⋯ = dn ´ – r H (r – 2) (P 0) d P n ´ – r,. = dn ´ – 3 I (P 0) d P n ´ – 3 = ⋯ = dn ´ – r I (r – 3) (P 0) d P n ´ – r, = F (n ´) (P) = G (n ´ – 1) (P) = H (n ´ – 2) (P) = I (n ´ – 3) (P) = ⋯ { displaystyle { begin {align} { frac {d ^ { Acustric {n}} F (P_ {0})} {dP ^ { Acute {n}}}} = { frac {d ^ {{ sharp {n}} – 1} F ‘(P_ { 0})} {dP ^ {{ sharp {n}} – 1}}} = { frac {d ^ {{ sharp {n}} – 2} F ” (P_ {0})} {dP ^ {{ sharp {n}} – 2}}} = { frac {d ^ {{ sharp {n}} – 3} F ” ‘(P_ {0})} {dP ^ {{ строго {n}} – 3}}} = cdots = { frac {d ^ {{ строго {n}} – r} F ^ {(r)} (P_ {0})} {dP ^ {{ острый {n}} – r}}}, \ [10pt] = { frac {d ^ {{ sharp {n}} – 1} G (P_ {0})} {dP ^ {{ sharp {n}} – 1}}} \ [10pt] = { frac {d ^ {{ строго {n}} – 2} G ‘(P_ {0})} {dP ^ {{ строго { n}} – 2}}} = { frac {d ^ {{ строго {n}} – 3} G ” (P_ {0})} {dP ^ {{ строго {n}} – 3 }}} = cdots = { frac {d ^ {{ строго {n}} – r} G ^ {(r-1)} (P_ {0})} {dP ^ {{ строго {n} } -r}}}, \ [10pt] { color {white}.} qquad qquad qquad = { frac {d ^ {{ строго {n}} – 2} H (P_ {0 })} {dP ^ {{ строго {n}} – 2}}} = { frac {d ^ {{ строго {n}} – 3} H ‘(P_ {0})} {dP ^ {{ sharp {n}} – 3}}} = cdots = { frac {d ^ {{ строго {n}} – r} H ^ {(r-2)} (P_ {0})} {dP ^ {{ строго {n}} – r}}}, \ { color {white}.} qquad qquad qquad qquad qquad qquad = { frac {d ^ {{ строго {n}} – 3} I (P_ {0})} {dP ^ {{ строго {n}} – 3}}} = cdots = { frac {d ^ {{ строго {n}} – r} I ^ {(r-3)} (P_ {0})} {dP ^ {{ строго {n}} – r}}}, \ [10pt] = F ^ {({ строго { n}})} (P) = G ^ {({ строго {n}} – 1)} (P) = H ^ {({ строго {n}} – 2)} (P) = I ^ { ({ строго {п}} – 3)} (Р) = cdots end {выровнено}}

D n ´ F (P 0) DP n ´ = F [P 0, P 1, P 2, P 3,…, P n ´ – 3, P n ´ – 2, P n ´ – 1, P n ´], = F (n ´) (P 0 < P < P n ´) = ∑ T N = 1 U T = ∞ F ( n ´) ( P ( t n)) U T = F ( n ´) ( L B < P < U B) = G ( n ´ − 1) ( L B < P < U B) = ⋯ {displaystyle {begin{aligned}{frac {D^{acute {n}}F(P_{0})}{DP^{acute {n}}}}=F[P_{0},P_{1},P_{2},P_{3},ldots,P_{{acute {n}}-3},P_{{acute {n}}-2},P_{{acute {n}}-1},P_{acute {n}}],\[10pt]=F^{({acute {n}})}(P_{0}

Применение разделенной разности

Наиболее существенное применение разделенной разности заключается в представлении определенного интеграла, который представляет собой не что иное, как конечную разность:

∫ LBUBG (p) dp = ∫ LBUBF ′ (p) dp = F (UB) – F (LB), = F [LB, UB] Δ B, = F ‘(LB < P < U B) Δ B, = G ( L B < P < U B) Δ B. {displaystyle {begin{aligned}int _{LB}^{UB}G(p),dp=int _{LB}^{UB}F'(p),dp=F(UB)-F(LB),\[10pt]=F[LB,UB]Delta B,\[10pt]=F'(LB

При условии, что среднее значение, форма производного выражения предоставляет всю ту же информацию, что и классическая интегральная запись, форма среднего значения может быть предпочтительное выражение, например, в письменной форме только для поддержки / принятия стандартного текста ASCII или в случаях, когда требуется только средняя производная (например, при нахождении среднего радиуса в эллиптическом интеграле). Это особенно верно для определенных интегралов, которые технически имеют (например) 0 и либо π { displaystyle pi , !}, либо 2 π { displaystyle 2 pi , !}в качестве границ, с такой же разделенной разницей, что и для границ 0 и π 2 { displaystyle { begin {matrix} { frac { pi} {2}} end {matrix}}}(что требует меньших усилий по усреднению):

∫ 0 2 π F ′ (p) dp = 4 ∫ 0 π 2 F ′ (p) dp = F (2 π) – F (0) = 4 (F (π 2) – F (0)), = 2 π F [0, 2 π] = 2 π F ‘(0 < P < 2 π), = 2 π F [ 0, π 2 ] = 2 π F ′ ( 0 < P < π 2). {displaystyle {begin{aligned}int _{0}^{2pi }F'(p),dp=4int _{0}^{frac {pi }{2}}F'(p),dp=F(2pi)-F(0)=4(F({begin{matrix}{frac {pi }{2}}end{matrix}})-F(0)),\[10pt]=2pi F[0,2pi ]=2pi F'(0

Это также становится особенно полезным при работе с повторные и кратные интегралы (ΔA = AU – AL, ΔB = BU – BL, ΔC = CU – CL):

∫ CLCU ∫ BLBU ∫ ALAUF ′ (r, q, p) dpdqdr = ∑ TC = 1 UC = ∞ (∑ TB = 1 UB = ∞ (∑ TA = 1 UA = ∞ F ′ (R (tc): Q (tb): P (ta)) Δ AUA) Δ BUB) Δ CUC, = F ′ (CL < R < C U : B L < Q < B U : A L < P < A U) Δ A Δ B Δ C. {displaystyle {begin{aligned}{}qquad int _{CL}^{CU}int _{BL}^{BU}int _{AL}^{AU}F'(r,q,p),dp,dq,dr\[10pt]=sum _{T!C=1}^{U!C=infty }left(sum _{T!B=1}^{U!B=infty }left(sum _{T!A=1}^{U!A=infty }F^{‘}(R_{(tc)}:Q_{(tb)}:P_{(ta)}){frac {Delta A}{U!A}}right){frac {Delta B}{U!B}}right){frac {Delta C}{U!C}},\[10pt]=F'(C!L

Следовательно,

F ′ (R, Q: AL < P < A U) = ∑ T A = 1 U A = ∞ F ′ ( R, Q : P ( t a)) U A ; {displaystyle F'(R,Q:AL

и

F ′ (R: BL < Q < B U : A L < P < A U) = ∑ T B = 1 U B = ∞ ( ∑ T A = 1 U A = ∞ F ′ ( R : Q ( t b) : P ( t a)) U A) 1 U B. {displaystyle F'(R:BL

См. Также

• Разделенные различия
• Теория Ферма
• Новый полином тонна
• Метод прямоугольника
• Правило частного
• Фактор симметричной разности

Ссылки

Внешние ссылки

• Колледж Сент-Винсент: Br. Дэвид Карлсон, OSB – MA109 Коэффициент разницы
• Университет Бирмингема: Дирк Херманс – Разделенные различия
• Mathworld:
  • Разделенная разница
  • Теорема о среднем значении
• Университет Висконсина: Томас В. Репс и Луис Б. Ралл – Вычислительная разделенная разность и арифметика разделенных разностей
• Интерактивный симулятор отношения разности для объяснения производной

Коэффициент разности – это термин из математики . Он описывает отношение изменения одного размера к изменению другого, причем первый размер зависит от второго. В анализе для определения производной функции используются разностные коэффициенты . В вычислительной математике они используются для решения дифференциальных уравнений и для приближенного определения производной функции ( численное дифференцирование ).

определение

Если функция с действительным знаком , которая определена в области , есть и есть , то можно назвать частное

Коэффициент разницы в интервале .

Если вы напишите и , вы получите альтернативное написание

.

Если положить , ну , вы получите обозначение

.

Геометрически коэффициент разности соответствует наклону секущей графика от точек и . Для или секущая становится касательной в точке .

Дифференциальное частное

Вместе с концепцией предельных значений разностные коэффициенты составляют основу дифференциального исчисления . Предельное значение коэффициента разности для называется дифференциальным коэффициентом или производной функции в точке при условии, что это предельное значение существует.

В таблице показаны производные некоторых функций. Коэффициент разницы верен только для .

функция		Коэффициент разницы	Дифференциальный коэффициент
Постоянная функция
Линейная функция
Квадратная функция
Функция куба
Общая потенция
Экспоненциальная функция

Варианты обыкновенного разностного фактора первого порядка вывода

Фактор разности используется в вычислительной математике как приближение для локальной производной. В этой математической подобласти есть три различных варианта коэффициента разности. В методе конечных разностей, например, разница фактор используется для решения дифференциальных уравнений . Это также важно для численного дифференцирования функций.

Используются различные варианты коэффициента разности, которые различаются определением , например, для повышения точности при определении локального роста, например, секущего наклона графика, или “назад” секущего наклона функции в точке крайние точки, чтобы определить внутреннюю часть своей области.

Коэффициент прямой разницы

Выражение, определенное выше

также называется коэффициентом прямой разницы , потому что для определения первого значения функции, которое необходимо для формирования , идет снизу вправо, то есть «вперед».

В качестве примера рассматривается нормальная парабола . Если, например , кто-то хочет приблизительно вычислить производную вблизи точки , он выбирает , например, небольшое значение . Это дает значение
как коэффициент разницы в интервале

.

Это секущий градиент графика функции в интервале и аппроксимация градиента касательной в точке .

Коэффициент обратной разницы

Выражение аналогично называется

как коэффициент обратной разности, поскольку для формирования разницы от выкл. влево, то есть «в обратном направлении», чтобы получить второе значение функции.

Коэффициент центральной разности

Также используется коэффициент центральной разности . B. полученный усреднением коэффициентов прямой и обратной разностей. Он через

данный. При этом места, используемые для формирования разницы, располагаются симметрично относительно значения, для которого должна быть аппроксимирована производная.

В отличие от двух предыдущих разностных коэффициентов, погрешности которых при аппроксимации первой производной относятся только к классу в точке, если функция является дважды дифференцируемой, ошибка центрального разностного коэффициента составляет, если функция также трехкратно дифференцируема в . Для обозначения см символов Ландау .

Обычные разностные коэффициенты более высокого порядка вывода и ошибки

Помимо аппроксимации производной первого порядка, существуют также разностные коэффициенты для численного расчета производных более высокого порядка. Для этого в данном разделе рассматриваются только центральные разностные коэффициенты. Аналогичные соображения существуют также для коэффициентов прямой и обратной разностей. Основой для вывода таких разностных коэффициентов является ряд Тейлора . Кроме того, существуют также коэффициенты разницы с более высоким порядком погрешности.

Например, для второго вывода отношение

использоваться. Значение, стоящее за обозначением, может зависеть от. В следующей таблице приведены некоторые общие центральные разностные коэффициенты более высокого порядка вывода. Тот факт, что значение функции недоступно в случае неравномерного порядка вывода, восходит к принципу центрального разностного отношения, в котором порядок ошибок увеличивается путем усреднения. Коэффициенты разности с четным порядком вывода приведены здесь с минимальным порядком погрешности. Его можно увеличить, добавив дополнительные значения функции.

Обычные центральные разностные коэффициенты более высокого порядка вывода

Порядок вывода	Формула коэффициента разности

Уравнение рекурсии

Вычисление высших обычных центральных разностных коэффициентов может быть выполнено с помощью следующего рекурсивного уравнения. Здесь представлен индекс пространственных координат и индекс текущего порядка вывода. Он начинается и, следовательно, с рекурсивного уравнения для нечетного .

Отображение сумм

Обычные центральные разностные факторы все еще могут быть представлены конечной суммой. Структура этой формулы напрямую связана с треугольником Паскаля или биномиальным коэффициентом . Представление суммы может быть получено из приведенного выше рекурсивного уравнения. Индекс представляет собой координату местоположения, для которой вычисляется коэффициент разности. Полное представление производных нечетного порядка включает метод центрального разностного фактора, следовательно, префактор .

с и .

Презентация продукта

Представление матричного произведения может быть получено из приведенного выше рекурсивного уравнения для вычисления общих центральных разностных коэффициентов. Первым шагом является определение уравнения произведения для производных с четными номерами, поскольку в этом случае соответствующее уравнение рекурсии, в отличие от нечетных производных, образует замкнутую цепочку. Элементы матриц определяются следующим образом и размерностью . Матрицы точно соответствуют сигнатуре приведенного выше рекурсивного уравнения для четных .

Следующий вектор содержит значения функции .

Таким образом, приближение -й производной в точке можно представить следующим образом.

С помощью матриц с размерностью также можно найти представление продукта для нечетных порядков деривации. Матрицы точно соответствуют сигнатуре приведенного выше рекурсивного уравнения для нечетного .

Обычные разностные коэффициенты более высокого порядка вывода и ошибки

Коэффициенты центральной разности

Умелое использование ряда Тейлора (или полиномов Тейлора ) приводит к матричному уравнению для вычисления разностных коэффициентов. Следующее приближение Тейлора для -кратно дифференцируемой функции служит подходом . Рекомендуется использовать верхний предел суммы из-за большей симметрии.

Замены должны выполняться на основе этого приближения . Как видно из следующего уравнения, это означает, что желаемые производные функции доступны в определенном месте . Для краткости здесь также используется индексное обозначение .

Путем сдвига индекса наконец находится следующая линейная система уравнений для вычисления разностных коэффициентов до порядка производной . Интересна тесная связь между системной матрицей и матрицей Вандермонда . Б. известен из полиномиальной интерполяции .

Некоторые решения этой системы уравнений приведены в следующей таблице. Следует отметить , что при большой матрица становится сингулярной и , следовательно , матрица инверсия уже не может быть выполнена на компьютере. Помимо приведенных здесь коэффициентов разности, которые следует отнести к классу центральных DZQ, существуют также другие варианты.

Обычные центральные разностные коэффициенты более высокого порядка вывода и ошибки

Разница коэффициентов для любых точек опоры

Также возможно вычислить коэффициенты разницы с любыми точками поддержки. В общем, коэффициент разницы можно представить следующей суммой. Константы соответствуют точкам опоры со смещением на . Индекс соответствует порядку вывода. Наименьшая точность достигается с . Точность можно повысить, добавив дополнительные точки опоры. Приведенные выше центральные разностные коэффициенты являются частным случаем настоящего рассмотрения.

Коэффициенты рассчитываются путем решения следующей системы линейных уравнений, представленной в Кронекере .

Если выбраны равноудаленные опорные точки , линейная система уравнений представляется следующим образом.

литература

• Ричардсон, CH (1954): Введение в исчисление конечных разностей (Van Nostrand, 1954)
• Миккенс, Р. Э. (1991): Разностные уравнения: теория и приложения (Чепмен и Холл / CRC)
• ПЛАТО, Роберт. Компактная вычислительная математика . Vieweg + Teubner Verlag, 2000.

веб ссылки

• https://web.media.mit.edu/~crtaylor/calculator.html

Индивидуальные доказательства

1. ↑ Герберт Аманн, Иоахим Эшер: Анализ 1 , третье издание, Биркхойзер, стр. 319.
2. ^ Уилмотт, Пол .: Математика производных финансовых инструментов: введение для студентов . Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-49699-3 , стр. 137 .
3. ^ Питер Дж. Олвер: Что такое уравнения в частных производных? В кн . : Введение в дифференциальные уравнения с частными производными . Springer International Publishing, Cham 2013, ISBN 978-3-319-02098-3 , стр. 182 , DOI : 10.1007 / 978-3-319-02099-0_1 .
4. ^ М. Ханиф Чаудри: Поток открытого канала . 2008, стр. 369 , DOI : 10.1007 / 978-0-387-68648-6 .
5. ^ Ганс Рудольф Шварц и Норберт Кёклер: Численная математика . 6-е издание. Vieweg + Teubner Verlag, 2006, ISBN 978-3-8351-9064-1 , стр. 103-104 .
6. ↑ Х. Б. Келлер, В. Перейра: Символическая генерация конечно-разностных формул . В кн . : Математика вычислений . Лента 32 , нет. 144 , 1978, ISSN  0025-5718 , стр. 955-955 , DOI : 10,1090 / s0025-5718-1978-0494848-1 .
7. ↑ ^{a b} Бенгт Форнберг: Генерация конечно-разностных формул на произвольно расположенных сетках . В кн . : Математика вычислений . Лента 51 , нет. 184 , 1988, ISSN  0025-5718 , стр. 699-699 , DOI : 10,1090 / s0025-5718-1988-0935077-0 .