Как найти коэффициент трения тангенс

Коэффициент трения через силу трения и массу

{mu = dfrac{F_{тр}}{mg}}

Ускорение свободного падения g

Приводим 2 варианта нахождения коэффициента трения – зная силу трения и массу тела или зная угол наклона. Для обоих вариантов вы найдете удобные калькуляторы и формулы для расчета.

Коэффициент трения представляет собой безразмерную скалярную величину, которая равна отношению силы трения между двумя телами и силы, прижимающей их друг к другу, во время или в начале скольжения.

Коэффициент трения чаще всего обозначают греческой буквой µ («мю»).

Следует помнить, что коэффициент трения (μ) величина безразмерная, то есть не имеет единицы измерения.

Коэффициент трения зависит от качества обработки трущихся поверхностей, скорости движения тел относительно друг друга и материала соприкасающихся поверхностей. В большинстве случаев коэффициент трения находится в пределах от 0,1 до 0,5 (см. таблицу).

Содержание:
  1. калькулятор коэффициента трения
  2. формула коэффициента трения через силу трения и массу
  3. формула коэффициента трения через угол наклона
  4. таблица коэффициентов трения
  5. примеры задач

Формула коэффициента трения через силу трения и массу

коэффициент трения через силу трения и массу

mu = dfrac{F_{тр}}{mg}

Fтр – сила трения

m – масса тела

g – ускорение свободного падения (в большинстве задач можно принять g=9.81 м/с²)

Формула коэффициента трения через угол наклона

коэффициент трения через угол наклона

mu = tg(alpha)

α – угол наклона

Таблица коэффициентов трения скольжения для разных пар материалов

Трущиеся материалы (при сухих поверхностях) Коэффициенты трения
покоя при движении
Резина по сухому асфальту 0,95-1,0 0,5-0,8
Резина по влажному асфальту   0,25-0,75
Алюминий по алюминию 0,94  
Бронза по бронзе   0,20
Бронза по чугуну   0,21
Дерево по дереву (в среднем) 0,65 0,33
Дерево по камню 0,46-0,60  
Дуб по дубу (вдоль волокон) 0,62 0,48
Дуб по дубу (перпендикулярно волокнам) 0,54 0,34
Железо по железу 0,15 0,14
Железо по чугуну 0,19 0,18
Железо по бронзе (слабая смазка) 0,19 0,18
Канат пеньковый по деревянному барабану 0,40  
Канат пеньковый по железному барабану 0,25  
Каучук по дереву 0,80 0,55
Каучук по металлу 0,80 0,55
Кирпич по кирпичу (гладко отшлифованные) 0,5-0,7  
Колесо со стальным бандажем по рельсу   0,16
Лед по льду 0,05-0,1 0,028
Метал по аботекстолиту 0,35-0,50  
Метал по дереву (в среднем) 0,60 0,40
Метал по камню (в среднем) 0,42-0,50  
Метал по металу (в среднем) 0,18-0,20  
Медь по чугуну 0,27  
Олово по свинцу 2,25  
Полозья деревянные по льду   0,035
Полозья обитые железом по льду   0,02
Резина (шина) по твердому грунту 0,40-0,60  
Резина (шина) по чугуну 0,83 0,8
Ремень кожаный по деревянному шкиву 0,50 0,30-0,50
Ремень кожаный по чугунному шкиву 0,30-0,50 0,56
Сталь по железу 0,19  
Сталь(коньки) по льду 0,02-0,03 0,015
Сталь по райбесту 0,25-0,45  
Сталь по стали 0,15-0,25 0,09 (ν = 3 м/с)

0,03 (ν = 27 м/с)

Сталь по феродо 0,25-0,45  
Точильный камень (мелкозернистый) по железу   1
Точильный камень (мелкозернистый) по стали   0,94
Точильный камень (мелкозернистый) по чугуну   0,72
Чугун по дубу 0,65 0,30-0,50
Чугун по райбесту 0,25-0,45  
Чугун по стали 0,33 0,13 (ν = 20 м/с)
Чугун по феродо 0,25-0,45  
Чугун по чугуну   0,15

Примеры задач на нахождение коэффициента трения

Задача 1

Найдите коэффициент трения между полом и ящиком массой 20 кг, который равномерно двигают с силой 50 Н.

Решение

Для решения задачи воспользуемся формулой.

mu = dfrac{F_{тр}}{mg} = dfrac{50}{20 cdot 9.81} = dfrac{50}{196.2} approx 0.25484

Ответ: approx 0.25484

С помощью калькулятора удобно проверить ответ.

Задача 2

Найдите коэффициент трения если угол наклона 30°.

Решение

Для решения этой задачи воспользуемся второй формулой.

mu = tg(alpha) = tg(30°) approx 0.57735

Ответ: approx 0.57735

Проверим полученный ответ с помощью калькулятора .

Содержание:

Трение:

При движении или стремлении двигать одно тело по поверхности другого в касательной плоскости поверхностей соприкосновения возникает сила трения скольжения.

Если одно тело, например цилиндрический каток, катить или стремиться катить по поверхности другого тела, то кроме силы трения скольжения из-за деформации поверхностей тел дополнительно возникает пара сил, препятствующая качению катка. Возникновение силы трения, препятствующей скольжению, иногда называют трением первого рода, а возникновение пары сил, препятствующей качению,— трением второго рода.

Трение скольжения

Пусть на тело действует плоская система активных сил и тело находится в равновесии, соприкасаясь с поверхностью другого тела, являющегося связью для рассматриваемого тела. Если поверхности соприкасающихся тел абсолютно гладкие и тела абсолютно твердые, то реакция поверхности связи направлена по нормали к общей касательной в точке соприкосновения и направление реакции в этом случае не зависит от действующих на тело активных сил. От активных сил зависит только числовое значение силы реакции. В действительности абсолютно гладких поверхностей и абсолютно твердых тел не бывает. Все поверхности тел в той или иной степени шероховаты и все тела деформируемы. В связи с этим и сила реакции Трение в теоретической механике

Если силу реакции Трение в теоретической механике

В теоретической механике обычно рассматривается только сухое трение между поверхностями тел, т. е. такое трение, когда между ними нет смазывающего вещества. Для сухого трения надо различать трение скольжения при покое или равновесии тела и трение скольжения при движении одного тела по поверхности другого с некоторой относительной скоростью.

При покое сила трения зависит только от активных сил. При выбранном направлении касательной в точке соприкосновения поверхностей тел сила трения вычисляется по формуле

Трение в теоретической механике

Аналогично, при выбранном направлении нормали нормальная реакция выражается через заданные силы

Трение в теоретической механике

В 1781 г. Кулон установил основные приближенные законы для сухого трения скольжения. В дальнейшем законы Кулона многократно проверялись другими исследователями. Но эти законы подтверждались в случае, когда поверхности тел не вдавливались друг в друга и шероховатость была не очень велика.

Законы Кулона можно установить на приборе, схема которого дана рис. 59. На этом приборе изменяя вес гири, можно изменять нормальное давление Трение в теоретической механике (или равную ему нормальную реакцию Трение в теоретической механике) между трущимися поверхностями. Изменяя же вес гирь Трение в теоретической механике, можно изменять силу Трение в теоретической механике, которая стремится двигать тело вдоль поверхности другого тела, являющегося связью. Очевидно, что если сила Трение в теоретической механике, то тело находится в равновесии и сила трения Трение в теоретической механике равна нулю.

Если силу Трение в теоретической механике увеличить (при этом тело не скользит по поверхности, а находится в равновесии), то по условию равновесия возникает сила трения Трение в теоретической механике, которая равна, но противоположна активной силе Трение в теоретической механике. Нормальная реакция Трение в теоретической механике равна нормальному давлению Трение в теоретической механике. Увеличивая силу Трение в теоретической механике при одном и том же нормальном давлении Трение в теоретической механике, можно достичь и такого положения, когда ничтожно малое дальнейшее увеличение силы Трение в теоретической механике выведет тело из равновесия, заставляя его скользить по поверхности связи. Очевидно, будет достигнуто предельное положение, при котором сила трения станет наибольшей и не сможет уравновешивать силу Трение в теоретической механике при ее дальнейшем увеличении. Изменяя силу нормального давления Трение в теоретической механике, можно исследовать, как изменяется при этом предельная сила трения Трение в теоретической механике. Можно также исследовать влияние на предельную силу трения площади соприкосновения тел, сохраняя при этом нормальное давление, а также влияние материала тел, характер обработки поверхностей и другие факторы. Такие опыты позволяют проверить законы Кулона для сухого трения скольжения.

Трение в теоретической механике

Рис. 59

Трение скольжения:

При решении многих технических вопросов приходится принимать в расчет силы трения. Остановимся на рассмотрении сил трения 1-го рода (скольжения).

Трение в теоретической механике

Рис. 31.

Пусть на тело А (рис. 31), лежащее на горизонтальной негладкой плоскости, действует сила Р под углом а к вертикали. Раскладывая силу Р на две составляющие Трение в теоретической механике и Трение в теоретической механике замечаем, что сила Трение в теоретической механике уравновешивается с реакцией плоскости N; вторая же составляющая Трение в теоретической механике неминуемо должна была бы сообщить телу А движение вправо, но при небольшом угле α тело А находится еще в покое; следовательно, в противоположную сторону силы Трение в теоретической механике направлено сопротивление, которое обусловлено силой трения F. Увеличивая постепенно угол будет возрастать до некоторого предела. Обозначим через Трение в теоретической механике угол, при котором начинается скольжение тела по плоскости. В этом случае сила трения достигает наибольшей величины; определяем ее из Δabc при Трение в теоретической механике по формуле:

Трение в теоретической механике

где Трение в теоретической механике — нормальная реакция плоскости.

Угол Трение в теоретической механикеназывается углом трения, а тангенс этого угла — коэффициентом трения скольжения и обозначается через f; следовательно, вообще:

Трение в теоретической механике

Формула (28) выражает первый закон трения, который формулируется так:

Первый закон трения

1. Сила трения прямо пропорциональна нормальному давлению или реакции связи и направлена в сторону, противоположную относительному перемещению трущихся тел.

Этот закон был установлен опытным путем. Амонтоном-Кулоном и другими исследователями были установлены еще следующие законы:

2. Коэффициент трения зависит от материала и состояния трущихся поверхностей.

3. Коэффициент трения в покое больше коэффициента трения в движении.

4. Коэффициент трения не зависит от величины трущихся поверхностей (можно считать правильным лишь в первом приближении).

5. Коэффициент трения зависит от скорости движения трущихся поверхностей и с увеличением этой скорости уменьшается, приближаясь к некоторой предельной величине.

Обращаясь к рисунку 31, замечаем, что тело А находится в равновесии, если сила Р проходит внутри конуса с углом при вершине С, равным двойному углу трения Трение в теоретической механике; такой конус называется конусом трения и играет важную роль при решении задач.

Когда тело А находится еще в покое (рис. 31), то по мере увеличения угла Трение в теоретической механикевозрастает также и сила Трение в теоретической механике, а сила F уменьшается. Наконец, наступает такой момент, когда при Трение в теоретической механике тело находится на грани между покоем и скольжением. В этом случае сила F и коэффициент трения в покое f достигают наибольшего значения. При незначительном увеличении силы Трение в теоретической механике тело А начинает скользить по плоскости, благодаря чему нарушается сцепление между поверхностями соприкасания тела и плоскости. В этом случае сила трения скольжения F коэффициент трения в движении f уменьшаются по величине, приближаясь к некоторой предельной величине с увеличением относительной скорости скольжения. Исключение составляют лишь некоторые’материалы, например при трении кожи о металл в ременных передачах, где с увеличением скорости относительного скольжения коэффициент трения также возрастает.

Трение в теоретической механике

Рис. 32.

Задача №1

Тело А весом Q=100кГ лежит на шероховатой наклонной плоскости (рис. 32,а). Какую наименьшую горизонтальную силу Р ладо приложить к телу, чтобы оно начало двигаться, если коэффициент трения тела о плоскость f=0,2.

Решение. Рассмотрим равновесие тела А. Помимо горизонтальной силы Р на тело действует сила Q, нормальная реакция N плоскости и сила трения F, направленная параллельно плоскости в обратную сторону движения тела (рис. 32,6).

Составляя уравнения равновесия (27), имеем:

Трение в теоретической механике

В двух уравнениях имеются три неизвестные величины: Р, N и F. Для получения третьего уравнения по формуле (28) имеем > зависимость: Трение в теоретической механике.

Выражая в уравнениях равновесия F через N, получим:

Трение в теоретической механике

Оторда находим: Трение в теоретической механике

Задача №2

Определить наибольший и наименьший груз Р, при котором груз Q = 10 кГ не будет двигаться (рис» 33, а). Коэффициент трения груза Q о плоскость f=0,2.

Трение в теоретической механике

Рис. 33.

Указание: при наименьшем грузе Трение в теоретической механике тело А будет стремиться сползти вниз, следовательно сила трения F будет направлена параллельно плоскости вверх (рис. 33, б). При наибольшем грузе Трение в теоретической механике, напротив, тело А стремится двигаться кверху, а потому сила трения F будет направлена параллельно плоскости вниз (рис. 33, в).

Составляя для каждого из случаев (рис. 33, б и 33, в) по два уравнения равновесия и принимая во внимание формулу (28), получим:

Трение в теоретической механике
32

Законы Кулона

1.    Сила трения скольжения находится в общей касательной плоскости соприкасающихся поверхностей тел и направлена в сторону, противоположную направлению возможного или реального скольжения тела под действием приложенных сил. Сила трения при покое зависит от активных сил и ее модуль заключен между нулем и максимальным значением, которое достигается в момент выхода тела из положения равновесия, т. е.

Трение в теоретической механике

2.    Максимальная сила трения скольжения при прочих равных условиях не зависит от площади соприкосновения трущихся поверхностей. Из этого закона следует, что для того, чтобы сдвинуть, например, кирпич, надо приложить одну и ту же силу независимо от того, какой гранью он положен на поверхность, широкой или узкой.

3.    Максимальная сила трения скольжения пропорциональна нормальному давлению (нормальной реакции), т. е.

Трение в теоретической механике

где безразмерный коэффициент Трение в теоретической механике называют коэффициентом трения скольжения; он не зависит от нормального давления.

4.    Коэффициент трения скольжения зависит от материала и физического состояния трущихся поверхностей, т. е. от величины и характера шероховатости, влажности, температуры и других условий. Коэффициент трения скольжения в зависимости от различных условий устанавливается экспериментально. Так, коэффициент трения для кирпича по бетону равен Трение в теоретической механике; для стали по стали — Трение в теоретической механике; для дуба по дубу поперек волокон — Трение в теоретической механике, а для дуба по дубу вдоль волокон — Трение в теоретической механике.

Опыты показывают, что при скольжении одного тела по поверхности другого с некоторой относительной скоростью возникает сила трения скольжения, равная максимальной, только при этом коэффициент трения скольжения незначительно изменяется в зависимости от скорости скольжения. Для большинства материалов он уменьшается с увеличением скорости скольжения, но для некоторых материалов, наоборот, увеличивается (трение кожи о металл).

В приближенных технических расчетах обычно считают, что коэффициент трения скольжения не зависит от относительной скорости скольжения.

В отличие от сухого трения трение при наличии смазывающего слоя между поверхностями определяется распределением относительной скорости скольжения в этом слое. В этом случае трение происходит не между поверхностями тел, а между слоями смазывающего вещества. Теория трения в смазывающем слое жидкости рассматривается в гидродинамике.

Угол и конус трения

Многие задачи на равновесие тела на шероховатой поверхности, т. е. при наличии силы трения, удобно решать геометрически. Для этой цели введем понятия угла и конуса трения.

Пусть твердое тело под действием активных сил находится на шероховатой поверхности в предельном состоянии равновесия, т. е. таком состоянии, когда сила трения достигает своего наибольшего значения при данном значении нормальной реакции (рис. 60). В этом случае полная реакция шероховатой поверхности Трение в теоретической механике отклонена от нормали общей касательной плоскости трущихся поверхностей на наибольший угол.

Этот наибольший угол Трение в теоретической механике между полной реакцией, построенной на наибольшей силе трения при данной нормальной реакции, и направлением нормальной реакции называют углом трения.

Угол трения Трение в теоретической механике зависит от коэффициента трения, т. е.

Трение в теоретической механике

Но по третьему закону Кулона,

Трение в теоретической механике

следовательно,

Трение в теоретической механике

т. е. тангенс угла трения равен коэффициенту трения.

Трение в теоретической механике

Рис. 60

Конусом трения называют конус, описанный полной реакцией, построенной на максимальной силе трения, вокруг направления нормальной реакции. Его можно получить изменяя активные силы так, чтобы тело на шероховатой поверхности находилось в предельных положениях равновесия, стремясь выйти из равновесия по всем возможным направлениям, лежащим в общей касательной плоскости соприкасающихся поверхностей.

Если коэффициент трения во всех направлениях одинаков, то конус трения круговой. Если не одинаков, то конус трения не круговой, например в случае, когда свойства соприкасающихся поверхностей различны (вследствие определенного направления волокон или в зависимости от направления обработки поверхности тел, если обработка происходит на строгальном станке и т. п.).

Равновесие тела на шероховатой поверхности

При равновесии сил, действующих на твердое тело, находящееся в равновесии на шероховатой поверхности, возникает дополнительно неизвестная сила реакции шероховатой поверхности— сила трения. В случае предельного равновесия сила трения достигает своего максимального значения и по формуле (1) выражается через нормальную реакцию. В общем случае равновесия сила трения находится между нулем и ее максимальным значением. Поэтому соответствующие условия равновесия, в которые входит сила трения после замены ее максимальным значением, становятся неравенствами. После этого неизвестные находят путем совместного решения уравнений и неравенств. Для всех неизвестных или для их части получают решения в виде неравенств.

Некоторые задачи на равновесие с учетом сил трения удобно решать геометрически с помощью конуса трения.

Можно сформулировать условия равновесия тела на шероховатой поверхности используя конус трения. Если активные силы, действующие на тело, приводятся к равнодействующей силе Трение в теоретической механике, то при равновесии тела на шероховатой поверхности равнодействующая активных сил Трение в теоретической механике по аксиоме о равновесии двух сил, приложенных к твердому телу, уравновешивается полной реакцией R шероховатой поверхности (рис. 61). Полная реакция проходит через вершину конуса, а следовательно, через вершину конуса проходит и равнодействующая активных сил.

Очевидно, при изменении равнодействующей активных сил тело находится в равновесии до тех пор, пока составляющая Трение в теоретической механике равнодействующей активных сил, лежащая в общей касательной плоскости соприкасающихся поверхностей не будет превышать наибольшего значения силы трения Трение в теоретической механике.

Трение в теоретической механике

Рис. 61

Трение в теоретической механике

Рис. 62

Предельным положением равновесия тела является случай, когда сила Трение в теоретической механике равна силе Трение в теоретической механике. В этом случае равнодействующая активных сил Трение в теоретической механике направлена по образующей конуса трения, так как Трение в теоретической механике—составляющая равнодействующей активных сил по нормали — уравновешена нормальной реакцией Трение в теоретической механике, если только активные силы не отделяют тела от шероховатой поверхности. Поэтому условие равновесия тела на шероховатой поверхности можно сформулировать так: для равновесия тела на шероховатой поверхности необходимо и достаточно, чтобы линия действия равнодействующей активных сил, действующих на тело, проходила внутри конуса трения или по его образующей через его вершину (рис. 62).

Тело нельзя вывести из равновесия любой по модулю активной силой, если ее линия действия проходит внутри конуса трения.

Если линия действия равнодействующей активных сил не проходит внутри конуса трения или по его образующей, то тело на шероховатой поверхности не может находиться в равновесии (рис. 63).

Трение в теоретической механике

Рис. 63

Трение в теоретической механике

Рис. 64

Пример 1.

Тело, сила тяжести которого Трение в теоретической механике, удерживается в равновесии силой Трение в теоретической механике на шероховатой наклонной плоскости, имеющей угол наклона Трение в теоретической механике (рис. 64). Коэффициент трения скольжения между телом и плоскостью Трение в теоретической механике. Сила Трение в теоретической механике действует на тело под углом Трение в теоретической механике к линии наибольшего ската. Определить значение силы Трение в теоретической механике при равновесии тела на шероховатой наклонной плоскости.

Решение. К телу приложены силы Трение в теоретической механике, Трение в теоретической механике, Трение в теоретической механике и сила трения Трение в теоретической механике. Возможны два случая предельного равновесия тела и соответственно два предельных значения силы Трение в теоретической механике при двух направлениях силы трения по наклонной плоскости вниз и вверх в зависимости от направления возможного скольжения вверх по наклонной плоскости и вниз. Для составления уравнений равновесия целесообразно ввести Трение в теоретической механике, где Трение в теоретической механике.

Составляем условия равновесия в виде суммы проекций сил на координатные оси для обоих предельных случаев. Имеем

Трение в теоретической механике

По закону Кулона,

Трение в теоретической механике

Решая эти уравнения относительно Трение в теоретической механике, получаем

Трение в теоретической механике

Отсюда при Трение в теоретической механике

Трение в теоретической механике

при Трение в теоретической механике

Трение в теоретической механике

Таким образом, сила Трение в теоретической механике при равновесии тела должна удовлетворять условию Трение в теоретической механике.

Пример 2.

Однородный тяжелый стержень Трение в теоретической механике длиной Трение в теоретической механике опирается концом Трение в теоретической механике на гладкую вертикальную стену, а другим Трение в теоретической механике — на шероховатую вертикальную стену (рис.65). Расстояние между стенами Трение в теоретической механике. Определить коэффициент трения стены Трение в теоретической механике, при котором возможно равновесие стержня.

Трение в теоретической механике

Рис. 65

Решение. Рассмотрим случай, когда точка Трение в теоретической механике расположена выше точки Трение в теоретической механике стержня. Равновесие стержня невозможно, если точка Трение в теоретической механике расположена ниже точки Трение в теоретической механике. На стержень действуют сила тяжести Трение в теоретической механике, приложенная посередине стержня нормальная реакция гладкой стены Трение в теоретической механике и реакция шероховатой стены Трение в теоретической механике, которую разложим на нормальную реакцию Трение в теоретической механике и силу трения Трение в теоретической механике.

Составим условия равновесия плоской системы сил:

Трение в теоретической механике

К этим условиям следует добавить неравенство для силы трения

Трение в теоретической механике

Из уравнений равновесия находим

Трение в теоретической механике

Из геометрических условий задачи имеем

Трение в теоретической механике

Итак, для силы трения Трение в теоретической механике имеем следующие уравнение и неравенство:

Трение в теоретической механике

Исключая из них силу трения Трение в теоретической механике, после сокращения на Трение в теоретической механике получаем

Трение в теоретической механике

Искомое условие для коэффициента трения Трение в теоретической механике при равновесии стержня принимает вид

Трение в теоретической механике

Трение качения

Если рассматриваемое тело имеет форму катка и под действием приложенных активных сил может катиться по поверхности другого тела, то из-за деформации поверхностей этих тел в месте соприкосновения могут возникнуть силы реакции, препятствующие не только скольжению, но и качению. Примерами таких катков являются различные колеса, как, например, у электровозов, вагонов, автомашин, шарики и ролики в шариковых и роликовых подшипниках и т. п.

Пусть цилиндрический каток находится на горизонтальной плоскости под действием активных сил. Соприкосновение катка с плоскостью из-за деформации фактически происходит не вдоль одной образующей, как в случае абсолютно твердых тел, а по некоторой площадке. Если активные силы приложены симметрично относительно среднего сечения катка, т. е. вызывают одинаковые деформации вдоль всей его образующей, то можно изучать только одно среднее сечение катка. Этот случай рассмотрен ниже.

Активные силы, действующие на катки в виде колес (рис. 66), кроме силы тяжести Трение в теоретической механике обычно состоят из силы Трение в теоретической механике, приложенной к центру колеса параллельно общей касательной в точке Трение в теоретической механике, и пары сил с моментом Трение в теоретической механике, стремящейся катить колесо, называемое в этом случае ведомо-ведущим. Если Трение в теоретической механике, а Трение в теоретической механике то колесо называют ведомым-, если Трение в теоретической механике, a Трение в теоретической механике, то ведущим. Ведомо-ведущими являются колеса локомотива, идущего вторым в составе поезда.

Если активные силы, действующие на колесо, привести к точке Трение в теоретической механике соприкосновения катка с плоскостью, у которых нет деформации, то в общем случае получим силу и пару сил, стремящиеся заставить каток скользить и катиться. Следует различать чистое качение, когда точка соприкосновения Трение в теоретической механике катка не скользит по неподвижной плоскости, и качение со скольжением, когда наряду с вращением катка есть и скольжение, т. е. точка Трение в теоретической механике катка движется по плоскости. При чистом скольжении, наоборот, каток движется по плоскости, не имея вращения.

Трение в теоретической механике

Рис. 66

Трение в теоретической механике

Рис. 67

Трение в теоретической механике

Рис. 68

Соприкосновение среднего сечения колеса с неподвижной плоскостью из-за деформации колеса и плоскости происходит по некоторой линии Трение в теоретической механике. По этой линии на колесо действуют распределенные силы реакции (рис. 67). Если привести распределенные силы к точке Трение в теоретической механике, то в этой точке получим главный вектор Трение в теоретической механике этих распределенных сил с составляющими Трение в теоретической механике (нормальная реакция) и Трение в теоретической механике(сила трения скольжения), а также пару сил с моментом Трение в теоретической механике. При симметричном распределении сил по линии Трение в теоретической механике относительно точки Трение в теоретической механике момент Трение в теоретической механике пары сил равен нулю. В этом случае нет активных сил, стремящихся катить каток в каком-либо направлении. _

Приведем активные силы Трение в теоретической механике в общем случае к точке Трение в теоретической механике. В этой точке получим главный вектор этих сил Трение в теоретической механике и пару сил, момент которой равен главному моменту Трение в теоретической механике(рис. 68).

При равновесии катка, т. е. когда каток не катится и не скользит по плоскости, активные силы уравновешиваются силами реакций связи и, следовательно,

Трение в теоретической механике

Изменив активные силы, приложенные к катку так, чтобы увеличивался момент Трение в теоретической механике пары активных сил, стремящейся катить каток. Пока каток находится в равновесии, увеличивается и равный ему по числовой величине, но противоположный по направлению момент Трение в теоретической механике пары сил, препятствующий качению катка и возникающий от действия на каток неподвижной плоскости. Наибольшее значение Трение в теоретической механике достигается в момент начала качения катка по плоскости.

Установлены следующие приближенные законы для наибольшего момента пары сил, препятствующей качению:

1. Наибольший момент пары сил, препятствующей качению, в довольно широких пределах не зависит от радиуса катка.

2.    Предельное значение момента Трение в теоретической механике пропорционально нормальному давлению, а следовательно, и равной ему нормальной реакции Трение в теоретической механике:

Трение в теоретической механике

Коэффициент пропорциональности Трение в теоретической механике называют коэффициентом трения качения при покое или коэффициентом трения второго рода. Из формулы (3) следует, что Трение в теоретической механике имеет размерность длины.

3.    Коэффициент трения качения Трение в теоретической механике зависит от материала катка, плоскости и физического состояния их поверхностей. Коэффициент трения качения при качении в первом приближении можно считать не зависящим от угловой скорости качения катка и его скорости скольжения по плоскости. Для случая качения вагонного колеса по стальному рельсу коэффициент трения качения Трение в теоретической механике.

Законы трения качения, как и законы трения скольжения, справедливы для не очень больших нормальных давлений и не слишком легко деформирующихся материалов катка и плоскости.

Эти законы позволяют не рассматривать деформации катка и плоскости, считая их абсолютно твердыми телами, касающимися в одной точке. В этой точке соприкосновения в среднем сечении катка кроме нормальной реакции и силы трения надо приложить еще и пару сил, препятствующую качению.

Коэффициент трения качения равен длине Трение в теоретической механике, которую вычислим следующим образом. Сложим нормальную реакцию Трение в теоретической механике с парой сил, препятствующей качению в момент, когда Трение в теоретической механике. Получим ту же силу Трение в теоретической механике, но сдвинутую параллельно самой себе на расстояние

Трение в теоретической механике

В предельном случае равновесия катка Трение в теоретической механике. Эту величину следует отложить в направлении, в котором активные силы стремятся катить каток (рис. 69).

Для того чтобы каток не скользил, необходимо выполнение условия

Трение в теоретической механике

Для заданных активных сил соответственно

Трение в теоретической механике

Для того чтобы каток не катился, должно выполняться условие

Трение в теоретической механике

Для активных сил оно имеет вид

Трение в теоретической механике

Трение в теоретической механике

Рис. 69

Трение в теоретической механике

Рис. 70

Для примера рассмотрим случай ведомого колеса, к которому кроме силы тяжести Трение в теоретической механике приложена еще горизонтальная активная сила Трение в теоретической механике (рис. 70).

Если каток находится в равновесии, то из условий равновесия плоской системы сил, приложенных к катку, получаем

Трение в теоретической механике

где за моментную точку взята точка Трение в теоретической механике.

В случае отсутствия скольжения по формуле (4) с учетом условий равновесия

Трение в теоретической механике

Аналогично, при отсутствии качения по формуле (5) имеем

Трение в теоретической механике

Таким образом, при отсутствии скольжения сила Трение в теоретической механике должна удовлетворять условию Трение в теоретической механике, а при отсутствии качения эта же сила Трение в теоретической механике — удовлетворять другому условию:

Трение в теоретической механике

Если Трение в теоретической механике, то, пока Трение в теоретической механике, каток находится в равновесии.

Если Трение в теоретической механике, то каток катится без скольжения (чистое качение). При Трение в теоретической механике кроме качения появляется еще и скольжение. При Трение в теоретической механике каток находится в равновесии, пока Трение в теоретической механике. Если Трение в теоретической механике, он скользит не вращаясь (поступательное движение). При Трение в теоретической механике наряду со скольжением возникает качение.

В том случае, если Трение в теоретической механике, каток находится в равновесии, пока Трение в теоретической механике. Если же Трение в теоретической механике, то он катится со скольжением.

Обычно Трение в теоретической механике и, следовательно, для начала качения катка требуется значительно меньшая сила Трение в теоретической механике, чем для начала его скольжения. Поэтому по мере увеличения силы Трение в теоретической механике каток сначала начинает катиться, а при дальнейшем ее росте к качению добавляется еще и скольжение.

С точки зрения затраты энергии выгодно заменять скольжение качением. Этим объясняется преимущество шариковых и роликовых подшипников по сравнению с подшипниками скольжения, если даже в них трение и не уменьшается введением смазывающего вещества.

Аналогично трению качения можно рассмотреть и явление возникновения так называемого трения верчения, т.е. случая, когда активные силы стремятся вращать тело, например в форме шара, вокруг нормали к общей касательной поверхности соприкосновения.

В этом случае возникает пара сил, препятствующая верчению, причем наибольший ее момент, возникающий в момент начала верчения, также прямо пропорционален нормальной реакции. Коэффициент пропорциональности, т. е. коэффициент трения верчения, обычно значительно меньше коэффициента трения качения.

Равновесие с учетом сил трения

Задачи, приведенные в этом параграфе, отличаются от предыдущих тем, что в них рассматривается равновесие тел, имеющих, кроме идеальных, еще и реальные связи, т. е. связи с трением.

При свободном опирании тела на поверхность идеальной связи реакция такой связи Трение в теоретической механике (рис. 117, а) направлена перпендикулярно к ее поверхности, т. е. по нормали п к этой поверхности.

Если же тело опирается на поверхность реальной связи (в отличие от идеальных связей реальные связи условимся отмечать двойной штриховкой), то ее реакция Трение в теоретической механике (рис. 117,6)в зависимости от нагрузок, приложенных к телу, отклонится от нормали п к поверхности связи на некоторый угол Трение в теоретической механике

Трение в теоретической механике

Поясним это общее положение следующим примером.

Наклонный брус (рис. 118, а), вес которого G, опирается в двух

точках А и В соответственно на вертикальную и горизонтальную поверхности идеальных связей. Этот брус не может находиться в равновесии, потому что три силы —вес бруса G и реакции Трение в теоретической механикеи Трение в теоретической механике—расположены так, что не выполняется необходимое условие равновесия трех непараллельных сил; их линии действия не пересекаются в одной точке.

Чтобы брус, показанный на рис. 118, а, находился в равновесии, необходимо наложить еще одну связь, например, удержать брус шнуром или упереть в выступ на горизонтальной плоскости (обе возможные связи показаны пунктиром).

Трение в теоретической механике

Теперь представим, что в точке В брус опирается не на идеально гладкую, а на шероховатую (реальную) поверхность (рис 118, б). В этом случае брус может находиться в равновесии без дополнительной связи (шнура или упорной планки). Значит три силы — весТрение в теоретической механике и реакции опор Трение в теоретической механике— образуют уравновешенную систему. Равновесие трех сил, действующих на брус, возможно потому, что реакция Трение в теоретической механикереальной связи отклоняется на некоторый угол Трение в теоретической механике от нормали к поверхности связи и линии действия всех трех сил пересекаются в точке О.

Если реакцию Трение в теоретической механикереальной связи разложим на две составляющие, направленные вдоль поверхности и перпендикулярно к ней (это разложение показано на рис. 118, а справа), то получим силу Трение в теоретической механике—нормальную составляющую Трение в теоретической механике, численно равную нормальному давлению, производимому концом бруса на опору, и силу F—касательную составляющую реакции Трение в теоретической механике которая называется силой трения.

При увеличении угла а, характеризующего наклон бруса относительно горизонтальной поверхности, угол Трение в теоретической механике уменьшается, а вместе с ним уменьшается и сила трения, но брус сохраняет равновесие.

Если же уменьшать угол а, то угол ф, характеризующий отклонение реакции Трение в теоретической механикеот нормали, увеличивается, а вместе с ним увеличивается и сила трения (рис. 118, в). При некотором наклоне бруса, определенном для данной пары соприкасающихся в точке В тел (например, для деревянного бруса, опирающегося о деревянный пол), брус скользит. Это означает, что сила трения, достигая предельного значения, больше увеличиваться не может. При этом реакция отклоняется также до предельного значения Трение в теоретической механикеи при дальнейшем уменьшении угла а линия действия реакции Трение в теоретической механикеуже не попадает в точку пересечения сил G и Трение в теоретической механике

У гол Трение в теоретической механике соответствующий Трение в теоретической механике максимальному значению силы трения, называется углом трения. Числовое значение угла трения зависит от материала соприкасающихся тел и от состояния их поверхностей.

Для случая предельного равновесия  между силой трения и углом трения имеем такую зависимость;
Трение в теоретической механике
Постоянное для данной пары соприкасающихся тел значение Трение в теоретической механикеназывается коэффициентом трения при покое.

Таким образом,

Трение в теоретической механике

При решении задач необходимо учитывать, что сила трения направлена всегда в сторону, противоположную той, при которой точка может скользить по идеальной поверхности.

Если в число реакций связей, обеспечивающих равновесие тела, входит сила трения, то такое состояние равновесия называется самоторможением. Во всех приведенных ниже задачах рассмотрены различные случаи самоторможения (равновесия при наличии силы трения) и условия, при которых возможно самоторможение.

Задача №3

Тело А массой 8 кг поставлено на шероховатую горизонтальную поверхность стола. К телу привязана нить, перекинутая через блок Б (рис. 119, а). Какой груз Р можно подвязать к концу нити, свешивающейся с блока, чтобы не нарушить равновесия тела А? Коэффициент трения f = 0,4. Трением на блоке пренебречь.

Решение.

1.    Если масса тела А m = 8 кг, то его вес

Трение в теоретической механике

2.    Пренебрегая размерами тела, будем считать, что все силы приложены к точке А.

3.    Когда тело поставлено на горизонтальную поверхность, то на него действуют только две силы: вес Трение в теоретической механике и противоположно направленная реакция опоры Трение в теоретической механике (рис. 119,6).

4.    Если же приложить некоторую силу Трение в теоретической механике действующую вдоль горизонтальной поверхности, то реакцияТрение в теоретической механикеуравновешивающая силы Трение в теоретической механике начнет отклоняться от вертикали, но тело А будет находиться в равновесии до тех пор, пока модуль силы Р не превысит максимального значения силы трения F, соответствующей предельному значению угла Трение в теоретической механике(рис. 119, в).

5.    Разложив реакцию Трение в теоретической механикена две составляющие Трение в теоретической механике получаем систему четырех сил, приложенных к одной точке (рис. 119, г).

Трение в теоретической механике

Спроектировав эту систему сил на оси хну, получим два уравнения равновесия:

Трение в теоретической механике
Решаем полученную систему уравнений:
Трение в теоретической механике
но Трение в теоретической механике
поэтомуТрение в теоретической механике

Таким образом, равновесие тела А сохраняется при условии, что к концу нити, перекинутой через блок, подвешен груз, не превышающий по весу 31,4 н.

При этом масса груза Р

Трение в теоретической механике

Задача №4

При каком минимальном коэффициенте трения между полом и лестницей последняя может находиться в равновесии, опираясь верхним концом о гладкую стену, как показано на рис. 120, а? Вес лестницы G = 120 н.

Решение.

1.    На лестницу действует только одна нагрузка — ее собственный вес, приложенный в точке С посредине длины лестницы АВ.

2.    Вес лестницы уравновешен реакцией Трение в теоретической механикегладкой стены и реакцией шероховатого пола, которую заменим двумя составляющими: Трение в теоретической механике — нормальной составляющей иТрение в теоретической механике—силой трения (рис. 120,6).

3.    Составим три уравнения равновесия:

Трение в теоретической механике

Трение в теоретической механике
4.    Из уравнений (1) и (3)
Трение в теоретической механике
А так как N = G [из уравнения (2)[, то минимальный коэффициент трения, обеспечивающий равновесие лестницы.
Трение в теоретической механике
Таким образом, приТрение в теоретической механике 0,2 лестница находится в равновесии.

Задача №5

В месте соприкосновения пола и лестницы в предыдущей задаче коэффициент трения f= 0,4. Сможет ли человек, масса которого 70 кг, подняться по лестнице до самого верха и чтобы лестница при этом не скользила по полу?

Решение.

1.    К силам Трение в теоретической механикедействующим на лестницу и приведенным в предыдущей задаче, необходимо добавить еще одну нагрузку —вес человека Трение в теоретической механике— и приложить его у верхнего конца лестницы (рис. 121).

Трение в теоретической механике

2.    Вес человека
Трение в теоретической механике

3.    Человек сможет подняться до самого верха лестницы лишь в том случае, если горизонтальная составляющая реакции пола (сила Трение в теоретической механике на рис. 121) будет меньше Трение в теоретической механике максимального значения силы трения, возможного при данном коэффициенте трения.

4.    Составим уравнения равновесия:

Трение в теоретической механике

5.    Из уравнения (2)

Трение в теоретической механике
Максимальная сила трения, которая может возникнуть в данном случае

Трение в теоретической механике
Из уравнений (1) и (3) находим силу F—горизонтальную составляющую реакции пола, которая может обеспечить равновесие лестницы с человеком, стоящим наверху:

Трение в теоретической механике

Таким образом,

Трение в теоретической механике
Следовательно, человек сможет подняться по лестнице до самого верха.

  • Заказать решение задач по теоретической механике

Задача №6

При каких значениях угла а, образуемого с гладкой вертикальной стеной, лестница, опирающаяся нижним концом о шероховатый горизонтальный пол, будет находиться в равновесии, если, кроме собственного веса, она ничем не нагружена и известно, что коэффициент трения при соприкосновении лестницы с полом f?

Решение.

1.    Для решения этой задачи воспользуемся рис. 120, б, так как на лестницу действуют те же четыре силы: вес лестницы Трение в теоретической механике реакция гладкой стены Трение в теоретической механикеи две составляющие реакции пола —Трение в теоретической механике

2.    Лестница не выйдет из состояния равновесия (не начнет скользить) до тех пор, пока

Трение в теоретической механике

т. е. пока горизонтальная составляющая реакции пола остается меньше максимальной силы трения, возникающей при опирании лестницы о пол в данном случае.

3. Из уравнений (1) и (3), составленных при решении задачи 90-15, найдено, что

Трение в теоретической механике

Сопоставляем уравнения (а) и (б):

Трение в теоретической механике

А так как в данном случае G =N, то лестница находится равновесии до тех пор, пока выполняется неравенство

Трение в теоретической механике

илиТрение в теоретической механике

где Трение в теоретической механике— угол трения.

Следовательно, лестница находится в равновесии до тех пор, пока тангенс угла, образуемого лестницей с вертикальной гладкой стеной, остается меньше удвоенного коэффициента трения между лестницей и полом. Например, при f=0,4

Трение в теоретической механике

и неравенство (в) соблюдается при значениях углов

Трение в теоретической механике

Следовательно, при f=0,4 лестница не будет скользить по полу при любом значении угла a от 0 до 38°40′.

Следующую задачу рекомендуется решить самостоятельно.

Трение в теоретической механике

Задача №7

При каких значениях угла a однородная лестница, опирающаяся на шероховатые стену и пол (рис. 122), будет находиться в равновесии? Коэффициенты трения при опирании лестницы о стену и о пол считать одинаковыми и равными f.

Ответ. Трение в теоретической механике

Указание. В данной задаче в системе сил, действующих на лестницу, образуется пять неизвестных: четыре реакции и угол а. Поэтому при решении задачи нужно к трем уравнениям равновесия добавить еще два уравнения, выражающих зависимость сил трения от нормального давления.

Трение в теоретической механике

Задача №8

Цилиндр с горизонтальной площадкой наверху (рис. 123, а), находясь в двух кольцевых направляющих, скользит вниз, так как между поверхностью цилиндра и поверхностями направляющих имеется незначительный зазор. Вес цилиндра Трение в теоретической механикеНа каком наименьшем расстоянии l от оси цилиндра необходимо поместить груз Q, чтобы цилиндр перестал скользить? Коэффициент трения f. Расстояние между направляющими кольцами а.

Решение.

1.    На цилиндр в состоянии равновесия действуют две нагрузки: вес Трение в теоретической механике и груз Трение в теоретической механике (рис. 123, б).

2.    Груз Q, помещенный на горизонтальную площадку, прижимает цилиндр к верхнему направляющему кольцу в точке А, а к нижнему — в точке В. Благодаря зазору в точках С и D цилиндр не касается направляющих колец. В точках А и В возникают две реакции, которые заменим их составляющими Трение в теоретической механике Трение в теоретической механике(в точке А) и Трение в теоретической механике (в точке В).

3.    Образовалось пять неизвестных величин: Трение в теоретической механике

Если спроектировать все силы на ось х, то получим
Трение в теоретической механике

откуда

Трение в теоретической механике

Так как и

Трение в теоретической механике

и

Трение в теоретической механике

также, имея в виду равенство (1а), находим что
Трение в теоретической механике

Скоректировав все силы на ось у, получим четвертое уравнение:
Трение в теоретической механике

откуда с учетом (За)Трение в теоретической механике

Приняв за центр моментов точку О, лежащую на оси цилиндра и на середине расстояния а, составим пятое уравнение — уравнение моментов, в котором d- диаметр цилиндра (d = CA = BD):
Трение в теоретической механике
Имея в виду равенства (1а) и (За), уравнение (5) можно упростить так:

Трение в теоретической механике

откуда

Трение в теоретической механике

Если теперь в уравнение (2) подставить значение Трение в теоретической механикеиз (4а), то
Трение в теоретической механике

откуда

Трение в теоретической механике

И теперь выражение (5а) принимает окончательный вид:Трение в теоретической механике

При значениях /, удовлетворяющих полученному неравенству, цилиндр не скользит вниз.

Задача №9

Тело А поставлено на негладкую пластину ВС, которую можно поворачивать около шарнира В. Коэффициент трения f между телом А и пластиной ВС известен. Определить, при каких значениях угла а (рис. 124, а) тело А будет оставаться на пластине в покое? Решение.

1.    Представим, что пластина ВС наклонена к горизонту на некоторый угол а (рис. 124, б).

Трение в теоретической механике

При этом положении пластины на тело А действуют три силы: его собственный вес Трение в теоретической механике нормальная реакция Трение в теоретической механике пластины и сила трения Трение в теоретической механике действующая на тело вдоль пластины и которая при некотором положении пластины ВС сможет достичь максимального значения.

2. Тело А будет находиться в покое до тех пор, пока равнодействующая сил Трение в теоретической механике направленная вдоль пластины, будет оставаться меньше Трение в теоретической механикет. е. пока
Трение в теоретической механике

ноТрение в теоретической механике

поэтомуТрение в теоретической механике

или Трение в теоретической механике
Следовательно, пока тангенс угла наклона пластины к горизонту меньше коэффициента трения, тело А остается в покое.

Это положение выражает так называемое условие самоторможения тела по наклонной плоскости.

3.    Учитывая, что

Трение в теоретической механике
где Трение в теоретической механике — угол трения, неравенство (а) можно представить в виде
Трение в теоретической механике

Так как углы Трение в теоретической механике —острые и, следовательно, меньшему тан генсу соответствует меньший угол, последнее неравенство можно заменить равносильным неравенством

Трение в теоретической механике

Тело А находится в покое на наклонной плоскости до тех пор, пока угол наклона плоскости меньше угла трения.

Следующую задачу рекомендуется решить самостоятельно.

Равновесие при наличии трения

Постановка Задачи. Конструкция состоит из двух шарнирно соединенных между собой тел. Одна из опор конструкции представляет собой одностороннюю связь и допускает проскальзывание с трением. Коэффициент трения, размеры конструкции и часть внешних нагрузок заданы. Найти пределы изменения одной из внешних нагрузок, действующей на конструкцию в условии равновесия.

План решения:

1. Задаем направление возможного движения подвижной опоры, скользящей с трением. Прикладываем к этой опоре силу трения, направляя ее в сторону противоположную возможному движению. Предельное значение силы трения связываем с величиной нормальной реакции опоры N по формуле Кулона Трение в теоретической механике— коэффициент трения, зависящий от свойств контактирующих материалов и заданный в условии задачи.

2. Решаем задачу о равновесии системы тел. Для этого разбиваем систему на две отдельные части, для которых составляем и решаем уравнения равновесия. Из решения определяем предельное значение нагрузки д.чя заданного направления скольжения опоры.

3. Меняем направление возможного движения системы и направление предельной силы трения. Предыдущий пункт плана выполняем заново и определяем другое предельное значение нагрузки. Два найденных значения нагрузки определяют ту область ее изменения, при которой конструкция находится в равновесии.

Задача №10

Конструкция состоит из двух частей, шарнирно соединенных в точке С (рис. 52). Опора В представляет собой одностороннюю связь и допускает проскальзывание с коэффициентом трения Трение в теоретической механикеопора А — неподвижный шарнир. К конструкции приложена пара сил с моментом М = 10 кНм, сила Q = 10 кН под углом Трение в теоретической механике

Размеры даны в метрах. Найти продолы изменения нагрузки Р, действующей под угломТрение в теоретической механике на конструкцию, в условии равновесия.
Трение в теоретической механике
Решение

1. Задаем направление возможного движения подвижной опоры, скользящей с трением Предполагая возможное движение ползуна В влево, силу трения Трение в теоретической механике направим направо (рис. 53). Предельное значение силы трения связываем с нормальной реакцией опоры N по формуле Кулона:

Трение в теоретической механике

где Трение в теоретической механике— коэффициент трения.
Трение в теоретической механике

2. Решаем задачу о равновесии системы тел. Для этого систему разбиваем по шарниру С на две отдельные части — АС и СВ. Реакции шарнира С Трение в теоретической механике для левой и правой части направлены в противоположные стороны (рис. 54). К точке А прикладываем две составляющие реакции неподвижного шарнира Трение в теоретической механикеТрение в теоретической механике

Действие ползуна заменяем нормальной реакцией N, направленной вниз, так как ползун по условию задачи является односторонней связью, и силой трения Трение в теоретической механике Из множества комбинаций уравнений равновесия (§ 2.4, с. 60) выберем уравнение моментов относительно точки А для всей системы в целом (рис. 53) и сумму моментов относительно С для правой части:

Трение в теоретической механике

Уравнения (2) вместе с законом Кулона (1) образуют замкнутую систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными Трение в теоретической механикеРешение системы имеет вид

Трение в теоретической механике

При Трение в теоретической механике получаем Трение в теоретической механике Эта нагрузка для движения влево является предельной.

3. Меняем направление возможного движения системы и направление предельной силы трения. Пусть ползун В движется вправо. Силу Трение в теоретической механике направим в противоположную сторону. Очевидно, знак момента силы Трение в теоретической механике в уравнениях (2) изменится на противоположный, следовательно, решение для нового направления движения будет отличаться от (3) только знаком при Трение в теоретической механике. Формально подставляя в (3) Трение в теоретической механике= —0.2, получим Трение в теоретической механике Значения Трение в теоретической механикеявляются границами области равновесия.

Чтобы убедиться, что равновесие соответствует значениям нагрузки между этими числами, определим Р приТрение в теоретической механике Действительно, из (3) имеем Трение в теоретической механике

Из выражения (3) для N также следует, что при Трение в теоретической механике нормальная реакция N > 0, поэтому отрыв ползуна В от поверхности невозможен. Таким образом, рама находится в равновесии при

Трение в теоретической механике

где

Трение в теоретической механике

Этим нагрузкам соответствуют следующие значения нормальной реакции: Трение в теоретической механике

Замечание. Неравенство Трение в теоретической механике не является обязательным.

Трение качения

Постановка задачи. Система состоит из двух цилиндров, соединенных стержнем. Цилиндры могут кататься без проскальзывания, один цилиндр без сопротивления, другой — с трением качения. В каких пределах меняется внешний момент, приложенный к одному из цилиндров, в условии равновесия системы?

Трение качения происходит за счет деформации цилиндра и опорной поверхности в месте контакта. В результате реакция опоры смещается в сторону возможного движения на половину длины площадки контакта и создает момент сопротивления. Плечо этого момента принимают за коэффициент трения качения. Таким образом, Трение в теоретической механикегде N— реакция опоры, Трение в теоретической механике — коэффициент трения качения, имеющий размерность длины. Так в рамках теоретической механики, где изучается твердое тело, для объяснения явления трения качения вводят гипотезу деформируемости. Считают, что область деформаций

в теле мала, а глубиной продавливания цилиндра в поверхность (или величиной смятия цилиндра) пренебрегают. Коэффициент трения качения зависит не только от свойств материала цилиндра и поверхности, но и от радиуса цилиндра.

План решения:

1. Задаем направление возможного движения при достижении условия предельного равновесия. К катящемуся телу (цилиндру, колесу) прикладываем момент трения качения, направляя его в сторону, противоположную возможному движению. Не забываем про силу сцепления в точке контакта, направленную вдоль плоскости.

2. Решаем задачу о равновесии системы тел. Используем метод разбиения системы на отдельные тела. Внешние и внутренние связи заменяем их реакциями. Составляем и решаем уравнения равновесия. Оси координат для уравнения проекций для цилиндрических тел выбираем вдоль нормальной реакции, а уравнение моментов составляем относительно точки касания. Из решения системы уравнений равновесия определяем условие предельного равновесия.

3. Меняем направление возможного движения системы и направление момента трения качения. Решаем задачу заново, определяем второе условие предельного равновесия.

Задача №11

Система состоит из двух цилиндров весом Трение в теоретической механике и Трение в теоретической механике с одинаковыми радиусами R = 50 см, соединенных однородным стержнем веса Трение в теоретической механикеЦилиндры могут кататься без проскальзывания, цилиндр 1 — без сопротивления, а цилиндр 2 — с трением качения.
Трение в теоретической механике
Коэффициент трения качения Трение в теоретической механике К цилиндру 1 приложена пара с моментом М. К оси цилиндра 2 приложена наклонная сила F = 10 Н (рис. 55). В каких пределах меняется момент М в условии равновесия системы?

Решение

1. Задаем направление возможного движения при достижении условия предельного равновесия. Пусть за счет достаточно большой, по сравнению с моментом М, силы F произойдет движение системы влево. Тогда момент трения качения, приложенный к цилиндру 2, будет направлен по часовой стрелке (рис. 57). Его величину находим по формуле Трение в теоретической механике

2. Решаем задачу о равновесии системы двух цилиндров и стержня. Разбиваем систему на три тела (рис. 56, 57, 58). Внешние связи заменяем реакциями Трение в теоретической механике
Трение в теоретической механике
Реакции Трение в теоретической механике приложены к цилиндрам в точках их касания поверхностей, вызваны силами сцепления (трения) и обеспечивают вращение цилиндров. Реакции внутренних связей — Трение в теоретической механике

При составлении системы семи уравнений с неизвестными Трение в теоретической механикеТрение в теоретической механикеизбегаем уравнения, в которые входят неизвестные реакции Трение в теоретической механике

Составляем уравнения равновесия для цилиндра 1 (рис. 56):

Трение в теоретической механике

Уравнения равновесия цилиндра 2 (рис. 57) имеют вид

Трение в теоретической механике

3.2.Трения качения

Уравнения равновесия стержня АВ (рис. 58) имеют вид

Трение в теоретической механике

Из решения системы уравнений (1-3) определяем

Трение в теоретической механике

Радиус и коэффициент трения качения переводим в метры R = 0.5 м, Трение в теоретической механикеПолучаем М — 3.414 Нм. Вычисляем нормальные реакции опор:

Трение в теоретической механике

Убеждаемся, что Трение в теоретической механике что соответствует наличию опоры. Если реакция опоры равна нулю, то это означает отрыв тела от поверхности, отрицательной реакции опоры Трение в теоретической механике в задаче с односторонней связью не существует (физически не реализуется).

3. Меняем направление возможного движения системы. Пусть за счет действия момента М произойдет движение системы вправо. Момент трения качения направим против часовой стрелки (рис. 59). Составляя уравнения равновесия для новой системы сил, заметим, что отличие от прежней системы проявляется только в знаке Трение в теоретической механике во втором уравнении равновесия (2). Так как Трение в теоретической механике то новое решение для М будет формально отличаться от (4) только знаком у коэффициента трения Трение в теоретической механикеПоэтому, не решая (и даже не составляя) системы уравнений равновесия типа (1-3) для нового направления возможного движения, записываем ответ, изменяя знаки у Трение в теоретической механике в (4):

Трение в теоретической механике

Точно так же находим нормальные реакции опор: Трение в теоретической механикеТрение в теоретической механикеПри равновесии системы момент, приложенный к
 цилиндру 1, изменяется в пределах (в Нм) Трение в теоретической механике

Трение в теоретической механике

  • Пространственная система сил
  • Центр тяжести
  • Кинематика точки
  • Плоское движение твердого тела
  • Теория пар сил
  • Приведение системы сил к простейшей системе
  • Условия равновесия системы сил
  • Плоская система сил

Как найти коэффициент трения

На данной странице калькулятор поможет рассчитать коэффициент трения онлайн. Для расчета задайте угол наклона.

Коэффициент трения – количественная характеристика силы, необходимой для скольжения или движения одного материала по поверхности другого.

По углу наклона


Коэффициент трения

Угол α:

Результат


Ответы:

Формула для нахождения средней скорости, зная расстояние и время:

α – угол наклона.

Пусть имеем линейку, тело и наклонную плоскость, угол наклона которой можно изменять.

Задача.

Определить коэффициент трения скольжения тела по наклонной плоскости с использованием  данных нам объектов.

Как  известно, любую физическую величину можно либо измерить с помощью прибора, либо рассчитать по формуле.

Мы, конечно, помним формулу, по которой можно рассчитать коэффициент трения  µ = Fтр/N. Но, значения сил, входящих в формулу нам не известны. Вспомним, что прибор для измерения силы называется  динамометр, а по условию задания  у нас есть только линейка.

Решение.

Пусть тело находится на наклонной плоскости. При увеличении угла наклона плоскости до определенного значения βmax тело ещё покоится на месте. Именно этот предельный угол βmax  для нас имеет значение. Выполним чертёж к этой задаче. Изобразим на чертеже все силы, действующие на тело в этом случае. Такими силами будут: со стороны Земли – сила тяжести mg, со стороны опоры – сила реакции опоры N и сила трения Fтр.

Р1Так как тело при предельном угле βmax ещё находится в покое, то равнодействующая этих трёх сил равна нулю (*)

Запишем II закон Ньютона в векторном виде для этого случая:

ma->= mg->+ N->+ Fтр->

Запишем теперь этот же закон в проекциях на оси, помня о выражении (*):

OX: 0 = -mgSIN β + 0 + Fтр => mgSIN β = Fтр   (1)

OY: 0 = -mgCOS β + N + 0 => mgCOS β = N    (2)

Вспомним о том, что /Fтр/ = /µN/ и перепишем выражение (1) в другом виде (выражение (2 )оставим без изменения):

mgSIN β = µN       (3)

mgCOS β = N       (2)

Разделим выражение (3) на выражение (2)

mgSIN β / mgCOS β = µN/N,

tg β =  µ.

Формула для расчёта коэффициента трения выведена, осталось вспомнить определение тангенса угла βmax в прямоугольном треугольнике АВС. Смотрим внимательно на чертёж ниже.

Р2

Итак, µ = tg β = ВС/AC.

Длины ВС и AC измеряем линейкой. Задание выполнено!

А если Вы знаете другие способы определения коэффициента трения при помощи исходного оборудования, то напишите нам в блог.

Остались вопросы? Не знаете, как подготовиться к лабораторной работе по физике?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Остались вопросы?

Задайте свой вопрос и получите ответ от профессионального преподавателя.

Работа 2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ СИЛ ТРЕНИЯ
СКОЛЬЖЕНИЯ

Принадлежности: прибор, прямоугольный
прозрачный треугольник с миллиметровыми
делениями.

Введение. Если к телу (бруску),
лежащему на горизонтальной плоскости,
приложить небольшую силу F
(рис. I), оно будет покоиться,
так как внешняя сила F
будет уравновешена силой трения покоя
fтр.
С увеличением силы F будет
в такой же степени расти и сила трения.
Последняя, однако не может расти
беспредельно.

Когда
она достигнет максимальной величины,
брусок начнёт скользить по плоскости.
В этом случае сила трения покоя сменяется
силой трения скольжения, которая
несколько меньше силы трения покоя (на
10-20%). Опыт показывает, что сила трения
скольжения Рис. I
пропорциональна силе N,
с которой тела прижимаются друг к другу,
и не зависит от площади соприкосновения
тел:

fтр
= kN,

где k – коэффициент силы
трения скольжения. Величина его зависит
только от свойств трущихся поверхностей
и в общем случае от скорости их
относительного движения.

Известен простой способ измерения
коэффициента силы трения. Для этого
наклоняют плоскость с лежащим на ней
бруском до тех пор, пока брусок не начнёт
скользить. В этом случае сила тяжести
бруска раскладывается на две составляющие
– “скатывающую силу” F
и силу давления N. Для
определения коэффициента силы трения
достаточно измерить предельный угол
наклона плоскости к горизонту, при
котором тело начинает скользить по
плоскости, при этом F =
fтр.
Тогда коэффициент силы трения можно
вычислить по формуле:

,

где φ – предельный угол наклона плоскости.

В
данной работе предлагается несколько
видоизменённый метод определения
коэффициента трения. Сущность его можно
пояснить с помощью рис. 2. Тело (брусок)
1 помещают на горизонтальную плоскость
2, по которой равномерно движется
прямоугольный треугольник 3 со скоростью
υ вдоль одного из своих катетов и
гипотенузой толкает брусок 1. Если сила
трения между бруском и гипотенузой
треугольника достаточно велика, брусок
будет двигаться в ту же сторону, что и
треугольник. При достаточно больших
углах α брусок начнёт скользить по
гипотенузе треугольника и сила трения
покоя между ними сменится силой трения
скольжения. Брусок начнёт двигаться
вдоль равнодействующей F
двух сил: силы трения скольжения Fтр
между бруском и горизонтальной
плоскостью. Сила N всегда
направлена нормально к гипотенузе
треугольника. Направление силы F
можно определить по направлению движения
бруска. Тангенс угла γ между силами N
и F даёт значение коэффициента
силы трения скольжения бруска о линейку:

.
(1)

Описание прибора. Установка (рис.
3) состоит из горизонтальной доски 1 с
зажимом 2 и “рейсшины”, имеющей
металлическую линейку 3 (которая выполняет
роль гипотенузы прямоугольного
треугольника в рассматриваемой теории),
ползушку 4 и винт 5, которым линейка может
закрепляться на ползушке под разными
углами α. Движущимся телом является
пластинка 6.

Линейка рейсшины закрепляется на
ползушке под углом α не менее 45 градусов.
Пластинка помещается на доске справа
от линейки, соприкасаясь с ней. При
перемещении рейсшины слева направо
наблюдается движение пластинки по
линейке в сторону её свободного конца.

Пусть центр масс пластинки переместился
по доске на расстояние L1L2.
Проекция перемещения на нормаль к
линейке будет L1M.
Сравнивая рисунки 2 и 3, видим, что
коэффициент силы трения скольжения
пластинки по линейке может быть определён
по формуле (1).

Рис. 3

Для отметок начального и конечного
положения центра масс пластинка имеет
отверстие в своём геометрическом центре.
Отметка производится карандашом через
это отверстие на листе бумаги, положенном
на доску и закреплённом зажимом 2. Линейка
рейсшины сделана из уголкового дюраля,
а пластинки – из разных материалов.

Измерения. 1. На плоскость доски
накладывается и закрепляется зажимом
2 лист бумаги.

2. На бумагу помещается линейка рейсшины,
ползушка которой до упора сдвинута
влево. К поверхности линейки прикладывается
брусок. Очень осторожно, придерживая
левой рукой рейсшину и брусок, отмечают
остро отточенным карандашом начальное
положение центра масс бруска (точка
L1).

3. Плавно и равномерно, прижимая ползушку
к ребру доски, перемещают рейсшину до
предела вправо. Осторожно, не сдвигая
при этом бруска, отмечают новое положение
центра масс (точка L2).

4. Через точки L1
и L2
проводят карандашом прямую, которая
является траекторией движения бруска.
Смещают линейку влево и с помощью
прозрачного прямоугольного треугольника
проводят карандашом нормаль к линейке
из точки пересечения её с траекторией.
Тангенс угла между этими прямыми будет
равен коэффициенту трения скольжения.
Тангенс угла γ определяют из соотношения
катетов прямоугольного треугольника,
который получается путём пересечения
этих прямых нормалью к одной из них.

5.Описанные в пунктах 3-4 операции повторяют
для каждой пластинки не менее пяти раз,
варьируя в небольших пределах угол α.
Все результаты измерений заносят в
таблицу. После их обработки записывают
окончательный результат в виде:

где

6. Вычисляют относительную погрешность
.

7. Убедиться, что изменение величины
силы трения между нижней поверхностью
пластинки и поверхностью доски не
изменяет величину коэффициента трения.
Для этого проводят ещё одно измерение,
положив на пластинку гирьку 200г. В этом
случае необходимо быть особенно
осторожным, чтобы при наложении и снятии
гирьки и отметке карандашом точек центра
масс, не сдвинуть пластинку. Сопоставляют
вычисленный для этого случая коэффициент
трения с ранее полученной величиной.

Контрольные вопросы.

1. Что такое коэффициент трения?

2. Как зависит сила трения скольжения
от скорости?

3. Чем отличается сухое трение от
вязкого?

4. Нарисуйте схематически экспериментальную
установку.

Литература

Матвеев А.Н. Механика и теория
относительности. – М.: Высшая школа,
1976, гл.12, §53.

Стрелков С.П. Механика. – М.: Наука,
1975, гл 5, § 38, 41, 42.

Савельев И.В. Курс общей физики. Т.1.
– М.: Наука, 1977, гл. 2, § 15.

Соседние файлы в папке Методички (мех)

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

Добавить комментарий