Коэффициент усиления в установившемся режиме
Одна из важнейших характеристик линейной
системы – коэффициент усиления в
установившемся режиме или статический
коэффициент усилении (static
gain, DC–gain).
Его можно определить как установившееся
значение сигнала выхода при постоянном
входном сигнале, равном единице.
Размерность этой величины равна отношению
размерностей сигналов выхода и выхода.
Рассмотрим дифференциальное уравнение
.
Полагая все производные (в установившемся
режиме) равными нулю, получаем
.
Статический коэффициент усиления равен
.
Если задана передаточная функции, для
вычисления
надо подставить в нее
,
поскольку переменная
соответствует оператору дифференцирования.
Рассмотренному выше уравнению можно
сопоставить передаточную функцию
.
Тогда
.
Если система содержит интегрирующее
звено (передаточная функция имеет полюс
в точке
),
этот предел равен бесконечности, то
есть, при постоянном сигнале выход
бесконечно увеличивается или уменьшается,
не достигая установившегося режима.
Тот же результат можно получить с помощью
эквивалентной модели в пространстве
состояний. С помощью среды Matlabнаходим
.
Полагая
,
получаем модель, определяющую
установившийся режим
,
откуда следует
.
Для нашей системы, как и раньше, получаем
.
Заметьте, что для того, чтобы статический
коэффициент усиления был конечен,
требуется обратимость матрицы
,
то есть, отсутствие интегрирующих
звеньев3.
Чтобы найти статический коэффициент
усиления модели fвMatlab,
используется команда
>>
k
= dcgain
( f
)
Импульсная характеристика
Импульсной характеристикой(весовой
функцией)
называется реакция системы на единичный
бесконечный импульс (дельта-функцию
или функцию Дирака) при нулевых начальных
условиях. Дельта-функция
определяется
равенствами
,
.
Это обобщенная функция– математический
объект, представляющий собой идеальный
сигнал, никакое реальное устройство не
способно его воспроизвести. Дельта-функцию
можно рассматривать как предел
прямоугольного импульса единичной
площади с центром в точке
при стремлении ширины импульса к нулю.
Второе название – весовая функция– связано с тем, что для произвольного
входного сигнала
выход системы
вычисляется как свертка
.
Здесь функция
как бы «взвешивает» входной сигнал в
подынтегральном выражении.
Импульсная характеристика отражает
лишь вход-выходные соотношения при
нулевых начальных условиях, то есть,
не может полностью описывать динамику
системы.
Понятие импульсной характеристики
используется главным образом для систем,
передаточные функции которых строго
правильные. Если передаточная функция
правильная, но не строго правильная,
коэффициент прямой передачи с входа на
выход (матрица
модели в пространстве состояний) не
равен нулю, поэтому бесконечный импульс
на входе в момент
передается на выход. Такую (бесконечную
по величине) импульсную характеристику
невозможно построить. СистемаMatlabв этом случае строит импульсную
характеристику для строго правильной
части, принимая
.
Это один из тех случаев, когда компьютер
выдает качественно неверный результат.
Если система не содержит интеграторов,
импульсная характеристика стремится
к нулю. Это следует из теоремы о предельном
значении:
,
где
– передаточная функция системы, которая
является преобразованием Лапласа для
.
Импульсная характеристика системы с
одним интегратором стремится к постоянной
величине, равной статическому коэффициенту
передачи системы без интегратора. Для
системы с двумя интеграторами импульсная
характеристика асимптотически стремится
к прямой, с тремя интеграторами – к
параболе и т.д.
Соседние файлы в папке ZIP11_ML
- #
- #
- #
- #
Децибелы
Добавлено 4 декабря 2015 в 21:59
В простейшем виде, коэффициент усиления усилителя – это отношение выхода к входу. Как и все коэффициенты, коэффициент усиления безразмерен. Тем не менее, существует реальная единица измерения, предназначенная для представления коэффициента усиления, и называется она бел.
Как единица измерения, бел фактически был придуман для удобства представления потерь мощности в системе телефонных проводов, а не для коэффициента усиления усилителей. Название единицы измерения происходит от Александра Грэма Белла, известного шотландского изобретателя, чья работа сыграла важную роль в развитии телефонных систем. Первоначально, бел выражал количество потерь мощности сигнала в электрическом кабеле стандартной длины из-за его сопротивления. Теперь же он является общим термином для обозначения логарифма (с основанием 10) отношения мощностей (выходной мощности, деленной на входную мощность):
[A_{P(раз)} = frac{P_{вых}}{P_{вх}}]
[A_{P(Бел)} = log frac{P_{вых}}{P_{вх}}]
Поскольку бел является логарифмической единицей, он нелинеен. Чтобы дать вам представление о том, как это работает, рассмотрим следующую таблицу значений, сравнивая потери и усиления по мощности в децибелах с безразмерными коэффициентами:;
| Усиление/потери в разах | Усиление/потери в белах |
|---|---|
| [ frac{P_{вых}}{P_{вх}}] | [ log frac{P_{вых}}{P_{вх}}] |
| 1000 | 3 Б |
| 100 | 2 Б |
| 10 | 1 Б |
| 1 (нет потерь или усиления) |
0 Б |
| 0,1 | – 1 Б |
| 0,01 | – 2 Б |
| 0,001 | – 3 Б |
| 0,0001 | – 4 Б |
Позже было решено, что бел был слишком большой единицей измерения, чтобы пользоваться им напрямую, и поэтому он стал применяться с метрической приставкой деци (что означает 1/10), что дает децибелы или дБ (dB). Сейчас выражение «дБ» встречается настолько часто, что многие люди не понимают, что это сочетание «деци-» и «-бел», или что даже есть такая единица измерения, как «бел». Чтобы представить это, вот еще одна таблица сравнения усиления/потерь в разах и децибелах:
| Усиление/потери в разах | Усиление/потери в децибелах |
|---|---|
| [ frac{P_{вых}}{P_{вх}}] | [ 10 , log frac{P_{вых}}{P_{вх}}] |
| 1000 | 30 дБ |
| 100 | 20 дБ |
| 10 | 10 дБ |
| 1 (нет потерь или усиления) |
0 дБ |
| 0,1 | – 10 дБ |
| 0,01 | – 20 дБ |
| 0,001 | – 30 дБ |
| 0,0001 | – 40 дБ |
Как логарифмическая единица измерения, этот способ измерения коэффициента усиления охватывает широкий диапазон отношений с минимальным диапазоном чисел. Разумно спросить, «почему кто-то решил, что необходимо придумать логарифмическую единицу измерения потерь мощности электрического сигнала в телефонной системе?». Ответ связан с динамикой человеческого слуха, сила восприимчивости которого имеет логарифмическую природу.
Человеческий слух крайне нелинеен: для того, чтобы удвоить воспринимаемую громкость звука, фактическая мощность звука должна быть умножена в 10 раз. Относительно потерь мощности телефонного сигнала логарифмическая шкала в «белах» идеально подходит по смыслу в данном контексте: потери мощности на 1 бел соответствуют потерям воспринимаемого звука на 50 процентов, или на 1/2. Усиление мощности на 1 бел соответствует удвоению воспринимаемой громкости звука.
Почти полной аналогией шкалы в белах является шкала Рихтера, используемая для описания силы землетрясения: землетрясение 6,0 баллов по шкале Рихтера в 10 раз мощнее, чем землетрясение 5,0 баллов; землетрясение 7,0 баллов по шкале Рихтера в 100 раз мощнее, чем землетрясение 5,0 баллов, и так далее. Шкала измерения химического показателя pH также логарифмическая, разница в 1 по шкале эквивалентна десятикратной разнице в концентрации ионов водорода в химическом растворе. Преимущество использования логарифмической шкалы измерения заключается в выражении огромного диапазона значений, обеспечиваемом относительно небольшим диапазоном числовых значений, и это же преимущество позволяет использовать баллы Рихтера для землетрясений и pH для активности ионов водорода.
Еще одна причина для использования белов, как единицы измерения коэффициента усиления, – это простота формул коэффициентов усиления и потерь. Рассмотрим последний пример (рисунок на предыдущей странице), где два усилителя подключены друг к другу для усиления сигнала. Соответствующий коэффициент усиления для каждого усилителя был выражен в разах, а общий коэффициент усиления системы был равен произведению этих двух коэффициентов:
Общий коэффициент усиления = 3 x 5 = 15Если эти цифры представляют собой коэффициенты усиления по мощности, мы можем непосредственно применить единицы измерения в белах, чтобы выразить коэффициент усиления каждого усилителя и системы в целом (рисунок ниже).
При близком рассмотрении значений этих коэффициентов усиления в единицах «бел» можно заметить: они складываются. Значения коэффициентов усиления в разах для каскадов усилителей перемножаются, а значения коэффициентов усиления в белах складываются для получения общего коэффициента усиления системы. Первый усилитель с коэффициентом усиления по мощности 0,477 Б добавляется к коэффициенту усиления по мощности второго усилителя 0,699 Б, чтобы получить общий коэффициент усиления системы 1,176 Б.
При пересчете в децибелах мы видим то же самое (рисунок ниже).
Для тех, кто уже знаком с математическими свойствами логарифмов, это не было сюрпризом. Это элементарное правило алгебры: антилогарифм суммы значений логарифмов двух чисел равен произведению этих двух чисел. Другими словами, если мы возьмем два числа и определим логарифм каждого из них, затем сложим значения двух логарифмов вместе, а затем определим «антилогарифм» этой суммы (возвести основание логарифма – в данном случае 10 – в степень этой суммы), результат будет таким же, как если бы мы просто перемножили два изначальных числа. Это алгебраическое правило формирует суть устройства, называемого логарифмической линейкой, аналоговым компьютером, который, помимо прочего, может определять произведения и частные от деления с помощью сложения (сложение физических длин, отмеченных на движущихся деревянных, металлических или пластиковых шкалах). При наличии таблицы значений логарифмов, этот же математический трюк может быть использован для выполнения другим способом сложных умножений и делений с помощью только сложений и вычитаний соответственно. С появлением высокоскоростных микрокалькуляторов, эта элегантная технология расчетов практически исчезла из популярного использования. Тем не менее, это всё еще важно понимать при работе с измерительными шкалами, которые являются логарифмическими, такими, как бел (децибел) и шкала Рихтера.
При преобразовании коэффициента усиления по мощности из бел или децибел в безразмерные коэффициенты, используется обратная математическая функция для логарифмирования: возведение числа 10 в степень или антилогарифм.
Если
[A_{P(Бел)} = log A_{P(раз)}]
то
[A_{P(раз)} = 10^{A_{P(Бел)}}]
Преобразование децибел в безразмерные коэффициенты для коэффициентов усиления по мощности почты такое же, только в показатель степени добавляется делитель на 10:
Если
[A_{P(дБ)} = 10 , log A_{P(раз)}]
то
[A_{P(раз)} = 10^{frac{A_{P(дБ)}}{10}}]
Пример:
Мощность на входе усилителя составляет 1 Ватт, а мощность на выходе – 10 Ватт. Найдите коэффициент усиления в дБ.
[A_{P(дБ)} = 10 , log_{10} (P_{вых}/P_{вх}) = 10 , log_{10} (10/1) = 10 , (1) = 10 , дБ]
Пример:
Найдите коэффициент усиления по мощности AP(раз) = (Pвых/Pвх) для коэффициента усиления по мощности 20 дБ.
[A_{P(дБ)} = 20 = 10 , log_{10} A_{P(раз)}]
[20/10 = log_{10} A_{P(раз)}]
[10^{20/10} = 10^{log_{10} A_{P(раз)}}]
[100 = A_{P(раз)} = (P_{вых}/P_{вх})]
Поскольку бел изначально является единицей измерения усиления или потерь мощности в системе, усиление и потери по напряжению или по току не могут быть преобразованы в белы или децибелы совсем таким же способом. При использовании бел или децибел для выражения усиления других величин, кроме мощности, будь то напряжение или ток, мы должны выполнить расчет, какой коэффициент усиления по мощности соответствует заданному коэффициенту усиления по напряжению или току. Для постоянного сопротивления нагрузки, усиление напряжения или тока в 2 раза соответствует усилению по мощности в 4 раза (22); усиление напряжения или тока в 3 раза соответствует усилению по мощности в 9 раз (32). Если мы умножим напряжение или ток на какой-либо коэффициент, то усиление по мощности будет равно квадрату этого коэффициента. Это связано с формулами закона Джоуля–Ленца, где мощность рассчитывалась из значений напряжения или тока и сопротивления:
[P = frac{U^2}{R}]
[P = I^2R]
Мощность пропорциональна и квадрату напряжения, и квадрату тока.
Таким образом, при переводе коэффициента усиления по напряжению или току из раз в белы, мы должны включить этот показатель степени в уравнения:
Такой же показатель степени необходим и выражении коэффициента усиления по току или напряжению и в децибелах:
Тем не менее, благодаря еще одному интересному свойству логарифмов, мы можем упростить эти уравнения, устранив показатель степени и добавив «2», как множитель к функции логарифма. Другими словами, вместо вычисления логарифма квадрата напряжения или тока, мы просто умножаем значение логарифма коэффициента усиления напряжения или тока на 2, окончательный результат в белах или децибелах будет точно таким же:
для бел:
[A_{U(Бел)}=log A_{U(раз)}^2] …аналогично… [A_{U(Бел)}= 2 log A_{U(раз)}]
[A_{I(Бел)}=log A_{I(раз)}^2] …аналогично… [A_{I(Бел)}=2log A_{I(раз)}]
для децибел:
[A_{U(Бел)}=10 log A_{U(раз)}^2] …аналогично… [A_{U(Бел)}= 20 log A_{U(раз)}]
[A_{I(Бел)}=10 log A_{I(раз)}^2] …аналогично… [A_{I(Бел)}= 20 log A_{I(раз)}]
Процесс преобразования коэффициентов усиления по напряжению или току из бел или децибел в безразмерные коэффициенты почты точно такой же, как и для коэффициентов усиления по мощности:
Если [A_{U(Бел)} = 2 , log A_{U(раз)}] то [A_{U(раз)} = 10^{frac{A_{U(Бел)}}{2}}]
Если [A_{I(Бел)} = 2 , log A_{I(раз)}] то [A_{I(раз)} = 10^{frac{A_{I(Бел)}}{2}}]
И уравнения, используемые для преобразования коэффициентов усиления по напряжению или току в децибелах в безразмерные коэффициенты:
Если [A_{U(дБ)} = 20 , log A_{U(раз)}] то [A_{U(раз)} = 10^{frac{A_{U(дБ)}}{20}}]
Если [A_{I(дБ)} = 20 , log A_{I(раз)}] то [A_{I(раз)} = 10^{frac{A_{I(дБ)}}{20}}]
В то время как бел – это единица, изначально сопоставимая с мощностью, другая логарифмическая единица, придуманная, чтобы выразить усиление/потери по напряжению или току, основывается на натуральном логарифме, а не на десятичном, как белы и децибелы. Названная непером, единица измерения обозначается «Нп» («Np», может встречаться и с «n» в нижнем регистре).
[A_{U(раз)} = frac{U_{вых}}{U_{вх}}][A_{U(непер)} = ln A_{U(раз)}]
[A_{I(раз)} = frac{I_{вых}}{I_{вх}}][A_{I(непер)} = ln A_{I(раз)} ]
К лучшему или к худшему, ни непер, ни его ослабленный кузен, децинепер, не очень широко используются в качестве единицы измерений в американских инженерных приложениях.
Пример:
Напряжение на линейном 600 омном входе усилителя составляет 10 мВ, напряжение на его нагрузке 600 Ом составляет 1 В. Найдите коэффициент усиления по мощности в дБ.
[A_{дБ} = 20 , log_{10}(U_{вых} / U_{вх}) = 20 , log_{10}(1/0.01) = 20 , log_{10}(100) = 20 (2) = 40 , дБ]
Пример:
Найти коэффициент усиления по напряжению в разах AU(раз) = (Uвых/Uвх) для усилителя с коэффициентом усиления 20 дБ и входным и выходным сопротивлениями, равными 50 Ом.
[A_{U(дБ)} = 20 , log_{10}A_{U(раз)}]
[20 = 20 , log_{10}A_{U(раз)}]
[20/20 = log_{10}A_{U(раз)}]
[10^{20/20} = 10^{log_{10}A_{U(раз)}}]
[10= A_{U(раз)} = (U_{вых}/U_{вх})]
Подведем итоги:
Усиление и потери могут быть выражены в безразмерных коэффициентах или в единицах измерения белах (Б) или децибелах (дБ). Децибел – это буквально деци-бел: одна десятая часть бела.
Бел – единица изначально для выражения усиления или потерь по мощности. Чтобы преобразовать отношение мощностей в белы или децибелы, используйте одно из этих уравнений:
[A_{P(Бел)} = log , A_{P(раз)}]
[A_{P(дБ)} = 10 , log , A_{P(раз)}]
При использовании единицы измерения бел или децибел для выражения отношений напряжений или токов, необходимо основываться на эквивалентном отношении мощностей. Практически это означает использование других уравнений с коэффициентом умножения 2 для значений логарифмов, что соответствует степени 2 в отношениях напряжений или токов:
[A_{U(Бел)} = 2 , log A_{U(раз)}][A_{I(Бел)} = 2 , log A_{I(раз)}]
[A_{U(дБ)} = 20 , log A_{U(раз)}][A_{I(дБ)} = 20 , log A_{I(раз)}]
Чтобы преобразовать усиление в децибелах в безразмерный коэффициент усиления, используйте одно из этих уравнений:
[A_{U(раз)} = 10^{frac{A_{U(дБ)}}{20}}]
[A_{I(раз)} = 10^{frac{A_{I(дБ)}}{20}}]
[A_{P(раз)} = 10^{frac{A_{P(дБ)}}{10}}]
Усиление (увеличение) выражается в положительных значениях бел или децибел. Потери (затухание) выражаются в отрицательных значениях бел или децибел. Единичное усиление (нет ни усиления, ни потерь; отношение = 1) выражается, как ноль бел или ноль децибел.
При расчете общего коэффициента усиления для усилительной системы, состоящей из нескольких каскадов усилителей, отдельные коэффициенты усиления в разах перемножаются, чтобы найти общий коэффициент усиления в разах. Значения бел и децибел для каждого усилительного каскада, с другой стороны, суммируются для определения общего коэффициента усиления в белах или децибелах.
Теги
ДецибелКоэффициент усиленияОбучениеЭлектроника
Коэффициент усиления по напряжению, току или мощности показывает, во сколько раз установившееся напряжение (ток или мощность) на выходе усилителя больше, чем на входе, и определяется как отношение напряжения (тока или мощности) на выходе усилителя к его одноименному значению на входе: Ku = Uвых/Uвх.; Кa =Iвых/Iвх; Кp = Рвых/Pвх. Зависимость К от частоты называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) усилителя.
Здесь по горизонтали отложена обычная частота f. Вместо f можно откладывать и угловую частоту Омега w (обозначается не совсем так, лучше посмотреть латинский алфавит). w= 2пf, где п – константа равная 3.14.
Для АЧХ типичным является наличие области средних частот, в которой коэффициент усиления почти не зависит от частоты и обозначается Ко.
Как правило так же обозначается и максимальный коэффициент усиления, часто эти два понятия приравнивают друг к другу. Его иногда называют номинальным коэффициентом усиления.
Чаще всего на АЧХ во вертикальной оси используют относительный масштаб, откладывая нормированное значение коэффициента усиления. Км=К/Ко, тогда Ко в действительности примет значение равное 1. И тогда АЧХ Км(f) называется нормированной.
Частоты, на которых относительное усиление уменьшается до условного уровня, равного 0.707 или 0.7, называют граничными: fв и fн – соответственно верхняя и нижняя. Диапазон частот от fн и fв называется полосой пропускания П= fв-fн.
Коэффициент усиления мощности можно выразить в более мелких единицах – децибелах (дБ): Кp, ДБ= 10 lgKp.
Эту запись можно преобразовать для нахождения коэффициента усиления по напряжению. Отсюда,
10 lg((U^2вых/R)/(U^2вх/R) = 20 lg Uвых/Uвх.
Уровень граничных частот можно также найти по уровню сигнала измеряемого в дБ. Чтобы найти граничные частоты, необходимо опуститься на 3 дБ.
Фазочастотная характеристика
Зависимость от частоты фазового сдвига “фи”, вносимого усилителем, называется его фазочастотной характеристикой.
Фазочастотная характеристика (ФЧХ) — зависимость разности фаз между выходным и входным сигналами от частоты сигнала, функция, выражающая (описывающая) эту зависимость, также — график этой функции. Для линейной электрической цепи, зависимость сдвига по фазе между гармоническими колебаниями на выходе и входе этой цепи от частоты гармонических колебаний на входе.
Она показывает, что время прохождения через усилитель различных спектральных составляющих сложного колебания различно. Это приводит к искажению его формы, которые называются фазочастотными или фазовыми.
На практике ФЧХ используется реже, чем АЧХ, ввиду меньшей значимости и сравнительной сложности измерений фазовых сдвигов. Частотные и фазовые искажения называются линейными, так как создаются емкостями и индуктивностями схемы, которые являются линейными элементами. Они искажают форму лишь сложного колебания, а форму гармонического (синусоидального) колебания не изменяют.
Амплитудная характеристика
Так же существует еще такой параметр как амплитудная характеристика (АХ), не стоит путать с АЧХ.
Амплитудная характеристика (АХ) — зависимость амплитуды выходного сигнала от амплитуды входного сигнала устройства.
Как правило, амплитудная характеристика определяется при гармоническом входном сигнале и используется для оценки линейности устройств.
Нелинейность АХ приводит к искажению формы сигнала на выходе канала из-за влияния появляющихся гармоник. Поэтому рабочую точку (РТ) выбирают на линейном участке АХ.
Стоит пояснить, что “бета” называю коэффициентом связности или коэффициентом передачи. Остальное должно быть понятно исходя из сокращений.
Переходная характеристика
Переходная характеристика (ПХ) – отражает зависимость мгновенного значения выходного напряжения или коэффициента усиления от времени при подаче на вход усилителя единичного скачка напряжения.
Зная одну из характеристик, всегда можно получить оставшиеся две. Физически это означает, что форма АЧХ, ФЧХ, ПХ определяется одними и теми же элементами схемы. Так, эквивалентные схемы, описывающие поведение каскада в области верхних частот (ВЧ), соответствуют схемам для области малых времен. А схемы для области нижних частот (НЧ) – схемам для области больших времен.
К алгебраическим критериям устойчивости относятся критерий Гурвица и критерий Рауса. Они отличаются только по форме, поэтому здесь рассмотрим один из них — критерий Гурвица.
Критерий устойчивости Гурвица
Критерий, предложенный немецким математиком А. Гурвицем в 1895 г., формулируется следующим образом:
чтобы все корни характеристического уравнения 
степени
имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы при 
все 
определителей Гурвица были больше нуля.
При составлении определителей Гурвица необходимо, чтобы для уравнения 
степени было составлено 
определителей: последний (главный) определитель 
порядка, предпоследний 
порядка и т. д. Главный определитель 
(определитель 
порядка) составляется следующим образом:
1) по главной диагонали выписываются коэффициенты уравнения в порядке возрастания индексов, начиная со второго 
и до последнего
включительно:
2) столбцы вверх от диагонали дополняются коэффициентами с возрастающими индексами, а столбцы вниз от диагонали — коэффициентами с убывающими индексами;
3) места недостающих коэффициентов заполняются нулями. Определитель более низкого порядка получается из определителя более высокого порядка вычеркиванием одного столбца справа и строки снизу.
Рассмотрим примеры определения условий устойчивости Гурвица
Пример 1. Для уравнения 3-й степени
главный определитель Гурвица имеет вид
условие устойчивости Гурвица при 
Если все коэффициенты уравнения положительны, то для устойчивости системы достаточно, чтобы 
т. е. чтобы произведение коэффициентов при средних членах уравиеиня было больше, чем произведение коэффициентов при крайних членах. Пример 2. Для уравнения 4-й степени
главный определитель Г урвица:
условие устойчивости Гурвица при 
Из записанных неравенств видно, что если все коэффициенты характеристического уравнения положительны, то при выполнении третьего неравенства 
будут выполняться и другие неравенства, т. е. в этом случае для получения устойчивой системы достаточно, чтобы 
Предельный коэффициент усиления системы
Из первой и второй глав (см., например, формулу (2.75)) следует, что для уменьшения ошибок в установившемся режиме необходимо повышать коэффициент усиления системы в разомкнутом состоянии 
Однако 
входит в коэффициенты характеристического уравнения замкнутой системы и поэтому влияет на ее устойчивость. При увеличении 
устойчивую систему превратить в неустойчивую. Коэффициент усиления системы 
соответствующий границе устойчивости системы, называется предельным коэффициентом усиления системы 
Для получения устойчивой системы необходимо, чтобы 
Предельный коэффициент усиления можно найти с помощью критерия устойчивости Гурвица, если приравнять нулю определители Гурвица.
Методику определения 
рассмотрим на конкретном примере.
Пример 3. Пусть дана следящая система, имеющая передаточную функцию в разомкнутом состоянии!
Передаточная функция системы в замкнутом состоянии:
Коэффициенты знаменателя передаточной функции, в которые входит 
следует записать в явном виде относительно 
. В рассматриваемом случае, когда 
имеем 
. В другие коэффициенты 
не входит. Характеристическое уравнение замкнутой системы
При положительных коэффициентах условие устойчивости Гурвица имеет вид:
или, учитывая, что 
Из уравнения, определяющего границу устойчивости системы, 
найдем предельный коэффициент усиления 
Коэффициент запаса устойчивости по усилению. Коэффициент запаса устойчивости по усилению а представляет
собой отношение предельного коэффициента усиления разомкнутой системы к коэффициенту усиления системы, т. е. 
Коэффициент запаса о показывает, во сколько раз может быть увеличен коэффициент усиления системы, чтобы система стала неустойчивой. Обычно принято коэффициент запаса по устойчивости выражать в децибелах: 
. В этом случае запас устойчивости по усилению соответствует числу децибел, на которое нужно изменить усиление системы, чтобы она стала неустойчивой. Считается, что система должна обладать запасом устойчивости в пределах 
дБ.
С помощью критерия устойчивости Гурвица сравнительно просто исследовать устойчивость системы, описываемую уравнениями не выше 
порядка. Исследование же систем более высокого порядка с помощью критерия Гурвица становится сложным. Кроме того, недостатком критерия Гурвица является то, что трудно проследить, как влияет тот или иной параметр системы 
на ее устойчивость. Поэтому наряду с алгебраическим критерием устойчивости Гурвица применяются частотные критерии устойчивости.
