Решение задач на линзы имеет большое значение в контексте ЕГЭ по физике и других вступительных экзаменов, особенно для студентов, выбравших естественнонаучные направления. Задачи на линзы могут быть представлены в различных форматах, включая теоретические вопросы и практические задания, и могут быть частью как физического, так и математического разделов экзаменов. Понимание принципов работы линз и способности решать задачи на линзы являются необходимыми навыками для успешной сдачи экзаменов и продолжения образования в области физики, оптики и других естественных наук.
В этой статье мы говорили об изображениях, даваемые линзой. Она так же будет полезна при решении задач на линзы.
Линзы характеризуются величиной, которая называется оптической силой линзы. Оптическая сила обозначается буквой D.
Оптическая сила линзы – это величина, обратная её фокусному расстоянию.
D
=
1
F
За единицу оптической силы принята диоптрия (дптр). 1 дптр =
1
м
.
В задачах школьного курса, как правило речь идёт о тонких линзах. Тонкой линзой называют такую линзу, толщина которой пренебрежимо мала по сравнению с радиусами сферических поверхностей линзы и расстоянием предмета от линзы.
Формула тонкой линзы
Опыты и расчёты показывают, что между расстоянием d от предмета до линзы, расстоянием f от линзы до изображения и фокусным расстоянием линзы F существует соотношение, которое называется формулой тонкой линзы:
1
d
+
1
f
=
1
F
В этой формуле расстояние до изображения берут со знаком “плюс”, если изображение действительное, и со знаком “минус”, если изображение мнимое. Фокусное расстояние собирающей линзы берут со знаком “плюс”, а рассеивающей – со знаком минус.
Далее будет подразумеваться всегда тонкая линза.
Приступим к решению задач.
Задачи на линзы
Задача (Классическая)
Какое расстояние нужно выбрать между собирающей линзой и предметом, чтобы получить его прямое изображение, увеличенное в 2 раза? Известно, что оптическая сила линзы D=+10 дптр. Найдите это расстояние в сантиметрах и округлите до целого числа.
Решение:
Как мы знаем, с помощью собирающей линзы можно получить прямое (не перевёрнутое) увеличенное изображение только, если предмет находится между фокусом и линзой.
Из рисунка видно, что треугольники △АКО и △CDO подобны, т.к. оба треугольника прямоугольные и ∠O – общий. В задаче сказано, что изображение предмета должно быть увеличено в 2 раза. Значит, коэффициент подобия треугольников будет равен:
k
=
A
K
D
C
=
2
Следовательно,
f
=
2
d
Воспользуемся формулой для тонкой линзы. Изображение у нас мнимое, значит, перед f ставим знак минус.
1
d
−
1
f
=
1
F
=
D
1
d
−
1
2
d
=
D
1
2
d
=
D
d
=
1
2
D
=
1
2
⋅
10 дптр
=
0
,
05 м
Ответ: 5 см
Задача (Действительное изображение)
Найдите коэффициент увеличения изображения предмета.
a)
б)
Решение:
Решим пункт a.
Здесь изображение находится за двойным фокусом. Значит, как мы знаем, в этом случае изображение получается действительным, перевёрнутым, уменьшенным.
Чтобы узнать коэффициент увеличения, нужно найти отношение C1A1:CA. Другими словами, нужно найти коэффициент подобия треугольников △A1C1O и △ACO. Воспользуемся формулой тонкой линзы.
1
d
+
1
f
=
1
F
F – одна единица (1 клетка), d – 3 единицы (3 клетки).
1
3
+
1
f
=
1
1
f
=
3
2
Коэффициент подобия треугольников △A1C1O и △ACO:
k
=
f
d
=
1
,
5
3
=
0
,
5
Значит, коэффициент увеличения изображение тоже равен:
k
=
A
1
C
1
A
C
=
0
,
5
Решим пункт б.
Когда предмет находится между фокусом и двойным фокусом собирающей линзы, то изображение получается действительным, увеличенным, перевёрнутым.
Нарисуем примерный рисунок, не соблюдая изначальный масштаб, для экономия места.
Здесь вновь получаются подобные треугольники △A1C1O и △ACO, и их коэффициент подобия покажет степень увеличения изображения.
На изначальном рисунке d = 5, F = 4. Применим формулу для тонкой линзы.
1
5
+
1
f
=
1
4
1
f
=
1
20
f
=
20
Коэффициент подобия треугольников △A1C1O и △ACO равен
k
=
f
d
=
20
5
=
4
k
=
A
1
C
1
A
C
=
4
Ответ: a) 0,5 б) 4
Исходя из этих примеров, можно сказать, что увеличение предмета в тонкой линзе будет равно
Г
=
Н
h
=
f
d
H – размер изображения, h – размер предмета, в м.
Задача (Пользуемся формулой)
На рисунке показан ход двух лучей от точечного источника света A через тонкую линзу.
Какова оптическая сила линзы, если одна клетка на рисунке соответствует 2 см ?
Решение:
Мы видим, что изображение точки A, будет действительным, т.к. лучи пересекаются за самой линзой.
Расстояние от точки до линзы равно d = 6 клеток ∙ 0,02 м = 0,12 м. Расстояние от линзы до изображения точки равно f = 12 клеток ∙ 0,02 м = 0,24 м. Применим формулу тонкой линзы.
1
0
,
12 м
+
1
0
,
24 м
=
1
F
=
D
D
=
12
,
5 дптр
Ответ: 12,5 дптр
Задача (Рассеивающая линза)
В тонкой рассеивающей линзе получено уменьшенное в 5 раз изображение предмета. Определите модуль фокусного расстояния линзы, если предмет находится на расстоянии d = 20 см от линзы.
Решение:
Воспользуемся формулой увеличения линзы. Изображение уменьшено, поэтому формула принимает перевёрнутый вид
d
f
=
0
,
2 м
f
=
5
f
=
0
,
2 м
5
=
0
,
04 м
Теперь не проблема найти фокусное расстояние.
В рассеивающей линзе фокусное расстояние в формулу тонкой линзы подставляем со знаком “минус”. Изображение получается в рассеивающей линзе мнимым, поэтому перед f тоже ставим знак “минус”.
1
0
,
2 м
−
1
0,04 м
=
−
1
F
F
=
0,05 м
Ответ: 0,05 м
Задача (Скорость изображения муравья)
Муравей движется перпендикулярно главной оптической оси тонкой собирающей линзы, которая имеет фокусное расстояние F. Он находится на расстоянии
8
3
∙F от линзы и движется со скоростью V = 5 см/с. Какая скорость u будет у движущегося изображения муравья?
Решение:
d
=
8
3
⋅
F
За 1 с муравей реально проползёт 5 см. Узнаем, сколько его изображение проползёт за 1 с.
{
x
5
=
f
d
1
8
F
3
+
1
f
=
1
F
Составим систему уравнений. Первое уравнение – это формула увеличения линзы, вторая – формула тонкой линзы.
Из второго уравнения выражаем f.
f
=
8
⋅
F
5
Подставляем в первое.
x
5
=
8
F
3
8
F
5
=
3 см
Получается за 1 с изображение муравья пройдёт 3 см.
Ответ: u = 3 см/c
Таким образом, решение задач на линзы требует понимания основных определений и формул, связанных с тонкими линзами. Важно уметь правильно выбирать знаки величин и следить за единицами измерения. Решение задач на линзы не только позволяет лучше понять оптику, но и развивает навыки анализа, логического мышления и применения математических методов.
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Оптическое увеличение – это отношение линейных или угловых размеров изображения и предмета.[1]
Например, линза, увеличивающая размеры предмета, имеет большое увеличение, а линза, уменьшающая размеры предмета, имеет малое увеличение. Увеличение, как правило, вычисляется по формуле M = (hi/ho) = -(di/do), где М – увеличение, hi – высота изображения, ho – высота объекта, di и do – расстояние до изображения и предмета.
Примечание: собирающая линза широкая посередине и узкая по краям; рассеивающая линза широкая по краям и узкая посередине.[2]
Процесс вычисления увеличения одинаков для обеих линз за одним исключением в случае рассеивающей линзы.
-
1
Напишите формулу. Теперь определите, какие переменные вам даны. По формуле вы можете найти любую переменную, входящую в формулу (а не только увеличение).
- Например, рассмотрим фигурку высотой 6 см, которая находится на расстоянии 50 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием 20 см. Здесь вы должны найти увеличение, размер изображения и расстояние до изображения. Запишите формулу так:
-
- M = (hi/ho) = -(di/do)
-
- В задаче даны ho (высота фигурки) и do (расстояние от фигурки до линзы). Вы также знаете фокусное расстояние линзы, которое не входит в формулу. Вы должны найти hi, di и M.
- Например, рассмотрим фигурку высотой 6 см, которая находится на расстоянии 50 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием 20 см. Здесь вы должны найти увеличение, размер изображения и расстояние до изображения. Запишите формулу так:
-
2
Используйте формулу линзы для вычисления di, если вы знаете расстояние от линзы до предмета и фокусное расстояние линзы. Формула линзы: 1/f = 1/do + 1/di, где f = фокусное расстояние линзы.
- В нашем примере:
-
- 1/f = 1/do + 1/di
- 1/20 = 1/50 + 1/di
- 5/100 – 2/100 = 1/di
- 3/100 = 1/di
- 100/3 = di = 33,3 см
-
- Фокусное расстояние линзы – это расстояние от центра объектива до точки, в которой сходятся лучи света. В задачах фокусное расстояние, как правило, дано. В реальной жизни фокусное расстояние наносится на оправу линзы.[3]
- В нашем примере:
-
3
Теперь вы знаете do и di и можете найти высоту увеличенного изображения и увеличение линзы. Обратите внимание, что формула для вычисления увеличения включает два знака равенства (M = (hi/ho) = -(di/do)), то есть оба отношения равны, и вы можете воспользоваться этим фактом при вычислении M и hi.
- В нашем примере найдите hi следующим образом:
-
- (hi/ho) = -(di/do)
- (hi/6) = -(33,3/50)
- hi = -(33,3/50) × 6
- hi = -3,996 см
-
- Обратите внимание, что отрицательная высота означает, что изображение будет перевернутым.
- В нашем примере найдите hi следующим образом:
-
4
Для вычисления М используйте либо –(di/do), либо (hi/ho).
- В нашем примере:
-
- M = (hi/ho)
- M = (-3,996/6) = -0,666
-
- Вы получите тот же результат, используя значения d:
-
- M = -(di/do)
- M = -(33,3/50) = -0,666
-
- Обратите внимание, что увеличение не имеет единиц измерения.
- В нашем примере:
-
5
Если у вас есть значение увеличения, вы можете предположить некоторые свойства изображения.
- Размер изображения. Чем больше значение М, тем больше изображение. Значения M между 1 и 0 свидетельствуют о том, что предмет через линзу будет выглядеть меньше.
- Ориентация изображения. Отрицательные значения М указывают на то, что изображение предмета будет перевернутым.
- В нашем примере М = -0,666, то есть изображение фигурки будет перевернутым и составлять две трети высоты фигурки.
-
6
В случае рассеивающей линзы используйте отрицательное значение фокусного расстояния. Это единственное отличие вычисления увеличения рассеивающей линзы от вычисления увеличения собирающей линзы (все формулы остаются теми же). В нашем примере этот факт повлияет на значение di.
- Проделаем вычисления для нашего примера еще раз, но при условии, что мы используем рассеивающую линзу с фокусным расстоянием -20 см. Все другие значениями остаются такими же.
- Во-первых, найдем di через формулу линзы:
-
- 1/f = 1/do + 1/di
- 1/-20 = 1/50 + 1/di
- -5/100 – 2/100 = 1/di
- -7/100 = 1/di
- -100/7 = di = -14,29 см
-
- Теперь найдем hi и M.
-
- (hi/ho) = -(di/do)
- (hi/6) = -(-14,29/50)
- hi = -(-14,29/50) × 6
- hi = 1,71 см
- M = (hi/ho)
- M = (1,71/6) = 0,285
-
Реклама
Две линзы
-
1
Найдите фокусное расстояние обеих линз. Когда вы имеете дело с системой, состоящей из двух линз, которые расположены параллельно друг другу (например, как в телескопе), вам нужно определить фокусное расстояние обеих линз, чтобы найти увеличение такой системы. Это можно сделать по формуле M = fo/fe.[4]
- В формуле fo – это фокусное расстояние линзы объектива, fo – это фокусное расстояние линзы окуляра (к окуляру вы прикладываете глаз).
-
2
Подставьте значения фокусных расстояний в формулу, и вы найдете увеличение системы из двух линз.
- Например, рассмотрим телескоп, в котором фокусное расстояние линзы объектива равно 10 см, а фокусное расстояние линзы окуляра равно 5 см. М = 10/5 = 2.
Реклама
Детальный метод
-
1
Найдите расстояние между линзами и предметом. Если перед предметом расположены две линзы, можно вычислить увеличение конечного изображения, зная расстояния от предмета до линз, высоту предмета и фокусные расстояния обеих линз.
- Рассмотрим предыдущий пример – фигурку высотой 6 см, которая находится на расстоянии 50 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием 20 см и на расстоянии 100 см от второй линзы с фокусным расстоянием 5 см. Найдите увеличение такой системы линз.
-
2
Найдите расстояние до изображения, его высоту и увеличение первой линзы. Начните с ближайшей к фигурке линзы и по формуле линзы найдите расстояние до изображения, а затем по формуле для вычисления увеличения найдите высоту изображения и увеличение.
- В предыдущем разделе мы выяснили, что первая линза дает изображение высотой -3,996 см, расстояние до изображения равно 33,3 см, а увеличение равно -0,666.
-
3
Используйте изображение от первой линзы в качестве предмета для второй линзы. Теперь вы можете найти увеличение второй линзы, высоту изображения и расстояние до него; для этого используйте те же методы, которые вы использовали для первой линзы, только в этот раз вместо фигурки воспользуйтесь изображением от первой линзы.
- В нашем примере изображение находится на расстоянии 33,3 см от первой линзы, поэтому находится на расстоянии 50-33,3 = 16,7 см от второй линзы. Найдем расстояние до изображения от второй линзы, используя найденное расстояние до предмета и фокусное расстояние второй линзы.
-
- 1/f = 1/do + 1/di
- 1/5 = 1/16,7 + 1/di
- 0,2 – 0,0599 = 1/di
- 0,14 = 1/di
- di = 7,14 см
-
- Теперь мы можем найти hi и M для второй линзы:
-
- (hi/ho) = -(di/do)
- (hi/-3,996) = -(7,14/16,7)
- hi = -(0,427) × -3,996
- hi = 1,71 см
- M = (hi/ho)
- M = (1,71/-3,996) = -0,428
-
- В нашем примере изображение находится на расстоянии 33,3 см от первой линзы, поэтому находится на расстоянии 50-33,3 = 16,7 см от второй линзы. Найдем расстояние до изображения от второй линзы, используя найденное расстояние до предмета и фокусное расстояние второй линзы.
-
4
Продолжайте описанный процесс вычислений для любого числа дополнительных линз. Для каждой последующей линзы предметом считайте изображение от предыдущей линзы и используйте формулу линзы и формулу для вычисления увеличения.
- Имейте в виду, что последующие линзы могут переворачивать изображение. Например, полученное выше значение увеличения (-0,428) свидетельствует о том, что изображение от второй линзы будет составлять 4/10 размера изображения предмета от первой линзы, но теперь изображение фигурки не будет перевернутым (вторая линза перевернет «перевернутое» изображение от первой линзы).
Реклама
Советы
- На биноклях, как правило, стоит такая маркировка: число х число, например, 8×25 или 8×40. В этом случае первое число – это увеличение бинокля. Второе число относится к четкости изображения.
- Заметьте, что для системы, состоящей из одной линзы, увеличение будет отрицательным в случае, если расстояние до предмета превышает фокусное расстояние линзы. Это не означает, что изображение предмета будет меньше его действительной высоты. Просто в данном случае изображение будет перевернутым.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 31 773 раза.
Была ли эта статья полезной?
Условие задачи:
Предмет находится на расстоянии (4F) от собирающей линзы. Найдите коэффициент увеличения линзы.
Задача №10.5.14 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
(d=4F), (Gamma-?)
Решение задачи:
Понятно, что в задаче просят найти поперечное увеличение линзы (Gamma) (странно, что его назвали коэффициентом увеличения).
Чтобы построить изображение точки A в собирающей линзе, нужно провести через точку A два луча: один параллельно главной оптической оси, а второй через главный оптический центр O. Первый луч, преломившись в линзе, пройдет через задний фокус линзы. Второй луч проходит через линзу, не преломляясь. На пересечении этих лучей и будет находиться точка A1. Проекция этой точки на главную оптическую ось есть точка B1. Вот и все, изображение построено. Как мы видим, оно получилось действительным (поскольку получается на сходящемся пучке лучей), перевернутым и уменьшенным (так как (d > 2F))
Запишем формулу тонкой линзы:
[frac{1}{F} = frac{1}{d} + frac{1}{f};;;;(1)]
В этой формуле (F) – фокусное расстояние линзы, знак перед ним “+”, поскольку линза – собирающая, (d) – расстояние от линзы до предмета, знак перед ним “+”, поскольку предмет – действительный (в случае одиночной линзы предмет всегда действительный, оно бывает мнимым в случае системы линз), (f) – расстояние от линзы до изображения, знак перед ним “+”, поскольку изображение – действительное (то есть образуется на сходящемся пучке лучей – смотрите рисунок).
Поперечное увеличение линзы (Gamma) определяют по следующей формуле (она выводится из подобия треугольников AOB и A1OB1 по трем углам):
[Gamma = frac{f}{d};;;;(2)]
Из уравнения (1) будем выражать расстояние от линзы до изображения (f), для чего в правой части уравнения (1) приведем под общий знаменатель:
[frac{1}{F} = frac{{f + d}}{{df}}]
Перемножим “крест-накрест”:
[df = Ff + Fd]
[df – Ff = Fd]
[fleft( {d – F} right) = Fd]
[f = frac{{dF}}{{d – F}}]
Полученное выражение подставим в формулу (2):
[Gamma = frac{{dF}}{{dleft( {d – F} right)}}]
[Gamma = frac{F}{{d – F}}]
По условию задачи предмет находится на расстоянии (4F) от собирающей линзы, то есть (d=4F), поэтому:
[Gamma = frac{F}{{4F – F}} = frac{1}{3}]
Ответ: 1/3.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
10.5.13 Оптическая сила тонкой линзы 5 дптр. Предмет поместили на расстоянии 60 см
10.5.15 На каком расстоянии от линзы с оптической силой 5 дптр необходимо поставить предмет
10.5.16 Фокусное расстояние собирающей линзы 0,2 м. На каком расстоянии от линзы следует
Линзы, как биологические, так и синтетические, представляют собой чудеса оптической физики, которые используют способность определенных сред преломлять или изгибать световые лучи. Они бывают двух основных форм: выпуклые или изогнутые наружу и вогнутые или изогнутые внутрь. Одна из их основных целей – увеличить изображения или сделать их больше, чем они есть на самом деле.
Линзы можно найти в телескопах, микроскопах, биноклях и других оптических приборах, а также в вашем собственном глазу. Ученые и студенты имеют в своем распоряжении ряд простых алгебраических уравнений, чтобы связать физические размеры и форму линзы с ее воздействием на световые лучи, которые проходят через нее.
Линзы и физика увеличения
Большинство «искусственных» линз сделаны из стекла. Причина, по которой линзы преломляют свет, состоит в том, что когда световые лучи перемещаются из одной среды (например, воздуха, воды или другого физического материала) в другую, их скорость изменяется очень незначительно, и в результате лучи меняют курс.
Когда световые лучи попадают в двойную выпуклую линзу (то есть ту, которая выглядит как сплющенный овал со стороны) в направлении, перпендикулярном поверхности линзы, лучи, ближайшие к каждому краю, резко преломляются к центру, сначала при входе в линзу и снова при уходе. Те, кто ближе к середине, изогнуты меньше, а те, которые проходят перпендикулярно через центр, вообще не преломляются. В результате все эти лучи сходятся в фокусной точке ( F ) на расстоянии f от центра линзы.
Уравнение тонкой линзы и коэффициент увеличения
Изображения, полученные с помощью линз и зеркал, могут быть реальными (то есть проецируемыми на экран) или виртуальными (то есть не проецируемыми). По соглашению, значения расстояний реальных изображений ( i ) от линзы являются положительными, а значения виртуальных изображений – отрицательными. Расстояние самого объекта от объектива ( o ) всегда положительное.
Выпуклые (сходящиеся) линзы создают реальные изображения и связаны с положительным значением f , тогда как вогнутые (расходящиеся) линзы создают виртуальные изображения и имеют отрицательное значение f .
Фокусное расстояние f , расстояние до объекта o и расстояние до изображения i связаны уравнением тонкой линзы:
Гидроразрыва {1} {O} + гидроразрыва {1} {I} = гидроразрыва {1} {F}
При этом формула увеличения или коэффициент увеличения ( м ) связывают высоту изображения, создаваемого объективом, с высотой объекта:
т = гидроразрыва {-i} {о}
Помните, я негативно отношусь к виртуальным изображениям.
Человеческий глаз
Линзы ваших глаз действуют как сходящиеся линзы.
Как вы могли бы предсказать, исходя из того, что вы уже прочитали, ваши глазные линзы выпуклые с обеих сторон. Если бы ваши линзы были не только выпуклыми, но и гибкими, свет, проходящий через ваши глаза, воспринимался бы вашим мозгом гораздо более хаотично, чем на самом деле, и людям было бы ужасно трудно ориентироваться в мире (и, вероятно, не выжил бы в поисках интернета для науки Информация).
Сначала свет попадает в глаз через роговицу, выпуклый наружный слой передней части глазного яблока. Затем он проходит через зрачок, диаметр которого можно регулировать с помощью крошечных мышц. Линза находится позади зрачка. Часть глаза, на которой формируется изображение, которая находится на внутренней стороне нижней задней части глазного яблока, называется сетчаткой . Визуальная информация передается из сетчатки в мозг через зрительные нервы.
Калькулятор увеличения
Вы можете найти веб-сайты, которые помогут вам решить некоторые из этих проблем, как только вы освоитесь с основами физики, пройдя некоторые из них самостоятельно. Основная идея состоит в том, чтобы понять, как различные компоненты уравнения линзы связаны друг с другом и почему изменения переменных приводят к действительным эффектам, которые они оказывают.
Пример такого онлайн-инструмента приведен в Ресурсах.
Ещё одним параметром, характеризующий систему из линз и сферических зеркал, является линейное увеличение.
Линейным увеличением называется отношение высоты получившегося изображения к высоте предмета:
Г (1)
- где
Вопрос о поиске данного параметра может возникнуть и в задачах на построение, и в задачах на формулы тонкой линзы и сферического зеркала.
Пусть даны предмет, линза и изображение предмета в линзе (рис. 1).
Рис. 1. Линейное увеличение
При построении мы использовали луч от предмета (), который проходит через главный оптический центр линзы (при этом не преломляясь). При этом у нас получились два подобных треугольника (подобие по трём углам). Тогда, используя подобие, можем записать:
Г (2)
Вывод: вопросы, связанные с линейным увеличением, решаются или через логику построения в системах (рис.1), или через соотношение (2) при наличии численных значений параметров линз.
