Как найти коэффициент жесткости всех пружин

Рано или поздно при изучении курса физики ученики и студенты сталкиваются с задачами на силу упругости и закон Гука, в которых фигурирует коэффициент жесткости пружины. Что же это за величина, и как она связана с деформацией тел и законом Гука?

Сила упругости и закон Гука

Для начала определим основные термины, которые будут использоваться в данной статье. Известно, если воздействовать на тело извне, оно либо приобретет ускорение, либо деформируется. Деформация — это изменение размеров или формы тела под влиянием внешних сил. Если объект полностью восстанавливается после прекращения нагрузки, то такая деформация считается упругой; если же тело остается в измененном состоянии (например, согнутом, растянутом, сжатым и т. д. ), то деформация пластическая.

Примерами пластических деформаций являются:

• лепка из глины;
• погнутая алюминиевая ложка.

В свою очередь, упругими деформациями будут считаться:

• резинка (можно растянуть ее, после чего она вернется в исходное состояние);
• пружина (после сжатия снова распрямляется).

В результате упругой деформации тела (в частности, пружины) в нем возникает сила упругости, равная по модулю приложенной силе, но направленная в противоположную сторону. Сила упругости для пружины будет пропорциональна ее удлинению. Математически это можно записать таким образом:

F = – k·x;

где F — сила упругости, x — расстояние, на которое изменилась длина тела в результате растяжения, k — необходимый для нас коэффициент жесткости. Указанная выше формула также является частным случаем закона Гука для тонкого растяжимого стержня. В общей форме этот закон формулируется так: «Деформация, возникшая в упругом теле, будет пропорциональна силе, которая приложена к данному телу». Он справедлив только в тех случаях, когда речь идет о малых деформациях (растяжение или сжатие намного меньше длины исходного тела).

Определение коэффициента жесткости

Коэффициент жесткости (он также имеет названия коэффициента упругости или пропорциональности) чаще всего записывается буквой k, но иногда можно встретить обозначение D или c. Численно жесткость будет равна величине силы, которая растягивает пружину на единицу длины (в случае СИ — на 1 метр). Формула для нахождения коэффициента упругости выводится из частного случая закона Гука:

k = F/x.

Чем больше величина жесткости, тем больше будет сопротивление тела к его деформации. Также коэффициент Гука показывает, насколько устойчиво тело к действию внешней нагрузки. Зависит этот параметр от геометрических параметров (диаметра проволоки, числа витков и диаметра намотки от оси проволоки) и от материала, из которого она изготовлена.

Единица измерения жесткости в СИ — Н/м.

Расчет жесткости системы

Встречаются более сложные задачи, в которых необходим расчет общей жесткости. В таких заданиях пружины соединены последовательно или параллельно.

Последовательное соединение системы пружин

При последовательном соединении общая жесткость системы уменьшается. Формула для расчета коэффициента упругости будет иметь следующий вид:

1/k = 1/k1 + 1/k2 + … + 1/ki,

где k — общая жесткость системы, k1, k2, …, ki — отдельные жесткости каждого элемента, i — общее количество всех пружин, задействованных в системе.

Параллельное соединение системы пружин

В случае когда пружины соединены параллельно, величина общего коэффициента упругости системы будет увеличиваться. Формула для расчета будет выглядеть так:

k = k1 + k2 + … + ki.

Измерение жесткости пружины опытным путем – в этом видео.

Вычисление коэффициента жесткости опытным методом

С помощью несложного опыта можно самостоятельно рассчитать, чему будет равен коэффициент Гука. Для проведения эксперимента понадобятся:

• линейка;
• пружина;
• груз с известной массой.

Последовательность действий для опыта такова:

1. Необходимо закрепить пружину вертикально, подвесив ее к любой удобной опоре. Нижний край должен остаться свободным.
2. При помощи линейки измеряется ее длина и записывается как величина x1.
3. На свободный конец нужно подвесить груз с известной массой m.
4. Длина пружины измеряется в нагруженном состоянии. Обозначается величиной x2.
5. Подсчитывается абсолютное удлинение: x = x2-x1. Для того чтобы получить результат в международной системе единиц, лучше сразу перевести его из сантиметров или миллиметров в метры.
6. Сила, которая вызвала деформацию, — это сила тяжести тела. Формула для ее расчета — F = mg, где m — это масса используемого в эксперименте груза (переводится в кг), а g — величина свободного ускорения, равная приблизительно 9,8.
7. После проведенных расчетов остается найти только сам коэффициент жесткости, формула которого была указана выше: k = F/x.

Примеры задач на нахождение жесткости

Задача 1

На пружину длиной 10 см действует сила F = 100 Н. Длина растянутой пружины составила 14 см. Найти коэффициент жесткости.

1. Рассчитываем длину абсолютного удлинения: x = 14—10 = 4 см = 0,04 м.
2. По формуле находим коэффициент жесткости: k = F/x = 100 / 0,04 = 2500 Н/м.

Ответ: жесткость пружины составит 2500 Н/м.

Задача 2

Груз массой 10 кг при подвешивании на пружину растянул ее на 4 см. Рассчитать, на какую длину растянет ее другой груз массой 25 кг.

1. Найдем силу тяжести, деформирующей пружину: F = mg = 10 · 9.8 = 98 Н.
2. Определим коэффициент упругости: k = F/x = 98 / 0.04 = 2450 Н/м.
3. Рассчитаем, с какой силой действует второй груз: F = mg = 25 · 9.8 = 245 Н.
4. По закону Гука запишем формулу для абсолютного удлинения: x = F/k.
5. Для второго случая подсчитаем длину растяжения: x = 245 / 2450 = 0,1 м.

Ответ: во втором случае пружина растянется на 10 см.

Видео

Из этого видео вы узнаете, как определить жесткость пружины.

Пружиной называют объект, способный с помощью деформации, вызванной внешними силами, накапливать и сохранять упругую потенциальную энергию, а после прекращения их воздействия восстанавливаться до прежнего состояния. Реально существующие пружины абсолютно точно восстановить свою прежнюю форму не в состоянии т.к. при внешнем воздействии в той или иной степени нарушается структура их материала, в результате чего возникают так называемые пластичные деформации. Чем они меньшее, тем более качественным считается изделие.

Какие бывают типы пружин

В первую очередь их принято делить на предназначенные для работы в режиме растягивания и предназначенные для работы в режиме сжатия.

Пружины растяжения при действии на них полезной нагрузки растягиваются. Они не нуждаются в жёстком захвате и, как правило, имеют нулевой шаг, т. е. витки у них прилегают вплотную друг к другу. В обычной жизни подобные изделия большинство людей может заметить, проходя через двери с механическим механизмом закрытия или при пользовании пружинными весами. В технике пружины растяжения используются для соединения элементов, положение которых меняется при их работе. В качестве примера можно привести завес рычагов.

Пружины сжатия под нагрузкой по длине уменьшаются. Для правильной работы их концы должны быть жёстко зафиксированы. Витки проволоки в свободном состоянии не касаются друг друга, т.к. им необходим некоторый промежуток, чтобы под внешней нагрузкой было куда перемещаться. В качестве примера использования таких изделий можно привести пружину в шариковой ручке или автомобильную подвеску.

В технике широкое применение находят и другие типы пружин: пружины кручения (в точных весах), плоские спиральные (как заводные в часах), плоские (в автомобильных рессорах), тарельчатые (в грузовых весах). В некотором роде пружинами можно назвать некоторые изделия из резины и из других полимерных эластичных материалов. Все они работают по одной и той же схеме – запасают кинетическую энергию в виде энергии упругости, а затем, когда нагрузка ослабнет или вовсе перестанет действовать, её возвращают.

Основные характеристики пружин

Зная материал и диаметр проволоки, форму её сечения, длину и диаметр пружины, как единого целого, можно с очень высокой достоверностью судить, насколько пружина может сопротивляться попыткам деформировать себя. Существуют также другие характеристики, от которых работоспособность пружины может зависеть очень серьёзно. К таковым относятся усталость материала проволоки, шаг витка, индекс пружины и т. д.

Материал и сила жесткости пружины

Зависимость между этими характеристиками пружин индивидуальная и вычисляется опытным путём. Чаще всего для изготовления металлических пружин используют высокоуглеродистые стали, легированные ванадием, кремнием и марганцем. Для изделий, предназначенных для длительной работы в агрессивных средах используют нержавеющую сталь, оловянносвинцовую, бериллиевую и кремнемарганцевую бронзу, различные чугуны, а также некоторые из титановых сплавов.

Небольшие пружины изготавливают из уже закалённой проволоки. Крупные изделия делают из отожжённой стали, а закалку проводят уже после формовки.

Как связана жесткость пружины с диаметром и формой сечения проволоки, из которой она сделана

Чем он меньше, тем пружина более эластична. Способность запасать энергию с уменьшением диаметра тоже становится меньше. Пружины сжатия, как правило, делают из более толстой проволоки.

Следует отметить, что не всегда сечение проволоки для пружин бывает круглым, в пружинах сжатия оно иногда бывает уплощённым. Это обеспечивает лучшую посадку одного витка на другой и делает конструкцию более устойчивой.

Длина и диаметр

Также следует различать длину собственно изделия и длину проволоки, из которой оно сделано. Это две совершенно разные величины. Не малое значение имеет число витков. В пружинах сжатия, чем их больше, тем выше вероятность соскальзывания изделия с опоры и, как следствие, выхода детали из строя.

О понятии жесткости. Жесткость пружины: формула

Посмотрите на закон Гука.

k – это и есть жёсткость пружины.

Fупр — сила жесткости или упругости пружины.

x — расстояние, на которое изменилась длина изделия после того как та была уравновешена.

Минус в формуле свидетельствует о том, что сила F имеет по сравнению с нагрузкой противоположное направление.

Закон Гука является одним из основных законов физики.

Как найти жесткость пружины? Формулу из выше приведённого уравнения понять достаточно легко:

Коэффициент жесткости пружины можно вычислить и экспериментальным путём. Для этого нужно подвесить на вертикально закреплённую пружину груз с известной массой.  

Имеем два уравнения:

Т. к. Fупр =Fтяж, получаем

Отсюда разделив обе части уравнения на x, найдём, что жёсткость равна

Массу самой пружины считаем равной нулю. Для исключения случайных ошибок проводим несколько измерений с грузами разной массы.

Как рассчитать жесткость цилиндрической пружины

В плоской пружине в момент её изгиба расстояния между молекулами, находящимися в одном месте уменьшаются, а в другом увеличиваются. Сила электромагнитных межмолекулярных связей стремится вернуть изделие в прежнее положение.

С цилиндрической пружиной всё несколько иначе. В ней энергия запасается не из-за деформации изгиба, а благодаря скручиванию проволоки вдоль своей оси навивания.

Давайте мысленно увеличим выполненное перпендикулярно её оси плоскостью сечение проволоки. Это нам позволит не учитывать спиральную форму изделия. Разобьём весь объём проволоки на очень много касающихся друг друга своими торцами цилиндров. Их диаметр совпадает с диаметром проволоки, а высота бесконечно мала. Торцам не дают разъединится действующие между ними межмолекулярные силы. Именно они препятствуют деформации.

Когда пружина растягивается или сжимается, цилиндры вынуждены вращаться друг относительно друга в противоположных направлениях вокруг общей оси. В каждом из сечений запасается некоторая энергия. Отсюда легко сделать вывод, что чем проволока длиннее, тем больше энергии такая пружина способна запасти. Увеличение проволоки по диаметру тоже способствует возрастанию её энергоёмкости.

Окончательная формула для жёсткости цилиндрической пружины такова:

Буквой R у нас обозначен радиус цилиндра пружины, n – количество витков проволоки, r—её радиус, G – коэффициент, индивидуальный для материала проволоки.

Чтобы по данной формуле сделать расчёт жёсткости, достаточно просто подставить вместо букв, обозначающих величины, их числовые значения.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

От чего зависит жесткость

Жесткость пружины зависит от нескольких параметров:

• геометрии пружины;
• типа материала;
• коэффициента;
• срока эксплуатации.

Геометрия пружины

На жесткость витой пружины влияет:

• количество витков;
• их диаметр;
• диаметр проволоки.

Диаметр намотки измеряется от оси пружины. Так как длина проволоки в пружине значительно больше длины упругого стержня, сопротивляемость внешней деформации многократно возрастает.

Волновые пружины состоят из металлических лент, навитых ребром по окружности заданного диаметра.

Их основные геометрические параметры:

• количество витков;
• количество волн на виток;
• сечение ленты.

Тип материала

У каждого материала есть условный предел упругости, характеризующий его способность восстанавливаться после деформации. Если этот предел превышается, в структуре материала возникают необратимые изменения.

Предел упругости измеряют в паскалях и определяют по формуле:

(sigma_{у;}=;frac FS)

где F — действие внешней силы на исследуемый образец, приводящее к повреждениям, а S — его площадь.

Кроме предела упругости, существуют такие характеристики упругости материалов, как модули упругости (модуль Юнга) и сдвига, коэффициент жесткости и другие. Все они взаимосвязаны, поэтому, выяснив значение одной из величин с помощью справочной таблицы, можно вычислить другие.

Коэффициент

Эта линейная зависимость описывается формулой:

(F=;k;times;x)

где k — коэффициент жесткости, а х — величина, на которую сжалась или растянулась пружина.

Срок эксплуатации

Нахождение под напряжением приводит к постепенной необратимой деформации, называемой ослаблением пружины.

Жесткость пружины влияет на срок ее эксплуатации, как и сила воздействия. Конструкторы пружин, предварительно рассчитав эти параметры, проводят тесты на прототипах, прежде чем начать массовое производство. В специальных установках для испытания на усталость материала их сжимают и отпускают определенное количество циклов, отдельно проверяя поведение пружин при максимальной и минимальной нагрузке.

В чем измеряется жесткость

Жесткость пружины в системе СИ измеряется в ньютонах на метр, Н/м. Также встречается единица измерения ньютон на миллиметр, Н/мм. Численно жесткость равна величине силы, изменяющей размер пружины на метр длины.

Как обозначается

Коэффициент жесткости пружины обозначают буквой k.

Коэффициент жесткости пружины

Применяется в механике твердого тела в разделе упругости.

Формула расчета через массу и длину

Используя закон Гука, коэффициент жесткости можно вычислить по формуле:

(k;=;frac Fx)

Чтобы выяснить силу тяжести, воздействующую на пружину, нужно воспользоваться формулой:

(F;=;m;times;g)

где m — масса подвешенного на пружине тела, а g — величина свободного ускорения, равная 9,8.

Чтобы найти х, нужно дважды измерить длину пружины и вычислить разницу между этими двумя значениями.

При соединении нескольких пружин общая жесткость системы меняется. Коэффициенты каждой из пружин суммируются при параллельном соединении. При последовательном соединении общая жесткость вычисляется по формуле:

(frac1k;=;(frac1{k_1};+;frac1{k_2};+;…;+;frac1{k_n}))

Как можно измерить жесткость

Измерительные приборы

Приборы для испытания пружин на сжатие-растяжение контролируют приложенное усилие с помощью тензометрического датчика, а также изменение их длины, выводя показатели на дисплей. Без специального прибора измерить осевую жесткость можно, используя динамометр и линейку.

Существуют приборы и для измерения поперечной жесткости пружин. Для этого нужно измерить смещение нескольких точек пружины, определив расстояние и угол между ними.

Практическая задача

Самый простой способ измерить жесткость пружины — провести стандартный школьный опыт со штативом и подвешенными на пружине грузиками.

Для измерения осевой жесткости спиральной пружины используют:

• штатив, на котором закрепляют пружину;
• крючок, который крепят на свободный ее конец;
• грузики с известной массой, которые подвешивают на свободный конец пружины;
• линейку, чтобы измерить длину пружины с грузом и без груза.

Проведя несколько измерений с грузиками разной массы и вычислив силу тяжести, воздействовавшую на пружину в каждом из них, можно построить график зависимости длины пружины от приложенного усилия и узнать среднее значение коэффициента жесткости.

Альтернативные способы определения жесткости

Жесткость пружины можно определить и через период ее колебания, воспользовавшись формулой:

(Т;=;2mathrmpisqrt{frac{mathrm m}{mathrm k}})

Или через частоту колебаний по формуле:

(omega=;sqrt{frac{mathrm k}{mathrm m}})

Проводя опыт с пружиной, закрепленной на штативе, и грузиками с известной массой, можно не измерять длину пружины, а привести ее в колебательное движение и сосчитать количество колебаний в период времени.

Формула расчета через длину, дающая более точные результаты и применимая к пружинам со значительной деформацией, различается для пружин разных геометрических параметров. Например, жесткость витой цилиндрической пружины, упруго деформируемой вдоль оси, вычисляется по формуле:

(k=;frac{d_D^4;times;G}{8;times;d_F^3;times;n})

где (d_D) — диаметр проволоки, (d_F) — диаметр намотки, (G) — модуль сдвига, который зависит от материала, а (n) — число витков.

Задача

Рассчитайте коэффициент жесткости пружины, если известно, что ее диаметр 20 мм, диаметр проволоки 1 мм, число витков — 25. Модуль сдвига равен (8times;10^{10};) Па.

Решение

Переведем числовые значения в систему СИ и подставим в формулу:

(k;=;frac{{(10^{-3})}^{4;}times8;times;10^{10}}{8;times;left(2;times;10^{-2}right)^3;times;25})

(k = 100 frac Нм)

Жесткость при деформации кручения существенно отличается от жесткости сжатия-растяжения. Предел прочности при кручении у любого материала будет меньше, чем предел прочности при сжатии-растяжении или изгибе. Торсионная жесткость, также называемая крутильной, в системе СИ измеряется в ньютон-метрах на радиан, сокращенно Н-м/рад. Ее можно определить по формуле:

(k;=;frac Malpha)

где (М) — крутящий момент, приложенный к телу, а (alpha) — угол закручивания тела по оси приложения крутящего момента.

Формула жесткости пружины в физике

Формула жесткости пружины

Определение и формула жесткости пружины

Чаще всего ее обозначают ${overline{F}}_{upr}$. Сила упругости появляется только при деформации тела и исчезает, если пропадает деформация. Если после снятия внешней нагрузки тело восстанавливает свои размеры и форму полностью, то такая деформация называется упругой.

Современник И. Ньютона Р. Гук установил зависимость силы упругости от величины деформации. Гук долго сомневался в справедливости своих выводов. В одной из своих книг он привел зашифрованную формулировку своего закона. Которая означала: «Ut tensio, sic vis» в переводе с латыни: каково растяжение, такова сила.

Рассмотрим пружину, на которую действует растягивающая сила ($overline{F}$), которая направлена вертикально вниз (рис.1).

Силу $overline{F }$ назовем деформирующей силой. От воздействия деформирующей силы длина пружины увеличивается. В результате в пружине появляется сила упругости (${overline{F}}_u$), уравновешивающая силу $overline{F }$. Если деформация является небольшой и упругой, то удлинение пружины ($Delta l$) прямо пропорционально деформирующей силе:

[overline{F}=kDelta lleft(1right),]

где в коэффициент пропорциональности называется жесткостью пружины (коэффициентом упругости) $k$.

Жесткость (как свойство) – это характеристика упругих свойств тела, которое деформируют. Жесткость считают возможностью тела оказать противодействие внешней силе, способность сохранять свои геометрические параметры. Чем больше жесткость пружины, тем меньше она изменяет свою длину под воздействием заданной силы. Коэффициент жесткости – это основная характеристика жесткости (как свойства тела).

Коэффициент жесткости пружины зависит от материала, из которого сделана пружина и ее геометрических характеристик. Например, коэффициент жесткости витой цилиндрической пружины, которая намотана из проволоки круглого сечения, подвергаемая упругой деформации вдоль своей оси может быть вычислена как:

[k=frac{Gd^4}{8d^3_pn}left(2right),]

где $G$ – модуль сдвига (величина, зависящая от материала); $d$ – диаметр проволоки; $d_p$ – диаметр витка пружины; $n$ – количество витков пружины.

Единицей измерения коэффициента жесткости в Международной системе единиц (Си) является ньютон, деленный на метр:

[left[kright]=left[frac{F_{upr }}{x}right]=frac{left[F_{upr }right]}{left[xright]}=frac{Н}{м}.]

Коэффициент жесткости равен величине силы, которую следует приложить к пружине для изменения ее длины на единицу расстояния.

Формула жесткости соединений пружин

Пусть $N$ пружин соединены последовательно. Тогда жесткость всего соединения равна:

[frac{1}{k}=frac{1}{k_1}+frac{1}{k_2}+dots =sumlimits^N_{ i=1}{frac{1}{k_i}left(3right),}]

где $k_i$ – жесткость $i-ой$ пружины.

При последовательном соединении пружин жесткость системы определяют как:

[k=k_1+k_2+dots +sumlimits^N_{i=1}{k_i}left(4right).]

Примеры задач с решением

Читать дальше: формула закона Архимеда.

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 30 августа 2021 года; проверки требуют 9 правок.

Коэффицие́нт упру́гости, иногда также коэффицие́нт Гу́ка, жёсткость пружи́ны, — коэффициент, связывающий в законе Гука удлинение упругого тела и возникающую вследствие этого удлинения силу упругости. Применяется в механике твердого тела в разделе упругости. Обозначается буквой k^[1], иногда D^[2] или c^[3]. Имеет единицу измерения Н/м или кг/с² (в СИ), дин/см или г/с² (в СГС).

Коэффициент упругости численно равен силе, которую надо приложить к пружине, чтобы её длина изменилась на единицу расстояния.

Определение и свойства[править | править код]

Коэффициент упругости по определению равен силе упругости, делённой на изменение длины пружины:

^[4]

Коэффициент упругости зависит как от свойств материала, так и от размеров упругого тела. Так, для упругого стержня можно выделить зависимость от размеров стержня (площади поперечного сечения и длины ), записав коэффициент упругости как Величина называется модулем Юнга и, в отличие от коэффициента упругости, зависит только от свойств материала стержня^[5].

Жёсткость деформируемых тел при их соединении[править | править код]

При соединении нескольких упруго деформируемых тел (далее для краткости — пружин) общая жёсткость системы будет меняться. При параллельном соединении жёсткость увеличивается, при последовательном — уменьшается.

Параллельное соединение[править | править код]

При параллельном соединении пружин с жёсткостями, равными жёсткость системы равна сумме жёсткостей, то есть

Последовательное соединение[править | править код]

При последовательном соединении пружин с жёсткостями, равными общая жёсткость определяется из уравнения:

Жёсткость некоторых деформируемых тел[править | править код]

Стержень постоянного сечения[править | править код]

Однородный стержень постоянного сечения, упруго деформируемый вдоль оси, имеет коэффициент жёсткости

где

Е — модуль Юнга, зависящий только от материала, из которого выполнен стержень;

S — площадь поперечного сечения;

L₀ — длина стержня.

Цилиндрическая витая пружина[править | править код]

Витая цилиндрическая пружина сжатия или растяжения, намотанная из цилиндрической проволоки и упруго деформируемая вдоль оси, имеет коэффициент жёсткости

где

d_D — диаметр проволоки;

d_F — диаметр намотки (измеряемый от оси проволоки);

n — число витков;

G — модуль сдвига (для обычной стали G ≈ 80 ГПа, для пружинной стали G ≈ 78.5 ГПа, для меди ~ 45 ГПа).

См. также[править | править код]

• Закон Гука
• Сила упругости
• Роберт Гук
• Модуль Юнга
• Пружина

Источники и примечания[править | править код]