Как найти коэффициенты фурье для функции

Ряд Фурье́ — представление функции с периодом в виде ряда

Этот ряд может быть также записан в виде

где

 — амплитуда -го гармонического колебания,

 — круговая частота гармонического колебания,

 — начальная фаза -го колебания,

 — -я комплексная амплитуда

В более общем виде, рядом Фурье элемента некоторого пространства функций называется разложение этого элемента по полной системе ортонормированных функций или другими словами по базису, состоящему из ортогональных функций. В зависимости от используемого вида интегрирования говорят о рядах Фурье — Римана, Фурье — Лебега и т. п.^[1]

Существует множество систем ортогональных многочленов и других ортогональных функций (например, функции Хаара, Уолша и Котельникова), по которым может быть произведено разложение функции в ряд Фурье.

Разложение функции в ряд Фурье является мощным инструментом при решении самых разных задач благодаря тому, что ряд Фурье прозрачным образом ведёт себя при дифференцировании, интегрировании, сдвиге функции по аргументу и свёртке функций.

Существуют многочисленные обобщения рядов Фурье в различных разделах математики. Например, любую функцию на конечной группе можно разложить в ряд, аналогичный ряду Фурье, по матричным элементам неприводимых представлений этой группы (теорема полноты).

История[править | править код]

Ряд Фурье назван в честь французского математика Жана-Батиста Жозефа Фурье (1768—1830), внесшего важный вклад в изучение тригонометрических рядов после предварительных исследований Леонарда Эйлера, Жана Лерона д’Аламбера и Даниила Бернулли^[2]. Фурье представил ряд с целью решения уравнения теплопроводности в металлической пластине, написав свои первоначальные результаты в своем «Воспоминании о распространении тепла в твердых телах» («Трактат о распространении тепла в твердых телах») и опубликовав в Аналитической теории тепла (Théorie analytique de la chaleur) в 1822 году. В Воспоминании приведен анализ Фурье, в частности ряд Фурье. Благодаря исследованиям Фурье был установлен факт того, что произвольная (непрерывная)^[3] функция может быть представлена ​​тригонометрическим рядом. Первое объявление об этом великом открытии было сделано Фурье в 1807 году перед Французской академией^[4]. Ранние идеи разложения периодической функции на сумму простых осциллирующих функций относятся к 3 веку до нашей эры, когда древние астрономы предложили эмпирическую модель движения планет, основанную на семействах и эпициклах.

Уравнение теплопроводности является уравнением в частных производных. До работы Фурье в общем случае не было известно решение уравнения теплопроводности, хотя были известны конкретные решения, если бы источник тепла вел себя простым образом, в частности, если источником тепла была волна синуса или косинуса. Эти простые решения теперь иногда называют собственными решениями. Идея Фурье состояла в том, чтобы смоделировать сложный источник тепла как суперпозицию (или линейную комбинацию) простых синусоидальных и косинусных волн и записать решение как суперпозицию соответствующих собственных решений. Эта суперпозиция или линейная комбинация называется рядом Фурье.

С современной точки зрения, результаты Фурье несколько неформальны из-за отсутствия точного понятия функции и интеграла в начале девятнадцатого века. Позднее Петер Густав Лежён Дирихле^[5] и Бернхард Риман^[6][7][8] выразили результаты Фурье с большей точностью и формальностью.

Хотя первоначальной мотивацией было решение уравнения теплопроводности, позже стало очевидно, что те же методы можно применять к широкому кругу математических и физических задач, особенно тех, которые включают линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, для которых собственные решения являются синусоидами. Ряд Фурье имеет много применений в области электротехники, вибрации анализа, акустики, оптики, обработки сигналов, обработки изображений, квантовой механики, эконометрики^[9], теории перекрытия-оболочки^[10] и т. д.

Тригонометрический ряд Фурье[править | править код]

Тригонометрическим рядом Фурье функции (то есть функции, суммируемой на промежутке , или её периодического продолжения на вещественную прямую) называют функциональный ряд вида

(1)

где

Числа , и () называются коэффициентами Фурье функции . Формулы для них можно объяснить следующим образом. Предположим, что мы хотим представить функцию в виде ряда (1) и нам надо определить неизвестные коэффициенты , и . Если умножить правую часть (1) на и проинтегрировать по промежутку , то все слагаемые в правой части, благодаря ортогональности синусов и косинусов на этом промежутке, обратятся в нуль, кроме одного. Из полученного равенства легко выражается коэффициент . Аналогично для .

Ряд (1) для функции из пространства сходится в этом пространстве. Иными словами, если обозначить через частичные суммы ряда (1):

,

то их среднеквадратичное отклонение от функции будет стремиться к нулю:

.

Несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно.

Часто при работе с рядами Фурье бывает удобнее в качестве базиса использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента. Мы рассматриваем пространство комплекснозначных функций со скалярным произведением

.

Мы также рассматриваем систему функций

.

Как и прежде, эти функции являются попарно ортогональными и образуют полную систему, и, таким образом, любая функция может быть разложена по ним в ряд Фурье:

,

где ряд в правой части сходится к по норме в . Здесь

.

Коэффициенты связаны с классическими коэффициентами Фурье следующими соотношениями:

Для вещественнозначной функции коэффициенты и комплексно сопряжены.

Обобщения[править | править код]

Ряды Фурье в гильбертовом пространстве[править | править код]

Описанную выше конструкцию можно обобщить со случая пространства с тригонометрической системой на произвольное гильбертово пространство. Пусть даны ортогональная система в гильбертовом пространстве
и  — произвольный элемент из . Предположим, что мы хотим представить в виде (бесконечной) линейной комбинации элементов :

Домножим это выражение на . С учётом ортогональности системы функций все слагаемые ряда обращаются в ноль, кроме слагаемого при :

Числа

называются координатами, или коэффициентами Фурье элемента по системе , а ряд

называется рядом Фурье элемента по ортогональной системе .

Ряд Фурье любого элемента по любой ортогональной системе сходится в пространстве , но его сумма не обязательно равна . Для ортонормированной системы в сепарабельном гильбертовом пространстве следующие условия эквивалентны:

.

Если эти условия не выполняются, то сумма ряда Фурье элемента равна его ортогональной проекции на замыкание линейной оболочки элементов . В этом случае вместо равенства Парсеваля справедливо неравенство Бесселя:

Двойственность Понтрягина[править | править код]

При обобщении теории рядов Фурье на случай гильбертовых пространств теряются свойства, выражающие связь рядов Фурье со свёрткой — то, что коэффициенты Фурье свертки функций являются почленными произведениями их коэффициентов Фурье, и наоборот, коэффициенты Фурье произведения представляются сверткой коэффициентов Фурье сомножителей. Эти свойства являются ключевыми для приложений теории Фурье к решению дифференциальных, интегральных и других функциональных уравнений. Поэтому большой интерес представляют такие обобщения теории рядов Фурье, при которых эти свойства сохраняются. Таким обобщением является теория двойственности Понтрягина. Она рассматривает функции, заданные на локально-компактных абелевых группах. Аналогом ряда Фурье такой функции будет функция, заданная на двойственной группе.

Сходимость ряда Фурье[править | править код]

Обзор результатов о сходимости ряда Фурье[править | править код]

Обозначим через частичные суммы ряда Фурье функции :

.

Далее обсуждается сходимость последовательности функций к функции в различных смыслах. Функция предполагается -периодической (если она задана только на промежутке , её можно периодически продолжить).

• Если , то последовательность сходится к функции в смысле . Кроме того, являются наилучшим (в смысле расстояния в ) приближением функции тригонометрическим многочленом степени не выше .
• Сходимость ряда Фурье в заданной точке  — локальное свойство, то есть, если функции и совпадают в некоторой окрестности , то последовательности и либо одновременно расходятся, либо одновременно сходятся, и в этом случае их пределы совпадают. (Принцип локализации).
• Если функция дифференцируема в точке , то её ряд Фурье в этой точке сходится к . Более точные достаточные условия в терминах гладкости функции задаются признаком Дини.
• Функция, непрерывная в точке , может иметь расходящийся в ней ряд Фурье. Однако, если он сходится, то непременно к . Это следует из того, что для непрерывной в функции последовательность сходится по Чезаро к .
• Если функция разрывна в точке , но имеет пределы в этой точке справа и слева то при некоторых дополнительных условиях сходятся к . Подробнее см. модифицированный признак Дини.
• Теорема Карлесона: если , то её ряд Фурье сходится к ней почти всюду. Это верно и если . Однако, существуют функции из , ряд Фурье которых расходится во всех точках (пример такой функции построен Колмогоровым^[11]).
• Зафиксируем точку . Тогда множество всех непрерывных функций, ряд Фурье которых сходится в этой точке, является множеством первой категории в пространстве . В некотором смысле это означает, что «типичная» непрерывная функция имеет расходящийся ряд Фурье.

Убывание коэффициентов Фурье и аналитичность функции[править | править код]

Существует фундаментальная связь между аналитичностью функции и скоростью убывания её коэффициентов Фурье. Чем «лучше» функция, тем быстрее её коэффициенты стремятся к нулю, и наоборот. Степенное убывание коэффициентов Фурье присуще функциям класса , а экспоненциальное — аналитическим функциям. Примеры такого рода связи:

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Жук В. В., Натансон Г. И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. — 188 с.
• Рудин У. Основы математического анализа. — 1976.
• Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов. — М.: «Наука», 1964. — Т. 2.
• Зигмунд А. Тригонометрические ряды. — М.: «Мир», 1965. — Т. 1.
• Харди Г. Х., Рогозинский В. В.^ru_en. Ряды Фурье. — М.: Физматгиз, 1959.

Ссылки[править | править код]

• Представление периодических сигналов. Ряд Фурье.
• Некоторые свойства разложения периодических сигналов в ряд Фурье.

3.1. Периодические функции

Многие процессы,
происходящие в природе и технике,
обладают свойством повторяться через
определенные промежутки времени. Такие
процессы называются периодическими и
математически описываются периодическими
функциями. К таким функциям относятся
sin(x),
cos(x),
sin(wx),
cos(wx).
Сумма двух периодических функций,
например, функция вида
,
вообще говоря, уже не является
периодической. Но можно доказать, что
если отношение w₁/w₂
– число
рациональное, то эта сумма есть
периодическая функция.

Простейшие
периодические процессы – гармонические
колебания – описываются периодическими
функциями sin(wx)
и cos(wx).
Более сложные периодические процессы
описываются функциями, составными либо
из конечного, либо из бесконечного числа
слагаемых вида sin(wx)
и cos(wx).

3.2. Тригонометрический ряд. Коэффициенты Фурье

Рассмотрим
функциональный ряд вида:

.
(1)

Этот ряд называется
тригонометрическим;
числа а₀,b₀,a₁,b₁,а₂,b₂…,a_n,b_n,…
называются коэффициентами
тригонометрического ряда. Ряд (1) часто
записывается следующим образом:

.
(2)

Так как члены
тригонометрического ряда (2) имеют общий
период
,
то и сумма ряда, если он сходится, также
является периодической функцией с
периодом.

Допустим, что
функция f(x)
есть сумма этого ряда:

.
(3)

В таком случае
говорят, что функция f(x)
раскладывается в тригонометрический
ряд. Предполагая, что этот ряд сходится
равномерно на промежутке
,
можно определить его коэффициенты по
формулам:

, ,.
(4)

Коэффициенты ряда,
определенные по этим формулам, называются
коэффициентами
Фурье.

Тригонометрический
ряд (2), коэффициенты которого определяются
по формулам Фурье (4), называются рядом
Фурье,
соответствующим функции f(x).

Таким образом,
если периодическая функция f(x)
является суммой сходящегося
тригонометрического ряда, то этот ряд
является ее рядом Фурье.

3.3. Сходимость ряда Фурье

Формулы (4) показывают,
что коэффициенты Фурье могут быть
вычислены для любой интегрируемой на
промежутке
-периодической
функции, т.е. для такой функции всегда
можно составить ряд Фурье. Но будет ли
этот ряд сходиться к функцииf(x)
и при каких условиях?

Напомним, что
функция f(x),
определенная на отрезке [a;b],
называется кусочно-гладкой, если она и
ее производная имеют не более конечного
числа точек разрыва первого рода.

Следующая теорема
дает достаточные условия разложимости
функции в ряд Фурье.

Теорема Дирихле.
Пусть
-периодическая
функцияf(x)
является кусочно-гладкой на
.
Тогда ее ряд Фурье сходится кf(x)
в каждой ее точке непрерывности и к
значению 0,5(f(x+0)+f(x-0))
в точке
разрыва.

Пример1.

Разложить в ряд
Фурье функцию f(x)=x,
заданную на интервале
.

Решение.
Эта функция удовлетворяет условиям
Дирихле и, следовательно, может быть
разложена в ряд Фурье. Применяя формулы
(4) и метод интегрирования по частям
,
найдем коэффициенты Фурье:

Т.к.
.

Таким образом, ряд
Фурье для функции f(x)
имеет вид:

.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

  26.08.2019183.47 Кб0Н1.rtf

Содержание:

1. Примеры с решением

Разложения функции в ряд Фурье

Существует несколько теорем, содержанием которых является перечень достаточных условий разложения функции в ряд Фурье.

В вузовском курсе математики чаше других используется теорема Дирихле.

Теорема Дирихле. Пусть периодическая с периодом функция удовлетворяет на промежутке условиям:

Тогда ряд Фурье функции сходится на всей числовой оси. При этом сумма ряда Фурье равна:

1) значению в точках непрерывности функции

2) если в точке функция терпит разрыв;

Заметим, что требование кусочной монотонности на промежутке означает, что эта функция может иметь на промежутке лишь конечное число точек экстремума.

Очевидно, периодическая с периодом функция.

Из теоремы Дирихле следует, что класс функций, которые разлагаются в ряд Фурье, довольно широк.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Примеры с решением

Пример 1.

Разложить в ряд Фурье периодическую с периодом функцию, значения которой на промежутке совпадают со значениями функции

Решение:

Применяя метод интегрирования по частям, получим:

По теореме Дирихле в точках непрерывной функции , в частности, на интервале будем иметь

В точках сумма ряда будет равна:

Это же значение будет принимать функция во всех других точках разрыва функции, которая является периодическим продолжением функции на всю числовую ось. График функции изображен на рис. 1.

Рисунок иллюстрирует, что функция имеет только точки разрыва 1-го рода и кусочно-монотонна, это означает, что применение теоремы Дирихле было возможно.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

В частном случае при будем иметь

Так как получим

Заметим, что ряды Фурье часто используются при суммировании числовых рядов. И еще одно замечание. В данном примере функция была задана на с помощью двух аналитических выражений. В математике и се приложениях таким образом заданные функции встречаются довольно часто. Разложение их в ряд Фурье является универсальным средством представления таких функций единым аналитическим выражением.

Можно ли пользоваться теоремой Дирихле, если функция удовлетворяет условиям теоремы на промежутке и является периодическои? Как в этом случае вычисляются коэффициенты ряда Фурье?

Так как интеграл от периодической функции по любому промежутку, длина которого равна периоду, всегда имеет одно и то же значение (это очевидно даже из геометрических соображений), это означает, что периодическую с периодом функцию можно разлагать в ряд Фурье но любому промежутку длины если на этом промежутке выполнены условия теоремы Дирихле. В случае промежутка вычислительные формулы для коэффициентов Фурье будут иметь вид:

Какой особенностью обладают ряды Фурье для четных и нечетных функции?

Напомним, что если четная функция, то

если функция нечетная. тогда

Если функция четная, тогда четная функция, а функция нечетная. Если же нечетная функция, тогда нечетная, четная функция. Отсюда следует:

1. Коэффициенты ряда Фурье четной функции будут вычисляться по формулам

Таким образом, ряд Фурье четной функции содержит только косинусы и имеет вид:

2. Если же функция нечетная,

Следовательно, ряд Фурье нечетной функции содержит только синусы, т. е. только нечетные функции.

Можно ли разложить в ряд Фурье функцию, заданную на промежутке

Можно. С этой целью заданную функцию произвольным образом доопределяют на промежутке таким образом, чтобы для этой функции были выполнены условия теоремы Дирихле. Далее разлагают в ряд функцию, которая является периодическим продолжением на всю числовую ось функции

В частных случаях, если доопределить функцию так, чтобы оказалась четной функцией (рис. 2), получим ряд, содержащий только косинусы, если продолжить функцию на промежуток нечетным образом (рис. 3), получим ряд Фурье, содержащий только синусы.

Очевидно, существует бесконечно много способов доопределения функции . Соответственно будем получать ряды, которые на промежутке будут вести себя по-разному, но при этом в любой точке из интервала значение суммы ряда будет одним и тем же при любой функции Очевидно, это значение будет определяться только поведением функции на интервале

Пример 2.

Периодическую с периодом функцию, значения которой на вычисляются по формуле разложить в ряд Фурье на промежутке доопределив функцию на отрезке двумя способами (рис. 4, рис. 5):

Во втором случае функция доопределена нечетным образом.

Решение:

Разложение в ряд функции было получено при решении примера 1. Следовательно, разложение в ряд функции на будет иметь вид:

Получим разложение в ряд функции Так как функция нечетная,

(интегрировали методом по частям).

Разложение на будет иметь вид:

В первом случае (см. пример 1), во втором случае

Полученные для одной и той же функции разложения в ряд на различны. Посмотрим, как ведут себя полученные разложения, например, в точке Так как все слагаемые разложения функции содержащие косинусы. при равны нулю, будем иметь

Так как получим

Во втором случае

Так как

будем иметь

Таким образом, используя два различных разложения в ряд Фурье функции па промежутке полагая в них . мы получили один и тот же результат.

Напомним, что в теории степенных рядов было получено разложение в ряд Тейлора функции

Так как будем иметь тог же результат, который мы получили, используя разложение совсем другой функции в ряд Фурье:

Можно ли разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом (отличным от )?

Да, можно. Пусть функция задана на промежутке Введем переменную по формуле Тогда функция будет периодической функцией аргумента с периодом Если эта функция разлагается в ряд Фурье на промежутке то этот ряд будет иметь вид:

где

Возвращаясь к прежней переменной полагая

будем иметь

И тогда ряд Фурье функции с периодом 21 будет иметь вид:

Заметим, что вся изложенная выше теория рядов Фурье для периодических функций с периодом имеет место и для периодических функций с периодом

Пример 3.

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом совпадающую на интервале с функцией

и равную 0 в точках разрыва (рис. 6).

Решение:

Заданная функция удовлетворяет условиям теоремы Дирихле, следовательно, разлагается в ряд Фурье, который сходится на всей числовой оси. Функция нечетная, поэтому

Сумма ряда Фурье будет иметь вид:

Значения будут совпадать со значениями периодической функции, изображенной на рис. 6 во всех точках числовой оси.

На рис. 7 показано, как частичные суммы ряда с увеличением все точнее и точнее представляют функцию

Пример 4.

Функцию разложить в ряд Фурье на интервале (0,2п). Пользуясь полученным разложением, найти суммы рядов

Решение:

Функция не является периодической. Введем вспомогательную функцию с периодом которая на интервале будет совпадать с а на остальной части оси будет ее периодическим продолжением. В точках разрыва функцию примем равной полусумме ее односторонних пределов, т. е. График схематично изображен на рис. 8.

Функция удовлетворяет всем условиям теоремы Дирихле. Найдем ее разложение в ряд Фурье

Дважды используя метод интегрирования по частям, получим:

Аналогично, дважды интегрируя по частям, найдем

Таким образом,

Полагая в первом разложении и получим соответственно

Заметим, что так как можно было подставить и в разложение функции Складывая почленно два полученных сходящихся ряда, получим еще один интересный результат:

Пример 5.

Разложить в ряд Фурье периодическую с периодом функцию, совпадающую на промежутке с функцией

Решение:

В данной задаче функция имеет период где Очевидно, что данная функция нечетная, так как

Функция удовлетворяет условиям Дирихле, следовательно, разлагается в сходящийся на всей оси ряд Фурье. В данном случае коэффициенты Фурье будут вычисляться по формулам

При будем иметь:

Интегрируя два раза по частям, получим:

Так как окончательно будем иметь

Тогда

для В точках , согласно теореме Дирихле будем иметь

Это же значение сумма (рис. 9) полученного ряда будет принимать во всех остальных точках разрыва заданной периодической функции.