Как найти коэффициенты логистической регрессии

“Logit model” redirects here. Not to be confused with Logit function.

In statistics, the logistic model (or logit model) is a statistical model that models the probability of an event taking place by having the log-odds for the event be a linear combination of one or more independent variables. In regression analysis, logistic regression^[1] (or logit regression) is estimating the parameters of a logistic model (the coefficients in the linear combination). Formally, in binary logistic regression there is a single binary dependent variable, coded by an indicator variable, where the two values are labeled “0” and “1”, while the independent variables can each be a binary variable (two classes, coded by an indicator variable) or a continuous variable (any real value). The corresponding probability of the value labeled “1” can vary between 0 (certainly the value “0”) and 1 (certainly the value “1”), hence the labeling;^[2] the function that converts log-odds to probability is the logistic function, hence the name. The unit of measurement for the log-odds scale is called a logit, from logistic unit, hence the alternative names. See § Background and § Definition for formal mathematics, and § Example for a worked example.

Binary variables are widely used in statistics to model the probability of a certain class or event taking place, such as the probability of a team winning, of a patient being healthy, etc. (see § Applications), and the logistic model has been the most commonly used model for binary regression since about 1970.^[3] Binary variables can be generalized to categorical variables when there are more than two possible values (e.g. whether an image is of a cat, dog, lion, etc.), and the binary logistic regression generalized to multinomial logistic regression. If the multiple categories are ordered, one can use the ordinal logistic regression (for example the proportional odds ordinal logistic model^[4]). See § Extensions for further extensions. The logistic regression model itself simply models probability of output in terms of input and does not perform statistical classification (it is not a classifier), though it can be used to make a classifier, for instance by choosing a cutoff value and classifying inputs with probability greater than the cutoff as one class, below the cutoff as the other; this is a common way to make a binary classifier.

Analogous linear models for binary variables with a different sigmoid function instead of the logistic function (to convert the linear combination to a probability) can also be used, most notably the probit model; see § Alternatives. The defining characteristic of the logistic model is that increasing one of the independent variables multiplicatively scales the odds of the given outcome at a constant rate, with each independent variable having its own parameter; for a binary dependent variable this generalizes the odds ratio. More abstractly, the logistic function is the natural parameter for the Bernoulli distribution, and in this sense is the “simplest” way to convert a real number to a probability. In particular, it maximizes entropy (minimizes added information), and in this sense makes the fewest assumptions of the data being modeled; see § Maximum entropy.

The parameters of a logistic regression are most commonly estimated by maximum-likelihood estimation (MLE). This does not have a closed-form expression, unlike linear least squares; see § Model fitting. Logistic regression by MLE plays a similarly basic role for binary or categorical responses as linear regression by ordinary least squares (OLS) plays for scalar responses: it is a simple, well-analyzed baseline model; see § Comparison with linear regression for discussion. The logistic regression as a general statistical model was originally developed and popularized primarily by Joseph Berkson,^[5] beginning in Berkson (1944), where he coined “logit”; see § History.

Applications[edit]

Logistic regression is used in various fields, including machine learning, most medical fields, and social sciences. For example, the Trauma and Injury Severity Score (TRISS), which is widely used to predict mortality in injured patients, was originally developed by Boyd et al. using logistic regression.^[6] Many other medical scales used to assess severity of a patient have been developed using logistic regression.^{[7][8][9][10]} Logistic regression may be used to predict the risk of developing a given disease (e.g. diabetes; coronary heart disease), based on observed characteristics of the patient (age, sex, body mass index, results of various blood tests, etc.).^[11][12] Another example might be to predict whether a Nepalese voter will vote Nepali Congress or Communist Party of Nepal or Any Other Party, based on age, income, sex, race, state of residence, votes in previous elections, etc.^[13] The technique can also be used in engineering, especially for predicting the probability of failure of a given process, system or product.^[14][15] It is also used in marketing applications such as prediction of a customer’s propensity to purchase a product or halt a subscription, etc.^[16] In economics, it can be used to predict the likelihood of a person ending up in the labor force, and a business application would be to predict the likelihood of a homeowner defaulting on a mortgage. Conditional random fields, an extension of logistic regression to sequential data, are used in natural language processing.

Example[edit]

Problem[edit]

As a simple example, we can use a logistic regression with one explanatory variable and two categories to answer the following question:

A group of 20 students spends between 0 and 6 hours studying for an exam. How does the number of hours spent studying affect the probability of the student passing the exam?

The reason for using logistic regression for this problem is that the values of the dependent variable, pass and fail, while represented by “1” and “0”, are not cardinal numbers. If the problem was changed so that pass/fail was replaced with the grade 0–100 (cardinal numbers), then simple regression analysis could be used.

The table shows the number of hours each student spent studying, and whether they passed (1) or failed (0).

Hours (xk)	0.50	0.75	1.00	1.25	1.50	1.75	1.75	2.00	2.25	2.50	2.75	3.00	3.25	3.50	4.00	4.25	4.50	4.75	5.00	5.50
Pass (yk)	0	0	0	0	0	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	1	1	1	1	1

We wish to fit a logistic function to the data consisting of the hours studied (x_k) and the outcome of the test (y_k =1 for pass, 0 for fail). The data points are indexed by the subscript k which runs from to . The x variable is called the “explanatory variable”, and the y variable is called the “categorical variable” consisting of two categories: “pass” or “fail” corresponding to the categorical values 1 and 0 respectively.

Model[edit]

The logistic function is of the form:

where μ is a location parameter (the midpoint of the curve, where ) and s is a scale parameter. This expression may be rewritten as:

where and is known as the intercept (it is the vertical intercept or y-intercept of the line ), and (inverse scale parameter or rate parameter): these are the y-intercept and slope of the log-odds as a function of x. Conversely, and .

Fit[edit]

The usual measure of goodness of fit for a logistic regression uses logistic loss (or log loss), the negative log-likelihood. For a given x_k and y_k, write . The are the probabilities that the corresponding will be unity and are the probabilities that they will be zero (see Bernoulli distribution). We wish to find the values of and which give the “best fit” to the data. In the case of linear regression, the sum of the squared deviations of the fit from the data points (y_k), the squared error loss, is taken as a measure of the goodness of fit, and the best fit is obtained when that function is minimized.

The log loss for the k-th point is:

The log loss can be interpreted as the “surprisal” of the actual outcome relative to the prediction , and is a measure of information content. Note that log loss is always greater than or equal to 0, equals 0 only in case of a perfect prediction (i.e., when and , or and ), and approaches infinity as the prediction gets worse (i.e., when and or and ), meaning the actual outcome is “more surprising”. Since the value of the logistic function is always strictly between zero and one, the log loss is always greater than zero and less than infinity. Note that unlike in a linear regression, where the model can have zero loss at a point by passing through a data point (and zero loss overall if all points are on a line), in a logistic regression it is not possible to have zero loss at any points, since is either 0 or 1, but .

These can be combined into a single expression:

This expression is more formally known as the cross entropy of the predicted distribution from the actual distribution , as probability distributions on the two-element space of (pass, fail).

The sum of these, the total loss, is the overall negative log-likelihood , and the best fit is obtained for those choices of and for which is minimized.

Alternatively, instead of minimizing the loss, one can maximize its inverse, the (positive) log-likelihood:

or equivalently maximize the likelihood function itself, which is the probability that the given data set is produced by a particular logistic function:

This method is known as maximum likelihood estimation.

Parameter estimation[edit]

Since ℓ is nonlinear in and , determining their optimum values will require numerical methods. Note that one method of maximizing ℓ is to require the derivatives of ℓ with respect to and to be zero:

and the maximization procedure can be accomplished by solving the above two equations for and , which, again, will generally require the use of numerical methods.

The values of and which maximize ℓ and L using the above data are found to be:

which yields a value for μ and s of:

Predictions[edit]

The and coefficients may be entered into the logistic regression equation to estimate the probability of passing the exam.

For example, for a student who studies 2 hours, entering the value into the equation gives the estimated probability of passing the exam of 0.25:

Similarly, for a student who studies 4 hours, the estimated probability of passing the exam is 0.87:

This table shows the estimated probability of passing the exam for several values of hours studying.

Hours of study (x)	Passing exam
Log-odds (t)	Odds (et)	Probability (p)
1	−2.57	0.076 ≈ 1:13.1	0.07
2	−1.07	0.34 ≈ 1:2.91	0.26
	0	1	= 0.50
3	0.44	1.55	0.61
4	1.94	6.96	0.87
5	3.45	31.4	0.97

Model evaluation[edit]

The logistic regression analysis gives the following output.

	Coefficient	Std. Error	z-value	p-value (Wald)
Intercept (β0)	−4.1	1.8	−2.3	0.021
Hours (β1)	1.5	0.6	2.4	0.017

By the Wald test, the output indicates that hours studying is significantly associated with the probability of passing the exam (). Rather than the Wald method, the recommended method^{[citation needed]} to calculate the p-value for logistic regression is the likelihood-ratio test (LRT), which for these data give (see § Deviance and likelihood ratio tests below).

Generalizations[edit]

This simple model is an example of binary logistic regression, and has one explanatory variable and a binary categorical variable which can assume one of two categorical values. Multinomial logistic regression is the generalization of binary logistic regression to include any number of explanatory variables and any number of categories.

Background[edit]

Definition of the logistic function[edit]

An explanation of logistic regression can begin with an explanation of the standard logistic function. The logistic function is a sigmoid function, which takes any real input , and outputs a value between zero and one.^[2] For the logit, this is interpreted as taking input log-odds and having output probability. The standard logistic function is defined as follows:

A graph of the logistic function on the t-interval (−6,6) is shown in Figure 1.

Let us assume that is a linear function of a single explanatory variable (the case where is a linear combination of multiple explanatory variables is treated similarly). We can then express as follows:

And the general logistic function can now be written as:

In the logistic model, is interpreted as the probability of the dependent variable equaling a success/case rather than a failure/non-case. It’s clear that the response variables are not identically distributed: differs from one data point to another, though they are independent given design matrix and shared parameters .^[11]

Definition of the inverse of the logistic function[edit]

We can now define the logit (log odds) function as the inverse of the standard logistic function. It is easy to see that it satisfies:

and equivalently, after exponentiating both sides we have the odds:

Interpretation of these terms[edit]

In the above equations, the terms are as follows:

Definition of the odds[edit]

The odds of the dependent variable equaling a case (given some linear combination of the predictors) is equivalent to the exponential function of the linear regression expression. This illustrates how the logit serves as a link function between the probability and the linear regression expression. Given that the logit ranges between negative and positive infinity, it provides an adequate criterion upon which to conduct linear regression and the logit is easily converted back into the odds.^[2]

So we define odds of the dependent variable equaling a case (given some linear combination of the predictors) as follows:

The odds ratio[edit]

For a continuous independent variable the odds ratio can be defined as:

The image represents an outline of what an odds ratio looks like in writing, through a template in addition to the test score example in the “Example” section of the contents. In simple terms, if we hypothetically get an odds ratio of 2 to 1, we can say… “For every one-unit increase in hours studied, the odds of passing (group 1) or failing (group 0) are (expectedly) 2 to 1 (Denis, 2019).

This exponential relationship provides an interpretation for : The odds multiply by for every 1-unit increase in x.^[17]

For a binary independent variable the odds ratio is defined as where a, b, c and d are cells in a 2×2 contingency table.^[18]

Multiple explanatory variables[edit]

If there are multiple explanatory variables, the above expression can be revised to . Then when this is used in the equation relating the log odds of a success to the values of the predictors, the linear regression will be a multiple regression with m explanators; the parameters for all are all estimated.

Again, the more traditional equations are:

and

where usually .

Definition[edit]

The basic setup of logistic regression is as follows. We are given a dataset containing N points. Each point i consists of a set of m input variables x_1,i … x_m,i (also called independent variables, explanatory variables, predictor variables, features, or attributes), and a binary outcome variable Y_i (also known as a dependent variable, response variable, output variable, or class), i.e. it can assume only the two possible values 0 (often meaning “no” or “failure”) or 1 (often meaning “yes” or “success”). The goal of logistic regression is to use the dataset to create a predictive model of the outcome variable.

As in linear regression, the outcome variables Y_i are assumed to depend on the explanatory variables x_1,i … x_m,i.

Explanatory variables

The explanatory variables may be of any type: real-valued, binary, categorical, etc. The main distinction is between continuous variables and discrete variables.

(Discrete variables referring to more than two possible choices are typically coded using dummy variables (or indicator variables), that is, separate explanatory variables taking the value 0 or 1 are created for each possible value of the discrete variable, with a 1 meaning “variable does have the given value” and a 0 meaning “variable does not have that value”.)

Outcome variables

Formally, the outcomes Y_i are described as being Bernoulli-distributed data, where each outcome is determined by an unobserved probability p_i that is specific to the outcome at hand, but related to the explanatory variables. This can be expressed in any of the following equivalent forms:

The meanings of these four lines are:

1. The first line expresses the probability distribution of each Y_i : conditioned on the explanatory variables, it follows a Bernoulli distribution with parameters p_i, the probability of the outcome of 1 for trial i. As noted above, each separate trial has its own probability of success, just as each trial has its own explanatory variables. The probability of success p_i is not observed, only the outcome of an individual Bernoulli trial using that probability.
2. The second line expresses the fact that the expected value of each Y_i is equal to the probability of success p_i, which is a general property of the Bernoulli distribution. In other words, if we run a large number of Bernoulli trials using the same probability of success p_i, then take the average of all the 1 and 0 outcomes, then the result would be close to p_i. This is because doing an average this way simply computes the proportion of successes seen, which we expect to converge to the underlying probability of success.
3. The third line writes out the probability mass function of the Bernoulli distribution, specifying the probability of seeing each of the two possible outcomes.
4. The fourth line is another way of writing the probability mass function, which avoids having to write separate cases and is more convenient for certain types of calculations. This relies on the fact that Y_i can take only the value 0 or 1. In each case, one of the exponents will be 1, “choosing” the value under it, while the other is 0, “canceling out” the value under it. Hence, the outcome is either p_i or 1 − p_i, as in the previous line.

Linear predictor function

The basic idea of logistic regression is to use the mechanism already developed for linear regression by modeling the probability p_i using a linear predictor function, i.e. a linear combination of the explanatory variables and a set of regression coefficients that are specific to the model at hand but the same for all trials. The linear predictor function for a particular data point i is written as:

where are regression coefficients indicating the relative effect of a particular explanatory variable on the outcome.

The model is usually put into a more compact form as follows:

• The regression coefficients β₀, β₁, …, β_m are grouped into a single vector β of size m + 1.
• For each data point i, an additional explanatory pseudo-variable x_0,i is added, with a fixed value of 1, corresponding to the intercept coefficient β₀.
• The resulting explanatory variables x_0,i, x_1,i, …, x_m,i are then grouped into a single vector X_i of size m + 1.

This makes it possible to write the linear predictor function as follows:

using the notation for a dot product between two vectors.

Many explanatory variables, two categories[edit]

The above example of binary logistic regression on one explanatory variable can be generalized to binary logistic regression on any number of explanatory variables x₁, x₂,… and any number of categorical values .

To begin with, we may consider a logistic model with M explanatory variables, x₁, x₂ … x_M and, as in the example above, two categorical values (y = 0 and 1). For the simple binary logistic regression model, we assumed a linear relationship between the predictor variable and the log-odds (also called logit) of the event that . This linear relationship may be extended to the case of M explanatory variables:

where t is the log-odds and are parameters of the model. An additional generalization has been introduced in which the base of the model (b) is not restricted to the Euler number e. In most applications, the base of the logarithm is usually taken to be e. However, in some cases it can be easier to communicate results by working in base 2 or base 10.

For a more compact notation, we will specify the explanatory variables and the β coefficients as -dimensional vectors:

with an added explanatory variable x₀ =1. The logit may now be written as:

Solving for the probability p that yields:

,

where is the sigmoid function with base . The above formula shows that once the are fixed, we can easily compute either the log-odds that for a given observation, or the probability that for a given observation. The main use-case of a logistic model is to be given an observation , and estimate the probability that . The optimum beta coefficients may again be found by maximizing the log-likelihood. For K measurements, defining as the explanatory vector of the k-th measurement, and as the categorical outcome of that measurement, the log likelihood may be written in a form very similar to the simple case above:

As in the simple example above, finding the optimum β parameters will require numerical methods. One useful technique is to equate the derivatives of the log likelihood with respect to each of the β parameters to zero yielding a set of equations which will hold at the maximum of the log likelihood:

where x_mk is the value of the x_m explanatory variable from the k-th measurement.

Consider an example with explanatory variables, , and coefficients , , and which have been determined by the above method. To be concrete, the model is:

,

where p is the probability of the event that . This can be interpreted as follows:

Multinomial logistic regression: Many explanatory variables and many categories[edit]

In the above cases of two categories (binomial logistic regression), the categories were indexed by “0” and “1”, and we had two probability distributions: The probability that the outcome was in category 1 was given by and the probability that the outcome was in category 0 was given by . The sum of both probabilities is equal to unity, as they must be.

In general, if we have explanatory variables (including x₀) and categories, we will need separate probability distributions, one for each category, indexed by n, which describe the probability that the categorical outcome y for explanatory vector x will be in category y=n. It will also be required that the sum of these probabilities over all categories be equal to unity. Using the mathematically convenient base e, these probabilities are:

for

Each of the probabilities except will have their own set of regression coefficients . It can be seen that, as required, the sum of the over all categories is unity. Note that the selection of to be defined in terms of the other probabilities is artificial. Any of the probabilities could have been selected to be so defined. This special value of n is termed the “pivot index”, and the log-odds (t_n) are expressed in terms of the pivot probability and are again expressed as a linear combination of the explanatory variables:

Note also that for the simple case of , the two-category case is recovered, with and .

The log-likelihood that a particular set of K measurements or data points will be generated by the above probabilities can now be calculated. Indexing each measurement by k, let the k-th set of measured explanatory variables be denoted by and their categorical outcomes be denoted by which can be equal to any integer in [0,N]. The log-likelihood is then:

where is an indicator function which is equal to unity if y_k = n and zero otherwise. In the case of two explanatory variables, this indicator function was defined as y_k when n = 1 and 1-y_k when n = 0. This was convenient, but not necessary.^[19] Again, the optimum beta coefficients may be found by maximizing the log-likelihood function generally using numerical methods. A possible method of solution is to set the derivatives of the log-likelihood with respect to each beta coefficient equal to zero and solve for the beta coefficients:

where is the m-th coefficient of the vector and is the m-th explanatory variable of the k-th measurement. Once the beta coefficients have been estimated from the data, we will be able to estimate the probability that any subsequent set of explanatory variables will result in any of the possible outcome categories.

Interpretations[edit]

There are various equivalent specifications and interpretations of logistic regression, which fit into different types of more general models, and allow different generalizations.

As a generalized linear model[edit]

The particular model used by logistic regression, which distinguishes it from standard linear regression and from other types of regression analysis used for binary-valued outcomes, is the way the probability of a particular outcome is linked to the linear predictor function:

Written using the more compact notation described above, this is:

This formulation expresses logistic regression as a type of generalized linear model, which predicts variables with various types of probability distributions by fitting a linear predictor function of the above form to some sort of arbitrary transformation of the expected value of the variable.

The intuition for transforming using the logit function (the natural log of the odds) was explained above^{[clarification needed]}. It also has the practical effect of converting the probability (which is bounded to be between 0 and 1) to a variable that ranges over — thereby matching the potential range of the linear prediction function on the right side of the equation.

Note that both the probabilities p_i and the regression coefficients are unobserved, and the means of determining them is not part of the model itself. They are typically determined by some sort of optimization procedure, e.g. maximum likelihood estimation, that finds values that best fit the observed data (i.e. that give the most accurate predictions for the data already observed), usually subject to regularization conditions that seek to exclude unlikely values, e.g. extremely large values for any of the regression coefficients. The use of a regularization condition is equivalent to doing maximum a posteriori (MAP) estimation, an extension of maximum likelihood. (Regularization is most commonly done using a squared regularizing function, which is equivalent to placing a zero-mean Gaussian prior distribution on the coefficients, but other regularizers are also possible.) Whether or not regularization is used, it is usually not possible to find a closed-form solution; instead, an iterative numerical method must be used, such as iteratively reweighted least squares (IRLS) or, more commonly these days, a quasi-Newton method such as the L-BFGS method.^[20]

The interpretation of the β_j parameter estimates is as the additive effect on the log of the odds for a unit change in the j the explanatory variable. In the case of a dichotomous explanatory variable, for instance, gender is the estimate of the odds of having the outcome for, say, males compared with females.

An equivalent formula uses the inverse of the logit function, which is the logistic function, i.e.:

The formula can also be written as a probability distribution (specifically, using a probability mass function):

As a latent-variable model[edit]

The logistic model has an equivalent formulation as a latent-variable model. This formulation is common in the theory of discrete choice models and makes it easier to extend to certain more complicated models with multiple, correlated choices, as well as to compare logistic regression to the closely related probit model.

Imagine that, for each trial i, there is a continuous latent variable Y_i^* (i.e. an unobserved random variable) that is distributed as follows:

where

i.e. the latent variable can be written directly in terms of the linear predictor function and an additive random error variable that is distributed according to a standard logistic distribution.

Then Y_i can be viewed as an indicator for whether this latent variable is positive:

The choice of modeling the error variable specifically with a standard logistic distribution, rather than a general logistic distribution with the location and scale set to arbitrary values, seems restrictive, but in fact, it is not. It must be kept in mind that we can choose the regression coefficients ourselves, and very often can use them to offset changes in the parameters of the error variable’s distribution. For example, a logistic error-variable distribution with a non-zero location parameter μ (which sets the mean) is equivalent to a distribution with a zero location parameter, where μ has been added to the intercept coefficient. Both situations produce the same value for Y_i^* regardless of settings of explanatory variables. Similarly, an arbitrary scale parameter s is equivalent to setting the scale parameter to 1 and then dividing all regression coefficients by s. In the latter case, the resulting value of Y_i^* will be smaller by a factor of s than in the former case, for all sets of explanatory variables — but critically, it will always remain on the same side of 0, and hence lead to the same Y_i choice.

(Note that this predicts that the irrelevancy of the scale parameter may not carry over into more complex models where more than two choices are available.)

It turns out that this formulation is exactly equivalent to the preceding one, phrased in terms of the generalized linear model and without any latent variables. This can be shown as follows, using the fact that the cumulative distribution function (CDF) of the standard logistic distribution is the logistic function, which is the inverse of the logit function, i.e.

Then:

This formulation—which is standard in discrete choice models—makes clear the relationship between logistic regression (the “logit model”) and the probit model, which uses an error variable distributed according to a standard normal distribution instead of a standard logistic distribution. Both the logistic and normal distributions are symmetric with a basic unimodal, “bell curve” shape. The only difference is that the logistic distribution has somewhat heavier tails, which means that it is less sensitive to outlying data (and hence somewhat more robust to model mis-specifications or erroneous data).

Two-way latent-variable model[edit]

Yet another formulation uses two separate latent variables:

where

where EV₁(0,1) is a standard type-1 extreme value distribution: i.e.

Then

This model has a separate latent variable and a separate set of regression coefficients for each possible outcome of the dependent variable. The reason for this separation is that it makes it easy to extend logistic regression to multi-outcome categorical variables, as in the multinomial logit model. In such a model, it is natural to model each possible outcome using a different set of regression coefficients. It is also possible to motivate each of the separate latent variables as the theoretical utility associated with making the associated choice, and thus motivate logistic regression in terms of utility theory. (In terms of utility theory, a rational actor always chooses the choice with the greatest associated utility.) This is the approach taken by economists when formulating discrete choice models, because it both provides a theoretically strong foundation and facilitates intuitions about the model, which in turn makes it easy to consider various sorts of extensions. (See the example below.)

The choice of the type-1 extreme value distribution seems fairly arbitrary, but it makes the mathematics work out, and it may be possible to justify its use through rational choice theory.

It turns out that this model is equivalent to the previous model, although this seems non-obvious, since there are now two sets of regression coefficients and error variables, and the error variables have a different distribution. In fact, this model reduces directly to the previous one with the following substitutions:

An intuition for this comes from the fact that, since we choose based on the maximum of two values, only their difference matters, not the exact values — and this effectively removes one degree of freedom. Another critical fact is that the difference of two type-1 extreme-value-distributed variables is a logistic distribution, i.e. We can demonstrate the equivalent as follows:

Example[edit]

As an example, consider a province-level election where the choice is between a right-of-center party, a left-of-center party, and a secessionist party (e.g. the Parti Québécois, which wants Quebec to secede from Canada). We would then use three latent variables, one for each choice. Then, in accordance with utility theory, we can then interpret the latent variables as expressing the utility that results from making each of the choices. We can also interpret the regression coefficients as indicating the strength that the associated factor (i.e. explanatory variable) has in contributing to the utility — or more correctly, the amount by which a unit change in an explanatory variable changes the utility of a given choice. A voter might expect that the right-of-center party would lower taxes, especially on rich people. This would give low-income people no benefit, i.e. no change in utility (since they usually don’t pay taxes); would cause moderate benefit (i.e. somewhat more money, or moderate utility increase) for middle-incoming people; would cause significant benefits for high-income people. On the other hand, the left-of-center party might be expected to raise taxes and offset it with increased welfare and other assistance for the lower and middle classes. This would cause significant positive benefit to low-income people, perhaps a weak benefit to middle-income people, and significant negative benefit to high-income people. Finally, the secessionist party would take no direct actions on the economy, but simply secede. A low-income or middle-income voter might expect basically no clear utility gain or loss from this, but a high-income voter might expect negative utility since he/she is likely to own companies, which will have a harder time doing business in such an environment and probably lose money.

These intuitions can be expressed as follows:

Estimated strength of regression coefficient for different outcomes (party choices) and different values of explanatory variables

	Center-right	Center-left	Secessionist
High-income	strong +	strong −	strong −
Middle-income	moderate +	weak +	none
Low-income	none	strong +	none

This clearly shows that

1. Separate sets of regression coefficients need to exist for each choice. When phrased in terms of utility, this can be seen very easily. Different choices have different effects on net utility; furthermore, the effects vary in complex ways that depend on the characteristics of each individual, so there need to be separate sets of coefficients for each characteristic, not simply a single extra per-choice characteristic.
2. Even though income is a continuous variable, its effect on utility is too complex for it to be treated as a single variable. Either it needs to be directly split up into ranges, or higher powers of income need to be added so that polynomial regression on income is effectively done.

As a “log-linear” model[edit]

Yet another formulation combines the two-way latent variable formulation above with the original formulation higher up without latent variables, and in the process provides a link to one of the standard formulations of the multinomial logit.

Here, instead of writing the logit of the probabilities p_i as a linear predictor, we separate the linear predictor into two, one for each of the two outcomes:

Two separate sets of regression coefficients have been introduced, just as in the two-way latent variable model, and the two equations appear a form that writes the logarithm of the associated probability as a linear predictor, with an extra term at the end. This term, as it turns out, serves as the normalizing factor ensuring that the result is a distribution. This can be seen by exponentiating both sides:

In this form it is clear that the purpose of Z is to ensure that the resulting distribution over Y_i is in fact a probability distribution, i.e. it sums to 1. This means that Z is simply the sum of all un-normalized probabilities, and by dividing each probability by Z, the probabilities become “normalized”. That is:

and the resulting equations are

Or generally:

This shows clearly how to generalize this formulation to more than two outcomes, as in multinomial logit.
Note that this general formulation is exactly the softmax function as in

In order to prove that this is equivalent to the previous model, note that the above model is overspecified, in that and cannot be independently specified: rather so knowing one automatically determines the other. As a result, the model is nonidentifiable, in that multiple combinations of β₀ and β₁ will produce the same probabilities for all possible explanatory variables. In fact, it can be seen that adding any constant vector to both of them will produce the same probabilities:

As a result, we can simplify matters, and restore identifiability, by picking an arbitrary value for one of the two vectors. We choose to set Then,

and so

which shows that this formulation is indeed equivalent to the previous formulation. (As in the two-way latent variable formulation, any settings where will produce equivalent results.)

Note that most treatments of the multinomial logit model start out either by extending the “log-linear” formulation presented here or the two-way latent variable formulation presented above, since both clearly show the way that the model could be extended to multi-way outcomes. In general, the presentation with latent variables is more common in econometrics and political science, where discrete choice models and utility theory reign, while the “log-linear” formulation here is more common in computer science, e.g. machine learning and natural language processing.

As a single-layer perceptron[edit]

The model has an equivalent formulation

This functional form is commonly called a single-layer perceptron or single-layer artificial neural network. A single-layer neural network computes a continuous output instead of a step function. The derivative of p_i with respect to X = (x₁, …, x_k) is computed from the general form:

where f(X) is an analytic function in X. With this choice, the single-layer neural network is identical to the logistic regression model. This function has a continuous derivative, which allows it to be used in backpropagation. This function is also preferred because its derivative is easily calculated:

In terms of binomial data[edit]

A closely related model assumes that each i is associated not with a single Bernoulli trial but with n_i independent identically distributed trials, where the observation Y_i is the number of successes observed (the sum of the individual Bernoulli-distributed random variables), and hence follows a binomial distribution:

An example of this distribution is the fraction of seeds (p_i) that germinate after n_i are planted.

In terms of expected values, this model is expressed as follows:

so that

Or equivalently:

This model can be fit using the same sorts of methods as the above more basic model.

Model fitting[edit]

This section needs expansion. You can help by adding to it. (October 2016)

Maximum likelihood estimation (MLE)[edit]

The regression coefficients are usually estimated using maximum likelihood estimation.^[21][22] Unlike linear regression with normally distributed residuals, it is not possible to find a closed-form expression for the coefficient values that maximize the likelihood function, so that an iterative process must be used instead; for example Newton’s method. This process begins with a tentative solution, revises it slightly to see if it can be improved, and repeats this revision until no more improvement is made, at which point the process is said to have converged.^[21]

In some instances, the model may not reach convergence. Non-convergence of a model indicates that the coefficients are not meaningful because the iterative process was unable to find appropriate solutions. A failure to converge may occur for a number of reasons: having a large ratio of predictors to cases, multicollinearity, sparseness, or complete separation.

• Having a large ratio of variables to cases results in an overly conservative Wald statistic (discussed below) and can lead to non-convergence. Regularized logistic regression is specifically intended to be used in this situation.
• Multicollinearity refers to unacceptably high correlations between predictors. As multicollinearity increases, coefficients remain unbiased but standard errors increase and the likelihood of model convergence decreases.^[21] To detect multicollinearity amongst the predictors, one can conduct a linear regression analysis with the predictors of interest for the sole purpose of examining the tolerance statistic ^[21] used to assess whether multicollinearity is unacceptably high.
• Sparseness in the data refers to having a large proportion of empty cells (cells with zero counts). Zero cell counts are particularly problematic with categorical predictors. With continuous predictors, the model can infer values for the zero cell counts, but this is not the case with categorical predictors. The model will not converge with zero cell counts for categorical predictors because the natural logarithm of zero is an undefined value so that the final solution to the model cannot be reached. To remedy this problem, researchers may collapse categories in a theoretically meaningful way or add a constant to all cells.^[21]
• Another numerical problem that may lead to a lack of convergence is complete separation, which refers to the instance in which the predictors perfectly predict the criterion – all cases are accurately classified and the likelihood maximized with infinite coefficients. In such instances, one should re-examine the data, as there may be some kind of error.^{[2][further explanation needed]}
• One can also take semi-parametric or non-parametric approaches, e.g., via local-likelihood or nonparametric quasi-likelihood methods, which avoid assumptions of a parametric form for the index function and is robust to the choice of the link function (e.g., probit or logit).^[23]

Iteratively reweighted least squares (IRLS)[edit]

Binary logistic regression ( or ) can, for example, be calculated using iteratively reweighted least squares (IRLS), which is equivalent to maximizing the log-likelihood of a Bernoulli distributed process using Newton’s method. If the problem is written in vector matrix form, with parameters , explanatory variables and expected value of the Bernoulli distribution , the parameters can be found using the following iterative algorithm:

where is a diagonal weighting matrix, the vector of expected values,

The regressor matrix and the vector of response variables. More details can be found in the literature.^[24]

Bayesian[edit]

In a Bayesian statistics context, prior distributions are normally placed on the regression coefficients, for example in the form of Gaussian distributions. There is no conjugate prior of the likelihood function in logistic regression. When Bayesian inference was performed analytically, this made the posterior distribution difficult to calculate except in very low dimensions. Now, though, automatic software such as OpenBUGS, JAGS, PyMC3, Stan or Turing.jl allows these posteriors to be computed using simulation, so lack of conjugacy is not a concern. However, when the sample size or the number of parameters is large, full Bayesian simulation can be slow, and people often use approximate methods such as variational Bayesian methods and expectation propagation.

“Rule of ten”[edit]

A widely used rule of thumb, the “one in ten rule”, states that logistic regression models give stable values for the explanatory variables if based on a minimum of about 10 events per explanatory variable (EPV); where event denotes the cases belonging to the less frequent category in the dependent variable. Thus a study designed to use explanatory variables for an event (e.g. myocardial infarction) expected to occur in a proportion of participants in the study will require a total of participants. However, there is considerable debate about the reliability of this rule, which is based on simulation studies and lacks a secure theoretical underpinning.^[25] According to some authors^[26] the rule is overly conservative in some circumstances, with the authors stating, “If we (somewhat subjectively) regard confidence interval coverage less than 93 percent, type I error greater than 7 percent, or relative bias greater than 15 percent as problematic, our results indicate that problems are fairly frequent with 2–4 EPV, uncommon with 5–9 EPV, and still observed with 10–16 EPV. The worst instances of each problem were not severe with 5–9 EPV and usually comparable to those with 10–16 EPV”.^[27]

Others have found results that are not consistent with the above, using different criteria. A useful criterion is whether the fitted model will be expected to achieve the same predictive discrimination in a new sample as it appeared to achieve in the model development sample. For that criterion, 20 events per candidate variable may be required.^[28] Also, one can argue that 96 observations are needed only to estimate the model’s intercept precisely enough that the margin of error in predicted probabilities is ±0.1 with a 0.95 confidence level.^[29]

Error and significance of fit[edit]

Deviance and likelihood ratio test ─ a simple case[edit]

In any fitting procedure, the addition of another fitting parameter to a model (e.g. the beta parameters in a logistic regression model) will almost always improve the ability of the model to predict the measured outcomes. This will be true even if the additional term has no predictive value, since the model will simply be “overfitting” to the noise in the data. The question arises as to whether the improvement gained by the addition of another fitting parameter is significant enough to recommend the inclusion of the additional term, or whether the improvement is simply that which may be expected from overfitting.

In short, for logistic regression, a statistic known as the deviance is defined which is a measure of the error between the logistic model fit and the outcome data. In the limit of a large number of data points, the deviance is chi-squared distributed, which allows a chi-squared test to be implemented in order to determine the significance of the explanatory variables.

Linear regression and logistic regression have many similarities. For example, in simple linear regression, a set of K data points (x_k, y_k) are fitted to a proposed model function of the form . The fit is obtained by choosing the b parameters which minimize the sum of the squares of the residuals (the squared error term) for each data point:

The minimum value which constitutes the fit will be denoted by

The idea of a null model may be introduced, in which it is assumed that the x variable is of no use in predicting the y_k outcomes: The data points are fitted to a null model function of the form y=b₀ with a squared error term:

The fitting process consists of choosing a value of b₀ which minimizes of the fit to the null model, denoted by where the subscript denotes the null model. It is seen that the null model is optimized by where is the mean of the y_k values, and the optimized is:

which is proportional to the square of the (uncorrected) sample standard deviation of the y_k data points.

We can imagine a case where the y_k data points are randomly assigned to the various x_k, and then fitted using the proposed model. Specifically, we can consider the fits of the proposed model to every permutation of the y_k outcomes. It can be shown that the optimized error of any of these fits will never be less than the optimum error of the null model, and that the difference between these minimum error will follow a chi-squared distribution, with degrees of freedom equal those of the proposed model minus those of the null model which, in this case, will be 2-1=1. Using the chi-squared test, we may then estimate how many of these permuted sets of y_k will yield an minimum error less than or equal to the minimum error using the original y_k, and so we can estimate how significant an improvement is given by the inclusion of the x variable in the proposed model.

For logistic regression, the measure of goodness-of-fit is the likelihood function L, or its logarithm, the log-likelihood ℓ. The likelihood function L is analogous to the in the linear regression case, except that the likelihood is maximized rather than minimized. Denote the maximized log-likelihood of the proposed model by .

In the case of simple binary logistic regression, the set of K data points are fitted in a probabilistic sense to a function of the form:

where is the probability that . The log-odds are given by:

and the log-likelihood is:

For the null model, the probability that is given by:

The log-odds for the null model are given by:

and the log-likelihood is:

Since we have at the maximum of L, the maximum log-likelihood for the null model is

The optimum is:

where is again the mean of the y_k values. Again, we can conceptually consider the fit of the proposed model to every permutation of the y_k and it can be shown that the maximum log-likelihood of these permutation fits will never be smaller than that of the null model:

Also, as an analog to the error of the linear regression case, we may define the deviance of a logistic regression fit as:

which will always be positive or zero. The reason for this choice is that not only is the deviance a good measure of the goodness of fit, it is also approximately chi-squared distributed, with the approximation improving as the number of data points (K) increases, becoming exactly chi-square distributed in the limit of an infinite number of data points. As in the case of linear regression, we may use this fact to estimate the probability that a random set of data points will give a better fit than the fit obtained by the proposed model, and so have an estimate how significantly the model is improved by including the x_k data points in the proposed model.

For the simple model of student test scores described above, the maximum value of the log-likelihood of the null model is The maximum value of the log-likelihood for the simple model is so that the deviance is

Using the chi-squared test of significance, the integral of the chi-squared distribution with one degree of freedom from 11.6661… to infinity is equal to 0.00063649…

This effectively means that about 6 out of a 10,000 fits to random y_k can be expected to have a better fit (smaller deviance) than the given y_k and so we can conclude that the inclusion of the x variable and data in the proposed model is a very significant improvement over the null model. In other words, we reject the null hypothesis with confidence.

Goodness of fit summary[edit]

Goodness of fit in linear regression models is generally measured using R². Since this has no direct analog in logistic regression, various methods^{[30]: ch.21} including the following can be used instead.

Deviance and likelihood ratio tests[edit]

In linear regression analysis, one is concerned with partitioning variance via the sum of squares calculations – variance in the criterion is essentially divided into variance accounted for by the predictors and residual variance. In logistic regression analysis, deviance is used in lieu of a sum of squares calculations.^[31] Deviance is analogous to the sum of squares calculations in linear regression^[2] and is a measure of the lack of fit to the data in a logistic regression model.^[31] When a “saturated” model is available (a model with a theoretically perfect fit), deviance is calculated by comparing a given model with the saturated model.^[2] This computation gives the likelihood-ratio test:^[2]

In the above equation, D represents the deviance and ln represents the natural logarithm. The log of this likelihood ratio (the ratio of the fitted model to the saturated model) will produce a negative value, hence the need for a negative sign. D can be shown to follow an approximate chi-squared distribution.^[2] Smaller values indicate better fit as the fitted model deviates less from the saturated model. When assessed upon a chi-square distribution, nonsignificant chi-square values indicate very little unexplained variance and thus, good model fit. Conversely, a significant chi-square value indicates that a significant amount of the variance is unexplained.

When the saturated model is not available (a common case), deviance is calculated simply as −2·(log likelihood of the fitted model), and the reference to the saturated model’s log likelihood can be removed from all that follows without harm.

Two measures of deviance are particularly important in logistic regression: null deviance and model deviance. The null deviance represents the difference between a model with only the intercept (which means “no predictors”) and the saturated model. The model deviance represents the difference between a model with at least one predictor and the saturated model.^[31] In this respect, the null model provides a baseline upon which to compare predictor models. Given that deviance is a measure of the difference between a given model and the saturated model, smaller values indicate better fit. Thus, to assess the contribution of a predictor or set of predictors, one can subtract the model deviance from the null deviance and assess the difference on a chi-square distribution with degrees of freedom^[2] equal to the difference in the number of parameters estimated.

Let

Then the difference of both is:

If the model deviance is significantly smaller than the null deviance then one can conclude that the predictor or set of predictors significantly improve the model’s fit. This is analogous to the F-test used in linear regression analysis to assess the significance of prediction.^[31]

Pseudo-R-squared[edit]

In linear regression the squared multiple correlation, R² is used to assess goodness of fit as it represents the proportion of variance in the criterion that is explained by the predictors.^[31] In logistic regression analysis, there is no agreed upon analogous measure, but there are several competing measures each with limitations.^[31][32]

Four of the most commonly used indices and one less commonly used one are examined on this page:

• Likelihood ratio R²_L
• Cox and Snell R²_CS
• Nagelkerke R²_N
• McFadden R²_McF
• Tjur R²_T

Hosmer–Lemeshow test[edit]

The Hosmer–Lemeshow test uses a test statistic that asymptotically follows a distribution to assess whether or not the observed event rates match expected event rates in subgroups of the model population. This test is considered to be obsolete by some statisticians because of its dependence on arbitrary binning of predicted probabilities and relative low power.^[33]

Coefficient significance[edit]

After fitting the model, it is likely that researchers will want to examine the contribution of individual predictors. To do so, they will want to examine the regression coefficients. In linear regression, the regression coefficients represent the change in the criterion for each unit change in the predictor.^[31] In logistic regression, however, the regression coefficients represent the change in the logit for each unit change in the predictor. Given that the logit is not intuitive, researchers are likely to focus on a predictor’s effect on the exponential function of the regression coefficient – the odds ratio (see definition). In linear regression, the significance of a regression coefficient is assessed by computing a t test. In logistic regression, there are several different tests designed to assess the significance of an individual predictor, most notably the likelihood ratio test and the Wald statistic.

Likelihood ratio test[edit]

The likelihood-ratio test discussed above to assess model fit is also the recommended procedure to assess the contribution of individual “predictors” to a given model.^[2][21][31] In the case of a single predictor model, one simply compares the deviance of the predictor model with that of the null model on a chi-square distribution with a single degree of freedom. If the predictor model has significantly smaller deviance (c.f. chi-square using the difference in degrees of freedom of the two models), then one can conclude that there is a significant association between the “predictor” and the outcome. Although some common statistical packages (e.g. SPSS) do provide likelihood ratio test statistics, without this computationally intensive test it would be more difficult to assess the contribution of individual predictors in the multiple logistic regression case.^{[citation needed]} To assess the contribution of individual predictors one can enter the predictors hierarchically, comparing each new model with the previous to determine the contribution of each predictor.^[31] There is some debate among statisticians about the appropriateness of so-called “stepwise” procedures.^{[weasel words]} The fear is that they may not preserve nominal statistical properties and may become misleading.^[34]

Wald statistic[edit]

Alternatively, when assessing the contribution of individual predictors in a given model, one may examine the significance of the Wald statistic. The Wald statistic, analogous to the t-test in linear regression, is used to assess the significance of coefficients. The Wald statistic is the ratio of the square of the regression coefficient to the square of the standard error of the coefficient and is asymptotically distributed as a chi-square distribution.^[21]

Although several statistical packages (e.g., SPSS, SAS) report the Wald statistic to assess the contribution of individual predictors, the Wald statistic has limitations. When the regression coefficient is large, the standard error of the regression coefficient also tends to be larger increasing the probability of Type-II error. The Wald statistic also tends to be biased when data are sparse.^[31]

Case-control sampling[edit]

Suppose cases are rare. Then we might wish to sample them more frequently than their prevalence in the population. For example, suppose there is a disease that affects 1 person in 10,000 and to collect our data we need to do a complete physical. It may be too expensive to do thousands of physicals of healthy people in order to obtain data for only a few diseased individuals. Thus, we may evaluate more diseased individuals, perhaps all of the rare outcomes. This is also retrospective sampling, or equivalently it is called unbalanced data. As a rule of thumb, sampling controls at a rate of five times the number of cases will produce sufficient control data.^[35]

Logistic regression is unique in that it may be estimated on unbalanced data, rather than randomly sampled data, and still yield correct coefficient estimates of the effects of each independent variable on the outcome. That is to say, if we form a logistic model from such data, if the model is correct in the general population, the parameters are all correct except for . We can correct if we know the true prevalence as follows:^[35]

where is the true prevalence and is the prevalence in the sample.

Discussion[edit]

Like other forms of regression analysis, logistic regression makes use of one or more predictor variables that may be either continuous or categorical. Unlike ordinary linear regression, however, logistic regression is used for predicting dependent variables that take membership in one of a limited number of categories (treating the dependent variable in the binomial case as the outcome of a Bernoulli trial) rather than a continuous outcome. Given this difference, the assumptions of linear regression are violated. In particular, the residuals cannot be normally distributed. In addition, linear regression may make nonsensical predictions for a binary dependent variable. What is needed is a way to convert a binary variable into a continuous one that can take on any real value (negative or positive). To do that, binomial logistic regression first calculates the odds of the event happening for different levels of each independent variable, and then takes its logarithm to create a continuous criterion as a transformed version of the dependent variable. The logarithm of the odds is the logit of the probability, the logit is defined as follows:

Although the dependent variable in logistic regression is Bernoulli, the logit is on an unrestricted scale.^[2] The logit function is the link function in this kind of generalized linear model, i.e.

Y is the Bernoulli-distributed response variable and x is the predictor variable; the β values are the linear parameters.

The logit of the probability of success is then fitted to the predictors. The predicted value of the logit is converted back into predicted odds, via the inverse of the natural logarithm – the exponential function. Thus, although the observed dependent variable in binary logistic regression is a 0-or-1 variable, the logistic regression estimates the odds, as a continuous variable, that the dependent variable is a ‘success’. In some applications, the odds are all that is needed. In others, a specific yes-or-no prediction is needed for whether the dependent variable is or is not a ‘success’; this categorical prediction can be based on the computed odds of success, with predicted odds above some chosen cutoff value being translated into a prediction of success.

Maximum entropy[edit]

Of all the functional forms used for estimating the probabilities of a particular categorical outcome which optimize the fit by maximizing the likelihood function (e.g. probit regression, Poisson regression, etc.), the logistic regression solution is unique in that it is a maximum entropy solution.^[36] This is a case of a general property: an exponential family of distributions maximizes entropy, given an expected value. In the case of the logistic model, the logistic function is the natural parameter of the Bernoulli distribution (it is in “canonical form”, and the logistic function is the canonical link function), while other sigmoid functions are non-canonical link functions; this underlies its mathematical elegance and ease of optimization. See Exponential family § Maximum entropy derivation for details.

Proof[edit]

In order to show this, we use the method of Lagrange multipliers. The Lagrangian is equal to the entropy plus the sum of the products of Lagrange multipliers times various constraint expressions. The general multinomial case will be considered, since the proof is not made that much simpler by considering simpler cases. Equating the derivative of the Lagrangian with respect to the various probabilities to zero yields a functional form for those probabilities which corresponds to those used in logistic regression.^[36]

As in the above section on multinomial logistic regression, we will consider explanatory variables denoted and which include . There will be a total of K data points, indexed by , and the data points are given by and . The x_mk will also be represented as an -dimensional vector . There will be possible values of the categorical variable y ranging from 0 to N.

Let p_n(x) be the probability, given explanatory variable vector x, that the outcome will be . Define which is the probability that for the k-th measurement, the categorical outcome is n.

The Lagrangian will be expressed as a function of the probabilities p_nk and will minimized by equating the derivatives of the Lagrangian with respect to these probabilities to zero. An important point is that the probabilities are treated equally and the fact that they sum to unity is part of the Lagrangian formulation, rather than being assumed from the beginning.

The first contribution to the Lagrangian is the entropy:

The log-likelihood is:

Assuming the multinomial logistic function, the derivative of the log-likelihood with respect the beta coefficients was found to be:

A very important point here is that this expression is (remarkably) not an explicit function of the beta coefficients. It is only a function of the probabilities p_nk and the data. Rather than being specific to the assumed multinomial logistic case, it is taken to be a general statement of the condition at which the log-likelihood is maximized and makes no reference to the functional form of p_nk. There are then (M+1)(N+1) fitting constraints and the fitting constraint term in the Lagrangian is then:

where the λ_nm are the appropriate Lagrange multipliers. There are K normalization constraints which may be written:

so that the normalization term in the Lagrangian is:

where the α_k are the appropriate Lagrange multipliers. The Lagrangian is then the sum of the above three terms:

Setting the derivative of the Lagrangian with respect to one of the probabilities to zero yields:

Using the more condensed vector notation:

and dropping the primes on the n and k indices, and then solving for yields:

where:

Imposing the normalization constraint, we can solve for the Z_k and write the probabilities as:

The are not all independent. We can add any constant -dimensional vector to each of the without changing the value of the probabilities so that there are only N rather than independent . In the multinomial logistic regression section above, the was subtracted from each which set the exponential term involving to unity, and the beta coefficients were given by .

Other approaches[edit]

In machine learning applications where logistic regression is used for binary classification, the MLE minimises the Cross entropy loss function.

Logistic regression is an important machine learning algorithm. The goal is to model the probability of a random variable being 0 or 1 given experimental data.^[37]

Consider a generalized linear model function parameterized by ,

Therefore,

and since , we see that is given by We now calculate the likelihood function assuming that all the observations in the sample are independently Bernoulli distributed,

Typically, the log likelihood is maximized,

which is maximized using optimization techniques such as gradient descent.

Assuming the pairs are drawn uniformly from the underlying distribution, then in the limit of large N,

where is the conditional entropy and is the Kullback–Leibler divergence. This leads to the intuition that by maximizing the log-likelihood of a model, you are minimizing the KL divergence of your model from the maximal entropy distribution. Intuitively searching for the model that makes the fewest assumptions in its parameters.

Comparison with linear regression[edit]

Logistic regression can be seen as a special case of the generalized linear model and thus analogous to linear regression. The model of logistic regression, however, is based on quite different assumptions (about the relationship between the dependent and independent variables) from those of linear regression. In particular, the key differences between these two models can be seen in the following two features of logistic regression. First, the conditional distribution is a Bernoulli distribution rather than a Gaussian distribution, because the dependent variable is binary. Second, the predicted values are probabilities and are therefore restricted to (0,1) through the logistic distribution function because logistic regression predicts the probability of particular outcomes rather than the outcomes themselves.

Alternatives[edit]

A common alternative to the logistic model (logit model) is the probit model, as the related names suggest. From the perspective of generalized linear models, these differ in the choice of link function: the logistic model uses the logit function (inverse logistic function), while the probit model uses the probit function (inverse error function). Equivalently, in the latent variable interpretations of these two methods, the first assumes a standard logistic distribution of errors and the second a standard normal distribution of errors.^[38] Other sigmoid functions or error distributions can be used instead.

Logistic regression is an alternative to Fisher’s 1936 method, linear discriminant analysis.^[39] If the assumptions of linear discriminant analysis hold, the conditioning can be reversed to produce logistic regression. The converse is not true, however, because logistic regression does not require the multivariate normal assumption of discriminant analysis.^[40]

The assumption of linear predictor effects can easily be relaxed using techniques such as spline functions.^[29]

History[edit]

A detailed history of the logistic regression is given in Cramer (2002). The logistic function was developed as a model of population growth and named “logistic” by Pierre François Verhulst in the 1830s and 1840s, under the guidance of Adolphe Quetelet; see Logistic function § History for details.^[41] In his earliest paper (1838), Verhulst did not specify how he fit the curves to the data.^[42][43] In his more detailed paper (1845), Verhulst determined the three parameters of the model by making the curve pass through three observed points, which yielded poor predictions.^[44][45]

The logistic function was independently developed in chemistry as a model of autocatalysis (Wilhelm Ostwald, 1883).^[46] An autocatalytic reaction is one in which one of the products is itself a catalyst for the same reaction, while the supply of one of the reactants is fixed. This naturally gives rise to the logistic equation for the same reason as population growth: the reaction is self-reinforcing but constrained.

The logistic function was independently rediscovered as a model of population growth in 1920 by Raymond Pearl and Lowell Reed, published as Pearl & Reed (1920), which led to its use in modern statistics. They were initially unaware of Verhulst’s work and presumably learned about it from L. Gustave du Pasquier, but they gave him little credit and did not adopt his terminology.^[47] Verhulst’s priority was acknowledged and the term “logistic” revived by Udny Yule in 1925 and has been followed since.^[48] Pearl and Reed first applied the model to the population of the United States, and also initially fitted the curve by making it pass through three points; as with Verhulst, this again yielded poor results.^[49]

In the 1930s, the probit model was developed and systematized by Chester Ittner Bliss, who coined the term “probit” in Bliss (1934), and by John Gaddum in Gaddum (1933), and the model fit by maximum likelihood estimation by Ronald A. Fisher in Fisher (1935), as an addendum to Bliss’s work. The probit model was principally used in bioassay, and had been preceded by earlier work dating to 1860; see Probit model § History. The probit model influenced the subsequent development of the logit model and these models competed with each other.^[50]

The logistic model was likely first used as an alternative to the probit model in bioassay by Edwin Bidwell Wilson and his student Jane Worcester in Wilson & Worcester (1943).^[51] However, the development of the logistic model as a general alternative to the probit model was principally due to the work of Joseph Berkson over many decades, beginning in Berkson (1944), where he coined “logit”, by analogy with “probit”, and continuing through Berkson (1951) and following years.^[52] The logit model was initially dismissed as inferior to the probit model, but “gradually achieved an equal footing with the logit”,^[53] particularly between 1960 and 1970. By 1970, the logit model achieved parity with the probit model in use in statistics journals and thereafter surpassed it. This relative popularity was due to the adoption of the logit outside of bioassay, rather than displacing the probit within bioassay, and its informal use in practice; the logit’s popularity is credited to the logit model’s computational simplicity, mathematical properties, and generality, allowing its use in varied fields.^[3]

Various refinements occurred during that time, notably by David Cox, as in Cox (1958).^[4]

The multinomial logit model was introduced independently in Cox (1966) and Theil (1969), which greatly increased the scope of application and the popularity of the logit model.^[54] In 1973 Daniel McFadden linked the multinomial logit to the theory of discrete choice, specifically Luce’s choice axiom, showing that the multinomial logit followed from the assumption of independence of irrelevant alternatives and interpreting odds of alternatives as relative preferences;^[55] this gave a theoretical foundation for the logistic regression.^[54]

Extensions[edit]

There are large numbers of extensions:

• Multinomial logistic regression (or multinomial logit) handles the case of a multi-way categorical dependent variable (with unordered values, also called “classification”). Note that the general case of having dependent variables with more than two values is termed polytomous regression.
• Ordered logistic regression (or ordered logit) handles ordinal dependent variables (ordered values).
• Mixed logit is an extension of multinomial logit that allows for correlations among the choices of the dependent variable.
• An extension of the logistic model to sets of interdependent variables is the conditional random field.
• Conditional logistic regression handles matched or stratified data when the strata are small. It is mostly used in the analysis of observational studies.

Software[edit]

Most statistical software can do binary logistic regression.

• SPSS
  • [1] for basic logistic regression.
• Stata
• SAS
  • PROC LOGISTIC for basic logistic regression.
  • PROC CATMOD when all the variables are categorical.
  • PROC GLIMMIX for multilevel model logistic regression.
• R
  • glm in the stats package (using family = binomial)^[56]
  • lrm in the rms package
  • GLMNET package for an efficient implementation regularized logistic regression
  • lmer for mixed effects logistic regression
  • Rfast package command gm_logistic for fast and heavy calculations involving large scale data.
  • arm package for bayesian logistic regression
• Python
  • Logit in the Statsmodels module.
  • LogisticRegression in the scikit-learn module.
  • LogisticRegressor in the TensorFlow module.
  • Full example of logistic regression in the Theano tutorial [2]
  • Bayesian Logistic Regression with ARD prior code, tutorial
  • Variational Bayes Logistic Regression with ARD prior code , tutorial
  • Bayesian Logistic Regression code, tutorial
• NCSS
  • Logistic Regression in NCSS
• Matlab
  • mnrfit in the Statistics and Machine Learning Toolbox (with “incorrect” coded as 2 instead of 0)
  • fminunc/fmincon, fitglm, mnrfit, fitclinear, mle can all do logistic regression.
• Java (JVM)
  • LibLinear
  • Apache Flink
  • Apache Spark
    • SparkML supports Logistic Regression
• FPGA
  • Logistic Regresesion IP core in HLS for FPGA.

Notably, Microsoft Excel’s statistics extension package does not include it.

See also[edit]

• Logistic function
• Discrete choice
• Jarrow–Turnbull model
• Limited dependent variable
• Multinomial logit model
• Ordered logit
• Hosmer–Lemeshow test
• Brier score
• mlpack – contains a C++ implementation of logistic regression
• Local case-control sampling
• Logistic model tree

References[edit]

Further reading[edit]

External links[edit]

• Media related to Logistic regression at Wikimedia Commons
• Econometrics Lecture (topic: Logit model) on YouTube by Mark Thoma
• Logistic Regression tutorial
• mlelr: software in C for teaching purposes

Понимая логистическую регрессию

Логистическая регрессия предсказывает вероятность того, что объект
принадлежит определенной категории, например, вероятность того, что
полет будет задержан. Когда x[i,] представляет собой строку входных
данных (например, место и время полета, время года, погода,
авиаперевозчик), логистическая регрессия находит фиктивную функцию f(x)
такую, что

[P_{y_{[i]} в классе} sim f_{(x_{[i,]})}
= s(a+b_{[1]} x_{[i,1]} + … b_{[n]} x_{[i,n]})]

Здесь s (z) – так называемая сигмоидальная функция, определяемая как
(s(z) = frac{1}{(1 + exp(z))}). Если
(y[i]) – вероятности того, что (x[i,]) принадлежат интересующему классу (в
нашем примере, вероятность того, что полет с определенными
характеристиками будет задержан), тогда задача подгонки состоит в том,
чтобы найти (b[1 ]), …, (b[n]), для которых (f(x[i,])) является наилучшей оценкой (y[i]).R предоставляет простую команду для
поиска этих коэффициентов: glm (). Обратите внимание, что нам не нужно
указывать y[i], которые являются оценками вероятности для запуска glm
(); Метод обучения требует только y[i], которые говорят, находится ли
данный учебный пример в целевом классе.

Сигмоидная функция отображает действительные числа в интервал (0,1)
или вероятности. Обратной к сигмоидной является logit функция, которая
определяется как (log(frac{p}{(1-p)})), где p –
вероятность. Отношение p / (1-p) известно как вероятность(odds), поэтому
в нашем примере про полеты logit представляет собой список вероятностей
(или логарифмических коэффициентов), того что полет будет задерживаться.
Другими словами, вы можете думать о логистической регрессии как линейной
регрессии, которая находит логарифмические коэффициенты вероятност
интересующего вас события.

В частности, логистическая регрессия предполагает, что logit(y)
является линейным к значениям x. Как и линейная регрессия, логистическая
регрессия найдет наилучшие коэффициенты для прогнозирования y, включая
поиск выгодных комбинаций и исключений переменных из модели, когда часть
независимых переменных коррелированы.

В качестве примерного задания, представьте, что вы работаете в
больнице. Цель состоит в том, чтобы разработать план снабжения
неонатального оборудования для оказания неотложной помощи в родильных
отделениях. Новорожденных младенцев оценивают через 1 и 5 минут после
рождения, используя так называемый тест «Апгар», который предназначен
для определения того, нуждается ли ребенок в неотложной или экстренной
медицинской помощи. Ребенку, который получил оценку ниже 7 (по шкале от
0 до 10) по шкале Апгара, требуется дополнительное внимание.

Такого рода дети встречаются довольно редко, поэтому больницам не
хочется тратиться на дополнительное аварийно-спасательное оборудование
для каждой поставки. С другой стороны, детям в группе риска может
понадобиться помощь при этом очень быстро нужно, поэтому превентивная
подготовка может спасти жизнь. Целью данного исследования является
попытка выявление ситуаций с повышенной вероятностью риска загодя, для
того чтобы ресурсы были распределены точно и загодя.

sdata = read.csv("https://www.dropbox.com/s/lx9celfieswn4vq/NatalRisk.csv?dl=1")
head(sdata)

##      X PWGT UPREVIS CIG_REC    GESTREC3 DPLURAL ULD_MECO ULD_PRECIP ULD_BREECH
## 1 2136  155      14   FALSE >= 37 weeks  single     TRUE      FALSE      FALSE
## 2 2137  140      13   FALSE >= 37 weeks  single    FALSE      FALSE      FALSE
## 3 2138  151      15   FALSE >= 37 weeks  single    FALSE      FALSE      FALSE
## 4 2139  118       4   FALSE >= 37 weeks  single    FALSE      FALSE      FALSE
## 5 2140  134      11   FALSE >= 37 weeks  single    FALSE      FALSE      FALSE
## 6 2141  117      18   FALSE >= 37 weeks  single     TRUE      FALSE      FALSE
##   URF_DIAB URF_CHYPER URF_PHYPER URF_ECLAM atRisk DBWT ORIGRANDGROUP
## 1    FALSE      FALSE      FALSE     FALSE  FALSE 3714             2
## 2    FALSE      FALSE      FALSE     FALSE  FALSE 3715             4
## 3    FALSE      FALSE      FALSE     FALSE  FALSE 3447             2
## 4    FALSE      FALSE      FALSE     FALSE  FALSE 3175             6
## 5    FALSE      FALSE      FALSE     FALSE  FALSE 4038            10
## 6    FALSE      FALSE      FALSE     FALSE  FALSE 3410             7

train <- sdata[sdata$ORIGRANDGROUP<=5,]
test <- sdata[sdata$ORIGRANDGROUP>5,]

Командой для построения модели логистической регрессии в R является
модель glm(). В нашем случае зависимой переменной Y является логическая
(булевая) переменная atRisk; все другие переменные в табл. 7.1
представлены независимыми переменными х. Формула для построения модели
для прогнозирования atRisk с помощью этих переменных достаточно длинна
для линейной записи; поэтому создадим формулу командами показаными в
следующем листинге.

complications <- c("ULD_MECO","ULD_PRECIP","ULD_BREECH")
riskfactors <- c("URF_DIAB", "URF_CHYPER", "URF_PHYPER",
  "URF_ECLAM")
  y <- "atRisk"
  x <- c("PWGT",
  "UPREVIS",
  "CIG_REC",
  "GESTREC3",
  "DPLURAL",
  complications,
  riskfactors)
fmla <- paste(y, paste(x, collapse="+"), sep="~")

model <- glm(fmla, data=train, family=binomial(link="logit"))

Параметры функции glm(), family определяет предполагаемое
распределение зависимой переменной Y. В нашем случае, мы моделируем Y
как биномиальное распределение, это как если бы мы моделировали
результаты броски монеты, вероятность выпадения решки которых зависит от
x. Параметр “ссылка” – link поясняет функции каким образом привести
модель к линейному виду — преобразует Y через преобразованием указанным
в параметре link, а затем моделируем полученное значение линейной
функции от переменных x. Комбинирование параметров link и family дают
широчайший спектр обобщенных линейных моделей (например, Пуассона, или
пробит). Здесь мы будем обсуждать только логистические модели.

Создание прогнозов с логистической моделью аналогично прогнозированию
с использованием линейной модели – используйте функцию predict ().

train$pred <- predict(model, newdata=train, type="response")
test$pred <- predict(model, newdata=test, type="response")

Мы снова сохранили прогнозы для обучающих и тестовых наборов в
качестве столбца pred в соответствующих таблицах Обратите внимание на
дополнительный тип параметра = “response”(«ответ»). Он сообщает функции
predict () возвращать предсказанные вероятности y. Если вы не укажете
type = “response”, то по умолчанию функция predict () вернет вывод link
функции – logit(y).

Одно из преимуществ логистической регрессии заключается в том, что
она сохраняет предельные вероятности данных обучения. Это означает, что
если вы суммируете предсказанные вероятности для всей тренировочной
подвыборки, это количество будет равно количеству положительных
результатов (atRisk == T) в обучающем наборе. Это справедливо также для
подмножеств данных, определяемых переменными, включенными в модель.
Например, в подмножестве данных обучения, train$GESTREC == “<37
weeks” (ребенок был преждевременным), сумма прогнозируемых вероятностей
равна числу положительных примеров обучения.

Если наша цель заключается в использовании модели для классификации
новых образцов в одну из двух категорий (в данном случае – риск-группу
или не подверженную риску), мы хотим, чтобы модель давала высокие оценки
при отнесении в группу и низкие значениям в противном случае. Мы можем
проверить, так ли это, построив распределение баллов для положительных и
отрицательных случаев. Давайте сделаем это на обучающем наборе (мы также
должны построить тестовый набор, чтобы убедиться, что предсказание
аналогичного качества).

library(ggplot2)
ggplot(train, aes(x=pred, color=atRisk, linetype=atRisk)) + geom_density()

В идеале мы хотели бы, чтобы распределение баллов было разделено, а
оценки отрицательных экземпляров (ЛОЖЬ) должны быть сосредоточены слева,
а распределение для положительных экземпляров должно быть сосредоточено
справа. В данном случае оба распределения сосредоточены слева, что
означает, что как положительные, так и отрицательные случаи оцениваются
на низком уровне. Это не удивительно, поскольку положительные случаи
(те, в которых ребенок находится в группе риска) редки (около 1,8% от
всех родов в наборе данных). Распределение оценок для отрицательных
случаев уменьшается раньше, чем распределение для положительных
экземпляров. Это означает, что модель выявила субпопуляции в данных, где
процент новорожденных с повышенным риском выше среднего.

Чтобы использовать модель в качестве классификатора, вы должны
выбрать пороговое значение; Баллы выше порога будут классифицироваться
как положительные,а те, что ниже, как отрицательные. Когда вы выбираете
пороговое значение, вы пытаетесь сбалансировать точность классификатора
(какая доля прогнозируемых положительных результатов являются истинно
положительными) и его отзыв (сколько из истинных положительных значений
находит классификатор)

Если распределения баллов положительных и отрицательных примеров
хорошо разделены, как показано на рисунке, мы можем выбрать
соответствующий порог в «долине» между двумя пиками. В данном случае два
распределения не очень хорошо разделены, что указывает на то, что модель
не может построить классификатор, который одновременно обеспечивает
хороший отзыв и хорошую точность.Но мы можем создать классификатор,
который идентифицирует подмножество ситуаций с более высоким уровнем
рождаемости в группе риска, поэтому предварительное выделение ресурсов
для этих ситуаций может быть рекомендовано. Мы будем называть отношение
точности классификатора к средней скорости срабатывания коэффициентом
обогащения. Чем выше мы устанавливаем порог, тем более точным будет
классификатор (мы определим набор ситуаций с гораздо более высоким чем
средний уровнем точности определения родов с повышенным
риском);одновременно мы также будем чаще пропускать(не классифицировать)
ситуации, связанные с риском. При выборе порога мы будем использовать
обучающий набор, так как выбор порога является частью построения
классификатора.

Затем мы можем использовать тестовый набор для оценки
производительности классифицируюшей модели . Чтобы помочь подобрать
порог, мы можем использовать график, см ниже, который показывает
обвременно обогащение и отзыв как функции от пороговго значения. На
рисунке, вы видите, что более высокие пороги приводят к более точной
классификации, за счет упущения(неправильной классификации) большого
количества случаев; Более низкий порог выявит больше критических
ситуаций при родах за счет множества ложных срабатываний. Наилучший
компромисс между точностью и отзывом зависит от объема ресурсов, которым
располагает больница для распределения и сколько их можно оставить в
резерве (или перераспределить) для ситуаций, которые пропустил
классификатор. Хорошим выбором может стать порог в 0,02 (что, кстати, и
составляет общий показатель рождаемости в группах риска). Получающийся
классификатор будет идентифицировать набор потенциальных ситуаций с
повышенным риском, который обнаруживают примерно половину всех реальных
ситуаций, связанных с риском, с истинным положительным уровнем в 2,5
раза выше, чем в среднем(обнаруживаются такие ситуации).

library(ROCR)
library(ggplot2)
library(gplots)

## 
## Присоединяю пакет: 'gplots'

## Следующий объект скрыт от 'package:stats':
## 
##     lowess

library(grid) # Load grid library (you’ll need this  for the nplot function below).
predObj <- prediction(train$pred, train$atRisk) # Create ROCR prediction object
precObj <- performance(predObj, measure="prec") # Create ROCR object to calculate precision as a function of threshold
recObj <- performance(predObj, measure="rec")# Create ROCR object to calculate recall as a function of threshold.
precision <- (precObj@y.values)[[1]] # ROCR objects are what R calls S4 objects; the slots (or fields) of an S4 object are stored as lists within the object. You extract the slots from an S4 object using @ notation. 
prec.x <- (precObj@x.values)[[1]] # The x values (thresholds) are the same in both predObj and recObj, so you only need to extract them once.
recall <- (recObj@y.values)[[1]]
rocFrame <- data.frame(threshold=prec.x, precision=precision, recall = recall) # Build data frame with thresholds, precision, and recall
nplot <- function(plist) { #Function to plot multiple plots on one page (stacked).
  n <- length(plist)
  grid.newpage()
  pushViewport(viewport(layout=grid.layout(n,1)))
  vplayout=function(x,y) {viewport(layout.pos.row=x, layout.pos.col=y)}
  for(i in 1:n) {
    print(plist[[i]], vp=vplayout(i,1))
    }
}
pnull <- mean(as.numeric(train$atRisk)) # Calculate rate of at-risk births in the training set.
p1 <- ggplot(rocFrame, aes(x=threshold)) + # Plot enrichment rate as a function of threshold.
geom_line(aes(y=precision/pnull)) +
coord_cartesian(xlim = c(0,0.05), ylim=c(0,10) )


p2 <- ggplot(rocFrame, aes(x=threshold)) + # Plot recall as a function of threshold
geom_line(aes(y=recall)) +
coord_cartesian(xlim = c(0,0.05) )
nplot(list(p1, p2)) #Show both plots simultaneously.

Как только мы подобрали соответствующий порог, мы можем оценить
результирующий классификатор, посмотрев на таблицу показателей точности.
Давайте используем тестовый набор для оценки классификатора с порогом
0,02.

ctab.test <- table(pred=test$pred>0.02, atRisk=test$atRisk)
ctab.test

##        atRisk
## pred    FALSE TRUE
##   FALSE  9487   93
##   TRUE   2405  116

precision <- ctab.test[2,2]/sum(ctab.test[2,])
precision

## [1] 0.04601349

recall <- ctab.test[2,2]/sum(ctab.test[,2])
recall

## [1] 0.5550239

enrich <- precision/mean(as.numeric(test$atRisk))
enrich

## [1] 2.664159

Получающийся классификатор является низкоточным, но идентифицирует
набор потенциальных случаев риска, который содержит 55,5% истинных
положительных случаев в тестовом наборе, что в 2,66 раза превышает общее
среднее. Этот результат хорошо согласуется с результатами тренировочного
набора.

Коэффициенты модели логистической регрессии кодируют отношения между
входными переменными и выводом путем, подобным тому, как это делают
коэффициенты линейной регрессионной модели. Вы можете получить
коэффициенты модели с помощью:

coefficients(model)

##              (Intercept)                     PWGT                  UPREVIS 
##              -2.86700629               0.00376166              -0.06328943 
##              CIG_RECTRUE      GESTREC3>= 37 weeks DPLURALtriplet or higher 
##               0.31316930              -1.54518311               1.39419294 
##              DPLURALtwin             ULD_MECOTRUE           ULD_PRECIPTRUE 
##               0.31231871               0.81842627               0.19172008 
##           ULD_BREECHTRUE             URF_DIABTRUE           URF_CHYPERTRUE 
##               0.74923672              -0.34646672               0.56002503 
##           URF_PHYPERTRUE            URF_ECLAMTRUE 
##               0.16159872               0.49806435

Отрицательные коэффициенты, которые являются статистически значимыми,
соответствуют переменным, которые отрицательно коррелируют с шансами (и,
следовательно, с вероятностью) положительного результата (т.е. того, что
ребенок находится в группе риска). Положительные коэффициенты, которые
являются статистически значимыми, положительно коррелируют с шансами
положительного результата. Как и в случае линейной регрессии, каждая
категориальная переменная расширяется до набора индикаторных переменных.
Если исходная переменная имеет n уровней, будет n-1 индикаторных
переменных; оставшийся 1 уровень включен в свободный член.

Например, переменная DPLURAL имеет три уровня, соответствующих родам
одного ребенка, двойняшкам и тройняшкам или выше. Модель логистической
регрессии имеет два соответствующих коэффициента: DPLURALtwin и
DPLURALtriplet или выше. Контрольный уровень – обычные роды. Оба
коэффициента DPLURAL являются положительными, что указывает на то, что
роды нескольких детей имеют более высокие шансы быть подверженными
риску, чем обычные роды, при прочих равных условиях.

ИНТЕРПРЕТИРУЯ КОЭФФИЦИЕНТЫ

Интерпретация значений коэффициентов является немного более сложным,
в случае с логистической регрессией, чем в случае с линейной регрессией.
Если коэффициент для переменной x[,k] равен b[k], то коэффициенты
положительного результата умножаются на коэффициент exp(b[k]) для
каждого изменения x[,k] на единицу.

Коэффициент для GESTREC3 <37 недель (для недоношенного ребенка)
составляет 1,545183. Так что для недоношенного ребенка вероятность
оказаться в опасности равна exp(1,545183) = 4,68883 раз выше по
сравнению с младенцем, рожденным в течение полного срока, при условии,
что все остальные входные переменные остаются неизменными. В качестве
примера предположим, что для полноценного ребенка с определенными
характеристиками существует вероятность 1% риска (вероятность равна p /
(1-p) или 0,01 / 0,99 = 0,0101); Тогда шансы(odds) для недоношенного
малыша с такими же характеристиками составляют 0,0101 * 4,68883 = 0,047.
Это соответствует вероятности риска = шанс/ (1 + шанс), или 0,047 /
1,047 – около 4,5%.

Аналогичным образом, коэффициент для UPREVIS (число пренатальных
медицинских визитов) составляет около – 0,06. Это означает, что каждый
визит в пренатальный период снижает коэффициент риска для младенца,
подверженного риску, с коэффициентом exp(-0,06) или примерно 0,94.
Предположим, что мать нашего недоношенного ребенка не сделала
предродовых визитов; Ребенок в той же ситуации, чья мать совершила три
дородовых визита на осмотр, будет иметь шансы на риск около
0,047×0,94×0,94×0,94 = 0,039. Это соответствует вероятности оказаться
под угрозой 3,75%.

Таким образом, общим советом в данном случае может быть особый взгляд
на преждевременные роды (и множественные роды), а также поощрять будущих
матерей совершать регулярные пренатальные посещения

###Считывание сводки модели и определение коэффициентов

Как мы уже упоминали ранее, выводам о значениях коэффициентов можно
доверять только , если значения коэффициентов являются статистически
значимыми. Мы также хотим убедиться, что модель действительно что-то
объясняет. Диагностика в summary модели поможет нам определить некоторые
факты о качестве модели.

summary(model)

## 
## Call:
## glm(formula = fmla, family = binomial(link = "logit"), data = train)
## 
## Deviance Residuals: 
##     Min       1Q   Median       3Q      Max  
## -0.9732  -0.1818  -0.1511  -0.1358   3.2641  
## 
## Coefficients:
##                           Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)              -2.867006   0.285007 -10.059  < 2e-16 ***
## PWGT                      0.003762   0.001487   2.530 0.011417 *  
## UPREVIS                  -0.063289   0.015252  -4.150 3.33e-05 ***
## CIG_RECTRUE               0.313169   0.187230   1.673 0.094398 .  
## GESTREC3>= 37 weeks      -1.545183   0.140795 -10.975  < 2e-16 ***
## DPLURALtriplet or higher  1.394193   0.498866   2.795 0.005194 ** 
## DPLURALtwin               0.312319   0.241088   1.295 0.195163    
## ULD_MECOTRUE              0.818426   0.235798   3.471 0.000519 ***
## ULD_PRECIPTRUE            0.191720   0.357680   0.536 0.591951    
## ULD_BREECHTRUE            0.749237   0.178129   4.206 2.60e-05 ***
## URF_DIABTRUE             -0.346467   0.287514  -1.205 0.228187    
## URF_CHYPERTRUE            0.560025   0.389678   1.437 0.150676    
## URF_PHYPERTRUE            0.161599   0.250003   0.646 0.518029    
## URF_ECLAMTRUE             0.498064   0.776948   0.641 0.521489    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
## 
##     Null deviance: 2698.7  on 14211  degrees of freedom
## Residual deviance: 2463.0  on 14198  degrees of freedom
## AIC: 2491
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 7

В линейной регрессии остатки представляют собой вектор различий между
истинными значениями моделируемой величины и прогнозируемыми выходными
значениями (ошибки). В логистической регрессии остатки отклонений
связаны с логарифмическими вероятностями наблюдения истинного результата
с учетом предсказанной вероятности этого результата. Идея
логарифмического правдоподобия заключается в том, что положительные
экземпляры (y) должны иметь высокую
вероятность возникновения (p) в
модели; Отрицательные экземпляры должны иметь низкую вероятность
возникновения (или, иначе говоря, ((1-p_{y})) должны быть большими). Функция
логарифмического правдоподобия возвращает «совпадение» между результатом
(y) и предсказанной вероятностью
(p_{y}) и наказывает несоответствия
(высокий (p_{y}) для отрицательных
случаев и наоборот).

pred <- predict(model, newdata=train, type="response")
llcomponents <- function(y, py) { y*log(py) + (1-y)*log(1-py)} # Function to return the log likelihoods for each data point. Argument y is the true outcome
                                                               # (as a numeric variable, 0/1); argument py is the predicted probability.
edev <- sign(as.numeric(train$atRisk) - pred) * sqrt(-2*llcomponents(as.numeric(train$atRisk), pred)) # Calculate deviance result

summary(edev)

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
## -0.9732 -0.1818 -0.1511 -0.1244 -0.1358  3.2641

Модель линейной регрессии строят, минимизируя сумму квадратов
оклонений; модели логистической регрессии можно построить, минимизируя
сумму квадратов отклонений остатков, что эквивалентно максимизации
логарифмической правдоподобия данных с учетом модели.

Логистические модели также могут использоваться для явного вычисления
коэффициентов: для нескольких групп идентичных точек данных (идентичных,
кроме исхода) прогнозируют скорость положительных результатов в каждой
группе. Такие данные называются сгруппированными данными. В случае
сгруппированных данных остатки отклонений могут использоваться в
качестве диагностики для подгонки модели. Вот почему остатки отклонений
включены в итоговый отчет. Мы используем негруппированные данные –
каждая точка данных в обучающем наборе потенциально уникальна. В случае
негруппированных данных диагностика подгонки модели, использующая
остатки отклонений, более недействительна.

Таблица сводных коэффициентов для логистической регрессии имеет тот
же формат, что и таблица коэффициентов для линейной регрессии Столбцы
таблицы представляют * имя коэффициента * его предсказанноее значение *
ошибка этой оценки * Оценка отличия(со знаком) коэффициента от 0
(используя стандартную ошибку как единицу расстояния) * вероятность
увидеть значение коэффициента, по крайней мере такое же большое, как мы
наблюдали, при нулевой гипотезе, что значение коэффициента действительно
0

Это последнее значение, называемое p-значением или значимостью,
указывает нам, следует ли доверять оценочному значению коэффициента.
Стандартное эмпирическое правило состоит в том, что коэффициенты с
p-значениями менее 0,05 являются надежными, хотя некоторые исследователи
предпочитают более строгие пороговые значения. По данным о рождении мы
можем видеть из сводки коэффициентов, что преждевременные роды и
рождение тройни являются сильными предикторами новорожденных,
нуждающихся в дополнительной медицинской помощи: величины коэффициентов
не являются ни пренебрежимо малыми, а значения р указывают на
значимость.

Другими переменными, которые влияют на результат, являются вес матери
(высокий вес указывают на более высокий риск, что несколько неожиданно);
Число медицинских осмотров в пренатальном периоде (чем больше посещений,
тем ниже риск); Окрашивание мекония в амниотической жидкости; И
положение головы ребенка при рождении. Так же может быть положительная
корреляция между курением матери и рождением в группе риска, но данные
не указывают на это окончательно. Ни у одной из других переменных нет
четкой связи с рождением в группе риска

Девиантность(девиация) тут тоже является показателем того, насколько
хорошо модель соответствует данным. Она равна 2-м отрицательным
логарифмическим вероятностям для набора данных, учитывая модель. Если вы
думаете о девиантности как об аналоге дисперсии, то нулевая девиантность
аналогична дисперсии данных с приблизительно средним уровнеи
положительных примеров. Девиантность отклонений аналогично
приблизительной дисперсии данных модели. Мы можем рассчитать
девиантнность как для тренировочных, так и для тестовых наборов.

loglikelihood <- function(y, py) {
  sum(y * log(py) + (1-y)*log(1 - py))
}
# Function to calculate the log likelihood of a dataset. Variable y is the outcome in numeric form (1 for positive examples, 0 for negative). Variable py is
# the predicted probability that y==1.

pnull <- mean(as.numeric(train$atRisk))
pnull

## [1] 0.01920912

null.dev <- -2*loglikelihood(as.numeric(train$atRisk), pnull)
null.dev

## [1] 2698.716

model$null.deviance

## [1] 2698.716

pred <- predict(model, newdata=train, type="response") #Predict probabilities for training data.
resid.dev <- 2*loglikelihood(as.numeric(train$atRisk), pred) # Calculate deviance of model for training data

resid.dev

## [1] -2462.992

model$deviance # For training data, model deviance is stored in the slot model$deviance

## [1] 2462.992

testy <- as.numeric(test$atRisk) # Calculate null deviance  and residual deviance for test data.
testpred <- predict(model, newdata=test,
type="response")
pnull.test <- mean(testy)
null.dev.test <- -2*loglikelihood(testy, pnull.test)
resid.dev.test <- -2*loglikelihood(testy, testpred)

pnull.test

## [1] 0.0172713

null.dev.test

## [1] 2110.91

resid.dev.test

## [1] 1947.094

Первое, что мы можем сделать с нулевыми и остаточными отклонениями, –
это проверить, являются ли предсказания вероятности модели лучше, чем
просто угадывать среднюю скорость срабатываний статистически. Другими
словами, является ли уменьшение отклонения от модели значимым или просто
то, что наблюдалось случайно? Это похоже на вычисление статистики
F-теста, которая сообщается для линейной регрессии. В случае
логистической регрессии тест, который вы запустите, – это тест
хи-квадрат. Чтобы сделать это, вам нужно знать степени свободы для
нулевой модели и фактической модели (о которых сообщается в резюме).
Степени свободы нулевой модели – это количество точек данных минус 1:
df.null = dim (train) [[1]] – 1. Степени свободы модели, которую вы
подгоните, – это количество точек данных минус Число коэффициентов в
модели: df.model = dim (train) [[1]] – length(model$coefficients).

Если количество точек данных в обучающем наборе велико, а df.null –
df.model мало, то вероятность разницы в отклонениях null.dev –
resid.dev, будучи такой большой, как мы наблюдали, приблизительно
распределяется как хи-квадрат со степенями свободы df.null –
df.model.

df.null <- dim(train)[[1]] - 1 # Null model has (number of data points - 1) degrees of freedom.
df.model <- dim(train)[[1]] - length(model$coefficients) # Fitted model has (number of data points - number of coefficients) degrees of freedom.

df.null

## [1] 14211

df.model

## [1] 14198

delDev <- null.dev - resid.dev
deldf <- df.null - df.model # Compute difference in deviances and difference in degrees of freedom.
p <- pchisq(delDev, deldf, lower.tail=F) # Estimate probability of seeing the observed difference in deviances under null model (the p-value)
                                         # using chi-squared distribution.

delDev

## [1] 5161.708

deldf

## [1] 13

p

## [1] 0

Полезным критерием пригодности, основанным на отклонениях, является
псевдо-R-квадрат: 1 – (dev.model / dev.null). Псевдо R-квадрат является
аналогом R-квадрата для линейной регрессии. Это показатель того,
насколько отклонение «объясняется» моделью. В идеальном случае вы
хотите, чтобы псевдо-R-квадрат был близок к 1. Рассчитаем
псевдо-R-квадрат как для тестовых, так и для обучающих данных.

pr2 <- 1-(resid.dev/null.dev)
pr2.test <- 1-(resid.dev.test/null.dev.test)
print(pr2.test)

## [1] 0.07760427

Модель объясняет только 7,7-8,7% отклонения; Это не очень хорошая
прогностическая модель (вам следовало бы заподозрить это уже на пред
рисунке). Это говорит нам о том, что мы еще не определили все факторы,
которые фактически предсказывают рождение детей с повышенным риском.
Метод оценки Фишера представляет собой метод итеративной оптимизации,
аналогичный методу Ньютона, который использует glm() для нахождения
наилучших коэффициентов для модели логистической регрессии. Вы должны
ожидать, что он сходится примерно через шесть-восемь итераций. Если
итераций больше, чем это, тогда алгоритм может не совпадать, и модель
может оказаться недействительной.

Разделение и квази-разделение

Вероятной причиной несведение является разделение или
квази-разделение: одна из переменных модели или некоторая комбинация
переменных модели предсказывает исход отлично, по крайней мере,на
подмножестве обучающих данных. Вы могли бы подумать, что это хорошо, но
по иронии судьбы логистическая регрессия терпит неудачу, когда
переменные слишком хороши в предсказании. В идеале glm() выдаст
предупреждение, когда обнаружит разделение или квази-разделение:

К сожалению, есть ситуации, когда кажется, что никаких предупреждений
не выдается, но есть и другие предупреждающие знаки:

• Необычно большое количество итераций Фишера
• Очень большие коэффициенты, как правило, с чрезвычайно большими
  стандартными ошибками
• Остаточные отклонения, превышающие нулевые отклонения

Если вы видите какой-либо из этих признаков, модель подозрительна.
Чтобы попытаться решить проблему, удалите все переменные с необычно
большими коэффициентами; Они, вероятно, вызывают разделение.

Что вы должны помнить о логистической регрессии:

• Логистическая регрессия – это метод статистического моделирования
  для двоичной классификации.
• Сначала попробуйте логистическую регрессию, а затем более сложные
  методы, если логистическая регрессия не работает достаточно хорошо.
• Логистическая регрессия будет иметь проблемы с проектами с очень
  большим числом переменных или категориальными переменными с очень
  большим количеством уровней.
• Логистическая регрессия хорошо откалибрована: она воспроизводит
  предельные вероятности данных.
• Логистическая регрессия может хорошо прогнозировать даже при наличии
  коррелированных переменных, но коррелированные переменные понижают
  качество предсказания.
• Чрезмерно большие значения коэффициентов, слишком большие
  стандартные ошибки в оценках коэффициента и неправильный знак
  коэффициента могут быть показателями коррелированных входных
  данных.
• Слишком много итераций Фишера или слишком большие коэффициенты с
  очень большими стандартными ошибками могут быть признаками того, что
  вход или комбинация входов отлично коррелирует с вашей зависимой
  переменной. Вам может потребоваться сегментировать данные для решения
  этой проблемы.
• gl () обеспечивает хороший набор диагностик, но повторная проверка
  вашей модели на тестовых данных по-прежнему является наиболее
  эффективным способом проверки качества.
• Pseudo R-squared – полезная эвристика добротности

Все курсы > Оптимизация > Занятие 5

Как мы уже знаем, несмотря на название, логистическая регрессия решает задачу классификации. Сегодня мы подробно разберем принцип работы и составные части алгоритма логистической регрессии, а также построим модели с одной и несколькими независимыми переменными.

Бинарная логистическая регрессия

Задача бинарной классификации

Вернемся к задаче кредитного скоринга, про которую мы говорили, когда обсуждали принцип машинного обучения. Предположим, что мы собрали данные и выявили зависимость возвращения кредита (ось y) от возраста заемщика (ось x).

Как мы видим, в среднем более молодые заемщики реже возвращают кредит. Возникает вопрос, с помощью какой модели можно описать эту зависимость? Казалось бы, можно построить линейную регрессию таким образом, чтобы она выдавала некоторое значение и, если это значение окажется ниже 0,5 — отнести наблюдение к классу 0, если выше — к классу 1.

• Если $ f_w(x) < 0,5 rightarrow hat{y} = 0 $

• Если $ f_w(x) geq 0,5 rightarrow hat{y} = 1 $

Однако, даже если предположить, что мы удачно провели линию регрессии (а на графике выше мы действительно провели ее вполне удачно), и наша модель может делать качественный прогноз, появление новых данных сместит эту границу, и, как следствие, ничего не добавит, а только ухудшит точность модели.

Теперь часть наблюдений, принадлежащих к классу 1, будет ошибочно отнесено моделью к классу 0.

Кроме этого, линейная регрессия по оси y выдает значения, сильно выходящие за пределы интересующего нас интервала от нуля до единицы.

Откроем ноутбук к этому занятию⧉

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

# помимо стандартных библиотек мы также импортируем библиотеку warnings # она позволит скрыть предупреждения об ошибках import numpy as np import pandas as pd import matplotlib.pyplot as plt import seaborn as sns import warnings # кроме того, импортируем датасеты библиотеки sklearn from sklearn import datasets # а также функции для расчета метрики accuracy и построения матрицы ошибок from sklearn.metrics import accuracy_score, confusion_matrix # построенные нами модели мы будем сравнивать с результатом # класса LogisticRegression библиотеки sklearn from sklearn.linear_model import LogisticRegression # среди прочего, мы построим модели полиномиальной логистической регрессии from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures

Функция логистической регрессии

Сигмоида

Возможное решение упомянутых выше сложностей — пропустить значение линейной регрессии через сигмоиду (sigmoid function), которая при любом значении X не выйдет из необходимого нам диапазона $0 leq h(x) leq 1 $. Напомню формулу и график сигмоиды.

$$ g(z) = frac{1}{1+e^{-z}} $$

Примечание: обратие внимание, когда z представляет собой большое отрицательное число, знаменатель становится очень большим $ 1 + e^{-(-5)} approx 148, 413 $ и значение сигмоиды стремится к нулю; когда z является большим положительным числом, знаменатель, а вместе с ним и все выражение стремятся к единице $ 1 + e^{-(5)} approx 0,0067 $.

Тогда мы можем построить линейную модель, значение которой будет подаваться в сигмоиду.

$$ z = Xtheta rightarrow h_{theta}(x) = frac{1}{1+e^{-(Xtheta)}} $$

В этом смысле никакой ошибки в названии «логистическая регрессия» нет. Этот алгоритм решает задачу классификации через модель линейной регрессии.

Если вы не помните, почему мы записали множественную линейную функцию как $theta x$, посмотрите предыдущую лекцию.

Приведем код на Питоне.

def h(x, thetas):   z = np.dot(x, thetas)   return 1.0 / (1 + np.exp(–z))

Теперь посмотрим, как интерпретировать коэффициенты.

Интерпретация коэффициентов

Для любого значения x через $ h_{theta}(x) $ мы будем получать вероятность от 0 до 1, что объект принадлежит к классу y = 1. Например, если класс 1 означает, что заемщик вернул кредит, то $ h_{theta}(x) = 0,8 $ говорит о том, что согласно нашей модели (с параметрами $theta$), для данного заемщика (x) вероятность возвращения кредита состаляет 80 процентов.

В общем случае мы можем записать вероятность вот так.

$$ h_{theta}(x) = P(y = 1 | x; theta) $$

Это выражение можно прочитать как вероятность принадлежности к классу 1 при условии x с параметрами $theta$ (probability of y = 1 given x, parameterized by $theta$).

Поскольку, как мы помним, сумма вероятностей событий, образующих полную группу, всегда равна единице, вероятность принадлежности к классу 0 будет равна

$$ P(y = 0 | x; theta) = 1-P(y = 1 | x; theta) $$

Решающая граница

Решающая граница (decision boundary) — это порог, который определяет к какому классу отнести то или иное наблюдение. Если выбрать порог на уровне 0,5, то все что выше или равно этому порогу мы отнесем к классу 1, все что ниже — к классу 0.

$$ y = 1, h_{theta}(x) geq 0,5 $$

$$ y = 0, h_{theta}(x) < 0,5 $$

Теперь обратите внимание на сигмоиду. Сигмоида $ g(z) $ принимает значения больше 0,5, если $ z geq 0 $, а так как $ z = Xtheta $, то можно сказать, что

• $h_{theta}(x) geq 0,5$ и $ y = 1$, когда $ Xtheta geq 0 $, и соответственно
• $h_{theta}(x) < 0,5 $ и $ y = 0$, когда $ Xtheta < 0 $.

Уравнение решающей границы

Предположим, что у нас есть два признака $x_1$ и $x_2$. Вместе они образуют так называемое пространство ввода (input space), то есть все имеющиеся у нас наблюдения. Мы можем представить это пространство на координатной плоскости, дополнительно выделив цветом наблюдения, относящиеся к разным классам.

Кроме того, представим, что мы уже построили модель логистической регрессии, и она провела для нас соответствующую границу между двумя классами.

Возникает вопрос. Как, зная коэффициенты $theta_0$, $theta_1$ и $theta_2$ модели, найти уравнение линии решающей границы? Для начала договоримся, что уравнение решающией границы будет иметь вид $x_2 = mx_1 + c$, где m — наклон прямой, а c — сдвиг.

Теперь вспомним, что модель с двумя признаками (до подачи в сигмоиду) имеет вид

$$ z = theta_0 + theta_1 x_1 + theta_2 x_2 $$

Также не забудем, что граница проходит там, где $ h_{theta}(x) = 0,5 $, а значит z = 0. Значит,

$$ 0 = theta_0 + theta_1 x_1 + theta_2 x_2 $$

Чтобы найти с (то есть сдвиг линии решающей границы вдоль оси $x_2$) приравняем $x_1$ к нулю и решим для $x_2$ (именно эта точка и будет сдвигом c).

$$ 0 = theta_0 + 0 + theta_2 x_2 rightarrow x_2 = -frac{theta_0}{theta_2} rightarrow c = -frac{theta_0}{theta_2} $$

Теперь займемся наклоном m. Возьмем некоторую точку на линии решающей границы с координатами $(x_1^a, x_2^a)$, $(x_1^b, x_2^b)$. Тогда наклон m будет равен

$$ m = frac{x_2^b-x_2^a}{x_1^b-x_1^a} $$

Так как эти точки расположены на решающей границе, то справедливо, что

$$ 0 = theta_1x_1^b + theta_2x_2^b + theta_0-(theta_1x_1^a + theta_2x_2^a + theta_0) $$

$$ -theta_2(x_2^b-x_2^a) = theta_1(x_1^b-x_1^a) $$

А значит,

$$ frac{x_2^b-x_2^a}{x_1^b-x_1^a} = -frac{theta_1}{theta_2} rightarrow m = -frac{theta_1}{theta_2} $$

Вычислительная устойчивость сигмоиды

При очень больших отрицательных или положительных значениях z может возникнуть переполнение памяти (overflow).

# возьмем большое отрицательное значение z = –999 1 / (1 + np.exp(–z))

RuntimeWarning: overflow encountered in exp 0.0

Преодолеть это ограничение и добиться вычислительной устойчивости (numerical stability) алгоритма можно с помощью следующего тождества.

$$ g(z) = frac{1}{1+e^{-z}} = frac{1}{1+e^{-z}} times frac{e^z}{e^z} = frac{e^z}{e^z(1+e^{-z})} = frac {e^z}{e^z + 1} $$

Что интересно, первая часть тождества устойчива при очень больших положительных значениях z.

z = 999 1 / (1 + np.exp(–z))

При этом вторая стабильна при очень больших отрицательных значениях.

z = –999 np.exp(z) / (np.exp(z) + 1)

Объединим обе части с помощью условия.

def stable_sigmoid(z):   if z >= 0:       return 1 / (1 + np.exp(–z))   else:       return np.exp(z) / (np.exp(z) + 1)

Примечание. Мы не использовали более лаконичный код, например, функцию np.where(), потому что эта функция прежде чем применить условие рассчитывает оба сценария (в данном случае обе части тождества), а это ровно то, чего мы хотим избежать, чтобы не возникло ошибки. Простое условие с if препятствует выполнению той части кода, которая нам не нужна.

Можно также использовать функцию expit() библиотеки scipy.

from scipy.special import expit expit(999), expit(–999)

Остается написать линейную функцию и подать ее результат в сигмоиду.

def h(x, thetas):   z = np.dot(x, thetas)   return np.array([stable_sigmoid(value) for value in z])

Протестируем код. Предположим, что в нашем датасете четыре наблюдения и три коэффициента. Схематично расчеты будут выглядеть следующим образом.

Пропишем это на Питоне.

# возьмем массив наблюдений 4 х 3 с числами от 1 до 12 x = np.arange(1, 13).reshape(4, 3) # и трехмерный вектор коэффициентов thetas = np.array([–3, 1, 1]) # подадим их в модель h(x, thetas)

array([0.88079708, 0.26894142, 0.01798621, 0.00091105])

Модель работает корректно. Теперь обсудим, как ее обучать, то есть какую функцию потерь использовать для оптимизации параметров $theta$.

Logistic loss или функция кросс-энтропии

В модели логистической регрессии мы не можем использовать MSE. Дело в том, что если мы поместим результат сигмоиды (представляющей собою нелинейную функцию) в MSE, то на выходе получим невыпуклую функцию (non-convex), глобальный минимум которой довольно сложно найти.

Вместо MSE мы будем использовать функцию логистической ошибки, которую еще называют функцией бинарной кросс-энтропии (log loss, binary cross-entropy loss).

График и формула функции логистической ошибки

Вначале посмотрим на нее на графике.

Разберемся, как она работает. Наша модель $h_{theta}(x)$ может выдавать вероятность от 0 до 1, фактические значения $y$ только 0 и 1.

Сценарий 1. Предположим, что для конкретного заемщика в обучающем датасете истинное значение/ целевой класс записан как 1 (то есть заемщик вернул кредит). Тогда «срабатывает» синяя ветвь графика и ошибка измеряется по ней. Соответственно, чем ближе выдаваемая моделью вероятность к единице, тем меньше ошибка.

$$ -log(P(y = 1 | x; theta)) = -log(h_{theta}(x)), y = 1 $$

Сценарий 2. Заемщик не вернул кредит и его целевая переменная записана как 0. Тогда срабатывает оранжевая ветвь. Ошибка модели будет минимальна при значениях, близких к нулю.

$$ -log(1-P(y = 1 | x; theta)) = -log(1-h_{theta}(x)), y = 0 $$

Добавлю, что минус логарифм в данном случае очень удачно отвечает нашему желанию иметь нулевую ошибку при правильном прогнозе и наказать алгоритм высокой ошибкой (асимптотически стремящейся к бесконечности) в случае неправильного прогноза.

В итоге нам нужно будет найти сумму вероятностей принадлежности к классу 1 для сценария 1 и сценария 2.

$$ J(theta) = begin{cases} -log(h_{theta}(x)) | y=1 \ -log(1-h_{theta}(x)) | y=0 end{cases} $$

Однако, для каждого наблюдения нам нужно учитывать только одну из вероятностей (либо $y=1$, либо $y=0$). Как нам переключаться между ними? На самом деле очень просто.

В качестве переключателя можно использовать целевую переменную. В частности, умножим левую часть функции на $y$, а правую на $1-y$. Тогда, если речь идет о классе 1, первая часть умножится на единицу, вторая на ноль и исчезнет. Если речь идет о классе 0, произойдет обратное, исчезнет левая часть, а правая останется. Получается

$$ J(theta) = -frac{1}{n} sum y cdot log(h_{theta}(x)) + (1-y) cdot log(1-h_{theta}(x)) $$

Рассмотрим ее работу на учебном примере.

Расчет логистической ошибки

Предположим, мы построили модель и для каждого наблюдения получили некоторый прогноз (вероятность).

# выведем результат работы модели (вероятности) y_pred и целевую переменную y output = pd.DataFrame({     ‘y’        :[1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0],     ‘y_pred’   :[0.93, 0.81, 0.78, 0.43, 0.54, 0.49, 0.22, 0.1] }) output

Найдем вероятность принадлежности к классу 1.

# оставим вероятность, если y = 1, и вычтем вероятность из единицы, если y = 0 output[‘y=1 prob’] = np.where(output[‘y’] == 0, 1 – output[‘y_pred’], output[‘y_pred’]) output

Возьмем отрицательный логарифм из каждой вероятности.

output[‘-log’] = –np.log(output[‘y=1 prob’]) output

Выведем каждое из получившихся значений на графике.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

plt.figure(figsize = (10, 8)) # создадим точки по оси x в промежутке от 0 до 1 x_vals = np.linspace(0, 1) # выведем кривую функции логистической ошибки plt.plot(x_vals, –np.log(x_vals), label = ‘-log(h(x)) | y = 1’) # выведем каждое из значений отрицательного логарифма plt.scatter(output[‘y=1 prob’], output[‘-log’], color = ‘r’) # зададим заголовок, подписи к осям, легенду и сетку plt.xlabel(‘h(x)’, fontsize = 16) plt.ylabel(‘loss’, fontsize = 16) plt.title(‘Функция логистической ошибки’, fontsize = 18) plt.legend(loc = ‘upper right’, prop = {‘size’: 15}) plt.grid() plt.show()

Как мы видим, так как мы всегда выражаем вероятность принадлежности к классу 1, графически нам будет достаточно одной ветви. Остается сложить результаты и разделить на количество наблюдений.

Окончательный вариант

Напишем функцию логистической ошибки, которую будем использовать в нашем алгоритме.

def objective(y, y_pred):   # рассчитаем функцию потерь для y = 1, добавив 1e-9, чтобы избежать ошибки при log(0)   y_one_loss = y * np.log(y_pred + 1e–9)   # также рассчитаем функцию потерь для y = 0   y_zero_loss = (1 – y) * np.log(1 – y_pred + 1e–9)   # сложим и разделим на количество наблюдений   return –np.mean(y_zero_loss + y_one_loss)

Проверим ее работу на учебных данных.

objective(output[‘y’], output[‘y_pred’])

Теперь займемся поиском производной.

Производная функции логистической ошибки

Предположим, что $G(theta)$ — одна из частных производных описанной выше функции логистической ошибки $J(theta)$,

$$ G = y cdot log(h) + (1-y) cdot log(1-h) $$

где h — это сигмоида $1/1+e^{-z}$, а $z(theta)$ — линейная функция $xtheta$. Тогда по chain rule нам нужно найти производные следующих функций

$$ frac{partial G}{partial theta} = frac{partial G}{partial h} cdot frac{partial h}{partial z} cdot frac{partial z}{partial theta} $$

Производная логарифмической функции

Начнем с производной логарифмической функции.

$$ frac{partial}{partial x} ln f(x) = frac{1}{f(x)} $$

Теперь, помня, что x и y — это константы, найдем первую производную.

$$ frac{partial G}{partial h} left[ y cdot log(h) + (1-y) cdot log(1-h) right] $$

$$ = y cdot frac{partial G}{partial h} [log(h)] + (1-y) cdot frac{partial G}{partial h} [log(1-h)] $$

$$ = frac{1}{h}y + frac{1}{1-h} cdot frac{partial G}{partial h} [1-h] cdot (1-y) $$

Упростим выражение (не забыв про производную разности).

$$ = frac{h}{y} + frac{frac{partial G}{partial h} (1-h) (1-y)}{1-h} = frac{h}{y}+frac{(0-1)(1-y)}{1-h} $$

$$ = frac{y}{h}-frac{1-y}{1-h} = frac{y-h}{h(1-h)} $$

Теперь займемся производной сигмоиды.

Производная сигмоиды

Вначале упростим выражение.

$$ frac{partial h}{partial z} left[ frac{1}{1+e^{-z}} right] = frac{partial h}{partial z} left[ (1+e^{-z})^{-1}) right] $$

Теперь перейдем к нахождению производной

$$ = -(1+e^{-z})^{-2}) cdot (-e^{-z}) = frac{e^{-z}}{(1+e^{-z})^2} $$

$$ = frac{1}{1+e^{-z}} cdot frac{e^{-z}}{1+e^{-z}} = frac{1}{1+e^{-z}} cdot frac{(1+e^{-z})-1}{1+e^{-z}} $$

$$ = frac{1}{1+e^{-z}} cdot left( frac{1+e^{-z}}{1+e^{-z}}-frac{1}{1+e^{-z}} right) $$

$$ = frac{1}{1+e^{-z}} cdot left( 1-frac{1}{1+e^{-z}} right) $$

В терминах предложенной выше нотации получается

$$ h(1-h) $$

Производная линейной функции

Наконец найдем производную линейной функции.

$$ frac{partial z}{partial theta} = x $$

Перемножим производные и найдем градиент по каждому из признаков j для n наблюдений.

$$ frac{partial J}{partial theta} = frac{y-h}{h(1-h)} cdot h(1-h) cdot x_j cdot frac{1}{n} = x_j cdot (y-h) cdot frac{1}{n} $$

Замечу, что хотя производная похожа на градиент функции линейной регрессии, на самом деле это разные функции, $h$ в данном случае сигмоида.

Для нахождения градиента (всех частных производных одновременно) перепишем формулу в векторной нотации.

$$ nabla_{theta} J = X^T(h(Xtheta)-y) times frac{1}{n} $$

Схематично для четырех наблюдений и трех коэффициентов нахождение градиента будет выглядеть следующим образом.

Объявим соответствующую функцию.

def gradient(x, y, y_pred, n):   return np.dot(x.T, (y_pred – y)) / n

На всякий случай напомню, что прогнозные значения (y_pred) мы получаем с помощью объявленной ранее функции $h(x, thetas)$.

Подготовка данных

В качестве примера возьмем встроенный в sklearn датасет, в котором нам предлагается определить класс вина по его характеристикам.

# импортируем датасет о вине из модуля datasets data = datasets.load_wine() # превратим его в датафрейм df = pd.DataFrame(data.data, columns = data.feature_names) # добавим целевую переменную df[‘target’] = data.target # посмотрим на первые три строки df.head(3)

Целевая переменная

Посмотрим на количество наблюдений и признаков (размерность матрицы), а также уникальные значения (классы) в целевой переменной.

df.shape, np.unique(df.target)

((178, 14), array([0, 1, 2]))

Как мы видим, у нас три класса, а должно быть два, потому что пока что мы создаем алгоритм бинарной классификации. Отфильтруем значения так, чтобы осталось только два класса.

# применим маску датафрейма и удалим класс 2 df = df[df.target != 2] # посмотрим на результат df.shape, df.target.unique()

((130, 14), array([0, 1]))

Отбор признаков

Наша целевая переменная выражена бинарной категорией или, как еще говорят, находится на дихотомической шкале (dichotomous variable). В этом случае применять коэффициент корреляции Пирсона не стоит и можно использовать точечно-бисериальную корреляцию (point-biserial correlation). Рассчитаем корреляцию признаков и целевой переменной нашего датасета.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

# импортируем модуль stats из библиотеки scipy from scipy import stats # создадим два списка, один для названий признаков, второй для корреляций columns, correlations = [], [] # пройдемся по всем столбцам датафрейма кроме целевой переменной for col in df.drop(‘target’, axis = 1).columns:   # поместим название признака в список columns   columns.append(col)   # рассчитаем корреляцию этого признака с целевой переменной   # и поместим результат в список корреляций   correlations.append(stats.pointbiserialr(df[col], df[‘target’])[0]) # создадим датафрейм на основе заполненных списков # и применим градиентную цветовую схему pd.DataFrame({‘column’: columns, ‘correlation’: correlations}).style.background_gradient()

Наиболее коррелирующим с целевой переменной признаком является пролин (proline). Визуально оценим насколько сильно отличается этот показатель для классов вина 0 и 1.

# зададим размер графика plt.figure(figsize = (10, 8)) # на точечной диаграмме выведем пролин по оси x, а класс вина по оси y sns.scatterplot(x = df.proline, y = df.target, s = 80);

Теперь посмотрим на зависимость двух признаков (спирт и пролин) от целевой переменной.

# зададим размер графика plt.figure(figsize = (10, 8)) # на точечной диаграмме по осям x и y выведем признаки, # с помощью параметра hue разделим соответствующие классы целевой переменной sns.scatterplot(x = df.alcohol, y = df.proline, hue = df.target, s = 80) # добавим легенду, зададим ее расположение и размер plt.legend(loc = ‘upper left’, prop = {‘size’: 15}) # выведем результат plt.show()

В целом можно сказать, что классы линейно разделимы (другими словами, мы можем провести прямую между ними). Поместим признаки в переменную X, а целевую переменную — в y.

X = df[[‘alcohol’, ‘proline’]] y = df[‘target’]

Масштабирование признаков

Как и в случае с линейной регрессией, для алгоритма логистической регрессии важно, чтобы признаки были приведены к одному масштабу. Для этого используем стандартизацию.

# т.е. приведем данные к нулевому среднему и единичному СКО X = (X – X.mean()) / X.std() X.head()

Проверим результат.

X.alcohol.mean(), X.alcohol.std(), X.proline.mean(), X.proline.std()

(6.8321416900009635e-15, 1.0, -5.465713352000771e-17, 1.0)

Теперь мы готовы к созданию и обучению модели.

Обучение модели

Вначале объявим уже знакомую нам функцию, которая добавит в датафрейм столбец под названием x0, заполненный единицами.

def add_ones(x):   # важно! метод .insert() изменяет исходный датафрейм   return x.insert(0,‘x0’, np.ones(x.shape[0]))

Применим ее к нашему датафрейму с признаками.

# добавим столбец с единицами add_ones(X) # и посмотрим на результат X.head()

Создадим вектор начальных весов (он будет состоять из нулей), а также переменную n, в которой будет храниться количество наблюдений.

thetas, n = np.zeros(X.shape[1]), X.shape[0] thetas, n

(array([0., 0., 0.]), 130)

Кроме того, создадим список, в который будем записывать размер ошибки функции потерь.

Теперь выполним основную работу по минимизации функции потерь и поиску оптимальных весов (выполнение кода ниже у меня заняло около 30 секунд).

# в цикле из 20000 итераций for i in range(20000):   # рассчитаем прогнозное значение с текущими весами   y_pred = h(X, thetas)   # посчитаем уровень ошибки при текущем прогнозе   loss_history.append(objective(y, y_pred))   # рассчитаем градиент   grad = gradient(X, y, y_pred, n)   # используем градиент для улучшения весов модели   # коэффициент скорости обучения будет равен 0,001   thetas = thetas – 0.001 * grad

Посмотрим на получившиеся веса и финальный уровень ошибки.

# чтобы посмотреть финальный уровень ошибки, # достаточно взять последний элемент списка loss_history thetas, loss_history[–1]

(array([ 0.23234188, -1.73394252, -1.89350543]), 0.12282503517421262)

Модель обучена. Теперь мы можем сделать прогноз и оценить результат.

Прогноз и оценка качества

Прогноз модели

Объявим функцию predict(), которая будет предсказывать к какому классу относится то или иное наблюдение. От функции $h(x, thetas)$ эта функция будет отличаться тем, что выдаст не только вероятность принадлежности к тому или иному классу, но и непосредственно сам предполагаемый класс (0 или 1).

def predict(x, thetas):   # найдем значение линейной функции   z = np.dot(x, thetas)   # проведем его через устойчивую сигмоиду   probs = np.array([stable_sigmoid(value) for value in z])   # если вероятность больше или равна 0,5 – отнесем наблюдение к классу 1,   # в противном случае к классу 0   # дополнительно выведем значение вероятности   return np.where(probs >= 0.5, 1, 0), probs

Вызовем функцию predict() и запишем прогноз класса и вероятность принадлежности к этому классу в переменные y_pred и probs соответственно.

# запишем прогноз класса и вероятность этого прогноза в переменные y_pred и probs y_pred, probs = predict(X, thetas) # посмотрим на прогноз и вероятность для первого наблюдения y_pred[0], probs[0]

(0, 0.022908352078195617)

Здесь важно напомнить, что вероятность, близкая к нулю, говорит о пренадлжености к классу 0. В качестве упражнения выведите класс последнего наблюдения и соответствующую вероятность.

Метрика accuracy и матрица ошибок

Оценим результат с помощью метрики accuracy и матрицы ошибок.

# функцию accuracy_score() мы импортировали в начале ноутбука accuracy_score(y, y_pred)

# функцию confusion_matrix() мы импортировали в начале ноутбука # столбцами будут прогнозные значения (Forecast), # строками – фактические (Actual) pd.DataFrame(confusion_matrix(y, y_pred),              columns = [‘Forecast 0’, ‘Forecast 1’],              index = [‘Actual 0’, ‘Actual 1’])

Как мы видим, алгоритм ошибся пять раз. Дважды он посчитал, что наблюдение относится к классу 1, хотя на самом деле это был класс 0, и трижды, наоборот, неверно отнес класс 1 к классу 0.

Решающая граница

Выше мы уже вывели уравнение решающей границы. Воспользуемся им, чтобы визуально оценить насколько удачно классификатор справился с поставленной задачей.

# рассчитаем сдвиг (c) и наклон (m) линии границы c, m = –thetas[0]/thetas[2], –thetas[1]/thetas[2] c, m

(0.1227046263531282, -0.915731474695505)

# найдем минимальное и максимальное значения для спирта (ось x) xmin, xmax = min(X[‘alcohol’]), max(X[‘alcohol’]) # найдем минимальное и максимальное значения для пролина (ось y) ymin, ymax = min(X[‘proline’]), max(X[‘proline’]) # запишем значения оси x в переменную xd xd = np.array([xmin, xmax]) xd

array([-2.15362589,  2.12194856])

# подставим эти значения, а также значения сдвига и наклона в уравнение линии yd = m * xd + c # в результате мы получим координаты двух точек, через которые проходит линия границы (xd[0], yd[0]), (xd[1], yd[1])

((-2.1536258890738247, 2.0948476376971197), (2.1219485561396647, -1.8204304541886445))

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

# зададим размер графика plt.figure(figsize = (11, 9)) # построим пунктирную линию по двум точкам, найденным выше plt.plot(xd, yd, ‘k’, lw = 1, ls = ‘–‘) # дополнительно отобразим наши данные, sns.scatterplot(x = X[‘alcohol’], y = X[‘proline’], hue = y, s = 70) # которые снова снабдим легендой plt.legend(loc = ‘upper left’, prop = {‘size’: 15}) # минимальные и максимальные значения по обеим осям будут границами графика plt.xlim(xmin, xmax) plt.ylim(ymin, ymax) # по желанию, разделенные границей половинки можно закрасить # tab: означает, что цвета берутся из палитры Tableau # plt.fill_between(xd, yd, ymin, color=’tab:blue’, alpha = 0.2) # plt.fill_between(xd, yd, ymax, color=’tab:orange’, alpha = 0.2) # а также добавить обозначения переменных в качестве подписей к осям # plt.xlabel(‘x_1’) # plt.ylabel(‘x_2’) plt.show()

На графике хорошо видны те пять значений, в которых ошибся наш классификатор.

Написание класса

Остается написать класс бинарной логистической регрессии.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75

class LogReg():   # в методе .__init__() объявим переменные для весов и уровня ошибки   def __init__(self):     self.thetas = None     self.loss_history = []   # метод .fit() необходим для обучения модели   # этому методу мы передадим признаки и целевую переменную   # кроме того, мы зададим значения по умолчанию   # для количества итераций и скорости обучения   def fit(self, x, y, iter = 20000, learning_rate = 0.001):     # метод создаст “правильные” копии датафрейма     x, y = x.copy(), y.copy()     # добавит столбец из единиц     self.add_ones(x)     # инициализирует веса и запишет в переменную n количество наблюдений     thetas, n = np.zeros(x.shape[1]), x.shape[0]     # создадим список для записи уровня ошибки     loss_history = []     # в цикле равном количеству итераций     for i in range(iter):       # метод сделает прогноз с текущими весами       y_pred = self.h(x, thetas)       # найдет и запишет уровень ошибки       loss_history.append(self.objective(y, y_pred))       # рассчитает градиент       grad = self.gradient(x, y, y_pred, n)       # и обновит веса       thetas -= learning_rate * grad       # метод выдаст веса и список с историей ошибок       self.thetas = thetas       self.loss_history = loss_history   # метод .predict() делает прогноз с помощью обученной модели   def predict(self, x):     # метод создаст “правильную” копию модели     x = x.copy()     # добавит столбец из единиц     self.add_ones(x)     # рассчитает значения линейной функции     z = np.dot(x, self.thetas)     # передаст эти значения в сигмоиду     probs = np.array([self.stable_sigmoid(value) for value in z])     # выдаст принадлежность к определенному классу и соответствующую вероятность     return np.where(probs >= 0.5, 1, 0), probs   # ниже приводятся служебные методы, смысл которых был разобран ранее   def add_ones(self, x):     return x.insert(0,‘x0’, np.ones(x.shape[0]))   def h(self, x, thetas):     z = np.dot(x, thetas)     return np.array([self.stable_sigmoid(value) for value in z])   def objective(self, y, y_pred):     y_one_loss = y * np.log(y_pred + 1e–9)     y_zero_loss = (1 – y) * np.log(1 – y_pred + 1e–9)     return –np.mean(y_zero_loss + y_one_loss)   def gradient(self, x, y, y_pred, n):     return np.dot(x.T, (y_pred – y)) / n   def stable_sigmoid(self, z):     if z >= 0:         return 1 / (1 + np.exp(–z))     else:         return np.exp(z) / (np.exp(z) + 1)

Проверим работу написанного нами класса. Вначале подготовим данные и обучим модель.

# проверим работу написанного нами класса # поместим признаки и целевую переменную в X и y X = df[[‘alcohol’, ‘proline’]] y = df[‘target’] # приведем признаки к одному масштабу X = (X – X.mean())/X.std() # создадим объект класса LogReg model = LogReg() # и обучим модель model.fit(X, y) # посмотрим на атрибуты весов и финального уровня ошибки model.thetas, model.loss_history[–1]

(array([ 0.23234188, –1.73394252, –1.89350543]), 0.12282503517421262)

Затем сделаем прогноз и оценим качество модели.

# сделаем прогноз y_pred, probs = model.predict(X) # и посмотрим на класс первого наблюдения и вероятность y_pred[0], probs[0]

(0, 0.022908352078195617)

# рассчитаем accuracy accuracy_score(y, y_pred)

# создадим матрицу ошибок pd.DataFrame(confusion_matrix(y, y_pred),              columns = [‘Forecast 0’, ‘Forecast 1’],              index = [‘Actual 0’, ‘Actual 1’])

Модель показала точно такой же результат. Методы класса LogReg работают. Теперь давайте сравним работу нашего класса с классом LogisticRegression библиотеки sklearn.

Сравнение с sklearn

Обучение модели

Вначале обучим модель.

# подготовим данные X = df[[‘alcohol’, ‘proline’]] y = df[‘target’] X = (X – X.mean())/X.std() # создадим объект класса LogisticRegression и запишем его в переменную model model = LogisticRegression() # обучим модель model.fit(X, y) # посмотрим на получившиеся веса модели model.intercept_, model.coef_

(array([0.30838852]), array([[-2.09622008, -2.45991159]]))

Прогноз

Теперь необходимо сделать прогноз и найти соответствующие вероятности. В классе LogisticRegression библиотеки sklearn метод .predict() отвечает за предсказание принадлежности к определенному классу, а метод .predict_proba() отвечает за вероятность такого прогноза.

# выполним предсказание класса y_pred = model.predict(X) # и найдем вероятности probs = model.predict_proba(X) # посмотрим на класс и вероятность первого наблюдения y_pred[0], probs[0]

(0, array([0.9904622, 0.0095378]))

Модель предсказала для первого наблюдения класс 0. При этом, обратите внимание, что метод .predict_proba() для каждого наблюдения выдает две вероятности, первая — это вероятность принадлежности к классу 0, вторая — к классу 1.

Оценка качества

Рассчитаем метрику accuracy.

accuracy_score(y, y_pred)

И построим матрицу ошибок.

pd.DataFrame(confusion_matrix(y, y_pred),              columns = [‘Forecast 0’, ‘Forecast 1’],              index = [‘Actual 0’, ‘Actual 1’])

Как мы видим, хотя веса модели и предсказанные вероятности немного отличаются, ее точность осталась неизменной.

Решающая граница

Построим решающую границу.

# найдем сдвиг и наклон для уравнения решающей границы c, m = –model.intercept_ / model.coef_[0][1], –model.coef_[0][0] / model.coef_[0][1] c, m

(array([0.12536569]), -0.8521526076691505)

# посмотрим на линию решающей границы plt.figure(figsize = (11, 9)) xmin, xmax = min(X[‘alcohol’]), max(X[‘alcohol’]) ymin, ymax = min(X[‘proline’]), max(X[‘proline’]) xd = np.array([xmin, xmax]) yd = m*xd + c plt.plot(xd, yd, ‘k’, lw=1, ls=‘–‘) sns.scatterplot(x = X[‘alcohol’], y = X[‘proline’], hue = y, s = 70) plt.legend(loc = ‘upper left’, prop = {‘size’: 15}) plt.xlim(xmin, xmax) plt.ylim(ymin, ymax) plt.show()

Бинарная полиномиальная регрессия

Идея бинарной полиномиальной логистической регрессии (binary polynomial logistic regression) заключается в том, чтобы использовать полином внутри сигмоиды и соответственно создать нелинейную границу между двумя классами.

Полиномиальные признаки

Уравнение полинома на основе двух признаков будет выглядеть следующим образом.

$$ y = theta_{0}x_0 + theta_{1}x_1 + theta_{2}x_2 + theta_{3} x_1^2 + theta_{4} x_1x_2 + theta_{5} x_2^2 $$

Реализуем этот алгоритм на практике и посмотрим, улучшатся ли результаты. Вначале, подготовим и масштабируем данные.

X = df[[‘alcohol’, ‘proline’]] y = df[‘target’] X = (X – X.mean())/X.std()

Теперь преобразуем наши данные так, как если бы мы использовали полином второй степени.

Смысл создания полиномиальных признаков мы детально разобрали на занятии по множественной линейной регрессии.

# создадим объект класса PolynomialFeatures # укажем, что мы хотим создать полином второй степени polynomial_features = PolynomialFeatures(degree = 2) # преобразуем данные с помощью метода .fit_transform() X_poly = polynomial_features.fit_transform(X)

Сравним исходные признаки с полиномиальными.

# посмотрим на первое наблюдение X.head(1)

# должно получиться шесть признаков X_poly[:1]

array([[1.        , 1.44685785, 0.77985116, 2.09339765, 1.12833378,         0.60816783]])

Моделирование и оценка качества

Обучим модель, сделаем прогноз и оценим результат.

# создадим объект класса LogisticRegression poly_model = LogisticRegression() # обучим модель на полиномиальных признаках poly_model = poly_model.fit(X_poly, y) # сделаем прогноз y_pred = poly_model.predict(X_poly) # рассчитаем accuracy accuracy_score(y_pred, y)

Построим матрицу ошибок.

pd.DataFrame(confusion_matrix(y, y_pred),              columns = [‘Forecast 0’, ‘Forecast 1’],              index = [‘Actual 0’, ‘Actual 1’])

Для того чтобы визуально оценить качество модели, построим два графика: фактических классов и прогнозных. Вначале создадим датасет, в котором будут исходные признаки (alcohol, proline) и прогнозные значения (y_pred).

# сделаем копию исходного датафрейма с нужными признаками predictions = df[[‘alcohol’, ‘proline’]].copy() # и добавим новый столбец с прогнозными значениями predictions[‘y_pred’] = y_pred # посмотрим на результат predictions.head(3)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

# создадим два подграфика с помощью функции plt.subplots() # расположим подграфики на одной строке fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2,                                # пропишем размер,                                figsize = (14, 6),                                # а также расстояние между подграфиками по горизонтали                                gridspec_kw = {‘wspace’ : 0.2}) # на левом подграфике выведем фактические классы sns.scatterplot(data = df, x = ‘alcohol’, y = ‘proline’, hue = ‘target’, palette = ‘bright’, s = 50, ax = ax1) ax1.set_title(‘Фактические классы’, fontsize = 14) # на правом – прогнозные sns.scatterplot(data = predictions, x = ‘alcohol’, y = ‘proline’, hue = ‘y_pred’, palette = ‘bright’, s = 50, ax = ax2) ax2.set_title(‘Прогноз’, fontsize = 14) # зададим общий заголовок fig.suptitle(‘Бинарная полиномиальная регрессия’, fontsize = 16) plt.show()

Как вы видите, нам не удалось добиться улучшения по сравнению с обычной полиномиальной регрессией.

Напомню, что создание подграфиков мы подробно разобрали на занятии по исследовательскому анализу данных.

В качестве упражнения предлагаю вам выяснить, какая степень полинома позволит улучшить результат прогноза на этих данных и насколько, таким образом, улучшится качество предсказаний.

Перейдем ко второй части нашего занятия.

Мультиклассовая логистическая регрессия

Как поступить, если нужно предсказать не два класса, а больше? Сегодня мы рассмотрим два подхода: one-vs-rest и кросс-энтропию. Начнем с того, что подготовим данные.

Подготовка данных

Вернем исходный датасет с тремя классами.

# вновь импортируем датасет о вине data = datasets.load_wine() # превратим его в датафрейм df = pd.DataFrame(data.data, columns = data.feature_names) # приведем признаки к одному масштабу df = (df – df.mean())/df.std() # добавим целевую переменную df[‘target’] = data.target # убедимся, что у нас присутствуют все три класса df.target.value_counts()

1    71 0    59 2    48 Name: target, dtype: int64

В целевой переменной большое двух классов, а значит точечно-бисериальный коэффициент корреляции мы использовать не можем. Воспользуемся корреляционным отношением (correlation ratio).

# код ниже был подробно разобран на предыдущем занятии def correlation_ratio(numerical, categorical):   values = np.array(numerical)   ss_total = np.sum((values.mean() – values) ** 2)   cats = np.unique(categorical, return_inverse = True)[1]   ss_betweengroups = 0   for c in np.unique(cats):     group = values[np.argwhere(cats == c).flatten()]     ss_betweengroups += len(group) * (group.mean() – values.mean()) ** 2   return np.sqrt(ss_betweengroups/ss_total)

# создадим два списка, один для названий признаков, второй для значений корреляционного отношения columns, correlations = [], [] # пройдемся по всем столбцам датафрейма кроме целевой переменной for col in df.drop(‘target’, axis = 1).columns:   # поместим название признака в список columns   columns.append(col)   # рассчитаем взаимосвязь этого признака с целевой переменной   # и поместим результат в список значений корреляционного отношения   correlations.append(correlation_ratio(df[col], df[‘target’])) # создадим датафрейм на основе заполненных списков # и применим градиентную цветовую схему pd.DataFrame({‘column’: columns, ‘correlation’: correlations}).style.background_gradient()

Теперь наибольшую корреляцию с целевой переменной показывают флавоноиды (flavanoids) и пролин (proline). Их и оставим.

df = df[[‘flavanoids’, ‘proline’, ‘target’]].copy() df.head(3)

Посмотрим, насколько легко можно разделить эти классы.

# зададим размер графика plt.figure(figsize = (10, 8)) # построим точечную диаграмму с двумя признаками, разделяющей категориальной переменной будет класс вина sns.scatterplot(x = df.flavanoids, y = df.proline, hue = df.target, palette = ‘bright’, s = 100) # добавим легенду plt.legend(loc = ‘upper left’, prop = {‘size’: 15}) plt.show()

Перейдем непосредственно к алгоритмам мультиклассовой логистической регрессии. Начнем с подхода one-vs-rest.

Подход one-vs-rest

Подход one-vs-rest или one-vs-all предполагает, что мы отделяем один класс, а остальные наоборот объединяем. Так мы поступаем с каждым классом и строим по одной модели логистической регрессии относительно каждого из класса. Например, если у нас три класса, то у нас будет три модели логистической регрессии. Далее мы смотрим на получившиеся вероятности и выбираем наибольшую.

$$ h_theta^{(i)}(x) = P(y = i | x; theta), i in {0, 1, 2} $$

При таком подходе сам по себе алгоритм логистической регрессии претерпевает лишь несущественные изменения, главное правильно подготовить данные для обучения модели.

Подготовка датасетов

# поместим признаки и данные в соответствующие переменные x1, x2 = df.columns[0], df.columns[1] target = df.target.unique() target

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

# сделаем копии датафреймов ovr_0, ovr_1, ovr_2 = df.copy(), df.copy(), df.copy() # в каждом из них сделаем целевым классом 0-й, 1-й или 2-й классы # например, в ovr_0 первым классом будет класс 0, а классы 1 и 2 – нулевым ovr_0[‘target’] = np.where(df[‘target’] == target[0], 1, 0) ovr_1[‘target’] = np.where(df[‘target’] == target[1], 1, 0) ovr_2[‘target’] = np.where(df[‘target’] == target[2], 1, 0) # выведем разделение на классы на графике fig, (ax1, ax2, ax3) = plt.subplots(1, 3,                                     figsize = (16, 4),                                     gridspec_kw = {‘wspace’: 0.2, ‘hspace’: 0.08}) sns.scatterplot(data = ovr_0, x = x1, y = x2, hue = ‘target’, s = 50, ax = ax1) ax1.set_title(‘Прогнозирование класса 0’, fontsize = 14) sns.scatterplot(data = ovr_1, x = x1, y = x2, hue = ‘target’, s = 50, ax = ax2) ax2.set_title(‘Прогнозирование класса 1’, fontsize = 14) sns.scatterplot(data = ovr_2, x = x1, y = x2, hue = ‘target’, s = 50, ax = ax3) ax3.set_title(‘Прогнозирование класса 2’, fontsize = 14) plt.show()

Обучение моделей

models = [] # поочередно обучим каждую из моделей for ova_n in [ovr_0, ovr_1, ovr_2]:   X = ova_n[[‘flavanoids’, ‘proline’]]   y = ova_n[‘target’]   model = LogReg()   model.fit(X, y)   # каждую обученную модель поместим в список   models.append(model)

# убедимся, что все работает # например, выведем коэффициенты модели 1 models[0].thetas

array([-0.99971466,  1.280398  ,  2.04834457])

Прогноз и оценка качества

# вновь перенесем данные из исходного датафрейма X = df[[‘flavanoids’, ‘proline’]] y = df[‘target’] # в список probs будем записывать результат каждой модели # для каждого наблюдения probs = [] for model in models:   _, prob = model.predict(X)   probs.append(prob)

# очевидно, для каждого наблюдения у нас будет три вероятности # принадлежности к целевому классу probs[0][0], probs[1][0], probs[2][0]

(0.9161148288779738, 0.1540913395345091, 0.026621132600103174)

# склеим и изменим размерность массива таким образом, чтобы # строки были наблюдениями, а столбцы вероятностями all_probs = np.concatenate(probs, axis = 0).reshape(len(probs), –1).T all_probs.shape

# каждая из 178 строк – это вероятность одного наблюдения # принадлежать к классу 0, 1, 2 all_probs[0]

array([0.91611483, 0.15409134, 0.02662113])

Обратите внимание, при использовании подхода one-vs-rest вероятности в сумме не дают единицу.

# например, первое наблюдение вероятнее всего принадлежит к классу 0 np.argmax(all_probs[0])

# найдем максимальную вероятность в каждой строке, # индекс вероятности [0, 1, 2] и будет прогнозом y_pred = np.argmax(all_probs, axis = 1) # рассчитаем accuracy accuracy_score(y, y_pred)

# выведем матрицу ошибок pd.DataFrame(confusion_matrix(y, y_pred),              columns = [‘Forecast 0’, ‘Forecast 1’, ‘Forecast 2’],              index = [‘Actual 0’, ‘Actual 1’, ‘Actual 2’])

Сравним фактическое и прогнозное распределение классов на точечной диаграмме.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

predictions = df[[‘flavanoids’, ‘proline’]].copy() predictions[‘y_pred’] = y_pred fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2,                                figsize = (14, 6),                                gridspec_kw = {‘wspace’: 0.2, ‘hspace’: 0.08}) sns.scatterplot(data = df, x = ‘flavanoids’, y = ‘proline’, hue = ‘target’,                 palette = ‘bright’, s = 50, ax = ax1) ax1.set_title(‘Фактические классы’, fontsize = 14) sns.scatterplot(data = predictions, x = ‘flavanoids’, y = ‘proline’, hue = ‘y_pred’,                 palette = ‘bright’, s = 50, ax = ax2) ax2.set_title(‘Прогноз one-vs-rest’, fontsize = 14) plt.show()

Написание класса

Поместим достигнутый выше результат в класс.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85

class OVR_LogReg():   def __init__(self):     self.models_thetas = []     self.models_loss = []   def fit(self, x, y, iter = 20000, learning_rate = 0.001):     dfs = self.preprocess(x, y)     models_thetas, models_loss = [], []     for ovr_df in dfs:       x = ovr_df.drop(‘target’, axis = 1).copy()       y = ovr_df.target.copy()       self.add_ones(x)       loss_history = []       thetas, n = np.zeros(x.shape[1]), x.shape[0]       for i in range(iter):         y_pred = self.h(x, thetas)         loss_history.append(self.objective(y, y_pred))         grad = self.gradient(x, y, y_pred, n)         thetas -= learning_rate * grad       models_thetas.append(thetas)       models_loss.append(loss_history)     self.models_thetas = models_thetas     self.models_loss = models_loss   def predict(self, x):     x = x.copy()     probs = []     self.add_ones(x)     for t in self.models_thetas:       z = np.dot(x, t)       prob = np.array([self.stable_sigmoid(value) for value in z])       probs.append(prob)     all_probs = np.concatenate(probs, axis = 0).reshape(len(probs), –1).T     y_pred = np.argmax(all_probs, axis = 1)     return y_pred, all_probs   def preprocess(self, x, y):     x, y = x.copy(), y.copy()     x[‘target’] = y     classes = x.target.unique()     dfs = []     ovr_df = None     for c in classes:       ovr_df = x.drop(‘target’, axis = 1).copy()       ovr_df[‘target’] = np.where(x[‘target’] == classes[c], 1, 0)       dfs.append(ovr_df)     return dfs   def add_ones(self, x):     return x.insert(0,‘x0’, np.ones(x.shape[0]))   def h(self, x, thetas):     z = np.dot(x, thetas)     return np.array([self.stable_sigmoid(value) for value in z])   def objective(self, y, y_pred):     y_one_loss = y * np.log(y_pred + 1e–9)     y_zero_loss = (1 – y) * np.log(1 – y_pred + 1e–9)     return –np.mean(y_zero_loss + y_one_loss)   def gradient(self, x, y, y_pred, n):     return np.dot(x.T, (y_pred – y)) / n   def stable_sigmoid(self, z):     if z >= 0:         return 1 / (1 + np.exp(–z))     else:         return np.exp(z) / (np.exp(z) + 1)

Проверим класс в работе.

X = df[[‘flavanoids’, ‘proline’]] y = df[‘target’] model = OVR_LogReg() model.fit(X, y) y_pred, probs = model.predict(X) accuracy_score(y_pred, y)

Сравнение с sklearn

Для того чтобы применить подход one-vs-rest в классе LogisticRegression, необходимо использовать значение параметра multi_class = ‘ovr’.

X = df[[‘flavanoids’, ‘proline’]] y = df[‘target’] ovr_model = LogisticRegression(multi_class = ‘ovr’) ovr_model = ovr_model.fit(X, y) y_pred = ovr_model.predict(X) accuracy_score(y_pred, y)

Мультиклассовая полиномиальная регрессия

Как мы увидели в предыдущем разделе, линейная решающая граница допустила некоторое количество ошибок. Попробуем улучшить результат, применив мультиклассовую полиномиальную логистическую регрессию.

X = df[[‘flavanoids’, ‘proline’]] y = df[‘target’] polynomial_features = PolynomialFeatures(degree = 7) X_poly = polynomial_features.fit_transform(X) poly_ovr_model = LogisticRegression(multi_class = ‘ovr’) poly_ovr_model = poly_ovr_model.fit(X_poly, y) y_pred = poly_ovr_model.predict(X_poly) accuracy_score(y_pred, y)

Результат, по сравнению с моделью sklearn без полиномиальных признаков, стал чуть лучше. Однако это было достигнуто за счет полинома достаточно высокой степени (degree = 7), что неэффективно с точки зрения временной сложности алгоритма.

Посмотрим, какие нелинейные решающие границы удалось построить алгоритму.

predictions = df[[‘flavanoids’, ‘proline’]].copy() predictions[‘y_pred’] = y_pred fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2,                                figsize = (14, 6),                                gridspec_kw = {‘wspace’: 0.2, ‘hspace’: 0.08}) sns.scatterplot(data = df, x = ‘flavanoids’, y = ‘proline’, hue = ‘target’, palette = ‘bright’, s = 50, ax = ax1) ax1.set_title(‘Фактические классы’, fontsize = 14) sns.scatterplot(data = predictions, x = ‘flavanoids’, y = ‘proline’, hue = ‘y_pred’, palette = ‘bright’, s = 50, ax = ax2) ax2.set_title(‘Полиномиальная регрессия’, fontsize = 14) plt.show()

Softmax Regression

Еще один подход при создании мультиклассовой логистической регрессии заключается в том, чтобы не разбивать многоклассовые данные на несколько датасетов и использовать бинарный классификатор, а сразу применять функции, которые подходят для работы с множеством классов.

Такую регрессию часто называют Softmax Regression из-за того, что в ней используется уже знакомая нам по занятию об основах нейросетей функция softmax. Вначале подготовим данные.

Подготовка признаков

Возьмем признаки flavanoids и proline и добавим столбец из единиц.

def add_ones(x):   # важно! метод .insert() изменяет исходный датафрейм   return x.insert(0,‘x0’, np.ones(x.shape[0]))

X = df[[‘flavanoids’, ‘proline’]] add_ones(X) X.head(3)

Кодирование целевой переменной

Напишем собственную функцию для one-hot encoding.

def ohe(y):   # количество примеров и количество классов   examples, features = y.shape[0], len(np.unique(y))   # нулевая матрица: количество наблюдений x количество признаков   zeros_matrix = np.zeros((examples, features))   # построчно проходимся по нулевой матрице и с помощью индекса заполняем соответствующее значение единицей   for i, (row, digit) in enumerate(zip(zeros_matrix, y)):     zeros_matrix[i][digit] = 1   return zeros_matrix

y = df[‘target’] y_enc = ohe(df[‘target’]) y_enc[:3]

array([[1., 0., 0.],        [1., 0., 0.],        [1., 0., 0.]])

Такой же результат можно получить с помощью класса LabelBinarizer.

lb = LabelBinarizer() lb.fit(y) lb.classes_

y_lb = lb.transform(y) y_lb[:5]

array([[1, 0, 0],        [1, 0, 0],        [1, 0, 0],        [1, 0, 0],        [1, 0, 0]])

Инициализация весов

Создадим нулевую матрицу весов. Она будет иметь размерность: количество признаков (строки) х количество классов (столбцы). Приведем схематичный пример для четырех наблюдений, трех признаков (включая сдвиг $theta_0$) и трех классов.

Инициализируем веса.

thetas = np.zeros((3, 3)) thetas

array([[0., 0., 0.],        [0., 0., 0.],        [0., 0., 0.]])

Функция softmax

Подробнее изучим функцию softmax. Приведем формулу.

$$ text{softmax}(z)_{i} = frac{e^{z_i}}{sum_{k=1}^N e^{z_k}} $$

Рассмотрим ее реализацию на Питоне.

Напомню, что $ z = (-Xtheta) $. Соответственно в нашем случае мы будем умножать матрицу 178 x 3 на 3 x 3.

В результате получим матрицу 178 x 3, где каждая строка — это прогнозные значения принадлежности одного наблюдения к каждому из трех классов.

z = np.dot(–X, thetas) z.shape

Так как мы умножаем на ноль, при первой итерации эти значения будут равны нулю.

array([[0., 0., 0.],        [0., 0., 0.],        [0., 0., 0.],        [0., 0., 0.],        [0., 0., 0.]])

Для того чтобы обеспечить вычислительную устойчивость softmax мы можем вычесть из z максимальное значение в каждой из 178 строк (пока что, опять же на первой итерации, оно равно нулю).

$$ text{softmax}(z)_{i} = frac{e^{z_i-max(z)}}{sum_{k=1}^N e^{z_k-max(z)}} $$

# axis = -1 – это последняя ось # keepdims = True сохраняет размерность (в данном случае двумерный массив) np.max(z, axis = –1, keepdims = True)[:5]

array([[0.],        [0.],        [0.],        [0.],        [0.]])

z = z – np.max(z, axis = –1, keepdims = True) z[:5]

array([[0., 0., 0.],        [0., 0., 0.],        [0., 0., 0.],        [0., 0., 0.],        [0., 0., 0.]])

Смысл такого преобразования⧉ в том, что оно делает значения z нулевыми или отрицательными.

arr = np.array([–2, 3, 0, –7, 6]) arr – max(arr)

array([ -8,  -3,  -6, -13,   0])

Далее, число возводимое в увеличивающуюся отрицательную степень стремится к нулю, а не к бесконечности и, таким образом, не вызывает переполнения памяти. Найдем числитель и знаменатель из формулы softmax.

numerator = np.exp(z) numerator[:5]

array([[1., 1., 1.],        [1., 1., 1.],        [1., 1., 1.],        [1., 1., 1.],        [1., 1., 1.]])

denominator = np.sum(numerator, axis = –1, keepdims = True) denominator[:5]

array([[3.],        [3.],        [3.],        [3.],        [3.]])

Разделим числитель и знаменатель и, таким образом, вычислим вероятность принадлежности каждого из наблюдений (строки результата) к одному из трех классов (столбцы).

softmax = numerator / denominator softmax[:5]

array([[0.33333333, 0.33333333, 0.33333333],        [0.33333333, 0.33333333, 0.33333333],        [0.33333333, 0.33333333, 0.33333333],        [0.33333333, 0.33333333, 0.33333333],        [0.33333333, 0.33333333, 0.33333333]])

На первой итерации при одинаковых $theta$ мы получаем, что логично, одинаковые вероятности принадлежности к каждому из классов. Напишем функцию.

def stable_softmax(x, thetas):   z = np.dot(–x, thetas)   z = z – np.max(z, axis = –1, keepdims = True)   numerator = np.exp(z)   denominator = np.sum(numerator, axis = –1, keepdims = True)   softmax = numerator / denominator   return softmax

probs = stable_softmax(X, thetas) probs[:3]

array([[0.33333333, 0.33333333, 0.33333333],        [0.33333333, 0.33333333, 0.33333333],        [0.33333333, 0.33333333, 0.33333333]])

Примечание. Обратите внимание, что сигмоида — это частный случай функции softmax для двух классов $[z_1, 0]$. Вероятность класса $z_1$ будет равна

$$ softmax(z_1) = frac{e^{z_1}}{e^{z_1}+e^0} = frac{e^{z_1}}{e^{z_1}+1} $$

Если разделить и числитель, и знаменатель на $e^{z_1}$, то получим

$$ sigmoid(z_1) = frac{e^{z_1}}{1 + e^{-z_1}} $$

Вычислять вероятность принадлежности ко второму классу нет необходимости, достаточно вычесть результат сигмоиды из единицы.

Теперь нужно понять, насколько сильно при таких весах ошибается наш алгоритм.

Функция потерь

Вспомним функцию бинарной кросс-энтропии. То есть функции ошибки для двух классов.

$$ L(y, theta) = -frac{1}{n} sum y cdot log(h_{theta}(x)) + (1-y) cdot log(1-h_{theta}(x)) $$

Напомню, что y выступает в роли своего рода переключателя, сохраняющего одну из частей выражения, и обнуляющего другую. Теперь посмотрите на функцию категориальной (многоклассовой) кросс-энтропии (categorical cross-entropy).

$$ L(y_{ohe}, softmax) = -sum y_{ohe} log(softmax) $$

Разберемся, что здесь происходит. $y_{ohe}$ содержит закодированную целевую переменную, например, для наблюдения класса 0 [1, 0, 0], softmax содержит вектор вероятностей принадлежности наблюдения к каждому из классов, например, [0,3 0,4 0,3] (мы видим, что алгоритм ошибается).

В данном случае закодированная целевая переменная также выступает в виде переключателя. Здесь при умножении «срабатывает» только первая вероятность $1 times 0,3 + 0 times 0,4 + 0 times 0,4 $. Если подставить в формулу, то получаем (np.sum() добавлена для сохранения единообразия с формулой выше, в данном случае у нас одно наблюдение и сумма не нужна).

y_ohe = np.array([1, 0, 0]) softmax = np.array([0.3, 0.4, 0.4]) –np.sum(y_ohe * np.log(softmax))

Если бы модель в своих вероятностях ошибалась меньше, то и общая ошибка была бы меньше.

y_ohe = np.array([1, 0, 0]) softmax = np.array([0.4, 0.3, 0.4]) –np.sum(y_ohe * np.log(softmax))

Функция $-log$ позволяет снижать ошибку при увеличении вероятности верного (сохраненного переключателем) класса.

x_arr = np.linspace(0.001,1, 100) sns.lineplot(x=x_arr,y=–np.log(x_arr)) plt.title(‘Plot of -log(x)’) plt.xlabel(‘x’) plt.ylabel(‘-log(x)’);

Напишем функцию.

# добавим константу в логарифм для вычислительной устойчивости def cross_entropy(probs, y_enc, epsilon = 1e–9):   n = probs.shape[0]   ce = –np.sum(y_enc * np.log(probs + epsilon)) / n   return ce

Рассчитаем ошибку для нулевых весов.

ce = cross_entropy(probs, y_enc) ce

Для снижения ошибки нужно найти градиент.

Градиент

Приведем формулу градиента без дифференцирования.

$$ nabla_{theta}J = frac{1}{n} times X^T cdot (y_{ohe}-softmax)  $$

По сути, мы умножаем транспонированную матрицу признаков (3 x 178) на разницу между закодированной целевой переменной и вероятностями функции softmax (178 x 3).

def gradient_softmax(X, probs, y_enc):   # если не добавить функцию np.array(), будет выводиться датафрейм   return np.array(1 / probs.shape[0] * np.dot(X.T, (y_enc – probs)))

gradient_softmax(X, probs, y_enc)

array([[-0.00187266,  0.06554307, -0.06367041],        [ 0.31627721,  0.02059572, -0.33687293],        [ 0.38820566, -0.28801792, -0.10018774]])

Обучение модели, прогноз и оценка качества

Выполним обучение модели.

loss_history = [] # в цикле for i in range(30000):   # рассчитаем прогнозное значение с текущими весами   probs = stable_softmax(X, thetas)   # посчитаем уровень ошибки при текущем прогнозе   loss_history.append(cross_entropy(probs, y_enc, epsilon = 1e–9))   # рассчитаем градиент   grad = gradient_softmax(X, probs, y_enc)   # используем градиент для улучшения весов модели   thetas = thetas – 0.002 * grad

Посмотрим на получившиеся коэффициенты (напомню, что первая строка матрицы это сдвиг (intercept, $theta_0$)) и достигнутый уровень ошибки.

array([[ 0.11290134, -0.90399727,  0.79109593],        [-1.7550965 , -0.7857371 ,  2.5408336 ],        [-1.93839311,  1.77140542,  0.16698769]])

loss_history[0], loss_history[–1]

(1.0986122856681098, 0.2569641080523888)

Сделаем прогноз и оценим качество.

y_pred = np.argmax(stable_softmax(X, thetas), axis = 1)

accuracy_score(y, y_pred)

pd.DataFrame(confusion_matrix(y, y_pred),              columns = [‘Forecast 0’, ‘Forecast 1’, ‘Forecast 2’],              index = [‘Actual 0’, ‘Actual 1’, ‘Actual 2’])

Написание класса

Объединим созданные выше компоненты в класс.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52

class SoftmaxLogReg():   def __init__(self):     self.loss_ = None     self.thetas_ = None   def fit(self, x, y, iter = 30000, learning_rate = 0.002):     loss_history = []     self.add_ones(x)     y_enc = self.ohe(y)     thetas = np.zeros((x.shape[1], y_enc.shape[1]))     for i in range(iter):       probs = self.stable_softmax(x, thetas)       loss_history.append(self.cross_entropy(probs, y_enc, epsilon = 1e–9))       grad = self.gradient_softmax(x, probs, y_enc)       thetas = thetas – 0.002 * grad       self.thetas_ = thetas       self.loss_ = loss_history   def predict(self, x, y):     return np.argmax(self.stable_softmax(x, thetas), axis = 1)   def stable_softmax(self, x, thetas):     z = np.dot(–x, thetas)     z = z – np.max(z, axis = –1, keepdims = True)     numerator = np.exp(z)     denominator = np.sum(numerator, axis = –1, keepdims = True)     softmax = numerator / denominator     return softmax   def cross_entropy(self, probs, y_enc, epsilon = 1e–9):     n = probs.shape[0]     ce = –np.sum(y_enc * np.log(probs + epsilon)) / n     return ce   def gradient_softmax(self, x, probs, y_enc):     return np.array(1 / probs.shape[0] * np.dot(x.T, (y_enc – probs)))   def add_ones(self, x):     return x.insert(0,‘x0’, np.ones(x.shape[0]))   def ohe(self, y):     examples, features = y.shape[0], len(np.unique(y))     zeros_matrix = np.zeros((examples, features))     for i, (row, digit) in enumerate(zip(zeros_matrix, y)):       zeros_matrix[i][digit] = 1     return zeros_matrix

Обучим модель, сделаем прогноз и оценим качество.

X = df[[‘flavanoids’, ‘proline’]] y = df[‘target’] model = SoftmaxLogReg() model.fit(X, y) model.thetas_, model.loss_[–1]

(array([[ 0.11290134, -0.90399727,  0.79109593],         [-1.7550965 , -0.7857371 ,  2.5408336 ],         [-1.93839311,  1.77140542,  0.16698769]]), 0.2569641080523888)

y_pred = model.predict(X, y) accuracy_score(y, y_pred)

Сравнение с sklearn

Для того чтобы использовать softmax логистическую регрессию в sklearn, соответствующему классу нужно передать параметр multi_class = ‘multinomial’.

X = df[[‘flavanoids’, ‘proline’]] y = df[‘target’] # создадим объект класса LogisticRegression и запишем его в переменную model model = LogisticRegression(multi_class = ‘multinomial’) # обучим нашу модель model.fit(X, y) # посмотрим на получившиеся веса модели model.intercept_, model.coef_

(array([ 0.09046097,  1.12593099, -1.21639196]), array([[ 1.86357908,  1.89698292],         [ 0.86696131, -1.43973164],         [-2.73054039, -0.45725129]]))

y_pred = model.predict(X) accuracy_score(y, y_pred)

Подведем итог

Сегодня мы разобрали множество разновидностей и подходов к использованию логистической регрессии. Давайте систематизируем изученный материал с помощью следующей схемы.

Рассмотрим обучение нейронных сетей.