Как найти коэффициенты вектора в базисе

Онлайн калькулятор. Разложение вектора по базису.

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто разложить вектор по базисным векторам.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач и закрепить пройденый материал.

Калькулятор для разложения вектора по базисным векторам

Выберите размерность пространства

Количество координат в векторе:

Введите значение базисных векторов:

Введите значение вектора, который необходимо разложить по базису:

Инструкция использования калькулятора для разложение вектора по базисным векторам

• Для того чтобы разложить вектор по базисным векторам онлайн:
• выберите необходимую вам размерность пространства (количество координат в векторе);
• введите значения базисных векторов;
• введите значения вектора который нужно разложить по базису;
• Нажмите кнопку “Разложить вектор по базису” и вы получите детальное решение задачи.

Ввод данных в калькулятор для разложение вектора по базисным векторам

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора разложение вектора по базисным векторам

• Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши “влево” и “вправо” на клавиатуре.

Теория. Разложение вектора по базису

Чтобы разложить, вектор b по базисным векторам a₁ , . a_n , необходимо найти коэффициенты x ₁, . x_n , при которых линейная комбинация векторов a₁ , . a_n равна вектору b .

Коэффициенты x ₁, . x_n будут координатами вектора b в базисе a₁ , . a_n .

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Векторное пространство: размерность и базис, разложение вектора по базису

В статье о n -мерных векторах мы пришли к понятию линейного пространства, порождаемого множеством n -мерных векторов. Теперь нам предстоит рассмотреть не менее важные понятия, такие как размерность и базис векторного пространства. Они напрямую связаны с понятием линейно независимой системы векторов, так что дополнительно рекомендуется напомнить себе основы и этой темы.

Введем некоторые определения.

Размерность векторного пространства – число, соответствующее максимальному количеству линейно независимых векторов в этом пространстве.

Базис векторного пространства – совокупность линейно независимых векторов, упорядоченная и в своей численности равная размерности пространства.

Рассмотрим некое пространство n -векторов. Размерность его соответственно равна n . Возьмем систему из n -единичных векторов:

e ( 1 ) = ( 1 , 0 , . . . , 0 ) e ( 2 ) = ( 0 , 1 , . . . , 0 ) e ( n ) = ( 0 , 0 , . . . , 1 )

Используем эти векторы в качестве составляющих матрицы A : она будет являться единичной с размерностью n на n . Ранг этой матрицы равен n . Следовательно, векторная система e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) является линейно независимой. При этом к системе невозможно добавить ни одного вектора, не нарушив ее линейной независимости.

Так как число векторов в системе равно n , то размерность пространства n -мерных векторов равна n , а единичные векторы e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) являются базисом указанного пространства.

Из полученного определения сделаем вывод: любая система n -мерных векторов, в которой число векторов меньше n , не является базисом пространства.

Если мы поменяем местами первый и второй вектор, получим систему векторов e ( 2 ) , e ( 1 ) , . . . , e ( n ) . Она также будет являться базисом n -мерного векторного пространства. Составим матрицу, взяв за ее строки векторы полученной системы. Матрица может быть получена из единичной матрицы перестановкой местами первых двух строк, ранг ее будет равен n . Система e ( 2 ) , e ( 1 ) , . . . , e ( n ) линейно независима и является базисом n -мерного векторного пространства.

Переставив местами в исходной системе другие векторы, получим еще один базис.

Мы можем взять линейно независимую систему неединичных векторов, и она также будет представлять собой базис n -мерного векторного пространства.

Векторное пространство с размерностью n имеет столько базисов, сколько существует линейно независимых систем из n -мерных векторов числом n.

Плоскость является двумерным пространством – ее базисом будут два любых неколлинеарных вектора. Базисом трехмерного пространства послужат три любых некомпланарных вектора.

Рассмотрим применение данной теории на конкретных примерах.

Исходные данные: векторы

a = ( 3 , – 2 , 1 ) b = ( 2 , 1 , 2 ) c = ( 3 , – 1 , – 2 )

Необходимо определить, являются ли указанные векторы базисом трехмерного векторного пространства.

Решение

Для решения поставленной задачи исследуем заданную систему векторов на линейную зависимость. Составим матрицу, где строки – координаты векторов. Определим ранг матрицы.

A = 3 2 3 – 2 1 – 1 1 2 – 2 A = 3 – 2 1 2 1 2 3 – 1 – 2 = 3 · 1 · ( – 2 ) + ( – 2 ) · 2 · 3 + 1 · 2 · ( – 1 ) – 1 · 1 · 3 – ( – 2 ) · 2 · ( – 2 ) – 3 · 2 · ( – 1 ) = = – 25 ≠ 0 ⇒ R a n k ( A ) = 3

Следовательно, заданные условием задачи векторы линейно независимы, и их численность равна размерности векторного пространства – они являются базисом векторного пространства.

Ответ: указанные векторы являются базисом векторного пространства.

Исходные данные: векторы

a = ( 3 , – 2 , 1 ) b = ( 2 , 1 , 2 ) c = ( 3 , – 1 , – 2 ) d = ( 0 , 1 , 2 )

Необходимо определить, может ли указанная система векторов являться базисом трехмерного пространства.

Решение

Указанная в условии задачи система векторов является линейно зависимой, т.к. максимальное число линейно независимых векторов равно 3. Таким образом, указанная система векторов не может служить базисом трехмерного векторного пространства. Но стоит отметить, что подсистема исходной системы a = ( 3 , – 2 , 1 ) , b = ( 2 , 1 , 2 ) , c = ( 3 , – 1 , – 2 ) является базисом.

Ответ: указанная система векторов не является базисом.

Исходные данные: векторы

a = ( 1 , 2 , 3 , 3 ) b = ( 2 , 5 , 6 , 8 ) c = ( 1 , 3 , 2 , 4 ) d = ( 2 , 5 , 4 , 7 )

Могут ли они являться базисом четырехмерного пространства?

Решение

Cоставим матрицу, используя в качестве строк координаты заданных векторов

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

По методу Гаусса определим ранг матрицы:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 – 1 1 0 1 – 2 1

1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 – 1 – 1 0 0 – 2 – 1

1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 – 1 – 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k ( A ) = 4

Следовательно, система заданных векторов линейно независима и их численность равна размерности векторного пространства – они являются базисом четырехмерного векторного пространства.

Ответ: заданные векторы являются базисом четырехмерного пространства.

Исходные данные: векторы

a ( 1 ) = ( 1 , 2 , – 1 , – 2 ) a ( 2 ) = ( 0 , 2 , 1 , – 3 ) a ( 3 ) = ( 1 , 0 , 0 , 5 )

Составляют ли они базис пространства размерностью 4?

Решение

Исходная система векторов линейно независима, но численность векторов в ней недостаточна, чтобы стать базисом четырехмерного пространства.

Ответ: нет, не составляют.

Разложение вектора по базису

Примем, что произвольные векторы e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) являются базисом векторного n-мерного пространства. Добавим к ним некий n -мерный вектор x → : полученная система векторов станет линейно зависимой. Свойства линейной зависимости гласят, что хотя бы один из векторов такой системы может линейно выражаться через остальные. Переформулируя это утверждение, можно говорить о том, что хотя бы один из векторов линейно зависимой системы может раскладываться по остальным векторам.

Таким образом, мы пришли к формулировке важнейшей теоремы:

Любой вектор n -мерного векторного пространства единственным образом раскладывается по базису.

Докажем эту теорему:

зададим базис n -мерного векторного пространства – e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) . Сделаем систему линейно зависимой, добавив к ней n -мерный вектор x → . Этот вектор может быть линейно выражен через исходные векторы e :

x = x 1 · e ( 1 ) + x 2 · e ( 2 ) + . . . + x n · e ( n ) , где x 1 , x 2 , . . . , x n – некоторые числа.

Теперь докажем, что такое разложение является единственным. Предположим, что это не так и существует еще одно подобное разложение:

Отнимем от левой и правой частей этого равенства соответственно левую и правую части равенства x = x 1 · e ( 1 ) + x 2 · e ( 2 ) + . . . + x n · e ( n ) . Получим:

1 – x 1 ) · e ( 1 ) + ( x

2 – x 2 ) · e ( 2 ) + . . . ( x

Система базисных векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) линейно независима; по определению линейной независимости системы векторов равенство выше возможно только тогда, когда все коэффициенты ( x

2 – x 2 ) , . . . , ( x

n – x n ) будут равны нулю. Из чего справедливым будет: x 1 = x

n . И это доказывает единственный вариант разложения вектора по базису.

При этом коэффициенты x 1 , x 2 , . . . , x n называются координатами вектора x → в базисе e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) .

Доказанная теория делает понятным выражение «задан n -мерный вектор x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) »: рассматривается вектор x → n -мерного векторного пространства, и его координаты заданы в некотором базисе. При этом также понятно, что этот же вектор в другом базисе n -мерного пространства будет иметь другие координаты.

Рассмотрим следующий пример: допустим, что в некотором базисе n -мерного векторного пространства задана система из n линейно независимых векторов

e ( 1 ) = ( e 1 ( 1 ) , e 2 ( 1 ) , . . . , e n ( 1 ) ) e ( 2 ) = ( e 1 ( 2 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( 2 ) ) ⋮ e ( n ) = ( e 1 ( n ) , e 2 ( n ) , . . . , e n ( n ) )

а также задан вектор x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) .

Векторы e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) в этом случае также являются базисом этого векторного пространства.

Предположим, что необходимо определить координаты вектора x → в базисе e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) , обозначаемые как x

Вектор x → будет представлен следующим образом:

2 · e ( 2 ) + . . . + x

Запишем это выражение в координатной форме:

( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = x

1 · ( e ( 1 ) 1 , e ( 1 ) 2 , . . . , e ( 1 ) n ) + x

2 · ( e ( 2 ) 1 , e ( 2 ) 2 , . . . , e ( 2 ) n ) + . . . + + x

n · ( e ( n ) 1 , e ( n ) 2 , . . . , e ( n ) n ) = = ( x

2 e 1 ( 2 ) + . . . + x

2 e 2 ( 2 ) + + . . . + x

n e 2 ( n ) , . . . , x

2 e n ( 2 ) + . . . + x

Полученное равенство равносильно системе из n линейных алгебраических выражений с n неизвестными линейными переменными x

n e 2 n ⋮ x n = x

Матрица этой системы будет иметь следующий вид:

e 1 ( 1 ) e 1 ( 2 ) ⋯ e 1 ( n ) e 2 ( 1 ) e 2 ( 2 ) ⋯ e 2 ( n ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n ( 1 ) e n ( 2 ) ⋯ e n ( n )

Пусть это будет матрица A , и ее столбцы – векторы линейно независимой системы векторов e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) . Ранг матрицы – n , и ее определитель отличен от нуля. Это свидетельствует о том, что система уравнений имеет единственное решение, определяемое любым удобным способом: к примеру, методом Крамера или матричным методом. Таким образом мы сможем определить координаты x

n вектора x → в базисе e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) .

Применим рассмотренную теорию на конкретном примере.

Исходные данные: в базисе трехмерного пространства заданы векторы

e ( 1 ) = ( 1 , – 1 , 1 ) e ( 2 ) = ( 3 , 2 , – 5 ) e ( 3 ) = ( 2 , 1 , – 3 ) x = ( 6 , 2 , – 7 )

Необходимо подтвердить факт, что система векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) также служит базисом заданного пространства, а также определить координаты вектора х в заданном базисе.

Решение

Система векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) будет являться базисом трехмерного пространства, если она линейно независима. Выясним эту возможность, определив ранг матрицы A , строки которой – заданные векторы e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) .

Используем метод Гаусса:

A = 1 – 1 1 3 2 – 5 2 1 – 3

1 – 1 1 0 5 – 8 0 3 – 5

1 – 1 1 0 5 – 8 0 0 – 1 5

R a n k ( A ) = 3 . Таким образом, система векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) линейно независима и является базисом.

Пусть в базисе вектор x → имеет координаты x

3 . Связь этих координат определяется уравнением:

3 e 1 ( 3 ) x 2 = x

3 e 2 ( 3 ) x 3 = x

Применим значения согласно условиям задачи:

Решим систему уравнений методом Крамера:

∆ = 1 3 2 – 1 2 1 1 – 5 – 3 = – 1 ∆ x

1 = 6 3 2 2 2 1 – 7 – 5 – 3 = – 1 , x

1 ∆ = – 1 – 1 = 1 ∆ x

2 = 1 6 2 – 1 2 1 1 – 7 – 3 = – 1 , x

2 ∆ = – 1 – 1 = 1 ∆ x

3 = 1 3 6 – 1 2 2 1 – 5 – 7 = – 1 , x

Так, вектор x → в базисе e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) имеет координаты x

Ответ: x = ( 1 , 1 , 1 )

Связь между базисами

Предположим, что в некотором базисе n-мерного векторного пространства даны две линейно независимые системы векторов:

c ( 1 ) = ( c 1 ( 1 ) , c 2 ( 1 ) , . . . , c n ( 1 ) ) c ( 2 ) = ( c 1 ( 2 ) , c 2 ( 2 ) , . . . , c n ( 2 ) ) ⋮ c ( n ) = ( c 1 ( n ) , e 2 ( n ) , . . . , c n ( n ) )

e ( 1 ) = ( e 1 ( 1 ) , e 2 ( 1 ) , . . . , e n ( 1 ) ) e ( 2 ) = ( e 1 ( 2 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( 2 ) ) ⋮ e ( n ) = ( e 1 ( n ) , e 2 ( n ) , . . . , e n ( n ) )

Указанные системы являются также базисами заданного пространства.

n ( 1 ) – координаты вектора c ( 1 ) в базисе e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 ) , тогда связь координат будет задаваться системой линейных уравнений:

1 ( 1 ) e 1 ( 1 ) + c

2 ( 1 ) e 1 ( 2 ) + . . . + c

n ( 1 ) e 1 ( n ) с 2 ( 1 ) = c

1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) + c

2 ( 1 ) e 2 ( 2 ) + . . . + c

n ( 1 ) e 2 ( n ) ⋮ с n ( 1 ) = c

1 ( 1 ) e n ( 1 ) + c

2 ( 1 ) e n ( 2 ) + . . . + c

В виде матрицы систему можно отобразить так:

( c 1 ( 1 ) , c 2 ( 1 ) , . . . , c n ( 1 ) ) = ( c

n ( 1 ) ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) … e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) … e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) … e n ( n )

Сделаем по аналогии такую же запись для вектора c ( 2 ) :

( c 1 ( 2 ) , c 2 ( 2 ) , . . . , c n ( 2 ) ) = ( c

n ( 2 ) ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) … e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) … e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) … e n ( n )

И, далее действуя по тому же принципу, получаем:

( c 1 ( n ) , c 2 ( n ) , . . . , c n ( n ) ) = ( c

n ( n ) ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) … e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) … e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) … e n ( n )

Матричные равенства объединим в одно выражение:

c 1 ( 1 ) c 2 ( 1 ) ⋯ c n ( 1 ) c 1 ( 2 ) c 2 ( 2 ) ⋯ c n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 ( n ) c 2 ( n ) ⋯ c n ( n ) = c

n ( n ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) ⋯ e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) ⋯ e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) ⋯ e n ( n )

Оно и будет определять связь векторов двух различных базисов.

Используя тот же принцип, возможно выразить все векторы базиса e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 ) через базис c ( 1 ) , c ( 2 ) , . . . , c ( n ) :

e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) ⋯ e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) ⋯ e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) ⋯ e n ( n ) = e

n ( n ) · c 1 ( 1 ) c 2 ( 1 ) ⋯ c n ( 1 ) c 1 ( 2 ) c 2 ( 2 ) ⋯ c n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 ( n ) c 2 ( n ) ⋯ c n ( n )

Дадим следующие определения:

n ( n ) является матрицей перехода от базиса e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 )

к базису c ( 1 ) , c ( 2 ) , . . . , c ( n ) .

n ( n ) является матрицей перехода от базиса c ( 1 ) , c ( 2 ) , . . . , c ( n )

к базису e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 ) .

Как найти координаты вектора в базисе

Решение:
Записываем матрицу перехода А:

и находим ее определитель
<>0
Видим, что ранг матрицы С равен трем. Из теоремы о базисном миноре векторы f₁ , f₂ , f₃ линейно независимы, а поэтому могут быть приняты в качестве базиса пространства R 3 .
Находим обратную матрицу А -1 .
Транспонированная матрица:

Обратная матрица А -1

Находим координаты вектора х относительно нового базиса.

Пример №1 . Даны векторы a<1;2;1>, b<2;-2;1>, c <1;-2;0>и d <0;3;1>. Установить, что векторы a , b , c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.
Решение:
Соотношение, записанное для векторов d = αa + βb + γc, справедливо для каждой из проекций:
α*1 + β*2 + γ*1 = 0
α*2 – β*2 – γ*2 = 3
α*1 + β*1 + γ0 = 1 т.е. получена алгебраическая система трёх уравнений с тремя неизвестными. Решение системы удобнее вычислять методом Крамера или методом обратной матрицы:
α = 1/2; β = 1/2; γ = -3/2
следовательно, и вектор d имеет разложение в базисе a, b, c :
d = 1/2a + 1/2b – 3/2c

Пример №2 . Даны векторы . Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе:

Пример №3 . Даны два линейных преобразования:
х’₁ = a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃, х”₁ = b₁₁x’₁ + b₁₂x’₂ + b₁₃x’₃,
х’₂ = a21x1 + a22x2 + a23x3, х”₂ = b₂₁x’1 + b₂₂x’₂ + b₂₃x’₃,
х’₃ = a₃₁x₁ + a₃₂x₂ + a₃₃x₃, х”₃ = b₃₁x’₁ + b₃₂x’₂ + b₃₃x’₃,
Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее х”₁, x”₂, x”₃ через х₁, х₂, х₃.
х’₁ = 4x₁ + 3x₂ + 5x₃, х”₁ = – x’₁ + 3x’₂ – 2x’₃,
х’₂ = 6x₁ + 7x₂ + x₃, х”₂ = – 4x’₁ + x’₂ + 2x’₃,
х’₃ = 9x₁ + x₂ + 8x₃, х”₃ = 3x’₁ – 4x’₂ + 5x’₃,
Решение. Используя калькулятор, получаем:
Обозначим:

Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X = B.
Вычислим определитель матрицы А:
∆ = 4*(7*8 – 1*1) – 6*(3*8 – 1*5) + 9*(3*1 – 7*5) = -182
Определитель матрицы А равен detA=-182
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A -1 . Умножим слева обе части уравнения на A -1 : A -1 ·A·X = A -1 ·B, тогда получим E·X = A -1 ·B, или X = A -1 ·B.
Найдем обратную матрицу A -1 .

A -1 = -1/182

55 -19 -32 -39 -13 26 -57 23 10

Матрицу Х ищем по формуле:

X = A -1 ·B = -1/182

55 -19 -32 -39 -13 26 -57 23 10

*

=

75 /182 -1 46 /91 1 9 /13 -13 /14 1 2 /7 -1 5 /182 1 3 /91 -1 2 /13

Пример №4 . В декартовой прямой системе координат даны вершины пирамиды A(3,0,-1), B(-1,-2,-4), C(-1,2,4), D(7,-3,1). Найдите:
а) длину ребра AB;
б) косинус угла между векторами AB и AC ;
в) уравнение ребра AB;
г) уравнение грани ABC;
д) уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань ABC;
е) координаты векторов e ₁= AB , e ₂= AC , e ₃= AD и докажите, что они образуют линейную независимую систему;
ж) координаты вектора MN , где M и N – середины ребер AD и DC соответственно;
з) разложение вектора MN по базису ( e ₁, e ₂, e ₃)

Решение. Пункты (а-д) решаются через онлайн калькулятор.

Задание 1 . Разложить вектор d =(8;-5) по векторам a =(1;-2) и b =(2;3).
Решение. Векторы a и b образуют базис на плоскости, так как они не коллинеарны (, то есть соответствующие координаты этих векторов не пропорциональны).
Следовательно, вектор d = α a +β b , где α и β – коэффициенты, которые надо найти.
Таким образом, имеем равенство
8i-5j=α(i-2j)+β(2i+3j)=(α+2β)i+ (-2α+3β)j.
В координатной форме это равенство примет вид
Решим полученную систему уравнений.

[spoiler title=”источники:”]

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/vektory/vektornoe-prostranstvo/

http://math.semestr.ru/matrix/basis.php

[/spoiler]

Базисом пространства называют такую систему векторов в которой все остальные векторы пространства можно представить в виде линейной комбинации векторов, входящих в базис.
На практике это все реализуется достаточно просто. Базис, как правило, проверяют на плоскости или в пространстве, а для этого нужно найти определитель матрицы второго, третьего порядка составленный из координат векторов. Ниже схематически записаны условия, при которых векторы образуют базис

Чтобы разложить вектор b по базисным векторам
e[1],e[2]…,e[n] необходимо найти коэффициенты x[1], …, x[n] при которых линейная комбинация векторов e[1],e[2]…,e[n] равна вектору b:
x1*e[1]+ … + x[n]*e[n] = b.
Для этого векторное уравнение следует преобразовать к системе линейных уравнений и найти решения. Это также достаточно просто реализовать.
Найденные коэффициенты x[1], …, x[n] называются координатами вектора b в базисе e[1],e[2]…,e[n].
Перейдем к практической стороне темы.

Разложение вектора по векторам базиса

Задача 1. Проверьте, образуют ли векторы a1, a2 базис на плоскости

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Решение: Составляем определитель из координат векторов и вычисляем его

Определитель не равен нулю, следовательно векторы линейно независимы, а значит образуют базис.

2) a1 (2; -3), a2 (5;-1)
Решение: Вычисляем детерминант составленный из векторов

Определитель равен 13 (не равен нулю) – из этого следует что векторы a1, a2 является базисом на плоскости.

—=================—

Рассмотрим типичные примеры из программы МАУП по дисциплине “Высшая математика”.

Задача 2. Показать, что векторы a1, a2, a3 образуют базис трехмерного векторного пространства, и разложить вектор b по этому базису (при решении системы линейных алгебраических уравнений использовать метод Крамера).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
Решение: Сначала рассмотрим систему векторов a1, a2, a3 и проверим определитель матрицы А

построенной на векторах отличных от нуля. Матрица содержит один нулевой элемент, поэтому детерминант целесообразнее вычислять как расписание по первому столбцу или третей строчке.

В рекзультаье вычислений получили что определитель отличен от нуля, следовательно векторы a1, a2, a3 линейно независимы.
Согласно определению векторы образуют базис в R3. Запишем расписание вектора b по базису

Векторы равны, когда их соответствующие координаты равны.
Поэтому из векторного уравнения получим систему линейных уравнений

Решим СЛАУ методом Крамера . Для этого запишем систему уравнений в виде

Главный определитель СЛАУ всегда равен определителю составленному из векторов базиса

Поэтому на практике его не исчисляют дважды. Для нахождения вспомогательных определителей ставим столбец свободных членов на место каждого столбца главного определителя. Определители вычисляем по правилу треугольников



Подставим найденые определители в формулу Крамера



Итак, разложение вектора b по базису имеет вид b=-4a1+3a2-a3. Координатами вектора b в базисе a1, a2, a3 будут (-4,3,-1).

2) a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Решение: Проверяем векторы на базис – составляем определитель из координат векторов и вычисляем его

Определитель не равен нулю, следовательно векторы образуют базис в пространстве. Осталось найти расписание вектора b через данный базис. Для этого записываем векторное уравнение

и преобразуем к системе линейных уравнений

Записываем матричное уравнение

Далее для формул Крамера находим вспомогательные определители



Применяем формулы Крамера



Итак заданный вектора b имеет расписание через два вектора базиса b=-2a1+5a3, а его координаты в базисе равны b(-2,0, 5).

Задача 3. Доказать что векторы a1, a2, a3 образуют базис в пространстве

1) a1 (3;-2;1), a2 (2; -5; 4) , a3 (2; -3; -1)
Решение: Записываем координаты в определитель и применяем правило треугольников для определителя

Поскольку определитель (=35) не равен нулю то векторы образуют базис в пространстве.

2) a1 (1; 1;1), a2 (2; -3; 2) , a3 (3; 4; 1)
Решение: Вычисляем определитель составленный из векторов
Det=1*(-3)*1+1*2*3+1*2*4-(1*(-3)*3+1*2*1+1*2*4)=-3+6+8+9-2-8=10 .
Векторы a1, a2, a3 линейно независимы (Det=10), а значит образуют базис в пространстве.

Теперь Вы знаете как проверить, что векторы образуют базис и сможете без проблем разложить вектор по базису.

Посмотреть материалы:

• Длина вектора. Угол между векторами
• Разложение вектора по базису
• Смешанное произведение векторов
• Деление отрезка в заданном отношении
• Треугольная пирамида

Вектор в произвольном линейном пространстве — это некоторый элемент этого пространства.

Числа $λ, μ$ и $ν$ называются координатами рассматриваемого вектора относительно некоторого базиса $a, b$ и $c$.

В контексте плоскости базисом будет два независимых вектора, лежащих в этой плоскости, а не три, как в объёмном мире.

Любой вектор $d$ имеет лишь единственное разложение по базису векторов, то есть его координаты задаются однозначно через используемый базис.

Декартова система координат является примером аффиной системы координат, причём базисные вектора в ней принято обозначать не буквами $a, b$ и $c$, а $i, j$ и $k$, представляющими собой направленные ортогональные между собой отрезки, причём длина каждого равна единице.

Для декартовой системы координат формула разложения выглядит так:

$d = X cdot vec{i} + Y cdot vec{j} + Z cdot vec{k}$

Здесь $X, Y$ и $Z$ — координаты вектора, а $ i, j$ и $k$ — базис.

Через базис декартовой системы координат выражается скалярное произведение векторов, заданных в этом пространстве. Для этого их координаты записываются через специальную матрицу.

«Разложение вектора по базису векторов: формулировка с примерами решения» 👇

Векторы

называются линейно
зависимыми,
если существует такая линейная комбинация

,
при не равных нулю одновременно
,
т.е.

.
Если же только при

= 0 выполняется

,
то векторы называются линейно
независимыми.

Свойство
1.
Если среди векторов есть нулевой
вектор, то эти векторы линейно зависимы.

Свойство
2.
Если к системе линейно зависимых
векторов добавить один или несколько
векторов, то полученная система тоже
будет линейно зависима.

Свойство
3.
Система векторов линейно зависима
тогда и только тогда, когда один из
векторов раскладывается в линейную
комбинацию остальных векторов.

Свойство
4.
Любые 2 коллинеарных вектора линейно
зависимы и, наоборот, любые 2 линейно
зависимые векторы коллинеарны.

Свойство
5.
Любые 3 компланарных вектора линейно
зависимы и, наоборот, любые 3 линейно
зависимые векторы компланарны.

Свойство
6.
Любые 4 вектора линейно зависимы.

В
частном случае, когда векторы

, . . .,

– элементы нек-рого числового поля К,a
k
– подполе в К, возникает понятие линейной
независимости ч и с е л. Л. н. чисел над
полем рациональных чисел Q
можно рассматривать также, как обобщение
понятия иррациональности. Так, числа
a
и 1 линейно независимы тогда и только
тогда, когда a
иррационально.

Пусть
L, Р и S – прямая, плоскость и пространство
точек соответственно и

.
Тогда

– векторные пространства векторов как
направленных отрезков на прямой L, на
плоскости Р и в пространстве S
соответственно.

Определение.
Базисом
векторного пространства

называется любой ненулевой вектор
,
т.е. любой ненулевой вектор коллинеарный
прямой L:

и
.

Обозначение
базиса

:

–
базис
.

Определение.
Базисом векторного пространства

называется любая упорядоченная пара
неколлинеарных векторов пространства
.

,
где

,
–
базис

Определение.
Базисом
векторного пространства

называется любая упорядоченная тройка
некомпланарных векторов (т.е. не лежащих
в одной плоскости) пространства
.

–
базис

Замечание.
Базис векторного пространства не может
содержать нулевого вектора: в пространстве

по определению, в пространстве

два вектора будут коллинеарные, если
хотя бы один из них нулевой, в пространстве

три вектора будут компланарные, т.е
будут лежать в одной плоскости, если
хотя бы один из трех векторов будет
нулевой.

Разложение
вектора по базису.

Определение.
Пусть

 –
произвольный вектор,

 –
произвольная система
векторов. Если выполняется
равенство
       ,то
говорят, что вектор

 представлен
в виде линейной комбинации данной
системы
векторов. Если данная система
векторов

 является
базисом векторного
пространства, то равенство
называется разложением вектора

 по
базису

.
Коэффициенты линейной комбинации

 называются
в этом случае координатами вектора

 относительно
базиса

.

Теорема.
(О разложении вектора по базису.)

Любой
вектор векторного
пространства
можно разложить по его базису и притом
единственным способом.

 
 
Доказательство.
1) Пусть L произвольная прямая (или ось)
и

–
базис

.
Возьмем произвольный вектор

.
Так как оба вектора

 и

 коллинеарные
одной и той же прямой
L, то

.
Воспользуемся теоремой о коллинеарности
двух
векторов. Так как

,
то найдется (существует) такое число

,
что

 и
тем самым мы получили разложение вектора

 по
базису

 векторного
пространства

.

 
 Теперь докажем
единственность такого разложения.
Допустим противное. Пусть имеется два
разложения вектора

 по
базису

 векторного
пространства

:

 и

,
где

.
Тогда

 и
используя закон дистрибутивности,
получаем:

           
          
.

Так
как

,
то из последнего равенства следует,
что

,
ч.т.д.

2)
Пусть теперь Р произвольная плоскость
и

 –
базис

.
Пусть

 произвольный
вектор этой плоскости. Отложим все три
вектора от какой-нибудь одной точки
этой плоскости. Построим 4 прямых.
Проведем прямую

,
на которой лежит вектор

,
прямую

,
на которой лежит вектор

.
Через конец вектора

 проведем
прямую
параллельную вектору

 и
 прямую параллельную вектору

.
Эти 4 прямые
высекают параллелограмм. См. ниже рис.
3. По правилу параллелограмма

,
и

,

,

 –
базис

,

 –
базис

.Теперь,
по уже доказанному в первой
части
этого доказательства, существуют такие
числа

,
что 
 и

.
Отсюда получаем:

 и
возможность разложения по базису
доказана.  

Теперь докажем
единственность разложения по базису.
Допустим противное. Пусть имеется два
разложения вектора

 по
базису

 векторного
пространства

:

 и

.
Получаем равенство
,
откуда следует

.
Если

,
то

,
а т.к.

,
то

 и
коэффициенты разложения равны:

,

.
Пусть теперь

.
Тогда

,
где

.
По теореме о коллинеарности двух
векторов
отсюда следует, что

.
Получили противоречие условию теоремы.
Следовательно,

 и

,
ч.т.д.

3)
Пусть

–
базис

 и
пусть

 произвольный
вектор. Проведем следующие построения.

Отложим
все три базисных вектора

 и
вектор

 от
одной точки и построим 6 плоскостей:
плоскость, в которой лежат базисные
векторы

,
плоскость

 и
плоскость

;
далее через конец вектора

 проведем
три плоскости
параллельно только что построенным
трем плоскостям. Эти 6 плоскостей
высекают параллелепипед:

По
правилу сложения
векторов
получаем равенство:
.                                   

По
построению

.
Отсюда, по теореме о коллинеарности
двух
векторов, следует, что существует число

,
такое что

.
Аналогично,

 и

,
где

.
Теперь, подставляя эти равенства в,
получаем      

                         

 и
возможность разложения по базису
доказана.

Докажем единственность
такого разложения. Допустим противное.
Пусть имеется два разложения вектора

 по
базису

:

 
и

.
Тогда
.      

  
Заметим, что по
условию векторы 

 некомпланарные,
следовательно, они попарно неколлинеарные.

Возможны
два случая:

 или

.

а)
Пусть

,
тогда из равенства следует:   

.                       

Из
равенства следует, что вектор

 раскладывается
по базису

,
т.е. вектор

 лежит
в плоскости
векторов

 и,
следовательно, векторы

 компланарные,
что противоречит условию.

б)
Остается случай

,
т.е.

. 
Тогда из равенства получаем

 или

.  Так
как

–
базис
пространства
векторов
лежащих в плоскости, а мы уже доказали
единственность разложения по базису
векторов
плоскости, то из равенства (5) следует,
что

 и

,
ч.т.д.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

В данной публикации мы рассмотрим, каким образом можно разложить вектор по двум базисным векторам, а также разберем пример решения задачи по этой теме.

Принцип разложения вектора

Для того, чтобы разложить вектор b по базисным векторам a₁, …, a_n, требуется определить такие коэффициенты x₁, …, x_n, при которых линейная комбинация векторов a₁, …, a_n равняется вектору b, то есть:

x₁a₁ + … + x_na_n = b

где x₁, …, x_n – координаты вектора b в базисе a₁, …, a_n

Пример задачи

Разложим вектор b = {16; 1} по двум базисным векторам m = {2; 1} и n = {1; -3}.

Решение:

1. Векторное уравнение выглядит так:

xm + yn = b

2. Представим его в виде системы линейных уравнений:

3. Теперь нужно решить систему. Из второго уравнения получаем:
x = 1 + 3y.

Подставляем полученное выражение в первое уравнение:
2 · (1 + 3y) + y = 16
2 + 6y + y = 16
7y = 14
y = 2

Следовательно, x = 1 + 3y = 1 + 2 · 2 = 7.

Ответ: b = 7m + 2n.