sanan valiyeff
Ученик
(94),
на голосовании
6 лет назад
как узнать сколько двухзначных натуральных числа делится на 3
Голосование за лучший ответ
Ярослав С
Гуру
(3394)
6 лет назад
Минимальное число делящееся на 3 -12, его и примем 1 членом алгебраической прогрессии
a(n)=a1+d(n-1)
Последнее число -99 .Его примем как a(n)
подставим d=3 – разность членов алгебраической прогрессии
Получим 99=12+3(n-1) 99=12+3n-3 3n=99-12+3 3n=90 n=30
Ответ: 30 чисел
Жансултан Базарбаев
Ученик
(153)
6 лет назад
Через арифметическую прогрессию:
а1=12 (Первое двузначное число, которая делится на 3)
а (n)=99 (Последнее двузначное число, которая делится на 3)
d=3
a(n)=a1+(n-1)d
Отсюда найди n
P.s. n в скобках после “а” это индекс.
Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Предлагаю Вам решить задачу, условие которой на первый взгляд кажется достаточно сложным, но на самом деле решается она просто. Всего лишь необходимо подумать. Итак, поехали!
Итак, подсчёт в любом случае необходим начинать вручную, чтобы понять закономерности:
Из рисунка видно, что каждое второе число делится на 2, каждое третье на 3. Значит, мы можем легко подсчитать такие числа, округлив деление снизу:
Однако, правило суммы (я рассказывал о нём в прошлой статье) здесь не работает, т.к. множества чисел, которые делятся на 2 или на 3 пересекаются, а именно тогда, когда кто-то из них делится на 6. Лучше понять дальнейший ход решений помогут круговые диаграммы:
Действительно, чтобы посчитать сколько чисел до 1000 делятся на 2 или на 3, необходимо из их суммы вычесть пересечение этих классов. Тогда легко получаем ответ – 667. Это, с другой стороны, говорит о том, что чисел, которые не делятся на 2 или на 3, всего 1000-667 = 333. А что, если мы хотим знать все числа, которые делятся на 2 или 3 или на 7? Как будут выглядеть рассуждения в таком случае, я расскажу в следующем материале. Спасибо за внимание!
- TELEGRAM и Facebook – там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.
Приступим к рассмотрению темы «Признак делимости на 3». Начнем с формулировки признака, приведем доказательство теоремы. Затем рассмотрим основные подходы к установлению делимости на 3 чисел, значение которых задано некоторым выражением. В разделе приведен разбор решения основных типов задач, основанных на применении признака делимости на 3.
Признак делимости на 3, примеры
Формулируется признак делимости на 3 просто: целое число будет делиться на 3 без остатка, если сумма входящих в его состав цифр делится на 3. Если суммарное значение всех цифр, которые входят в состав целого числа, на 3 не делится, то и само исходное число на 3 не делится. Получить сумму всех входящих в целое число цифр можно с помощью сложения натуральных чисел.
Теперь рассмотрим примеры применения признака делимости на 3.
Делится ли на 3 число -42?
Решение
Для того, чтобы ответить на этот вопрос, сложим все цифры, входящие в состав числа -42: 4+2=6.
Ответ: согласно признаку делимости, раз сумма цифр, входящих с восстав исходного числа, делится на три, то и само исходное число делится на 3.
Для того, чтобы ответить на вопрос о том, делится ли на 3 число 0, нам понадобится свойство делимости, согласно которому нуль делится на любое целое число. Получается, что нуль делится на три.
Существуют задачи, для решения которых прибегать в признаку делимости на 3 необходимо несколько раз.
Покажите, что число 907 444 812 делится на 3.
Решение
Найдем сумму всех цифр, которые образуют запись исходного числа: 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39. Теперь нам нужно определить, делится ли на 3 число 39. Еще раз складываем цифры, входящие в состав этого числа: 3+9=12. Нам осталось провести сложение цифр еще раз для того, чтобы получить окончательный ответ: 1+2=3. Число 3 делится на 3
Ответ: исходное число 907 444 812 также делится на 3.
Делится ли на 3 число −543 205?
Решение
Посчитаем сумму цифр, входящих в состав исходного числа: 5+4+3+2+0+5=19. Теперь посчитаем сумму цифр полученного числа: 1+9=10. Для того, чтобы получить окончательный ответ, найдем результат еще одного сложения: 1+0=1.
Ответ: единица на 3 не делится, значит и исходное число на 3 не делится.
Для того, чтобы определить, делится ли данное число на 3 без остатка, мы можем провести деление данного числа на 3. Если разделить число −543 205 из рассмотренного выше примера столбиком на три, то в ответе мы не получим целого числа. Это точно также значит, что −543 205 на 3 без остатка не делится.
Доказательство признака делимости на 3
Здесь нам понадобятся следующие навыки: разложение числа по разрядам и правило умножения на 10, 100 и т.д. Для того, чтобы провести доказательство, нам необходимо получить представление числа a вида a=an·10n+an-1·10n-1+…+a2·102+a1·10+a0, где an, an−1, …, a0 – это цифры, которые располагаются слева направо в записи числа.
Приведем пример с использованием конкретного числа: 528=500+20+8=5·100+2·10+8.
Запишем ряд равенств: 10=9+1=3·3+1, 100=99+1=33·3+1, 1 000=999+1=333·3+1 и проч.
А теперь подставим эти равенства вместо 10, 100 и 1000 в равенства, приведенные ранее a=an·10n+an-1·10n-1+…+a2·102+a1·10+a0.
Так мы пришли к равенству:
a=an·10n+…+a2·100+a1·10+a0==an·33….3·3+1+…+a2·33·3+1+a1·3·3+1+a0
А теперь применим свойства сложения и свойства умножения натуральных чисел для того, чтобы переписать полученное равенство следующим образом:
a=an·33…3·3+1+…++a2·33·3+1+a1·3·3+1+a0==3·33…3·an+an+…++3·33·a2+a2+3·3·a1+a1+a0==3·33…3·an+…++3·33·a2+3·3·a1++an+…+a2+a1+a0==3·33…3·an+…+33·a2+3·a1++an+…+a2+a1+a0
Выражение an+…+a2+a1+a0 – это сумма цифр исходного числа a. Введем для нее новое краткое обозначение А. Получаем: A=an+…+a2+a1+a0.
В этом случае представление числа a=3·33…3·an+…+33·a2+3·a1+A принимает такой вид, который нам будет удобно использовать для доказательства признака делимости на 3.
Теперь вспомним следующие свойства делимости:
- необходимым и достаточным условием для того, чтобы целое число a делилось на целое число
b, является условие, по которому модуль числа a делится на модуль числа b; - если в равенстве a=s+t все члены, кроме какого-то одного, делятся на некоторое целое число b, то и этот один член делится на b.
Мы заложили основу для того, чтобы провести доказательство признака делимости на 3. Теперь же сформулируем этот признак в виде теоремы и докажем ее.
Для того, чтобы утверждать, что целое число a делится на 3, нам необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр, которая образует запись числа a, делилась на 3.
Если взять значение a=0, то теорема очевидна.
Если ы возьмем число a, отличное от нуля, то модуль числа a будет натуральным числом. Это позволяет нам записать следующее равенство:
a=3·33…3·an+…+33·a2+3·a1+A , где A=an+…+a2+a1+a0 – сумма цифр числа a.
Так как сумма и произведение целых чисел есть целое число, то
33…3·an+…+33·a2+3·a1 – целое число, тогда по определению делимости произведение 3·33…3·an+…+33·a2+3·a1 делится на 3 при любых a0, a1, …, an.
Если сумма цифр числа a делится на 3, то есть, A делится на 3, то в силу свойства делимости, указанного перед теоремой, a делится на 3, следовательно, a делится на 3. Так доказана достаточность.
Если a делится на 3, то и a делится на 3, тогда в силу того же свойства делимости число
A делится на 3, то есть, сумма цифр числа a делится на 3. Так доказана необходимость.
Другие случаи делимости на 3
Целые числа могут быть заданы как значение некоторого выражения, которое содержит переменную, при определенном значении этой переменной. Так, при некотором натуральном n значение выражения 4n+3n-1 является натуральным числом. В этом случае непосредственное деление на 3 не может дать нам ответ на вопрос, делится ли число на 3. Применение признака делимости на 3 также может быть затруднено. Рассмотрим примеры таких задач и разберем методы их решения.
Для решения таких задач может быть применено несколько подходов. Суть одного из них заключается в следующем:
- представляем исходное выражение как произведение нескольких множителей;
- выясняем, может ли хотя бы один из множителей делиться на 3;
- на основе свойства делимости делаем вывод о том, что все произведение делится на 3.
В ходе решения часто приходится прибегать к использованию формулы бинома Ньютона.
Делится ли значение выражения 4n+3n-1 на 3 при любом натуральном n?
Решение
Запишем равенство 4n+3n-4=(3+1)n+3n-4. Применим формулу бинома Ньютона бинома Ньютона:
4n+3n-4=(3+1)n+3n-4==(Cn0·3n+Cn1·3n-1·1+…++Cnn-2·32·1n-2+Cnn-1·3·1n-1+Cnn·1n)++3n-4==3n+Cn1·3n-1·1+…+Cnn-2·32+n·3+1++3n-4==3n+Cn1·3n-1·1+…+Cnn-2·32+6n-3
Теперь вынесем 3 за скобки:3·3n-1+Cn1·3n-2+…+Cnn-2·3+2n-1. Полученное произведение содержит множитель 3, а значение выражения в скобках при натуральных n представляет собой натуральное число. Это позволяет нам утверждать, что полученное произведение и исходное выражение 4n+3n-1 делится на 3.
Ответ: Да.
Также мы можем применить метод математической индукции.
Докажите с использованием метода математической индукции, что при любом натуральном
n значение выраженияn·n2+5 делится на 3.
Решение
Найдем значение выражения n·n2+5 при n=1: 1·12+5=6. 6 делится на 3.
Теперь предположим, что значение выражения n·n2+5 при n=k делится на 3. Фактически, нам придется работать с выражением k·k2+5 , которое, как мы ожидаем, будет делиться на 3.
Учитывая, что k·k2+5 делится на 3, покажем, что значение выражения n·n2+5 при n=k+1 делится на 3, то есть, покажем, что k+1·k+12+5 делится на 3.
Выполним преобразования:
k+1·k+12+5==(k+1)·(k2+2k+6)==k·(k2+2k+6)+k2+2k+6==k·(k2+5+2k+1)+k2+2k+6==k·(k2+5)+k·2k+1+k2+2k+6==k·(k2+5)+3k2+3k+6==k·(k2+5)+3·k2+k+2
Выражение k·(k2+5) делится на 3 и выражение 3·k2+k+2 делится на 3, поэтому их сумма делится на 3.
Так мы доказали, что значение выражения n·(n2+5) делится на 3 при любом натуральном n.
Теперь разберем подход к доказательству делимости на 3, которых основан на следующем алгоритме действий:
- показываем, что значение данного выражения с переменной n при n=3·m, n=3·m+1 и n=3·m+2, где m – произвольное целое число, делится на 3;
- делаем вывод о том, что выражение будет делиться на 3 при любом целом n.
Для того, чтобы не отвлекать внимание от второстепенных деталей, применим данный алгоритм к решению предыдущего примера.
Покажите, что n·(n2+5) делится на 3 при любом натуральном n.
Решение
Предположим, что n=3·m. Тогда: n·n2+5=3m·3m2+5=3m·9m2+5 . Произведение, которое мы получили, содержит множитель 3, следовательно само произведение делится на 3.
Предположим, что n=3·m+1. Тогда:
n·n2+5=3m·3m2+5=(3m+1)·9m2+6m+6==3m+1·3·(2m2+2m+2)
Произведение, которое мы получили, делится на 3.
Предположим, что n=3·m+2. Тогда:
n·n2+5=3m+1·3m+22+5=3m+2·9m2+12m+9==3m+2·3·3m2+4m+3
Это произведение также делится на 3.
Ответ: Так мы доказали, что выражение n·n2+5 делится на 3 при любом натуральном n.
Делится ли на 3 значение выражения 103n+102n+1 при некотором натуральном n.
Решение
Предположим что n=1. Получаем:
103n+102n+1=103+102+1=1000+100+1=1104
Если посчитать сумму цифр полученного числа, то получим 3. Это позволяет нам утверждать, что полученное число делится на 3.
Предположим, что n=2. Получаем:
103n+102n+1=106+104+1=1000 000+10000+1=1010001
Если посчитать сумму цифр этого числа, то мы снова получаем три. Это позволяет нам утверждать, что полученное число делится на 3.
Так мы можем сделать вывод, что при любом натуральном n мы будем получать числа, которые делятся на 3. Это значит, что 103n+102n+1 при любом натуральном n делится на 3.
Ответ: Да
Какие числа делятся на 3?
На число 3 без остатка (нацело) делятся следующие числа: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36 и многие другие.
Какие четные числа делятся на 3?
На число 3 делятся следующие четные числа: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72 и многие други.
Какие нечетные числа делятся на 3?
На число 3 делятся следующие нечетные числа: 3, 9, 15, 21, 27, 33, 39, 45, 51, 57, 63, 69 и многие другие.
На какое наибольшее число делится число 3 без остатка?
Наибольшее число на которое делится число 3 есть само число 3. т.е делиться на само себя без остатка.
На какое наибольшее число делится число 3 без остатка, не считая числа 3 и 1?
Такого числа не существует.
Какое наименьшее натуральное число делится на 3?
Наименьшее натуральное число которое делиться на число 3 является само число 3.
На какое наименьшее натуральное число делится число 3?
Наименьшее натуральное число на которое можно разделить число 3 – это число 1.
Делители числа 3.
(что бы не забыть запишите все делители числа 3 в блокнот.)На какие целые и(или) натуральные числа делится число 3?
Число 3 делится на следующие целые, натуральные числа (все делители числа 3): 1, 3
На какие четные числа делится число 3?
Таких чисел нет.
На какие нечетные числа делится число 3?
Число 3 делится на следующие нечетные числа (нечетные делители числа): 1, 3
Сколько делителей имеет число 3?
Число 3 имеет 2 делителя
Сколько четных делителей имеет число 3?
Число 3 имеет 0 четных делителей
Сколько нечетных делителей имеет число 3?
Число 3 имеет 2 нечетных делителя
Какие двухзначные числа делятся на 3?
На число 3 делятся следующие двухзначные числа: 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45 и другие.
Какое наименьшее двухзначное число делится на 3?
Наименьшее двухзначное число которое можно разделить на число 3 есть число 12
Какое наибольшее двухзначное число делиться на 3?
Наибольшее двухзначное число которое можно разделить на число 3 есть число 99
Сколько двухзначных чисел делятся на 3?
Таких чисел – 30.
Какие трехзначные числа делятся на 3?
На число 3 делятся следующие трехзначные числа: 102, 105, 108, 111, 114, 117, 120, 123, 126, 129, 132, 135 и другие.
Какое наименьшее трехзначное число делится на 3?
Наименьшее трехзначное число которое можно разделить на число 3 есть число 102
Какое наибольшее трехзначное число делиться на 3?
Наибольшее трехзначное число которое можно разделить на число 3 есть число 999
Сколько трехзначных чисел делятся на 3?
Таких чисел – 300.
Какие четырехзначные числа делятся на 3?
На число 3 делятся следующие четырехзначные числа: 1002, 1005, 1008, 1011, 1014, 1017, 1020, 1023, 1026, 1029, 1032, 1035 и другие.
Какое наименьшее четырехзначное число делится на 3?
Наименьшее четырехзначное число которое можно разделить на число 3 есть число 1002
Какое наибольшее четырехзначное число делиться на 3?
Наибольшее четырехзначное число которое можно разделить на число 3 есть число 9999
Сколько четырехзначных чисел делятся на 3?
Таких чисел – 3000.
Число 3 прописью, словами.
– три
(что бы не забыть запишите число 3 прописью в блокнот.)
Числа кратные 3.
– кратные числа, числу 3 : 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36 и многие другие.
Простые множители числа 3.
У числа 3 нет простых множителей кроме 1.
Сумма цифр числа 3.
Сумма цифр числа 3 равна 3
Произведение цифр числа 3.
Произведение цифр числа 3 равна 3
Квадрат числа 3.
Квадрат числа 3 равен 9
Куб числа 3.
Куб числа 3 равен 27
Квадратный корень числа 3.
Квадратный корень числа 3 равен 1.7320.
Число 3 в двоичной системе счисления.
Запись числа 3 в двоичной системе счисления выглядит так: 11
Количество значащих нулей в двоичной записи числа 3 = 0
Количество едениц в двоичной записи числа 3 = 2
(что бы не забыть запишите число 3 в двоичной системе счисления в блокнот.)Число 3 в шестнадцатеричной системе счисления.
Запись числа 3 в шестнадцатеричной системе счисления выглядит так: 3
(что бы не забыть запишите число 3 в шестнадцатеричной системе счисления в блокнот.)Число 3 в восьмеричной системе счисления.
Запись числа 3 в восьмеричной системе счисления выглядит так: 3
(что бы не забыть запишите число 3 в восьмеричной системе счисления в блокнот.)Число 3 является простым!
Корни числа 3.
Корень 3 степени из 3.
Корень 3 (третьей) степени из 3 равен 1.4422495703074
Корень 4 степени из 3.
Корень 4 (четвертой) степени из 3 равен 1.3160740129525
Корень 5 степени из 3.
Корень 5 (пятой) степени из 3 равен 1.2457309396155
Корень 6 степени из 3.
Корень 6 (шестой) степени из 3 равен 1.200936955176
Корень 7 степени из 3.
Корень 7 (седьмой) степени из 3 равен 1.1699308127587
Корень 8 степени из 3.
Корень 8 (восьмой) степени из 3 равен 1.1472026904399
Корень 9 степени из 3.
Корень 9 (девятой) степени из 3 равен 1.1298309639098
Корень 10 степени из 3.
Корень 10 (десятой) степени из 3 равен 1.1161231740339
Корень 11 степени из 3.
Корень 11 (одиннадцатой) степени из 3 равен 1.1050315033965
Корень 12 степени из 3.
Корень 12 (двенадцатой) степени из 3 равен 1.0958726911352
Корень 13 степени из 3.
Корень 13 (тринадцатой) степени из 3 равен 1.0881822434633
Корень 14 степени из 3.
Корень 14 (четырнадцатой) степени из 3 равен 1.0816334003528
Корень 15 степени из 3.
Корень 15 (пятнадцатой) степени из 3 равен 1.0759896247253
|
Сколько существует делящихся на 3 трёхзначных чисел, у каждого из которых все цифры различны?
На фоне уныния, навеянного прочтением двух ответов, написанных мною ранее, я решил написать третий ответ. Пришёл к ответу, почти идентичному ответу от ОлегТ. 🙂 Промежуточные шаги и числа были чуть другими, но, в целом, всё то же самое, хотя и не списывал. Цифры из отрезка [0; 9] разбиваются на три класса вычетов: {0, 3, 6, 9}, {1, 4, 7}, {2, 5, 8}, цифры из которых дают при делении на 3 остатки 0, 1 и 3, соответственно. Очевидно, выбрать число с [упорядоченными] цифрами из всех наборов можно 4*3*3 = 36 способами (четырьмя способами из первого, тремя из второго, и т.д.). Сумма остатков в этом случае будет равна 0+1+2=3 и, т.о., все такие числа будут делиться на 3. Два последних набора можно использовать сами по себе как два трёхзначных числа. Суммы остатков в обоих случаях (1+1+1=3 и 2+2+2=6) будут делиться на 3. Аналогично, можно выбрать несколько трёхзначных чисел с суммами остатков 0+0+0, беря цифры и второго набора. Количество способов равно количеству сочетаний из 4 по 3, т.е., 4!/(3!*(4-3)!) = 3!*4/(3!*1!) = 4. Складывая выделенные полужирным количества трёхзначных чисел получаем 36+2+4 = 42 числа. Цифры в этих числах упорядочены и для каждого числа возможно 3! перестановок цифр, т.е., в общем, генерируется 42*3! = 42*6 = 252 трёхзначных числа из диапазона [0; 1000[, т.е. с нулём на первой позиции. Чтобы оценить количество таких лишних чисел, начинающихся с цифры 0, возьмём ноль из первого класса вычетов и посмотрим сколькими способами можно выбрать оставшиеся две цифры числа. Из первого класса можно выбрать две ненулевые цифры несколькими способами, количество которых будет равно количеству сочетаний из 3 по 2, т.е. 3!/(2!*(3-2)!) = 3. Легко видет, что с признаком делимости на 3 здесь тоже всё хорошо — все цифры делятся на 3. Ещё можно выбрать две цифры из второго и третьего классов вычетов и их остатки в сумме 1+2 будут тоже делиться на 3. Из одного класса можно выбрать цифру 3 способами, и из другого — тоже тремя. В общем, таким пар можно выбрать 3*3 = 9 штук. Суммируем это количество с ранее полученным количеством пар цифр, делящихся на 3, получаем сумму 9+3 = 12. Но эти пары опять упорядочены и для каждой существует 2! перестановки. Умножение даёт 12*2! = 12*2 = 24 трёхзначных числа начинающихся на 0. Настоящих же трёхзначных чисел тогда будет 252-24 = 228 штук. Похоже, что это — “стандартная” схема решения таких задачек. Поэтому, многие приходят к такому варианту, а без использования комбинаторных примитивов вроде сочетаний и перестановок получается слишком многословно. В общем, ответ от “ОлегТ” перепроверен и, я думаю, должен быть выбран лучшим, хотя многие авторы тут неплохо постарались (но не за всех могу проголосовать — по техническим причинам 🙂 ). Ну и ответ от автора вопросы тоже был бы кстати. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
ОлегТ более года назад Буду решать методами комбинаторики. Итак знаем что число делится на 3, если сумма цифр делится на 3. Итак сумма трех чисел (x+y+z) делится на 3, тогда когда сумма остатков этих чисел от деления на 3, делится на 3. При делении на 3 существует три остатка 0; 1; 2 Среди цифр 0; 3; 6; 9 – имеют остаток 0; 4 цифры 1; 4; 7 – имеют остаток 1; 3 цифры 2; 5; 8 – имеют остаток 2; 3 цифры Таким образом есть следующие варианты (буду записывать возможные остатки у чисел, чтоб возможно было деление на 3): 1) Все остатки 0: {0; 0; 0}, перестановка из 4 цифр: = 4!= 4•3•2•1 = 24 варианта. Но на первом месте цифра 0 стоять не может, поэтому вычитаем 6 вариантов. Остается 18 вариантов. 2) Все остатки 1: {1; 1; 1}, перестановка из 3 цифр: = 3!= 3•2•1 = 6 вариантов. 3) Все остатки 2: {2; 2; 2}, перестановка из 3 цифр: = 3!= 3•2•1 = 6 вариантов. 4) Все остатки разные. Среди 3-х остатков возможны 3! = 6 вариантов перестановок остатков по местам. И для каждого варианта имеем 4•3•3 = 36 вариантов перестановок чисел. Итого 6•36 = 216 вариантов. Но здесь учтены все и те которые начинаются с цифры 0. Подсчитаем количество начинающиеся с цифры 0: имеем 2 перестановки для остатков и в каждой 3•3 = 9 вариантов. Итого 2•9 = 18 начинаются с цифры 0. Отнимем от 216 и получим: 216-18 = 198 вариантов Всего получается: 18 + 6 + 6 + 198 = 228 вариантов Ответ: 228 вариантов
Ироха Премудрая на БВ более года назад Меня заинтересовала эта задача, потому что у всех трёх отвечающих разные ответы. У двух почти одинаковые на 3 разница, а у одного явно где-то ошибка. Не может быть 648. Даже в 1000 от нуля будет 333. Попробую подсчитать своим методом. Всего чисел от 100 до 999. 1000 – 100 = 900. Или 9 сотен. Всего 300 чисел, которые делятся на 3. 100) 111, 114, 117, 141, 144, 171, 177; 7 дублей. 200) 222, 225, 228, 252, 255, 282, 292; 7 дублей. 300) 300, 303, 330, 333, 336, 339, 363, 366, 393, 399; 10 дублей. 400) 411, 414, 441, 444, 447, 474, 477; 7 дублей. 500) 522, 525, 528, 552, 555, 558, 585, 588; 8 дублей. 600) 600, 606, 633, 636, 660, 663, 666, 669, 696, 699; 10 дублей. 700) 711, 717, 744, 747, 771, 774, 777; 7 дублей. 800) 822, 828, 855, 858, 882, 885, 888; 7 дублей. 900) 900, 903, 906, 909, 933, 936, 939, 966, 969, 990, 993, 996, 999; 13 дублей. Всего: 7 + 7 + 10 + 7 + 8 + 10 + 7 + 7 + 13 = 76 дублей. 300 – 76 = 224. Резюме: 224 существует делящихся на 3 трёхзначных чисел, у каждого из которых все цифры различны.
Circiter более года назад Так, второй блин попробую испечь; слона (делимость на 3) то я и не приметил. 🙂 Как я уже писал, первую цифру можно выбрать 9 способами, 0 запрещён. Вторую — тоже 9 способами, но на этот раз запрещён не 0, а первая “потраченная” цифра. Всего 9*9 = 81 способ выбрать первые 2 цифры. Обозначим множество образуемых ими двузначных чисел через M. Проблема возникает только при выборе третьей цифры. Понятно, что можно и нужно воспользоваться признаком делимости на 3 — число делится на 3 если сумма цифр делится на 3. Наблюдения (без доказательств):
1) Если первые две выбранные цифры дают двузначное число, делящееся на 3, то чтобы соблюсти признак делимости на 3 для всего трёхзначного числа, третья цифра должна тоже делиться на 3. Всего таких цифр 4 (см. наблюдение 1), но наблюдение 3 говорит, что в 9 случаях обе первые цифры делятся на 3 и из списка доступных их придётся вычеркнуть — для третьей цифры остаётся только 4-2=2 допустимые значения. Умножаем 9 случаев на 2 значения и получаем часть ответа — величину A=9*8=18 трёхзначных чисел. Далее будут введены ещё несколько подобных величин, а потом они будут просто просуммированны. 2) Если всего кратных трём чисел из M существует 27 штук и цифры девяти из них делятся на 3, то у остальных 27-9=18 чисел хотя бы одна цифра на 3 не делится. Более того, наблюдение 4 говорит, что у этих 18 чисел сразу обе цифры не делятся на 3, а значит позволяют выбрать в качестве третьей цифры вообще любую цифру, делящуюся на 3. А их целых 4 (наблюдение 1). Умножая 18 на 4 получаем величину B=18*4=72. 3) Пока мы рассмотрели только набор из 27 чисел, входящих в M и делящихся на 3. Но есть ещё 2 набора по 27 чисел. Они симметричны и должны порождать одинаковые количества трёхзначных чисел. Поэтому, без нарушения общности, можно рассмотреть только набор из 27 чисел, дающих в остатке 1 при делении на 3. В этом случае, в качестве третьей цифры надо выбрать цифру, дающую остаток, дополняющий первый до 3, т.е. вторая цифра должны при делении на 3 давать в остатке 2. Согласно наблюдению 5, есть только 6 двузначных чисел из M таких, что они не делятся на 3, их цифры при делении на 3 дают одинаковые остатки, причём эти остатки не равны остатку от деления самого двузначного числа на 3. Т.к. мы решили сосредоточиться только на одном конкретном случае, можно считать, что только 6 двузначных чисел из M не делятся на 3, из цифры дают одни и те же остатки, и равны эти остатки 2. Вспомним, что и третья цифра должна давать остаток 2. А по наблюдению 1, всего вариантов только 3. Т.е. два варианта уже израсходованы и остаётся один вариант выбора третьей цифры для каждого из 6 двузначных чисел. Умножаем 6 на 1 и определяем очередную величину С=6*1=6. 4) В выбранном наборе из 27 чисел остаётся 27-6=21 число с противоположными свойствами — если у тех 6 чисел цифры при делении на 3 давали одинаковые остатки, то у рассматриваемых сейчас чисел (21 штука) цифры будут давать разные остатки. По наблюдению 6, в таких числах одна цифра будет делиться на 3, а другая будет делиться, но с остатком 1 (напоминаю, что сейчас рассматриваются только такие двузначные числа из M). Т.е. ни одна из цифр не будет давать остаток 2 и не будет мешать полностью свободному выбору значения третьей цифры из всех возможных трёх значений (см. наблюдение 1). Получается, что для каждого из рассматриваемых сейчас 21 числа существует 3 варианта выбора третьей цифры, а умножение даёт ещё один кусок ответа — величину D=21*3=63. Итак, выше были получены 4 величины A=18, B=72, C=6, D=63. В начале пункта 3 (см. выше) было оговорено, что из соображений симметрии будет рассматриваться только подмножество множества M, содержащее двузначные числа, дающие остаток 1 при делении на 3. Для остатка 2 полученные значения C=6 и D=63 останутся верными, и, таким образом, в итоговую сумму будут входить дважны. Т.е., общее искомое количество трёхзначных чисел с разными цифрами, делящихся на 3 равно A+B+2*(C+D) = 18 + 72 + 2*(6 + 63) = 90 + 2*69 = 228. Численно, ответ совпадает с большинством ответов других авторов, но, к сожалению, ведущие к этому ответу умозаключения опираются на наблюдения 1-6, доказательств которым я не привёл. В-принципе, это компенсируется малостью рассматриваемых в них 27-элементных подмножеств множества M, с возможность предъявить доказательства перечислением всех вариантов. 🙂 Да, задачка оказалась более-менее интересной, но решение, я думаю, должно быть полоканичнее…
Ира ЛДВО на БВ более года назад Трёхзначных чисел всего 900. Признак делимости на 3 – это сумма цифр должна делится на три. В разряде единиц может быть любая из 10 цифр. Со вторым разрядом десятков сложнее. Его лучше рассмотреть с первым. Но прежде я бы сосчитала сколько всего чисел. Надо просто 900/3 = 300 чисел. Вот от них и надо откинуть с одинаковыми цифрами. С нулями нельзя ставить спереди. Поэтому в скобках я пишу количество: (1 или 2) 0) Если среди единиц 0, то подходят 1 и 2 (2), 1 и 5 (2), 1 и 8 (2). 2 и 4 (2), 2 и 7 (2), 3 и 6 (2), 4 и 5 (2) Итог 14. 1) Если среди единиц 1, то подходят 2 и 0 (1), 5 и 0 (1), 8 и 0 (1), 2 и 3(2), 2 и 6 (2) 3 и 5 (2). Итог 9. 2) Если среди единиц 2, то подходят 0 и 1 (1), 0 и 4 (1), 0 и 7(1) 1 и 3 (2) 1 и 6 (2), 3 и 4 (2). Итог 9. . 9) Если среди единиц 9, то подходят 3 и 0 (1), 6 и 0 (1), 1 и 8 (1), 2 и 7 (2), 3 и 6 (2), 4 и 5 (2). Итог 9. Нет этот метод не пойдёт. Использую прямой подсчёт: Рассмотрю по сотням, пропущу не соответствующие условию: 1) 102,105,108,120,123, 126,129,132,135,138, 147,150,153,156,159, 162,165,168,174,180, 183,186,189,192,195,198. Итог: 26. 2) 201,204,207,210,213, 216,219,231,234,237, 240,243,246,249,258, 261,264,267,270,273, 276,279,285,291,294,297. Итог: 26. 3) 306,309,312,315,318, 321,324,327,342,345, 348,351,354,357,360, 369,372,375,378,381, 384,387,390,396. Итог: 24. 4) 402,405,408,417,420, 423,426,429,432,435, 438,450,453,456,459, 462,465,468,471,480, 483,486,489,492,495,498. Итог: 26. 5) 501,504,507,510,513, 516,519,528,531,534, 537,540,543,546,549, 561,564,567,570,573, 576,579,582,591,594,597. итог: 26 6) 603,609,612,615,618, 621,624,627,630,639, 642,645,648,651,654, 657,572,675,678,681, 684,687,690,693. Итог: 24. 9) 903,906,912,915,918, 921,924,927,930,936, 942,945,948,951,954, 957,960,963,972,975, 978,981,984,987. Итог: 24. Среди сотен начинающихся на кратное трём. Это: 3ХУ, 6ХУ, 9ХУ по 24 варианта. Остальные 6-ть сотен по 26 вариантов. Общий итог: 3*24 + 6*26 = 228. Мой ответ: Всего трёхзначных чисел, у каждого из которых все цифры различны 228. Алгоритм: среди сотен кратных трём 24 варианта, у остальных по 26.
vdtest более года назад Столько ответов и многие не совпадают. Какой ответ самый верный? Придётся проверить в MS Excel. Формулируем задачу для формулы: Если обрабатываем набор значений, то используем формулу массива (вводим через CTRL+SHIFT+ENTER для старых версий Excel) Запишем для каждого условия выражение для Excel:
Условия имеют математическое значение 1 в случае если условие выполняется и 0 в обратном случае Перемножив все условия получим массив из 1 и нулей, которые можно сложить функцией СУММ Получим формулу, дающую ответ на поставленный вопрос: =СУММ((ОСТАТ( СТРОКА( $100:$999 );3)=0)*( ПСТР( “”&СТРОКА( $100:$999 );1;1)<>ПСТР( “”&СТРОКА( $100:$999 );3;1))*( ПСТР( “”&СТРОКА( $100:$999 );2;1)<>ПСТР( “”&СТРОКА( $100:$999 );3;1))*(ПСТР( “”&СТРОКА( $100:$999 );1;1)<>ПСТР( “”&СТРОКА( $100:$999 );2;1))) Скопируем в Excel, разбив условия по строкам:
Ответ: существует 228 делящихся на 3 трёхзначных чисел, у каждого из которых все цифры различны.
Евгений трохов более года назад Вначале о том сколько вообще существует трехзначных чисел делящихся на 3. Чтобы узнать это запишем однозначные и двухзначные числа с нулём или нулями вначале, ну то есть делаем их трехзначными. Например: 1=001,или 78=078. Таких “трехзначных” чисел будет 999. На 3 делится каждое третье число. То есть будет 333 числа. Далее : Исключим псевдочисла из первой сотни:3,6,9..99 Их 33 числа в промежутке от 1 до 99 делящихся на 3. Тогда трехзначных чисел, которые делятся на 3 будет : 333-33=300 (хотя и так понятно, 900 чисел трехзначных, из них на 3 делится каждое третье. то есть 300 чисел, ну да ладно) Теперь, у нас 9 чисел со всеми одинаковыми цифрами : 111,222,333…999. Расмотрим варианты с двумя одинаковыми цифрами : хха, хах, ахх-3 вида расположения. Если х=1,то а=4,7 Если х=2,то а=5,8 Если х=3,то а=0,6,9 Если х=4,то а=1,7 Если х=5,то а=2,8 Если х=6,то а=0,3,9 Если х=7,то а=1,4 Если х=8,то а=2,5 Если х=9,то а=0,3,6. Итого при одном виде расположения, посчитав количество “а”, получим 21 число. Расположение хха-21 число Расположение хах-21 число Расположение ахх-18 чисел (здесь а#0). Подкорректирую ответ. Забыл про вариант х=0,а#0 Это будут числа, делящиеся на 3 то есть 300,600, 900. Всех чисел с разными цифрами, делящимися на 3,будет: 300-22-21-18-3=228.
Circiter более года назад Задачка элементарна (вопреки тегу “студенческий уровень”). В десятичной системе счисления, очевидно, существует 10 способов выбора значения цифры. Но для первой цифры трёхзначного числа один из вариантов, — ноль, — вероятно, не следует рассматривать; хотя в условии об этом явно и не говорится. Так, если считать трёхзначным числом число из отрезка [100; 1000[, то в старшем разряде, действительно, нуля не будет. Т.о., остаётся только 9 способов выбрать первую (старшую) цифру. При выборе второй цифры, из разрешённого множества [0; 9] значений следует удалить цифру, выбранную для первой позиции (зато ноль удалять теперь не надо). В результате, выбрать вторую цифру можно всё теми же 9 способами. И лишь в младшем разряде будет хоть какое-то разнообразие — из отрезка [0; 9] придётся выбросить аж две цифры, уже поучаствовавшие в первых двух разрядах. Т.е., в последней позиции есть только 10-2 = 8 способов выбрать значение цифры. Перемножая эти количества способов, немедленно находим искомое количество трёхзначных чисел с разными цифрами, равное 9*9*8 = 648 штукам. Знаете ответ? |
Смотрите также: Пробный ЕГЭ 2019 по математике профиль с ответами где смотреть, скачать? Пробный ЕГЭ 2019 по математике (база) с ответами где смотреть, скачать? Сколько лет нужно на преодоление пути от одного края Вселенной до другого? Как правильно посчитать предел lim (√(x²+x) – x), при х -> +∞? Из 120 ученых учреждения английским языком владеют 80 учёных… Как решить? Строительство новой фабрики стоит 380 млн рублей. Затраты на… Как решить? У Кости есть 14 чёрных, 5 синих и одна красная ручки … Как решить? Числа a,b,c в указанном порядке – возрастающая геом.прогрессия. Как решить? У Коли есть настольная игра, состоящая из 99 полей по кругу… Как решить? На 11-ти тарелках лежат конфеты по 1, 3, 5, 7…, 21 конфете … Как решить? |
