Ответы в виде таблицы.
Сколько диагоналей имеют треугольная, четырёхугольная,
шестиугольная и n-угольная
призмы?
Сколько диагональных сечений можно провести через одно
боковое ребро в треугольной, четырёхугольной, шестиугольной и n-угольной призме?
В правильной шестиугольной призме сторона основания равна m, а боковые грани –
квадраты. Найдите диагонали призмы и площади диагоналей сечений.
Формула количества диагоналей у призмы N = n·(n – 3)
где n – количество сторон
треугольная призма- N= 3(3-3)= 0 (диагоналей нет)
четырёхугольная- N=4(4-3)=4
шестиугольная N=6(6-3)=18
n-угольная N=n(n-3)
Сколько диагональных сечений можно провести через одно
боковое ребро в треугольной, четырёхугольной, шестиугольной и n-угольной призме?
в труеуг.-нельзя
четырех.-N=n(n-3)/2=2
шестиуг.-N=6(6-3)/2=9
n-угольной N=n(n-3)/2
Если ответ по предмету Алгебра отсутствует или он оказался неправильным, то попробуй воспользоваться поиском других ответов во всей базе сайта.
Правильная четырехугольная призма
Четырехугольная призма — это многогранник, две грани которого являются равными квадратами, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые грани) — параллелограммами, имеющими общие стороны с этими квадратами.
Правильная четырехугольная призма – это четырехугольная призма у которой основания квадраты, а боковые грани прямоугольники.
Данное геометрическое тело по своим свойствам и характеристикам соответствует – параллелепипеду.
Основания призмы являются равными квадратами.
Боковые грани призмы являются прямоугольниками.
Боковые рёбра призмы параллельны и равны.
Размеры призмы можно выразить через длину стороны a и высоту h.
Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания.
Формула площади поверхности четырехугольной призмы:
Правильная четырехугольная призма
Элементы правильной четырехугольной призмы
- Основания ABCD и A1B1C1D1 равны и параллельны друг другу
- Боковые грани AA1D1D, AA1B1B, BB1C1C и CC1D1D, каждая из которых является прямоугольником
- Боковая поверхность – сумма площадей всех боковых граней призмы
- Полная поверхность – сумма площадей всех оснований и боковых граней (сумма площади боковой поверхности и оснований)
- Боковые ребра AA1, BB1, CC1 и DD1.
- Диагональ B1D
- Диагональ основания BD
- Диагональное сечение BB1D1D
- Перпендикулярное сечение A2B2C2D2 .
Свойства правильной четырехугольной призмы
- Основаниями являются два равных квадрата
- Основания параллельны друг другу
- Боковыми гранями являются прямоугольники
- Боковые грани равны между собой
- Боковые грани перпендикулярны основаниям
- Боковые ребра параллельны между собой и равны
- Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым ребрам и параллельно основаниям
- Углы перпендикулярного сечения – прямые
- Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы представляет собой прямоугольник
- Перпендикулярное (ортогональное сечение) параллельно основаниям
Формулы для правильной четырехугольной призмы
Указания к решению задач
При решении задач на тему “правильная четырехугольная призма” подразумевается, что:
Правильная призма — призма в основании которой лежит правильный многоугольник, а боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания. То есть правильная четырехугольная призма содержит в своем основании квадрат. (см. выше свойства правильной четырехугольной призмы)
Задача.
В правильной четырёхугольной призме площадь основания 144 см 2 , а высота 14 см. Найти диагональ призмы и площадь полной поверхности.
Решение.
Правильный четырехугольник – это квадрат.
Соответственно, сторона основания будет равна √ 144 = 12 см.
Откуда диагональ основания правильной прямоугольной призмы будет равна
√( 12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2
Диагональ правильной призмы образует с диагональю основания и высотой призмы прямоугольный треугольник. Соответственно, по теореме Пифагора диагональ заданной правильной четырехугольной призмы будет равна:
√( ( 12√2 ) 2 + 14 2 ) = 22 см
Задача
Определите полную поверхность правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ равна 5 см, а диагональ боковой грани равна 4 см.
Решение.
Поскольку в основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат, то сторону основания (обозначим как a) найдем по теореме Пифагора:
a 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5
Высота боковой грани (обозначим как h) тогда будет равна:
h 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5
Площадь полной поверхности будет равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания
S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .
[spoiler title=”источники:”]
http://mnogogranniki.ru/pravilnaya-chetyrekhugolnaya-prizma.html
http://profmeter.com.ua/communication/learning/course/course7/lesson201/
[/spoiler]
По какой формуле можно рассчитать количество диагоналей призмы?
Артём Устимов
Гуру
(3990),
закрыт
12 лет назад
Лучший ответ
БОМЖ
Гуру
(2879)
12 лет назад
смотря что называть диагональю
если она связывает противоположные основания, то их n(n-1) штук
где n – число вершин основания
Остальные ответы
Сергей Фадеев
Знаток
(366)
3 года назад
n(n-3)
Похожие вопросы
Призма и ее элементы. Cправочник репетитора
Призма — одна из разновидностей многогранника. Ее определение репетитор по математике вводит на описательном уровне: рассмотрим две параллельные плоскости
и
и произвольный многоугольник
в одной из них. Проведем через все его вершины параллельные прямые до пересечения с другой плоскостью в точках
Многогранник
называется n-угольной призмой.
Элементы призмы:
Точки — называются вершинами
Отрезки называются боковыми ребрами
Многоугольники и
— называются основаниями. Также основаниями называют сами плоскости
и
Памятка репетитора по математике на призму:
Можно выделить основные понятия, связанные с данным многогранником. К ним относятся:
Высота призмы — любой отрезок , перпендикулярный к плоскостям основания, такой, что
,
Диагональ призмы — это отрезок, соединяющий две любые вершины призмы и не лежащий ни в одной из ее граней.
Площадь полной поверхности — сумма площадей всех граней призмы.
Площадь боковой поверхности — сумма площадей боковых граней.
Поперечные сечение — сечение, проведенное перпендикулярно с боковому ребру призмы.
Диагональная плоскость — это плоскость, проходящая через боковое ребро и диагональ основания. Многоугольник, полученный в ее пересечении с поверхностью призмы называют диагональным сечением.
Заметка репетитора по математике: Можно предложить равносильное определение для диагонального сечения — сечение, содержащее две диагонали: диагональ призмы и диагональ ее основания.
Несложно подсчитать количество диагоналей у n-угольной призмы. Оно вычисляется по формуле
Виды призм:
Прямая призма — такая призма, боковые ребра которой перпендикулярны основаниям
Если этого не происходит, то призма называется наклонной. У прямой призмы длина высоты равна длине бокового ребра.
Правильная призма — такая прямая призма, у которой в основаниях лежат правильные многоугольники. Ее высота равна боковому ребру.
Призма называется параллелепипедом, если в ее основании лежит параллелограмм. Подробнее о параллелепипедах…
Объем призмы:
1) , где
— площадь основания, а
— высота.
2) , где
— площадь поперечного сечения, а
— боковое ребро.
Площадь поверхности:
Площадью поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней.
Площадь боковой поверхности призмы — это сумма площадей всех ее боковых граней. Для прямой призмы боковая поверхность может быть вычислена по формуле: , где P — периметр основания.
При подготовке к ЕГЭ по математике обратите особое внимание на разницу между понятиями правильная и прямая призма. Их часто путают. Если вы решаете задачу при помощи метода координат — вводите систему Oxyz так, как это показано на рисунке справа (кликните для увеличения). На рисунке: начало отсчета является серединой ребра основания, ось абсцисс направлена вдоль стороны основания, ось ординат по высоте основания, а ось аппликат параллельно высоте.
Репетитор по математике в Москве (Строгино). Колпаков А.Н.
Как найти диагонали призмы
Призмой называется многогранная геометрическая фигура, основаниями которой являются конгруэнтные параллельные многоугольники, а боковыми гранями — параллелограммы. Нахождение диагонали призмы — одной из самых распространенных геометрических фигур в оптике – пример того, насколько взаимосвязаны основные положения геометрии.
Вам понадобится
- – калькулятор с тригонометрическими функциями,
- – рулетка,
- – угломер.
Инструкция
Призмы бывают прямыми (боковые грани образуют прямой угол с основаниями) и наклонными. Прямые призмы делятся на правильные ( их основаниями являются выпуклые многоугольники с равными сторонами и углами) и полуправильные (их грани — правильные многоугольники нескольких типов). Рассмотрим вычисление диагонали призмы на примере параллелепипеда — одного из видов этого многогранника.
Диагональю призмы называется отрезок, соединяющий вершины двух различных граней. Поскольку, исходя из определения призмы, ее диагональю является гипотенуза треугольника, задача по нахождению диагонали призмы сводится к вычислению одной из сторон этого треугольника по теореме Пифагора. Вариантов решения, в зависимости от исходных данных может быть несколько.
Если известны величины углов, которые образует диагональ призмы с боковыми гранями или основанием, или же угол наклона граней призмы – катеты треугольника вычисляются с помощью тригонометрических функций. Само собой, только величины углов недостаточно — обычно в задачах дополнительно приводятся данные, необходимые для вычисления размера одного из катетов треугольника, гипотенуза которого является диагональю призмы. Или же, если речь идет об определении диагонали призмы что называется по факту — все размеры необходимые для решения этой задачи снимаются вручную.
Пример. Необходимо найти диагональ правильной четырехугольной призмы,если известны площадь ее основания и высота.
Определите размер стороны основания. Поскольку основаниями такой призмы являются квадраты, для этого нужно вычислить квадратный корень из площади основания (квадрат – равносторонний прямоугольник).
Вычислите диагональ основания. Она равна стороне основания умноженной на квадратный корень из двух.
Гипотенуза призмы будет ровна квадратному корню из суммы квадратов катетов, одним из которых является высота призмы, одновременно являющаяся стороной боковой грани, а вторым — диагональ основания.
Видео по теме
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Изучением призм занимается пространственная геометрия. Важными их характеристиками являются заключенный в них объем, площадь поверхности и число составляющих элементов. В статье рассмотрим все эти свойства для шестиугольной призмы.
О какой призме пойдет речь?
Призма шестиугольная – это фигура, образованная двумя многоугольниками, имеющими шесть сторон и шесть углов, и шестью параллелограммами, соединяющими отмеченные шестиугольники в единое геометрическое образование.
На рисунке изображен пример этой призмы.
Отмеченный красным цветом шестиугольник называется основанием фигуры. Очевидно, что число ее оснований равно двум, причем оба они идентичны. Желто-зеленоватые грани призмы называются ее боковыми сторонами. На рисунке они представлены квадратами, но в общем случае они являются параллелограммами.
Шестиугольная призма может быть наклонной и прямой. В первом случае углы между основанием и боковыми сторонами не являются прямыми, во втором они равны 90o. Также эта призма может быть правильной и неправильной. Правильная шестиугольная призма обязательно должна быть прямой и иметь правильный шестиугольник в основании. Приведенная выше призма на рисунке этим требованиям удовлетворяет, поэтому она называется правильной. Далее в статье будем изучать только ее свойства, как общий случай.
Элементы
Для любой призмы главными ее элементами являются ребра, грани и вершины. Шестиугольная призма не является исключением. Приведенный выше рисунок позволяет посчитать количество этих элементов. Так, граней или сторон мы получаем 8 (два основания и шесть боковых параллелограммов), число вершин составляет 12 (по 6 вершин для каждого основания), количество ребер шестиугольной призмы равно 18 (шесть боковых и 12 для оснований).
В 1750-е годы Леонард Эйлер (швейцарский математик) установил для всех полиэдров, к которым относится призма, математическую связь между числами указанных элементов. Эта связь имеет вид:
число ребер = число граней + число вершин – 2.
Указанные выше цифры удовлетворяют этой формуле.
Диагонали призмы
Все диагонали шестиугольной призмы можно разделить на два типа:
- те, которые лежат в плоскостях ее граней;
- те, которые принадлежат всему объему фигуры.
Рисунок ниже показывает все эти диагонали.
Видно, что D1 – это диагональ боковой стороны, D2 и D3 – диагонали всей призмы, D4 и D5 – диагонали основания.
Длины диагоналей боковых сторон между собой равны. Вычислить их легко, используя всем известную теорему Пифагора. Обозначим символом a длину стороны шестиугольника, символом b – длину бокового ребра. Тогда диагональ имеет длину:
D1 = √(a2 + b2).
Диагональ D4 также легко определяется. Если вспомнить, что правильный шестиугольник вписывается в окружность радиусом a, то D4 является диаметром этой окружности, то есть получим следующую формулу:
D4 = 2*a.
Диагональ D5 основания найти несколько сложнее. Для этого следует рассмотреть равносторонний треугольник ABC (см. рис.). Для него AB = BC = a, угол ABC равен 120o. Если из этого угла опустить высоту (она же будет биссектрисой и медианой), тогда половина основания AC будет равно:
AC/2 = AB*sin(60o) = a*√3/2.
Сторона AC является диагональю D5, поэтому получаем:
D5 = AC = √3*a.
Теперь остается найти диагонали D2 и D3 правильной шестиугольной призмы. Для этого нужно увидеть, что они являются гипотенузами соответствующих прямоугольных треугольников. Воспользовавшись теоремой Пифагора, получаем:
D2 = √(D42 + b2) = √(4*a2 + b2);
D3 = √(D52+ b2) = √(3*a2+ b2).
Таким образом, самой большой диагональю для любых значений a и b является D2.
Площадь поверхности
Чтобы понять, о чем идет речь, проще всего рассмотреть развертку этой призмы. Она показана на рисунке.
Видно, что для определения площади всех сторон рассматриваемой фигуры необходимо рассчитать отдельно площадь четырехугольника и площадь шестиугольника, затем умножить их на соответствующие целые числа, равные количеству каждого n-угольника в призме, и сложить полученные результаты. Шестиугольников 2, прямоугольников 6.
Для площади прямоугольника получаем:
S1 = a*b.
Тогда площадь боковой поверхности равна:
S2 = 6*a*b.
Для определения площади шестиугольника проще всего воспользоваться соответствующей формулой, которая имеет вид:
Sn = n/4*a2*ctg(pi/n).
Подставляя в это выражение число n равное 6, получаем площадь одного шестиугольника:
S6 = 6/4*a2*ctg(pi/6) = 3*√3/2*a2.
Это выражение следует умножить на два, чтобы получить площадь оснований призмы:
Sos = 3*√3*a2.
Остается сложить Sos и S2, чтобы получить полную площадь поверхности фигуры:
S = Sos + S2 = 3*√3*a2 + 6*a*b = 3*a*(√3*a + 2*b).
Объем призмы
После того как была получена формула для площади шестиугольного основания, вычислить объем, заключенный в рассматриваемую призму, проще простого. Для этого следует лишь умножить площадь одного основания (шестиугольника) на высоту фигуры, длина которой равна длине бокового ребра. Получаем формулу:
V = S6*b = 3*√3/2*a2*b.
Отметим, что произведение основания на высоту дает значение объема абсолютно любой призмы, включая наклонную. Однако в последнем случае расчет высоты осложняется, поскольку она уже не будет равна длине бокового ребра. Что касается шестиугольной правильной призмы, то значение ее объема является функцией двух переменных: сторон a и b.