Правильный многоугольник. Число сторон правильного многоугольника
Треугольник, квадрат, шестиугольник – эти фигуры известны практически всем. Но вот о том, что такое правильный многоугольник, знает далеко не каждый. А ведь это все те же геометрические фигуры. Правильным многоугольником называют тот, что имеет равные между собой углы и стороны. Таких фигур очень много, но все они имеют одинаковые свойства, и к ним применимы одни и те же формулы.
Свойства правильных многоугольников
Любой правильный многоугольник, будь то квадрат или октагон, может быть вписан в окружность. Это основное свойство часто используется при построении фигуры. Кроме того, окружность можно и вписать в многоугольник. При этом количество точек соприкосновения будет равняться количеству его сторон. Немаловажно, что окружность, вписанная в правильный многоугольник, будет иметь с ним общий центр. Эти геометрические фигуры подчинены одним теоремам. Любая сторона правильного n-угольника связана с радиусом описанной около него окружности R. Поэтому ее можно вычислить, используя следующую формулу: а = 2R ∙ sin180°. Через радиус окружности можно найти не только стороны, но и периметр многоугольника.
Как найти число сторон правильного многоугольника
Нахождение числа сторон вписанного правильного треугольника
Равносторонний треугольник – это правильный многоугольник. Формулы к нему применяются те же, что и к квадрату, и n-угольнику. Треугольник будет считаться правильным, если у него одинаковые по длине стороны. При этом углы равны 60⁰. Построим треугольник с заданной длиной сторон а. Зная его медиану и высоту, можно найти значение его сторон. Для этого будем использовать способ нахождения через формулу а = х : cosα, где х – медиана или высота. Так как все стороны треугольника равны, то получаем а = в = с. Тогда верным будет следующее утверждение а = в = с = х : cosα. Аналогично можно найти значение сторон в равнобедренном треугольнике, но х будет заданная высота. При этом проецироваться она должна строго на основание фигуры. Итак, зная высоту х, найдем сторону а равнобедренного треугольника по формуле а = в = х : cosα. После нахождения значения а можно вычислить длину основания с. Применим теорему Пифагора. Будем искать значение половины основания c : 2=√(х : cosα)^2 – (х^2) = √x^2 (1 – cos^2α) : cos^2α = x ∙ tgα. Тогда c = 2xtgα. Вот таким несложным способом можно найти число сторон любого вписанного многоугольника.
Вычисление сторон квадрата, вписанного в окружность
Как и любой другой вписанный правильный многоугольник, квадрат имеет равные стороны и углы. К нему применяются те же формулы, что и к треугольнику. Вычислить стороны квадрата можно через значение диагонали. Рассмотрим этот способ более детально. Известно, что диагональ делит угол пополам. Изначально его значение было 90 градусов. Таким образом, после деления образуются два прямоугольных треугольника. Их углы при основании будут равны 45 градусов. Соответственно каждая сторона квадрата будет равна, то есть: а = в = с = д = е ∙ cosα = е√2 : 2, где е – это диагональ квадрата, или основание образовавшегося после деления прямоугольного треугольника. Это не единственный способ нахождения сторон квадрата. Впишем эту фигуру в окружность. Зная радиус этой окружности R, найдем сторону квадрата. Будем вычислять ее следующим образом a4 = R√2. Радиусы правильных многоугольников вычисляют по формуле R = а : 2tg (360 o : 2n), где а – длина стороны.
Как вычислить периметр n-угольника
Периметром n-угольника называют сумму всех его сторон. Вычислить его несложно. Для этого необходимо знать значения всех сторон. Для некоторых видов многоугольников существуют специальные формулы. Они позволяют найти периметр намного быстрее. Известно, что любой правильный многоугольник имеет равные стороны. Поэтому для того, чтобы вычислить его периметр, достаточно знать хотя бы одну из них. Формула будет зависеть от количества сторон фигуры. В общем, она выглядит так: Р = an, где а – значение стороны, а n – количество углов. Например, чтобы найти периметр правильного восьмиугольника со стороной 3 см, необходимо умножить ее на 8, то есть Р = 3 ∙ 8 = 24 см. Для шестиугольника со стороной 5 см вычисляем так: Р = 5 ∙ 6 = 30 см. И так для каждого многоугольника.
Нахождение периметра параллелограмма, квадрата и ромба
В зависимости от того, сколько сторон имеет правильный многоугольник, вычисляется его периметр. Это намного облегчает поставленную задачу. Ведь в отличие от прочих фигур, в этом случае не нужно искать все его стороны, достаточно одной. По этому же принципу находим периметр у четырехугольников, то есть у квадрата и ромба. Несмотря на то что это разные фигуры, формула для них одна Р = 4а, где а – сторона. Приведем пример. Если сторона ромба или квадрата равна 6 см, то находим периметр следующим образом: Р = 4 ∙ 6 = 24 см. У параллелограмма равны только противоположные стороны. Поэтому его периметр находят, используя другой способ. Итак, нам необходимо знать длину а и ширину в фигуры. Затем применяем формулу Р = (а + в) ∙ 2. Параллелограмм, у которого равны все стороны и углы между ними, называется ромб.
Нахождение периметра равностороннего и прямоугольного треугольника
Периметр правильного равностороннего треугольника можно найти по формуле Р = 3а, где а – длина стороны. Если она неизвестна, ее можно найти через медиану. В прямоугольном треугольнике равное значение имеют только две стороны. Основание можно найти через теорему Пифагора. После того как станут известны значения всех трех сторон, вычисляем периметр. Его можно найти, применяя формулу Р = а + в + с, где а и в – равные стороны, а с – основание. Напомним, что в равнобедренном треугольнике а = в = а, значит, а + в = 2а, тогда Р = 2а + с. Например, сторона равнобедренного треугольника равна 4 см, найдем его основание и периметр. Вычисляем значение гипотенузы по теореме Пифагора с = √а 2 + в 2 = √16+16 = √32 = 5,65 см. Вычислим теперь периметр Р = 2 ∙ 4 + 5,65 = 13,65 см.
Как найти углы правильного многоугольника
Расчет углов n-угольников в радианах
Конечно, есть несколько способов нахождения углов многоугольников. Чаще всего их вычисляют в градусах. Но можно выразить их и в радианах. Как это сделать? Необходимо действовать следующим образом. Сначала выясняем число сторон правильного многоугольника, затем вычитаем из него 2. Значит, мы получаем значение: n – 2. Умножьте найденную разность на число п («пи» = 3,14). Теперь остается только разделить полученное произведение на число углов в n-угольнике. Рассмотрим данные вычисления на примере все того же пятнадцатиугольника. Итак, число n равно 15. Применим формулу S = п(n – 2) : n = 3,14(15 – 2) : 15 = 3,14 ∙ 13 : 15 = 2,72. Это, конечно же, не единственный способ рассчитать угол в радианах. Можно просто разделить размер угла в градусах на число 57,3. Ведь именно столько градусов эквивалентно одному радиану.
Расчет значения углов в градах
Помимо градусов и радиан, значение углов правильного многоугольника можно попробовать найти в градах. Делается это следующим образом. Из общего количества углов вычитаем 2, делим полученную разность на число сторон правильного многоугольника. Найденный результат умножаем на 200. К слову сказать, такая единица измерения углов, как грады, практически не используется.
Расчет внешних углов n-угольников
У любого правильного многоугольника, кроме внутреннего, можно вычислить еще и внешний угол. Его значение находят так же, как и для остальных фигур. Итак, чтобы найти внешний угол правильного многоугольника, необходимо знать значение внутреннего. Далее, нам известно, что сумма этих двух углов всегда равна 180 градусам. Поэтому вычисления делаем следующим образом: 180⁰ минус значение внутреннего угла. Находим разность. Она и будет равняться значению смежного с ним угла. Например, внутренний угол квадрата равен 90 градусов, значит, внешний будет составлять 180⁰ – 90⁰ = 90⁰. Как мы видим, найти его несложно. Внешний угол может принимать значение от +180⁰ до, соответственно, -180⁰.
Калькулятор расчета стороны правильного многоугольника через радиусы окружностей
В публикации представлены онлайн-калькуляторы и формулы для расчета длины стороны правильного многоугольника через радиус вписанной или описанной окружности.
Расчет длины стороны
Инструкция по использованию: введите радиус вписанной (r) или описанной (R) окружности, укажите количество вершин правильного многоугольника (n), затем нажмите кнопку “Рассчитать”. В результате будет вычислена длина стороны фигуры (a).
Определение параметров правильного многоугольника по радиусам вписанной и описанной окружности
Определение числа сторон и длины одной стороны правильного многоугольника, если задан радиус описанной и радиус вписанной окружности.
Вновь приходится возвращаться к теме описанной и вписанной окружности и правильному многоугольнику. Казалось бы, эта тема была закрыта калькуляторами Длина стороны правильного многоугольника для определения длины стороны многоугольника по радиусу и числу сторон и Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность для определения радиуса по длине стороны и числу сторон, но нет.
Посетитель сайта попросил буквально следующее: «Сделайте пожалуйста такой калькулятор, который зная радиус вписанной и описанной окружностей найдет длину стороны многоугольника».
То есть, задача формулируется так: некоторый правильный многоугольник вписан в окружность с известным радиусом и вокруг него описана окружность с другим известным радиусом. Требуется найти параметры этого правильного многоугольника: число сторон и длину одной стороны.
Чтобы было понятнее, графически эта ситуация изображена на картинке слева.
Посмотрев внимательно на треугольник, образованный перпендикуляром из центра окружности к стороне многоугольника (радиус вписанной окружности r), отрезком, соединяющим центр окружности и ближайшую к перпендикуляру вершину многоугольника (радиус описанной окружности R), и собственно, половиной стороны многоугольника, нетрудно заметить, что радиусы связаны между собой соотношением
где угол альфа, опирающийся на вершины многоугольника, связан следующим соотношением с числом сторон многоугольника n:
Таким образом, известные радиусы описанной и вписанной окружности дают нам однозначное соответствие с числом сторон правильного многоугольника.
Длина стороны определяется тривиально.
Теперь по поводу калькулятора — поскольку в расчете есть иррациональное число, получить по этой формуле целое число сторон невозможно. Но, с другой стороны, мы-то знаем, что число сторон — это целое число. Поэтому калькулятор сначала вычисляет число сторон как есть, потом округляет до ближайшего целого, и, исходя из этого целого числа, делает расчет длины стороны и обратный расчет одного из радиусов (из чистого любопытства).
[spoiler title=”источники:”]
http://planetcalc.ru/2823/
[/spoiler]
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Нахождение числа диагоналей является важнейшим навыком, который пригодится при решении геометрических задач. Это не так сложно, как кажется – просто нужно запомнить формулу. Диагональ – это отрезок, соединяющий любые две несмежные вершины многоугольника.[1]
Многоугольник – это любая фигура с как минимум тремя сторонами. При помощи несложной формулы можно найти количество диагоналей в любом многоугольнике, например, с 4 сторонами или с 4000 сторон.
-
1
Запомните названия многоугольников. Сначала нужно найти число сторон многоугольника. Это можно сделать по названию любого многоугольника. Вот названия самых распространенных многоугольников:[2]
- Четырехугольник: 4 стороны
- Пятиугольник: 5 сторон
- Шестиугольник: 6 сторон
- Семиугольник: 7 сторон
- Восьмиугольник: 8 сторон
- Девятиугольник: 9 сторон
- Десятиугольник: 10 сторон
- Обратите внимание, что у треугольника диагоналей нет.[3]
-
2
Нарисуйте многоугольник. Чтобы найти число диагоналей в квадрате, нарисуйте его. Самый простой способ найти число диагоналей – это нарисовать правильный многоугольник (в таком многоугольнике все стороны равны) и посчитать количество диагоналей. Запомните: неправильный многоугольник будет иметь такое же количество диагоналей, что и правильный (при одинаковом числе сторон).[4]
- Чтобы нарисовать многоугольник, воспользуйтесь линейкой; нарисуйте замкнутую фигуру со сторонами одинаковой длины.
- Если вы не знаете, как выглядит многоугольник, поищите картинки в интернете. Например, знак «Стоп» – это восьмиугольник.
-
3
Нарисуйте диагонали. Диагональ – это отрезок, соединяющий любые две несмежные вершины многоугольника.[5]
Из одной (любой) вершины многоугольника проведите диагонали к другим (несмежным) вершинам.- В квадрате проведите одну диагональ из нижнего левого угла в правый верхний угол, а вторую – из нижнего правого угла в левый верхний угол.
- Нарисуйте диагонали разных цветов, чтобы быстрее посчитать их.[6]
- Обратите внимание, что применять этот метод к многоугольникам, у которых больше 10 сторон, довольно сложно.
-
4
Посчитайте диагонали. Можно считать диагонали во время того, как вы рисуете их, или после того, как они нарисованы. Отмечайте диагонали, которые уже посчитаны, чтобы не запутаться (особенно когда диагоналей много и они пересекаются).
- У квадрата всего две диагонали – по одной на каждые две вершины.[7]
- У шестиугольника 9 диагоналей: по три диагонали на каждые три вершины.
- У семиугольника 14 диагоналей. Если у многоугольника больше семи сторон, посчитать диагонали довольно сложно, потому что их слишком много.
- У квадрата всего две диагонали – по одной на каждые две вершины.[7]
-
5
Каждую диагональ считайте только один раз. Из каждой вершины выходит несколько диагоналей, но это не значит, что число диагоналей равно произведению числа вершин на число диагоналей, выходящих из каждой вершины. Поэтому аккуратно считайте диагонали.[8]
- Например, у пятиугольника (5 сторон) только 5 диагоналей. Из каждой вершины выходит 2 диагонали; если умножить число вершин на число диагоналей, выходящих из каждой вершины, получите 10. Это неверный ответ, как если бы вы посчитали каждую диагональ дважды.
-
6
Попрактикуйтесь в определении числа диагоналей на некоторых примерах. Нарисуйте разные многоугольники и посчитайте их диагонали. Этот метод применим и к неправильным многоугольникам. В случае вогнутого многоугольника некоторые диагонали лежат вне границ фигуры.[9]
- У шестиугольника 9 диагоналей.
- У семиугольника 14 диагоналей.
Реклама
-
1
Запишите формулу. Формула для вычисления числа диагоналей многоугольника: d = n(n-3)/2, где d – число диагоналей, n – число сторон многоугольника.[10]
Используя распределительное свойство, эту формулу можно записать так: d = (n2 – 3n)/2. Можно пользоваться любой формой представленной формулы.- Эта формула для вычисления числа диагоналей многоугольника.
- Обратите внимание, что эта формула не применима к треугольникам, потому что у треугольников диагоналей нет.[11]
-
2
Определите число сторон многоугольника. Чтобы использовать приведенную формулу, нужно знать число сторон многоугольника. Число сторон можно выяснить по названию многоугольника. Ниже приведены части названий многоугольников.[12]
- Четырех (4), пяти (5), шести (6), семи (7), восьми (8), девяти (9), десяти (10), одиннадцати (11), двенадцати (12), тринадцати (13 ), четырнадцати (14), пятнадцати (15) и так далее.
- Если сторон слишком много, то в название многоугольника включается цифра. Например, если у многоугольника 44 стороны, он называется 44-угольником.
- Если дан рисунок многоугольника, просто посчитайте его стороны.
-
3
Подставьте число сторон в формулу. Сделайте это после того, как найдете число сторон многоугольника. Число сторон подставьте вместо n.[13]
- Например. У двенадцатиугольника 12 сторон.
- Запишите формулу: d = n(n-3)/2
- Подставьте число сторон: d = (12(12 – 3))/2
-
4
Решите уравнение. Для этого не забудьте про определенный порядок выполнения математических операций. Начните с вычитания, затем умножьте, а потом разделите. В итоге вы получите число диагоналей многоугольника.[14]
- Например: (12(12 – 3))/2
- Вычитание: (12*9)/2
- Умножение: (108)/2
- Деление: 54
- У двенадцатиугольника 54 диагонали.
-
5
Попрактикуйтесь на других примерах. Чем больше задач вы решите, тем лучше уясните процесс вычисления. Также вы наверняка запомните формулу для вычисления числа диагоналей, что пригодится на экзамене. Не забывайте, что представленная формула применима к многоугольнику, у которого больше трех сторон.
- Шестиугольник (6 сторон): d = n(n-3)/2 = 6(6-3)/2 = 6*3/2 = 18/2 = 9 диагоналей.
- Десятиугольник (10 сторон): d = n(n-3)/2 = 10(10-3)/2 = 10*7/2 = 70/2 = 35 диагоналей.
- Двадцатиугольник (20 сторон): d = n(n-3)/2 = 20(20-3)/2 = 20*17/2 = 340/2 = 170 диагоналей.
- 96-угольник (96 сторон): 96(96-3)/2 = 96*93/2 = 8928/2 = 4464 диагоналей.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 175 985 раз.
Была ли эта статья полезной?
Как найти количество сторон в многоугольнике
Многоугольники состоят из нескольких отрезков, которые соединены между собой и образуют замкнутые линии. Все фигуры подобного типа подразделяются на два вида: простые и сложные. В свою очередь, простые включают в себя такие фигуры, как треугольники и четырехугольники, а сложные – многоугольники со множеством сторон и звездчатые многоугольники.
Инструкция
Посчитайте значение сторон треугольника. Достаточно часто в задачах можно встретить правильный треугольник, к примеру, со стороной a. Так как данный многоугольник является правильным (по условиям задачи), то все его стороны будут между собой равны. Следовательно, вы можете рассчитать все его стороны, зная величину медианы и высоту треугольника. Для этого используйте метод нахождения сторон при помощи косинуса: a=x:cosα, где а – стороны треугольника; x – это высота, биссектриса или медиана.
Определите аналогичным образом все неизвестные стороны (всего их три) в равнобедренном треугольнике, при заданной высоте. В свою очередь, она должна быть спроецирована на основании треугольника. Зная значение высоты основания x, вы сможете найти сторону равнобедренного треугольника: a=x/cosα. Потому как a=b, согласно условиям равнобедренного треугольника, вы можете определить его стороны по следующей формуле: a=b=x:cosα.
Найдите длину основания треугольника. Для этих целей можете использовать теорему Пифагора, это поможет вам определить половину необходимого значения основания:c:2=√(x:cosα)^2-(x^2)=√x^2 (1-cos^2α)/ cos^2α=xtgα.Далее определите длину основания: c=2xtgα.
Посчитайте стороны квадрата. В свою очередь, квадрат подразумевает под собой правильный четырехугольник, у которого можно вычислить стороны с помощью нескольких способов. Первый из которых предлагает нахождение сторон через диагональ квадрата. Потому как, все углы квадрата являются прямыми, данная диагональ разделяет их пополам и образует два одинаковых прямоугольных треугольника. Эти треугольники обладают углами, равными 45 градусам при основании. Таким образом, из всего вышесказанного ясно, что сторона квадрата будет равна: a=b=c=f=d*cosα=d√2/2, где d – значение диагонали квадрата.
В том случае, если квадрат расположен в окружности, то зная радиус данной окружности, вы можете найти его сторону. Для этого используйте следующую формулу: a4=R√2, где R является радиусом окружности.
Видео по теме
Источники:
- правильный многоугольник найти количество сторон
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Содержание материала
- Понятие правильного многоугольника
- Видео
- Как найти углы правильного многоугольника
- Нахождение периметра параллелограмма, квадрата и ромба
- Правильный четырехугольник
- Формулы правильного четырехугольника:
- Правильный n -угольник — формулы
- Формулы длины стороны правильного n -угольника
- Формула радиуса вписанной окружности правильного n -угольника
- Формула радиуса описанной окружности правильного n -угольника
- Формулы площади правильного n -угольника
- Формулы правильного n-угольника
- Формула периметра правильного многоугольника
- Формула периметра правильного n-угольника
- Формулы для стороны, периметра и площади квадрата
Понятие правильного многоугольника
У выпуклого многоугольника могут быть одинаковы одновременно и все стороны, и все углы. В таком случае он именуется правильным многоугольником.
Нам уже известны некоторые правильные многоуг-ки. Например, правильным является равносторонний треугольник. У него все стороны одинаковы по его определению, а все углы составляют по 60°. Поэтому иногда его так и называют – правильный треугольник. Среди четырехугольников правильной фигурой является квадрат, у которого также по определению одинаковы стороны, а углы составляют уже по 90°.
Заметим, что бывают фигуры, у которых одинаковы все стороны, а углы различны. Примером такой фигуры является ромб. Возможна и обратная ситуация – все углы у фигуры одинаковы, но стороны отличаются своей длиной. Таковым является прямоугольник. Важно понимать, такие фигуры (в частности, ромб и прямоугольник) НЕ являются правильными.
Для любого заданного числа n, начиная от n = 3, можно построить правильный n-угольник. На рисунке ниже показано несколько примеров таких n-угольников:
Существует зависимость, которая позволяет определить величину угла правильного многоугольника. Мы уже знаем, что в любом выпуклом n-угольнике сумма углов равна величине 180°(n– 2). Обозначим угол правильного многоуг-ка буквой α. Так как у n-угольника ровно n углов, и все они одинаковы, мы можем записать равенство:
Легко проверить, что эта формула верна для равностороннего треуг-ка и квадрата и позволяет правильно определить углы в этих фигурах. Для треугольника n = 3, поэтому мы получаем 60°:
Задание. Какова величина углов в правильном пятиугольнике, шестиугольнике, восьмиугольнике, пятидесятиугольнике?
Решение. Надо просто подставить в формулу число сторон правильного многоугольник. Сначала считаем для пятиугольника:
Задание. Сколько сторон должно быть у правильного многоуг-ка, чтобы каждый угол в нем был равен 179°?
Решение. В формулу
Задание. Может ли существовать правильный многоуг-к, угол которого равен 145°?
Решение. Предположим, что он существует. Тогда по аналогии с предыдущей задачей найдем количество его сторон:
Получили не целое, а дробное количество сторон. Естественно, что это невозможно, а потому такой многоуг-к существовать не может.
Ответ: не может.
Как найти углы правильного многоугольника
Правильный многоугольник встречается в нашей жизни каждый день, например, обычный квадрат, треугольник, восьмиугольник. Казалось бы, нет ничего проще, чем построить эту фигуру самостоятельно. Но это просто только на первый взгляд. Для того чтобы построить любой n-угольник, необходимо знать значение его углов. Но как же их найти? Еще ученые древности пытались построить правильные многоугольники. Они догадались вписать их в окружности. А потом на ней отмечали необходимые точки, соединяли их прямыми линиями. Для простых фигур проблема построения была решена. Формулы и теоремы были получены. Например, Эвклид в своем знаменитом труде «Начало» занимался решением задач для 3-, 4-, 5-, 6- и 15-угольников. Он нашел способы их построения и нахождения углов. Рассмотрим, как это сделать для 15-угольника. Сначала необходимо рассчитать сумму его внутренних углов. Необходимо использовать формулу S = 180⁰(n-2). Итак, нам дан 15-угольник, значит, число n равно 15. Подставляем известные нам данные в формулу и получаем S = 180⁰(15 — 2) = 180⁰ х 13 = 2340⁰. Мы нашли сумму всех внутренних углов 15-угольника. Теперь необходимо получить значение каждого из них. Всего углов 15. Делаем вычисление 2340⁰ : 15 = 156⁰. Значит, каждый внутренний угол равен 156⁰, теперь при помощи линейки и циркуля можно построить правильный 15-угольник. Но как быть с более сложными n-угольниками? Много веков ученые бились над решением этой проблемы. Оно было найдено только лишь в 18-м веке Карлом Фридрихом Гауссом. Он смог построить 65537-угольник. С этих пор проблема официально считается полностью решенной.
Видео
Нахождение периметра параллелограмма, квадрата и ромба
В зависимости от того, сколько сторон имеет правильный многоугольник, вычисляется его периметр. Это намного облегчает поставленную задачу. Ведь в отличие от прочих фигур, в этом случае не нужно искать все его стороны, достаточно одной. По этому же принципу находим периметр у четырехугольников, то есть у квадрата и ромба. Несмотря на то что это разные фигуры, формула для них одна Р = 4а, где а – сторона. Приведем пример. Если сторона ромба или квадрата равна 6 см, то находим периметр следующим образом: Р = 4 ∙ 6 = 24 см. У параллелограмма равны только противоположные стороны. Поэтому его периметр находят, используя другой способ. Итак, нам необходимо знать длину а и ширину в фигуры. Затем применяем формулу Р = (а + в) ∙ 2. Параллелограмм, у которого равны все стороны и углы между ними, называется ромб.
Правильный четырехугольник
Правильный четырехугольнику — квадрат.
Формулы правильного четырехугольника:
1. Формула стороны правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности:
a = 2r
2. Формула стороны правильного четырехугольника через радиус описанной окружности:
a = R√2
3. Формула радиуса вписанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны:
4. Формула радиуса описанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны:
5. Формула площади правильного четырехугольника через длину стороны:
S = a2
6. Формула площади правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности:
S = 4 r2
7. Формула площади правильного четырехугольника через радиус описанной окружности:
S = 2 R2
8. Угол между сторонами правильного четырехугольника:
α = 90°
Смотрите также формулы и свойства квадрата
Правильный n -угольник — формулы
Формулы длины стороны правильного n -угольника
1. Формула стороны правильного n-угольника через радиус вписанной окружности:
2. Формула стороны правильного n -угольника через радиус описанной окружности:
a = 2 R · sin 180°n a = 2 R · sin πn
Формула радиуса вписанной окружности правильного n -угольника
Формула радиуса вписанной окружности n -угольника через длину стороны:
r = a : (2tg 180°)n r = a : (2tg π)n
Формула радиуса описанной окружности правильного n -угольника
Формула радиуса описанной окружности n -угольника через длину стороны:
R = a : (2sin 180°)n R = a : (2sin π)n
Формулы площади правильного n -угольника
1. Формула площади n-угольника через длину стороны:
2. Формула площади n-угольника через радиус вписанной окружности:
3. Формула площади n -угольника через радиус описанной окружности:
S = n R2 · sin360°2n
Формулы правильного n-угольника
Формула периметра правильного многоугольника
Формула периметра правильного n-угольника
Периметр правильного n-угольника равен произведению длины одной стороны правильного n-угольника на количество его сторон. P = n·a
Формулы для стороны, периметра и площади квадрата
Величина | Рисунок | Формула | Описание |
Периметр | P = 4a | Выражение периметра через сторону | |
Площадь | S = a2 | Выражение площади через сторону | |
Сторона | a = 2r | Выражение стороны через радиус вписанной окружности | |
Периметр | P = 8r | Выражение периметра через радиус вписанной окружности | |
Площадь | S = 4r2 | Выражение площади через радиус вписанной окружности | |
Сторона | Выражение стороны через радиус описанной окружности | ||
Периметр | Выражение периметра через радиус описанной окружности | ||
Площадь | S = 2R2 | Выражение площади через радиус описанной окружности |
Формулы для периметра квадрата |
Выражение периметра через сторону P = 4a Выражение периметра через радиус вписанной окружности P = 8r Выражение периметра через радиус описанной окружности |
Формулы для площади квадрата |
Выражение площади через сторону S = a2 Выражение площади через радиус вписанной окружности S = 4r2 Выражение площади через радиус описанной окружности S = 2R2 |
Формулы для стороны квадрата |
Выражение стороны через радиус вписанной окружности a = 2r Выражение стороны через радиус описанной окружности |
На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
Теги
Содержание:
Объёмы поверхностей геометрических тел:
То, чем в предыдущие эпохи занимались только зрелые умы ученых мужей, в более позднее время стало доступным для понимания юношей.
С древних времен люди применяли геометрию для решения конкретных житейских проблем — нахождения объемов сосудов, строений и кораблей, количества краски, необходимой для ремонта помещения. На основании практического опыта были разработаны методы вычисления объемов тел и площадей поверхностей. Но нахождение соответствующих формул, а тем более их доказательств заняло немало страниц в истории геометрической науки. Многие выдающиеся ученые внесли свой вклад в развитие теории объемов, а популяризаторы математики — в упрощение и доступное изложение этой теории.
Основной целью данной главы является формирование представлений об объемах и площадях поверхностей, обоснование соответствующих формул для основных пространственных фигур. Вы. научитесь использовать различные методы нахождения объемов, как строго геометрические, так и те, которые объединяют в себе геометрию и начала анализа. При изучений объемов тел полезно будет вспомнить и систематизировать материал о площадях фигур на плоскости. Подходы, которые применялись для получения основных формул площадей, будут надежным фундаментом для построения теории объемов.
В данной главе речь пойдет о всех основных фигурах, которые вы изучали в течение года, в частности о тесной связи многогранников и тел вращения. Это даст вам возможность, с одной стороны, вспомнить основные факты из курса геометрии, а с другой — на основании формул для площадей поверхностей многогранников получить соответствующие результаты для тел вращения.
Задачи данной главы содержат много геометрических конфигураций, что позволит вам переосмыслить весь курс стереометрии с точки зрения применения своих знаний на практике, в частности для нахождения, пожалуй, самых распространенных в жизни геометрических величин — объемов и площадей поверхностей. Ради этого бесценного опыта вы и изучали, в конце концов, геометрию в пространстве.
Объемы
Понятие объема хорошо известно на уровне повседневного опыта: мы покупаем пакет сока определенного объема, рассчитываем, какой объем займет в квартире новая мебель, берем для приготовления блюда кастрюлю соответствующего объема. Придадим этим наглядным представлениям об объеме тела определенную математическую строгость.
Понятие объема многогранников
Для дальнейших рассуждений полезно объединить практический опыт и известную уже теорию площадей многоугольников. По аналогии с ней мы и будем строить теорию объемов пространственных тел, в первую очередь многогранников.
Объем характеризует величину части пространства, которую занимает геометрическое тело, и измеряется, как и площадь, в определенных единицах. Единицей измерения площадей является площадь единичного квадрата, а за единицу измерения объема принимается объем единичного куба, то есть куба, ребро которого равно единице длины. Например, если за единицу измерения длины принимается 1 мм, 1 см, 1 дм или 1 м, то за единицу измерения объема принимается объем куба с ребром 1 мм, 1 см, 1 дм или 1 м. Соответствующая единица объема называется кубическим миллиметром (1 мм3), кубическим сантиметром (1 см3), кубическим дециметром или литром (1 дм3 или 1 л), кубическим метром (1 м3). Таким образом, вычисление объемов тел разной формы основано на сравнении с объемом единичного куба.
Измерить объем тела на практике можно, например, погрузив его в воду и подсчитав количество вытесненной телом воды. Но во многих случаях это не целесообразно, поэтому очень полезно вывести и научиться применять формулы для вычисления объемов. Соответствующая теория основана на аксиомах объема многогранников.
- Равные многогранники имеют равные объемы.
- Бели многогранник составлен из нескольких многогранников, то его объем равен сумме объемов этих многогранников.
- Объем куба с ребром, равным единице длины, равен единице объема.
Итак, объем многогранника — это положительная величина, Числовое значение которой удовлетворяет аксиомам объема. : – Как правило, объем обозначают буквой V.
Приведенные аксиомы имеют и практическую основу. Действительно, все пакеты, имеющие форму прямоугольного параллелепипеда и одинаковые размеры, содержат одинаковое количество сока.
Тела, имеющие равные объемы, называются равновеликими.
Если же каждый из двух пакетов можно разлить в одинаковое количество маленьких пакетиков, то сумма объемов этих пакетиков будет равна объему каждого из них, то есть данные пакеты имеют одинаковый объем.
Тела, составленные из одних и тех же многогранников, называются равносоставленными. Например, равносоставленными будут тела, изображенные на рисунке 190, а, б: прямая треугольная призма и прямой параллелепипед. Действительно, каждая из этих фигур составлена из двух одинаковых прямых призм, таких как на рисунке 190, в.
Очевидно, что объемы равносоставленных многогранников равны по второй аксиоме. Интересно, что обратное утверждение неверно (в отличие от аналогичной теоремы для площадей). Так, многогранники равного объема не всегда можно разбить на конечное число равных многогранников. В частности, куб и правильный тетраэдр равных объемов (рис. 190) не являются равносоставленными.
Объем параллелепипеда
Простейшей фигурой с точки зрения вычисления объема является прямоугольный параллелепипед.
Теорема (формула объема прямоугольного параллелепипеда)
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений:
где — измерения прямоугольного параллелепипеда.
Приведем рассуждения, на которых основано доказательство данной теоремы.
Сначала рассмотрим прямоугольный параллелепипед с измерениями а, 1, 1. Так как в отрезке а единица измерения длины помещается а раз, то единичный куб помещается в параллелепипед также а раз. Значит, объем прямоугольного параллелепипеда равен а (рис. 191, а).
Аналогично объем прямоугольного параллелепипеда с измерениями 1 равен (рис. 191, б), а прямоугольного параллелепипеда с измерениями — равен abc (рис. 191, в).
Полное доказательство данной теоремы приведено в Приложении 2.
Следствие (формула объема куба)
Объем куба равен кубу его ребра:
где а – ребро куба.
Нам известно, что площадь прямоугольника равна произведению двух его измерений, а параллелограмма — произведению его стороны на проведенную к ней высоту. По аналогии нетрудно предположить, что объем произвольного параллелепипеда также можно найти через площадь основания и соответствующую высоту.
Теорема (формула объема параллелепипеда)
Объем параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту:
где — площадь основания параллелепипеда, h — высота.
Доказательство:
Очевидно, что для прямоугольного параллелепипеда данная формула верна. Докажем ее для наклонного параллелепипеда (рис. 192). Проведем через ребра ВС и AD плоскости, перпендикулярные основанию ABCD. Дополним наклонный параллелепипед треугольной призмой и отсечем треугольную призму Эти призмы равны, так как совмещаются параллельным переносом на вектор . Значит, полученный параллелепипед имеет тот же объем, что и исходный.
При описанном преобразовании параллелепипеда площадь его основания и высота сохраняются, а две боковые грани становятся перпендикулярными плоскости основания ABC. Если выполнить аналогичное преобразование с помощью плоскостей, проходящих через АВ и DC перпендикулярно основанию ABCD, получим прямой параллелепипед с основанием ABCD, равновеликий исходному. При этом высоты параллелепипедов также сохраняются.
Теперь проведем через точки А я В плоскости, перпендикулярные АВ (рис. 193). Дополняя прямой параллелепипед одной треугольной призмой (I) и отсекая равную ей другую призму (2), получим прямоугольный параллелепипед, равновеликий предыдущему.
Объем полученного прямоугольного параллелепипеда равен . Так как при описанных выше преобразованиях данного параллелепипеда в прямоугольный каждый раз образуется параллелепипед, равновеликий предыдущему, а площадь
основания и высота сохраняются, то и объем исходного параллелепипеда можно вычислить с помощью полученной формулы. Итак, объем наклонного параллелепипеда
Таким образом, объем произвольного параллелепипеда вычисляется по формуле
Теорема доказана.
Пример №1
В основании наклонного параллелепипеда лежит прямоугольник со сторонами 3 см и 4 см. Боковое ребро параллелепипеда равно 6 см. Найдите объем данного параллелепипеда, если две его боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углом 30°.
Решение:
Пусть дан параллелепипед (рис. 194), в основании которого лежит прямоугольник ABCD со сторонами 3 см и 4 см. Боковые ребра параллелепипеда равны и имеют длину б см. Противолежащие боковые грани параллелепипеда параллельны, следовательно, наклонены к плоскости его основания под равными углами.
Пусть грани перпендикулярны грани ABCD, а грани образуют с ABCD угол 30°. Проведем в плоскости перпендикуляр к AD. По свойству перпендикулярных плоскостей , следовательно, — высота данного параллелепипеда. Так как является перпендикуляром, — наклонной, KD — ее проекцией на плоскость ABC, причем , то по теореме о трех перпендикулярах . Значит, угол равен углу между плоскостями . По условию . Из прямоугольного треугольника получим: = 3 см.
Таким образом,
Ответ: 36 см3.
Объем призмы
На плоскости для получения формулы площади треугольника было удобно дополнить треугольник до параллелограмма. Далее, для получения формулы площадей других многоугольников, целесообразно было разбить их на треугольники. Применим аналогичные приемы для вывода формулы объема призмы.
Теорема (формула объема призмы)
Объем призмы равен произведению площади ее основания на высоту:
где — площадь основания призмы, h — ее высота.
Доказательство:
Пусть дана треугольная призма . Дополним ее до параллелепипеда , как показано на рисунке 195. Дополняющая призма симметрична данной относительно центра симметрии параллелепипеда точки О. Значит, она равна данной призме. Тогда, по аксиомам объема, объем параллелепипеда равен удвоенному объему данной призмы. Но значит,
Применим только что выведенную формулу объема треугольной призмы к рассмотрению произвольной призмы.
Разобьем основание призмы на треугольники, а призму — на соответствующие треугольные призмы с высотой h (рис. 196).
По аксиоме, объем данной призмы равен сумме объемов составляющих ее треугольных призм:
где — площади треугольников, на которые разбито основание призмы.
Теорема доказана.
Пример №2
Объем наклонной призмы равен произведению бокового ребра на площадь перпендикулярного ему сечения: , где I — боковое ребро призмы, — площадь перпендикулярного ему сечения. Докажите.
Решение:
Рассмотрим наклонную призму F1 с ребром АА1 = I (рис. 197). Проведем два ее перпендикулярных сечения, расстояние между плоскостями которых I и которые не имеют с данной призмой общих точек. При этом получим прямую призму F2 и многогранник F3 (рис. 197). Многогранник, гранник, как совмещаются параллельным переносом на вектор . Поэтому их объемы равны. Эти многогранники имеют общую часть F3. Отсюда по аксиоме объема следует, что объемы призм F1 и F2 также равны. Но последняя призма является прямой, и ее объем равен . Значит, объем данной призмы равен .
Объем цилиндра
При обосновании формулы площади круга в планиметрии мы использовали вписанные в окружности и описанные около них многоугольники. Применим аналогичные рассуждения и в пространстве, заменив круг на цилиндр, а многоугольники — на призмы. Дадим соответствующие определения.
Определение:
Прямая призма называется вписанной в цилиндр, если ее основания вписаны в основания цилиндра.
При этом цилиндр называется описанным около призмы. Очевидно, что боковые ребра призмы — образующие цилиндра, а высоты прямой призмы и описанного около нее цилиндра равны (рис. 198).
Определение:
Прямая призма называется описанной около цилиндра, если ее основания описаны около оснований цилиндра.
При этом цилиндр называется вписанным в призму (рис. 199). Очевидно, что высоты прямой призмы и вписанного в нее цилиндра равны.
Теорема (формула объема цилиндра)
Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту:
где — площадь основания цилиндра, h — высота, R — радиус цилиндра.
Доказательство:
Впишем в данный цилиндр радиуса R и высоты h правильную п-угольную призму с площадью основания S’n и опишем около него правильную n-угольную призму с площадью основания (рис. 200). Тогда, по доказанному при обосновании формулы для площади круга,
Отсюда следует, что при неограниченном возрастании п объемы вписанных призм и объемы описанных призм стремятся к величине . Значит, существуют призмы, содержащиеся в данном цилиндре, и призмы, содержащие его, объемы которых сколь угодно мало отличаются от . Тогда объем цилиндра выражается формулой V = .
Теорема доказана.
Пример №3
Основание прямой призмы — треугольник со стороной с-и прилежащими к ней углами . Диагональ грани, содержащей сторону с, образует с плоскостью основания призмы угол ф. Найдите объем цилиндра, описанного около призмы.
Решение:
Пусть дана прямая треугольная призма , в основании которой лежит треугольник . Так как , то — наклонная, АВ — ее проекция на плоскость ABC. Значит, по определению угол равен углу между АВ и плоскостью ABC. По условию (рис. 201).
Рассмотрим цилиндр, описанный около данной призмы. Его основания описаны около оснований призмы, высота равна высоте призмы.
По теореме синусов для треугольника ABC имеем:
Из прямоугольного треугольника
Следовательно, объем цилиндра равен:
Ответ:
Объемы пирамиды, конуса и шара
Рассмотрим способ вычисления объемов тел, в основе которого лежит понятие интеграла, известное из курса алгебры и начал анализа.
Общая формула объема
Пусть тело Т, объем которого требуется вычислить, расположено между двумя параллельными плоскостями . Введем систему координат так, чтобы ось Ох была перпендикулярна плоскостям (рис. 202). Пусть плоскость а задана уравнением х = а, а плоскость — х = Ь (а<Ь).
Будем рассматривать случай, когда любое сечение тела Ф(х) плоскостью, перпендикулярной-оси Ох и пересекающей эту ось в точке (х;0;0), является кругом или многоугольником (такой случай возможен, если Ф(х) — точка).
Обозначим площадь фигуры Ф(х) через S(x). Допустим, что S(x) — непрерывная функция при . Разобьем отрезок [a;b] на n равных отрезков точками и через точки с абсциссами х, проведем плоскости, перпендикулярные оси Ох (рис. 203).
Эти плоскости разобьют тело Т на n тел: . Если сечение Ф(х1) — круг, то объем тела Т, приближенно равен объему цилиндра с основанием Ф(х1) и высотой Если сечение Ф(х1) — многоугольник, то объем тела Ti приближенно равен объему прямой призмы с основанием ф(х, ) и высотой
Учитывая, что объем цилиндра и призмы равен произведению площади основания на высоту, то есть получаем:
При неограниченном возрастании n правая часть данной формулы приближается сколь угодно близко к объему тела Т. С другой стороны, так как S(x) непрерывна на , это же выражение приближается к соответствующему интегралу. Итак,
Таким образом, мы получили формулу для вычисления объема тела с помощью интеграла. Будем называть ее интегральной формулой объема.
Из этой формулы вытекает интересное и удобное в применении следствие, формулировка которого принадлежит итальянскому математику Бонавентуре Кавальери.
Принцип Кавальери
Если при пересечении двух тел F1 и F2 плоскостями, параллельными одной и той же плоскости а, в сечениях получаются фигуры с равными площадями, то объемы данных тел равны.
Это утверждение легко вывести из интегральной формулы объема, если расположить систему координат так, чтобы ось Ох была перпендикулярна плоскости а (рис. 204). Применение интеграла и принципа Кавальери позволяет значительно упростить нахождение формул, выражающих объемы многих важных тел.
Объем пирамиды и конуса
В пунктах 15.3 и 15.4 мы установили, что объемы призмы и цилиндра определяются одной и той же формулой:
Поэтому вполне естественно предположить, что будут совпадать формулы для объемов пирамиды и конуса.
Теорема (формула объема пирамиды)
Объем пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту:
где — площадь основания пирамиды, h — высота.
Доказательство:
Разместим пирамиду в системе координат так, чтобы ось Ох была направлена вдоль высоты, а основание’ принадлежало бы плоскости (рис. 205). Пусть некоторая плоскость параллельна основанию пирамиды и пересекает ее высоту в точке (х;0;0). Обозначим через S(x) площадь сечения пирамиды этой плоскостью. По доказанному в п. 10.2 она отсекает пирамиду, подобную данной. В частности, подобными являются многоугольники основания и сечения. Пусть k — коэффициент подобия. Тогда
Отсюда
Применяя теперь для пирамиды интегральную формулу объема, получим:
Теорема доказана.
Следствие (формула объема усеченной пирамиды)
Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле:
где h – высота усеченной пирамиды, площади ее оснований.
Доказательство:
Дополним данную усеченную пирамиду до полной с высотой Н (рис. 206). Тогда высота дополняющей пирамиды будет равна H-h. Из подобия полной и дополняющей пирамид, площади оснований которых равны соответственно, получаем:
По аксиомам объема, объем усеченной пирамиды равен разности объемов полной и дополняющей пирамид. Следовательно,
Формула доказана.
Заметим, что при доказательстве теоремы об объеме пирамиды и ее следствия, кроме интегральной формулы объема, мы применили только тот факт, что плоскость, параллельная основанию, отсекает пирамиду, для площади основания S(x) и высоты h-x которой верна формула
Но эта формула, по доказанному в п. 13.2, также верна и для конуса (рис. 207). Поэтому аналогичными формулам объема и их доказательствам для пирамиды и усеченной пирамиды будут формулы объема и их доказательства для конуса и усеченного конуса.
Теорема (формула объема конуса)
Объем конуса равен трети произведения площади основания на высоту:
где — площадь основания конуса, R — радиус, h — высота.
Следствие (формула объема усеченного конуса)
Объем усеченного конуса вычисляется по формуле
где h – высота усеченного конуса, – площади его оснований, – радиусы его оснований.
С помощью вписанных и описанных призм мы вывели формулу для объема цилиндра. Подобную связь можно установить также для конусов и пирамид.
Определение:
Пирамида называется вписанной в конус, если их вершины совпадают, а основание пирамиды вписано в основание конуса.
При этом конус называется описанным около пирамиды.
Очевидно, что высоты пирамиды и описанного конуса равны, а боковые ребра пирамиды являются образующими конуса (рис. 208).
Определение:
Пирамида называется описанной около конуса, если их вершины совпадают, а основание пирамиды описано около основания конуса.
При этом конус называется вписанным в пирамиду.
Очевидно, что высоты пирамиды и вписанного конуса равны, а высоты боковых граней пирамиды являются образующими конуса (рис. 209).
Рассмотрим правильные л-угольные пирамиды, вписанные в данный конус, и правильные л-угольные пирамиды, описанные около него (рис. 210).
Если число n сторон оснований этих пирамид неограниченно возрастает, то площади их оснований стремятся к площади круга, лежащего в основании конуса. Следовательно, их объемы стремятся Тогда существуют вписанные в конус и описанные около него пирамиды с объемами, сколь угодно мало отличающимися от
Из этих рассуждений становится понятным другое обоснование формулы объема конуса
Объем шара и его частей
Непосредственно получить только из геометрических рассуждений формулу для объема шара очень сложно. Но с помощью интегральной формулы объема и принципа Кавальери доказательство соответствующих результатов является простым и наглядным.
Теорема (формула объема шара)
Объем шара радиуса R вычисляется по формуле
Доказательство:
Найдем сначала объем полушара, применив принцип Кавальери.
Пусть дан полушар Fl радиуса R. На плоскость а, содержащую основание полушара, поставим цилиндр, радиус и высота которого также равны R. В цилиндр впишем конус, вершина которого совпадает с центром основания цилиндра в плоскости а, а основание — с другим основанием цилиндра (рис. 211).
Сравним объем V1 полушара с объемом V2 тела F2, ограниченного нижним основанием цилиндра и боковыми поверхностями цилиндра и конуса.
Проведем плоскость , параллельную плоскости а и удаленную от нее на расстояние х . Эта плоскость пересечет данный полушар по кругу радиуса и площади , а тело F2 — по кольцу. Так как осевое сечение конуса является равнобедренным прямоугольным треугольником, внешний радиус кольца равен R, а внутренний — х. Значит, площадь полученного кольца составит и будет равна площади сечения полушара. По принципу Кавальери, объем полушара равен объему тела F2, то есть разности объемов цилиндра и конуса:
Объем шара вдвое больше объема полушара, следовательно, вычисляется по формуле . Теорема доказана.
Пример №4
Сечение шара, удаленное от его центра на 1 см, имеет площадь 8л см2. Найдите объем шара.
Решение:
Пусть дан шар с центром О. Сечение шара некоторой плоскостью а является кругом с центром , причем . Так как О удалена от а на 1 см, то = 1 см.
Пусть точка К сферы, ограничивающей шар, принадлежит данному сечению (рис. 212). Тогда площадь сечения равна , откуда (см). Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора имеем:
По формуле объема шара
Ответ:
Найдем теперь объемы частей шара.
Определение:
Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него некоторой плоскостью.
На рисунке 213 плоскость сечения, проходящая через точку В, разделяет шар на два шаровых сегмента. Круг, получившийся в сечении, называется основанием этих сегментов, а длины отрезков диаметра, перпендикулярного плоскости сечения,— высотами сегментов. Так, на рисунке 213 — высота меньшего сегмента, — высота большего сегмента.
Теорема (формула объема шарового сегмента)
Объем шарового сегмента вычисляется по формуле
где R — радиус шара, Н — высота сегмента.
Доказательство:
Применим для шарового сегмента интегральную формулу объема.
Введем декартову систему координат так, чтобы ее начало совпадало с центром шара.
Тогда часть шара, ограниченная плоскостями , является шаровым сегментом с высотой Н (рис. 214).
Радиус сечения шарового сегмента плоскостью, пересекающей ось Ох в точке (х;0;0), равен Следовательно, площадь этого сечения По интегральной формуле объема для шарового сегмента получаем:
Теорема доказана.
Заметим, что при Н -2R из только что доказанной формулы следует еще один способ нахождения формулы объема шара:
Определение:
Шаровым сектором называется тело, ограниченное сферической поверхностью шарового сегмента и боковой поверхностью конуса, основанием которого является основание сегмента, а вершиной – центр шара.
Очевидно, что если шаровой сегмент меньше полушара, его дополняют конусом для получения шарового сектора; если же шаровой сегмент больше полушара, то для получения шарового сектора конус из него удаляют (рис. 215).
Теорема (формула объема шарового сектора)
Объем шарового сектора вычисляется по формуле
где R — радиус шара, Я — высота соответствующего шарового сегмента.
Доказательство:
Рассмотрим случай шарового сектора, высота Я соответствующего шарового сегмента для которого меньше R (рис. 216).
Тогда его объем равен сумме объема сегмента и объема конуса V2. Следовательно,
Случай, когда высота Н больше или равна R, рассмотрите самостоятельно.
Теорема доказана.
Определение:
Шаровым слоем (поясом) называется часть шара, заключенная между двумя параллельными секущими плоскостями.
Расстояние между этими плоскостями называется высотой шарового слоя, а сечения, ограничивающие слой,— основаниями шарового слоя (рис. 217).
Заметим, что объем шарового слоя можно вычислить двумя способами:
- как разность объемов двух шаровых сегментов;
- как разность объема шара и объемов двух сегментов, не входящих в слой.
Объемы подобных тел
Из повседневного опыта нам хорошо известно, что при увеличении размеров предмета его объем также увеличивается. Например, легко сравнить объемы двух аквариумов, размеры одного из которых вдвое меньше соответствующих размеров другого (рис. 218): объемы отличаются в 8 раз.
Кроме того, можно проследить за подобными с коэффициентом k многоугольниками на плоскости. Как известно, их периметры отличаются в k раз, площади — в k2 раз. Естественно предположить, что объемы подобных с коэффициентом k пространственных тел отличаются к3 раз. Проверим это для тел, формулы объема которых нам уже известны.
Итак, для всех рассмотренных тел верно следующее утверждение: объемы тел, подобных с коэффициентом k, относятся как k3.
Этот факт верен и для любых простых тел, то есть тел, которые можно разбить на конечное число треугольных пирамид. В частности, любые многогранники, подобные с коэффициентом к, имеют объемы, которые отличаются в k3 раз.
Пример №5
Через середину высоты пирамиды проведена плоскость, параллельная основанию. В каком отношении она делит объем пирамиды?
Решение:
Пусть дана пирамида с вершиной S и высотой SO. Плоскость, параллельная основанию пирамиды, пересекает SO в точке (рис. 219).
По условию = Но отсекаемая пирамида подобна данной, причем отношение их высот равно коэффициенту подобия, то есть По свойству объемов подобных тел объем отсекаемой пирамиды в 8 раз меньше объема данной пирамиды. Следовательно, данная плоскость, параллельная основанию пирамиды, делит ее объем в отношении 1:7.
Ответ: 1:7.
- Фигуры вращения: цилиндр, конус, шар
- Объем фигур вращения
- Длина дуги кривой
- Геометрические фигуры и их свойства
- Правильные многоугольники
- Вписанные и описанные многоугольники
- Площадь прямоугольника
- Объем пространственных фигур