Как найти количество градусов в многоугольнике

Углы многоугольника

  • Сумма внутренних углов
  • Сумма внешних углов

Внутренний угол многоугольника — это угол, образованный двумя смежными сторонами многоугольника. Например,  ∠ABC  является внутренним углом.

Внутренний угол выпуклого многоугольника

Внешний угол многоугольника — это угол, образованный одной стороной многоугольника и продолжением другой стороны. Например,  ∠LBC  является внешним углом.

внешний угол многоугольника

Количество углов многоугольника всегда равно количеству его сторон. Это относится и к внутренним углам и к внешним. Несмотря на то, что для каждой вершины многоугольника можно построить два равных внешних угла, из них всегда принимается во внимание только один. Следовательно, чтобы найти количество углов любого многоугольника, надо посчитать количество его сторон.

Сумма внутренних углов

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна произведению  180°  и количеству сторон без двух.

s = 2d(n – 2),

где  s  — это сумма углов,  2d  — два прямых угла (то есть  2 · 90 = 180°),  а  n  — количество сторон.

Если мы проведём из вершины  A  многоугольника  ABCDEF  все возможные диагонали, то разделим его на треугольники, количество которых будет на два меньше, чем сторон многоугольника:

сумма внутренних углов многоугольника

Следовательно, сумма углов многоугольника будет равна сумме углов всех получившихся треугольников. Так как сумма углов каждого треугольника равна  180°  (2d),  то сумма углов всех треугольников будет равна произведению  2d  на их количество:

s = 2d(n – 2) = 180 · 4 = 720°.

Из этой формулы следует, что сумма внутренних углов является постоянной величиной и зависит от количества сторон многоугольника.

Сумма внешних углов

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна  360°  (или  4d).

s = 4d,

где  s  — это сумма внешних углов,  4d  — четыре прямых угла (то есть 4 · 90 = 360°).

Сумма внешнего и внутреннего угла при каждой вершине многоугольника равна  180°  (2d),  так как они являются смежными углами. Например,  ∠1  и  ∠2:

Сумма внешних углов многоугольника

Следовательно, если многоугольник имеет  n  сторон (и  n  вершин), то сумма внешних и внутренних углов при всех  n  вершинах будет равна  2dn.  Чтобы из этой суммы  2dn  получить только сумму внешних углов, надо из неё вычесть сумму внутренних углов, то есть  2d(n – 2):

s = 2dn – 2d(n – 2) = 2dn – 2dn + 4d = 4d.


Загрузить PDF


Загрузить PDF

Многоугольник – это любая замкнутая фигура с тремя и более сторонами, которые представляют собой прямые отрезки. Каждая вершина многоугольника содержит как внутренний, так и внешний угол (изнутри и снаружи фигуры, соответственно). Для решения разных геометрических задач полезно знать, как соотносятся эти углы. В частности, необходимо уметь вычислять сумму внутренних углов многоугольника. Это можно сделать по формуле или через разбиение многоугольника на треугольники.

  1. Изображение с названием Calculate the Sum of Interior Angles Step 1

    1

  2. Изображение с названием Calculate the Sum of Interior Angles Step 2

    2

    Найдите число сторон многоугольника. Помните, что у многоугольника должно быть не менее трех сторон.

    • Например, если дан шестиугольник, то число сторон равно 6.
  3. Изображение с названием Calculate the Sum of Interior Angles Step 3

    3

    Подставьте число сторон в формулу. Найденное значение подставьте в формулу вместо n. Помните, что n – это число сторон многоугольника.

  4. Изображение с названием Calculate the Sum of Interior Angles Step 4

    4

    Вычислите сумму углов. Для этого из числа сторон вычтите 2, а затем результат умножьте на 180. Вы получите суммe внутренних углов многоугольника (в градусах).

    Реклама

  1. Изображение с названием Calculate the Sum of Interior Angles Step 5

    1

    Нарисуйте многоугольник, сумму углов которого нужно вычислить. У многоугольника может быть сколько угодно сторон (но не менее трех), и он может быть правильной или неправильной формы.

    • Например, нужно вычислить сумму внутренних углов шестиугольника. Нарисуйте шестиугольник.
  2. Изображение с названием Calculate the Sum of Interior Angles Step 6

    2

    Выберите любую вершину. Обозначьте ее как A.

    • Вершина – это точка, в которой сходятся две стороны многоугольника.
  3. Изображение с названием Calculate the Sum of Interior Angles Step 7

    3

    Соедините точку А с определенными вершинами многоугольника. Линии, соединяющие вершины, не должны пересекаться. Так вы разобьете многоугольник на треугольники.

    • Выбранную вершину не нужно соединять со смежными ей вершинами, так как они соединены сторонами многоугольника.
    • Например, в случае шестиугольника выбранную вершину нужно соединить с тремя другими вершинами, чтобы получить 4 треугольника.
  4. Изображение с названием Calculate the Sum of Interior Angles Step 8

    4

    Умножьте число треугольников на 180. Так как сумма углов треугольника равна 180, умножив количество треугольников на 180, вы найдете сумму внутренних углов многоугольника.

    • В нашем примере шестигранник разбивается на 4 треугольника. Таким образом, 4times 180=720, то есть сумма внутренних углов шестиугольника равна 720 градусов.

    Реклама

Советы

  • Проверьте ответ при помощи транспортира, измерив каждый угол вручную. Для этого аккуратно нарисуйте прямые стороны многоугольника.

Реклама

Что вам понадобится

  • Карандаш
  • Бумага
  • Транспортир (по желанию)
  • Ручка
  • Ластик
  • Линейка

Похожие статьи

Об этой статье

Эту страницу просматривали 38 442 раза.

Была ли эта статья полезной?

Теорема о сумме углов многоугольника выражает сумму углов евклидова многоугольника через число его сторон.

Формулировка[править | править код]

Сумма внутренних углов плоского n-угольника равна {displaystyle 180^{circ }{cdot }(n-2)}.

Замечания[править | править код]

  • Теорема следует из существования триангуляции многоугольника без дополнительных вершин и теоремы о сумме углов треугольника.
    • Существование триангуляции очень просто доказывается для выпуклых многоугольников, в случае невыпуклых многоугольников оно не вполне очевидно.
  • Утверждение теоремы эквивалентно тому, что сумма ориентированных внешних углов многоугольника равна ±360°.

Вариации и обобщения[править | править код]

  • Задача о триангуляции многоугольника.
  • Теорема о сумме углов треугольника — важный частный случай теоремы.
  • Теорема о повороте кривой — дифференциальногеометрический вариант теоремы о сумме углов многоугольника.
  • Формула Гаусса — Бонне — аналогичный результат для искривлённых поверностей.

Литература[править | править код]

  • § 82 в А. П. Киселёв, Геометрия по Киселёву, arΧiv:1806.06942 [math.HO].
Перейти к шаблону «Многоугольники» 

Многоугольники

По числу сторон
  • Одноугольник
  • Двуугольник
  • Треугольник
  • Четырёхугольник
  • Пятиугольник
  • Шестиугольник
  • Семиугольник
  • Восьмиугольник
  • Девятиугольник
  • Десятиугольник
  • Одиннадцатиугольник
  • Двенадцатиугольник
  • Тринадцатиугольник
  • Четырнадцатиугольник
  • Пятнадцатиугольник
  • Шестнадцатиугольник
  • Семнадцатиугольник
  • Восемнадцатиугольник
  • Девятнадцатиугольник
  • Двадцатиугольник
  • Двадцатиодноугольник[de]
  • Двадцатидвухугольник[en]
  • Двадцатитрёхугольник[en]
  • Двадцатичетырёхугольник
  • Двадцатипятиугольник[ko]
  • Двадцативосьмиугольник[en]
  • Тридцатиугольник
  • Тридцатидвухугольник[en]
  • Сорокаугольник[de]
  • Сорокадвухугольник[en]
  • Пятидесятиугольник[en]
  • Пятидесятиодноугольник[de]
  • Шестидесятиугольник[en]
  • Шестидесятичетырёхугольник[en]
  • Семидесятиугольник[en]
  • Восьмидесятиугольник[en]
  • Девяностоугольник[en]
  • Стоугольник[en]
  • Тысячеугольник[en]
  • Десятитысячеугольник[en]
  • Стотысячеугольник[hu]
  • Миллионоугольник
  • Бесконечноугольник
Правильные
Выпуклые
  • Треугольник
  • Квадрат
  • Пятиугольник
  • Шестиугольник
  • Семиугольник
  • Восьмиугольник
  • Девятиугольник
  • Четырнадцатиугольник
  • Семнадцатиугольник
  • 257-угольник
  • 65537-угольник
  • 4294967295-угольник
Звёздчатые
  • Пентаграмма
  • Гексаграмма
  • Гептаграмма
  • Октаграмма (Звезда Лакшми)
  • Эннеаграмма
  • Декаграмма[en]
  • Эндекаграмма[en]
  • Додекаграмма[en]
Треугольники
  • Равнобедренный
  • Правильный
  • Прямоугольный
Четырёхугольники
  • Вписанный
  • Описанный
  • Внеописанный
  • Параллелограмм
  • Антипараллелограмм
  • Прямоугольник
  • Золотой прямоугольник
  • Ромб
  • Ромбоид
  • Трапеция
  • Дельтоид
  • Квадрат
  • Единичный квадрат
  • Ламберта
  • Саккери
См. также
  • Список многоугольников[en]
  • Принадлежность точки многоугольнику
  • Теорема Бойяи — Гервина
  • Теорема Брахмагупты
  • Теорема Гаусса — Ванцеля
  • Формула Пика
  • Теорема о сумме углов многоугольника
  • Соотношение Бретшнайдера

san1



Знаток

(421),
на голосовании



10 лет назад

Какая формула для определить количества углов в n-угольнике зная чему равен один угол! Углы в n угольнике равные!
Знаю только одну формулу но она не помогает. Сумма углов=180*(n-2).
Заранее спасибо!)

Дополнен 10 лет назад

Вот, отлично, большое спасибо, я вывел из того что Вы написали формулу и вроде как она работает)))) )
И так вот она
n=360/(180-α)
Большое спасибо Ирина!)

Голосование за лучший ответ


Download Article


Download Article

In geometry, an angle is the space between 2 rays (or line segments) with the same endpoint (or vertex). The most common way to measure angles is in degrees, with a full circle measuring 360 degrees. You can calculate the measure of an angle in a polygon if you know the shape of the polygon and the measure of its other angles or, in the case of a right triangle, if you know the measures of two of its sides. Additionally, you can measure angles using a protractor or calculate an angle without a protractor using a graphing calculator. This is to allow you to calculate angles

  1. Image titled Calculate Angles Step 1

    1

    Count the number of sides in the polygon. In order to calculate the interior angles of a polygon, you need to first determine how many sides the polygon has. Note that a polygon has the same number of sides as it has angles.[1]

    • For instance, a triangle has 3 sides and 3 interior angles while a square has 4 sides and 4 interior angles.
  2. Image titled Calculate Angles Step 2

    2

    Find the total measure of all of the interior angles in the polygon. The formula for finding the total measure of all interior angles in a polygon is: (n – 2) x 180. In this case, n is the number of sides the polygon has. Some common polygon total angle measures are as follows:[2]

    • The angles in a triangle (a 3-sided polygon) total 180 degrees.
    • The angles in a quadrilateral (a 4-sided polygon) total 360 degrees.
    • The angles in a pentagon (a 5-sided polygon) total 540 degrees.
    • The angles in a hexagon (a 6-sided polygon) total 720 degrees.
    • The angles in an octagon (an 8-sided polygon) total 1080 degrees.

    Advertisement

  3. Image titled Calculate Angles Step 3

    3

    Divide the total measure of all of a regular polygon’s angles by the number of its angles. A regular polygon is a polygon whose sides are all the same length and whose angles all have the same measure. For instance, the measure of each angle in an equilateral triangle is 180 ÷ 3, or 60 degrees, and the measure of each angle in a square is 360 ÷ 4, or 90 degrees.[3]

    • Equilateral triangles and squares are examples of regular polygons, while the Pentagon in Washington, D.C. is an example of a regular pentagon and a stop sign is an example of a regular octagon.
  4. Image titled Calculate Angles Step 4

    4

    Subtract the sum of the known angles from the total measure of the angles for an irregular polygon. If your polygon doesn’t have sides of the same length and angles of the same measure, all you need to do is add up all of the known angles in the polygon. Then, subtract that number from the total measure of all of the angles to find the missing angle.[4]

    • For example, if you know that 4 of the angles in a pentagon measure 80, 100, 120, and 140 degrees, add the numbers together to get a sum of 440. Then, subtract this sum from the total angle measure for a pentagon, which is 540 degrees: 540 – 440 = 100 degrees. So, the missing angle is 100 degrees.

    Tip: Some polygons offer “cheats” to help you figure out the measure of the unknown angle. An isosceles triangle is a triangle with 2 sides of equal length and 2 angles of equal measure. A parallelogram is a quadrilateral with opposite sides of equal lengths and angles diagonally opposite each other of equal measure.

  5. Advertisement

  1. Image titled Calculate Angles Step 5

    1

    Remember that every right triangle has one angle equal to 90 degrees. By definition, a right triangle will always have one angle that’s 90 degrees, even if it’s not labeled as such. So, you will always know at least one angle and can use trigonometry to find out the other 2 angles.[5]

  2. Image titled Calculate Angles Step 6

    2

    Measure the length of 2 of the triangle’s sides. The longest side of a triangle is called the “hypotenuse.” The “adjacent” side is adjacent (or next to) to the angle you’re trying to determine.[6]
    The “opposite” side is opposite to the angle you’re trying to determine. Measure 2 of the sides so you can determine the measure of the remaining angles in the triangle.[7]

    Tip: You can use a graphing calculator to solve your equations or find a table online that lists the values for various sine, cosine, and tangent functions.

  3. Image titled Calculate Angles Step 7

    3

    Use the sine function if you know the length of the opposite side and the hypotenuse. Plug your values into the equation: sine (x) = opposite ÷ hypotenuse. Say that the length of the opposite side is 5 and the length of the hypotenuse is 10. Divide 5 by 10, which is equal to 0.5. Now you know that sine (x) = 0.5 which is the same as x = sine-1 (0.5).[8]

    • If you have a graphing calculator, simply type 0.5 and press sine-1. If you don’t have a graphing calculator, use an online chart to find the value. Both will show that x = 30 degrees.
  4. Image titled Calculate Angles Step 8

    4

    Use the cosine function if you know the length of the adjacent side and the hypotenuse. For this type of problem, use the equation: cosine (x) = adjacent ÷ hypotenuse. If the length of the adjacent side is 1.666 and the length of the hypotenuse is 2.0, divide 1.666 by 2, which is equal to 0.833. So, cosine (x) = 0.833 or x = cosine-1 (0.833).[9]

    • Plug 0.833 into your graphing calculator and press cosine-1. Alternatively, look up the value in a cosine chart. The answer is 33.6 degrees.
  5. Image titled Calculate Angles Step 9

    5

    Use the tangent function if you know the length of the opposite side and the adjacent side. The equation for tangent functions is tangent (x) = opposite ÷ adjacent. Say you know the length of the opposite side is 75 and the length of the adjacent side is 100. Divide 75 by 100, which is 0.75. This means that tangent (x) = 0.75, which is the same as x = tangent-1 (0.75).[10]

    • Find the value in a tangent chart or press 0.75 on your graphing calculator, then tangent-1. This is equal to 36.9 degrees.
  6. Advertisement

Calculator, Practice Problems, and Answers

Add New Question

  • Question

    How do you find an angle?

    Mario Banuelos, PhD

    Mario Banuelos is an Assistant Professor of Mathematics at California State University, Fresno. With over eight years of teaching experience, Mario specializes in mathematical biology, optimization, statistical models for genome evolution, and data science. Mario holds a BA in Mathematics from California State University, Fresno, and a Ph.D. in Applied Mathematics from the University of California, Merced. Mario has taught at both the high school and collegiate levels.

    Mario Banuelos, PhD

    Assistant Professor of Mathematics

    Expert Answer

  • Question

    How do I create a 90 degree corner by swinging an arch?

    Donagan

    Pick a convenient point on a line to be the vertex of your 90° angle. Choose two points on the line, one on each side of the vertex and equidistant from the vertex. Use a compass to draw two arcs of the same diameter, each centered on one of those latter points. Draw a line connecting the vertex point with the intersecting point(s) of the arcs. That line describes a 90° angle with the first line.

  • Question

    How do I find the interior angles of a hexagon without base or height or anything?

    Donagan

    The sum of the six interior angles of a regular polygon is (n-2)(180°), where n is the number of sides. Therefore, in a hexagon the sum of the angles is (4)(180°) = 720°. All the angles are equal, so divide 720° by 6 to get 120°, the size of each interior angle.

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Advertisement

  • Angles are given names according to how many degrees they measure. As noted above, a right angle measures 90 degrees. An angle measuring more than 0 but less than 90 degrees is an acute angle. An angle measuring more than 90 but less than 180 degrees is an obtuse angle. An angle measuring 180 degrees is a straight angle, while an angle measuring more than 180 degrees is a reflex angle.

  • Two angles whose measures add up to 90 degrees are called complementary angles. (The two angles other than the right angle in a right triangle are complementary angles.) Two angles whose measures add up to 180 degrees are called supplementary angles.

Advertisement

References

About This Article

Article SummaryX

To calculate the angles inside a polygon, first count the number of interior angles. A polygon has the same number of interior angles as sides. For example, a triangle always has 3 angles, while a square or rectangle always has 4, and so on. Next, use the formula (n – 2) x 180 to find the total number of degrees of all the interior angles combined. In this formula, n is equal to the number of interior angles. So, a triangle would have (3 – 2) x 180 degrees, or 180 degrees total. On the other hand, a quadrilateral, such as a square or a rectangle, would have (4 – 2) x 180 degrees, or a total of 360 degrees. If the polygon is regular—that is, if all the sides are the same length—then all you have to do is divide the total number of degrees of all the interior angles by the number of sides in the polygon. For instance, to calculate the angles in a regular pentagon, divide 540 degrees by 5 to get 108. Each angle in the pentagon is 108 degrees. If the polygon has irregular sides, your job is a little trickier. If you know all the angles in the polygon but one, you can add the known angles up and subtract the sum from the total number of degrees of all the interior angles. This will give you the number of degrees in the missing angle. In other cases, you may need to look up a formula or function that’s specific to the type of polygon you’re working with. For instance, you can use a sine, cosine, or tan function to find the angles in a right triangle depending on which angle you’re calculating and which side lengths you know. To find out how to calculate angle measure in a right triangle, read on!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 692,411 times.

Reader Success Stories

  • Cynthia Trent

    Cynthia Trent

    Dec 29, 2022

    “I was doing my homework and I didn’t understand something, so now it helped me.”

Did this article help you?

Добавить комментарий