Как найти количество интервалов гистограммы

“

3.2. Гистограмма

Гистограмма – это инструмент [1, 9–11, 30, 38–45], позволяющий зрительно оценить закон распределения величины разброса данных, а также принять решение о том, на чем следует сфокусировать внимание для целей улучшения процесса.

Гистограмма отображается серией столбиков одинаковой ширины, но разной высоты. Ширина столбика представляет интервал в диапазоне наблюдений, высота – количество наблюдений (измерений), попавших в данный интервал. При нормальном законе распределения данных существует тенденция расположения большинства результатов наблюдений ближе к центру распределения (к центральному значению) с постепенным уменьшением при удалении от центра.

Гистограмма применяется главным образом для анализа значений измеренных параметров, но может использоваться и для оценки показателей возможностей процессов [1, 9–11, 15, 35].

Систематизируя показатели качества и анализируя построенную для них гистограмму, можно легко понять вид распределения, а определив среднее значение показателя и стандартное отклонение, можно провести сравнение показателей качества с контрольными нормативами и таким образом получить информацию высокой точности.

3.2.1. Основные сведения о нормальном законе распределения

В связи с тем что теория управления качеством продукции во многих случаях базируется на использовании так называемого нормального закона распределения, рассмотрим этот закон подробнее.

Плотность р(х) нормального распределения случайной величины х выражается функцией

зависящей от двух параметров, а именно: от µ – математического ожидания и σ – среднеквадратичного отклонения нормального распределения.

При статистической обработке экспериментально полученных результатов наблюдений x₁, x₂, …, х_n случайной величины х приблизительные оценки значений µ и σ могут быть вычислены по формулам

При стремлении n → ∞ оценки x и S_n стремятся к µ и σ, т.е.
lim x = µ, lim S_n = σ.
^{n → ∞}

Графики функции (3.1) приведены на рис. 3.1.

На рис. 3.1а приведены графики функции (3.1) при двух значениях параметра σ. Видно, что при значении σ1 < σ2 колоколообразная кривая падает по обе стороны от вершины более круто, чем при σ2 > σ1. С увеличением параметра σ кривая становится более покатой. Однако независимо от значения параметра σ площадь под кривой, представляющей собой функцию (3.1), равна единице. Колоколообразная кривая имеет две точки перегиба, расстояние от которых до ординаты вершины, т.е. до вертикали, проведенной через математическое ожидание х = µ, равно среднеквадратичному отклонению σ. Заштрихованная на рис. 3.1б площадь криволинейной трапеции, заключенная между ординатами х = µ − σ и х = µ + σ, равна 0,6826.

Это означает, что вероятность того, что случайная величина х, распределенная в соответствии с нормальным законом (3.1), находится в интервале (µ − σ < х < µ + σ), равна 0,6826, т.е. Вер (µ − σ < х < µ + σ) = 0,6826.

Если рассмотреть (см. рис. 3.1в) интервал (µ − 2σ < х < µ + 2σ), то Вер (µ − 2σ < х < µ + 2σ) = 0,9544.

Аналогично (см. рис. 3.1г) получается Вер (µ − 3σ < х < µ + 3σ) = 0,9973.

Приведем дополнительные сведения о вероятности попадания случайной величины х, распределенной по нормальному закону, в часто используемые интервалы:

• Вер (µ − 1,96σ < х < µ + 1,96σ) = 0,95,
• Вер (µ − 2,57σ < х < µ + 2,57σ) = 0,99,
• Вер (µ − 3,291σ < х < µ + 3,291σ) = 0,999.

3.2.2. Этапы построения гистограммы

Рассмотрим порядок построения гистограммы, характеризующей управляемость процесса производства валиков, с использованием данных приведенного ниже контрольного листка.

Построение гистограммы, как правило, включает в себя следующие этапы [1, 9–11, 38–42, 45].

1. Разработка формы контрольного листка для сбора первичных данных (см. § 3.1). Пример такого контрольного листка для процесса производства валиков приведен ниже.



2. Сбор статистических данных x_i, i = 1, 2, …, N, характеризующих ход процесса, и заполнение второго столбца контрольного листка. После заполнения контрольного листка приступают собственно к построению гистограммы.
3. Вычисление диапазона данных (выборочного размаха):

R = x_max − x_min,

где x_max – наибольшее наблюдаемое значение; x_min – наименьшее наблюдаемое значение.

В нашем случае x_max = 10,020 мм, x_min = 9,985 мм, т.е. R = 10,020 − 9,985 = 0,035 мм = 35 мкм.

4. Определение количества интервалов n на гистограмме часто осуществляют по формуле Стерджесса [29, 30]

n ≈ 1 + 3,322 lg N,

где N – общее количество собранных данных в выборке.

Рекомендуемое число интервалов гистограммы, которое получается при использовании формулы Стерджесса, представлено в табл. 3.2.

Таблица 3.2
К выбору рекомендуемого числа интервалов на гистограмме

Количество данных в выборке	Число интервалов
23 – 45	6
46 – 90	7
91 – 180	8
181 – 361	9
362 – 723	10
724 – 1447	11
1448 – 2885	12

По данным рассматриваемого нами контрольного листка N = 88, соответственно n = 1 + 3,322 lg 88 = 7,46 – 7.

5. Определение размеров интервалов осуществляют так, чтобы размах, включающий максимальное и минимальное значения, делился на интервалы равной ширины. Для получения ширины интервалов h = R/n размах R делят на полученное выше количество интервалов n.

   В нашем случае h = 0,035 мм / 7 = 0,005 мм = 5 мкм.

   ---

   Внимание!
   Желательно, чтобы размер интервала был не менее двух делений шкалы измерительного прибора (в рассматриваемом примере данные контрольного листка были получены с использованием микрометрической головки часового типа с ценой деления 1 мкм, т.е. один интервал соответствует пяти делениям шкалы прибора).

6. Определение границ интервалов.
   Сначала определяют нижнюю границу первого интервала и прибавляют к ней ширину этого интервала, чтобы получить границу между первым и вторым интервалами. Далее продолжают прибавлять найденную ширину интервала h к предыдущему значению для получения второй границы, затем третьей и т.д. После завершения такой работы можно удостовериться, что верхняя граница последнего интервала совпадает с максимальным значением x_max.
7. Вычисление частот.
   В третий столбец таблицы контрольного листка вносят количество k_i валиков, попавших в каждый интервал. По результатам наблюдений, отмеченных черточками во втором столбце этой таблицы, подсчитывают общее количество наблюдений (в нашем случае N = 88), а затем в четвертый столбец записывают относительные частоты, выраженные в процентах и подсчитанные по формуле
8. Построение горизонтальной и вертикальной осей графика.
   Берется миллиметровая бумага, на ней наносятся горизонтальная и вертикальная оси, а затем на каждой оси выбираются масштабы.
9. Построение графика гистограммы.
   На горизонтальную ось необходимо нанести границы интервалов. На оси абсцисс с обеих сторон (перед первым и после последнего интервалов) следует оставить место, не менее размера одного интервала. Пользуясь шириной интервалов как основанием, строят прямоугольники, высота каждого из которых равна частоте попадания результатов наблюдений в соответствующий интервал. На график (см. рис. 3.2) наносят линию, представляющую среднее арифметическое значение x, а также линии, представляющие границы поля допуска, если они имеются.
   

3.2.3. Вычисление основных характеристик качества процесса по гистограмме

Построение гистограммы на практике производят для того, чтобы оценить качество выпускаемой продукции и качество процесса производства этой продукции. Наиболее часто для оценки качества процесса используют следующие характеристики [9, 10, 34, 39, 41]:

Ниже рассмотрены примеры вычисления перечисленных выше индексов (показателей) по параметрам построенной гистограммы.

В нашем случае на рис. 3.2 обозначены:

• среднее арифметическое значение x результатов наблюдений x_i
  
• размах результатов наблюдений R ≈ 6σ = 0,035 мм, равный ширине основания гистограммы и в большинстве случаев близкий к шести значениям стандартных отклонений σ;

  ---

  Примечание. В качестве приближенного значения стандартного отклонения σ часто используют среднеквадратичное отклонение

  

• нижняя граница поля допуска LSL = 9,975 мм;
• верхняя граница поля допуска USL = 10,025 мм;
• середина поля допуска (целевое значение)

  Ц = (LSL + USL) / 2 = (10,025 + 9,975) / 2 = 10,000 мм;

• дополнительные (гипотетические) значения нижней (LSL)’ и верхней (USL)’ границ поля допуска, которые нам потребуются далее.

По имеющимся на рис. 3.2 данным могут быть вычислены следующие величины, характеризующие качество процесса производства валиков:

• оценка индекса пригодности процесса удовлетворять технический допуск (без учета положения среднего значения x) [34]
  

  Pp =	USL − LSL	≈	USL − LSL	=	10,025 − 9,975	≈	1,43;
  6σ	R	0,035

  

  ---

  Примечания:

  1. Если Р_р ≥ 1, то ширина гистограммы укладывается в пределах ширины поля допуска, т.е. процесс является управляемым; точнее говоря, имеется возможность осуществить процесс так, что 99,73% изделий будут попадать в пределы поля допуска; если Р_р < 1, то процесс является неуправляемым, так как размеры части изделий неизбежно будут выходить за пределы поля допуска; большинство российских заводов работают при значениях Р_р ~ 0,95…1,3, а японским специалистам по управлению качеством продукции во многих случаях удается поддерживать на своих предприятиях значения индекса пригодности процессов Р_р « 1,5…4,0, что позволяет ограничить дефектность продукции единицами бракованных изделий на миллион выпускаемых изделий.
  2. Для того чтобы проиллюстрировать, почему Р_р называется индексом пригодности процесса, рассмотрим гипотетическую ситуацию, когда нижняя и верхняя границы допуска (LSL)’ = 10,03 мм, (USL)’ = 10,08 мм; тогда получим значение индекса пригодности процесса

  Pp =	USL − LSL	≈	(USL)’ − (LSL)’	=	10,08 − 10,03	≈	1,43;
  6σ	R	0,035

  

  Видно, что при (LSL)’ = 10,03 мм, (USL)’ = 10,08 мм, когда (при представленной на рис. 3.2 гистограмме) ни одно изделие не попадает в пределы границ поля допуска, все равно Р_р ≈ 1,43; именно поэтому индекс Р_р называется индексом пригодности процесса (он совершенно не учитывает смещение центра x случайного распределения размеров деталей относительно середины поля допуска Ц);

• смещение гистограммы относительно середины поля допуска может быть охарактеризовано показателем настроенности процесса на целевое значение
  

  k =	|x − Ц|	,
  (USL − LSL)/2

  который в нашем примере равен

  k =	|10,0025 − 10,0000|	= 0,1.
  (10,025 − 9,975)/2

  ---

  Примечание. Если среднее значение x случайного распределения результатов наблюдений сместится относительно середины Ц поля допуска на величину половины поля допуска (USL − LSL)/2, то показатель настроенности процесса станет равен k = 1; если же x = Ц, то показатель k = 0;

• наиболее полно качество протекания процесса может быть охарактеризовано [19] величиной индекса пригодности процесса удовлетворять технический допуск с учетом положения среднего значения x

  P_pk = P_p · (1 − k),

  который в рассматриваемом нами примере равен

  P_pk = 1,43 (1 − 0,1) ≈ 1,29.

Таким образом, для повышения качества процесса (уменьшения уровня дефектности) необходимо обеспечить высокое значение индекса Р_р и низкое значение показателя k.

3.2.4. Типовые формы гистограмм

На рис. 3.3 приведены наиболее часто встречающиеся на практике формы (типы) гистограмм [1, 9–11, 30, 38–42].

Полезную информацию о характере распределения случайной величины можно получить, взглянув на форму гистограммы. Формы, представленные на рис. 3.3, типичны, и вы можете воспользоваться ими как образцами при анализе процессов.

Обычная форма (симметричная, или колоколообразная). Среднее значение гистограммы приходится на середину размаха данных. Наивысшая частота оказывается в середине и постепенно снижается к обоим концам. Форма симметрична.

Гребенка. Интервалы через один имеют более низкие (высокие) частоты.

Положительно скошенное распределение (отрицательно скошенное распределение). Среднее значение гистограммы локализуется слева (справа) от центра размаха. Частоты довольно резко спадают при движении влево (вправо) и, наоборот, медленно – при движении вправо (влево). Форма асимметрична.

Распределение с обрывом справа (распределение с обрывом слева). Среднее арифметическое гистограммы локализуется далеко слева (справа) от центра размаха. Частоты резко спадают при движении влево (вправо) и, наоборот, медленно вправо (влево). Форма асимметрична.

Равномерное или прямоугольное распределение (плато). Частоты в разных интервалах образуют плато, поскольку все интервалы имеют более или менее одинаковые ожидаемые частоты.

Двухпиковая (бимодальная) форма. В окрестностях центра диапазона данных частота низкая, т.е. по пику с каждой стороны.

3.2.5. Использование гистограмм при оценке и анализе качества процессов

Анализ формы гистограммы и ее расположения по отношению к технологическому допуску позволяет делать заключения о состоянии изучаемого процесса и вырабатывать надлежащие меры. На рис. 3.4 показаны возможные варианты расположения гистограммы по отношению к допуску [38].

На рис. 3.4а левая и правая стороны гистограммы симметричны, следовательно, форма гистограммы удовлетворительна. Если сравнить ширину гистограммы с шириной поля допуска, то она составляет приблизительно 3/4 (что соответствует Р_р ≈ 1,33), т.е. в поле допуска имеется достаточный запас. Поскольку центр x распределения и центр Ц поля допуска совпадают (что соответствует k ≈ 0 и Р_рk ≈ 1,33), то качество партии деталей находится в удовлетворительном состоянии. Таким образом, в данной ситуации технологическая операция не нуждается в корректировке [38].

На рис. 3.4б гистограмма сдвинута вправо. В связи с этим имеется опасение, что среди деталей могут находиться некондиционные единицы (выходящие за пределы допуска). В этом случае необходимо проверить, не вносят ли систематическую ошибку используемые средства измерения. Если средство измерения находится в удовлетворительном состоянии, следует продолжить изготовление деталей, отрегулировав технологическую операцию так, чтобы центр x гистограммы совпадал с центром Ц поля допуска [38].

На рис. 3.4в центр гистограммы расположен правильно, т.е. совпадает с центром поля допуска. Однако поскольку ширина гистограммы, характеризующая реальный разброс значений контролируемого показателя, совпадает с шириной поля допуска, то имеется опасение, что со стороны верхнего и нижнего допуска могут появиться некондиционные детали. Следовательно, чтобы сузить ширину гистограммы, необходимо принять меры для обследования технологической операции с точки зрения точности оборудования, условий обработки, технологической оснастки и т. д. В случае невозможности найти техническое решение по данному вопросу рекомендуется (если есть такая возможность) расширить допуск, так как требования к качеству деталей в данном случае трудновыполнимы [38].

На рис. 3.4г центр гистограммы смещен, причем выход одного интервала гистограммы за верхнюю границу допуска USL свидетельствует о наличии дефектных деталей. Кроме того, поскольку ширина гистограммы и ширина поля допуска почти одинаковы, необходимо срочно отрегулировать технологическую операцию, переместив центр гистограммы x в центр поля допуска Ц, либо уменьшить ширину гистограммы, либо изменить допуск [38].

На рис. 3.4д центр гистограммы совпадает с центром поля допуска, но так как ширина гистограммы превышает ширину поля допуска, то обнаруживаются детали несоответствующего качества, о чем свидетельствует выход гистограммы за обе стороны поля допуска. В этом случае целесообразно реализовать рассмотренные выше меры [38].

На рис. 3.4е в гистограмме имеются два пика, хотя образцы деталей взяты из одной партии. Это явление объясняется либо тем, что исходный материал для деталей был двух разных сортов, либо в процессе изготовления деталей была изменена настройка оборудования, либо тем, что в одну партию включили детали, обработанные на двух разных станках. Очевидно, следует провести (см. подробнее § 3.3) расслоение (стратификацию) гистограммы, т.е. разбить ее на две [38].

На рис. 3.4ж главные характеристики гистограммы (ширина и центр) в норме, однако значительная часть деталей выходит за верхний предел допуска и, отделяясь, образует обособленный «островок». Детали в этом «островке», возможно, представляют часть тех деталей несоответствующего качества, которые вследствие небрежности были перемешаны с доброкачественными в общем потоке. В данной ситуации необходимо принять меры для выяснения самых различных и внезапно возникающих обстоятельств, должным образом объясняющих причину этого явления [38].

На рис. 3.4з центр распределения смещен к нижнему пределу допуска. Так как левая сторона гистограммы на границе нижнего предела допуска имеет вид «отвесного берега», можно сделать заключение, что фактически это была партия, которую предварительно рассортировали из-за наличия в ней деталей несоответствующего качества в левой стороне гистограммы (т.е. выходящих за нижний предел допуска) или же детали несоответствующего качества левой стороны при выборочном контроле умышленно распределили как годные для включения в пределы допуска. Следовательно, необходимо выявить причину, которая могла повлечь за собой данное явление [38].

На рис. 3.4и показан случай, аналогичный варианту «з». Возможно, что используемое измерительное средство было неисправно. В связи с этим необходимо обратить внимание на калибровку (поверку) измерительного средства, равно как и на повторное обучение правилам выполнения измерений [38].

”