Как найти количество прямоугольников в квадрате

Как найти количество прямоугольников в квадрате

Количество прямоугольников в квадрате 8 на 8 клеток можно найти следующим образом. Сначала мы можем посчитать количество прямоугольников, которые можно образовать в каждой строке. Для этого мы можем использовать формулу n(n+1)/2, где n – количество клеток в строке. Затем мы можем сложить количество прямоугольников в каждой строке, чтобы получить общее количество прямоугольников в квадрате.

Таким образом, количество прямоугольников в квадрате 8 на 8 клеток равно:

1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 = 28,800

Также стоит отметить, что квадраты также считаются за прямоугольники. Таким образом, общее количество прямоугольников и квадратов в квадрате 8 на 8 клеток равно 28,800 + 64 = 28,864¹.

29.03.2023(1) СКОЛЬКО ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ В КВАДРАТЕ? //Математика – YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=0M7j3KRF6h4 Получен доступ 29.03.2023.
(2) Сколько прямоугольников можно найти. https://planshet-info.ru/kompjutery/skolko-prjamougolnikov-mozhno-najti Получен доступ 29.03.2023.
(3) Можно ли квадрат 8 на 8 клеток с вырезаной угловой клеткой разрезать на …. https://znanija.com/task/48154795 Получен доступ 29.03.2023.

Источник


Автор:
Laura McKinney


Дата создания:
9 Апрель 2021


Дата обновления:
15 Май 2023


СКОЛЬКО ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ В КВАДРАТЕ? //Математика

Видео: СКОЛЬКО ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ В КВАДРАТЕ? //Математика

Сетка 5х5 состоит из 25 отдельных квадратов, которые можно комбинировать для формирования прямоугольников. Подсчет их – это простой вопрос принятия регулярного подхода, который приводит к несколько неожиданному результату.

    Начните с квадрата в верхнем левом углу. Подсчитайте количество прямоугольников, которые можно создать, начиная с этого квадрата. Есть пять разных прямоугольников высотой 1, пять разных прямоугольников высотой 2, что приводит к 5 х 5, или 25 разных прямоугольников, начинающихся с этого квадрата.

    Переместите один квадрат вправо и посчитайте прямоугольники, начинающиеся здесь. Здесь есть четыре разных прямоугольника с высотой 1, еще четыре с высотой 2, ведущих к 5 x 4, или 20 разных прямоугольников, начинающихся здесь.

    Повторите это для следующего квадрата, и вы увидите, что есть 5 х 3 прямоугольника или 15. Вы должны увидеть шаблон уже сейчас. Для любого квадрата количество нарисованных прямоугольников равно их координатному расстоянию от нижнего правого угла.

    Заполните сетку количеством прямоугольников каждого квадрата, подсчитав их вручную или выполнив трюк из шага 3. Когда вы закончите, он должен выглядеть примерно так:

    25 20 15 10 5 20 16 12 8 4 15 12 9 6 3 10 8 6 4 2 5 4 3 2 1

    Сложите числа в сетке, чтобы получить общее количество прямоугольников. Ответ 225, что 5 кубов. Любая сетка размером NxN будет иметь N прямоугольных кубов. См. Ссылки для математического доказательства, если вы не возражаете против небольшой алгебры.

Источник

This can be found at OEIS A085582 and for $n=5$ the answer is $130$.

Or, as I see, you’re allowing rectangles where the “side length is $0$” i.e. the corners reside at same point. Would then a non-axis-aligned rectangle also be allowed to be “just a line”? If not, add the number of non-axis-aligned, from A113751 (for $n=5$ it’s $30$) to the axis-aligned number to get

$$225 + 30 = 255.$$

If you also allow degenerate diagonal rectangles, read on.

EDIT: As suggested in the comments, the degenerated rectangles are simply counted by choosing two points from the square (we can even choose the same point to just get a point as the rectangle). So it is

$${n^2choose 2} + n^2 = frac{n^2(n^2+1)}{2}.$$

Add this to the number of non-degenerate rectangles given by OEIS A085582. For $n=5$ we get

$$130 + 325 = 455.$$

(That’s what I get with my brute force program too.)

Источник

Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное

 

Формула для числа прямоугольников (олимпиада Приморского кр)

Сообщение23.03.2011, 23:00 


23/03/11
∞
7
оттуда, откуда мы все 🙂

Выразите через натуральное число n количество прямоугольников на координатной плоскости со сторонами, параллельными осям и целочисленными вершинами (a, b) $0le a, ble n$

Профиль  

ИСН 

Сообщение23.03.2011, 23:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13415
с Территории

Большинство людей, когда надо узнать число дней с 26-го, например, по 31-е число месяца, считает путём загибания пальцев. Это из той же оперы?

Профиль  

svv 

Re: Формула для числа прямоугольников (олимпиада Приморского кр)

Сообщение23.03.2011, 23:14 
Заслуженный участник


23/07/08
10065
Crna Gora

ИСН писал(а):

Это из той же оперы?

Нет, это из олимпиады Приморского края.

Профиль  

Sonkina 

Re:

Сообщение23.03.2011, 23:14 


23/03/11
∞
7
оттуда, откуда мы все 🙂

Большинство людей, когда надо узнать число дней с 26-го, например, по 31-е число месяца, считает путём загибания пальцев. Это из той же оперы?

Ну а если $n=100$ тоже на пальцах будете? Пальцев не хватит :lol1:

Профиль  

ИСН 

Сообщение23.03.2011, 23:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13415
с Территории

Вот поэтому-то математики вывели формулу, сколько целых чисел умещается от сих до сих, и ею пользуются.

Профиль  

Sonkina 

Re:

Сообщение23.03.2011, 23:18 


23/03/11
∞
7
оттуда, откуда мы все 🙂

Вот поэтому-то математики вывели формулу, сколько целых чисел умещается от сих до сих, и ею пользуются.

Вы точно эту задачу решаете, а не какую другую?

Профиль  

svv 

Re: Формула для числа прямоугольников (олимпиада Приморского кр)

Сообщение23.03.2011, 23:27 
Заслуженный участник


23/07/08
10065
Crna Gora

Sonkina

, мне тоже совершенно непонятно, в чем фишка. Вы можете ещё как-то по другому объяснить условие?
А то у меня получается совершенно недоброе представление об олимпиаде Приморского края.

Профиль  

Null 

Сообщение23.03.2011, 23:30 
Заслуженный участник


12/08/10
1410

$left(frac{n(n+1)}{2}right)^2$?

Профиль  

Sonkina 

Re: Формула для числа прямоугольников (олимпиада Приморского кр)

Сообщение23.03.2011, 23:32 


23/03/11
∞
7
оттуда, откуда мы все 🙂

Sonkina

, мне тоже совершенно непонятно, в чем фишка. Вы можете ещё как-то по другому объяснить условие?

Попробую. На декартовой плоскости дано множество всех целочисленных точек, каждая из координат которых не меньше нуля и не больше n. Сколькими способыми можно выбрать прямоугольник, чтобы его вершины лежали в этом множестве, а стороны были параллельны осям координат? Так понятней? А Вы о чем подумали сначала?

Профиль  

svv 

Re: Формула для числа прямоугольников (олимпиада Приморского кр)

Сообщение23.03.2011, 23:35 
Заслуженный участник


23/07/08
10065
Crna Gora

Я всё понял. Надо найти количество всевозможных подпрямоугольников, помещающихся в большой прямоугольник. Их там туча. Отличающиеся только сдвигом считаются всё равно разными. Так?

Подумал примерно то же, что и Null

.

Профиль  

Sonkina 

Re:

Сообщение23.03.2011, 23:41 


23/03/11
∞
7
оттуда, откуда мы все 🙂

$left(frac{n(n+1)}{2}right)^2$?

А вопросительный знак – это что? Я знаю что восклицательный это факториал, а вопросительный?

— Ср мар 23, 2011 23:42:34 —

Я всё понял. Надо найти количество всевозможных подпрямоугольников, помещающихся в большой прямоугольник. Их там туча. Отличающиеся только сдвигом считаются всё равно разными. Так?

Подумал примерно то же, что и Null

.

Только не просто большой прямоугольник, а именно большой квадрат.

Профиль  

age 

Сообщение23.03.2011, 23:52 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09
∞
2213

$left(frac{n(n+1)}{2}right)^2$?

Немножко не так. Для каждой пары $(a_0,b_0)$ – координат первой точки подойдут любые пары $(a_1,b_1)$ координат для второй точки. Кроме $(a_0,b_0)$, т.к. в данном случае прямоугольник будет вырожденный. Также будут вырождаться в отрезок все прямоугольники у которых будет совпадать хоть одна координата. Поэтому их всех надо исключить. Комбинаторная задача. Надо посчитать.

Профиль  

kocuHyc 

Re:

Сообщение24.03.2011, 00:00 


03/03/11
∞
16

$left(frac{n(n+1)}{2}right)^2$?

Немножко не так. Для каждой пары $(a_0,b_0)$ – координат первой точки подойдут любые пары $(a_1,b_1)$ координат для второй точки. Кроме $(a_0,b_0)$, т.к. в данном случае прямоугольник будет вырожденный. Также будут вырождаться в отрезок все прямоугольники у которых будет совпадать хоть одна координата. Поэтому их всех надо исключить. Комбинаторная задача. Надо посчитать.

http://e-science.ru/forum/index.php?showtopic=29108

Профиль  

Xenia1996 

Re:

Сообщение24.03.2011, 01:04 


01/10/10
∞
2116
Израиль (племянница БизиБивера)

$left(frac{n(n+1)}{2}right)^2$?

Выведенная Вами формула является частным случаем более общей закономерности, согласно которой число прямоугольников (с целочисленными вершинами и соронами, параллельными осям координат) внутри (не обязательно строго внутри) большого прямоугольника n на m равна произведению энного и эмного треугольных чисел.
$frac{n(n+1)}2 cdot frac{m(m+1)}2$

Частный случай $n=2; m=3$ подробно рассмотрен в этом детском саду, а задачу, я полагаю, ТС взяла отсюда (год 1990, задача 1).

Профиль  

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Источник

Разные – это не одинаковые. А одинаковые (равные) прямоугольники (фигуры) – это прямоугольники, которые совпадут при наложении друг на друга. Соответсвенно одинаковыми будут прямоугольники одинаковых размеров.

То есть надо посчитать количество не всех возможных прямоугольников, а количество групп с разными размерами:

Прямоугольников тем больше можно вместить, чем меньше размер исходных прямоугольников.

Площадь большого квадрата = 5•5 = 25

Значит суммарно все площади прямоугольников = 25

Начнем с наименьшего и по возрастанию

1х1 = 1; 1х2 = 2; 1х3 = 3; 1х4 = 4; 1х5 = 5; 2х2 = 4; 2х3 = 6

Итого: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 6 = 25

Получили 7 прямоугольников.

Это минимальная сумма площадей, если будем брать другие прямоугольники, то будет больше сумма и тогда надо взять меньше прямоугольников.

Осталось нарисовать для наглядности:

Таким образом получили максимально возможно 7 прямоугольников

Ответ: 7

Источник

Добавить комментарий