Здравствуйте, дорогие читатели! Как посчитать, сколько делителей у какого-нибудь числа? Если это число маленькое, то никаких сложностей не возникает. Например, для числа 10, мы легко можем найти все делители и посчитать их количество простым перебором. А вот как узнать, на какое количество различных чисел делится, например, число 720? Можно, конечно, опять же перебрать все делители, но это будет довольно трудоемко. При чем, 720 – еще и довольно маленькое число.
Сегодня, я Вам расскажу, как находить количество делителей любого натурального числа, зная всего лишь одну простую формулу.
На самом деле, наша сегодняшняя формула будет даже проще, чем те, которые изображены на картинке выше)
Вы находитесь на канале Trifler, где я разбираю интересные математические задачи, а также рассуждаю на некоторые околоматематические темы. Если Вы искренне увлечены математикой, но еще не подписаны на этот канал, то самое время это исправить! Подписаться
Чудо-формула
Ну что ж, пора переходить от разговоров к делу.
Мы знаем, что любое натуральное число можно представить в виде произведения простых чисел, которые являются его делителями. Так как один и тот же простой делитель может встречаться несколько раз, то любое натуральное числа можно записать так:
Если не совсем понятно, о чем идет речь, то потом посмотрите пример ниже. На самом деле, все очень просто.
Так вот, после того, как мы найдем такое представление числа n, количество его делителей можно будет посчитать по формуле:
Посмотрим, как все это считается на примере
Пример
Раскладываем это число на простые множители, чтобы получить нужное представление:
Теперь, запишем число 720 в каноническом виде:
Ну и все, остается только применить чудо-формулу:
Вот и все, получили, что у числа 720 имеется 30 различных натуральных делителей. Стоит сделать замечание:
По этой формуле мы считаем количество делителей вместе с единицей и самим числом.
Если Вам понравилась статья, то обязательно ставьте лайки и комментируйте ее. Это поспособствует тому, чтобы ее увидело много людей!
Читайте также ТОП-3 статьи, выпущенные в этом месяце на моем канале:
- Quincy: робот, который обучит Ваших детей математике, английскому и рисованию
- Почему вторая степень это квадрат, а третья – куб
- Необычное тригонометрическое уравнение
В данной статье мы поговорим о том, как найти все делители числа. Начнем с доказательства теоремы, с помощью которой можно задать вид всех делителей определенного числа. Далее возьмем примеры нахождения всех нужных делителей и покажем, как именно определить, сколько делителей имеет конкретное число. В последнем пункте подробно рассмотрим примеры задач на нахождение общих делителей нескольких чисел.
Как найти все делители числа
Чтобы понять материал, изложенный в данном пункте, нужно хорошо знать, что вообще из себя представляют кратные числа и делители. Здесь мы поговорим только о поиске делителей натуральных чисел, т.е. целых положительных. Этим можно ограничиться, поскольку свойство делимости гласит, что делители целого отрицательного числа аналогичны делителям целого положительного, которое будет противоположным по отношению к этому числу. Также сразу уточним, что у нуля есть бесконечно большое число делителей, и находить их смысла не имеет, поскольку в итоге все равно получится 0.
Если речь идет о простом числе, то его можно разделить только на единицу и на само себя. Значит, у любого простого числа a есть всего 4 делителя, два из которых больше 0 и два меньше: 1, -1, a, -a. Возьмем простое число 7: у него есть делители 7, -7, 1 и -1, и все. Еще один пример: 367 – тоже простое число, которое можно разделить лишь на 1, -1, 367 и -367.
Сложнее определить все делители составного числа. Сформулируем теорему, которая лежит в основе данного действия.
Допустим, у нас есть выражение, означающее каноническое разложение числа на простые множители, вида a=p1s1·p2s2·…·pnsn. Тогда натуральными делителями числа a будут следующие числа: d=p1t2·p2t2·…·pntn, где t1=0, 1, …, s1, t2=0, 1, …, s2, …, tn=0, 1, …, sn.
Перейдем к доказательству этой теоремы. Зная основное определение делимости, мы можем утверждать, что a можно разделить на d, если есть такое число q, что делает верным равенство a=d·q, т.е. q=p1(s1−t1)·p2(s2-t2)·…·pn(sn-tn).
Любое число, делящее a, будет иметь именно такой вид, поскольку, согласно свойствам делимости, других простых множителей, кроме p1, p2, …, pn, оно иметь не может, а их показатели в данном случае не превысят s1, s2, …, sn.
Учитывая доказательство этой теоремы, мы можем сформировать схему нахождения всех положительных делителей данного числа.
Для этого нужно выполнить следующие действия:
- Выполнить каноническое разложение на простые множители и получить выражение вида a=p1s1·p2s2·…·pnsn.
- Найти все значения d=p1t2·p2t2·…·pntn, где числа t1, t2, …, tn будут принимать независимо друг от друга каждое из значений t1=0, 1, …, s1, t2=0, 1, …, s2, …, tn=0, 1, …, sn.
Самым трудным в таком расчете является именно перебор всех комбинаций указанных значений. Разберем подробно решения нескольких задач, чтобы наглядно показать применение данной схемы на практике.
Условие: найти все делители 8.
Решение
Разложим восьмерку на простые множители и получим 8=2·2·2. Переведем разложение в каноническую форму и получим 8=23. Следовательно, a=8, p1=2, s1=3.
Поскольку все делители восьмерки будут значениями p1t1=2t1, то t1 может принять значения нуля, единицы, двойки, тройки. 3 будет последним значением, ведь s1=3. Таким образом, если t1=0, то 2t1=20=1, если 1, то 2t1=21=2, если 2, то 2t1=22=4, а если 3, то 2t1=23=8.
Для нахождения делителей удобно все полученные значения оформлять в виде таблицы:
| t1 | 2t1 |
| 0 | 20=1 |
| 1 | 21=2 |
| 2 | 22=4 |
| 3 | 23=8 |
Значит, положительными делителями восьмерки будут числа 1, 2, 4 и 8, а отрицательными −1, −2, −4 и −8.
Ответ: делителями данного числа будут ±1, ±2, ±4, ±8.
Возьмем пример чуть сложнее: в нем при разложении числа получится не один, а два множителя.
Условие: найдите все делители числа 567, являющиеся натуральными числами.
Решение
Начнем с разложения данного числа на простые множители.
56718963217133337
Приведем разложение к каноническому виду и получим 567=34·7. Затем перейдем к вычислению всех натуральных множителей. Для этого будем присваивать t1 и t2 значения 0, 1, 2, 3, 4 и 0, 1, вычисляя при этом значения 3t1·7t2. Результаты будем вносить в таблицу:
| t1 | t2 | 3t1·7t2 |
| 0 | 0 | 30·70=1 |
| 0 | 1 | 30·71=7 |
| 1 | 0 | 31·70=3 |
| 1 | 1 | 31·71=21 |
| 2 | 0 | 32·70=9 |
| 2 | 1 | 32·71=63 |
| 3 | 0 | 33·70=27 |
| 3 | 1 | 33·71=189 |
| 4 | 0 | 34·70=81 |
| 4 | 1 | 34·71=567 |
Ответ: натуральными делителями 567 будут числа 27, 63, 81, 189, 1, 3, 7, 9, 21 и 567.
Продолжим усложнять наши примеры – возьмем четырехзначное число.
Условие: найти все делители 3 900, которые будут больше 0.
Решение
Проводим разложение данного числа на простые множители. В каноническом виде оно будет выглядеть как 3 900=22·3·52·13. Теперь приступаем к нахождению положительных делителей, подставляя в выражение 2t1·3t2·5t3·13t4 значения t1, равные 0, 1 и 2, t2=0,1, t3=0, 1, 2, t4=0, 1. Результаты представляем в табличном виде:
| t1 | t2 | t3 | t4 | 2t1·3t2·5t3·13t4 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 20·30·50·130=1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 20·30·50·131=13 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 20·30·51·130=5 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 20·30·51·131=65 |
| 0 | 0 | 2 | 0 | 20·30·52·130=25 |
| 0 | 0 | 2 | 1 | 20·30·52·131=325 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 20·31·50·130=3 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 20·31·50·131=39 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 20·31·51·130=15 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 20·31·51·131=195 |
| 0 | 1 | 2 | 0 | 20·31·52·130=75 |
| 0 | 1 | 2 | 1 | 20·31·52·131=975 |
| t1 | t2 | t3 | t4 | 2t1·3t2·5t3·13t4 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 21·30·50·130=2 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 21·30·50·131=26 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 21·30·51·130=10 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 21·30·51·131=130 |
| 1 | 0 | 2 | 0 | 21·30·52·130=50 |
| 1 | 0 | 2 | 1 | 21·30·52·131=650 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 21·31·50·130=6 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 21·31·50·131=78 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 21·31·51·130=30 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 21·31·51·131=390 |
| 1 | 1 | 2 | 0 | 21·31·52·130=150 |
| 1 | 1 | 2 | 1 | 21·31·52·131=1950 |
| t1 | t2 | t3 | t4 | 2t1·3t2·5t3·13t4 |
| 2 | 0 | 0 | 0 | 22·30·50·130=4 |
| 2 | 0 | 0 | 1 | 22·30·50·131=52 |
| 2 | 0 | 1 | 0 | 22·30·51·130=20 |
| 2 | 0 | 1 | 1 | 22·30·51·131=260 |
| 2 | 0 | 2 | 0 | 22·30·52·130=100 |
| 2 | 1 | 0 | 1 | 22·30·52·131=1300 |
| 2 | 1 | 0 | 0 | 22·31·50·130=12 |
| 2 | 1 | 0 | 1 | 22·31·50·131=156 |
| 2 | 1 | 1 | 0 | 22·31·51·130=60 |
| 2 | 1 | 1 | 1 | 22·31·51·131=780 |
| 2 | 1 | 2 | 0 | 22·31·52·130=300 |
| 2 | 1 | 2 | 1 | 22·31·52·131=3900 |
Ответ: делителями числа 3 900 будут:195, 260, 300, 325, 390, 650, 780, 975, 75, 78, 100, 130, 150, 156, 13,15, 20, 25, 26, 30, 39, 50,52, 60, 65, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 1 300, 1 950, 3 900
Как определить количество делителей конкретного числа
Чтобы узнать, сколько положительных делителей у конкретного числа a, каноническое разложение которого выглядит как a=p1s1·p2s2·…·pnsn, нужно найти значение выражения (s1+1) ·(s2+1) ·…·(sn+1). О количестве наборов переменных t1, t2, …, tn мы можем судить по величине записанного выражения.
Покажем на примере, как это вычисляется. Определим, сколько будет натуральных делителей у числа 3 900, которое мы использовали в предыдущей задаче. Каноническое разложение мы уже записывали: 3 900=22·3·52·13. Значит, s1=2, s2=1, s3=2, s4=1. Теперь подставим значения s1, s2, s3 и s4 в выражение (s1+1) ·(s2+1) ·(s3+1) ·(s4+1) и вычислим его значение. Имеем (2+1)·(1+1)·(2+1)·(1+1)=3·2·3·2=36. Значит, это число имеет всего 36 делителей, являющихся натуральными числами. Пересчитаем то количество, что у нас получилось в предыдущей задаче, и убедимся в правильности решения. Если учесть и отрицательные делители, которых столько же, сколько и положительных, то получится, что у данного числа всего будет 72 делителя.
Условие: определите, сколько делителей имеет 84.
Решение
Раскладываем число на множители.
844221712237
Записываем каноническое разложение: 84=22·3·7. Определяем, сколько у нас получится положительных делителей: (2+1)·(1+1)·(1+1) =12. Для учета отрицательных нужно умножить это число на 2:2·12=24.
Ответ: всего у 84 будет 24 делителя – 12 положительных и 12 отрицательных.
Как вычислить общие делители нескольких чисел
Зная свойства наибольшего общего делителя, можно утверждать, что количество делителей некоторого набора целых чисел будет совпадать с количеством делителей НОД тех же чисел. Это будет справедливо не только для двух чисел, но и для большего их количества. Следовательно, чтобы вычислить все общие делители нескольких чисел, надо определить их наибольший общий множитель и найти все его делители.
Разберем пару таких задач.
Условие: сколько будет натуральных общих делителей у чисел 140 и 50? Вычислите их все.
Решение
Начнем с вычисления НОД (140, 50).
Для этого нам потребуется алгоритм Евклида:
140=50·2+40, 50=40·1+10, 40=10·4, значит, НОД (50, 140)=10.
Далее выясним, сколько положительных делителей есть у десяти. Разложим его на простые множители и получим 20·50=1, 20·51=5, 21·50=2 и 21·51=10. Значит, все натуральные общие делители исходного числа – это 1, 2, 5 и 10, а всего их четыре.
Ответ: данные числа имеют четыре натуральных делителя, равные 10, 5, 2 и 1.
Условие: выясните, сколько общих положительных делителей есть у чисел 585, 315, 90 и 45.
Решение
Вычислим их наибольший общий делитель, разложив число на простые множители. Поскольку 90=2·3·3·5, 45=3·3·5, 315=3·3·5·7 и 585=3·3·5·13, то таким делителем будет 5: НОД (90, 45, 315, 585) =3·3·5=32·5.
Чтобы узнать количество этих чисел, нужно выяснить, сколько положительных делителей имеет НОД.
Считаем:
НОД (90, 45, 315, 585) =32·5:(2+1)·(1+1) =6.
Ответ: у данных чисел шесть общих делителей.
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Число называется делителем (или множителем) другого числа в том случае, если при делении на него получается целый результат без остатка.[1]
Для малого числа (например, 6) определить количество делителей довольно легко: достаточно выписать все возможные произведения двух целых чисел, которые дают заданное число. При работе с большими числами определить количество делителей становится сложнее. Тем не менее, если вы разложите целое число на простые множители, то легко сможете определить число делителей с помощью простой формулы.
-
1
Запишите заданное целое число вверху страницы. Вам понадобится достаточно места для того, чтобы расположить ниже числа дерево множителей. Для разложения числа на простые множители можно использовать и другие методы, которые вы найдете в статье Как разложить число на множители.
- Например, если вы хотите узнать, сколько делителей, или множителей имеет число 24, запишите вверху страницы.
- Например, если вы хотите узнать, сколько делителей, или множителей имеет число 24, запишите
-
2
Найдите два числа (помимо 1), при перемножении которых получается заданное число. Таким образом вы найдете два делителя, или множителя данного числа. Проведите от данного числа две ветки вниз и запишите на их концах полученные множители.
-
3
Поищите простые множители. Простым множителем называется такое число, которое делится без остатка лишь на само себя и на 1.[2]
Например, число 7 является простым множителем, так как оно делится без остатка лишь на 1 и 7. Для удобства обводите найденные простые множители кружком.- Например, 2 является простым числом, поэтому обведите кружком.
- Например, 2 является простым числом, поэтому обведите
-
4
Продолжайте раскладывать составные (не простые) числа на множители. Проводите следующие ветки от составных чисел до тех пор, пока все множители не станут простыми. Не забывайте обводить простые числа кружками.
-
5
Представьте каждый простой множитель в степенной форме. Для этого подсчитайте, сколько раз встречается каждый простой множитель в нарисованном дереве множителей. Это число и будет степенью, в которую необходимо возвести данный простой множитель.[3]
-
6
Запишите разложение числа на простые множители. Первоначально заданное число равно произведению простых множителей в соответствующих степенях.
- В нашем примере .
Реклама
- В нашем примере
-
1
-
2
Подставьте в формулу величины степеней. Будьте внимательны и используйте степени при простых множителях, а не сами множители.
-
3
Сложите величины в скобках. Просто прибавьте 1 к каждой степени.
-
4
Перемножьте полученные величины. В результате вы определите количество делителей, или множителей данного числа
.
Реклама
Советы
- Если число представляет собой квадрат целого числа (например, 36 является квадратом числа 6), то оно имеет нечетное количество делителей. Если же число не является квадратом другого целого числа, количество его делителей четно.
Реклама
Похожие статьи
Об этой статье
Эту страницу просматривали 120 546 раз.
Была ли эта статья полезной?
Как найти количество делителей
В самом общем случае, количество возможных делителей произвольного числа бесконечно. Фактически, это все не равные нулю числа. Но если речь идет о натуральных числах, то под делителем числа N подразумевается такое натуральное число, на которое нацело делится число N. Количество таких делителей всегда ограничено, а найти их можно с помощью специальных алгоритмов. Также существуют простые делители числа, которые представляют собой простые числа.
Вам понадобится
- – таблица простых чисел;
- – признаки делимости чисел;
- – калькулятор.
Инструкция
Чаще всего, нужно разложить число на простые множители. Это числа, которые делят исходное число без остатка, и при этом сами могут делиться без остатка только на само себя и единицу (к таким числам относятся 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и т.д.). Причем, никакой закономерности в ряду простых чисел не найдено. Возьмите их из специальной таблицы или найдите при помощи алгоритма, который называется «решето Эратосфена».
Начинайте подбирать простые числа, на которые делится данное число. Частное снова делите на простое число и продолжаете этот процесс до тех пор, пока в качестве частного не останется простое число. Затем просто посчитайте количество простых делителей, прибавьте к нему число 1 (которое учитывает последнее частное). Результатом будет количество простых делителей, которые при умножении дадут искомое число.
Например, количество простых делителей числа 364 найдите таким образом:
364/2=182
182/2=91
91/7=13
Получите числа 2, 2, 7, 13, которые являются простыми натуральными делителями числа 364. Их количество равно 3 (если считать повторяющиеся делители за один).
Если же нужно найти общее количество всех возможных натуральных делителей числа, воспользуйтесь его каноническим разложением. Для этого по описанной выше методике разложите число на простые множители. Затем запишите число как произведение таких множителей. Повторяющиеся числа возведите в степени, например, если трижды получали делитель 5, то запишите его как 5³.
Записывайте произведение от наименьших множителей к наибольшим. Такое произведение и называется каноническим разложением числа. Каждый множитель этого разложения имеет степень, представленную натуральным числом (1, 2, 3, 4 и т.д.). Обозначьте показатели степени при множителях а1, а2, а3, и т.д. Тогда общее количество делителей будет равно произведению (a1 + 1)∙(a2 + 1)∙(a3+1)∙…
Например, возьмите то же число 364: его каноническое разложение 364=2²∙7∙13. Получите а1=2, а2=1, а3=1, тогда количество натуральных делителей этого числа будет равно (2+1)∙(1+1)∙(1+1)=3∙2∙2=12.
Источники:
- Число и сумма натуральных делителей натурального числа
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Содержание материала
- Как определить количество делителей конкретного числа
- Видео
- Признаки делимости чисел
- Определение [ править
- Как найти число простых делителей числа
- Простые и составные числа
- Чем отличаются друг от друга, как найти
- Тест Миллера Рабина
Как определить количество делителей конкретного числа
Чтобы узнать, сколько положительных делителей у конкретного числа a, каноническое разложение которого выглядит как a = p 1 s 1 · p 2 s 2 · … · p n s n , нужно найти значение выражения ( s 1 + 1 ) · ( s 2 + 1 ) · … · ( s n + 1 ) . О количестве наборов переменных t 1 , t 2 , … , t n мы можем судить по величине записанного выражения.
Покажем на примере, как это вычисляется. Определим, сколько будет натуральных делителей у числа 3 900 , которое мы использовали в предыдущей задаче. Каноническое разложение мы уже записывали: 3 900 = 2 2 · 3 · 5 2 · 13 . Значит, s 1 = 2 , s 2 = 1 , s 3 = 2 , s 4 = 1 . Теперь подставим значения s 1 , s 2 , s 3 и s 4 в выражение ( s 1 + 1 ) · ( s 2 + 1 ) · ( s 3 + 1 ) · ( s 4 + 1 ) и вычислим его значение. Имеем ( 2 + 1 ) · ( 1 + 1 ) · ( 2 + 1 ) · ( 1 + 1 ) = 3 · 2 · 3 · 2 = 36 . Значит, это число имеет всего 36 делителей, являющихся натуральными числами. Пересчитаем то количество, что у нас получилось в предыдущей задаче, и убедимся в правильности решения. Если учесть и отрицательные делители, которых столько же, сколько и положительных, то получится, что у данного числа всего будет 72 делителя.
Условие: определите, сколько делителей имеет 84 .
Решение
Раскладываем число на множители.
84 42 21 7 1 2 2 3 7
Записываем каноническое разложение: 84 = 2 2 · 3 · 7 . Определяем, сколько у нас получится положительных делителей: ( 2 + 1 ) · ( 1 + 1 ) · ( 1 + 1 ) = 12 . Для учета отрицательных нужно умножить это число на 2 : 2 · 12 = 24 .
Ответ: всего у 84 будет 24 делителя – 12 положительных и 12 отрицательных.
Видео
Признаки делимости чисел
Признаки делимости чисел используются для того, чтобы ускорить процесс деления чисел. Существует множество признаков делимости и других интересных алгоритмов, значительно ускоряющих решение и освобождающих от излишней волокиты. Рассмотрим наиболее популярные из них.
Признак делимости на 10
Любое число, которое оканчивается нулем, делится без остатка на 10. Чтобы получить частное, достаточно отбросить цифру 0 в делимом.
Например, 380 : 10 = 38. Мы просто отбросили последний ноль в числе 380.
В случае, если мы имеем выражение такого вида 385 : 10, то получится 38 и 5 в остатке, поскольку 380 : 10 = 38, а пятерка это остаток, который не разделился.
Таким образом, если число оканчивается цифрой 0, то оно делится без остатка на 10. Если же оно оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10. Остаток в этом случае равен последней цифре числа. Действительно, в примере 385 : 10 = 38 (5 в остатке), остаток равен последней цифре в числе 385, то есть пятерке.
Признак делимости на 5 и на 2
Любое число, которое оканчивается нулем, делится без остатка и на 5, и на 2.
Примеры:
10 : 5 = 2
100 : 5 = 20
100 : 2 = 50
Признак делимости на 5
Если число оканчивается цифрой 0 или 5, то оно делится без остатка на 5.
Примеры:
355 : 5 = 71
200 : 5 = 40
475 : 5 = 95
Признак делимости на 3
Число делится на 3, если сумма цифр этого числа делится на 3. Например, рассмотрим число 27, сумма его цифр 2 + 7 = 9. Девять, как мы знаем делится на 3, значит и 27 делится на 3:
27 : 3 = 9
Признак делимости на 9
Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Например, рассмотрим число 18. Сумма его цифр 1 + 8 = 9. Девять делится на девять, значит и 18 делится на 9
18 : 9 = 2
Рассмотрим число 846. Сумма его цифр 8 + 4 + 6 = 18. Восемнадцать делится на девять, значит и 846 делится на 9:
Определение [ править
Функция «сумма положительных делителей »σx(n) для вещественного или комплексного числа x определяется как сумма x-х степеней положительных делителей числа n. Функцию можно выразить формулой
σ x ( n ) = ∑ d | n d x , <displaystyle sigma _(n)=sum _d^,!,> 
где d | n <displaystyle > 
означает «d делит n». Обозначения d(n), ν(n) и τ(n) (от немецкого Teiler = делитель) используются также для обозначения σ(n), или функции числа делителей [1] [2] . Если x равен 1, функция называется сигма-функцией или суммой делителей [3] , и индекс часто опускается, так что σ(n) эквивалентна σ1(n) [4] .
Аликвотная сумма s(n) для n — это сумма собственных делителей (то есть делители, за исключением самого n [5] , и равна σ1(n) − n. Аликвотная последовательность для n образуется последовательным вычислением аликвотной суммы, то есть каждое последующее значение в последовательности равно аликвотной сумме предыдущего значения.
Как найти число простых делителей числа
Если речь идет о целом малом числе, то решение такой задачи не представляет никакой сложности. Рассмотрим конкретный пример. Найдем простые делители числа 54.
Для этого:
- 54 делим на «два» и получаем 27;
- 27 нечетное, поэтому разделим его уже не на «два», а на следующее простое число, т. е. «три»;
- заметим, что 27=33;
- таким образом, разложение 54 имеет вид 54 = 21 * 33, т.е. простые делители числа 54 — это «два» и «три».
Однако это не все, что мы хотели знать. Теперь найдем число простых делителей числа 54. Оно равно произведению степеней простых множителей канонического разложения числа n = p1*d1 p2d2*⋅ …⋅*pmdm, увеличенных на 1. Иными словами, в общем случае K = (d1+1)*…* (dm+1).
Тогда для 54 имеем К = 2 * 4 = 8, т. е. общее число делителей равно восьми.
Обратите внимание, что все значительно упростилось, если бы речь шла о 23, 37, 103 и пр., так как каждый знает, сколько делителей у простого числа.
Простые и составные числа
Простым называется число, которое делится без остатка на единицу и на само себя. Другими словами, имеет только два делителя. Например, число 5 делится без остатка на единицу и на само себя:
5 : 1 = 5
5 : 5 = 1
Значит, число 5 является простым числом.
Составным же называется число, которое имеет два и более делителя. Например, число 4 составное, поскольку у него два и более делителя: 4, 2 и 1
4 : 4 = 1
4 : 2 = 2
4 : 1 = 4
Значит, число 4 является составным числом.
Чем отличаются друг от друга, как найти
Делитель отличается от кратного тем, что:
- делитель — это число, НА которое делится заданное число;
- кратное — это число, которое само ДЕЛИТСЯ НА заданное число.
Чтобы найти делители числа, нужно данное число разложить на множители.
Разложить на множители — представить число в виде произведения целых чисел.
Чтобы проверить, является ли одно число делителем другого, нужно разделить число на данное нам.
Для нахождения кратного числа заданному числу, нужно это число последовательно умножать на натуральные числа. Каждое полученное число будет кратно — будет делиться — заданному.
Делители и кратные связаны между собой. Например, делителем числа 15 является 3 и число, кратное 3, равно 15.
Тест Миллера Рабина
В криптографических целях часто используют именно этот вид определения простоты числа, который имеет несколько модификаций.
Тест Миллера—Рабина основан на проверке ряда условий, выполняемых для чисел, которые делятся только на 1 и на самих себя. Если хотя бы одно из требований нарушено, это «экзаменуемое» число признается составным.
Для данного m находятся целые нечетное число t и s, такие чтобы выполнялось условие m-1=2st.
Затем выбирается случайное число a, такое что 1<a<m. Если a не свидетельствует о простоте числа m, то программа должна выдать ответ «m составное» и завершить свою работу. В противном случае выбирается другое случайное число a и проверка повторяется снова. После того как будут установлены r свидетелей простоты, должен быть выдан ответ «m, вероятно, простое», и алгоритм завершит свою работу.
Следствием теоремы Рабина является тот факт, что если r чисел, которые выбраны случайно, признаны свидетелями для определения простоты числа m, то вероятность того, что оно составное, не может превосходить (4-r).
Теперь вы знаете, сколько делителей имеет простое число и как выяснить наиболее примитивный алгоритм вычисления НПД. Эти знания помогут вам в решении многих практических задач.
