Как найти количество сторон правильного многоугольника зная

План урока:

Понятие правильного многоугольника

Описанная и вписанная окружности правильного многоугольника

Формулы для правильного многоугольника

Построение правильных многоугольников

Понятие правильного многоугольника

У выпуклого многоугольника могут быть одинаковы одновременно и все стороны, и все углы. В таком случае он именуется правильным многоугольником.

1 pravilnye mnogougolniki

Нам уже известны некоторые правильные многоуг-ки. Например, правильным является равносторонний треугольник. У него все стороны одинаковы по его определению, а все углы составляют по 60°. Поэтому иногда его так и называют – правильный треугольник. Среди четырехугольников правильной фигурой является квадрат, у которого также по определению одинаковы стороны, а углы составляют уже по 90°.

2 pravilnye mnogougolniki

Заметим, что бывают фигуры, у которых одинаковы все стороны, а углы различны. Примером такой фигуры является ромб. Возможна и обратная ситуация – все углы у фигуры одинаковы, но стороны отличаются своей длиной. Таковым является прямоугольник. Важно понимать, такие фигуры (в частности, ромб и прямоугольник) НЕ являются правильными.

Для любого заданного числа n, начиная от n = 3, можно построить правильный n-угольник. На рисунке ниже показано несколько примеров таких n-угольников:

3 pravilnye mnogougolniki

Существует зависимость, которая позволяет определить величину угла правильного многоугольника. Мы уже знаем, что в любом выпуклом n-угольнике сумма углов равна величине 180°(n– 2). Обозначим угол правильного многоуг-ка буквой α. Так как у n-угольника ровно n углов, и все они одинаковы, мы можем записать равенство:

4 pravilnye mnogougolniki

Легко проверить, что эта формула верна для равностороннего треуг-ка и квадрата и позволяет правильно определить углы в этих фигурах. Для треугольника n = 3, поэтому мы получаем 60°:

5 pravilnye mnogougolniki

Задание. Какова величина углов в правильном пятиугольнике, шестиугольнике, восьмиугольнике, пятидесятиугольнике?

Решение. Надо просто подставить в формулу число сторон правильного многоугольник. Сначала считаем для пятиугольника:

6 pravilnye mnogougolniki

Задание. Сколько сторон должно быть у правильного многоуг-ка, чтобы каждый угол в нем был равен 179°?

Решение. В формулу 

7 pravilnye mnogougolniki

Задание. Может ли существовать правильный многоуг-к, угол которого равен 145°?

Решение. Предположим, что он существует. Тогда по аналогии с предыдущей задачей найдем количество его сторон:

8 pravilnye mnogougolniki

Получили не целое, а дробное количество сторон. Естественно, что это невозможно, а потому такой многоуг-к существовать не может.

Ответ: не может.

Описанная и вписанная окружности правильного многоугольника

Докажем важную теорему о правильном многоуг-ке.

9 pravilnye mnogougolniki

Для доказательства обозначим вершины произвольного правильного n-угольника буквами А1, А2, А3…Аn. Далее проведем биссектрисы углов ∠А1 и ∠А2. Они пересекутся в некоторой точке О. Соединим О с другими вершинами многоуг-ка отрезками ОА3, ОА4 и т. д.

10 pravilnye mnogougolniki

∠А1 и ∠А2 одинаковы по определению правильного многоуг-ка:

11 pravilnye mnogougolniki

Из этого факта вытекает два равенства:

12 pravilnye mnogougolniki

Получается, что ОА3 – это также биссектриса ∠А3. Тогда, повторив все предыдущие рассуждения, мы можем доказать равенство, аналогичное (1):

13 pravilnye mnogougolniki

Это равенство означает, что точка О равноудалена от вершин многоуг-ка. Значит, можно построить окружность с центром в О, на которой будут лежать все вершины многоуг-ка:

14 pravilnye mnogougolniki

Естественно, существует только одна такая описанная окружность, ведь через любые три точки, в частности, через А1, А2 и А3, можно провести только одну окружность, ч. т. д.

Продолжим рассматривать выполненное нами построение с описанной окружностью. Ясно, что ∆ОА1А2, ∆ОА2А3, ∆ОА3А4, …, равны, ведь у них одинаковы по 3 стороны. Опустим из О высоты ОН1, ОН2, ОН3… на стороны многоуг-ка.

15 pravilnye mnogougolniki

Так как высоты проведены в равных треуг-ках, то и сами они равны:

16 pravilnye mnogougolniki

Теперь проведем окружность, центр которой находится в О, а радиус – это отрезок ОН1. Он должен будет пройти и через точки Н2, Н3, … Нn. Причем отрезки ОН1, ОН2, ОН3 окажутся радиусами. Так как они перпендикулярны сторонам многоуг-ка, то эти самые стороны будут касательными к окружности (по признаку касательной). Стало быть, эта окружность является вписанной:

17 pravilnye mnogougolniki

Ясно, что такая окружность будет единственной вписанной. Если бы существовала вторая вписанная окружность, то ее центр был бы равноудален от сторон многоуг-ка, а потому лежал бы в точке пересечения биссектрис углов ∠А1, ∠А2, ∠А3, то есть в точке О. Так как расстояние от О до А1А2 – это отрезок ОН1, то именно такой радиус был бы у второй окружности. Получается, что вторая окружность полностью совпала бы с первой, так как их центр находился бы в одной точке, и радиусы были одинаковы.

18 pravilnye mnogougolniki

Примечание. Точка, которая центром и вписанной, и описанной окружности, именуется центром правильного многоуг-ка.

Ещё раз вернемся к приведенному доказательству и заметим, что высоты ОН1, ОН2, ОН3,… проведены в равнобедренных треуг-ках∆ОА1А2, ∆ОА2А3, ∆ОА3А4,… Следовательно, эти высоты являются ещё и медианами, то есть точки Н1, Н2, Н3,… – это середины сторон многоуг-ка.

19 pravilnye mnogougolniki

Задание. Могут ли две биссектрисы, проведенные в правильном многоуг-ке, быть параллельными друг другу?

Решение. Центр правильного многоуг-ка находится в точке пересечения всех его биссектрис. То есть любые две биссектрисы будут иметь хотя бы одну общую точку. Параллельные же прямые общих точек не имеют. Получается, что биссектрисы не могут быть параллельными.

Ответ: не могут.

Примечание. Аналогичное утверждение можно доказать и для серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам правильного многоуг-ка.

Формулы для правильного многоугольника

Правильный многоуг-к, как и любая другая плоская фигура, имеет площадь (она обозначается буквой S) и периметр (обозначается как Р). Длина стороны многоуг-ка традиционно обозначается буквой an, где n– число сторон у многоуг-ка. Например a4– это сторона квадрата, a6– сторона шестиугольника. Наконец, мы выяснили, что для каждого правильного многоуг-ка можно построить описанную и вписанную окружность. Радиус описанной окружности обозначается большой буквой R, а вписанной – маленькой буквой r.

Оказывается, все эти величины взаимосвязаны друг с другом. Ранее мы уже получили формулу

20 pravilnye mnogougolniki

для многоуг-ка, в который вписана окружность. Подходит она и для правильного многоуг-ка.

Для вывода остальных формул правильного многоугольника построим n-угольники соединим две его вершины с центром:

21 pravilnye mnogougolniki

Теперь можно найти и ∠А1ОН1, рассмотрев ∆А1ОН1:

22 pravilnye mnogougolniki

23 pravilnye mnogougolniki

Теперь у нас есть формула, связывающая друг с другом Rи r. Наконец, прямо из определения периметра следует ещё одна формула:

24 pravilnye mnogougolniki

С их помощью, зная только один из параметров правильного n-угольника, легко найти и все остальные параметры (если известно и число n).

Задание. Докажите, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности.

Решение. Запишем следующую формулу:

25 pravilnye mnogougolniki

Это равенство как раз и надо было доказать в этом задании.

Задание. Около окружности описан квадрат. В свою очередь и около квадрата описана окружность радиусом 4. Найдите длину стороны квадрата и радиус вписанной окружности.

Решение. Запишем формулу:

26 pravilnye mnogougolniki

Задание. Вычислите площадь правильного многоугольника с шестью углами, длина стороны которого составляет единицу.

Решение.

Найдем периметр шестиугольника:

27 pravilnye mnogougolniki

Задание. Около правильного треугольника описана окружность. В ту же окружность вписан и квадрат. Какова длина стороны этого квадрата, если периметр треугольника составляет 18 см?

28 pravilnye mnogougolniki

Решение. Зная периметр треуг-ка, легко найдем и его сторону:

29 pravilnye mnogougolniki

Далее вычисляется радиус описанной около треугольника окружности:

30 pravilnye mnogougolniki

Задание. Необходимо изготовить болт с шестигранной головкой, причем размер под ключ (так называется расстояние между двумя параллельными гранями головки болта) должен составлять 17 мм. Из прутка какого диаметра может быть изготовлен такой болт, если диаметр прутков измеряется целым числом?

31 pravilnye mnogougolniki

Решение. Здесь надо найти диаметр окружности, описанной около шестиугольника. Ранее мы уже доказывали, что у шестиугольника длина этого радиуса совпадает с длиной его стороны:

32 pravilnye mnogougolniki

Осталось найти сторону шестиугольника. Для этого соединим две его вершины (обозначим их А и С) так, как это показано на рисунке:

33 pravilnye mnogougolniki

Отрезок АС как раз и будет расстоянием между двумя параллельными гранями, что легко доказать. Каждый угол шестиугольника будет составлять 120°:

34 pravilnye mnogougolniki

В частности ∠АВС = 120°. Так как АВ = ВС, то ∆АВС – равнобедренный, и углы при его основании одинаковы:

35 pravilnye mnogougolniki

Аналогично можно показать, что и ∠ACD – прямой. Таким образом, АС перпендикулярен сторонам AF и CD, а значит является расстоянием между ними, и по условию равно 17 мм:

AC = 17 мм

∆АВС – равнобедренный. Опустим в нем высоту НВ, которая одновременно будет и медианой. Тогда АН окажется вдвое короче АС:

AH = AC/2 = 17/2 = 8,5 мм

Теперь сторону АВ можно найти из ∆АВН, являющегося прямоугольным:

36 pravilnye mnogougolniki

Здесь мы округлили ответ до ближайшего большего целого числа, так как по условию можно использовать лишь пруток с целым диаметром.

Ответ: 20 мм.

Построение правильных многоугольников

При использовании транспортира или иного прибора, позволяющего откладывать заранее заданные углы, построение правильного многоуг-ка проблем не вызывает. Например, пусть надо построить пятиугольник со стороной, равной 5 см. Сначала по известной формуле вычисляем величину его угла:

37 pravilnye mnogougolniki

Однако напомним, что в геометрии большой интерес вызывают задачи, связанные с построением с помощью всего двух инструментов – циркуля и линейки, то есть без использования транспортира. В таком случае построение многоугольников правильной формы становится значительно более сложной задачей. Если речь идет не о таких простых фигурах, как квадрат и равносторонний треугольник, то при построении обычно приходится использовать описанную окружность.

Сначала рассмотрим построение правильного шестиугольника по заранее заданной стороне. Ранее мы уже узнали, что его сторона имеет такую же длину, как и радиус описанной окружности:

a6 = R

На основе этого факта предложен следующий метод построения шестиугольника. Сначала строится описанная окружность, причем в качестве ее радиуса берется заданная сторона а6. Далее на окружности отмечается произвольная точка А, которая будет первой вершиной шестиугольника. Из нее проводится ещё одна окружность радиусом а6. Точки, где она пересечет описанную окружность (В и F), будут двумя другими вершинами шестиугольника. Наконец, и из точек B и F проводим ещё две окружности, которые пересекутся с исходной окружностью в точках С и F. Наконец, из С (можно и из F)провести последнюю окружность и получить точку D. Осталось лишь соединить все точки на окружности (А, В, С, D, Еи F):

38 pravilnye mnogougolniki

Данное построение довольно просто. Однако для пятиугольника построение несколько более сложное, а для семиугольника и девятиугольника вообще невозможно осуществить точное построение. Этот факт был доказан только в 1836 г. Пьером Ванцелем.

Если удалось возможно построить правильный n-угольник, вписанный в окружность, то несложно на его основе построить многоуг-к, у которого будет в два раза больше сторон (его можно назвать 2n-угольником) и который будет вписан в ту же окружность. Рассмотрим это построение на примере квадрата и восьмиугольника.

Изначально дан квадрат, вписанный в окружность. Надо построить восьмиугольник, вписанный в ту же окружность. Обозначим любые две вершины квадрата буквами А и В. Для начала нам надо разбить дугу ⋃АВ на две равные дуги. Для этого мы проводим из А и В окружности радиусом АВ. Они пересекутся в некоторых точках С и D. Соединяем их отрезком, который в свою очередь пересечется с исходной окружностью в точке Е.

Е – это середина дуги ⋃АВ. Точки А, В и Е как раз являются тремя первыми точками восьмиугольника. Для получения остальных точек необходимо из вершин квадрата строить окружности радиусом АЕ. Точки, где эти окружности пересекутся с исходной окружностью, и будут вершинами восьмиугольника. Также его вершинами являются вершины самого квадрата:

39 pravilnye mnogougolniki

Аналогичным образом можно из шестиугольника получить 12-угольник, из восьмиугольника – 16-угольник, из 16-угольника – 32-угольник. То есть можно удвоить число сторон многоуг-ка.

Древние греки умели строить правильные многоуг-ки с 3, 4, 5, 6 и 15 сторонами, а также умели на их основе строить многоуг-ки с вдвое большим числом сторон. Лишь в 1796 г. Карл Гаусс смог построить 17-угольник. Также удалось найти способ построения 257-угольника и 65537-угольника, причем описание построения 65537-угольника занимает более 200 страниц.

В этом уроке мы узнали о правильных многоуг-ках и их свойствах. Особенно важно то, что для каждого такого многоуг-ка можно построить описанную и вписанную окружность, причем их центры совпадают. Это позволяет использовать правильные многоуг-ки для более глубокого исследования свойств окружности.

circles.png

Посетитель сайта попросил буквально следующее: «Сделайте пожалуйста такой калькулятор, который зная радиус вписанной и описанной окружностей найдет длину стороны многоугольника».

То есть, задача формулируется так: некоторый правильный многоугольник вписан в окружность с известным радиусом и вокруг него описана окружность с другим известным радиусом. Требуется найти параметры этого правильного многоугольника: число сторон и длину одной стороны.

Чтобы было понятнее, графически эта ситуация изображена на картинке слева.

Посмотрев внимательно на треугольник, образованный перпендикуляром из центра окружности к стороне многоугольника (радиус вписанной окружности r), отрезком, соединяющим центр окружности и ближайшую к перпендикуляру вершину многоугольника (радиус описанной окружности R), и собственно, половиной стороны многоугольника, нетрудно заметить, что радиусы связаны между собой соотношением

cosfrac{alpha}{2}=frac{r}{R}

где угол альфа, опирающийся на вершины многоугольника, связан следующим соотношением с числом сторон многоугольника n:

alpha=frac{2pi}{n}

Таким образом, известные радиусы описанной и вписанной окружности дают нам однозначное соответствие с числом сторон правильного многоугольника.

n=frac{pi}{arccosfrac{r}{R}}

Длина стороны определяется тривиально.

Теперь по поводу калькулятора — поскольку в расчете есть иррациональное число, получить по этой формуле целое число сторон невозможно. Но, с другой стороны, мы-то знаем, что число сторон — это целое число. Поэтому калькулятор сначала вычисляет число сторон как есть, потом округляет до ближайшего целого, и, исходя из этого целого числа, делает расчет длины стороны и обратный расчет одного из радиусов (из чистого любопытства).

PLANETCALC, Определение параметров правильного многоугольника по радиусам вписанной и описанной окружности

Определение параметров правильного многоугольника по радиусам вписанной и описанной окружности

Радиус описанной окружности

Радиус вписанной окружности

Точность вычисления

Знаков после запятой: 3

Радиус вписанной окружности (для округленного числа сторон)

Длина стороны (для округленного числа сторон)

Это будет многоугольник с количеством сторон 36

Даю пример решения подобных задач. (Из сайта: Решаем задачи по геометрии) .

Задача.
Найдите количество сторон правильного многоугольника, центральный угол которого равен:
1)120°
2)60°
3)72°

Решение.
Центральный угол – это угол, образованный двумя радиусами.

Так как многоугольник является правильным, все его стороны равны и все треугольники, которые образованы центром многоугольника и его углами – равны. Таким образом, все центральные углы также равны.

Общая мера суммы всех центральных углов равна 360 градусов.

Таким образом, количество сторон правильного многоугольника, исходя из градусной меры центрального угла будет равна:
1) 360 / 120 = 3 (правильный треугольник)
2) 360 / 60 = 6 (правильный шестиугольник)
3) 360 / 72 = 5 (правильный пятиугольник)

Ответ: 3; 6; 5 сторон.

Вы здесь

  • Сторона правильного многоугольника

    Правильные многоугольники часто фигурируют в задачах с вписанными или описанными окружностями. Отрезок, проведенный из центра окружности в угол или середину стороны, является радиусом описанной или вписанной окружности соответственно.

    Зная количество сторон многоугольника, ключевой задачей является нахождение центрального угла между этими двумя радиусами, так как они с половиной стороны образуют прямоугольный треугольник. Такой угол будет равен 180 градусам, разделенным на количество сторон многоугольника n:

    Из тригонометрических отношений в треугольнике, сторона будет равна удвоенному произведению радиуса описанной окружности на синус центрального угла или радиуса вписанной окружности на тангенс того же угла.

Смотрите также

bezdelnik
[34.1K]

8 лет назад 

r – радиус вписанной в N-угольник окружности

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. От длины стороны будет зависеть радиус вписанной окружности. Или наоборот – длина стороны зависит радиус вписанной окружности.

Посмотрите на формулу, которая связывает эти величины

текст при наведении

Чтобы посчитать количество сторон, надо найти из этой формулы N. Получите ответ.

в избранное

ссылка

отблагодарить

Rafail
[136K]

Вокруг окружности ЛЮБОГО радиуса можно описать ЛЮБОЙ правильный N-угольник. 
—  8 лет назад 

bezdelnik
[34.1K]

spin, в приведенной Вами формуле два неизвестных a и n, поэтому по ней нельзя найти n. 
—  8 лет назад 

spin
[16.3K]

а – длина стороны, n – число сторон многоугольника. Если задан многоугольник с известным количеством сторон, радиус вписанной окружности, то получается одно неизвестное.
Конечно, если неизвестно количество сторон, то одно уравнение с двумя неизвестными не решается и надо иметь еще какие-то данные.
 
—  8 лет назад 

Rafail
[136K]

О чём спорите, господа? разве Вы не прочитали мой комментарий, или не поняли смысл сказанного? Вокруг ЛЮБОЙ окружности можно описать ЛЮБОЙ многоугольник, поэтому вопрос вообще бессмысленен. При ЛЮБОМ радиусе r число сторон N может быть ЛЮБЫМ. 
—  8 лет назад 

spin
[16.3K]

Никто не спорит. Понятно, что по тем данным, которые есть в вопросе однозначно посчитать количество сторон не получится.
Если задана только окружность, то вокруг нее можно построить многоугольник с любым количеством сторон (ясное дело, что количество сторон будет больше двух 🙂 ). Именно из этого утверждения я и начал свой ответ. От количества сторон многоугольника будет зависеть длина стороны: чем больше N – тем меньше длина стороны.
 
—  8 лет назад 

все комментарии (еще 5)

Знаете ответ?

Добавить комментарий