Как найти количество точек экстремума на отрезке – Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Минимумом называют точку на функции, в которой значение функции меньше, чем в соседних точках.

Максимумом называют точку на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних точках.

Также можно сказать, что в этих точках меняется направление движения функции: если функция перестает падать и начинает расти – это точка минимума, наоборот – максимума.

на графике функции отмечены локальные минимумы и максимумы

Минимумы и максимумы вместе именуют экстремумами функции.

Иными словами, все пять точек, выделенных на графике выше, являются экстремумами.

В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная
равна нулю.

Благодаря этому найти эти точки не составляет проблем, даже если у вас нет графика функции.

Внимание! Когда пишут экстремумы или максимумы/минимумы имеют в виду значение функции т.е. (y). Когда пишут точки экстремумов или точки максимумов/минимумов имеют в виду иксы в которых достигаются максимумы/минимумы. Например, на рисунке выше, (-5) точка минимума (или точка экстремума), а (1) – минимум (или экстремум).

Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Давайте вместе найдем количество точек экстремума функции по графику производной на примере:

найдите количество точек экстремумов функции

У нас дан график производная — значит ищем в каких точках на графике производная равна нулю. Очевидно, это точки (-13), (-11), (-9),(-7) и (3). Количество точек экстремума функции – (5).

Внимание! Если дан график производной функции, а нужно найти точки экстремумов функции, мы не считаем максимумы и минимумы производной! Мы считаем точки, в которых производная функции обращается в ноль (т.е. пересекает ось (x)).

на графике функции отмечены локальные минимумы и максимумы график производной и отмеченные на ней точки минимумов и максимумов функции

Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще два важных правил:

– Производная положительна там, где функция возрастает.
– Производная отрицательна там, где функция убывает.

С помощью этих правил давайте найдем на графике производной точки минимума и максимума функции.

найдите количество точек экстремумов функции

Понятно, что минимумы и максимумы надо искать среди точек экстремумов, т.е. среди (-13), (-11), (-9),(-7) и (3).

Чтобы проще было решать задачу расставим на рисунке сначала знаки плюс и минус, обозначающие знак производной. Потом стрелки – обозначающие возрастание, убывания функции.

по графику производной определить минимумы и максимумы функции

Начнем с (-13): до (-13) производная положительна т.е. функция растет, после – производная отрицательна т.е. функция падает. Если это представить, то становится ясно, что (-13) – точка максимума.

(-11): производная сначала положительна, а потом отрицательна, значит функция возрастает, а потом убывает. Опять попробуйте это мысленно нарисовать и вам станет очевидно, что (-11) – это минимум.

(- 9): функция возрастает, а потом убывает – максимум.

(-7): минимум.

(3): максимум.

Все вышесказанное можно обобщить следующими выводами:

– Функция имеет максимум там, где производная равна нулю и меняет знак с плюса на минус.
– Функция имеет минимум там, где производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс.

Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно делать все то же, что и в предыдущем пункте: находить где производная положительна, где отрицательна и где равна нулю. Чтобы было понятнее напишу алгоритм с примером решения:

Найдите производную функции (f'(x)).
Найдите корни уравнения (f'(x)=0).
Нарисуйте ось (x) и отметьте на ней точки полученные в пункте 2, изобразите дугами промежутки, на которые разбивается ось. Подпишите над осью (f'(x)), а под осью (f(x)).
Определите знак производной в каждом промежутке (методом интервалов).
Поставьте знак производной в каждом промежутке (над осью), а стрелкой укажите возрастание (↗) или убывание (↘) функции (под осью).
Определите, как изменился знак производной при переходе через точки, полученные в пункте 2:
– если (f’(x)) изменила знак с «(+)» на «(-)», то (x_1) – точка максимума;
– если (f’(x)) изменила знак с «(-)» на «(+)», то (x_3) – точка минимума;
– если (f’(x)) не изменила знак, то (x_2) – может быть точкой перегиба.

нахождение минимума и максимума

Всё! Точки максимумов и минимумов найдены.

Изображая на оси точки в которых производная равна нулю – масштаб можно не учитывать. Поведение функции можно показать так, как это сделано на рисунке ниже. Так будет очевиднее где максимум, а где минимум.

схематичное изображение функции

Пример(ЕГЭ). Найдите точку максимума функции (y=3x^5-20x^3-54).
Решение:
1. Найдем производную функции: (y’=15x^4-60x^2).
2. Приравняем её к нулю и решим уравнение:

(15x^4-60x^2=0) (|:15)
(x^4-4x^2=0)
(x^2 (x^2-4)=0)
(x=0) (x^2-4=0)
(x=±2)

3. – 6. Нанесем точки на числовую ось и определим, как меняется знак производной и как движется функция:

поиск минимумов и максимумов

Теперь очевидно, что точкой максимума является (-2).

Ответ. (-2).

Смотрите также:
Связь функции и её производной | 7 задача ЕГЭ
Разбор задач на поиск экстремумов, минимумов и максимумов

Скачать статью

Источник

Наталья Игоревна Восковская

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Экстремумы функции

Для того чтобы ввести понятие наибольшего и наименьшего значения функций, вначале познакомимся с таким понятием, как экстремумы функций. Это понятие нам будет необходимо не для самого определения значений таких функций, а для построения схемы нахождения таких промежутков для конкретно заданных функций.

Определение 1

Точка $x’$ входящая в область определения функции называется точкой экстремума, если она либо будет точкой максимума, либо будет точкой минимума для функции $f(x)$.

Определение 2

Точка $x’$ будет называться точкой максимума для введенной функции $f(x)$, если у она имеет такую окрестность, что для всех точек $x$, которые входят в эту окрестность, будет верно $f(x)le f(x'{rm })$.

Сделаем домашку
с вашим ребенком за 380 ₽

Уделите время себе, а мы сделаем всю домашку с вашим ребенком в режиме online

Бесплатное пробное занятие

*количество мест ограничено

Определение 3

Точка $x_0$ будет называться точкой минимума для введенной функции $f(x)$, если она имеет такую окрестность, что для всех точек $x$, которые входят в эту окрестность, будет верно $f(x)ge f(x'{rm })$.

Чтобы полностью разобраться в данном понятии, далее введем понятие критической точки функции.

Определение 4

Точка $x’$ будет называться критической точкой для данной функции $f(x)$, если выполняются два следующих условия:

Точка $x’$ является внутренней точкой для области определения данной функции;
$f’left(x'{rm }right)=0$ или не существует.

Сформулируем без доказательства теоремы о необходимом (теорема 1) и достаточном (теорема 2) условии для существования точки экстремума.

Если $y=f(x)$ имеет экстремум в точке $x_0$, то либо её производная в ней равняется нулю, либо производная в ней не существует.

«Точки экстремума, наибольшее и наименьшее значение на промежутке» 👇

Теорема 2

Пусть точка $x’$ будет критической для $y=f(x)$ и принадлежит интервалу $(a,b)$, причем на каждом интервале $left(a,x'{rm }right) и (x'{rm },b)$ производная $f'(x)$ существует и сохраняет один и тот же знак. В этом случае:

Если в $(a,x'{rm })$ $f’left(xright) >0$, а в $(x'{rm },b)$ $f’left(xright)
Если в $(a,x'{rm })$ $f’left(xright)0$, то $x’$ –будет точкой минимума для этой функции.
Если и в $(a,x'{rm })$, и в $(x'{rm },b)$ производная $имеет один и тот же постоянный знак$, то $x’$ не будет точкой экстремума для этой функции.

На рисунке 1 мы можем наглядно увидеть смысл теоремы 2.

Рисунок 1.

Примеры точек экстремумов вы можете видеть на рисунке 2.

Рисунок 2.

Правило исследования на экстремум

Найти $D(f)$;
Найти $f'(x)$;
Найти точки, где $f’left(xright)=0$;
Найти точки, где $f'(x)$ не будет существовать;
Отметить на координатной прямой $D(f)$ и все найденные в 3 и 4 пункте точки;
Определить знак $f'(x)$ на полученных промежутках;
Используя теорему 2, сделать заключение по поводу всех найденных точек.

Понятие наибольшего и наименьшего значений

Определение 5

Функция $y=f(x)$, которая имеет областью определения множество $X$, имеет наибольшее значение в точке $x’in X$, если выполняется

[fleft(xright)le f(x’)]

Определение 6

Функция $y=f(x)$, которая имеет областью определения множество $X$, имеет наименьшее значение в точке $x’in X$, если выполняется

[fleft(xright)ge f(x’)]

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значение заданной функции на каком либо отрезке необходимо произвести следующие действия:

Найти $f'(x)$;
Найти точки, в которых $f’left(xright)=0$;
Найти точки, в которых $f'(x)$ не будет существовать;
Выкинуть из точек, найденных в пунктах 2 и 3 те, которые не лежат в отрезке $[a,b]$;
Вычислить значения в оставшихся точках и на концах $[a,b]$;
Выбрать из этих значений наибольшее и наименьшее.

Примеры задач

Пример 1

Найти наибольшее и наименьшее значения на [0,6]: $fleft(xright)=x^3-3x^2-45x+225$

Решение.

$f’left(xright)=3x^2-6x-45$;
$f’left(xright)=0$;
[3x^2-6x-45=0]
[x^2-2x-15=0]
[x=5, x=-3]
$f'(x)$ существует на всей $D(f)$;
$5in left[0,6right]$;
Значения:

[fleft(0right)=225] [fleft(5right)=50] [fleft(6right)=63]
Наибольшее значение равняется $225$, наименьшее равняется $50.$

Ответ: $max=225, min=50$.

Пример 2

Найти наибольшее и наименьшее значения на [-1,1]:$fleft(xright)=frac{x^2-4x+4}{x-2}$

Решение.

[fleft(xright)=frac{x^2-4x+4}{x-2}=frac{{(x-2)}^2}{x-2}=x-2, xne 2]

$f’left(xright)=(x-2)’=1$;

Точек экстремума нет.
Значения:

[fleft(-1right)=-3] [fleft(1right)=-1]

Ответ: $max=-1, min=-3$.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок № 16. Экстремумы функции.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Определение точек максимума и минимума функции

2) Определение точки экстремума функции

3) Условия достаточные для нахождения точек экстремума функции

Глоссарий по теме

Возрастание функции. Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых х₁ и х₂, из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Максимум функции. Значение функции в точке максимума называют максимумом функции

Минимум функции. Значение функции в точке минимума называют минимумом функции

Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, которое характеризует скорость изменения функции (в конкретной точке).

Точка максимума функции. Точку х₀ называют точкой максимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство .

Точка минимума функции. Точку х₀ называют точкой минимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство .

Точки экстремума функции. Точки минимума и максимума называют точками экстремума.

Убывание функции. Функция y = f(x) убывает на интервале X, если для любых х₁ и х₂, из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы:

1) Найти область определения функции D(f)

2) Найти f’ (x).

3) Найти стационарные (f'(x) = 0) и критические (f'(x) не

существует) точки функции y = f(x).

4) Отметить стационарные и критические точки на числовой

прямой и определить знаки производной на получившихся

промежутках.

5) Сделать выводы о монотонности функции и точках ее

экстремума.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Точки, в которых происходит изменение характера монотонности функции – это ТОЧКИ ЭКСТРЕМУМА.

Точку х = х₀ называют точкой минимума функции у = f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x) ≥ f(x₀).
Точку х = х₀ называют точкой максимума функции у = f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x) ≤ f(x₀).

Точки максимума и минимума – точки экстремума.

Функция может иметь неограниченное количество экстремумов.

Критическая точка – это точка, производная в которой равна 0 или не существует.

Важно помнить, что любая точка экстремума является критической точкой, но не всякая критическая является экстремальной.

Алгоритм нахождения максимума/минимума функции на отрезке:

найти экстремальные точки функции, принадлежащие отрезку,
найти значение функции в экстремальных точках из пункта 1 и в концах отрезка,
выбрать из полученных значений максимальное и минимальное.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Определите промежуток монотонности функции у=х²-8х +5

Решение: Найдем производную заданной функции: у’=2x-8

2x-8=0

х=4

Определяем знак производной функции и изобразим на рисунке, следовательно, функция возрастает при хϵ (4;+∞); убывает при хϵ (-∞;4)

Ответ: возрастает при хϵ (4;+∞); убывает при хϵ (-∞;4)

№2. Найдите точку минимума функции у= 2х-ln(х+3)+9

Решение: Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

х=-2,5

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Ответ: -2,5 точка min

№3. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 10t² − 48t + 15, где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 3с.

Решение: Если нас интересует движение автомобиля, то, принимая в качестве функции зависимость пройденного расстояния от времени, с помощью производной мы получим зависимость скорости от времени.

V=х'(t)= 20t – 48. Подставляем вместо t 3c и получаем ответ. V=12 мc

Ответ: V=12 мc

№4. На рисунке изображен график функции. На оси абсцисс отмечены семь точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7. Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Решение: Производная функции отрицательна на тех интервалах, на которых функция убывает. В данном случае это точки х3,х5,х7. Следовательно, таких точек 3

Ответ: 3

Источник

09
Авг 2013

Категория: 07 Производная, ПО

07. Применение производной к исследованию функции

2013-08-09
2023-04-30

Cледующая таблица будет весьма полезна при работе с данной темой.

внимание Пожалуйста, будьте предельно внимательны в следующем. Смотрите, график ЧЕГО вам дан! Функции или ее производной

Если дан график производной, то интересовать нас будут только знаки функции и нули. Никакие «холмики» и «впадины», как в случае не интересуют нас в принципе!

Задача 1. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

76т

Решение: + показать

Задача 2. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней.

Решение:+ показать

Задача 3. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней.

Решение: + показать

Задача 4. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых производная функции равна 0.

Решение: + показать

Задача 5. На рисунке изображён график функции и одиннадцать точек на оси абсцисс: $x_1,;x_2,;x_3,;...x_{11}$ . В скольких из этих точек производная функции отрицательна?

76е

Решение: + показать

Задача 6. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите сумму точек экстремума функции .

Решение: + показать

Задача 7. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение: + показать

Задача 8. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них.

неп

Решение: + показать

Задача 9. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . В какой точке отрезка принимает наибольшее значение.

Решение: + показать

Задача 10. На рисунке изображен график — производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек максимума функции , принадлежащих отрезку .

Решение: + показать

Задача 11. На рисунке изображен график функции и отмечены точки -3, 1, 6, 8. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

e3w

Решение: + показать

Задача 12. Функция определена на промежутке На рисунке изображен график её производной. Найдите точку в которой функция принимает наименьшее значение, если

Решение: + показать

Задача 13. Функция определена и непрерывна на полуинтервале На рисунке изображен график её производной. Найдите промежутки убывания функции В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение: + показать

тест

Вы можете пройти тест «Применение производной к исследованию функции»

Автор: egeMax |

комментариев 29

Печать страницы

Источник

Тема 7.

Взаимосвязь функции и ее производной

Производная и точки экстремума функции

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.

Готовиться с нами – ЛЕГКО!

Подтемы раздела

взаимосвязь функции и ее производной

Решаем задачи

На рисунке изображен график производной функции $f(x),$ определенной на отрезке $[− 10;37].$ Найдите количество точек
максимума функции $f(x)$ на отрезке $[0;37].$

$PIC$

Показать ответ и решение

Точка максимума — значение $x,$ в котором производная меняет свой знак с «+» на «-» при движении слева направо.
Следовательно, в этой точке график производной пересекает ось абсцисс «сверху вниз». На отрезке $[0;37]$ таких точек две.

$PIC$

На рисунке изображен график функции $y = f(x)$ , определенной на интервале $(− 3;9)$ . Найдите
произведение точек экстремума этой функции.

$PIC$

На рисунке изображен график функции $y = f(x)$ , определенной на интервале $(− 2,4; 8,7)$ . Найдите
сумму точек экстремума этой функции на отрезке $[1;6]$ .

$PIC$

На рисунке изображен график функции $y = f(x)$ , определенной на интервале $(− 2.8;7.8)$ . Найдите
произведение точек экстремума этой функции.

$PIC$

На рисунке изображен график функции $y = f(x)$ , определенной на интервале $(−2,4;8,7)$ . Найдите сумму точек экстремума этой
функции.

$PIC$

На рисунке изображен график функции $y = f(x)$ , определенной на интервале $(− 3; 8,5)$ . Найдите
сумму точек экстремума этой функции.

$PIC$

На рисунке изображён график $y = f′(x)$ производной функции $f(x),$
определённой на интервале $(−5;5).$ Найдите количество точек максимума
функции $f(x),$ принадлежащих отрезку $[−3;4].$

$xy110−5y5 = f′(x)$

Показать ответ и решение

Точки максимума — это точки, в которых функция меняет свой характер
монотонности с возрастания на убывание, если смотреть слева направо.
Следовательно, в них производная меняет свой знак с плюса на минус.

Значит, на рисунке нужно найти те точки отрезка $[− 3;4],$ в которых
график функции пересекает ось $Ox,$ причем сверху вниз. Таких точек
две.

На рисунке изображён график функции $y = f(x),$ определённой на интервале
$(−5;7).$ Найдите наименьшее значение функции $f(x)$ на отрезке $[1;6,5].$

$PIC$

Показать ответ и решение

Наименьшее значение функции достигается при $x =4$ и равно $f(4) =− 4.$

На рисунке изображен график функции $y = f(x),$ определенной на интервале $(−3;9).$ Найдите количество точек, в которых
производная функции $f(x)$ равна 0.

$PIC$

Показать ответ и решение

Производная равна нулю в точках экстремума функции. Таких точек пять: $− 2, −1, 1, 4 и 6.$

На рисунке изображен график $′ y = f (x)$ — производной функции $f(x),$ определённой на интервале $(− 17;2).$ Найдите
количество точек минимума функции $f(x),$ принадлежащих отрезку $[− 12;1].$

$PIC$

На рисунке изображен график $′ y = f (x)$ — производной функции $y = f(x)$ , определенной на интервале $(− 2,3;8,6)$ . В
какой точке отрезка $[1,5;7]$ функция $y = f(x)$ принимает наименьшее значение?

$PIC$

На рисунке изображен график функции $y = f(x)$ , определенной на интервале $(−5;4)$ . Найдите количество точек, в которых
касательная к графику функции параллельна прямой $y = 3$ или совпадает с ней.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как на рисунке изображен график самой функции, то условие задачи нужно свести к функции.

Если касательная параллельна прямой $y =3$ , то угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту прямой
$y = 3$ , то есть $0$ . Следовательно, $yk = a$ , где $a$ — некоторое число.

Если $yk$ — касательная к графику $f(x)$ , то ее угловой коэффициент равен $f′(x0)$ , где $x0$ — абсцисса точки касания.
Количество таких точек нам и нужно найти.

Следовательно, $f′(x0)= 0$ . Но производная функции равна 0 в точках экстремума, следовательно, раз у нас
нарисован график самой функции, то нам нужно найти количество точек максимума и минимума. Таких точек у нас 7.

$PIC$

На рисунке изображен график $y = f′(x)$ — производной функции $y = f(x)$ , определенной на интервале $(−1,5;8,5)$ . Найдите
количество точек максимума функции $y = f(x)$ , принадлежащих отрезку $[− 1;8]$ .

$PIC$

На рисунке изображен график $y = f′(x)$ — производной функции $y =f (x),$ определенной на интервале $(− 0,5;10,7).$ Найдите
количество точек минимума функции $y = f(x),$ принадлежащих полуинтервалу $[0;10,7).$

$PIC$

Источник

Минимумом называют точку на функции, в которой значение функции меньше, чем в соседних точках.

Максимумом называют точку на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних точках.

Минимумы и максимумы вместе именуют экстремумами функции.

В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная равна нулю.

Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

– Производная положительна там, где функция возрастает. – Производная отрицательна там, где функция убывает.

Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?

Экстремумы функции

Правило исследования на экстремум

Понятие наибольшего и наименьшего значений

Примеры задач

07. Применение производной к исследованию функции

Вам также может понравиться

Как найти квартиру в которой шумят

Как найти синус острого угла по клеточкам

Как найти в сети медиаплеер

Добавить комментарий Отменить ответ

В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная
равна нулю.

– Производная положительна там, где функция возрастает.
– Производная отрицательна там, где функция убывает.