Как найти количество углов в н угольнике

Как найти количество углов в н угольнике

Углы многоугольника

  • Сумма внутренних углов
  • Сумма внешних углов

Внутренний угол многоугольника — это угол, образованный двумя смежными сторонами многоугольника. Например,  ∠ABC  является внутренним углом.

Внутренний угол выпуклого многоугольника

Внешний угол многоугольника — это угол, образованный одной стороной многоугольника и продолжением другой стороны. Например,  ∠LBC  является внешним углом.

внешний угол многоугольника

Количество углов многоугольника всегда равно количеству его сторон. Это относится и к внутренним углам и к внешним. Несмотря на то, что для каждой вершины многоугольника можно построить два равных внешних угла, из них всегда принимается во внимание только один. Следовательно, чтобы найти количество углов любого многоугольника, надо посчитать количество его сторон.

Сумма внутренних углов

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна произведению  180°  и количеству сторон без двух.

s = 2d(n – 2),

где  s  — это сумма углов,  2d  — два прямых угла (то есть  2 · 90 = 180°),  а  n  — количество сторон.

Если мы проведём из вершины  A  многоугольника  ABCDEF  все возможные диагонали, то разделим его на треугольники, количество которых будет на два меньше, чем сторон многоугольника:

сумма внутренних углов многоугольника

Следовательно, сумма углов многоугольника будет равна сумме углов всех получившихся треугольников. Так как сумма углов каждого треугольника равна  180°  (2d),  то сумма углов всех треугольников будет равна произведению  2d  на их количество:

s = 2d(n – 2) = 180 · 4 = 720°.

Из этой формулы следует, что сумма внутренних углов является постоянной величиной и зависит от количества сторон многоугольника.

Сумма внешних углов

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна  360°  (или  4d).

s = 4d,

где  s  — это сумма внешних углов,  4d  — четыре прямых угла (то есть 4 · 90 = 360°).

Сумма внешнего и внутреннего угла при каждой вершине многоугольника равна  180°  (2d),  так как они являются смежными углами. Например,  ∠1  и  ∠2:

Сумма внешних углов многоугольника

Следовательно, если многоугольник имеет  n  сторон (и  n  вершин), то сумма внешних и внутренних углов при всех  n  вершинах будет равна  2dn.  Чтобы из этой суммы  2dn  получить только сумму внешних углов, надо из неё вычесть сумму внутренних углов, то есть  2d(n – 2):

s = 2dn – 2d(n – 2) = 2dn – 2dn + 4d = 4d.

Источник

Теорема

(о сумме углов выпуклого многоугольника)

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна 180º(n-2).

(n — количество сторон многоугольника).

Другой вариант формулировки этой теоремы:

Сумма внутренних углов выпуклого n — угольника равна 180º(n-2).

summa-uglov-mnogougolnika

Дано:

    [{A_1}{A_2}{A_3}...{A_{n - 1}}{A_n}]

—  выпуклый n -угольник.

Доказать:

    [angle {A_1} + angle {A_2} + angle {A_3} + ... + angle {A_{n - 1}} + angle {A_n} = ]

    [ = {180^o}(n - 2)]

Доказательство:

summa-uglov-n-ugolnika1-й способ

Обозначим внутри многоугольника произвольную точку O.

Соединим точку O с вершинами многоугольника.

Получили n треугольников.

    [angle {A_1} + angle {A_2} + angle {A_3} + ... + angle {A_{n - 1}} + angle {A_n} = ]

    [ = angle O{A_1}{A_2} + angle O{A_2}{A_1} + ... + ]

    [ + angle O{A_{n - 1}}{A_n} + angle O{A_n}{A_{n - 1}}.]

Сумма внутренних углов многоугольника равна сумме углов всех треугольников без углов при вершине O.

Так как сумма углов при вершине O составляет 360º

    [angle {A_1}O{A_2} + angle {A_2}O{A_3} + ... + angle {A_{n - 1}}O{A_n} = {360^o},]

то сумма углов многоугольника равна сумме углов n треугольников минус 360º.

Сумма углов каждого треугольника равна 180º.

Таким образом, искомая сумма углов n угольника равна

    [angle {A_1} + angle {A_2} + angle {A_3} + ... + angle {A_{n - 1}} + angle {A_n} = ]

    [ = {180^o} cdot n - {360^o} = {180^o}(n - 2).]

Что и требовалось доказать.

teorema-o-summe-uglov-mnogougolnika2-й способ

Соединим вершину A1 со всеми остальными вершинами многоугольника. Получили n-2 треугольника.

Сумма всех углов этих треугольников равна сумме углов многоугольника.

Сумма углов углов каждого из треугольников равна 180º.

Следовательно, сумма углов многоугольника

    [angle {A_1} + angle {A_2} + angle {A_3} + ... + angle {A_{n - 1}} + angle {A_n} = ]

    [ = {180^o}(n - 2).]

Что и требовалось доказать.

Источник

 Углы правильного  многоугольника делятся на :

  • центральный угол;
  • внутренний угол;
  • внешний угол.

Углы многоугольника

Сумма внутреннего и внешнего угла равна (180°).

Сумма внутренних углов правильного многоугольника с (n) сторонами равна:

((n – 2)180°)

Для нахождения внутреннего угла используют формулу:

(alpha = frac{{{{180}^o}(n – 2)}}{n})

(n)– число сторон

Для нахождения внешнего угла используют формулу:

(varphi = frac{{{{360}^o}}}{n})

(n)– число сторон

Для нахождения центрального угла используют формулу:

(beta = frac{{{{360}^o}}}{n})

(n)– число сторон

Больше уроков и заданий по всем школьным предметам в онлайн-школе “Альфа”. Запишитесь на пробное занятие прямо сейчас!


Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Источник

Добавить комментарий