Как найти количество возможных комбинаций чисел

Как найти количество возможных комбинаций чисел

Формула числа сочетаний

Спасибо за ваши закладки и рекомендации

Определение числа сочетаний

Пусть имеется $n$ различных объектов и требуется найти число сочетаний из $n$ объектов по $k$. Будем выбирать комбинации из $k$ объектов всеми возможными способами, при этом будем обращать внимание на разный состав комбинаций, но не порядок (он тут не важен, в отличие от размещений).

Например, есть три ($n=3$) объекта {1,2,3}, составляем сочетания по $k=2$ объекта в каждом. Тогда выборки {1,2} и {2,1} – это одно и то же сочетание (так как комбинации отличаются лишь порядком). А всего различных сочетаний из 3 объектов по 2 будет три: {1,2}, {1,3}, {2,3}.

число сочетаний из 4 по 2

На картинке наглядно проиллюстрировано получение всех возможных сочетаний из 4 различных объектов по 2 (их будет 6, см. калькулятор сочетаний ниже, который даст формулу расчета).

Общая формула, которая позволяет найти число сочетаний из $n$ объектов по $k$ имеет вид:

$$C_n^k=frac{n!}{(n-k)!cdot k!}.$$

Чаще всего сочетания используются в комбинаторных задачах и задачах на расчет вероятности по формуле классической вероятности (см. теорию и примеры).

Смотрите также другие онлайн-калькуляторы

Чтобы вычислить число сочетаний $C_n^k$ онлайн, используйте калькулятор ниже.

Видеоролик о сочетаниях

Не все понятно? Посмотрите наш видеообзор для формулы сочетаний: как использовать Excel для нахождения числа сочетаний, как решать типовые задачи и использовать онлайн-калькулятор.

Расчетный файл из видео можно бесплатно скачать

Спасибо за ваши закладки и рекомендации

Полезные ссылки

  • Онлайн учебник по теории вероятностей
  • Основные формулы комбинаторики
  • Примеры решений задач по теории вероятностей
  • Заказать свои задачи на вероятность

Решебник по ТВ

Решебник с задачами по комбинаторике и теории вероятностей:

Источник

Число сочетаний

Пусть имеется n различных объектов. Будем выбирать из них k объектов всевозможными способами, при этом будем обращать внимание на разный состав комбинаций, но не порядок
(он тут не важен, в отличие от размещений).

Например, есть три объекта {1,2,3}, составляем сочетания по 2 объекта в каждом. Тогда выборки {1,2} и {2,1} – это одно и то же сочетание (так как комбинации отличаются лишь порядком). А всего различных сочетаний из 3 объектов по 2 будет три: {1,2}, {1,3}, {2,3}.

Общая формула, которая позволяет найти число сочетаний из n объектов по k имеет вид:

Ckn = n!k! ⋅ (n – k)!

Данный онлайн калькулятор позволяет найти число сочетаний из n элементов по k.

Ясно, что сочетаний всегда меньше чем размещений (так как при размещениях порядок важен, а для сочетаний – нет), причем именно в k! раз, то есть верна формула связи:
Akn = Ckn ⋅ Pk

Поделиться страницей в социальных сетях:

Источник

Онлайн-калькулятор сочетаний позволяет вам найти количество возможных комбинаций, которые могут быть получены из элементов выборки из большого набора данных. Кроме того, этот комбинаторика калькулятор показывает каждую комбинацию набора данных. По сути, комбинация – это количество способов получить r элементов из n объектов набора данных, где замены не разрешены. Прочтите статью полностью, чтобы точно узнать о ее формуле, ручном расчете, о том, как найти комбинацию с помощью этого калькулятора комбинаций и многом другом.

Кроме того, вы можете попробовать наш онлайн-калькулятор перестановок, который поможет вам найти количество возможных подмножеств, включая подмножество одного и того же элемента в разном порядке.

Читать дальше!

Что такое формула комбинирования?

Формула для определения количества возможных комбинаций выглядит следующим образом:

nCr = n! / р! (н-р)!

Где,

n – общее количество в наборе данных

r – это номер, который вы выбираете из этого набора данных & nCr – количество комбинаций

Наш калькулятор NCR использует эту формулу для точных и быстрых вычислений всех элементов набора данных.

Формула сочетания с повторением:

Если нас не волнует повторение, то формула NCR выглядит так:

nCr = (г + п-1)! / р! (п-1)!

Здесь на рисунке показаны четыре типа выбора:

Образ

Восклицательный знак (!) Используется для факториала числа. Чтобы найти факториал числа, вы также можете попробовать наш онлайн-калькулятор факториала, который поможет вам вычислить факториал для заданных n чисел.

Как рассчитать комбинации (шаг за шагом):

Расчет комбинаций становится очень простым с этим комбинаторным калькулятором и пониманием следующего ручного примера:

Проведите по!

Пример:

Директор выбирает 4 учеников из класса, всего 30 учеников, для соревнований по легкой атлетике. Он хочет определить, сколько комбинаций из 4 учеников можно создать из 30 учеников?

Решение:

Комбинированное уравнение:

nCr = n! / р! (н-р)!

Вот,

Общее количество студентов (n) = 30

Выбранные ученики (r) = 4

Так,

30C4 = 30! / 4! (30-4)!

30C4 = 30! / 4! (26)!

30C4 = 30 * 29 * 28 * 27 * 26! / 4! (26)!

30C4 = 30 * 29 * 28 * 27/4!

30C4 = 30 * 29 * 28 * 27/4 * 3 * 2 * 1

30C4 = 657720/24

30C4 = 27405 Возможные команды

Вы можете попробовать этот онлайн-калькулятор сочетаний, чтобы проверить все примеры комбинаций для пояснения.

Комбинации и перестановки:

В английском языке мы используем словосочетание, не задумываясь о важности порядка слов или нет. Просто мой обед состоит из бургера, сэндвича с Рубеном и яблочного пирога. Нас не волнует их порядок, они также могут быть в «сэндвиче с Рубеном, яблочном пироге и бургере», но это та же еда. Также,

Замок сейфа – 584. Теперь, если нас не заботит порядок, то он не работает. Например, 845 не подойдет, а 458 не подойдет. Надо точно ввести 5-8-4. Итак, мы пришли к выводу, что:

Когда порядок не имеет значения, это комбинация, а когда порядок имеет значение, это перестановка. Проще говоря, перестановка – это упорядоченная комбинация.

Как использовать онлайн-калькулятор сочетаний:

Онлайн-калькулятор комбинаций чисел требует различных значений для точного расчета, это шаги, которые вы должны выполнить, чтобы получить мгновенные результаты.

Входы:

  • Прежде всего, выберите имя элементов набора данных из раскрывающегося списка этого инструмента.
  • Затем введите общее количество элементов в предназначенное для этого поле.
  • Затем введите, сколько элементов вы хотите выбрать из общего числа элементов.
  • Затем вам нужно выбрать, что вы хотите создать, из раскрывающегося меню. Это может быть как комбинация, так и комбинация с повторением.
  • Затем вставьте значения элементов в указанное поле.
  • Наконец, нажмите кнопку “Рассчитать”.

Выходы:

Как только вы закончите, калькулятор формулы комбинации покажет:

  • Комбинация
  • Сочетание с повторением
  • Пошаговый расчет

Заметка:

Не беспокойтесь, хотите ли вы получить расчет с комбинацией или повторением, все, что вам нужно, чтобы выбрать соответствующую опцию, калькулятор комбинации покажет вам результат в соответствии с заданными значениями.

Часто задаваемые вопросы (FAQ):

Что означает 10 выбирают 3?

Это означает выбор 3 элементов из 10 общих элементов без как посчитать количество комбинаций. Он генератор комбинаций 120 возможных комбинаций.

Для чего используется комбинация?

Он определяет возможные расположения в коллекции из n элементов. Помогает выбирать предметы в любом порядке. Это условие непонятно при перестановке числа.

Конечное примечание:

К счастью, вы узнали, что комбинации используются для определения возможных расположений в коллекции n элементов. Когда дело доходит до вычисления большого числа, воспользуйтесь бесплатным онлайн-калькулятор сочетаний, который поможет вам найти комбинацию данных элементов.

Other Languages: Combination Calculator, Kombinasyon Hesaplama, Kalkulator Kombinacji, Kalkulator Kombinasi, Kombinatorik Rechner, 組み合わせ 計算, 조합 계산기, Kombinace Kalkulačka, Calculadora De Combinações, Calcul Combinaison, Calculadora De Combinaciones, Calcolo Combinatorio, Yhdistelmää Laskin, Kombinations Beregner, Kombinatorikk Kalkulator.

Источник

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 3 декабря 2021 года; проверки требуют 4 правки.

В комбинаторике сочетанием из n по k называется набор из k элементов, выбранных из n-элементного множества, в котором не учитывается порядок элементов.

Соответственно, сочетания, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми — этим сочетания отличаются от размещений. Так, например, 3-элементные сочетания 2 и 3 ((нестрогие) подмножества, для которых k=3) из 6-элементного множества 1 (n=6) являются одинаковыми (в то время как размещения были бы разными) и состоят из одних и тех же элементов 1.

В общем случае число всех возможных k-элементных подмножеств n-элементного множества стоит на пересечении k-й диагонали и n-й строки треугольника Паскаля.[1]

3х элементные подмножества 5 элементного множества

Число сочетаний[править | править код]

Число сочетаний из n по k равно биномиальному коэффициенту

{n choose k}=C_{n}^{k}={frac {n!}{k!left(n-kright)!}}.

При фиксированном n производящей функцией последовательности чисел сочетаний {tbinom {n}{0}}, {tbinom {n}{1}}, {tbinom {n}{2}}, … является

sum _{k=0}^{n}{binom {n}{k}}x^{k}=(1+x)^{n}.

Двумерной производящей функцией чисел сочетаний является

sum _{n=0}^{infty }sum _{k=0}^{n}{binom {n}{k}}x^{k}y^{n}=sum _{n=0}^{infty }(1+x)^{n}y^{n}={frac {1}{1-y-xy}}.

Сочетания с повторениями[править | править код]

Сочетанием с повторениями из n по k называется такой k-элементный набор из n-элементного множества, в котором каждый элемент может участвовать несколько раз, но в котором порядок не учитывается (мультимножество). В частности, число монотонных неубывающих функций из множества {displaystyle {1,2,dots ,k}} в множество {1,2,dots,n} равно числу сочетаний с повторениями из n по k.

Число сочетаний с повторениями из n по k равно:

{displaystyle {overline {C_{n}^{k}}}=C_{(n)}^{k}=left(!!{binom {n}{k}}!!right)={binom {n+k-1}{n-1}}={binom {n+k-1}{k}}=(-1)^{k}{binom {-n}{k}}={frac {(n+k-1)!}{k!cdot (n-1)!}}.}

При фиксированном n производящая функция чисел сочетаний с повторениями из n по k равна

{displaystyle sum _{k=0}^{infty }left[(-1)^{k}{-n choose k}right]x^{k}=(1-x)^{-n}.}

Двумерной производящей функцией чисел сочетаний с повторениями является

sum _{n=0}^{infty }sum _{k=0}^{infty }(-1)^{k}{-n choose k}x^{k}y^{n}=sum _{n=0}^{infty }(1-x)^{-n}y^{n}={frac {1-x}{1-x-y}}.

См. также[править | править код]

  • Комбинаторика
  • Многочлен
  • Мультиномиальный коэффициент
  • Перестановка
  • Размещение

Примечания[править | править код]

  1. ↑ Удивительный треугольник великого француза. Дата обращения: 20 апреля 2010. Архивировано 21 апреля 2010 года.

Ссылки[править | править код]

  • Стенли Р.ruen. Перечислительная комбинаторика. — М.: Мир, 1990.
Источник

Число сочетаний из n по k элементов очень важное понятие в комбинаторике. Оно показывает сколько существует вариантов выбора k элементов из множества n элементов. При нахождении числа сочетаний используют формулу:

Формула числа сочетаний

{C_n^k = frac {n!}{k! cdot (n-k)!}}

Читается обозначение следующим образом – “C из n по k“.

В сочетаниях не имеет значение порядок, в котором расставлены элементы множества k. Для быстрого нахождения сочетаний в режиме онлайн используйте наш калькулятор.

Рассмотрим понятие сочетаний на примере.

Пример нахождения числа сочетаний

Задача 1

Вспомним известную лотерею “5 из 36” и ответим на вопрос, сколько возможных комбинаций в ней существует.

Решение

Итак, из множества в 36 элементов мы выбираем множества элементов по 5. Подставив значения в формулу получим результат:

C_{36}^5 = dfrac {36!}{5! cdot (36-5)!} = dfrac {36!}{5! cdot 31!}

Далее, вспомним, что такое факториал и упростим выражение. Так как 36! = 1 * 2 * 3 * … * 36, а 31! = 1 * 2 * 3 * … * 31, то числитель и знаменатель можно упростить.

C_{36}^5 = dfrac {36!}{5! cdot 31!} = dfrac {32 cdot 33 cdot 34 cdot 35 cdot 36}{1 cdot 2 cdot 3 cdot 4 cdot 5} = dfrac{45 239 040}{120} = 376 992

Это и будет искомый ответ.

Ответ: 376 992

Полученный ответ очень легко проверить с помощью калькулятора .

Источник

Добавить комментарий