Коллинеарность векторов, условия коллинеарности векторов.
Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами (рис. 1).
 |
| рис. 1 |
Условия коллинеарности векторов
Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий:
Условие коллинеарности векторов 1. Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что
N.B. Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.
N.B. Условие 3 применимо только для трехмерных (пространственных) задач.
Доказательство третего условия коллинеарности
Пусть есть два коллинеарные вектора a = < ax ; ay ; az > и b = < nax ; nay ; naz >. Найдем их векторное произведение
Примеры задач на коллинеарность векторов
Примеры задач на коллинеарность векторов на плоскости
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае плоской задачи для векторов a и b примет вид:
| Вектора a и b коллинеарны т.к. | 1 | = | 2 | . |
| 4 | 8 |
| Вектора a и с не коллинеарны т.к. | 1 | ≠ | 2 | . |
| 5 | 9 |
| Вектора с и b не коллинеарны т.к. | 5 | ≠ | 9 | . |
| 4 | 8 |
Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:
Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay . Если вектора колинеарны то
| n = | by | = | 6 | = 2 |
| ay | 3 |
Найдем значение n a :
Так как b = n a , то вектора a и b коллинеарны.
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности
Решим это уравнение:
Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6.
Примеры задач на коллинеарность векторов в пространстве
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае пространственной задачи для векторов a и b примет вид:
| ax | = | ay | = | az | . |
| bx | by | bz |
Вектора a и b коллинеарны т.к. 1 4 = 2 8 = 3 12
Вектора a и с не коллинеарны т.к. 1 5 = 2 10 ≠ 3 12
Вектора с и b не коллинеарны т.к. 5 4 = 10 8 ≠ 12 12
Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:
Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay . Если вектора колинеарны то
| n = | by | = | 6 | = 2 |
| ay | 3 |
Найдем значение n a :
Так как b = n a , то вектора a и b коллинеарны.
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности
| ax | = | ay | = | az | . |
| bx | by | bz |
| 3 | = | 2 | = | m |
| 9 | n | 12 |
Из этого соотношения получим два уравнения:
Решим эти уравнения:
Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6 и m = 4.
Условие коллинеарности векторов
В статье ниже рассмотрим условия, при которых векторы считаются коллинеарными, а также разберем тему на конкретных примерах. И, прежде чем приступить к обсуждению, напомним некоторые определения.
Коллинеарные векторы – ненулевые векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому другому.
Данное определение дает возможность убедиться в коллинеарности векторов в их геометрическом отображении, однако точность такого способа может иметь погрешности, например, в зависимости, от качества самого чертежа. Поэтому обратимся к алгебраическому толкованию: сформируем условие, которое будет явным признаком коллинеарности.
Согласно схемам операций над векторами умножение вектора на некоторое заданное число приводит к соответствующему сжатию или растяжению вектора при сохранении или смене направления. Тогда вектор b → = λ · a → коллинеарен вектору a → , где λ – некоторое действительное число. Справедливым будет и обратное утверждение: если вектор b → коллинеарен вектору a → , его можно представить в виде λ · a → . Это является необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов.
Для коллинеарности двух векторов необходимо и достаточно, чтобы они были связаны равенствами: b → = λ · a → или a → = μ · b → , μ ∈ R
Координатная форма условия коллинеарности векторов
Исходные данные: вектор a → задан в некоторой прямоугольной системе координат на плоскости и имеет координаты ( a x , a y ) , тогда, согласно полученному выше условию, вектор b → = λ · a → имеет координаты ( λ · a x , λ · a y ) .
По аналогии: если вектор a → задан в трехмерном пространстве, то он будет представлен в виде координат a = ( a x , a y , a z ) , а вектор b → = λ · a → имеет координаты ( λ · a x , λ · a y , λ · a z ) . Из полученных утверждений следуют условия коллинеарности двух векторов в координатном толковании.
- Для коллинеарности двух ненулевых векторов на плоскости необходимо и достаточно, чтобы их координаты были связаны соотношениями: b x = λ · a x b y = λ · a y или a x = μ · b x a y = μ · b y
- Для коллинеарности двух ненулевых векторов в пространстве необходимо и достаточно, чтобы их координаты были связаны соотношениями: b x = λ · a x b y = λ · a y b z = λ · a z или a x = μ · b x a y = μ · b y a z = μ · b z
Мы можем также получить еще одно условие коллинеарности векторов, опираясь на понятие их произведения.
Если ненулевые векторы a → = ( a x , a y , a z ) и b → = ( b x , b y , b z ) коллинеарны, то согласно векторному определению произведения a → × b → = 0 → . И это также соответствует равенству: i → j → k → a x a y a z b x b y b z = 0 → , что, в свою очередь, возможно только тогда, когда заданные векторы связаны соотношениями b → = λ · a → и a → = μ · b → , где μ – произвольное действительное число (на основании теоремы о ранге матрицы), что указывает на факт коллинеарности векторов.
Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору.
Рассмотрим применение условия коллинеарности на конкретных примерах.
Исходные данные: векторы a → = ( 3 – 2 2 , 1 ) и b → = ( 1 2 + 1 , 2 + 1 ) . Необходимо определить, коллинеарны ли они.
Решение
Выполним задачу, опираясь на условие коллинеарности векторов на плоскости в координатах: b x = λ · a x b y = λ · a y Подставив заданные значения координат, получим: b x = λ · a x ⇔ 1 2 + 1 = λ · ( 3 – 2 2 ) ⇒ λ = 1 ( 2 + 1 ) · ( 3 – 2 2 ) = 1 3 2 – 4 + 3 – 2 2 = 1 2 – 1 b y = λ · a y ⇔ 2 + 1 = 1 2 – 1 · 1 ⇔ ( 2 + 1 ) · ( 2 – 1 ) = 1 ⇔ 1 ≡ 1
Т.е. b → = 1 2 – 1 · a → , следовательно, заданные векторы коллинеарны.
Ответ: заданные векторы коллинеарны.
Исходные данные: векторы a → = ( 1 , 0 , – 2 ) и b → = ( – 3 , 0 , 6 ) . Необходимо убедиться в их коллинеарности.
Решение
Т.к. b x = λ · a x b y = λ · a y b z = λ · a z ⇔ – 3 = – 3 · 1 0 = – 3 · 0 6 = – 3 · ( – 2 ) , то верным будет равенство: b → = – 3 · a → , что является необходимым и достаточным условием коллинеарности. Таким образом, заданные векторы коллинеарны.
Найдем также векторное произведение заданных векторов и убедимся, что оно равно нулевому вектору: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 1 0 – 2 – 3 0 6 = i → · 0 · 6 + j → · ( – 2 ) · ( – 3 ) + k → · 1 · 0 – k → · 0 · ( – 3 ) – j → · 1 · 6 – i → · ( – 2 ) · 0 = 0 → Ответ: заданные векторы коллинеарны.
Исходные данные: векторы a → = ( 2 , 7 ) и b → = ( p , 3 ) . Необходимо определить, при каком значении p заданные векторы будут коллинеарны.
Решение
Согласно выведенному выше условию, векторы коллинеарны, если
b → = λ · a → ⇔ b x = λ · a x b y = λ · a y ⇔ p = λ · 2 3 = λ · 7
тогда λ = 3 7 , а p = λ · 2 ⇔ p = 6 7 .
Ответ: при p = 6 7 заданные векторы коллинеарны.
Также распространены задачи на нахождения вектора, коллинеарного заданному. Решаются они без затруднений, основываясь на условии коллинеарности: : достаточным будет взять произвольное действительное число λ и определить вектор, коллинеарный данному.
Исходные данные: вектор a → = ( 2 , – 6 ) . Необходимо найти любой ненулевой вектор, коллинеарный заданному.
Решение
Ответом может послужить, например, 1 2 · a → = ( 1 , – 3 ) или вектор 3 · a → = ( 6 , – 18 ) .
Ответ: вектор, коллинеарный заданному имеет координаты ( 1 , – 3 ) .
Исходные данные: вектор a → = ( 3 , 4 , – 5 ) . Необходимо определить координаты вектора единичной длины, коллинеарного заданному.
Решение
Вычислим длину заданного вектора по его координатам: a → = a x 2 + b x 2 + c x 2 = 3 2 + 4 2 + ( – 5 ) 2 = 5 2 Разделим каждую из заданных координат на полученную длину и получим единичный вектор, коллинеарный данному: 1 a → · a → = ( 3 5 2 , 4 5 2 , – 1 2 )
Проверить коллинеарность векторов онлайн
Коллинеарными называются вектора, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых:
Приведенное выше определение коллинеарности двух векторов можно записать в виде формулы:
где – некоторая константа (скаляр).
Если перейти от векторных соотношений к координатным, тогда формула принимает вид:
откуда следует, что, если два вектора коллинеарны, то выполняется следующее условие:
Наш онлайн калькулятор позволяет проверить коллинеарность двух векторов с описанием подробного хода решения на русском языке.
[spoiler title=”источники:”]
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/vektory/uslovie-kollinearnosti-vektorov/
http://mathforyou.net/online/vectors/collinearity/
[/spoiler]
Условия коллинеарности векторов
Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий:
Условие коллинеарности векторов 1. Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что
a = n · b
Условия коллинеарности векторов 2. Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны.
N.B. Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.
Условия коллинеарности векторов 3. Два вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору.
N.B. Условие 3 применимо только для трехмерных (пространственных) задач.
Доказательство третего условия коллинеарности
Пусть есть два коллинеарные вектора a = {ax; ay; az} и b = {nax; nay; naz}. Найдем их векторное произведение
a × b =
ijk
axayaz
bxbybz
= i (aybz – azby) – j (axbz – azbx) + k (axby – aybx) =
= i (aynaz – aznay) – j (axnaz – aznax) + k (axnay – aynax) = 0i + 0j + 0k = 0
Примеры задач на коллинеарность векторов
Примеры задач на коллинеарность векторов на плоскости
Пример 1. Какие из векторов a = {1; 2}, b = {4; 8}, c = {5; 9} коллинеарны?
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае плоской задачи для векторов a и b примет вид:
Значит:
| Вектора a и b коллинеарны т.к. | 1 | = | 2 | . |
| 4 | 8 |
| Вектора a и с не коллинеарны т.к. | 1 | ≠ | 2 | . |
| 5 | 9 |
| Вектора с и b не коллинеарны т.к. | 5 | ≠ | 9 | . |
| 4 | 8 |
Пример 2. Доказать что вектора a = {0; 3} и b = {0; 6} коллинеарны.
Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:
b = na.
Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay. Если вектора колинеарны то
| n = | by | = | 6 | = 2 |
| ay | 3 |
Найдем значение na:
na = {2 · 0; 2 · 3} = {0; 6}
Так как b = na, то вектора a и b коллинеарны.
Пример 3. найти значение параметра n при котором вектора a = {3; 2} и b = {9; n} коллинеарны.
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности
Значит:
Решим это уравнение:
Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6.
Примеры задач на коллинеарность векторов в пространстве
Пример 4. Какие из векторов a = {1; 2; 3}, b = {4; 8; 12}, c = {5; 10; 12} коллинеарны?
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае пространственной задачи для векторов a и b примет вид:
| ax | = | ay | = | az | . |
| bx | by | bz |
Значит:
Вектора a и b коллинеарны т.к.
14 = 28 = 312
Вектора a и с не коллинеарны т.к.
15 = 210 ≠ 312
Вектора с и b не коллинеарны т.к.
54 = 108 ≠ 1212
Пример 5. Доказать что вектора a = {0; 3; 1} и b = {0; 6; 2} коллинеарны.
Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:
b = na.
Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это ay. Если вектора колинеарны то
| n = | by | = | 6 | = 2 |
| ay | 3 |
Найдем значение na:
na = {2 · 0; 2 · 3; 2 · 1} = {0; 6; 2}
Так как b = na, то вектора a и b коллинеарны.
Пример 6. найти значение параметров n и m при которых вектора a = {3; 2; m} и b = {9; n; 12} коллинеарны.
Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности
| ax | = | ay | = | az | . |
| bx | by | bz |
Значит:
| 3 | = | 2 | = | m |
| 9 | n | 12 |
Из этого соотношения получим два уравнения:
Решим эти уравнения:
Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6 и m = 4.
Любовь Петровна Гаврилюк
Эксперт по предмету «Геометрия»
Задать вопрос автору статьи
Понятие коллинеарности векторов
Чтобы понять, что значит коллинеарные векторы, сперва надо разобраться, что является геометрическим вектором. Для этого сначала введем понятие отрезка.
Определение 1
Отрезком будем называть такую часть прямой, которая ограничена точками с двух сторон.
Концами отрезка будем называть точки, которые его ограничивают.
Для введения определения вектора один из концов отрезка назовем его началом.
Определение 2
Вектором (направленным отрезком) будем называть такой отрезок, у которого обозначено, какая граничная точка его начало, а какая является его концом.
Сдай на права пока
учишься в ВУЗе
Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!
Получить скидку 3 000 ₽
Обозначение: $overline{AB}$ – вектор $AB$, имеющий начало в точке $A$, а конец в точке $B$.
Иначе одной маленькой буквой: $overline{a}$ (рис. 1).
Рисунок 1. Обозначение векторов. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Определение 3
Нулевым вектором будем называть любую точку, которая принадлежит плоскости.
Обозначение: $overline{0}$.
Далее рассмотрим, какие векторы называются коллинеарными.
Определение 4
Два ненулевых вектора будем называть коллинеарными, если они лежат на одной и той же прямой. Кроме того, понятие коллинеарность наблюдается в случается параллельности векторов (рис.2).
«Как найти вектор, коллинеарный вектору» 👇
Рисунок 2. Коллинеарность векторов. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Также введем определение векторного произведения, которое будет нам необходимо далее.
Определение 5
Векторным произведением двух векторов будем называть такой вектор, который будет перпендикулярен обоим данным векторам, и его длина будет равняться произведению длин этих векторов с синусом угла между данными векторами, а также этот вектор с двумя начальными имеют ту же ориентацию, как и декартова система координат.
Обозначение: $overline{α}хoverline{β}$.
Чтобы найти векторное произведение, будем пользоваться формулой
$overline{α}хoverline{β}=begin{vmatrix}overline{i}&overline{j}&overline{k}\α_1&α_2&α_3\β_1&β_2&β_3end{vmatrix}$
Признак коллинеарности через пропорциональность или как определить коллинеарность векторов по координатам
Теорема 1
Главное условие коллинеарности векторов: чтобы ненулевые векторы были коллинеарны между собой, необходимо, чтобы их соответствующие координаты были пропорциональны друг другу.
Доказательство.
Необходимость: Пусть нам даны векторы $overline{α}$ и $overline{β}$, которые имеют координаты $(α_1,α_2,α_3)$ и $(β_1,β_2,β_3)$, соответственно, причем они коллинеарны друг другу. Тогда нам нужно доказать следующие равенства
$α_1=rβ_1$, $α_2=rβ_2$, $α_3=rβ_3$
Так как векторы $overline{α}$ и $overline{β}$ коллинеарны, то они будут либо сонаправленными, либо противоположно направленными. Без ограничения общности, будем считать, что они будут сонаправлены, то есть $overline{α}↑↑overline{β}$. Умножим один из этих векторов на действительное, большее нуля, число $r$, так, чтобы длины векторов $roverline{α}$ и $overline{β}$ были равны между собой. По определению умножения векторов на число, получим, что $roverline{α}↑↑overline{β}$. Но тогда, по определению равенства векторов, получим, что $roverline{α}=overline{β}$. Из этого равенства получим, что
$α_1=rβ_1$, $α_2=rβ_2$, $α_3=rβ_3$
Достаточность: Пусть верны равенства $α_1=rβ_1$, $α_2=rβ_2$, $α_3=rβ_3$. Докажем, что векторы $overline{α}$ и $overline{β}$ будут коллинеарными.
Из данных равенств следует, что $roverline{α}=overline{β}$.
Имеются два случая:
-
$r lt 0$
В этом случае, по определению умножения вектора на число, получим, что $roverline{α}↑↓overline{β}$.
-
$r >0$
В этом случае получим, что $roverline{α}↑↑overline{β}$.
Тогда, в обоих случаях получаем доказательство коллинеарности векторов $overline{α}$ и $overline{β}$.
Ответ: теорема доказана.
Пример 1
Как проверить коллинеарность векторов $(3,-1)$ и $(9,-3)$.
Доказательство.
Разложим второй вектор:
$(9,-3)=(3cdot 3,3cdot (-1) )=3(3,-1)$
Получаем, что координаты этих векторов пропорциональны друг другу, что, по теореме 1, и доказывает наше утверждение.
Признаки и свойства коллинеарности векторов через их произведение
Теорема 2
Чтобы ненулевые векторы были коллинеарны между собой, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение было равно нулевому вектору.
Доказательство.
Необходимость: Пусть нам даны векторы $overline{α}$ и $overline{β}$, которые имеют координаты $(α_1,α_2,α_3)$ и $(β_1,β_2,β_3)$, соответственно, причем они коллинеарны друг другу. Тогда нам нужно доказать, что $overline{α}хoverline{β}=overline{0}$.
Так как векторы коллинеарны, то, по теореме 1, верны равенства
$α_1=rβ_1$, $α_2=rβ_2$, $α_3=rβ_3$
Найдем $overline{α}хoverline{β}$ по формуле
$overline{α}хoverline{β}=begin{vmatrix}overline{i}&overline{j}&overline{k}\α_1&α_2&α_3\β_1&β_2&β_3end{vmatrix}=begin{vmatrix}overline{i}&overline{j}&overline{k}\rβ_1&rβ_2&rβ_3\β_1&β_2&β_3end{vmatrix}=rbegin{vmatrix}overline{i}&overline{j}&overline{k}\β_1&β_2&β_3\β_1&β_2&β_3end{vmatrix}=rcdot overline{0}=overline{0}$
Достаточность: Пусть верно равенство $overline{α}хoverline{β}=overline{0}$, докажем, что векторы $overline{α}$ и $overline{β}$ коллинеарны. Так как векторное произведение равняется $overline{0}$, то его длина также равняется нулю. Следовательно, угол между $overline{α}$ и $overline{β}$ равняется $180^circ$ или $0^circ$. То есть, чтобы они были коллинеарны, векторы должны лежать на одной или параллельных прямых.
Теорема доказана.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Содержание
Условия коллинеарности, ортогональности и компланарности
Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами
Коллинеарность
Условие коллинеарности векторов 1. Два вектора $mathbf a(x_1,y_1)$ и $mathbf b(x_2,y_2)$ коллинеарны, если существует число $n$ такое, что
$$ mathbf {a} = n · mathbf {b}$$
или покоординатная детализация:
$$ x_1 = k cdot x_2 \
y_1 = k cdot y_2 \
z_1 = k cdot z_2 $$
Для коллинеарности векторов необходимо и достаточно, чтобы их соответствующие координаты были пропорциональны
Условия коллинеарности векторов 2. Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны.
N.B. Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.
$$ k = frac {x_1} {y_1} =frac {x_2} {y_2} = ldots $$
Условия коллинеарности векторов 3. Два вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору. [или модуль векторного произведения = 0]
$$ x_1y_2 – x_2y_1 = 0$$
Пример 1. Какие из векторов a = (1; 2), b = (4; 8), c = (5; 9) коллинеарны? Ответ – a и b.
Пример 2. Доказать что вектора a = (0; 3) и b = (0; 6) коллинеарны.
Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n. $na = (2 · 0; 2 · 3) = (0; 6)$
Пример 3. Образуют ли базис векторы k(3,7), 
-6,14)?
Ответ: да. Два вектора плоскости образуют базис, если они не коллинеарны (линейно независимы).
В общем случае нужно составить систему уравнений (по условию 1) и исследовать ее на совместность. Если несовместна (решений нет) – значит, вектора ЛН. В данном случаи можно действовать упрощенно по условию 2, так как нет нулей и деления на них.
Пример 4. Даны вершины четырёхугольника A(-4,2), B(2,6), C(5,4), D(-1,0). Доказать, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом.
Доказательство: Чертежа в задаче строить не нужно, поскольку решение будет чисто аналитическим. Нужно доказать:
-
параллельность противоположных сторон AB и CD;
-
параллельность противоположных сторон BC и AD.
Найти вектора и проверить на коллинеарность.
Систематизируем: Для двух векторов плоскости эквивалентны следующие утверждения:
-
векторы линейно независимы;
-
векторы образуют базис;
-
векторы не коллинеарны;
-
векторы нельзя линейно выразить друг через друга;
-
определитель, составленный из координат данных векторов, отличен от нуля.
Ортогональность
Вектора a и b называются ортогональными, если угол между ними равен 90°.
Условие ортогональности векторов. Два вектора a и b ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю.
$$ x_1x_2 + y_1y_2 = 0$$
или в трехмерном случае:
$$ x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = 0$$
Пример 1. Доказать что вектора a = (1; 2) и b = (2; -1) ортогональны.
Пример 2. Найти значение числа n при котором вектора a = (2; 4) и b = (n; 1) будут ортогональны.
Ответ -2
Пример 4. Проверить являются ли вектора a = {2; 3; 1} и b = {3; 1; -9} ортогональными.
Ответ : да
Компланарность
Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами.
Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, поэтому любые два вектора всегда компланарные.
Три компланарных вектора всегда линейно зависимы, то есть линейно выражаются друг через друга.
Условия компланарности векторов
Три вектора компланарны если их смешанное произведение равно нулю.
Три вектора компланарны если они линейно зависимы.
Для n векторов. Вектора компланарны если среди них не более двух линейно независимых векторов.
Пример 1. Проверить компланарны ли три вектора a = {1; 2; 3}, b = {1; 1; 1}, c = {1; 2; 1}.
Решение: найдем смешанное произведение векторов
a · [b × с] = 1 2 3 = 1 1 1 1 2 1 = 1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 - 1·1·3 - 1·1·2 - 1·1·2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2
Ответ: вектора не компланарны так, как их смешанное произведение не равно нулю.
Признаки параллельности и перпендикулярности прямых
Пусть даны две прямые a и b, заданные уравнениями:
$$ a: y = k_1 x + c_1 \
b: y = k_2 x + c_2
$$
Возьмем два произвольных вектора, по одному на каждой прямой. Например, при x=0 и x=1 прямая a проходит через точки $(0, c_1)$ и $(1, k_1 + c_1)$. Значит, вектор, лежащий на прямой a можно задать координатами $(1, k_1)$
Аналогично, вектор, лежащий на прямой b можно задать координатами $(1, k_2)$
Векторы коллинеарны, если $k_1 = k_2$ – совпадают угловые коэффициенты прямых, значит, прямые параллельны
Векторы ортогональны, если скалярное произведение $k_1 cdot k_2 + 1 = 0$ или $k_1 k_2 = -1$, прямые перпендикулярны
Как найти вектор коллинеарный вектору
ФОРМУЛА
Для того чтобы вектор (
overline{a}=left(a_{x} ; a_{y}right)
) был коллинеарным вектором (
overline{b}=left(b_{x} ; b_{y}right)
), необходимо, чтобы его соответствующие координаты были пропорциональны, то есть их координаты удовлетворяли условию
(
frac{a_{x}}{b_{x}}=frac{a_{y}}{b_{y}}
)
Если векторы задаются в пространстве своими координатами: (
overline{a}=left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}right), overline{b}=left(b_{x} ; b_{y} ; b_{z}right)
), тогда условие коллинеарности имеет вид:
(
frac{a_{x}}{b_{x}}=frac{a_{y}}{b_{y}}=frac{a_{z}}{b_{z}}
)
КОЛЛИНАРНЫЙ ВЕКТОРНЫЙ ПОДХОД
ПРИМЕР
overline{a}=(2 ;-3)
) и (
overline{b}=(-1 ; m)
) При каком значении (
m
) эти векторы будут коллинеарными?
overline{a} quadиquad overline{b}
) были коллинеарными, необходимо, чтобы их координаты были пропорциональны, то есть они удовлетворяли условию:
(
frac{a_{x}}{b_{x}}=frac{a_{y}}{b_{y}}
)
Подставьте координаты заданных векторов в это равенство и найдите значение (
m
):
(
frac{2}{-1}=frac{-3}{m}
)
В пропорции имеем:
(
2 cdot m=(-1) cdot(-3) Rightarrow 2 cdot m=3 Rightarrow m=frac{3}{2}=1,5
)
overline{a} quadиquad overline{b}
) будут будут коллинеарными при (
m=1,5
)
ПРИМЕР
overline{a}=(4 ;-m ; 1) quad{и}quad overline{b}=(2 ;-3 ; n)
) даны. При каких значениях (
m quadиquad n
)векторах (
overline{a} quad{и}quad overline{b}
) будет коллинеарным?
overline{a} quad{и}quad overline{b}
) были коллинеарными, необходимо, чтобы их координаты были пропорциональны, то есть выполнялись следующие равенства:
(
frac{4}{2}=frac{-m}{-3}=frac{1}{n}
)
А потом по значениям неизвестных параметров (
m quadиquad n
) определим из равенств
(
frac{m}{3}=2 Rightarrow m=6
)
(
frac{1}{n}=2 Rightarrow n=frac{1}{2}=0,5
)
overline{a} quad{и}quad overline{b}
) будут коллинеарными при (
m=6
) и (
n=0,5
)
