Как найти комплексные корни многочлена на

Алгоритм вычисления комплексного корня полинома произвольной степени

Это завершение моей первой статьи: “Алгоритм расчёта вещественных корней полиномов”.

Спасибо комментаторам, сделавшим более ясным мое слишком уж конспективное изложение метода Лобачевского. В самом деле, мне следовало явно написать, что квадрированный полином надо рассматривать как полином от аргумента x^2, где x — аргумент исходного полинома.

Главное же, там был описан простой алгоритм вычисления всех вещественных корней полинома произвольной степени.

Теперь на этом фундаменте будет построен вполне элементарный алгоритм вычисления комплексного корня полинома, не имеющего вещественных корней.

Сначала нормируем полином так, чтобы его свободный член стал равным единице. Тогда при значении аргумента x=0 значение полинома будет вещественным и равным единице. Это широко известная математикам отправная точка рассуждений.

Представим аргумент x полинома в виде:

x=r*exp(i*fi)

Здесь i — это мнимая единица.

При изменении fi от нуля до 2*pi (=6.28318…) значение полинома p опишет некоторую замкнутую кривую. Назовём эту кривую эпициклоидой.

При исчезающе малом r эпициклоида будет похожа на маленькое колечко вокруг точки p=1. Не будем отвлекаться на ситуации, когда линейный член нашего полинома равен нулю.

При бесконечно большом значении r эпициклоида опишет несколько петель вокруг точки p=1. Количество петель равно степени полинома, форма близка к окружности большого радиуса.

Было бы полезно научиться вычислять все значения fi, при которых мнимая часть полинома обращается в нуль. Это позволит каждому значению r конструктивно поставить в соответствие минимальное значение координаты x, при которой эпициклоида пересекает ось абсцисс.

Это значение положительно при малых r и отрицательно при больших r.

Методом деления отрезка пополам можно найти такое r, при котором это значение будет в точности равно нулю. Соответствующие значения r и fi определят искомый комплексный корень полинома.

Перейдём к реализации намеченного плана.

Мнимая часть полинома с коэффициентами kf0, kf1, kf2,…, kfn представится в виде:

Im=kf1*r*sin(fi)+kf2*r^2*sin(2*fi)+...+kfn*r^n*sin(n*fi)

Хотелось бы представить её в виде какого-нибудь полинома, поскольку вещественные корни полиномов мы умеем вычислять. И действительно, эту мнимую часть можно представить как произведение синуса fi, на некоторый полином от косинуса fi. При небольшой степени полинома это можно непосредственно проверить.

Используем метод математической индукции для доказательства этого утверждения в общем виде.

Пусть

cos(n*x)=polynomC(cos(x))
sin(n*x)=sin(x)*polynomS(cos(x))

Тогда

cos(n*x+x)=cos(n*x)*cos(x)-sin(n*x)*sin(x)=
=polynomC(cos(x))*cos(x)-sin^2(x)*polynomS(cos(x))

Поскольку sin^2(x)=1-cos^2(x), ясно, что последнее выражение является некоторым полиномом от cos(x).

Аналогично:

sin(n*x+x)=sin(n*x)*cos(x)+cos(n*x)*sin(x)=
=sin(x)*(polynomS(cos(x)*cos(x)+polynomC(cos(x))))

И здесь очевидно, что сомножитель при sin(x) в последнем выражении является полиномом от cos(x).

Понятно, что тщательное выписывание приведенных соотношений позволяет получить рекуррентные формулы для коэффициентов нужных нам полиномов.

Дальнейшие подробности реализации намеченного плана удобнее проследить по приведенным ниже комментированным текстам соответствующей программы.

Полный комплект этой демонстрационной программы состоит из приведенных ниже трех файлов и двух файлов, описанных в предыдущей публикации.

//*************************************************************************
class polinomComplexRoot
{
public:
//тело класса определяется степенью исследуемого полинома и набором его коэффициентов
polinomComplexRoot(int _degree,double* _kf);
~polinomComplexRoot();

//основная процедура внешнего интерфейса класса
//возвращает код ошибки
//при успешном завершении код ошибки равен нулю,
//а значения параметров rootRe и rootIm станут равны соответственно
//вещественной и мнимой части комплексного корня исследуемого полинома
int run(double& rootRe,double& rootIm);

private:
int degree,errorCode;
double *kf;
double *ki;
double *cosRootsArray;
double *rpw;
int **ck;
int **sk;

//основная рабочая процедура
//при заданном r находит минимальное значение вещественной части
//исследуемого полинома от аргумента r*exp(i*fi)
//при том значении fi, которое обеспечивает равенство нулю
//его мнимой части. Это значение fi 
//будет присвоено второму аргументу процедуры по окончании вызова
double minAxeXcrossVal(double r,double& fi);
};//class polinomComplexRoot
//*************************************************************************

//*************************************************************************
#include <math.h>
#include <polynomComplexRoot.h>
#include <polynomRealRoots.h>

const double cPI=3.14159265358979323846;

polinomComplexRoot::polinomComplexRoot(int _degree,double* _kf)
{
degree=_degree;errorCode=0;

//предварительная инициализация
kf=0;ck=0;sk=0;rpw=0;ki=0;cosRootsArray=0;

//отбраковка неприемлемых значений коэффициентов исходного полинома
if(_kf[0]==0){errorCode=1;return;}
if(_kf[degree]==0){errorCode=2;return;}
if(degree<2){errorCode=3;return;}

kf=new double[1+degree];
ki=new double[1+degree];
cosRootsArray=new double[1+degree];
rpw=new double[degree+1];
ck=new int*[1+degree];
sk=new int*[1+degree];
for(int i=0;i<=degree;i++)
{
ck[i]=new int[1+degree];
sk[i]=new int[1+degree];
}
//отбраковка исходного полинома, имеющего вещественные корни
polynomRealRoots(degree,_kf,kf,errorCode);
if(errorCode>0){errorCode=4;return;}

for(int i=0;i<=degree;i++)kf[i]=_kf[i]/_kf[0];


for(int i=0;i<=degree;i++)
for(int j=0;j<=degree;j++)
{ck[i][j]=0;sk[i][j]=0;}

//коэффициенты косинусных полиномов для представления
//кратных синусов и косинусов по формулам
//cos(n*x)=ck[n,0]+ck[n,1]*cos(x)+ck[n,2]*cos^2(x)+...+ck[n,n]*cos^n(x)
//sin(n*x)=sin(x)*(sk[n,0]+sk[n,1]*cos(x)+sk[n,2]*cos^2(x)+...+sk[n,n]*cos^n(x))
ck[1][1]=1;
sk[1][0]=1;

//расчёт ck и sk по рекуррентным формулам
//здесь np1=n+1
for(int n=1,np1=2;n<degree;n=np1,np1++)
for(int k=0;k<=np1;k++)
{//реализация рекуррентных формул
//ck[n+1,k]=ck[n,k-1]+sk[n,k-2]-sk[n,k];
//sk[n+1,k]=sk[n,k-1]+ck[n,k];
if(k>=1)ck[np1][k]+=ck[n][k-1];
if(k>=2)ck[np1][k]+=sk[n][k-2];
if(k>=1)sk[np1][k]+=sk[n][k-1];
if(k<=n){ck[np1][k]-=sk[n][k];sk[np1][k]+=ck[n][k];}
}//реализация рекуррентных формул
return;
}//constructor

polinomComplexRoot::~polinomComplexRoot()
{
if(kf)delete[] kf;
if(ki)delete[] ki;
if(cosRootsArray)delete[] cosRootsArray;
if(rpw)delete[] rpw;
if(ck)
{
for(int i=0;i<=degree;i++)delete[] ck[i];
delete[] ck;
}

if(sk)
{
for(int i=0;i<=degree;i++)delete[] sk[i];
delete[] sk;
}

}//destructor

int polinomComplexRoot::run(double& rootRe,double& rootIm)
{
rootRe=0;rootIm=0;
if(errorCode>0)return errorCode;

//верхняя rup и нижняя rdn границы поиска для r 
double fidn=0,rdn=0,fiup=0,rup=1;

//удваиваем rup пока оно недостаточно велико
for(;minAxeXcrossVal(rup,fiup)>0;)rup+=rup;

for(;;)
{//цикл деления пополам интервала (rdn, rup)
double fit,rt=0.5*(rdn+rup);
if(rt==rdn||rt==rup)break;
if(minAxeXcrossVal(rt,fit)>0){rdn=rt;fidn=fit;}else {rup=rt;fiup=fit;}
}//цикл деления пополам интервала (rdn, rup)

//формальный выбор для выдачи результата одного из двух
//практически одинаковых решений (rdn, fidn) или (rup, fiup)
//будет вычислен модуль исследуемого полинома в каждой из этих двух точек
//и в качестве результата решения будет выдана та из этих точек,
//которой соответствует вычислительно меньшее значение этого модуля
double minmod; //минимальное значение модуля полинома
bool mindn=true; //минимум достигнут в точке с суффиксом dn

for(int c=0;c<2;c++)
{//контрольный расчёт в точках up и dn
double rc,fic;
if(c==0){rc=rdn;fic=fidn;}
else {rc=rup;fic=fiup;}

//rec - вещественная часть исследуемого полинома в пробной точке
//imc - мнимая часть исследуемого полинома в пробной точке
double rec=kf[degree]*cos(degree*fic),
imc=kf[degree]*sin(degree*fic);
for(int i=degree-1;i>0;i--)
{//gorner
rec=rc*rec+kf[i]*cos(i*fic);
imc=rc*imc+kf[i]*sin(i*fic);
}//gorner
rec=rc*rec+kf[0];
imc=rc*imc;

//mc - квадрат модуля исследуемого полинома в пробной точке
double mc=rec*rec+imc*imc;
if(c==0)minmod=mc;
else if(mc<minmod)
{//точка up лучше точки dn
minmod=mc;
mindn=false;
}//точка up лучше точки dn
}//контрольный расчёт в точках up и dn

//формирование результата
if(mindn)
{//выбор точки dn в качестве результата
rootRe=rdn*cos(fidn);
rootIm=rdn*sin(fidn);
}//выбор точки dn в качестве результата
else
{//выбор точки up в качестве результата
rootRe=rup*cos(fiup);
rootIm=rup*sin(fiup);
}//выбор точки up в качестве результата

return errorCode;
}//run

//основная рабочая процедура
//при заданном r находит минимальное значение вещественной части
//исследуемого полинома от аргумента r*exp(i*fi)
//при том значении fi, которое обеспечивает равенство нулю его мнимой части
//это значение fi будет присвоено второму аргументу процедуры по окончании вызова
double polinomComplexRoot::minAxeXcrossVal(double r,double& fi)
{
//предварительно формируем вспомогательный массив rpw[k]=r^k
double rb=1;
for(int i=0;i<=degree;i++){rpw[i]=rb;rb*=r;}

//значение исследуемого полинома от вещественного аргумента r
rb=kf[0];for(int i=1;i<=degree;i++)rb+=rpw[i]*kf[i];
double rez=rb;fi=0;

//значение исследуемого полинома от вещественного аргумента -r
rb=kf[0];
for(int i=1,od=1;i<=degree;i++,od=1-od)if(od)rb-=rpw[i]*kf[i];else rb+=rpw[i]*kf[i];

//мы ищем минимальное значение абсциссы эпициклоиды
if(rb<rez){rez=rb;fi=cPI;}

//мнимая часть исследуемого полинома от комплексного аргумента,
//представленного параметрами r и fi, выражается так
//im=r*kf[1]*sin(fi)+r^2*kf[2]*sin(2*fi)+...+r^n*kf[n]*sin(n*fi)
//она будет представлена с участием некоторого полинома от cos(fi)
//коэффициенты этого полинома обозначены идентификатором ki
//im=sin(fi)*(ki[0]+ki[1]*cos(fi)+ki[2]*cos^2(fi)+...+ki[n]*cos^n(fi))
//коэффициенты ki выражаются через коэффициенты исследуемого полинома kf
//и коэффициенты ck и sk, вычисленные в конструкторе класса по формулам
//ki[0]=r*kf[1]*sk[1][0]+r^2*kf[2]*sk[2][0]+...+r^n*kf[n]*sk[n][0]
//ki[1]=r*kf[1]*sk[1][1]+r^2*kf[2]*sk[2][1]+...+r^n*kf[n]*sk[n][1]
//...
//ki[n]=r*kf[1]*sk[1][n]+r^2*kf[2]*sk[2][n]+...+r^n*kf[n]*sk[n][n]
for(int i=0;i<=degree;i++)
{//вычисление коэффициентов ki
rb=0;
for(int j=i+1;j<=degree;j++)rb+=(rpw[j]*kf[j]*sk[j][i]);
ki[i]=rb;
}//вычисление коэффициентов ki

//cosDegree это степень косинусного полинома, представленного коэффициентами ki
//страхуемся от возможности равенства нулю старших коэффициентов
int cosDegree=0,cosRootsCount=0;
for(int i=degree-1;i>0;i--)if(fabs(ki[i])>0){cosDegree=i;break;}

//интерпретируем ситуацию вырождения ki-полинома как внутреннюю ошибку
if(cosDegree<1){errorCode=5;return rez;}

//находим все вещественные корни ki-полинома
polynomRealRoots(cosDegree,ki,cosRootsArray,cosRootsCount);

//обследование найденных корней ki-полинома
for(int i=0;i<cosRootsCount;i++)if(fabs(cosRootsArray[i])<1)
{//расчёт fi и коррекция rez
double x=acos(cosRootsArray[i]),
im=0,re=kf[0];

//расчёт вещественной (re) и мнимой (im) части исследуемого полинома
//при очередном значении найденного корня
for(int j=1;j<=degree;j++)
{
re+=(kf[j]*rpw[j]*cos(j*x));
im+=(kf[j]*rpw[j]*sin(j*x));
}

//существенно ненулевое значение im интерпретируем как внутреннюю ошибку
if(fabs(im)>1e-6)errorCode+=6;

//мы ищем минимальное значение абсциссы эпициклоиды
if(re<rez){rez=re;fi=x;}
}//расчёт fi и коррекция rez

//интерпретируем невероятный случай fi=0 или fi=cPI
//как внутреннюю ошибку
if(fi==0||fi==cPI)errorCode+=7;
return rez;
}//minAxeXcrossVal
//*************************************************************************

//*************************************************************************
//демонстрация расчёта комплексного корня полинома
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <polynomComplexRoot.h>

int main()
{
//задание степени и коэффициентов исходного полинома
int degree=4;
//double kf[5]={24,24,12,4,1};
//double kf[5]={2,-2,3,-2,1};
double kf[5]={4,0,0,0,1};

//запуск процесса расчёта комплексного корня
double re,im;
int ret=polinomComplexRoot(degree,kf).run(re,im);

//распечатка результата расчёта корня
if(ret==0||ret>4)
{//успешное завершение процедуры расчёта корня
//распечатка результата расчёта корня
if(ret==0)printf("успешное решениеn");
else 
{
printf("ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕnбыли странные ситуацииn");
printf("возможно из-за недостаточной точности аппаратного представления вещественных чиселn");
}
printf("кореньВещт=%fnкореньМним=%fn",re,im);
//проверка достоверности найденного корня
//используется следующая формула для полинома от суммы аргументов:
//p0(x+y)=p0(x)+p1(x)*y+p2(x)*y^2/2!+...+pn*y^n/n!
//представляющая собой конечную сумму ряда Тейлора по приращению y
//для исходного полинома p0 в точке x
//здесь p1, p2, ... , pn - производные 1-го, 2-го, ... , n-го порядка от исходного полинома
//в тексте программы далее использован обратный порядок индексации исходного и производных полиномов
//там индекс полинома равен его степени
double** kfx=new double*[degree+1];
for(int i=0;i<=degree;i++)kfx[i]=new double[degree+1];
double* kfy=new double[degree+1];

for(int i=degree;i>=0;i--)
{//исходные присвоения
for(int j=0;j<=degree;j++)kfx[i][j]=0;
kfy[i]=0;
kfx[degree][i]=kf[i];
}//исходные присвоения

//расчёт коэффициентов производных полиномов
for(int i=degree;i>0;i--)
for(int j=i;j>0;j--)kfx[i-1][j-1]=kfx[i][j]*j;

double fact=1;
for(int i=0,dmi=degree;i<=degree;i++,dmi--)
{//расчёт коэффициентов полинома по y
//вычисляется по схеме Горнера значение производного полинома от аргумента re
kfy[i]=kfx[dmi][dmi];
for(int j=dmi-1;j>=0;j--)kfy[i]=re*kfy[i]+kfx[dmi][j];
kfy[i]/=fact;
fact*=(i+1);
}//расчёт коэффициентов полинома по y

//массив степеней мнимой единицы
const int ipw[4]={1,1,-1,-1};

double ypw=1;

//вещественная и мнимая части значения исходного полинома
//при значении комплексного аргумента re+i*im
double fre=0,fim=0;
for(int i=0,od=0;i<=degree;i++,od=1-od)
{//расчёт значения исходного полинома
if(od==0)fre+=(ypw*kfy[i]*ipw[i%4]);
else fim+=(ypw*kfy[i]*ipw[i%4]);
ypw*=im;
}//расчёт значения исходного полинома

//печать погрешности расчёта корня исходного полинома
//это модуль полинома в найденном корне,
//нормированный на значение свободного члена
printf("погрешность=%7.1en",sqrt(fre*fre+fim*fim)/kf[0]);

//заключительное освобождение занимаемой памяти
for(int i=0;i<=degree;i++)delete[] kfx[i];
delete[] kfx;
delete[] kfy;
}//успешное решение
if(ret>0)switch(ret)
{//печать краткой диагностики произошедшей ошибки
case 1:
printf("#ошибка 1:нулевое значение свободного члена исходного полиномаn");
break;
case 2:
printf("#ошибка 2:нулевое значение старшего коэффициента полиномаn");
break;
case 3:
printf("#ошибка 3:степень исходного полинома слишком малаn");
break;
case 4:
printf("#ошибка 4:исходный полином имеет вещественные корниn");
break;
default:printf("#код ошибки=%dn",ret);
}//печать краткой диагностики произошедшей ошибки
return 0;
}//main
//*************************************************************************

Решение уравнений с комплексными числами

Итак, необходимо решить уравнение с комплексными переменными, найти корни этого уравнения. Рассмотрим принцип решения комплексных уравнений, научимся извлекать корень из комплексного числа.

Для того, чтобы решить уравнение n-й степени с комплексными числами, используем общую формулу:

где |z| — модуль числа, φ = arg z — главное значение аргумента, n — степень корня, k — параметр, принимает значения : k = <0, 1, 2, 3, …n-1 >.

Пример 1. Найти все корни уравнения

Выразим z из уравнения:

Все корни заданного уравнения являются значениями корня третьей степени из комплексного числа

Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени n комплексного числа z. Найдем все необходимые значения для формулы:

Подставим найденные значения в формулу:

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения.

Пример 2. Найти все корни уравнения

Найдем дискриминант уравнения:

Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня. Вычислим корень из дискриминанта:

Найдем корни уравнения:

Ответ:

Пример 3. Найти все корни уравнения

Выразим z из уравнения:

Все корни заданного уравнения являются значениями корня четвертой степени из комплексного числа

Вновь используем общую формулу для нахождения корней уравнения n степени комплексного числа z.
n = 4 — количество корней данного уравнения. k = <0, 1, 2, 3>. Найдем модуль комплексного числа:

Подставим найденные значения в формулу:

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2, 3 найдем все 4 корня уравнения:

Пример 4. Найти корни уравнения

Решение кубического уравнения комплексными числами:

Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени 3 комплексного числа z.

Найдем все необходимые значения для формулы:

Подставим найденные значения в формулу:

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения:

Домашнее задание: Самостоятельно составить и решить уравнение с комплексными числами.

Условия: переменная z должна быть «спрятана» и представлена в качестве аргумента тригонометрической функции косинуса. Чтобы привести данное уравнение к привычной форме, нужно «вытащить» z, а для этого необходимо помнить, как решаются тригонометрические уравнения,а также знать, как применять свойства логарифмической функции от комплексного числа.

После того, как мы решили тригонометрическое уравнение с комплексным числом, получаем «голый» z, который представлен в качестве аргумента обратной тригонометрической функции. Чтобы преобразовать данное выражение, нужно использовать формулу разложения арккосинуса в логарифм.

Вместо z — выражение (3i/4) и дальше все делаем по приведенной выше формуле, преобразовывая выражение под корнем, используя свойства мнимой единицы i.

Как быть далее? Теперь будем использовать формулу для решения выражения с натуральным логарифмом.

Для того чтобы найти корни логарифмического уравнения, нужно найти модуль комплексного числа |z| и его аргумент φ = arg z. По сути, перед нами чисто мнимое число.

Теперь предлагаем ознакомиться с формулами, которые могут пригодиться при решении уравнений или неравенств с комплексными числами. Это формулы, где комплексное число выступает в роли аргумента тригонометрической функции, логарифмической функции или показательной функции.

Квадратное уравнение с комплексными корнями

Вы будете перенаправлены на Автор24

Рассмотрим решение уравнений с комплексными корнями и коэффициентами.

Двучленным называется уравнение вида $x^ =A$.

Рассмотрим три случая:

Решить уравнение: $x^ <3>=8$.

Так как $A>0$, то $x_ =sqrt[<3>] <8>cdot left(cos frac<2kpi > <3>+icdot sin frac<2kpi > <3>right),, , , k=0. 2$.

При $k=0$ получаем $x_ <0>=sqrt[<3>] <8>cdot left(cos 0+icdot sin 0right)=sqrt[<3>] <8>=2$.

При $k=1$ получаем

[x_ <1>=sqrt[<3>] <8>cdot left(cos frac<2pi > <3>+icdot sin frac<2pi > <3>right)=sqrt[<3>] <8>cdot (-frac<1> <2>+frac <sqrt<3>> <2>cdot i)=2cdot (-frac<1> <2>+frac <sqrt<3>> <2>cdot i)=-1+sqrt <3>cdot i.]

При $k=2$ получаем

[x_ <2>=sqrt[<3>] <8>cdot left(cos frac<4pi > <3>+icdot sin frac<4pi > <3>right)=sqrt[<3>] <8>cdot (-frac<1> <2>-frac <sqrt<3>> <2>cdot i)=2cdot (-frac<1> <2>-frac <sqrt<3>> <2>cdot i)=-1-sqrt <3>cdot i.]

Решить уравнение: $x^ <3>=1+i$.

Готовые работы на аналогичную тему

Так как $A$ – комплексное число, то

Тригонометрическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид $z=r(cos varphi +icdot sin varphi )$.

По условию $a=1,b=1$.

Вычислим модуль исходного комплексного числа:

Вычислим аргумент исходного комплексного числа:

[varphi =arg z=arctgfrac<1> <1>=arctg1=frac<pi > <4>]

Подставим полученные значения и получим:

Уравнение перепишем в виде:

При $k=0$ получаем $x_ <0>=sqrt[<3>] <sqrt<2>> cdot left(cos frac<pi /4> <3>+icdot sin frac<pi /4> <3>right)=sqrt[<3>] <sqrt<2>> cdot left(cos frac<pi > <12>+icdot sin frac<pi > <12>right)=sqrt[<6>] <2>cdot left(cos frac<pi > <12>+icdot sin frac<pi > <12>right)$.

При $k=1$ получаем

При $k=2$ получаем

Квадратным называется уравнение вида $ax^ <2>+bx+c=0$, где коэффициенты $a,b,c$ в общем случае являются некоторыми комплексными числами.

Решение квадратного уравнения находится с помощью дискриминанта $D=b^ <2>-4ac$, при этом

В случае, когда дискриминант является отрицательным числом, корни данного уравнения являются комплексными числами.

Решить уравнение $x^ <2>+2x+5=0$ и изобразить корни на плоскости.

[D=2^ <2>-4cdot 1cdot 5=4-20=-16.]

Изображение корней уравнения на комплексной плоскости (так как корни комплексные) приведено на рис. 1.

В случае, когда уравнение имеет комплексные корни, они являются комплексно-сопряженными числами.

Комплексное число вида $overline=a-bi$ называется числом комплексно-сопряженным для $z=a+bi$.

Известно, что если $x_ <1,2>$ являются корнями квадратного уравнения $ax^ <2>+bx+c=0$, то данное уравнение можно переписать в виде $(x-x_ <1>)(x-x_ <2>)=0$. В общем случае $x_ <1,2>$ являются комплексными корнями.

Зная корни уравнения $x_ <1,2>=1pm 2i$, записать исходное уравнение.

Запишем уравнение следующим образом:

[x^ <2>-(1-2i)cdot x-xcdot (1+2i)+(1-2i)cdot (1+2i)=0] [x^ <2>-x+2icdot x-x-2icdot x+1-4i^ <2>=0] [x^ <2>-2x+1+4=0] [x^ <2>-2x+5=0]

Следовательно, $x^ <2>-2x+5=0$ – искомое уравнение.

Рассмотрим квадратное уравнение с комплексными коэффициентами.

Решить уравнение: $z^ <2>+(1-2i)cdot z-(1+i)=0$ и изобразить корни на плоскости.

Так как $D>0$, уравнение имеет два корня:

Изображение корней уравнения на комплексной плоскости (так как корни комплексные) приведено на рис. 2.

В случае, когда уравнение имеет комплексные коэффициенты, его корни не обязательно являются комплексно-сопряженными числами.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 13 11 2021

Сергей Евгеньевич Грамотинский

Эксперт по предмету «Математика»

Работаем по будням с 10:00 до 20:00 по Мск

. и многие другие.
Успешной учебы! Будем рады вам помочь!

Числа. Извлечение корней из комплексных чисел. Квадратное уравнение с комплексными корнями.

Рассматривать будем на таком примере:

Если говорить о действительных числах, то, вы знаете, что корень из отрицательного числа нельзя извлекать. Однако в комплексных числах можно. Если конкретнее, 2 корня:

Выполним проверку того, что эти корни и права оказываются решением уравнения:

Что и требовалось доказать.

Зачастую используют сокращенную запись, корни записывают в одну строчку в таком виде: .

Такие корни являются сопряженными комплексными корнями.

Теперь вы знаете как можно извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Приведем еще несколько примеров:

, ,

,

,

В каждом случае получаем 2 сопряженных комплексных корня.

Решим квадратное уравнение .

Первым шагом определим дискриминант уравнения:

В нашем случае дискриминант оказался отрицательным, и в случае с действительными числами у уравнения нет решений, но у нас вариант с комплексными числами, поэтому можем продолжать решение:

Как известно из формул дискриминанта у нас образуется 2 корня:

– сопряженные комплексные корни

Т.о., у уравнения есть 2 сопряженных комплексных корня:

,

Теперь можно решить любое квадратное уравнение!

У любого уравнения с многочленом n-ой степени есть ровно n корней, некоторые из них могут быть комплексными.

Как извлечь корень из произвольного комплексного числа?

Рассмотрим уравнение z n = w, либо, записав в другом виде: . Здесь n может принимать всякое натуральное значение, которое больше 1-цы.

В частности, при n = 2 получаем квадратный корень .

У уравнения типа есть ровно n корней ­z₀, z₁, z₂, … z_n-1, которые можно вычислить с помощью формулы:

,

где – это модуль комплексного числа w,

φ – его аргумент,

а параметр k принимает значения: .

Найдем корни уравнения: .

Перепишем уравнение как: .

В этом примере , , поэтому у уравнения будет 2 корня: z₀ и z₁. Детализируем общую формулу:

, .

Далее найдем модуль и аргумент комплексного числа :

Число w находится в 1-ой четверти, значит:

Помним, что определяя тригонометрическую форму комплексного числа лучше делать чертеж.

Детализируем еще немного общую формулу:

, .

Так подобно расписывать не обязательно. Здесь мы это сделали, что бы было ясно откуда что образовалось.

Подставляем в формулу значение k = 0 и получаем 1-й корень:

.

Подставляем в формулу значение k = 1 и получаем 2-й корень:

.

Ответ: ,

Если необходимо, корни, которые мы получили можно перевести обратно в алгебраическую форму.

Часто вычисленные корни нужно изобразить геометрически:

Как выполнить чертеж?

Для начала на калькуляторе вычисляем, чему равен модуль корней и чертим с помощью циркуля окружность этого радиуса. Все корни будем откладывать на данной окружности.

Далее берем аргумент 1-го корня и вычисляем, чему равен угол в градусах:

.

Отмеряем транспортиром 45° и ставим на чертеже точку z₀.

Берем аргумент 2-го корня и переводим его тоже в градусы: . Отмеряем транспортиром 165° и ставим на чертеже точку z₁.

По этому же алгоритму ставим точку z₂.

Видно, что корни располагаются геометрически правильно с интервалом между радиус-векторами. Чертеж обязательно делать при помощи транспортира.

[spoiler title=”источники:”]

http://spravochnick.ru/matematika/kompleksnye_chisla_i_mnogochleny/kvadratnoe_uravnenie_s_kompleksnymi_kornyami/

http://www.calc.ru/Chisla-Izvlecheniye-Korney-Iz-Kompleksnykh-Chisel-Kvadratnoy.html

[/spoiler]