132 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА
ными точками (рис. 24). Квадратный трехчлен ( 2 + + 1)
при всех вещественных сохраняет знак «+». Два корня –
3 и 4 – нечетной кратности, в них многочлен меняет знак. Таким образом, точки 3 и 4 разбивают вещественную ось на три промежутка знакопостоянства. Расставим на схеме (рис. 24) знаки и запишем ответ. Ответ включает подмножество, состоящее из изолированной точки 1, которая расположена внутри «знакоположительного» интервала.
Ответ: {1} [3; 4].
Рис. 24. Промежутки знакопостоянства из примера 7
Задачи к параграфу на с. 200, п. 27–28.
125 149 На протяжении всей истории развития человеческого общества развивалось и понятие «число». В ряде открытых европейскими путешественниками первобытных племен Африки и Океании люди знали только натуральные числа: 1, 2 и 3. Все, что больше, – это «много». Наверное, также обстояло дело с арифметикой и у наших далеких предков. Сейчас это может показаться смешным, но
|
§ 3.4. Комплексные корни многочлена |
133 |
такая числовая система вполне удовлетворяла потребности их общественной практики. Древние греки уже рассматривали не только натуральные числа, но и их отношения, т. е. положительные рациональные числа, а в школе Пифагора знали о существовании величин, которые нельзя измерить и
вэтой числовой системе. Так, диагональ единичного квадрата не может быть измерена рациональной дробью. Сейчас мы сказали бы, что уравнение 2 = 2 не имеет решения
на множестве рациональных чисел или не существует таких целых чисел и , что ( )2 = 2 . В средневековой Европе величины, не измеряемые отношением целых чисел,
называли иррациональными, т. е. «неразумными». Только
вXVI веке эти числа несколько реабилитировал Симон Стевин, внедривший в обиход десятичные дроби. Наконец, в XIX веке благодаря трудам Георга Кантора, Карла Вейерштрасса и Юлиуса Вильгельма Рихарда Дедекинда иррациональные числа получили строгое определение, а следовательно, прописку на числовой оси. Множество рациональных чисел, дополненное иррациональными, назвали множеством вещественных чисел. Оказалось, что иррациональные числа «заткнули» все дыры на числовой оси и теперь любая величина может быть измерена. На этом в истории развития «числа» можно было бы поставить жирную точку, если бы не одна беда. Еще Кардано при нахождении корней многочленов третьей степени, даже если они были вещественны-
134 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА
√
ми, использовал вспомогательные величины вида + −1. Существование таких величин не укладывалось в традиционное мировоззрение, и сам Кардано считал их лишенными какого-либо смысла, однако совсем отказаться от их использования не получалось. Декарт также рассматривал их как
нечто нереальное, и с его легкой руки в XVI–XVII веках ве-
√
личины вида + −1 стали называть мнимыми. Впрочем, как мы заметили выше, тогда даже иррациональные числа еще «не добились равноправия» на вещественной оси да и на отрицательные нередко посматривали неодобрительно даже математики. И все-таки практическая польза по-
степенно теснила «эстетику». В XVIII веке Леонард Эйлер
√
ввел мнимую единицу = −1, а в XIX веке Карл Фридрих Гаусс доказал алгебраическую замкнутость множества комплексных чисел, т. е. чисел вида + . Последнее означает, что любой многочлен степени выше нулевой имеет хотя бы один комплесный корень. Если степень многочлена ( )
больше единицы и 1 его комплексный корень, то, разделив многочлен на линейный член ( − 1), мы получим многочлен степени на единицу меньшей (с. 102), который также должен иметь по крайней мере один комплексный корень. Продолжим процесс понижения степени многочлена до тех пор, пока в результате деления не получим многочлен нулевой степени 0. Теперь мы можем утверждать, что любой
|
§ 3.4. Комплексные корни многочлена |
135 |
многочлен -й степени имеет комплексных корней и
( ) = 0( − 1)( − 2) . . . ( − ).
Сейчас мнимую единицу определяют как некую величину (не являющуюся вещественным числом), для которой верно утверждение 2 = −1, а комплексное число как выражение вида + , где , . Если = + , то вещественное число = ( ) называют действительной частью, а = ( ) – мнимой частью.
Сразу сделаем два важных замечания. Иногда мнимую единицу определяют как решение уравнения 2 = −1. Такое определение некорректно, поскольку точно также решением будет и (− ). И второе. Поначалу сложилась практика в записи комплексного числа ставить отрицательное число под знак квадратного корня. Тогда
√ √ √ √
−1 · −1 = (−1)(−1) = 1 = 1.
Но, с другой стороны,
√√
−1 · −1 = · = 2 = −1.
|
Подобных недоразумений можно избежать, если, например, |
||||
|
√ |
√ |
|||
|
вместо |
−3 писать 3, т. е. не допускать записи отрица- |
тельного числа под корнем. Дело в том, что обычно сим-
|
136 |
ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА |
|
|
волом √ |
мы обозначаем арифметический квадратный ко- |
|
рень, определяемый как положительное вещественное число, квадрат которого равен подкоренному выражению. Данное определение исключает возможность нахождения под знаком квадратного корня отрицательного числа. В более широком смысле под квадратным корнем подразумевают решение уравнения 2 = . Уравнение имеет два корня. Определенный таким образом «корень» сложно использовать в выражениях.
Пусть 1 = 1 + 1 и 2 = 2 + 2. Тогда основные арифметические операции с комплексными числами определяются так:
1)1 ± 2 = ( 1 ± 2) + ( 1 ± 2);
2)1 2 = ( 1 + 1)( 2 + 2) = ( 1 2 − 1 2) + ( 1 2 + 2 1);
3)1 = 1 + 1 = ( 1 + 1)( 2 − 2) =2 2 + 2 ( 2 + 2)( 2 − 2)
|
= |
1 2 + 1 2 |
+ |
· |
2 1 − 1 2 |
. |
|
22 + 22 |
|||||
|
22 + 22 |
Имеет место равенство ( + ) = + . Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части:
( 1) = ( 2) и ( 1) = ( 2).
|
§ 3.4. Комплексные корни многочлена |
137 |
Иначе говоря, ( 1 = 2)&( 1 = 2). Отношение неравенства для комплексных чисел не определено. Теперь обобщим алгоритм нахождения корней квадратного трехчлена
2 + + (с. 59) на случай произвольного дискриминанта. Пусть ̸= 0. Тогда квадратный трехчлен имеет два комплексных корня. Дискриминант = 2 − 4 . Корни
√
|
± |
, если ≥ 0; |
|||
|
2 |
||||
|
± 2 − , если < 0. |
||||
|
1,2 = |
√ |
Таким образом, мы избегаем ситуаций, когда под знаком квадратного корня может оказаться отрицательное число.
Пример 1. Найти корни квадратного трехчлена 2 2+2 +3. 200
|
Решение. На с. 61 мы установили, что этот трехчлен не име- |
||||||||||||||||||
|
ет вещественных корней. Найдем комплексные: |
||||||||||||||||||
|
√ |
√ |
|||||||||||||||||
|
= 4 |
− |
24 = 20 < 0 |
= |
−2 ± 20 |
= |
−1 ± 5 |
. |
|||||||||||
|
− |
1,2 |
4 |
2 |
|||||||||||||||
|
Ответ: |
√ |
√ |
||||||||||||||||
|
1 = |
−1 − |
5 |
и 2 = |
−1 + 5 |
. |
|||||||||||||
|
2 |
||||||||||||||||||
|
2 |
||||||||||||||||||
|
Пример 2. Найти корни многочлена 2 3 + 2 |
+ 4 − 15. |
|||||||||||||||||
|
201 |
||||||||||||||||||
|
Решение. В примере на с. 116 мы разложили этот много- |
||||||||||||||||||
|
член на множители: |
2 3 + 2 + 4 − 15 = (2 − 3)( 2 + 5).
|
138 |
ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА |
|||||||||
|
Корни неполного квадратного трехчлена 2+5: 2,3 = ± √ |
. |
|||||||||
|
5 |
||||||||||
|
√ |
√ |
|||||||||
|
Ответ: 1 = 1, 5; 2 = − 5 и 3 = |
5. |
|||||||||
|
201 |
Пример 3. |
Найти корни многочленаа 2 4 + 3 +4 2 + +2. |
Решение. В примере на с. 120 мы разложили многочлен в произведение двух квадратных трехчленов:
2 4 + 3 + 4 2 + + 2 = (2 2 + + 2)( 2 + 1).
Рассмотрим первый квадратный трехчлен 2 2 + + 2.
|
√ |
. |
||
|
= 1 − 16 = −15 < 0 1,2 = |
−1± 15 |
||
|
4 |
Корни неполного квадратного трехчлена: 3,4 = ± .
Ответ:
√√
|
1 |
= |
−1 − |
15 |
; |
2 |
= |
−1 + |
15 |
; |
3 |
= |
− |
и |
4 |
= . |
|||
|
4 |
4 |
|||||||||||||||||
Комплексному числу + можно поставить в соответствие точку плоскости с координатами ( ; ). Таким образом, если раньше мы говорили о вещественной оси, то теперь можем говорить о комплексной плоскости. Комплексные числа образуют векторное пространство, базисом которого являются вещественная единица 1 и мнимая единица , и складываются по правилу сложения векторов (с. 136): если 1 = 1+ 1 и
2 = 2 + 2, то 1 + 2 = ( 1 + 2) + ( 1 + 2) (рис. 25). Также = + .
Для задания точки на плоскости, кроме декартовых прямо-
|
§ 3.4. Комплексные корни многочлена |
139 |
Рис. 25. Сумма комплексных чисел
угольных координат, в математике часто используют и так называемые полярные координаты. Причем в повседневной жизни последние нам гораздо привычней. Действительно, если человек в лесу спросит у вас: «Как пройти в Ольховку?», то что вы ответите? Назовете координаты квадрата, в котором находится село? Нет! Вы скажете, что «это в двух километрах на северо-западе», т. е. укажете направление и расстояние относительно вашего текущего местонахождения. Это и есть полярные координаты. Мы введем их, отталкиваясь от декартовых. Пусть – точка плоскости с кординатами ( ; ) (рис. 26). Проведем из начала коорди-
|
нат в точку радиус-вектор −−→. Пусть радиус-вектор |
|||||
|
– длина |
|||||
|
2 |
+ |
2 |
|||
|
образует с осью угол , а = |−−→|= |
|||||
|
вектора. Направление и расстояние |
образуют пару поляр- |
||||
|
√ |
ных координат ( ; ), задающих положение точки . Для
140 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА
Рис. 26. Тригонометрическое представление комплексного числа
всех точек плоскости, кроме начала координат, имеет место взаимнооднозначное соответствие между парами координат
( ; ) и ( ; ), задаваемое уравнениями
= · cos ;
= · sin .
|
Комплексное |
число можно представить в тригонометри- |
||||
|
ческой форме: |
|||||
|
= + = (cos + · sin ), |
|||||
|
где = | |= |
2 + 2 |
называют модулем, а = ( ) |
|||
|
– |
аргументом |
. Леонард Эйлер расширил область |
|||
|
√числа |
определения элементарных и ряда других функций на комплексную плоскость и установил тождество
= cos + sin ,
которое называют формулой Эйлера. Таким образом, в
теории функций комплексной переменной экспонен-
|
§ 3.4. Комплексные корни многочлена |
141 |
та выражается через тригонометрические функции и наоборот:
Отсюда еще одна форма представления комплексного числа
–экспоненциальная:
= + = (cos + · sin ) = = ln + .
Из формулы Эйлера следует интересное отношение
= −1.
На множестве вещественных чисел мы лишены возможности видеть эти связи, как человек, рассматривающий с берега моря живописные острова, не подозревает, что они всего лишь вершины сложной горной системы подводного царства. На комплексной плоскости «в порядке вещей» многое из того, что категорически запрещено на вещественной оси. Здесь существуют решения уравнений ( ) = 5, 2 = −3
и т. д. Конечно, и теперь мы рассматриваем комплексное число как некую абстракцию, но не в большей мере, чем число «три». Ведь числа «три» также в природе не существует! Естественно возникает вопрос: не придется ли для решения других уравнений, например 4 + 1 = 0, и даль-
142 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА
ше расширять понятие «число». Оказывается, на множестве комплексных чисел любой многочлен, как с действительными, так и с комплексными коэффициентами, имеет корни. Однако вернемся к тригонометрической форме. Как найти аргумент и модуль комплексного числа? Если = + ,
√
то = | |= 2 + 2, а аргумет = ( ) можно определить, приняв во внимание, что (0; ), следующим образом (рис. 27):
|
( |
|||||||
|
= |
√ |
), |
если ≥ 0; |
||||
|
2+ 2 |
|||||||
|
, |
< 0. |
||||||
|
(√ 2+ 2 ) |
если |
||||||
|
− |
Рис. 27. Аргумент комплексного числа
202 Пример 4. Преобразовать комплексное число
= 2 + 2 в тригонометрическую форму.
|
§ 3.4. Комплексные корни многочлена |
143 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Решение: |
√ |
√ |
√ |
√ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Ответ: |
2√2 |
cos ( |
). |
( |
) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
+ sin |
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
2 |
+ |
= 2 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= 2 + 2 = 2 |
2 |
2 |
cos 4 + sin 4 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
( |
) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Пример 5. Преобразовать комплексное число |
202 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= 3 + 4 в тригонометрическую форму. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Решение: | |= |
√ |
= 5 = 3 + 4 = 5 53 |
+ 54 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
32 + 42 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Ответ: 5(cos + · sin ), где = 53 . |
( |
) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Пример 6. Преобразовать комплексное число = 5 − 7 |
202 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
в тригонометрическую форму. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Решение: |
√ |
√ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
√ |
5 |
−7 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
74(cos + |
sin ) |
= |
( |
) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| |= 5 + 7 = |
74 = 5 |
− 7 = |
74 √74 + √74 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Ответ: |
√ |
· |
, где |
− |
5 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
√ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
74 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Операции сложения и вычитания комплексных чисел подчи- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
няются правилу сложения и вычитания векторов (рис. 25). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Но формулы умножения и деления комплексных чисел вы- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
глядят сложновато (с. 136). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Попробуем теперь выполнить эти операции с числами в три- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
гонометрическом представлении. Пусть |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 = 1(cos + · sin ), |
2 |
= 2(cos + · sin ). |
Тогда 1 2 = 1 2(cos + · sin )(cos + · sin ) =
=1 2[(cos cos − sin sin )(cos sin + sin cos )] =
=| 1|| 2|(cos( + ) + sin( + )).
144 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА
Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются (рис. 28).
Рис. 28. Умножение комплексных чисел
Аналогично
|
1 |
= |
1 |
(cos + · sin ) |
= |
1 |
(cos + · sin )(cos − · sin ) |
= |
||||||||
|
2 |
2 |
(cos + · sin ) |
2 |
(cos + · sin )(cos − · sin ) |
|||||||||||
|
= |
| 1 |
| |
[cos( |
− |
) + sin( |
− |
)]. |
||||||||
|
| 2 |
| |
||||||||||||||
Следовательно,
| 1 2|= | 1|| 2|, ( 1 2) = ( 1) + ( 2),
|
2 |
= |
| 2 |
|, |
( 2 ) |
= ( 1) − ( 2). |
|||||
|
1 |
1 |
| |
1 |
|||||||
|
| |
||||||||||
В частности,
1
cos + · sin = cos − · sin .
|
§ 3.4. Комплексные корни многочлена |
145 |
Поскольку целая степень числа означает многократное произведение,
= [ (cos + · sin )] = (cos + · sin ).
Последнее тождество известно как формула Муавра. Отрицательная степень
− = [ (cos + · sin )]− = 1 (cos − · sin ).
|
Пример 7. Найти девятую степень числа cos + sin . |
202 |
||||||||||||||
|
Решение: |
6 |
6 |
|||||||||||||
|
9 |
|||||||||||||||
|
(cos |
+ sin |
) |
= cos |
9 |
+ sin |
9 |
= cos |
3 |
+ sin |
3 |
= − . |
||||
|
6 |
6 |
6 |
6 |
2 |
2 |
Ответ: − .
Пусть = (cos + · sin ) и требуется найти все решения
уравнения = (cos + · sin ).
(cos + sin ) = (cos( + 2 ) + · sin( + 2 ))
|
+ 2 |
||||||||||||
|
= , = + 2 |
= |
√ , = |
||||||||||
|
, |
||||||||||||
|
где k=0,1,. . . , n-1. Следовательно, |
). |
|||||||||||
|
0,1,··· −1 |
= √ (cos |
+ · sin |
||||||||||
|
+ 2 |
+ 2 |
146 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА
Если принимает значения 0, 1, . . . −1, то – принимает различных значений. В следующем параграфе нам понадобятся все кубические корни из 1, т. е. все решения уравнения
= 1. Представим вещественную единицу в тригонометрической форме: = cos 2 + · sin 2 . Тогда
= cos 23 + · sin 23 , где = 0, 1, 2.
Кубические корни из единицы показаны на диаграмме (рис. 29).
√
Таким образом, 1 = 1, 2,3 = −1±2 3 .
Рис. 29. Кубические корни единицы
|
202 |
Пример 8. |
Решить уравнение 3 |
= 5 + · 5. |
|||||||||||||||||
|
Решение: |
||||||||||||||||||||
|
√ |
√ |
|||||||||||||||||||
|
3 = 5√ |
( |
) |
= 5√ |
(cos |
+ 2 |
+ 2 |
), |
|||||||||||||
|
2 |
+ |
2 |
4 |
+ · sin |
4 |
|||||||||||||||
|
2 |
2 |
|||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
3 |
3 |
где = 0, 1, 2. Подставляя поочередно в правую часть ра-
венства значения , получим
|
§ 3.4. Комплексные корни многочлена |
147 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Ответ: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
√3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
20 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 = √6 50 |
(cos |
+ · sin |
) |
= |
[1 +3 |
√3 + · (−1 + √3)]; |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
12 |
12 |
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
= √6 |
(cos 34 |
+ · sin |
4 |
) = |
2 (−1 + ) ; |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
50 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
√20 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
√3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
20 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 = √6 50 |
(cos |
+ · sin |
) |
= |
[1 − |
√3 + · (−1 − √3)]. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
12 |
12 |
4 |
Прежде чем перейти к следующему вопросу, коротко коснемся проблемы графического представления многочлена, определенного на комплексной плоскости. Пусть дан многочлен с вещественными коэффициентами ( ) = 3 + 2 + +1
от комплексной переменной = + . Его график для действительных значений , т. е. для = , изображен на рис. 30г. Как видно на графике, многочлен имеет один вещественный корень = −1. Теперь рассмотрим комплексные значения = + . В таком случае и ( ) – комплексное число. Для построения графика функции, отображающей комплексную плоскость на комплексную плоскость, нам пришлось бы выйти в четырехмерное пространство, но мы поступим проще, рассмотрев отдельно графики [ ( )]
и [ ( )], т. е. графики действительной и мнимой частей функции ( ). Каждый график – это поверхность в трехмерном пространстве, а поверхность можно задать линиями уровня, как на географической карте. Такой график мы уже видели на рис. 13а (с. 73). График вещественной части
148 ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ СТАРШЕГО ПОРЯДКА
Рис. 30. Графики многочлена 3 + 2 + + 1
( ) показан на рис. 30а, комплексной – на рис. 30б. Обратите внимание на нулевые линии уровня. На рис. 30б одна из таких линий задана уравнением = 0, поскольку действительным значениям соответствуют действительные значения функции. Корнями многочлена будут те значения , для которых одновременно [ ( )] = 0 и [ ( )] = 0, т. е. точки пересечения нулевых линий уровня, представленных на рис. 30а и 30б. На рис. 30в мы разместили оба графика на одной комплексной плоскости. Сплошные линии уровня соответствуют действительной, а пунктирные – комплексной
Числа. Извлечение корней из комплексных чисел. Квадратное уравнение с комплексными корнями.
Рассматривать будем на таком примере:
Если говорить о действительных числах, то, вы знаете, что корень из отрицательного числа нельзя извлекать. Однако в комплексных числах можно. Если конкретнее, 2 корня:
Выполним проверку того, что эти корни и права оказываются решением уравнения:
Что и требовалось доказать.
Зачастую используют сокращенную запись, корни записывают в одну строчку в таком виде: 
.
Такие корни являются сопряженными комплексными корнями.
Теперь вы знаете как можно извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Приведем еще несколько примеров:
, 
,
,
,
В каждом случае получаем 2 сопряженных комплексных корня.
Решим квадратное уравнение 
.
Первым шагом определим дискриминант уравнения:
В нашем случае дискриминант оказался отрицательным, и в случае с действительными числами у уравнения нет решений, но у нас вариант с комплексными числами, поэтому можем продолжать решение:
Как известно из формул дискриминанта у нас образуется 2 корня:
– сопряженные комплексные корни
Т.о., у уравнения есть 2 сопряженных комплексных корня:
,
Теперь можно решить любое квадратное уравнение!
У любого уравнения с многочленом n-ой степени 
есть ровно n корней, некоторые из них могут быть комплексными.
Как извлечь корень из произвольного комплексного числа?
Рассмотрим уравнение z n = w, либо, записав в другом виде: 
. Здесь n может принимать всякое натуральное значение, которое больше 1-цы.
В частности, при n = 2 получаем квадратный корень 
.
У уравнения типа есть ровно n корней z0, z1, z2, … zn-1, которые можно вычислить с помощью формулы:
,
где 
– это модуль комплексного числа w,
φ – его аргумент,
а параметр k принимает значения: 
.
Найдем корни уравнения: 
.
Перепишем уравнение как: 
.
В этом примере 
, 
, поэтому у уравнения будет 2 корня: z0 и z1. Детализируем общую формулу:
, 
.
Далее найдем модуль и аргумент комплексного числа :
Число w находится в 1-ой четверти, значит:
Помним, что определяя тригонометрическую форму комплексного числа лучше делать чертеж.
Детализируем еще немного общую формулу:
, .
Так подобно расписывать не обязательно. Здесь мы это сделали, что бы было ясно откуда что образовалось.
Подставляем в формулу значение k = 0 и получаем 1-й корень:
.
Подставляем в формулу значение k = 1 и получаем 2-й корень:
.
Ответ: 
, 
Если необходимо, корни, которые мы получили можно перевести обратно в алгебраическую форму.
Часто вычисленные корни нужно изобразить геометрически:
Как выполнить чертеж?
Для начала на калькуляторе вычисляем, чему равен модуль корней 
и чертим с помощью циркуля окружность этого радиуса. Все корни будем откладывать на данной окружности.
Далее берем аргумент 1-го корня 
и вычисляем, чему равен угол в градусах:
.
Отмеряем транспортиром 45° и ставим на чертеже точку z0.
Берем аргумент 2-го корня 
и переводим его тоже в градусы: 
. Отмеряем транспортиром 165° и ставим на чертеже точку z1.
По этому же алгоритму ставим точку z2.
Видно, что корни располагаются геометрически правильно с интервалом 
между радиус-векторами. Чертеж обязательно делать при помощи транспортира.
Квадратное уравнение с комплексными корнями
Всем известно из школы квадратное уравнение:
,
поиск дискриминанта и решение вопроса: имеет ли квадратное уравнение корни или корень или нет. Как следует из основной теоремы алгебры, любое уравнение – ой степени имеет ровно корней с учетом кратности этих корней. Таким образом, любое квадратное уравнение с действительными или комплексными коэффициентами имеет ровно два корня. При этом кратные корни в комплексном анализе считаются ровно столько раз, какая у них кратность.
Утверждение. Пусть коэффициенты многочлена – ой степени
– действительные и его комплексный корень, тогда тоже является корнем этого многочлена.
Доказательство. Перейдем к комплексному сопряжению в равенстве : , так как . Поскольку коэффициенты многочлена действительны, то: .
Получили , следовательно, – также корень многочлена .
Если коэффициенты квадратного трехчлена действительны, а дискриминант отрицательный, то пару сопряженных корней можно найти через дискриминант.
При этом в формуле
нужно учесть что .
Решить квадратное уравнение с действительными коэффициентами: .
Решаем по «половинной» формуле: .
Если квадратный трехчлен имеет хотя бы один не действительный коэффициент, то корни не будут комплексно сопряженными.
Рассмотрим уравнение с комплексными коэффициентами:
Решаем через дискриминант. .
Таким образом, – корни нашего уравнения.
Пример 3
Решить квадратное уравнение:
Опять используем школьную формулу решения. Находим дискриминант:
Чтобы извлечь корень из дискриминанта обратимся к формуле извлечения корня ой степени из комплексного числа. Если , то корни ой степени из имеют вид:
В нашем случае .
Так что корни такие:
Теперь запишем корни исходного квадратного уравнения: .
Длины волн инфракрасного света достаточно велики, чтобы перемещаться сквозь облака, которые в противном случае блокировали бы наш обзор. Используя большие инфракра сные телескопы, астрономы смогли заглянуть в ядро нашей галактики. Большое количество звезд излучают часть своей электромагнитной энергии в виде видимого света, крошечной части спектра, к которой чувствительны наши глаза.
Так как длина волны коррелирует с энергией, цвет звезды говорит нам, насколько она горячая. Используя телескопы, чувствительные к различным диапазонам длин волн спектра, астрономы получают представление о широком круге объектов и явлений во вселенной.
Пример №1 Постройте центральную симметрию тетраэдра, относительно точки O, изображенных на рисунке 3.
Для построения такой центральной симметрии сначала проведем через все точки тетраэдра прямые, каждая из которых будет проходить через точку O. На них построим отрезки, удовлетворяющие условиям |AO|=|A?O|, |BO|=|B?O|, |CO|=|C?O|, |DO|=|D?O| Таким образом, и получим искомую симметрию (рис. 4).
В ряду разных механических движений особенным значением обладают колебания. Это движения и процессы, имеющие периодичность во времени.
В среде электромагнитных явлений также значительное место заняли электромагнитные колебания. В этих колебаниях заряды, токи, электрические и магнитные поля изменяются согласно периодическим законам.
Совет №1 Велосипедист, имеющий скорость 300 м/с, или идеальный газ, оказывающий давление 100 паскалей в большой тепловой машине — это странно.
Нужна помощь с курсовой или дипломной работой?
Квадратное уравнение с комплексными корнями
Вы будете перенаправлены на Автор24
Рассмотрим решение уравнений с комплексными корнями и коэффициентами.
Двучленным называется уравнение вида $x^ =A$.
Рассмотрим три случая:
Решить уравнение: $x^ <3>=8$.
Так как $A>0$, то $x_ =sqrt[<3>] <8>cdot left(cos frac<2kpi > <3>+icdot sin frac<2kpi > <3>right),, , , k=0. 2$.
При $k=0$ получаем $x_ <0>=sqrt[<3>] <8>cdot left(cos 0+icdot sin 0right)=sqrt[<3>] <8>=2$.
При $k=1$ получаем
[x_ <1>=sqrt[<3>] <8>cdot left(cos frac<2pi > <3>+icdot sin frac<2pi > <3>right)=sqrt[<3>] <8>cdot (-frac<1> <2>+frac <sqrt<3>> <2>cdot i)=2cdot (-frac<1> <2>+frac <sqrt<3>> <2>cdot i)=-1+sqrt <3>cdot i.]
При $k=2$ получаем
[x_ <2>=sqrt[<3>] <8>cdot left(cos frac<4pi > <3>+icdot sin frac<4pi > <3>right)=sqrt[<3>] <8>cdot (-frac<1> <2>-frac <sqrt<3>> <2>cdot i)=2cdot (-frac<1> <2>-frac <sqrt<3>> <2>cdot i)=-1-sqrt <3>cdot i.]
Решить уравнение: $x^ <3>=1+i$.
Готовые работы на аналогичную тему
Так как $A$ – комплексное число, то
Тригонометрическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид $z=r(cos varphi +icdot sin varphi )$.
По условию $a=1,b=1$.
Вычислим модуль исходного комплексного числа:
Вычислим аргумент исходного комплексного числа:
[varphi =arg z=arctgfrac<1> <1>=arctg1=frac<pi > <4>]
Подставим полученные значения и получим:
Уравнение перепишем в виде:
При $k=0$ получаем $x_ <0>=sqrt[<3>] <sqrt<2>> cdot left(cos frac<pi /4> <3>+icdot sin frac<pi /4> <3>right)=sqrt[<3>] <sqrt<2>> cdot left(cos frac<pi > <12>+icdot sin frac<pi > <12>right)=sqrt[<6>] <2>cdot left(cos frac<pi > <12>+icdot sin frac<pi > <12>right)$.
При $k=1$ получаем
При $k=2$ получаем
Квадратным называется уравнение вида $ax^ <2>+bx+c=0$, где коэффициенты $a,b,c$ в общем случае являются некоторыми комплексными числами.
Решение квадратного уравнения находится с помощью дискриминанта $D=b^ <2>-4ac$, при этом
В случае, когда дискриминант является отрицательным числом, корни данного уравнения являются комплексными числами.
Решить уравнение $x^ <2>+2x+5=0$ и изобразить корни на плоскости.
[D=2^ <2>-4cdot 1cdot 5=4-20=-16.]
Изображение корней уравнения на комплексной плоскости (так как корни комплексные) приведено на рис. 1.
В случае, когда уравнение имеет комплексные корни, они являются комплексно-сопряженными числами.
Комплексное число вида $overline=a-bi$ называется числом комплексно-сопряженным для $z=a+bi$.
Известно, что если $x_ <1,2>$ являются корнями квадратного уравнения $ax^ <2>+bx+c=0$, то данное уравнение можно переписать в виде $(x-x_ <1>)(x-x_ <2>)=0$. В общем случае $x_ <1,2>$ являются комплексными корнями.
Зная корни уравнения $x_ <1,2>=1pm 2i$, записать исходное уравнение.
Запишем уравнение следующим образом:
[x^ <2>-(1-2i)cdot x-xcdot (1+2i)+(1-2i)cdot (1+2i)=0] [x^ <2>-x+2icdot x-x-2icdot x+1-4i^ <2>=0] [x^ <2>-2x+1+4=0] [x^ <2>-2x+5=0]
Следовательно, $x^ <2>-2x+5=0$ – искомое уравнение.
Рассмотрим квадратное уравнение с комплексными коэффициентами.
Решить уравнение: $z^ <2>+(1-2i)cdot z-(1+i)=0$ и изобразить корни на плоскости.
Так как $D>0$, уравнение имеет два корня:
Изображение корней уравнения на комплексной плоскости (так как корни комплексные) приведено на рис. 2.
В случае, когда уравнение имеет комплексные коэффициенты, его корни не обязательно являются комплексно-сопряженными числами.
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 13 11 2021
Сергей Евгеньевич Грамотинский
Эксперт по предмету «Математика»
Работаем по будням с 10:00 до 20:00 по Мск
Регистрация прошла успешно!
На email мы отправили пароль для доступа ко всем сервисам
Не пропусти промокод на скидку в ближайших письмах
[spoiler title=”источники:”]
http://khab.work5.ru/spravochnik/matematika/kvadratnoe-uravnenie-s-kompleksnymi-kornyami
http://spravochnick.ru/matematika/kompleksnye_chisla_i_mnogochleny/kvadratnoe_uravnenie_s_kompleksnymi_kornyami/
[/spoiler]
Комплексные корни
Решение уравнений
При решении многих задач в математике, физике, электротехнике часто возникает необходимость в решении уравнений с комплексными корнями, извлечении корней из комплексных чисел.
Пусть дано комплексное число z, из которого надо извлечь корень n. Для этого находим модуль |z| и аргумент (ф) комплексного числа.
Корень числа находим по формуле: 
Результатом решения квадратных уравнений вида ах2 + by + с = 0 с комплексными коэффициентами являются комплексные корни 2-го порядка.
Для решения квадратного трехчлена необходимо вычислить дискриминант (D):
D = b2 — 4ac, затем найти корни, которые зависят от знака D. Квадратное уравнение имеет 2 корня.
- если D больше 0, уравнение имеет 2 вещественных корня;
- при D = 0 у уравнения 1 корень х = -b / 2а;
- при D меньше 0 — 2 мнимых корня (вещественных корней нет).
Общая формула: 
Любое уравнение вида 
имеет п комплексных корней. Часть из них, возможно и все, — действительные.
Существует универсальный способ извлечения корней из любого комплексного числа.
Пусть дано уравнение 
, где w — комплексное число. Найти все n корней уравнения (z0, z1, z2, …z n-1) можно по формуле: 
|w| — модуль комплексного числа w, ф — его аргумент, k = 0, 1, 2, …n-1
С помощью онлайн калькулятора вы сможете быстро вычислять комплексные корни заданного многочлена.
