Как найти комплексный ток в цепи

ads

Одним из способов расчета цепей переменного тока является комплексный, или еще как говорят, символический метод расчета. Этот метод применяется при анализе схем с гармоническими ЭДС, напряжениями и токами. В результате решения получают комплексное значение токов и напряжений, используя для решения любые методы (эквивалентных преобразований, контурных токов, узловых потенциалов и т.п.). Но для начала необходимо иметь понятие, в каких именно формах может представляться синусоидальная величина. 1. Одна из форм представления – это вращающийся вектор (см. рис.1):

Вращающийся вектор

Рис.1. Вращающийся вектор

С помощью рисунка ясно видно, как с течением времени меняется значение синусоидальной величины. В нашем случае – это величина а на графике, которая может быть, например, входным напряжением. Величина имеет некоторое начальное значение при t = 0 при начальной фазе φ

имеет положительное максимальное значение при угле ωt3, когда при времени t3 сумма ωt3φ = 90° и соответственно,

имеет отрицательное максимальное значение при угле ωt7, когда при времени t7 сумма углов ωt7φ = 270° и, соответственно,

и имеет два нулевых значения при ωtn + φ = 0, когда ωtn = —φ (на рис.1 эта область не показана и находится слева от начала координат)

и тогда

и имеет нулевое значение при угле ωt11, когда при времени t11 сумма ωt11φ = 360° и соответственно,

Именно по такому закону и меняется привычное нам переменное напряжение 220 В, изменяясь по синусоидальному закону от  значения  0 В до максимальных 311 В и обратно.

2. Другая форма представления – это комплексное число. Чтобы представить ранее рассмотренную форму представления синусоидальной величины, которая имеет некоторую начальную фазу φ, создают комплексную плоскость в виде графика зависимости двух величин (рис.2)

Комплексное число на комплексной плоскости

Рис.2. Комплексное число на комплексной плоскости

Длина вектора Am на такой комплексной плоскости равна амплитуде (максимальному значению) рассматриваемой величины. С учетом начальной фазы φ такое число записывают как .

На практике при использовании для расчетов символического (комплексного) метода расчета используют для некоторых удобств не амплитудное значение величины, а так называемое действующее значение. Его величина в корень из двух раз меньше амплитудного и обозначается без индекса m, т.е. равна

действующее значение

На рисунке выше этот вектор также показан.
Например, при том же нашем напряжении в сети, максимальное значение синусоидально изменяющегося напряжения равно 311 В, а действующее значение, к значению которого мы привыкли

Действующее значение напряжения

При работе с комплексными числами и расчетов применяют различные формы записи комплексного числа. Например, при сложении комплексных чисел удобнее использовать алгебраическую форму записи таких чисел, а при умножении или делении – показательную форму записи. В некоторых случаях пишут тригонометрическую форму.
Итак, три формы записи комплексного числа:

1) показательная форма в виде

Показательная форма комплексного числа

2) тригонометрическая форма в виде

Тригонометрическая форма комплексного числа

3) алгебраическая форма

Алгебраическая форма комплексного числа

где ReA — это действительная составляющая комплексного числа, ImA — мнимая составляющая.

Например, имеем комплексное число в показательной форме вида

в тригонометрической форме записи это запишется как

при подсчете получим число, плавно переходящее в алгебраическую форму с учетом того, что

В итоге получим

где

При переходе от алгебраической формы к показательной комплексное число вида

переходит к показательному виду  по следующим преобразованиям

а угол

Таким образом, и получим

Перейдем к рассмотрению несложных примеров использования  символического, или по-другому, комплексного метода расчета электрических цепей. Составим небольшой алгоритм комплексного метода:

      • Составить комплексную схему, заменяя мгновенные значения ЭДС, напряжений и токов их комплексным видом
      • В полученной схеме произвольно выбирают направления токов в ветвях и обозначают их на схеме.
      • При необходимости составляют комплексные уравнения по выбранному методу решения.
      • Решают уравнения относительно комплексного значения искомой величины.
      • Если требуется, записывают мгновенные значения найденных комплексных величин.

Пример 1. В схеме рис.3 закон изменения ЭДС e = 141sin*ωt. Сопротивления R1 = 3 Ом, R2 = 2 Ом, L = 38,22 мГн, С = 1061,6 мкФ. Частота f = 50 Гц. Решить символическим методом. Найти ток и напряжения на элементах. Проверить 2-ой закон Кирхгофа для цепи.

Схема с последовательным соединением элементов

Рис.3. Схема с последовательным соединением элементов

Составляем комплексную схему, обозначив комплексные токи и напряжения (рис.4):

Схема с комплексными обозначениями

Рис.4. Схема с комплексными обозначениями

По закону Ома ток в цепи равен

Закон ома в комплексной форме

где U — комплексное входное напряжение, Z — полное сопротивление всей цепи. Комплекс входного напряжения находим как

Пояснение: здесь начальная фаза  φ = 0°, так как  общее выражение для мгновенного значения напряжение вида при  φ = 0° равно

Соответственно, комплекс входного напряжения в показательной форме запишется как

Полное комплексное сопротивление цепи в общем виде

Находим комплексное сопротивление индуктивности

Находим комплексное сопротивление емкости

Соответственно, общее комплексное сопротивление цепи

Ток в цепи

Комплексные напряжения на элементах

Проверяем второй закон Кирхгофа для замкнутого контура, т.е. должно выполняться равенство

Проверяем

С небольшим расхождением из-за округлений промежуточных вычислений всё верно.

Пример 2. В электрической цепи (рис.5) однофазного синусоидального тока, схема и параметры элементов которой заданы для каждого варианта в таблице, определить:
1)  полное сопротивление электрической цепи и его характер;
2)  действующие значения токов в ветвях;
3) показания вольтметра и ваттметра;

    1. Исходные данные: Е = 220 В, f = 50 Гц, L1 = 38,2 мГн, R2 = 6 Ом, С2 = 318 мкФ, L2 = 47,7 мГн, R3 = 10 Ом, С3 = 300 мкФ.

Рис.5.Цепь однофвзного синусоидального тока

Решение:
1.  Находим комплексные сопротивления ветвей и всей цепи:
Учитываем, что

Комплексное сопротивление первой ветви:

Комплексное сопротивление второй ветви:

Комплексное сопротивление третьей ветви:

Общее сопротивление цепи

Откуда

— нагрузка носит активно-индуктивный характер

2. Находим действующие значения токов в ветвях:

Рис.6. Схема с обозначенными комплексными токами

Действующие значения, соответственно,

3. Определим показания приборов:
Вольтметр подключен по схеме параллельно источнику питания. Соответственно его показание равно:
U=220 В
Ваттметр включен токовой обмоткой в разрыв третьей ветви, а обмоткой напряжения также к выводам третьей ветви, измеряя, таким образом,  активную мощность третьей ветви. Эта мощность равна мощности на сопротивлении R3. Его показания:

Комплексный
(символический)

метод расчета
электрических цепей

при периодическом
синусоидальном воздействии.

Из
курса “Математики” известно, что
комплексное число можно представить в
виде вектора на комплексной плоскости,
а действительная и мнимая части
комплексного числа есть проекции вектора
на вещественную и мнимую оси.


электротехнике, т.к. буква i
изображает ток, за признак мнимости

принята буква j,
а само число или сверху точка, или снизу
подчеркнуто

,

).

;


А – модуль;


– аргумент или
фаза.

Если
допустить, что вектор А на комплексной
плоскости вращается против часовой
стрелки с угловой скоростью ,
то это комплексное число запишется:

Величину

назвали – оператор вращения.

Можно
видеть, что мгновенное значение
периодического синусоидального тока
и напряжения
,


похоже на мнимую часть нашего вращающегося
комплексного числа, т.е. можно утверждать:

,

.

Комплексное число

назвали комплексной амплитудой тока,
а

– комплексном действующего значения
тока.

Комплексное число

назвали комплексной амплитудой
напряжения,

комплексом действующего значения
напряжения (как мы помним
,
).

Можно видеть, что
мгновенное значение периодического
синусоидального тока и напряжения есть
мнимая часть произведения комплексной
амплитуды тока или напряжения на оператор
вращения

.

Пример:


А,

А,
А.

;

,
В.

Таким образом,
реальные мгновенные значения
синусоидального тока и напряжения мы
можем заменить неким символом –
комплексной амплитудой или комплексом
действующего значения тока и напряжения,
помня все время об операторе

и

(отсюда и название метода – комплексный
или символический).

Посмотрим
на расчете простейшей электрической
схемы, что нам это даст.

Последовательное
соединение R,
L,
C.

По
2-му закону Кирхгофа:

(1)

Тогда
(1) можно записать:


(2)

В
математике давно доказано, что операции
над мнимыми частями комплексных чисел
равноценны операциям над комплексным
числом с выделением из результата мнимой
части.

Тогда
(2) примет вид:

Решили данное
уравнение:

.

Видим,
что на

можно сократить, и помня, что
,
,
,

в результате получим:

где


– назвали комплексным сопротивлением,


–комплексным индуктивным сопротивлением,


–комплексным
емкостным сопротивлением,


–комплексным
реактивным сопротивлением (знак 
показывает, какое сопротивление больше
– индуктивное или емкостное).

Следует
помнить:
,

,
,
,
.

В
результате получим, что нашу исходную
схему с реальными мгновенными
синусоидальными токами и напряжениями
можно заменить схемой с комплексным
сопротивлением
,
в которой есть комплексные амплитуды
или комплексы действующих значений
токов или напряжений.

,

Получили
закон Ома в комплексной форме, а также
переход от комплексной величины тока
и напряжения к мгновенному значению
имеет только одно решение, можно записать
законы Кирхгофа в комплексной форме:

1-й
закон (в узле электрической цепи)

2-й
закон (в замкнутом контуре цепи)

.

Используя
при расчетах схемы с комплексными
сопротивлениями, комплексами токов и
напряжений мы от интегрально-дифференциальных
уравнений для мгновенных значений токов
и напряжений в реальной схеме, имеем
уравнения обычной алгебры, но с
комплексными числами. В этом основное
преимущество данного метода.

Комплексное
число всегда можно представить в виде
вектора на комплексной плоскости.
Диаграмма, отражающая совокупность
векторов токов и напряжений с учетом
их фаз по 1 и 2 законам Кирхгофа на
комплексной плоскости называется
векторной диаграммой (она широко
используется при расчетах).

Для
нашей схемы:

,

(надо
помнить, что

)

Параллельное
соединение R,
L,
С.

Примем

Оперируем
комплексом тока и напряжения и отбросим

.

,

где
,
,
,
,

,
.


– комплексная
полная проводимость;


– комплексная
индуктивная проводимость;


– комплексная
емкостная проводимость;


– комплексная
реактивная проводимость.

Связь
между комплексными сопротивлениями и
проводимостями:

;

;

;

;

;

;

;
;

;


;
.

Комплексная
мощность

За
комплексную мощность

приняли произведение комплекса
действующего значения напряжения

на сопряженный комплекс действующего
значения тока

(сопряженный комплекс изменен на обратный
()
знак прямого комплексного числа (,
)).

Если
,
,

тогда учитывая известные ранее полную
мощность
,
активную мощность
,
реактивную мощность
,

имеем:

В
электрических цепях при периодическом
синусоидальном воздействии имеет место
баланс мощностей источников и нагрузок,
т.е. комплексная мощность источников
энергии должна быть ровна комплексной
мощности нагрузок и активные и реактивные
мощности источников равны активной и
реактивной мощностям нагрузок.

,

,
,

,
.

Знак реактивной мощности означает
преимущество индуктивного (+) или
емкостного (–) сопротивлений.

Соседние файлы в папке Конспект 2

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Автор статьи

Демьян Бондарь

Эксперт по предмету «Электроника, электротехника, радиотехника»

преподавательский стаж — 5 лет

Задать вопрос автору статьи

Основы комплексного расчета электрических цепей

Одним из основных способов расчета электрических цепей переменного тока является символический или комплексный метод. Как правило, он используется при анализе электрических схем с гармоническими токами, напряжениями и электродвижущей силой. В результате решения получается комплексное значение напряжений и токов. Синусоидальная величина может быть представлена:

  1. В форме вращающегося вектора.
  2. В виде комплексного числа.

Пример вращающегося вектора изображен на рисунке ниже.

Пример вращающегося вектора. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 1. Пример вращающегося вектора. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

По данному рисунку видно, что синусоидальная величина а изменяется с течением времени, которая может быть входным напряжением или любым другим параметром электрической сети. Величина имеет некоторое начальное значение (t=0) при начальной фазе ф:

Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 2. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

При угле Wt3, когда сумма Wt3+ф=90 и соответственно:

Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 3. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

«Комплексный расчет электрических сетей» 👇

Синусоидальная величина при угле Wt7, когда сумма Wt7 + ф = 270 будет иметь отрицательное значение:

Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 4. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Величина будет иметь отрицательное значение при углах Wtn + ф = 0, когда Wtn = –ф (данная область на рисунке не отмечена), таким образом:

Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 5. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Также нулевое значение у синусоидальной величины будет при угле Wt11, когда Wt11+ ф = 360:

Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 6. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Именно по такому закону может меняться синусоидальная величина, например напряжение, изменяясь от 0 до максимального значения и обратно.

Другая форма представления — комплексная

Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 7. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Для этого строится график (комплексная плоскость) зависимости двух величин, как на рисунке ниже.

График. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 8. График. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Длина вектора Аm равна максимальному значению амплитуды рассматриваемой величины. Если учитывать начальную фазу (ф), то это число записывается следующим образом.

Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 9. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

В практических расчетах комплексного метода применяют не амплитудное значение, а действующее, которое меньше в корень из 2 амплитудного:

Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 10. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

При работе с комплексными числами применяется один из трех способов записи комплексного числа: тригонометрическая форма, алгебраическая форма, показательная форма. Например, имеется комплексное число в показательной форме:

Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 11. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

В тригонометрической форме оно будет иметь следующий вид:

Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 12. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

В итоге при переходе в алгебраическую форму, учитывая, что:

Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 13. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

получаем:

Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 14. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

где, ReA = 8,66 – действительная составляющая комплексного числа; ImA = 5 – мнимая составляющая комплексного числа.

При переходе от алгебраической формы к показательной получаем число следующего вида

Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 15. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Оно переходит к показательной форме следующим преобразованием:

Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 16. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

А угол рассчитывается по формуле

Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 17. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

И в итоге получается:

Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 18. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример расчета электрической цепи комплексным методом

Алгоритм комплексного расчета электрической цепи выглядит следующим образом:

  1. Составляется комплексная схема электрической цепи, в которой мгновенные значения токов, напряжений и электродвижущей силы заменяются на комплексные.
  2. Выбираются и обозначаются направления токов.
  3. Составляется комплексное уравнение.
  4. Решается уравнение относительно комплексного значения искомой величины.
  5. При необходимости записываются мгновенные значения полученных комплексных величин.

Рассмотрим схему электрической цепи с последовательным соединением (рисунок ниже), в которой нам известны сопротивления — R1, R2 и R3, емкость — С, индуктивность — L и частота — f, электродвижущая сила е = 141sin*Wt (закон изменения ЭДС)

Схема электрической цепи. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 19. Схема электрической цепи. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Сначала составляется комплексная схема, на которой обозначаются комплексные токи и напряжения.

Комплексная схема. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 20. Комплексная схема. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Ток в цепи равен:

Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 21. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

где, U – входное комплексное напряжение; Z – полное сопротивление всей электрической цепи.

Комплексное напряжение рассчитывается по формуле:

Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 22. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

В данном случае начальная фаза ф=0, потому что для мгновенного значения напряжения вида

Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 23. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

при ф =0 получаем:

Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 24. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Таким образом в показательной форме напряжение записывается:

Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 25. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Комплексное сопротивление имеет следующий общий вид:

Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 26. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Комплексное сопротивление емкости имеет следующий вид

Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 27. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Откуда общее комплексное сопротивление электрической сети рассчитывается по формуле:

Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 28. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Таким образом, после нахождения комплексного сопротивления становится возможным найти комплексный ток по второму закону Ома. Далее находятся комплексные напряжения на элементах цепи:

Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 29. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Для проверки результатов можно использовать второй закон Кирхгофа, согласно которому должно выполняться равенство:

Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 30. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

В результате проверки допускается небольшое расхождение, которое может получиться в результате промежуточных округлений при расчете комплексных величин, а также преобразовании их из одной формы в другую.

Комплексный метод расчета электрических сетей уже давно доказал свою эффективность на практике. Его активно применяют на промышленных предприятиях, при строительстве объектов различного назначения, в том числе и объектах электроснабжения. Один из недостатков метода заключается в его большом объеме вычислительных и преобразовательных действий, поэтому для ускорения процесса используют электронно-вычислительные процессы и специальные программы.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Вращающиеся векторы, а следовательно, и изображаемые ими синусоидальные величины можно выражать комплексными числами.

Допустим, что требуется представить комплексом ток, амплитуда которого , а начальная фаза , т.е.:

. (2.34)

Изобразим на комплексной плоскости под углом к положительной полуоси действительных величин вектор

, (2.35)

длиной , повернутый относительно оси действительных величин на угол (рис. 2.11). Если этот вектор вращать в положительном направлении с угловой скоростью ω, то мгновенное значение тока i изобразится проекцией вращающегося вектора на мнимую ось; это условно можно записать так:

.

Рис. 2.11. Вектор тока на комплексной плоскости

Взаимное расположение векторов на векторной диаграмме с течением времени не изменяется; поэтому нет необходимости вращать векторы при изображении синусоидально изменяющихся величин на комплексной плоскости. Достаточно изобразить векторы в начальный момент времени, т.е. представить их комплексами. Например, ток i (2.34) можно представить в символической записи (2.35).

С учетом того, что на векторных диаграммах обычно откладывают не амплитуды, а действующие значения синусоидальных величин, комплексное значение тока, или комплекс тока, запишется в виде

(отсутствие индекса m указывает на то, что записано действующее значение комплексной величины).

Аналогично выполняется символическая запись напряжения.

Если

, (2.36)

то комплекс напряжения

(2.37)

Частное от деления комплекса напряжения на выводах цепи (ветви) на комплекс тока называется комплексным сопротивлением цепи и обозначается , т.е.:

(2.38)

или

, (2.39)

где – активное сопротивление; – реактивное сопротивление и – полное сопротив­ление.

Переписав выражение (2.38), получим закон Ома в комплексной форме:

. (2.40)

Комплексное сопротивление и его действительная и мнимая составляющие могут быть представлены на комплексной плоскости (рис. 2.12) в виде треугольника сопротивлений, в данном случае для rL – цепи.

Рис. 2.12. Треугольник сопротивлений rL – цепи

Модуль комплексного сопротивления, обозначенный строчной буквой z, определяется по формуле

,

а аргумент – через его синус или тангенс:

т.е. φ>0.

Из (2.40) напряжение на выводах цепи

.

Первое слагаемое этого выражения представляет собой комплексное напряжение на активном сопротивлении. Это напряжение совпадает по фазе с током (рис. 2.13), и, естественно, комплексы и имеют одинаковый аргумент, равный нулю.

Рис. 2.13. Векторная диаграмма rL – цепи

Второе слагаемое – комплексное напряжение на индуктивности , аргумент которого равен 90° (напряжение на индуктивности опережает по фазе ток на 90°). Таким образом, множитель i в выражении показывает, что на индуктивности между напряжением и током имеется сдвиг фаз 90°.

Для неразветвленной цепи с активным сопротивлением и емкостью (рис. 2.14) при напряжение , где , комплексное сопротивление

, (2.41)

где x= –xC; , т.е. φ<0.

Рис. 2.14. Цепь с сопротивлением и емкостью

Треугольник сопротивлений показан на рис. 2.15.

Напряжение на емкости

отстает по фазе от тока на 90° (рис. 2.16).

Напряжение на выводах цепи:

Рис. 2.15. Треугольник сопротивлений rC – цепи

Рис. 2.16. Векторная диаграмма rC – цепи

Необходимо обратить внимание на то, что комплекс не зависит от выбора начальной фазы тока или напряжения. Например, для rL–цeпи при любой начальной фазе тока напряжение будет опережать ток цепи на угол φ, тангенс которого равен отношению xL/r. Действительно, выбрав у тока начальную фазу ψ (2.34), т.е. приняв , запишем напряжение (2.36) , которое должно по-прежнему опережать ток на тот же угол φ, так как имеет то же значение, что и при нулевой начальной фазе. Следовательно, и комплексное сопротивление

. (2.42)

При расчетах разветвленных цепей часто вводят комплексную проводимость – величину, обратную комплексному сопротивлению:

, (2.43)

где – активная проводимость; – реактивная проводимость.

Например, для последовательной rL–цeпи комплексная проводимость (рис. 2.17)

,

где активная проводимость и индуктивная bL определяют по выражениям:

Рис. 2.17. Треугольник проводимостей rL – цепи

Модуль комплексной проводимости можно определить по формуле

,

а аргумент – через его синус или тангенс:

откуда видно, что φ>0, т.е. напряжение опережает по фазе ток.

Для последовательной rC–цепи комплексная проводимость (рис. 2.18):

,

где активная проводимость g и емкостная bC определяются по следующим выражениям:

Модуль комплексной проводимости

,

а аргумент определяется через синус или тангенс:

откуда следует, что φ<0, т. е. ток опережает по фазе напряжение.

Наконец, для rLC-цeпи можно написать

где активная и реактивная проводимости

угол φ >0 при х>0 или при b>0;

угол φ <0 при x<0 или при b<0.

Пример 2.1. Неразветвленная цепь с активным сопротивлением r= 80 Ом и емкостным сопротивлением хС = 60 Ом находится под напряжением В. Определить ток в цепи.

Решение.

Комплексное сопротивление

[Ом];

Модуль и аргумент этого сопротивления:

[Ом];

То же сопротивление в показательной форме

[Ом].

Ток в цепи

[А];

[А].

Если ток и напряжение цепи выражены в комплексной форме, то активную и реактивную мощности цепи определяют, умножая комплексное напряжение на сопряженный комплексный ток (комплексные величины, имеющие одинаковые модули и равные по абсолютному значению, но противоположные по знаку аргументы, называются сопряженными).

Допустим, что , напряжение , т.е. вектор напряжения опережает вектор тока на угол φ, что при положительном значении угла φ соответствует индуктивной нагрузке.

Произведение комплекса напряжения и сопряженного комплекса тока представляет мощность в комплексной форме или, комплексную мощность.

(2.44)

Таким образом, действительная часть полученного комплекса выражает активную мощность, а мнимая – реактивную мощность цепи. При емкостной нагрузке, т.е. при φ<0, мнимая часть комплексной мощности имеет отрицательный знак (sinφ<0).

Пример 2.2. Определить активную и реактивную мощности цепи, если ток. А, напряжение В.

Решение.

[B·A];

Р = 1,760 [кВт];

Q= –1,320 [кBар].

Содержание:

Символический метод расчета цепей:

Символический метол, введенный в теорию переменных токов Штейнмецом, является аналитическим развитием векторных диаграмм. Он основан на изображении векторов в комплексной плоскости и на их записи комплексными числами. Это приводит к применению для цепей синусоидального переменного тока законов Ома и Кирхгофа и вытекающих из них методов расчета цепей в той же форме, что и для цепей постоянного тока. В России символический метод был введен В. Ф. Миткевичем.

Символический метод расчета цепей

В символическом методе принято исходную ось направлять вертикально и на ней откладывать вверх положительные вещественные числа, а по горизонтальной оси влево — положительные мнимые числа (рис. 8.1). В дальнейшем эти оси называются осью и осью мнимых. Тогда, например, вращающийся вектор Um, изображающий синусоидальное напряжение

Символический метод расчета цепей

и составляющий с осью вещественных угол Символический метод расчета цепей может быть записан в виде комплексного числа в алгебраической, тригонометрической или показательной форме:

Символический метод расчета цепей

здесь Символический метод расчета цепей — составляющие, соответственно, по осям вещественных и мнимых, Um — модуль (величина) вектора, угол Символический метод расчета цепей — его аргумент, а е — основание натуральных логарифмов.

Комплекс Символический метод расчета цепей называют множителем вращения, а Символический метод расчета цепей— комплексной амплитудой. Соответственно

Символический метод расчета цепей

называют комплексным действующим значением, в данном примере — напряжения, или комплексным напряжением. На комплексной плоскости оно изображается неподвижным вектором.

*

Для обратного перехода от комплекса Символический метод расчета цепей к мгновенному значению и следует взять только мнимую часть комплекса (без i), что записывается следующим образом:

Символический метод расчета цепей

Тогда

Символический метод расчета цепей

Таким образом, комплекс Символический метод расчета цепей является также изображением (как бы символом) синусоиды и, откуда и получил свое название метод, заключающийся в замене оригиналов (синусоид) комплектными изображениями, в операциях над ними и затем в обратном переходе для искомых величин от их изображений к оригиналам.

Геометрическому сложению и вычитанию векторов соответствует алгебраическое сложение и вычитание их проекций на оси комплексной плоскости, т. е. их вещественных и мнимых составляющих. Поэтому геометрическое сложение и вычитание векторов должно быть заменено вновь алгебраическим сложением и вычитанием их комплексов. Таким образом, алгебраический характер сложения и вычитания мгновенных значений синусоидальных величин сохраняется при замене оригиналов комплексными изображениями.

Так как проекция произведения двух векторов не равна произведению проекций этих векторов, изображение произведения двух синусоидальных функций не равно произведению их изображений, поэтому прч умножении таких функций нельзя применять символический метод.

Производная синусоидальной функции Символический метод расчета цепей

Символический метод расчета цепей

имеет изображение

Символический метод расчета цепей

так как Символический метод расчета цепей Полученное изображение равно производной изображения исходной функции:

Символический метод расчета цепей

Интеграл той же синусоидальной функции

Символический метод расчета цепей

имеет изображение

Символический метод расчета цепей

равное интегралу изображения исходной функции:

Символический метод расчета цепей

Таким образом, однозначное соответствие имеет место также между производными и интегралами оригинала и комплексного изображения.

Здесь получен еще один важный результат: дифференцированию оригинала соответствует, умножение на Символический метод расчета цепей его изображения, интегрированию — деление на Символический метод расчета цепей. Следовательно, интегро-дифференциальному уравнению для мгновенных значений соответствует алгебраическое уравнение для изображений, т. е. применение символического метода приводит к алгебраизации этих уравнений, что крайне упрощает расчеты.

Применение символического метода для расчета цепей переменного тока

Применение символического метода можно показать на примере. Так, для цепи с последовательным соединением r, L и С уравнению по второму закону Кирхгофа

Символический метод расчета цепей

при синусоидальном законе изменения напряжения и тока соответствует алгебраическое уравнение

Символический метод расчета цепей (8.1)

откуда комплексное изображение тока

Символический метод расчета цепей (8 2)

От изображения можно сделать переход к оригиналу — мгновенному значению тока.

Выражение (8.2) можно рассматривать как закон Ома в символической форме. Тогда знаменатель

Символический метод расчета цепей

может рассматриваться как комплексное полное сопротивление. Его модуль z равен полному сопротивлению цепи, его аргумент Символический метод расчета цепей— сдвигу фаз между напряжением и током цепи. Графически Z изображается неподвижным вектором с составляющими — активным сопротивлением r по оси вещественных и реактивным х — по оси мнимых, что показано на рис. 8.2 для случая Символический метод расчета цепей > 0. Соответствующий прямоугольный треугольник является треугольником сопротивлений.

Необходимо заметить, что знак плюс, стоящий в общем выражении комплексного сопротивления Z =г + jx, сохраняется в конкретном числовом выражении при преобладании индуктивного сопротивления (Символический метод расчета цепей > 0) и переходит в минус при преобладании емкостного сопротивления (Символический метод расчета цепей < 0).

Величина, обратная полному сопротивлению

Символический метод расчета цепей

является комплексной полной проводимостью с модулем у, равным полной проводимости, и аргументом Символический метод расчета цепей, равным сдвигу фаз между напряжением и током со знаком минус. Графически Y изображается неподвижным вектором и образует с составляющими — активной проводимостью g по оси вещественных и реактивной b по оси мнимых — треугольник проводимостей, что показано на рис. 8.2 для случая Символический метод расчета цепей > 0. Вектор У имеет направление, сопряженное с направлением обратного ему вектора Z. Знак минус, стоящий в общем выражении комплекса проводимости Y = g — jb, сохраняется в конкретном числовом выражений при Символический метод расчета цепей >0 и переходит в плюс при Символический метод расчета цепей < 0.

Символический метод расчета цепей

Если в символические выражения (8.1) для второго закона Кирхгофа и (8.2) для закона Ома подставить значения

Символический метод расчета цепей

множитель вращения Символический метод расчета цепей сократятся и выражения примут вид:

Символический метод расчета цепей

Следовательно, вместо комплексных изображений Символический метод расчета цепей вращающихся векторов можно применять комплексное напряжение U

и комплексный ток I, т. е. оперировать с неподвижными векторами. Это, очевидно, в равной степени относится к первому закону Кирхгофа, и его можно применять в виде:

Символический метод расчета цепей

Таким образом, время t из уравнений выпадает, а закон Ома и оба закона Кирхгофа в символической форме для комплексных напряжений, токов, полных сопротивлений и полных проводимостей цепей синусоидального тока

Символический метод расчета цепей

получают алгебраическую форму, как и для цепей постоянного тока. Необходимо подчеркнуть, что этот вывод сделан для цепи без взаимной индукции.

Отсюда следует, что для расчета линейных цепей синусоидального переменного тока без взаимной индукции можно применить все изложенные в гл. III методы расчета цепей постоянного тока, вытекающие из законов Ома и Кирхгофа; метод преобразования, метод уравнений Кирхгофа, метод наложения, методы контурных токов и узловых напряжений и метод эквивалентных источников напряжения или тока. При этом, как указывалось, необходимо оперировать с комплексными напряжениями, токами, полными сопротивлениями и проводимостями.

Алгебраические действия над этими комплексами следует производить в соответствии с выбранными для напряжений и токов положительными направлениями, совпадающими с положительными направлениями их мгновенных значений и изображающих их векторов. По окончании расчетов следует перейти к действующим значениям, равным, очевидно, модулям соответствующих комплексов и, если это необходимо, к мгновенным значениям искомых величин.

Символический метод применим также для цепей1 с взаимной индукцией. Особенности их расчета рассмотрены в гл. IX.

Развитие методов расчета цепей постоянного и переменного синусоидального тока может быть проиллюстрировано табл. 8.1.

Таблица 8.1

Род тока Значения напряжений и токов Учитываемые э. д. с. Используемые сопротивления и проводимости Операции

Постоянный Синусоидальный То же >

Действительные Мгновенные Действующие Комплексные Внешние Внешние и внутренние Внешние > Омические Активные Полные Комплексные Алгебраические > Геометрические Алгебраические

Непосредственное применение символического метода к вычислению по напряжению и току мощности, мгновенное значение которой является произведением их мгновенных значений (р = ui), невозможно. Однако для вычисления активной, реактивной и полной мощности по символическим изображениям напряжения и тока может быть использован искусственный прием. Для этого комплексное напряжение Символический метод расчета цепей должно быть умножено на комплекс I, сопряженный с комплексным токомСимволический метод расчета цепей

Символический метод расчета цепей

Таким образом, вещественная часть комплексной мощности S равна активной мощности Р, а мнимая — реактивной Q. При этом положительный знак сохраняется для индуктивной мощности и изменяется на отрицательный для емкостной. Полная мощность вычисляется, как модуль комплексной мощности:

Символический метод расчета цепей

Расчет цепей переменного тока символическим методом

При расчете цепей по законам Кирхгофа методика составления уравнений остается той же, что и при постоянном токе. Для заданных комплексных э. д. с. и токов должны быть также указаны их положительные направления, для искомых — ими надо задаться.

Например, для цени рис. 7.21, а с двумя узлами и двумя элементарными контурами по первому закону Кирхгофа должно быть составлено одно уравнение

Символический метод расчета цепей

Два уравнения, составляемые по второму закону Кирхгофа, при обходе элементарных контуров А и В по часовой стрелке, будут

Символический метод расчета цепей

При постоянном токе ответ со знаком минус указывал на встречное направление по сравнению с предположенным, а при переменном токе ответ в виде комплекса является окончательным для принятого направления искомой величины — напряжения или тока. При выборе обратного направления фаза (аргумент) искомого комплекса изменилась бы на угол π.

Аналогичным образом составляются и решаются уравнения при применении остальных методов, вытекающих из законов Кирхгофа. Так, уравнения по методу контурных токов для цепи рис. 7.21, а при обходе контуров A и В по часовой стрелке имеют вид:

где Символический метод расчета цепей

Символический метод весьма удобен также для решения задач в общем виде.

В электроизмерительной технике широко применяется мост переменного тока (рис. 8.3). Условие равновесия моста постоянного тока имеет вид:

Символический метод расчета цепей

По аналогии условие равновесия моста переменного тока:

Символический метод расчета цепей

Это условие распадается на два — равенство модулей и аргументов левой и правой частей:

Символический метод расчета цепей

Если модули и аргументы полных сопротивлений трех ветвей известны, из этих уравнений могут быть определены модуль и аргумент полного сопротивления четвертой ветви.

Вторым примером применения символического метода для решения задач в общем виде может служить задача поддержания в цепи изменяющейся нагрузки неизменного по величине и фазе тока. Например, при последовательном соединении ламп, применяемом при освещении аэродромов, должны автоматически замыкаться накоротко зажимы перегоревшей лампы, чтобы избежать разрыва цепи при этом ток остальных не должен измениться.

Символический метод расчета цепей

Пусть для схемы рис. 8.4, а, питаемой напряжением U = const, требуется найти условие, при выполнении которого ток I в правой параллельной ветви не будет меняться по величине и по фазе при любом изменении сопротивления Z этой ветви.

Символический метод расчета цепей

Общее выражение для комплекса тока I может быть найдено методом эквивалентного источника напряжения. По аналогии с цепью постоянного тока

Символический метод расчета цепей

Здесь комплекс напряжения Символический метод расчета цепей между зажимами разомкнутой ветви Z (рис. 8.4, б) и комплекс полного сопротивления ZB цепи относительно зажимов ветви Z при источнике напряжения, замкнутом накоротко (рис. 8.4, в), соответственно равны:
а искомый ток Символический метод расчета цепей

Для того чтобы ток I не зависел от сопротивления Z нагрузки, коэффициент при Z в выражении I должен быть равен нулю:

Символический метод расчета цепей

Это будет выполнено, если

Символический метод расчета цепей

т. е. сопротивления Z1 и Z2 должны быть чисто реактивными, равными
по величине и противоположными по знаку. Одно из них будет индуктивным, а другое — емкостным:

Символический метод расчета цепей

причем

Символический метод расчета цепей

При этом ток нагрузки

Символический метод расчета цепей

Символический метод расчета цепей

Если в цепь до разветвления включено индуктивное сопротивление, а потом — емкостное (рис. 8.5, а), то ток

Символический метод расчета цепей

отстает по фазе от приложенного к цепи напряжения на угол π2. Если индуктивное и емкостное сопротивления поменять местами (рис. 8.5, б), то

Символический метод расчета цепей

  1. т. е. ток I опережает приложенное к цепи напряжение на угол π/2. При изменении Z ток I1 до разветвления изменяется и по величине

и по фазе от значения Символический метод расчета цепей (резонанс напряжений).

Метод дуальных цепей

Метод дуальных цепей, рассмотренный в для частного случая резонансных цепей, является общим методом. Взаимная замена величин при их символической записи должна осуществляться по табл. 8.2, вытекающей из табл. 7.1.

Таблица 8.2

Последовательное соединение Параллельное соединение ω U I L C r g Z Y
Параллельное соединение Последовательное соединение ω I U C L g r Y Z

Отсюда можно получить соотношения для дуальной цепи, если они даны для цепи исходной. Так, если для исходной цепи в какой-либо вегви имеет место короткое замыкание (Z = 0), то в дуальной цепи это соответствует холостому ходу (У = 0), и наоборот. При переходе от исходной цепи к дуальной уравнения по первому и второму законам Кирхгофа меняются местами.

Символический метод расчета цепей

Основным свойством дуальных цепей является неизменность их параметров r, L и С при переменной частоте. Например, в дуальных цепях рис. 8.6, а и б численное равенство сопротивления Символический метод расчета цепей и проводимости Символический метод расчета цепей сохраняется при изменении частоты. Этим дуальные цепи отличаются от эквивалентных последовательных и параллельных схем, в которых при изменении частоты и постоянстве параметров одной схемы параметры другой изменяются.

Это свойство дуальных цепей позволяет, произведя исследование поведения какой-либо цепи при переменной частоте, перенести результаты на дуальную цепь, заменив напряжения токами и т. д., что и было сделано для резонансных цепей.

При переходе к дуальной цепи не изменяют своей величины мощности S, Р и Q, так как в их выражения входят произведение напряження и тока, и лишь у реактивной мощности Q = VI sinСимволический метод расчета цепей изменяется знак: индуктивная мощность заменяется емкостной, и наоборот.

Символический метод расчета цепей

В качестве примера может быть решена задача создания схем преобразования неизменного по величине и фазе тока в неизменное по величине и фазе напряжение, т. е. схем, дуальных со схемами. При замене схем и величин по табл. 8.2 получается схема рис. 8.7, а, дуальная схеме рис. 8.5, а, и схема рис. 8.7, б, дуальная схеме рис. 8.5, б. Если

Символический метод расчета цепей

то при неизменном токе I напряжение О на изменяющейся проводимости Y будет постоянным, т. е.

Символический метод расчета цепей

что получается путем перехода от формул для токов I исходных цепей.

Символический метод электрических цепей переменного тока

Методы расчета электрических цепей переменного тока при помощи векторных диаграмм, рассмотренные в предыдущих главах, основаны на изображении синусоидальных величин векторами.

Из курса математики известно, что каждому вектору А в комплексной плоскости (рис. 15.1) соответствует комплексное число А, которое можно выразить в форме:
алгебраической — Символический метод расчета цепей

Символический метод расчета цепей
Рис. 15.1. К вопросу о выражении вектора комплексным числом

тригонометрической — Символический метод расчета цепей

показательной — Символический метод расчета цепей
Это дает основание от графического (векторного) выражения синусоидальных напряжений и токов перейти к аналитическому выражению их комплексными числами, а операции с векторами заменить алгебраическими действиями.

Выражение характеристик электрических цепей комплексными числами

При расчете электрических цепей переменного тока используют или определяют следующие величины: э.д.с. напряжения, токи, сопротивления и проводимости, мощность. Все эти величины должны быть выражены в символической форме, т. е. комплексными числами.

Напряжения и токи

Подобно тому как на векторных диаграммах длины векторов выражают действующие величины, комплексные выражения э. д. с. .напряжений и токов записывают так, что модули их также равны действующим величинам (комплексы синусоидально изменяющихся величин принято отмечать точками над их буквенными обозначениями (например, комплексы напряжения Символический метод расчета цепей тока Символический метод расчета цепей). Комплексы величин, не зависящих от времени (например, сопротивлений, проводимостей), обозначают большими буквами без точек, но с черточкой внизу: Символический метод расчета цепей)

Для примера рассмотрим схему электрической цепи параллельного соединения катушки и конденсатора (рис. 15.2).
Напряжение на зажимах цепи выражается уравнением
Символический метод расчета цепей
Этому напряжению соответствуют вектор U в комплексной плоскости (рис. 15.3) и комплексное число в показательной форме
Символический метод расчета цепей
Ток i1 в катушке отстает от напряжения на угол φ1:
Символический метод расчета цепей
угол Символический метод расчета цепей в рассматриваемом случае Символический метод расчета цепей

Вектору тока I1 соответствует комплексное число
Символический метод расчета цепей
Ток в конденсаторе опережает напряжение на угол φ2. Вектору тока I2 соответствуют уравнение
Символический метод расчета цепей
и комплекс
Символический метод расчета цепей
где
Символический метод расчета цепей
Согласно первому закону Кирхгофа, ток в неразветвленной части цепи складывается из токов в параллельных ветвях:
Символический метод расчета цепей
Для определения этого тока сложение векторов I1 и I2 можно заменить сложением комплексов:
Символический метод расчета цепей
Символический метод расчета цепей
Символический метод расчета цепей
Следует обратить внимание на различие между действительной или мнимой частями комплекса, с одной стороны, и активной или реактивной составляющими вектора тока — с другой.
Действительная и мнимая части комплекса тока равны проекциям вектора тока на оси комплексной плоскости (ось действительных и ось мнимых величин).

Активная и реактивная составляющие вектора тока в данном участке цепи равны его проекциям на взаимно перпендикулярные оси, одна из которых направлена вдоль вектора напряжения этого же участка цепи. Действительная и мнимая части комплекса тока равны соответственно активной и реактивной составляющим вектора тока только в том случае, если вектор напряжения направлен вдоль оси действительных чисел, т. е. комплекс напряжения выражается действительным числом.

Символический метод расчета цепей

Рис. 15.2. К вопросу о выражении токов, напряжений, сопротивлений проводимостей комплексными числами

Символический метод расчета цепей

Рис. 15.3. Векторная диаграмма к схеме цепи рис. 15.2

Сопротивления

Для выражения сопротивлений в комплексной форме продолжим рассмотрение схемы рис. 15.2, где каждый из элементов (катушка и конденсатор) представлен активным и реактивным сопротивлениями, соединенными последовательно.

Разделив комплекс напряжения Символический метод расчета цепей на комплекс тока в катушке Символический метод расчета цепей, получим комплекс сопротивления первой ветви:
Символический метод расчета цепей
где Символический метод расчета цепей — модуль комплекса полного сопротивления; Символический метод расчета цепей — угол сдвига фаз между напряжением и током первой ветви Символический метод расчета цепей
Выразим комплекс сопротивления катушки в тригонометрической и алгебраической форме:
Символический метод расчета цепей
Но Символический метод расчета цепей   Символический метод расчета цепей, поэтому
Символический метод расчета цепей
Аналогично, для второй ветви
Символический метод расчета цепей
где Символический метод расчета цепей —модуль комплекса полного сопротивления; Символический метод расчета цепей — угол сдвига фаз между напряжением и током второй ветвиСимволический метод расчета цепей
Символический метод расчета цепей
или
Символический метод расчета цепей
Если в ветвях схемы рис. 15.2 реактивных сопротивлений нет Символический метод расчета цепей то, согласно выражениям (15.6) и (15.7), Символический метод расчета цепейСимволический метод расчета цепейПри Символический метод расчета цепей Символический метод расчета цепей Символический метод расчета цепей

Из приведенных рассуждений следует:

  1. Активное сопротивление в комплексной форме выражается действительным положительным числом.
  2. Реактивные сопротивления в комплексной форме выражаются мнимыми числами, причем индуктивное сопротивление (ХL) положительно, а емкостное (ХC) отрицательно.
  3. Полное сопротивление участка цепи при последовательном соединении R и X выражается комплексным числом, действительная часть которого равна активному сопротивлению, а мнимая часть равна реактивному сопротивлению этого участка.

Проводимости

Выражения проводимостей ветвей в комплексной форме можно получить, представив каждый элемент (катушку и конденсатор) схемой параллельного соединения активной и реактивной проводимостей (см. рис. 14.1, б)
Символический метод расчета цепей
Из этих формул видно, что выражения проводимостей комплексными числами можно получить в таком же порядке, как для сопротивлений. Для того чтобы не повторять аналогичных рассуждений, полные проводимости в символической форме можно найти как величины, обратные комплексам полных сопротивлений:
Символический метод расчета цепей
Для первой ветви (катушки)
Символический метод расчета цепей
Символический метод расчета цепей
Символический метод расчета цепей
гдеСимволический метод расчета цепей и Символический метод расчета цепей — активная и индуктивная проводимости.
Для второй ветви (конденсатора)
Символический метод расчета цепей
Символический метод расчета цепей

Символический метод расчета цепей
где Символический метод расчета цепей и Символический метод расчета цепей — активная и емкостная проводимости.
Результаты этих преобразований показывают, что полная проводимость ветви электрической цепи в комплексной форме выражается комплексным числом, действительная часть которого равна активной проводимости, а мнимая часть равна реактивной проводимости этой ветви, причем индуктивная проводимость отрицательна, а емкостная — положительна.

Мощность

Комплекс мощности в данной цепи определяется умножением комплекса напряжения на сопряженный комплекс тока этой цепи.
Для ветви с активным сопротивлением и индуктивностью (см. рис. 15.2), согласно векторной диаграмме (см. рис. 15.3),
Символический метод расчета цепей
Произведение комплекса напряжения и сопряженного комплекса тока
Символический метод расчета цепей
В алгебраической форме
Символический метод расчета цепей
Действительная часть полученного комплекса выражает активную мощность, а мнимая часть без множителя Символический метод расчета цепей — реактивную мощность первой ветви.
Для ветви с активным сопротивлением и емкостью
Символический метод расчета цепей Символический метод расчета цепей
Символический метод расчета цепей
В алгебраической форме
Символический метод расчета цепей

Реактивная мощность в цепи с емкостью имеет отрицательный знак в отличие от положительного знака реактивной мощности в цепи с индуктивностью. Модуль комплекса мощности в той и другой ветви равен полной мощности:
Символический метод расчета цепей

Символический метод расчета цепей
Рис. 15.4. К вопросу о преобразовании схем с применением комплексных чисел

Основные уравнения электрических цепей в комплексной форме

Представление векторов напряжений и токов комплексами, выражение сопротивлений и проводимостей комплексными числами, а также замена операций с векторами алгебраическими действиями с комплексными числами позволяют значительно упростить расчет сложных цепей переменного тока. Кроме того, применение комплексных чисел обеспечивает единство методов расчета электрических цепей постоянного и переменного токов. Это значит, что все методы расчета и вытекающие из них соотношения для цепей постоянного тока можно применить и для цепей переменного тока, если величины выражены в комплексной форме. В этом практический смысл применения комплексных чисел для решения задач электротехники.

Законы Кирхгофа

Согласно первому закону Кирхгофа, алгебраическая сумма комплексов токов в электрическом узле равна нулю:
Символический метод расчета цепей
Для составления уравнения в символической форме по первому закону Кирхгофа нужно выбрать условно-положительные направления токов. В уравнении (15.15) ток записывают со знаком плюс, если он направлен к узлу. Для схемы рис. 14.15, а
Символический метод расчета цепей
или
Символический метод расчета цепей
а в комплексной форме
Символический метод расчета цепей
или
Символический метод расчета цепей
Согласно второму закону Кирхгофа, в контуре электрической цепи алгебраическая сумма комплексов э. д. с. источников равна алгебраической сумме комплексов падений напряжения:
Символический метод расчета цепей
Для схемы рис. 14.10
Символический метод расчета цепей

а в комплексной форме
Символический метод расчета цепей

Преобразование схем

На примере цепи смешанного соединения сопротивлений (рис. 15.4) рассмотрим расчет методом преобразования и упрощения схемы. Параллельно соединенные ветви, имеющие полные сопротивления
Символический метод расчета цепей
заменяются одной ветвью с эквивалентным сопротивлением
Символический метод расчета цепей
Сопротивление в неразветвленной части цепи Символический метод расчета цепей соединено последовательно с сопротивлением Символический метод расчета цепей

Общее сопротивление цепи
Символический метод расчета цепей

Ток в неразветвленной части цепи
Символический метод расчета цепей

Напряжения на участках, цепи:
Символический метод расчета цепей

Токи в параллельных ветвях:
Символический метод расчета цепей
Преобразованием можно упростить и более сложные схемы с последовательным и параллельным соединениями участков, а также схемы, которые содержат треугольники или трехлучевые звезды сопротивлений.

Метод узлового напряжения

Схему с двумя узлами можно рассчитать, определив узловое напряжение по формуле
Символический метод расчета цепей
Эта формула аналогична формуле (4.21). В числителе ее записана алгебраическая сумма произведений комплексов э. д. с. и проводимости всех ветвей, а в знаменателе — сумма комплексов проводимостей ветвей.
Комплекс тока определяют по формуле
Символический метод расчета цепей
Правило выбора знаков э.д. с. в формулах (15.16) — (15.18) такое же, как и в цепи постоянного тока, с той лишь разницей, что условно-положительные направления э. д. с. выбираются при расчете, а в цепи постоянного тока направления э. д. с. обычно заданы.

Метод эквивалентного генератора

Порядок расчета по методу эквивалентного генератора,  для цепей постоянного тока, пригоден и для цепей переменного тока, если э.д. с., токи и сопротивления их выражены в комплексной форме.
Ток Символический метод расчета цепей в исследуемой ветви определяют из уравнения, подобного (5.12):
Символический метод расчета цепей
где Символический метод расчета цепей — комплекс эквивалентной э.д.с., равный комплексу напряжения холостого хода активного двухполюсника при отключении исследуемой ветви, Символический метод расчета цепей — комплекс сопротивления пассивного двухполюсника относительно точек присоединения исследуемой ветви (комплекс внутреннего сопротивления эквивалентного генератора); Символический метод расчета цепей — комплекс сопротивления исследуемой ветви.

Задача 15.3.

Выполнить символическим методом расчет цепи (см. рис. 14.8). Дано:
Символический метод расчета цепей
Символический метод расчета цепей
Символический метод расчета цепей
= 8 Ом; Х21 = 6 Ом; Х1С — 15 Ом; Х2С = 10 Ом.
Символический метод расчета цепей
Символический метод расчета цепей
Определить ток в цепи и напряжения Символический метод расчета цепейСимволический метод расчета цепей
Решение. Выразим заданные э. д. с. и сопротивления комплексными числами.
Э. д. с. в комплексной форме:
Символический метод расчета цепей
Символический метод расчета цепей
Сопротивления в комплексной форме:
Символический метод расчета цепейСимволический метод расчета цепейСимволический метод расчета цепейСимволический метод расчета цепейСимволический метод расчета цепейСимволический метод расчета цепейСимволический метод расчета цепей
При последовательном соединении общее сопротивление цепи

Символический метод расчета цепей

Символический метод расчета цепей
Сопротивление цепи в показательной форме:

модуль
Символический метод расчета цепей
аргумент
Символический метод расчета цепей

Угол φ можно определить, найдя

Символический метод расчета цепей

Символический метод расчета цепей
Ток в цепи
Символический метод расчета цепей
Для удобства деления выразим числитель и знаменатель в показательной форме:
Символический метод расчета цепей
Символический метод расчета цепей
Из сравнения комплексов Символический метод расчета цепей и Символический метод расчета цепей и обшей з. д. с. Символический метод расчета цепей видно, что ток в цепи совпадает по фазе с э. д. с. Е2 и опережает общее значение э. д. с. на угол 120—83 = 37°.

Напряжение
Символический метод расчета цепей
Символический метод расчета цепей
Символический метод расчета цепей
Угол сдвига фаз между током и напряжением Символический метод расчета цепей

Напряжение
Символический метод расчета цепей

Между током и напряжением Символический метод расчета цепей угол сдвига фаз
Символический метод расчета цепей так как Символический метод расчета цепей
 

Задача 15.5.

Определить символическим методом напряжения ка зажимах источника, токи и мощность в цепи рис. 14.13, для которой известны R1 = 8 Ом; ХL = 6 Ом; R= 9 Ом; ХC = 12 Ом; I1 = 9А.
Решение. Выразим сопротивления ветвей в символической форме:
Символический метод расчета цепей

Символический метод расчета цепей
Предположим, что комплекс тока Символический метод расчета цепей выражается действительным числом (начальная фаза тока Символический метод расчета цепей)
Символический метод расчета цепей
(начальную фазу тока можно выбрать произвольно, т.е. угол Символический метод расчета цепей не равен нулю).
Напряжение в первой ветви, равное напряжению на зажимах источника,
Символический метод расчета цепей

 Ток во второй ветви
Символический метод расчета цепей
Ток в источнике
Символический метод расчета цепей

Символический метод расчета цепей
Мощность цепи

Символический метод расчета цепей

Символический метод расчета цепей

Комплексные сопротивления и проводимости элементов электрических цепей

Вычисление комплексных сопротивлений и проводимостей последовательных и параллельных двухполюсников, содержащих различные элементы электрических цепей, осуществляются по тем же правилам, которые были получены для резистивных цепей, поскольку, как это было показано в лекции 7, для комплексных амплитуд справедливы законы Ома и Кирхгофа.

Комплексные сопротивления и проводимости полностью характеризуют свойства соответствующего элемента. Будем рассматривать только пассивные элементы, через которые проходит гармонический ток

Символический метод расчета цепей    (8.1)

комплексная амплитуда которого равна Символический метод расчета цепей Найдём комплексные сопротивления и проводимости резистивного элемента, индуктивности и ёмкости при согласованной системе отсчёта токов и напряжений.

Резистивный элемент

Для резистивного элемента, обладающего активным сопротивлением, имеем

Символический метод расчета цепей

где Символический метод расчета цепей — амплитуда гармонического напряжения. Отсюда комплексная амплитуда напряжения на резистивном элементе

Символический метод расчета цепей

По определению комплексного сопротивления двухполюсника (7.38) имеем:

Символический метод расчета цепей    (8.3)

а комплексная проводимость

Символический метод расчета цепей

Средняя мощность, выделяемая в активном сопротивлении, согласно (7.15) при Символический метод расчета цепей равна

Символический метод расчета цепей     (8.4)

или, переходя к действующим значениям (7.18) напряжения и тока,

Символический метод расчета цепей       (8.5)

Выводы:

Индуктивность

Напряжение на зажимах индуктивности изменяется по закону

Символический метод расчета цепей     (8.6)

Операции дифференцирования гармонического колебания (см. лекцию 7) соответствует умножение символического изображения на оператор Символический метод расчета цепей т. е.

Символический метод расчета цепей     (8.7)

Символический метод расчета цепей

причём зависимость между амплитудами гармонических колебаний напряжения на зажимах индуктивности и тока в индуктивности определяется выражением:

Символический метод расчета цепей    (8.8)

Из (8.7) для индуктивности получаем: комплексное сопротивление (индуктивное сопротивление)

Символический метод расчета цепей      (8.9)

и комплексную проводимость (индуктивную проводимость)

Символический метод расчета цепей      (8.10)

Выводы:

Комплексные сопротивление (8.9) и проводимость (8.10) индуктивности имеют только реактивные составляющие и зависят от частоты:

Символический метод расчета цепей

поэтому элемент индуктивности называют реактивным; 

гармоническое напряжение на индуктивности опережает ток на Символический метод расчета цепей поскольку

Символический метод расчета цепей

что следует из (8.6), т. е. ток и напряжение находятся в квадратуре (рис. 8.1, б);
 

значение средней мощности в элементе индуктивности равно нулю: 

Символический метод расчета цепей

это объясняется тем, что в элементе индуктивности энергия не рассеивается; в режиме гармонических колебаний происходит обмен энергией между индуктивностью и подключённой к ней внешней цепью.

Ёмкость

Напряжение на зажимах ёмкости определяется соотношением

Символический метод расчета цепей     (8.11)

Операции интегрирования гармонического колебания (см. лекцию 7) соответствует деление символического изображения на оператору’со, т. е.

Символический метод расчета цепей     (8.12)

причём зависимость между амплитудами гармонических колебаний напряжения на зажимах ёмкости и тока в ёмкости определяется выражением:

Символический метод расчета цепей     (8.13)

Из (8.12) для ёмкости получаем: комплексное сопротивление (ёмкостное сопротивление)

Символический метод расчета цепей     (8.14)

и комплексную проводимость (ёмкостную проводимость)

Символический метод расчета цепей      (8.15)

Выводы:

комплексные сопротивление (8.14) и проводимость (8.15) ёмкости имеют только реактивные составляющие:

Символический метод расчета цепей

поэтому элемент ёмкости также называют реактивным.

гармоническое напряжение на ёмкости отстаёт оттока на Символический метод расчета цепей поскольку

Символический метод расчета цепей

что следует из (8.11), т.е. ток и напряжение находятся в квадратуре (рис. 8.1, в);

значение средней мощности в элементе ёмкости так же, как и в индуктивности, равно нулю:

Символический метод расчета цепей

это объясняется тем, что в элементе ёмкости энергия не рассеивается; в режиме гармонических колебаний происходит обмен энергией между ёмкостью и подключённой к ней внешней цепью.

Комплексные сопротивления и проводимости двухполюсников

Проиллюстрируем вычисления комплексных сопротивлений и проводимостей на простейших примерах последовательного соединения резистивного элемента с индуктивным (рис. 8.2, а) и ёмкостным (рис. 8.2, б).

Последовательное соединение резистивного и индуктивного элементов

Алгебраическая форма записи комплексного сопротивления рассматриваемого двухполюсника (рис. 8.2, а)

Символический метод расчета цепей       (8.16)

где активная составляющая Символический метод расчета цепей и реактивная составляющая Символический метод расчета цепей

Полное сопротивление двухполюсника равно

Символический метод расчета цепей     (8.17)

и аргумент

Символический метод расчета цепей

поэтому показательная форма записи комплексного сопротивления имеет вид

Символический метод расчета цепей   (8.18)

Символический метод расчета цепей

Комплексная проводимость по определению для данного двухполюсника такова:

Символический метод расчета цепей

Найдём активную и реактивную части комплексной проводимости, для чего умножим числитель и знаменатель полученного выражения на комплексное число, сопряжённое знаменателю, а затем выделим вещественную Символический метод расчета цепей и мнимую Символический метод расчета цепей составляющие:

Символический метод расчета цепей

откуда

Символический метод расчета цепей

Отсюда модуль и аргумент комплексной проводимости соответственно равны:

Символический метод расчета цепей  (8.19)

Символический метод расчета цепей    (8.20)

и, наконец, для показательной формы комплексной проводимости получаем:

Символический метод расчета цепей      (8.21)

Последовательное соединение резистивного и ёмкостного элементов

Алгебраическая форма записи комплексного сопротивления рассматриваемого двухполюсника (рис. 8.2, б)

Символический метод расчета цепей    (8.22)

откуда

Символический метод расчета цепей

Полное сопротивление двухполюсника равно:

Символический метод расчета цепей

аргумент

Символический метод расчета цепей   (8.24)

показательная форма имеет вид:

Символический метод расчета цепей   (8.25)

Комплексная проводимость по определению для данного двухполюсника такова:

Символический метод расчета цепей

B полученном выражении в силу равенства Символический метод расчета цепей имеем:

Символический метод расчета цепей

поэтому
Символический метод расчета цепей    (8.26)

Из (8.26) получаем полную проводимость и аргумент двухполюсника соответственно:

Символический метод расчета цепей  (8.27)

Символический метод расчета цепей   (8.28)

Наконец, найдём активную Символический метод расчета цепей и реактивную Символический метод расчета цепей части комплексной проводимости:

Символический метод расчета цепей   (8.29)

Выводы:

Реактивные составляющие сопротивления и проводимости пассивных двухполюсников могут иметь как положительные, так и отрицательные значения;

  •    еслиСимволический метод расчета цепей, то говорят, что сопротивление двухполюсника имеет индуктивный характер (на входе двухполюсника колебания напряжения опережают по фазе колебания тока); при этом на частоте Символический метод расчета цепей сопротивление двухполюсника является чисто активным и равным R, поскольку сопротивление элемента индуктивности при постоянном токе равно нулю, т. е. индуктивность представляет собой короткое замыкание, а при Символический метод расчета цепей сопротивление двухполюсника стремится к поскольку сопротивление элемента индуктивности стремится к бесконечности, т. е. индуктивность представляет собой разрыв цепи;
  •    если же Символический метод расчета цепей, то говорят, что сопротивление двухполюсника имеет ёмкостной характер (на входе двухполюсника колебания напряжения отстают по фазе от колебаний тока); при этом на частоте Символический метод расчета цепей сопротивление двухполюсника стремится к Символический метод расчета цепейпоскольку сопротивление ёмкости стремится к бесконечности, т. е. ёмкость представляет собой разрыв цепи; а при Символический метод расчета цепей  сопротивление двухполюсника становится равным R, поскольку сопротивление ёмкости стремится к нулю, т. е. ёмкость представляет собой короткое замыкание.
     

Анализ установившихся гармонических колебаний в простейших цепях

Определения режимов состояния электрической цепи:

Колебания в цепях, имеющих реактивные элементы, качественно отличаются от колебаний, происходящих в резистивных цепях. Причиной качественных отличий является способность реактивных элементов выступать как в роли потребителя энергии, чему соответствуют положительные значения мгновенной мощности на зажимах элемента, так и в роли источника, когда элемент отдаёт накопленную энергию в цепь, чему соответствуют отрицательные значения мгновенной мощности на зажимах элемента. Процессы накопления и возврата энергии реактивными элементами не могут прекратиться и начаться сразу же после окончания внешних воздействий на цепь. Колебания в цепи продолжаются за счёт накопленной в реактивных элементах энергии, т. е. цепь обладает электромагнитной инерцией. Характер колебаний зависит от вида воздействия, схемы цепи, наличия начального запаса энергии в реактивных элементах к моменту приложения воздействия и т. д.

Колебания в цепях разделяют на установившиеся (стационарные) и неустановившиеся (нестационарные).

Колебания считаются установившимися, если все напряжения и токи в цепи изменяются как периодические функции времени с периодом Т,   т. е. когда

Символический метод расчета цепей

Частным случаем периодических колебаний являются гармонические напряжения и токи.

Режим гармонических колебаний относится к числу установившихся режимов колебаний.

Режимом постоянного тока называется такое состояние цепи, в котором значения всех напряжений и токов не изменяются во времени: Символический метод расчета цепей

Режимом покоя, или нулевыми начальными условиями называется такое состояние цепи, в котором значения всех напряжений и токов равны нулю.

Режимом переходных колебаний, или переходным процессом называется такое состояние цепи, в котором происходит переход из одного установившегося режима в другой установившийся режим. Режим переходных колебаний принадлежит к неустановившимся режимам.

Переходным временем называется время перехода из одного установившегося режима в другой установившийся режим.

Здесь и далее, если это не будет оговорено особо, рассматриваются цепи, находящиеся в режиме гармонических колебаний.

Анализ линейной цепи в режиме гармонических колебаний методом комплексных амплитуд состоит в следующем:

1. Гармонические токи и напряжения заменяются их комплексными изображениями: комплексными амплитудами Символический метод расчета цепей или комплексными действующими значениями

Символический метод расчета цепей      (8.30)

2.    Составляются уравнения (системы уравнений) для комплексных изображений токов и напряжений согласно законам Ома и Кирхгофа.

3.    Решаются уравнения (системы уравнений) относительно комплексных изображений требуемых токов и напряжений.

4.    Осуществляется переход от комплексных изображений токов и напряжений к их оригиналам.
 

Анализ гармонических колебаний в последовательном RL-контуре

Задача 8.1.

Найти напряжения и токи в последовательном Символический метод расчета цепей контуре, изображённом на рис. 8.3.

Символический метод расчета цепей

Решение. Как было показано ранее, такой контур обладает комплексным сопротивлением

Символический метод расчета цепей

Комплексная амплитуда тока в контуре согласно закону Ома равна:

Символический метод расчета цепей

где Символический метод расчета цепей — комплексная амплитуда напряжения Символический метод расчета цепей источника гармонических колебаний. По определению комплексной амплитуды тока Символический метод расчета цепей её модуль равен амплитуде, а её аргумент — начальной фазе гармонического тока в контуре. Отсюда имеем:

Символический метод расчета цепей    (8.31)

Определим комплексные амплитуды напряжений на элементах контура:

Символический метод расчета цепей

Отсюда для оригиналов напряжений имеем:

Символический метод расчета цепей  (8.32)

Символический метод расчета цепей      (8.33)

Выводы:

амплитуда тока в контуре зависит не только от значений индуктивности и сопротивления, но и от частоты Символический метод расчета цепей гармонического            воздействия (читателю предлагается самостоятельно оценить, что происходит в контуре при Символический метод расчета цепей и Символический метод расчета цепей )

колебания напряжения на входе контура опережают по фазе колебания тока в контуре на угол Символический метод расчета цепей что объясняется                индуктивным характером сопротивления контура, т. е. ток отстаёт по фазе от напряжения на контуре;

 колебания напряжения на резистивном элементе происходят в фазе с колебаниями тока в контуре и отстают по фазе на угол                  Символический метод расчета цепей от колебаний напряжения источника;

   колебания напряжения на индуктивности опережают по фазе колебания напряжения источника на уголСимволический метод расчета цепей
и колебания тока в контуре на угол Символический метод расчета цепей
 

Анализ гармонических колебаний в RLC-контуре

Задача 8.2.

Найти напряжения и токи в RLC-контуре, изображённом на рис. 8.4, а.

Символический метод расчета цепей

Решение.

1. Определим эквивалентную комплексную проводимость контура (рис. 8.4,6)

Символический метод расчета цепей

2.    Вычислим комплексную амплитуду напряжения на зажимах двухполюсника

Символический метод расчета цепей

где Символический метод расчета цепей— комплексная амплитуда задающего тока источника и Символический метод расчета цепей — комплексная амплитуда напряжения на ёмкости.

3.    Найдём комплексные амплитуды токов в ветвях контура

Символический метод расчета цепей

4.    Последние формулы позволяют записать выражения для комплексных амплитуд напряжений на элементах индуктивности и сопротивления:

Символический метод расчета цепей

Амплитуды и начальные фазы колебаний можно найти, представив комплексные амплитуды колебаний в показательной форме, что предлагается выполнить читателю.
 

Анализ сложных линейных электрических цепей в режиме установившихся гармонических колебаний

Ранее было показано (см. разд. 7.3), что комплексные амплитуды колебаний можно найти из решения систем уравнений Кирхгофа, узловых или контурных уравнений. Поэтому при составлении систем уравнений для комплексных амплитуд необходимо пользоваться правилами, установленными для резистивных цепей. Отличие будет состоять лишь в формальной замене обозначений сопротивлений и проводимостей на обозначения комплексных сопротивлений и проводимостей, а токи и напряжения заменить их комплексными амплитудами. Для удобства обозначений при составлении систем уравнений принято вместо комплексных амплитуд Символический метод расчета цепей и  Символический метод расчета цепей использовать комплексные действующие значения колебаний  Символический метод расчета цепей(8.30); комплексные сопротивления и проводимости обозначают как Z и Y соответственно. При этом сами комплексные действующие значения токов и напряжений называют просто токами и напряжениями, если это не приводит к недоразумениям.

При этих обозначениях имеем канонические формы записи системы уравнений для комплексных узловых напряжений согласно (5.2)

Символический метод расчета цепей    (8.34)

и системы контурных уравнении для комплексных контурных токов согласно (5.9)

Символический метод расчета цепей      (8.35)

Перед решением задачи анализа гармонических колебаний символическим методом целесообразно сначала найти комплексные проводимости или сопротивления двухполюсников, составляющих ветви цепи, и только после этого составлять систему уравнений. При этом граф цепи упрощается и уменьшается число независимых уравнений.

Пример 8.1.

Рассмотрим схему цепи, изображённую на рис. 8.5, а. В схеме выделены три двухполюсника с сопротивлениями Символический метод расчета цепей которые нетрудно найти по правилам последовательного и параллельного соединения элементов. Такое преобразование позволило свести исходную схему к эквивалент

Символический метод расчета цепей

Для схемы (рис. 8.5, б) нетрудно составить систему контурных уравнений:

Символический метод расчета цепей

Из этой системы легко получить последовательно:

   значения комплексных контурных токов,

   значения комплексных напряжений на комплексных сопротивлениях Символический метод расчета цепей Символический метод расчета цепей и на резисторе R,

   величины напряжений Символический метод расчета цепей на всех элементах схемы согласно разд. 8.2.2.

Особенности составления уравнений цепей с индуктивными связями

До сих пор рассматривались цепи, не содержащие индуктивно связанных элементов. Однако в реальных цепях широко используются трансформаторы, предназначенные для преобразования значений переменных напряжений и токов.

Основные соотношения

Простейший воздушный трансформатор без потерь (рис. 8.6) состоит из двух индуктивно связанных элементов индуктивности Символический метод расчета цепей и  Символический метод расчета цепей.

Символический метод расчета цепей

Напряжения и токи на внешних зажимах этих индуктивностей связаны соотношениями:

Символический метод расчета цепей      (8.36)

где М — взаимная индуктивность между элементами Символический метод расчета цепей и Символический метод расчета цепей, равная

Символический метод расчета цепей

Коэффициент к называется коэффициентом связи; он характеризует степень магнитной связи между элементами Символический метод расчета цепей и Символический метод расчета цепей. Связь при Символический метод расчета цепей  называется жёсткой: весь магнитный поток, сцепляющийся с витками одной индуктивности, сцепляется с витками другой; значение при Символический метод расчета цепейсоответствует отсутствию связи.

Символический метод расчета цепей

Знаки в равенствах (8.36) зависят от направлений магнитных потоков в индуктивностях, а сами магнитные потоки зависят от направлений токов, проходящих через индуктивности. На схемах зажимы индуктивностей, через которые положительные частицы проходят в одном и том же направлении (к индуктивности или от неё), помечаются точками. Такие зажимы (узлы) называются одноимёнными. Одинаково ориентированные относительно одноимённых узлов токи создают складывающиеся потокосцепления. Поскольку в задачах анализа направления токов в индуктивностях выбираются независимо и произвольно, различают согласное и встречное направления отсчётов токов и напряжений. В уравнениях (8.36) согласному направлению соответствует знак “+”, а встречному — знак “-“. Варианты согласного и встречного выбора направлений отсчётов токов представлены на рис. 8.7.

Метод развязки индуктивных связей

Для составления уравнений цепи, содержащей индуктивные связи, используют такие схемы их замещения, в которых индуктивные связи отсутствуют. Метод, приводящий к таким схемам замещения, называют методом развязки индуктивных связей.

Рассмотрим наиболее важный для практики случай, когда взаимодействующие катушки имеют один общий узел (рис. 8.8, а). Любая схема замещения, исходя из (8.36), составляется только из элементов индуктивности, число которых должно равняться как минимум трём, поскольку уравнения содержат три коэффициента: Символический метод расчета цепей

Символический метод расчета цепей

Воспользуемся схемой замещения рис. 8.8, б, для которой запишем систему контурных уравнений:

Символический метод расчета цепей    (8.37)

Полученная система не будет отличаться от системы (8.36) при условии:

Символический метод расчета цепей      (8.38)

Таким образом, схема рис. 8.8, б является схемой замещения двух связанных магнитным потоком индуктивностей, если значения элементов этой схемы равны:

Символический метод расчета цепей  (8.39)

В формулах (8.39) следует выбирать нижние знаки лишь в том случае, когда только один из двух соединённых в узел зажимов цепи рис. 8.8, а помечен точкой. В других случаях необходимо выбирать нижние знаки. Полученная схема называется Т-образной схемой замещения.

Важно:

при жёсткой связи, когда Символический метод расчета цепей и, следовательно, Символический метод расчета цепей имеем:

Символический метод расчета цепей

откуда после приведения подобных членов получаем, что значения индуктивностей Т-образной схемы замещения удовлетворяют соотношению

Символический метод расчета цепей         (8.40)

которое может выполняться, если одна из индуктивностей схемы замещения является отрицательной. Если связь не является жёсткой, т. е. Символический метод расчета цепей равенство (8.40) переходит в неравенство

Символический метод расчета цепей

что также не исключает возможности появления отрицательной индуктивности. На пассивных элементах отрицательная индуктивность физически не осуществима, однако её наличие в схеме замещения не противоречит задаче анализа колебаний в цепи и способствует решению этой задачи.

Применяется также и другая схема замещения (рис. 8.8, в), называемая П-образной. Соотношения между элементами исходной схемы (рис. 8.8, a) и схемы замещения

Символический метод расчета цепей    (8.41)

можно найти, если для рис. 8.8, в составить систему из двух узловых уравнений. Знаки в этих формулах выбираются по тому же правилу, что и в (8.39). В рассмотренной схеме замещения также возможно появление одной отрицательной индуктивности.

Символический метод расчета электрических цепей переменного тока

Действия над комплексными числами:

Символический метод нашел широкое применение для расчета сложных цепей переменного тока.

Символический метод расчета основан на использовании комплексных чисел.

Комплексное число А состоит из вещественной Символический метод расчета цепей и мнимой Символический метод расчета цепей частей, т. е. Символический метод расчета цепей

Комплексное число на комплексной плоскости можно представить вектором. Проекция вектора на вещественную ось (ось абсцисс) соответствует вещественной части комплексного числа Символический метод расчета цепей (рис. 14.1а). Проекция вектора на мнимую ось j (ось ординат) соответствует коэффициенту при мнимой единице Символический метод расчета цепей. Мнимая единица у представляет собой поворотный множитель, умножение на который означает поворот вектора на 90° против часовой стрелки, т.е. в положительном направлении. Мнимая единица Символический метод расчета цепей Тогда Символический метод расчета цепей

Символический метод расчета цепей

Комплексным числам Символический метод расчета цепей соответствуют векторы Символический метод расчета цепей изображенные на комплексной плоскости (рис. 14.1а и б) в масштабе.

Модуль комплексного числа соответствует длине вектора, изображающего это комплексное число.

Из построения (рис. 14.1а) видно, что модули комплексных чисел определяются выражением

Символический метод расчета цепей

Следовательно, Символический метод расчета цепей

Углы Символический метод расчета цепей образованные векторами Символический метод расчета цепей с положительным направлением вещественной оси, называются аргументами комплексного числа.

Аргументы комплексного числа (рис. 14.1а) определяются выражением

Символический метод расчета цепей

То есть Символический метод расчета цепей

Как видно, аргумент комплексного числа Символический метод расчета цепей отрицательный, так как вектор Символический метод расчета цепей повернут на угол Символический метод расчета цепей по часовой стрелке, а не против.

Существует три формы записи комплексного числа:

1) алгебраическая: Символический метод расчета цепей

2)тригонометрическая:  Символический метод расчета цепей

так как Символический метод расчета цепей

3) показательная:  Символический метод расчета цепей

где Символический метод расчета цепей – основание натурального логарифма, однако в данном случае имеет чисто символическое значение.

Для перевода из показательной формы записи комплексного числа в алгебраическую пользуются тригонометрической формой записи комплексного числа (14.4).

Для перевода из алгебраической формы записи комплексного числа в показательную определяют модуль по (14.1) и аргумент по (14.2) комплексного числа.

Для перевода комплексного числа из одной формы в другую можно использовать логарифмическую линейку или микрокалькулятор.

Комплексные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить.

Сложение и вычитание комплексных чисел производится только в алгебраической форме

Символический метод расчета цепей

 На рис. 14.16 видно, что сложение и вычитание комплексных чисел соответствует сложению и вычитанию векторов, изображающих эти числа.

Умножение и деление комплексных чисел можно производить 5 алгебраической форме:

Символический метод расчета цепей

Для того чтобы избавиться от комплексов в знаменателе, числитель и знаменатель умножают на комплекс, сопряженный с комплексом знаменателя. У сопряженного комплекса знак перед мнимой единицей Символический метод расчета цепей изменяется на обратный.

Произведение двух сопряженных комплексов — вещественное число, равное сумме квадратов вещественной и мнимой частей этих комплексов.

Однако умножение и деление комплексных чисел удобно производить в показательной форме.

При умножении комплексных чисел в показательной форме модули этих чисел перемножаются, а аргументы складываются алгебраически:

Символический метод расчета цепей

При делении комплексных чисел в показательной форме модули этих чисел делятся, а аргументы вычитаются с учетом знаков:

Символический метод расчета цепей

Таким образом, сложение и вычитание комплексных чисел можно производить только в алгебраической форме, а умножение и деление удобней и проще производить в показательной форме.
 

Ток, напряжение и сопротивление в комплексном виде

Если ток и напряжение изменяются по синусоидальному закону Символический метод расчета цепей то, как указывалось выше, их можно изобразить векторами и, следовательно, записать комплексными числами:

Символический метод расчета цепей

где Символический метод расчета цепей – комплексы тока и напряжения. Точка над комплексами указывает, что ток и напряжение изменяются по синусоидальному закону с определенной частотой Символический метод расчета цепей — модули комплексов тока и напряжения, они же действующие значения тока Символический метод расчета цепей и напряжения Символический метод расчета цепей — аргументы комплексов тока и напряжения, они же начальные фазы тока Символический метод расчета цепей и напряжения Символический метод расчета цепей

Для неразветвленной цепи с Символический метод расчета цепей (рис. 12.1а) мгновенные значения синусоидального тока и напряжения можно записать так: Символический метод расчета цепей Тогда комплексы тока и напряжения

Символический метод расчета цепей

Комплекс полного сопротивления цепи Символический метод расчета цепей определяется отношением комплекса напряжения к комплексу тока, т. е.

Символический метод расчета цепей

Комплексные величины, не зависящие от времени, обозначаются прописными буквами с черточкой внизу.

Модулем комплекса полного сопротивления является кажущееся сопротивление цепи Символический метод расчета цепей а аргументом — угол сдвига фаз между током и напряжением Символический метод расчета цепей

Алгебраическая форма записи комплекса полного сопротивления Символический метод расчета цепей

Символический метод расчета цепей

Вещественная часть комплекса полного сопротивления есть активное сопротивление R, а коэффициент при мнимой единице j -реактивное сопротивление X. Знак перед поворотным множителем (мнимой единицей) указывает на характер цепи. Знак «плюс» соответствует цепи индуктивного характера, а знак «минус» –  цепи емкостного характера.

Выражения комплексов сопротивлений различных цепей приедены в Приложении 7.

Обратная величина комплекса сопротивления — комплекс проводимости Символический метод расчета цепей

Любую цепь переменного тока можно рассчитывать по заколам постоянного тока, если все величины представить в комплексной форме. В этом и заключается достоинство символического года расчета.
 

Мощность в комплексном виде

Для неразветвленной цепи с Символический метод расчета цепей (рис. 12.3а) мгновенные значения тока и напряжения можно записать как

Символический метод расчета цепей

Комплексы напряжения и тока соответственно равны

Символический метод расчета цепей

Комплекс полной мощности цепи Символический метод расчета цепей определяется произведением комплекса напряжения Символический метод расчета цепей и сопряженного комплекса тока Символический метод расчета цепей (над сопряженным комплексом синусоидальной величины ставят «звёздочку»)

Символический метод расчета цепей

Таким образом, модулем комплекса полной мощности Символический метод расчета цепей является кажущаяся мощность цепи Символический метод расчета цепей а аргументом — угол сдвига фаз между током и напряжением.

Если комплекс полной мощности Символический метод расчета цепей перевести из показательной формы в алгебраическую, то получится

Символический метод расчета цепей

То есть вещественная часть комплекса полной мощности — активная мощность Р, а коэффициент при мнимой единице — реактивная мощность Q.

Знак перед поворотным множителем j указывает на характер цепи. В рассматриваемой цепи реактивная мощность емкостного характера Символический метод расчета цепей

Комплексы величин токов, напряжений, сопротивлений, мощностей и других параметров цепи синусоидального тока необходимо выражать в двух видах записи комплексного числа: показательной и алгебраической. В этом случае сразу определяются действующие значения тока, напряжения, кажущееся сопротивление, его активные и реактивные части Символический метод расчета цепей угол сдвига фаз Символический метод расчета цепей между током и напряжением, характер цепи, кажущаяся S, активная Р и реактивная Q мощности. Кроме того, в неразветвленной цепи напряжения на участках складываются, суммируются токи в разветвленных цепях, а сложение комплексов можно производить только в алгебраической форме записи. В алгебраической форме записи кажущейся мощности Символический метод расчета цепей сразу определяются активная мощность Р и реактивная мощность Q. В показательной форме записи сопротивлений производится их умножение и деление, необходимое при расчете цепей синусоидального тока при смешанном соединении потребителей, и т.д. Необходимость выражения комплексов в двух видах следует из примеров, разобранных в этой главе.

Пример 14.1

Для цепи, изображенной на рис. 14.2а, дано:

Символический метод расчета цепей

Определить токи Символический метод расчета цепей напряжение на участках Символический метод расчета цепейСимволический метод расчета цепей мощности S, Р и Q цепи; угол Символический метод расчета цепей и характер цепи.

Построить векторную диаграмму цепи.

Символический метод расчета цепей

Решение

Комплексы сопротивлений участков (по номерам токов) и полного сопротивления цепи будут равны

Символический метод расчета цепей

Комплекс сопротивления участка CD цепи:

Символический метод расчета цепей

Символический метод расчета цепей

Тогда полное сопротивление цепи равно

Символический метод расчета цепей

Вектор заданной величины (тока или напряжения) можно направить в любом направлении. Однако удобнее совмещать его с вещественной или мнимой осью.

В рассмотренном примере заданное напряжение направляется по вещественной оси. Таким образом, комплекс общего напряжения будет равен

Символический метод расчета цепей

Комплекс тока цепи Символический метод расчета цепей равен комплексу первого тока Символический метод расчета цепей

Символический метод расчета цепей.

Комплекс напряжения на участке АС:

Символический метод расчета цепей

Комплекс напряжений на участке CD:

Символический метод расчета цепей

Комплексы токов Символический метод расчета цепей

Символический метод расчета цепей

Комплекс полной мощности цепи:

Символический метод расчета цепей

Из расчета цепи (рис. 14.2а) символическим методом следует:

Символический метод расчета цепей

Характер цепи емкостной, так как угол Символический метод расчета цепей отрицательный. Векторная диаграмма для рассматриваемой цепи с учетом начальных фаз напряжений и токов изображена на рис. 14.2б.

Пример 14.2

Для цепи, изображенной на рис. 14.3, дано:

Символический метод расчета цепей

Определить токи Символический метод расчета цепей напряжение цепи Символический метод расчета цепей; угол Символический метод расчета цепей и характер цепи.

Решение

Комплексы сопротивлений участков (по номерам токов):

Символический метод расчета цепей

Вектор заданного тока Символический метод расчета цепей в примере направим по мнимой оси, т. е.

Символический метод расчета цепей

Комплекс напряжения на участке СD:

Символический метод расчета цепей

Значение токов будут равны соответственно
Символический метод расчета цепей
Символический метод расчета цепей

Комплекс напряжения на участке АС:

Символический метод расчета цепей

Комплекс напряжения на участке АВ, т. е. напряжение сети, равен

Символический метод расчета цепей

Комплекс тока Символический метод расчета цепей

Символический метод расчета цепей

Комплекс тока цепи:

Символический метод расчета цепей

Комплекс полной мощности цепи:

Символический метод расчета цепей

Результаты расчета:

Символический метод расчета цепей

Характер цепи емкостной.

Пример 14.3

По условиям примера 14.2 определить полное сопротивление цепи (рис. 14.3).

Решение

Символический метод расчета цепей

Символический метод расчета цепей
Результаты расчета: полное сопротивление цепи (рис. 14.3) Символический метод расчета цепей угол сдвига фаз Символический метод расчета цепей характер цепи – емкостной

Погрешность 10′ при расчете угла Символический метод расчета цепей в примерах 14.2 и 14.3 в пределах допустимого. 

  • Четырехполюсники
  • Линейные диаграммы
  • Круговые диаграммы
  • Цепи с взаимной индукцией
  • Линейные электрические цепи
  • Нелинейные электрические цепи
  • Магнитные цепи и их расчёт
  • Цепи переменного тока

Добавить комментарий