Как найти комплексы токов

ads

Одним из способов расчета цепей переменного тока является комплексный, или еще как говорят, символический метод расчета. Этот метод применяется при анализе схем с гармоническими ЭДС, напряжениями и токами. В результате решения получают комплексное значение токов и напряжений, используя для решения любые методы (эквивалентных преобразований, контурных токов, узловых потенциалов и т.п.). Но для начала необходимо иметь понятие, в каких именно формах может представляться синусоидальная величина. 1. Одна из форм представления – это вращающийся вектор (см. рис.1):

Вращающийся вектор

Рис.1. Вращающийся вектор

С помощью рисунка ясно видно, как с течением времени меняется значение синусоидальной величины. В нашем случае – это величина а на графике, которая может быть, например, входным напряжением. Величина имеет некоторое начальное значение при t = 0 при начальной фазе φ

имеет положительное максимальное значение при угле ωt3, когда при времени t3 сумма ωt3φ = 90° и соответственно,

имеет отрицательное максимальное значение при угле ωt7, когда при времени t7 сумма углов ωt7φ = 270° и, соответственно,

и имеет два нулевых значения при ωtn + φ = 0, когда ωtn = —φ (на рис.1 эта область не показана и находится слева от начала координат)

и тогда

и имеет нулевое значение при угле ωt11, когда при времени t11 сумма ωt11φ = 360° и соответственно,

Именно по такому закону и меняется привычное нам переменное напряжение 220 В, изменяясь по синусоидальному закону от  значения  0 В до максимальных 311 В и обратно.

2. Другая форма представления – это комплексное число. Чтобы представить ранее рассмотренную форму представления синусоидальной величины, которая имеет некоторую начальную фазу φ, создают комплексную плоскость в виде графика зависимости двух величин (рис.2)

Комплексное число на комплексной плоскости

Рис.2. Комплексное число на комплексной плоскости

Длина вектора Am на такой комплексной плоскости равна амплитуде (максимальному значению) рассматриваемой величины. С учетом начальной фазы φ такое число записывают как .

На практике при использовании для расчетов символического (комплексного) метода расчета используют для некоторых удобств не амплитудное значение величины, а так называемое действующее значение. Его величина в корень из двух раз меньше амплитудного и обозначается без индекса m, т.е. равна

действующее значение

На рисунке выше этот вектор также показан.
Например, при том же нашем напряжении в сети, максимальное значение синусоидально изменяющегося напряжения равно 311 В, а действующее значение, к значению которого мы привыкли

Действующее значение напряжения

При работе с комплексными числами и расчетов применяют различные формы записи комплексного числа. Например, при сложении комплексных чисел удобнее использовать алгебраическую форму записи таких чисел, а при умножении или делении – показательную форму записи. В некоторых случаях пишут тригонометрическую форму.
Итак, три формы записи комплексного числа:

1) показательная форма в виде

Показательная форма комплексного числа

2) тригонометрическая форма в виде

Тригонометрическая форма комплексного числа

3) алгебраическая форма

Алгебраическая форма комплексного числа

где ReA — это действительная составляющая комплексного числа, ImA — мнимая составляющая.

Например, имеем комплексное число в показательной форме вида

в тригонометрической форме записи это запишется как

при подсчете получим число, плавно переходящее в алгебраическую форму с учетом того, что

В итоге получим

где

При переходе от алгебраической формы к показательной комплексное число вида

переходит к показательному виду  по следующим преобразованиям

а угол

Таким образом, и получим

Перейдем к рассмотрению несложных примеров использования  символического, или по-другому, комплексного метода расчета электрических цепей. Составим небольшой алгоритм комплексного метода:

      • Составить комплексную схему, заменяя мгновенные значения ЭДС, напряжений и токов их комплексным видом
      • В полученной схеме произвольно выбирают направления токов в ветвях и обозначают их на схеме.
      • При необходимости составляют комплексные уравнения по выбранному методу решения.
      • Решают уравнения относительно комплексного значения искомой величины.
      • Если требуется, записывают мгновенные значения найденных комплексных величин.

Пример 1. В схеме рис.3 закон изменения ЭДС e = 141sin*ωt. Сопротивления R1 = 3 Ом, R2 = 2 Ом, L = 38,22 мГн, С = 1061,6 мкФ. Частота f = 50 Гц. Решить символическим методом. Найти ток и напряжения на элементах. Проверить 2-ой закон Кирхгофа для цепи.

Схема с последовательным соединением элементов

Рис.3. Схема с последовательным соединением элементов

Составляем комплексную схему, обозначив комплексные токи и напряжения (рис.4):

Схема с комплексными обозначениями

Рис.4. Схема с комплексными обозначениями

По закону Ома ток в цепи равен

Закон ома в комплексной форме

где U — комплексное входное напряжение, Z — полное сопротивление всей цепи. Комплекс входного напряжения находим как

Пояснение: здесь начальная фаза  φ = 0°, так как  общее выражение для мгновенного значения напряжение вида при  φ = 0° равно

Соответственно, комплекс входного напряжения в показательной форме запишется как

Полное комплексное сопротивление цепи в общем виде

Находим комплексное сопротивление индуктивности

Находим комплексное сопротивление емкости

Соответственно, общее комплексное сопротивление цепи

Ток в цепи

Комплексные напряжения на элементах

Проверяем второй закон Кирхгофа для замкнутого контура, т.е. должно выполняться равенство

Проверяем

С небольшим расхождением из-за округлений промежуточных вычислений всё верно.

Пример 2. В электрической цепи (рис.5) однофазного синусоидального тока, схема и параметры элементов которой заданы для каждого варианта в таблице, определить:
1)  полное сопротивление электрической цепи и его характер;
2)  действующие значения токов в ветвях;
3) показания вольтметра и ваттметра;

    1. Исходные данные: Е = 220 В, f = 50 Гц, L1 = 38,2 мГн, R2 = 6 Ом, С2 = 318 мкФ, L2 = 47,7 мГн, R3 = 10 Ом, С3 = 300 мкФ.

Рис.5.Цепь однофвзного синусоидального тока

Решение:
1.  Находим комплексные сопротивления ветвей и всей цепи:
Учитываем, что

Комплексное сопротивление первой ветви:

Комплексное сопротивление второй ветви:

Комплексное сопротивление третьей ветви:

Общее сопротивление цепи

Откуда

— нагрузка носит активно-индуктивный характер

2. Находим действующие значения токов в ветвях:

Рис.6. Схема с обозначенными комплексными токами

Действующие значения, соответственно,

3. Определим показания приборов:
Вольтметр подключен по схеме параллельно источнику питания. Соответственно его показание равно:
U=220 В
Ваттметр включен токовой обмоткой в разрыв третьей ветви, а обмоткой напряжения также к выводам третьей ветви, измеряя, таким образом,  активную мощность третьей ветви. Эта мощность равна мощности на сопротивлении R3. Его показания:

Содержание:

Символический метод расчета цепей:

Символический метол, введенный в теорию переменных токов Штейнмецом, является аналитическим развитием векторных диаграмм. Он основан на изображении векторов в комплексной плоскости и на их записи комплексными числами. Это приводит к применению для цепей синусоидального переменного тока законов Ома и Кирхгофа и вытекающих из них методов расчета цепей в той же форме, что и для цепей постоянного тока. В России символический метод был введен В. Ф. Миткевичем.

Символический метод расчета цепей

В символическом методе принято исходную ось направлять вертикально и на ней откладывать вверх положительные вещественные числа, а по горизонтальной оси влево — положительные мнимые числа (рис. 8.1). В дальнейшем эти оси называются осью и осью мнимых. Тогда, например, вращающийся вектор Um, изображающий синусоидальное напряжение

Символический метод расчета цепей

и составляющий с осью вещественных угол Символический метод расчета цепей может быть записан в виде комплексного числа в алгебраической, тригонометрической или показательной форме:

Символический метод расчета цепей

здесь Символический метод расчета цепей — составляющие, соответственно, по осям вещественных и мнимых, Um — модуль (величина) вектора, угол Символический метод расчета цепей — его аргумент, а е — основание натуральных логарифмов.

Комплекс Символический метод расчета цепей называют множителем вращения, а Символический метод расчета цепей— комплексной амплитудой. Соответственно

Символический метод расчета цепей

называют комплексным действующим значением, в данном примере — напряжения, или комплексным напряжением. На комплексной плоскости оно изображается неподвижным вектором.

*

Для обратного перехода от комплекса Символический метод расчета цепей к мгновенному значению и следует взять только мнимую часть комплекса (без i), что записывается следующим образом:

Символический метод расчета цепей

Тогда

Символический метод расчета цепей

Таким образом, комплекс Символический метод расчета цепей является также изображением (как бы символом) синусоиды и, откуда и получил свое название метод, заключающийся в замене оригиналов (синусоид) комплектными изображениями, в операциях над ними и затем в обратном переходе для искомых величин от их изображений к оригиналам.

Геометрическому сложению и вычитанию векторов соответствует алгебраическое сложение и вычитание их проекций на оси комплексной плоскости, т. е. их вещественных и мнимых составляющих. Поэтому геометрическое сложение и вычитание векторов должно быть заменено вновь алгебраическим сложением и вычитанием их комплексов. Таким образом, алгебраический характер сложения и вычитания мгновенных значений синусоидальных величин сохраняется при замене оригиналов комплексными изображениями.

Так как проекция произведения двух векторов не равна произведению проекций этих векторов, изображение произведения двух синусоидальных функций не равно произведению их изображений, поэтому прч умножении таких функций нельзя применять символический метод.

Производная синусоидальной функции Символический метод расчета цепей

Символический метод расчета цепей

имеет изображение

Символический метод расчета цепей

так как Символический метод расчета цепей Полученное изображение равно производной изображения исходной функции:

Символический метод расчета цепей

Интеграл той же синусоидальной функции

Символический метод расчета цепей

имеет изображение

Символический метод расчета цепей

равное интегралу изображения исходной функции:

Символический метод расчета цепей

Таким образом, однозначное соответствие имеет место также между производными и интегралами оригинала и комплексного изображения.

Здесь получен еще один важный результат: дифференцированию оригинала соответствует, умножение на Символический метод расчета цепей его изображения, интегрированию — деление на Символический метод расчета цепей. Следовательно, интегро-дифференциальному уравнению для мгновенных значений соответствует алгебраическое уравнение для изображений, т. е. применение символического метода приводит к алгебраизации этих уравнений, что крайне упрощает расчеты.

Применение символического метода для расчета цепей переменного тока

Применение символического метода можно показать на примере. Так, для цепи с последовательным соединением r, L и С уравнению по второму закону Кирхгофа

Символический метод расчета цепей

при синусоидальном законе изменения напряжения и тока соответствует алгебраическое уравнение

Символический метод расчета цепей (8.1)

откуда комплексное изображение тока

Символический метод расчета цепей (8 2)

От изображения можно сделать переход к оригиналу — мгновенному значению тока.

Выражение (8.2) можно рассматривать как закон Ома в символической форме. Тогда знаменатель

Символический метод расчета цепей

может рассматриваться как комплексное полное сопротивление. Его модуль z равен полному сопротивлению цепи, его аргумент Символический метод расчета цепей— сдвигу фаз между напряжением и током цепи. Графически Z изображается неподвижным вектором с составляющими — активным сопротивлением r по оси вещественных и реактивным х — по оси мнимых, что показано на рис. 8.2 для случая Символический метод расчета цепей > 0. Соответствующий прямоугольный треугольник является треугольником сопротивлений.

Необходимо заметить, что знак плюс, стоящий в общем выражении комплексного сопротивления Z =г + jx, сохраняется в конкретном числовом выражении при преобладании индуктивного сопротивления (Символический метод расчета цепей > 0) и переходит в минус при преобладании емкостного сопротивления (Символический метод расчета цепей < 0).

Величина, обратная полному сопротивлению

Символический метод расчета цепей

является комплексной полной проводимостью с модулем у, равным полной проводимости, и аргументом Символический метод расчета цепей, равным сдвигу фаз между напряжением и током со знаком минус. Графически Y изображается неподвижным вектором и образует с составляющими — активной проводимостью g по оси вещественных и реактивной b по оси мнимых — треугольник проводимостей, что показано на рис. 8.2 для случая Символический метод расчета цепей > 0. Вектор У имеет направление, сопряженное с направлением обратного ему вектора Z. Знак минус, стоящий в общем выражении комплекса проводимости Y = g — jb, сохраняется в конкретном числовом выражений при Символический метод расчета цепей >0 и переходит в плюс при Символический метод расчета цепей < 0.

Символический метод расчета цепей

Если в символические выражения (8.1) для второго закона Кирхгофа и (8.2) для закона Ома подставить значения

Символический метод расчета цепей

множитель вращения Символический метод расчета цепей сократятся и выражения примут вид:

Символический метод расчета цепей

Следовательно, вместо комплексных изображений Символический метод расчета цепей вращающихся векторов можно применять комплексное напряжение U

и комплексный ток I, т. е. оперировать с неподвижными векторами. Это, очевидно, в равной степени относится к первому закону Кирхгофа, и его можно применять в виде:

Символический метод расчета цепей

Таким образом, время t из уравнений выпадает, а закон Ома и оба закона Кирхгофа в символической форме для комплексных напряжений, токов, полных сопротивлений и полных проводимостей цепей синусоидального тока

Символический метод расчета цепей

получают алгебраическую форму, как и для цепей постоянного тока. Необходимо подчеркнуть, что этот вывод сделан для цепи без взаимной индукции.

Отсюда следует, что для расчета линейных цепей синусоидального переменного тока без взаимной индукции можно применить все изложенные в гл. III методы расчета цепей постоянного тока, вытекающие из законов Ома и Кирхгофа; метод преобразования, метод уравнений Кирхгофа, метод наложения, методы контурных токов и узловых напряжений и метод эквивалентных источников напряжения или тока. При этом, как указывалось, необходимо оперировать с комплексными напряжениями, токами, полными сопротивлениями и проводимостями.

Алгебраические действия над этими комплексами следует производить в соответствии с выбранными для напряжений и токов положительными направлениями, совпадающими с положительными направлениями их мгновенных значений и изображающих их векторов. По окончании расчетов следует перейти к действующим значениям, равным, очевидно, модулям соответствующих комплексов и, если это необходимо, к мгновенным значениям искомых величин.

Символический метод применим также для цепей1 с взаимной индукцией. Особенности их расчета рассмотрены в гл. IX.

Развитие методов расчета цепей постоянного и переменного синусоидального тока может быть проиллюстрировано табл. 8.1.

Таблица 8.1

Род тока Значения напряжений и токов Учитываемые э. д. с. Используемые сопротивления и проводимости Операции

Постоянный Синусоидальный То же >

Действительные Мгновенные Действующие Комплексные Внешние Внешние и внутренние Внешние > Омические Активные Полные Комплексные Алгебраические > Геометрические Алгебраические

Непосредственное применение символического метода к вычислению по напряжению и току мощности, мгновенное значение которой является произведением их мгновенных значений (р = ui), невозможно. Однако для вычисления активной, реактивной и полной мощности по символическим изображениям напряжения и тока может быть использован искусственный прием. Для этого комплексное напряжение Символический метод расчета цепей должно быть умножено на комплекс I, сопряженный с комплексным токомСимволический метод расчета цепей

Символический метод расчета цепей

Таким образом, вещественная часть комплексной мощности S равна активной мощности Р, а мнимая — реактивной Q. При этом положительный знак сохраняется для индуктивной мощности и изменяется на отрицательный для емкостной. Полная мощность вычисляется, как модуль комплексной мощности:

Символический метод расчета цепей

Расчет цепей переменного тока символическим методом

При расчете цепей по законам Кирхгофа методика составления уравнений остается той же, что и при постоянном токе. Для заданных комплексных э. д. с. и токов должны быть также указаны их положительные направления, для искомых — ими надо задаться.

Например, для цени рис. 7.21, а с двумя узлами и двумя элементарными контурами по первому закону Кирхгофа должно быть составлено одно уравнение

Символический метод расчета цепей

Два уравнения, составляемые по второму закону Кирхгофа, при обходе элементарных контуров А и В по часовой стрелке, будут

Символический метод расчета цепей

При постоянном токе ответ со знаком минус указывал на встречное направление по сравнению с предположенным, а при переменном токе ответ в виде комплекса является окончательным для принятого направления искомой величины — напряжения или тока. При выборе обратного направления фаза (аргумент) искомого комплекса изменилась бы на угол π.

Аналогичным образом составляются и решаются уравнения при применении остальных методов, вытекающих из законов Кирхгофа. Так, уравнения по методу контурных токов для цепи рис. 7.21, а при обходе контуров A и В по часовой стрелке имеют вид:

где Символический метод расчета цепей

Символический метод весьма удобен также для решения задач в общем виде.

В электроизмерительной технике широко применяется мост переменного тока (рис. 8.3). Условие равновесия моста постоянного тока имеет вид:

Символический метод расчета цепей

По аналогии условие равновесия моста переменного тока:

Символический метод расчета цепей

Это условие распадается на два — равенство модулей и аргументов левой и правой частей:

Символический метод расчета цепей

Если модули и аргументы полных сопротивлений трех ветвей известны, из этих уравнений могут быть определены модуль и аргумент полного сопротивления четвертой ветви.

Вторым примером применения символического метода для решения задач в общем виде может служить задача поддержания в цепи изменяющейся нагрузки неизменного по величине и фазе тока. Например, при последовательном соединении ламп, применяемом при освещении аэродромов, должны автоматически замыкаться накоротко зажимы перегоревшей лампы, чтобы избежать разрыва цепи при этом ток остальных не должен измениться.

Символический метод расчета цепей

Пусть для схемы рис. 8.4, а, питаемой напряжением U = const, требуется найти условие, при выполнении которого ток I в правой параллельной ветви не будет меняться по величине и по фазе при любом изменении сопротивления Z этой ветви.

Символический метод расчета цепей

Общее выражение для комплекса тока I может быть найдено методом эквивалентного источника напряжения. По аналогии с цепью постоянного тока

Символический метод расчета цепей

Здесь комплекс напряжения Символический метод расчета цепей между зажимами разомкнутой ветви Z (рис. 8.4, б) и комплекс полного сопротивления ZB цепи относительно зажимов ветви Z при источнике напряжения, замкнутом накоротко (рис. 8.4, в), соответственно равны:
а искомый ток Символический метод расчета цепей

Для того чтобы ток I не зависел от сопротивления Z нагрузки, коэффициент при Z в выражении I должен быть равен нулю:

Символический метод расчета цепей

Это будет выполнено, если

Символический метод расчета цепей

т. е. сопротивления Z1 и Z2 должны быть чисто реактивными, равными
по величине и противоположными по знаку. Одно из них будет индуктивным, а другое — емкостным:

Символический метод расчета цепей

причем

Символический метод расчета цепей

При этом ток нагрузки

Символический метод расчета цепей

Символический метод расчета цепей

Если в цепь до разветвления включено индуктивное сопротивление, а потом — емкостное (рис. 8.5, а), то ток

Символический метод расчета цепей

отстает по фазе от приложенного к цепи напряжения на угол π2. Если индуктивное и емкостное сопротивления поменять местами (рис. 8.5, б), то

Символический метод расчета цепей

  1. т. е. ток I опережает приложенное к цепи напряжение на угол π/2. При изменении Z ток I1 до разветвления изменяется и по величине

и по фазе от значения Символический метод расчета цепей (резонанс напряжений).

Метод дуальных цепей

Метод дуальных цепей, рассмотренный в для частного случая резонансных цепей, является общим методом. Взаимная замена величин при их символической записи должна осуществляться по табл. 8.2, вытекающей из табл. 7.1.

Таблица 8.2

Последовательное соединение Параллельное соединение ω U I L C r g Z Y
Параллельное соединение Последовательное соединение ω I U C L g r Y Z

Отсюда можно получить соотношения для дуальной цепи, если они даны для цепи исходной. Так, если для исходной цепи в какой-либо вегви имеет место короткое замыкание (Z = 0), то в дуальной цепи это соответствует холостому ходу (У = 0), и наоборот. При переходе от исходной цепи к дуальной уравнения по первому и второму законам Кирхгофа меняются местами.

Символический метод расчета цепей

Основным свойством дуальных цепей является неизменность их параметров r, L и С при переменной частоте. Например, в дуальных цепях рис. 8.6, а и б численное равенство сопротивления Символический метод расчета цепей и проводимости Символический метод расчета цепей сохраняется при изменении частоты. Этим дуальные цепи отличаются от эквивалентных последовательных и параллельных схем, в которых при изменении частоты и постоянстве параметров одной схемы параметры другой изменяются.

Это свойство дуальных цепей позволяет, произведя исследование поведения какой-либо цепи при переменной частоте, перенести результаты на дуальную цепь, заменив напряжения токами и т. д., что и было сделано для резонансных цепей.

При переходе к дуальной цепи не изменяют своей величины мощности S, Р и Q, так как в их выражения входят произведение напряження и тока, и лишь у реактивной мощности Q = VI sinСимволический метод расчета цепей изменяется знак: индуктивная мощность заменяется емкостной, и наоборот.

Символический метод расчета цепей

В качестве примера может быть решена задача создания схем преобразования неизменного по величине и фазе тока в неизменное по величине и фазе напряжение, т. е. схем, дуальных со схемами. При замене схем и величин по табл. 8.2 получается схема рис. 8.7, а, дуальная схеме рис. 8.5, а, и схема рис. 8.7, б, дуальная схеме рис. 8.5, б. Если

Символический метод расчета цепей

то при неизменном токе I напряжение О на изменяющейся проводимости Y будет постоянным, т. е.

Символический метод расчета цепей

что получается путем перехода от формул для токов I исходных цепей.

Символический метод электрических цепей переменного тока

Методы расчета электрических цепей переменного тока при помощи векторных диаграмм, рассмотренные в предыдущих главах, основаны на изображении синусоидальных величин векторами.

Из курса математики известно, что каждому вектору А в комплексной плоскости (рис. 15.1) соответствует комплексное число А, которое можно выразить в форме:
алгебраической — Символический метод расчета цепей

Символический метод расчета цепей
Рис. 15.1. К вопросу о выражении вектора комплексным числом

тригонометрической — Символический метод расчета цепей

показательной — Символический метод расчета цепей
Это дает основание от графического (векторного) выражения синусоидальных напряжений и токов перейти к аналитическому выражению их комплексными числами, а операции с векторами заменить алгебраическими действиями.

Выражение характеристик электрических цепей комплексными числами

При расчете электрических цепей переменного тока используют или определяют следующие величины: э.д.с. напряжения, токи, сопротивления и проводимости, мощность. Все эти величины должны быть выражены в символической форме, т. е. комплексными числами.

Напряжения и токи

Подобно тому как на векторных диаграммах длины векторов выражают действующие величины, комплексные выражения э. д. с. .напряжений и токов записывают так, что модули их также равны действующим величинам (комплексы синусоидально изменяющихся величин принято отмечать точками над их буквенными обозначениями (например, комплексы напряжения Символический метод расчета цепей тока Символический метод расчета цепей). Комплексы величин, не зависящих от времени (например, сопротивлений, проводимостей), обозначают большими буквами без точек, но с черточкой внизу: Символический метод расчета цепей)

Для примера рассмотрим схему электрической цепи параллельного соединения катушки и конденсатора (рис. 15.2).
Напряжение на зажимах цепи выражается уравнением
Символический метод расчета цепей
Этому напряжению соответствуют вектор U в комплексной плоскости (рис. 15.3) и комплексное число в показательной форме
Символический метод расчета цепей
Ток i1 в катушке отстает от напряжения на угол φ1:
Символический метод расчета цепей
угол Символический метод расчета цепей в рассматриваемом случае Символический метод расчета цепей

Вектору тока I1 соответствует комплексное число
Символический метод расчета цепей
Ток в конденсаторе опережает напряжение на угол φ2. Вектору тока I2 соответствуют уравнение
Символический метод расчета цепей
и комплекс
Символический метод расчета цепей
где
Символический метод расчета цепей
Согласно первому закону Кирхгофа, ток в неразветвленной части цепи складывается из токов в параллельных ветвях:
Символический метод расчета цепей
Для определения этого тока сложение векторов I1 и I2 можно заменить сложением комплексов:
Символический метод расчета цепей
Символический метод расчета цепей
Символический метод расчета цепей
Следует обратить внимание на различие между действительной или мнимой частями комплекса, с одной стороны, и активной или реактивной составляющими вектора тока — с другой.
Действительная и мнимая части комплекса тока равны проекциям вектора тока на оси комплексной плоскости (ось действительных и ось мнимых величин).

Активная и реактивная составляющие вектора тока в данном участке цепи равны его проекциям на взаимно перпендикулярные оси, одна из которых направлена вдоль вектора напряжения этого же участка цепи. Действительная и мнимая части комплекса тока равны соответственно активной и реактивной составляющим вектора тока только в том случае, если вектор напряжения направлен вдоль оси действительных чисел, т. е. комплекс напряжения выражается действительным числом.

Символический метод расчета цепей

Рис. 15.2. К вопросу о выражении токов, напряжений, сопротивлений проводимостей комплексными числами

Символический метод расчета цепей

Рис. 15.3. Векторная диаграмма к схеме цепи рис. 15.2

Сопротивления

Для выражения сопротивлений в комплексной форме продолжим рассмотрение схемы рис. 15.2, где каждый из элементов (катушка и конденсатор) представлен активным и реактивным сопротивлениями, соединенными последовательно.

Разделив комплекс напряжения Символический метод расчета цепей на комплекс тока в катушке Символический метод расчета цепей, получим комплекс сопротивления первой ветви:
Символический метод расчета цепей
где Символический метод расчета цепей — модуль комплекса полного сопротивления; Символический метод расчета цепей — угол сдвига фаз между напряжением и током первой ветви Символический метод расчета цепей
Выразим комплекс сопротивления катушки в тригонометрической и алгебраической форме:
Символический метод расчета цепей
Но Символический метод расчета цепей   Символический метод расчета цепей, поэтому
Символический метод расчета цепей
Аналогично, для второй ветви
Символический метод расчета цепей
где Символический метод расчета цепей —модуль комплекса полного сопротивления; Символический метод расчета цепей — угол сдвига фаз между напряжением и током второй ветвиСимволический метод расчета цепей
Символический метод расчета цепей
или
Символический метод расчета цепей
Если в ветвях схемы рис. 15.2 реактивных сопротивлений нет Символический метод расчета цепей то, согласно выражениям (15.6) и (15.7), Символический метод расчета цепейСимволический метод расчета цепейПри Символический метод расчета цепей Символический метод расчета цепей Символический метод расчета цепей

Из приведенных рассуждений следует:

  1. Активное сопротивление в комплексной форме выражается действительным положительным числом.
  2. Реактивные сопротивления в комплексной форме выражаются мнимыми числами, причем индуктивное сопротивление (ХL) положительно, а емкостное (ХC) отрицательно.
  3. Полное сопротивление участка цепи при последовательном соединении R и X выражается комплексным числом, действительная часть которого равна активному сопротивлению, а мнимая часть равна реактивному сопротивлению этого участка.

Проводимости

Выражения проводимостей ветвей в комплексной форме можно получить, представив каждый элемент (катушку и конденсатор) схемой параллельного соединения активной и реактивной проводимостей (см. рис. 14.1, б)
Символический метод расчета цепей
Из этих формул видно, что выражения проводимостей комплексными числами можно получить в таком же порядке, как для сопротивлений. Для того чтобы не повторять аналогичных рассуждений, полные проводимости в символической форме можно найти как величины, обратные комплексам полных сопротивлений:
Символический метод расчета цепей
Для первой ветви (катушки)
Символический метод расчета цепей
Символический метод расчета цепей
Символический метод расчета цепей
гдеСимволический метод расчета цепей и Символический метод расчета цепей — активная и индуктивная проводимости.
Для второй ветви (конденсатора)
Символический метод расчета цепей
Символический метод расчета цепей

Символический метод расчета цепей
где Символический метод расчета цепей и Символический метод расчета цепей — активная и емкостная проводимости.
Результаты этих преобразований показывают, что полная проводимость ветви электрической цепи в комплексной форме выражается комплексным числом, действительная часть которого равна активной проводимости, а мнимая часть равна реактивной проводимости этой ветви, причем индуктивная проводимость отрицательна, а емкостная — положительна.

Мощность

Комплекс мощности в данной цепи определяется умножением комплекса напряжения на сопряженный комплекс тока этой цепи.
Для ветви с активным сопротивлением и индуктивностью (см. рис. 15.2), согласно векторной диаграмме (см. рис. 15.3),
Символический метод расчета цепей
Произведение комплекса напряжения и сопряженного комплекса тока
Символический метод расчета цепей
В алгебраической форме
Символический метод расчета цепей
Действительная часть полученного комплекса выражает активную мощность, а мнимая часть без множителя Символический метод расчета цепей — реактивную мощность первой ветви.
Для ветви с активным сопротивлением и емкостью
Символический метод расчета цепей Символический метод расчета цепей
Символический метод расчета цепей
В алгебраической форме
Символический метод расчета цепей

Реактивная мощность в цепи с емкостью имеет отрицательный знак в отличие от положительного знака реактивной мощности в цепи с индуктивностью. Модуль комплекса мощности в той и другой ветви равен полной мощности:
Символический метод расчета цепей

Символический метод расчета цепей
Рис. 15.4. К вопросу о преобразовании схем с применением комплексных чисел

Основные уравнения электрических цепей в комплексной форме

Представление векторов напряжений и токов комплексами, выражение сопротивлений и проводимостей комплексными числами, а также замена операций с векторами алгебраическими действиями с комплексными числами позволяют значительно упростить расчет сложных цепей переменного тока. Кроме того, применение комплексных чисел обеспечивает единство методов расчета электрических цепей постоянного и переменного токов. Это значит, что все методы расчета и вытекающие из них соотношения для цепей постоянного тока можно применить и для цепей переменного тока, если величины выражены в комплексной форме. В этом практический смысл применения комплексных чисел для решения задач электротехники.

Законы Кирхгофа

Согласно первому закону Кирхгофа, алгебраическая сумма комплексов токов в электрическом узле равна нулю:
Символический метод расчета цепей
Для составления уравнения в символической форме по первому закону Кирхгофа нужно выбрать условно-положительные направления токов. В уравнении (15.15) ток записывают со знаком плюс, если он направлен к узлу. Для схемы рис. 14.15, а
Символический метод расчета цепей
или
Символический метод расчета цепей
а в комплексной форме
Символический метод расчета цепей
или
Символический метод расчета цепей
Согласно второму закону Кирхгофа, в контуре электрической цепи алгебраическая сумма комплексов э. д. с. источников равна алгебраической сумме комплексов падений напряжения:
Символический метод расчета цепей
Для схемы рис. 14.10
Символический метод расчета цепей

а в комплексной форме
Символический метод расчета цепей

Преобразование схем

На примере цепи смешанного соединения сопротивлений (рис. 15.4) рассмотрим расчет методом преобразования и упрощения схемы. Параллельно соединенные ветви, имеющие полные сопротивления
Символический метод расчета цепей
заменяются одной ветвью с эквивалентным сопротивлением
Символический метод расчета цепей
Сопротивление в неразветвленной части цепи Символический метод расчета цепей соединено последовательно с сопротивлением Символический метод расчета цепей

Общее сопротивление цепи
Символический метод расчета цепей

Ток в неразветвленной части цепи
Символический метод расчета цепей

Напряжения на участках, цепи:
Символический метод расчета цепей

Токи в параллельных ветвях:
Символический метод расчета цепей
Преобразованием можно упростить и более сложные схемы с последовательным и параллельным соединениями участков, а также схемы, которые содержат треугольники или трехлучевые звезды сопротивлений.

Метод узлового напряжения

Схему с двумя узлами можно рассчитать, определив узловое напряжение по формуле
Символический метод расчета цепей
Эта формула аналогична формуле (4.21). В числителе ее записана алгебраическая сумма произведений комплексов э. д. с. и проводимости всех ветвей, а в знаменателе — сумма комплексов проводимостей ветвей.
Комплекс тока определяют по формуле
Символический метод расчета цепей
Правило выбора знаков э.д. с. в формулах (15.16) — (15.18) такое же, как и в цепи постоянного тока, с той лишь разницей, что условно-положительные направления э. д. с. выбираются при расчете, а в цепи постоянного тока направления э. д. с. обычно заданы.

Метод эквивалентного генератора

Порядок расчета по методу эквивалентного генератора,  для цепей постоянного тока, пригоден и для цепей переменного тока, если э.д. с., токи и сопротивления их выражены в комплексной форме.
Ток Символический метод расчета цепей в исследуемой ветви определяют из уравнения, подобного (5.12):
Символический метод расчета цепей
где Символический метод расчета цепей — комплекс эквивалентной э.д.с., равный комплексу напряжения холостого хода активного двухполюсника при отключении исследуемой ветви, Символический метод расчета цепей — комплекс сопротивления пассивного двухполюсника относительно точек присоединения исследуемой ветви (комплекс внутреннего сопротивления эквивалентного генератора); Символический метод расчета цепей — комплекс сопротивления исследуемой ветви.

Задача 15.3.

Выполнить символическим методом расчет цепи (см. рис. 14.8). Дано:
Символический метод расчета цепей
Символический метод расчета цепей
Символический метод расчета цепей
= 8 Ом; Х21 = 6 Ом; Х1С — 15 Ом; Х2С = 10 Ом.
Символический метод расчета цепей
Символический метод расчета цепей
Определить ток в цепи и напряжения Символический метод расчета цепейСимволический метод расчета цепей
Решение. Выразим заданные э. д. с. и сопротивления комплексными числами.
Э. д. с. в комплексной форме:
Символический метод расчета цепей
Символический метод расчета цепей
Сопротивления в комплексной форме:
Символический метод расчета цепейСимволический метод расчета цепейСимволический метод расчета цепейСимволический метод расчета цепейСимволический метод расчета цепейСимволический метод расчета цепейСимволический метод расчета цепей
При последовательном соединении общее сопротивление цепи

Символический метод расчета цепей

Символический метод расчета цепей
Сопротивление цепи в показательной форме:

модуль
Символический метод расчета цепей
аргумент
Символический метод расчета цепей

Угол φ можно определить, найдя

Символический метод расчета цепей

Символический метод расчета цепей
Ток в цепи
Символический метод расчета цепей
Для удобства деления выразим числитель и знаменатель в показательной форме:
Символический метод расчета цепей
Символический метод расчета цепей
Из сравнения комплексов Символический метод расчета цепей и Символический метод расчета цепей и обшей з. д. с. Символический метод расчета цепей видно, что ток в цепи совпадает по фазе с э. д. с. Е2 и опережает общее значение э. д. с. на угол 120—83 = 37°.

Напряжение
Символический метод расчета цепей
Символический метод расчета цепей
Символический метод расчета цепей
Угол сдвига фаз между током и напряжением Символический метод расчета цепей

Напряжение
Символический метод расчета цепей

Между током и напряжением Символический метод расчета цепей угол сдвига фаз
Символический метод расчета цепей так как Символический метод расчета цепей
 

Задача 15.5.

Определить символическим методом напряжения ка зажимах источника, токи и мощность в цепи рис. 14.13, для которой известны R1 = 8 Ом; ХL = 6 Ом; R= 9 Ом; ХC = 12 Ом; I1 = 9А.
Решение. Выразим сопротивления ветвей в символической форме:
Символический метод расчета цепей

Символический метод расчета цепей
Предположим, что комплекс тока Символический метод расчета цепей выражается действительным числом (начальная фаза тока Символический метод расчета цепей)
Символический метод расчета цепей
(начальную фазу тока можно выбрать произвольно, т.е. угол Символический метод расчета цепей не равен нулю).
Напряжение в первой ветви, равное напряжению на зажимах источника,
Символический метод расчета цепей

 Ток во второй ветви
Символический метод расчета цепей
Ток в источнике
Символический метод расчета цепей

Символический метод расчета цепей
Мощность цепи

Символический метод расчета цепей

Символический метод расчета цепей

Комплексные сопротивления и проводимости элементов электрических цепей

Вычисление комплексных сопротивлений и проводимостей последовательных и параллельных двухполюсников, содержащих различные элементы электрических цепей, осуществляются по тем же правилам, которые были получены для резистивных цепей, поскольку, как это было показано в лекции 7, для комплексных амплитуд справедливы законы Ома и Кирхгофа.

Комплексные сопротивления и проводимости полностью характеризуют свойства соответствующего элемента. Будем рассматривать только пассивные элементы, через которые проходит гармонический ток

Символический метод расчета цепей    (8.1)

комплексная амплитуда которого равна Символический метод расчета цепей Найдём комплексные сопротивления и проводимости резистивного элемента, индуктивности и ёмкости при согласованной системе отсчёта токов и напряжений.

Резистивный элемент

Для резистивного элемента, обладающего активным сопротивлением, имеем

Символический метод расчета цепей

где Символический метод расчета цепей — амплитуда гармонического напряжения. Отсюда комплексная амплитуда напряжения на резистивном элементе

Символический метод расчета цепей

По определению комплексного сопротивления двухполюсника (7.38) имеем:

Символический метод расчета цепей    (8.3)

а комплексная проводимость

Символический метод расчета цепей

Средняя мощность, выделяемая в активном сопротивлении, согласно (7.15) при Символический метод расчета цепей равна

Символический метод расчета цепей     (8.4)

или, переходя к действующим значениям (7.18) напряжения и тока,

Символический метод расчета цепей       (8.5)

Выводы:

Индуктивность

Напряжение на зажимах индуктивности изменяется по закону

Символический метод расчета цепей     (8.6)

Операции дифференцирования гармонического колебания (см. лекцию 7) соответствует умножение символического изображения на оператор Символический метод расчета цепей т. е.

Символический метод расчета цепей     (8.7)

Символический метод расчета цепей

причём зависимость между амплитудами гармонических колебаний напряжения на зажимах индуктивности и тока в индуктивности определяется выражением:

Символический метод расчета цепей    (8.8)

Из (8.7) для индуктивности получаем: комплексное сопротивление (индуктивное сопротивление)

Символический метод расчета цепей      (8.9)

и комплексную проводимость (индуктивную проводимость)

Символический метод расчета цепей      (8.10)

Выводы:

Комплексные сопротивление (8.9) и проводимость (8.10) индуктивности имеют только реактивные составляющие и зависят от частоты:

Символический метод расчета цепей

поэтому элемент индуктивности называют реактивным; 

гармоническое напряжение на индуктивности опережает ток на Символический метод расчета цепей поскольку

Символический метод расчета цепей

что следует из (8.6), т. е. ток и напряжение находятся в квадратуре (рис. 8.1, б);
 

значение средней мощности в элементе индуктивности равно нулю: 

Символический метод расчета цепей

это объясняется тем, что в элементе индуктивности энергия не рассеивается; в режиме гармонических колебаний происходит обмен энергией между индуктивностью и подключённой к ней внешней цепью.

Ёмкость

Напряжение на зажимах ёмкости определяется соотношением

Символический метод расчета цепей     (8.11)

Операции интегрирования гармонического колебания (см. лекцию 7) соответствует деление символического изображения на оператору’со, т. е.

Символический метод расчета цепей     (8.12)

причём зависимость между амплитудами гармонических колебаний напряжения на зажимах ёмкости и тока в ёмкости определяется выражением:

Символический метод расчета цепей     (8.13)

Из (8.12) для ёмкости получаем: комплексное сопротивление (ёмкостное сопротивление)

Символический метод расчета цепей     (8.14)

и комплексную проводимость (ёмкостную проводимость)

Символический метод расчета цепей      (8.15)

Выводы:

комплексные сопротивление (8.14) и проводимость (8.15) ёмкости имеют только реактивные составляющие:

Символический метод расчета цепей

поэтому элемент ёмкости также называют реактивным.

гармоническое напряжение на ёмкости отстаёт оттока на Символический метод расчета цепей поскольку

Символический метод расчета цепей

что следует из (8.11), т.е. ток и напряжение находятся в квадратуре (рис. 8.1, в);

значение средней мощности в элементе ёмкости так же, как и в индуктивности, равно нулю:

Символический метод расчета цепей

это объясняется тем, что в элементе ёмкости энергия не рассеивается; в режиме гармонических колебаний происходит обмен энергией между ёмкостью и подключённой к ней внешней цепью.

Комплексные сопротивления и проводимости двухполюсников

Проиллюстрируем вычисления комплексных сопротивлений и проводимостей на простейших примерах последовательного соединения резистивного элемента с индуктивным (рис. 8.2, а) и ёмкостным (рис. 8.2, б).

Последовательное соединение резистивного и индуктивного элементов

Алгебраическая форма записи комплексного сопротивления рассматриваемого двухполюсника (рис. 8.2, а)

Символический метод расчета цепей       (8.16)

где активная составляющая Символический метод расчета цепей и реактивная составляющая Символический метод расчета цепей

Полное сопротивление двухполюсника равно

Символический метод расчета цепей     (8.17)

и аргумент

Символический метод расчета цепей

поэтому показательная форма записи комплексного сопротивления имеет вид

Символический метод расчета цепей   (8.18)

Символический метод расчета цепей

Комплексная проводимость по определению для данного двухполюсника такова:

Символический метод расчета цепей

Найдём активную и реактивную части комплексной проводимости, для чего умножим числитель и знаменатель полученного выражения на комплексное число, сопряжённое знаменателю, а затем выделим вещественную Символический метод расчета цепей и мнимую Символический метод расчета цепей составляющие:

Символический метод расчета цепей

откуда

Символический метод расчета цепей

Отсюда модуль и аргумент комплексной проводимости соответственно равны:

Символический метод расчета цепей  (8.19)

Символический метод расчета цепей    (8.20)

и, наконец, для показательной формы комплексной проводимости получаем:

Символический метод расчета цепей      (8.21)

Последовательное соединение резистивного и ёмкостного элементов

Алгебраическая форма записи комплексного сопротивления рассматриваемого двухполюсника (рис. 8.2, б)

Символический метод расчета цепей    (8.22)

откуда

Символический метод расчета цепей

Полное сопротивление двухполюсника равно:

Символический метод расчета цепей

аргумент

Символический метод расчета цепей   (8.24)

показательная форма имеет вид:

Символический метод расчета цепей   (8.25)

Комплексная проводимость по определению для данного двухполюсника такова:

Символический метод расчета цепей

B полученном выражении в силу равенства Символический метод расчета цепей имеем:

Символический метод расчета цепей

поэтому
Символический метод расчета цепей    (8.26)

Из (8.26) получаем полную проводимость и аргумент двухполюсника соответственно:

Символический метод расчета цепей  (8.27)

Символический метод расчета цепей   (8.28)

Наконец, найдём активную Символический метод расчета цепей и реактивную Символический метод расчета цепей части комплексной проводимости:

Символический метод расчета цепей   (8.29)

Выводы:

Реактивные составляющие сопротивления и проводимости пассивных двухполюсников могут иметь как положительные, так и отрицательные значения;

  •    еслиСимволический метод расчета цепей, то говорят, что сопротивление двухполюсника имеет индуктивный характер (на входе двухполюсника колебания напряжения опережают по фазе колебания тока); при этом на частоте Символический метод расчета цепей сопротивление двухполюсника является чисто активным и равным R, поскольку сопротивление элемента индуктивности при постоянном токе равно нулю, т. е. индуктивность представляет собой короткое замыкание, а при Символический метод расчета цепей сопротивление двухполюсника стремится к поскольку сопротивление элемента индуктивности стремится к бесконечности, т. е. индуктивность представляет собой разрыв цепи;
  •    если же Символический метод расчета цепей, то говорят, что сопротивление двухполюсника имеет ёмкостной характер (на входе двухполюсника колебания напряжения отстают по фазе от колебаний тока); при этом на частоте Символический метод расчета цепей сопротивление двухполюсника стремится к Символический метод расчета цепейпоскольку сопротивление ёмкости стремится к бесконечности, т. е. ёмкость представляет собой разрыв цепи; а при Символический метод расчета цепей  сопротивление двухполюсника становится равным R, поскольку сопротивление ёмкости стремится к нулю, т. е. ёмкость представляет собой короткое замыкание.
     

Анализ установившихся гармонических колебаний в простейших цепях

Определения режимов состояния электрической цепи:

Колебания в цепях, имеющих реактивные элементы, качественно отличаются от колебаний, происходящих в резистивных цепях. Причиной качественных отличий является способность реактивных элементов выступать как в роли потребителя энергии, чему соответствуют положительные значения мгновенной мощности на зажимах элемента, так и в роли источника, когда элемент отдаёт накопленную энергию в цепь, чему соответствуют отрицательные значения мгновенной мощности на зажимах элемента. Процессы накопления и возврата энергии реактивными элементами не могут прекратиться и начаться сразу же после окончания внешних воздействий на цепь. Колебания в цепи продолжаются за счёт накопленной в реактивных элементах энергии, т. е. цепь обладает электромагнитной инерцией. Характер колебаний зависит от вида воздействия, схемы цепи, наличия начального запаса энергии в реактивных элементах к моменту приложения воздействия и т. д.

Колебания в цепях разделяют на установившиеся (стационарные) и неустановившиеся (нестационарные).

Колебания считаются установившимися, если все напряжения и токи в цепи изменяются как периодические функции времени с периодом Т,   т. е. когда

Символический метод расчета цепей

Частным случаем периодических колебаний являются гармонические напряжения и токи.

Режим гармонических колебаний относится к числу установившихся режимов колебаний.

Режимом постоянного тока называется такое состояние цепи, в котором значения всех напряжений и токов не изменяются во времени: Символический метод расчета цепей

Режимом покоя, или нулевыми начальными условиями называется такое состояние цепи, в котором значения всех напряжений и токов равны нулю.

Режимом переходных колебаний, или переходным процессом называется такое состояние цепи, в котором происходит переход из одного установившегося режима в другой установившийся режим. Режим переходных колебаний принадлежит к неустановившимся режимам.

Переходным временем называется время перехода из одного установившегося режима в другой установившийся режим.

Здесь и далее, если это не будет оговорено особо, рассматриваются цепи, находящиеся в режиме гармонических колебаний.

Анализ линейной цепи в режиме гармонических колебаний методом комплексных амплитуд состоит в следующем:

1. Гармонические токи и напряжения заменяются их комплексными изображениями: комплексными амплитудами Символический метод расчета цепей или комплексными действующими значениями

Символический метод расчета цепей      (8.30)

2.    Составляются уравнения (системы уравнений) для комплексных изображений токов и напряжений согласно законам Ома и Кирхгофа.

3.    Решаются уравнения (системы уравнений) относительно комплексных изображений требуемых токов и напряжений.

4.    Осуществляется переход от комплексных изображений токов и напряжений к их оригиналам.
 

Анализ гармонических колебаний в последовательном RL-контуре

Задача 8.1.

Найти напряжения и токи в последовательном Символический метод расчета цепей контуре, изображённом на рис. 8.3.

Символический метод расчета цепей

Решение. Как было показано ранее, такой контур обладает комплексным сопротивлением

Символический метод расчета цепей

Комплексная амплитуда тока в контуре согласно закону Ома равна:

Символический метод расчета цепей

где Символический метод расчета цепей — комплексная амплитуда напряжения Символический метод расчета цепей источника гармонических колебаний. По определению комплексной амплитуды тока Символический метод расчета цепей её модуль равен амплитуде, а её аргумент — начальной фазе гармонического тока в контуре. Отсюда имеем:

Символический метод расчета цепей    (8.31)

Определим комплексные амплитуды напряжений на элементах контура:

Символический метод расчета цепей

Отсюда для оригиналов напряжений имеем:

Символический метод расчета цепей  (8.32)

Символический метод расчета цепей      (8.33)

Выводы:

амплитуда тока в контуре зависит не только от значений индуктивности и сопротивления, но и от частоты Символический метод расчета цепей гармонического            воздействия (читателю предлагается самостоятельно оценить, что происходит в контуре при Символический метод расчета цепей и Символический метод расчета цепей )

колебания напряжения на входе контура опережают по фазе колебания тока в контуре на угол Символический метод расчета цепей что объясняется                индуктивным характером сопротивления контура, т. е. ток отстаёт по фазе от напряжения на контуре;

 колебания напряжения на резистивном элементе происходят в фазе с колебаниями тока в контуре и отстают по фазе на угол                  Символический метод расчета цепей от колебаний напряжения источника;

   колебания напряжения на индуктивности опережают по фазе колебания напряжения источника на уголСимволический метод расчета цепей
и колебания тока в контуре на угол Символический метод расчета цепей
 

Анализ гармонических колебаний в RLC-контуре

Задача 8.2.

Найти напряжения и токи в RLC-контуре, изображённом на рис. 8.4, а.

Символический метод расчета цепей

Решение.

1. Определим эквивалентную комплексную проводимость контура (рис. 8.4,6)

Символический метод расчета цепей

2.    Вычислим комплексную амплитуду напряжения на зажимах двухполюсника

Символический метод расчета цепей

где Символический метод расчета цепей— комплексная амплитуда задающего тока источника и Символический метод расчета цепей — комплексная амплитуда напряжения на ёмкости.

3.    Найдём комплексные амплитуды токов в ветвях контура

Символический метод расчета цепей

4.    Последние формулы позволяют записать выражения для комплексных амплитуд напряжений на элементах индуктивности и сопротивления:

Символический метод расчета цепей

Амплитуды и начальные фазы колебаний можно найти, представив комплексные амплитуды колебаний в показательной форме, что предлагается выполнить читателю.
 

Анализ сложных линейных электрических цепей в режиме установившихся гармонических колебаний

Ранее было показано (см. разд. 7.3), что комплексные амплитуды колебаний можно найти из решения систем уравнений Кирхгофа, узловых или контурных уравнений. Поэтому при составлении систем уравнений для комплексных амплитуд необходимо пользоваться правилами, установленными для резистивных цепей. Отличие будет состоять лишь в формальной замене обозначений сопротивлений и проводимостей на обозначения комплексных сопротивлений и проводимостей, а токи и напряжения заменить их комплексными амплитудами. Для удобства обозначений при составлении систем уравнений принято вместо комплексных амплитуд Символический метод расчета цепей и  Символический метод расчета цепей использовать комплексные действующие значения колебаний  Символический метод расчета цепей(8.30); комплексные сопротивления и проводимости обозначают как Z и Y соответственно. При этом сами комплексные действующие значения токов и напряжений называют просто токами и напряжениями, если это не приводит к недоразумениям.

При этих обозначениях имеем канонические формы записи системы уравнений для комплексных узловых напряжений согласно (5.2)

Символический метод расчета цепей    (8.34)

и системы контурных уравнении для комплексных контурных токов согласно (5.9)

Символический метод расчета цепей      (8.35)

Перед решением задачи анализа гармонических колебаний символическим методом целесообразно сначала найти комплексные проводимости или сопротивления двухполюсников, составляющих ветви цепи, и только после этого составлять систему уравнений. При этом граф цепи упрощается и уменьшается число независимых уравнений.

Пример 8.1.

Рассмотрим схему цепи, изображённую на рис. 8.5, а. В схеме выделены три двухполюсника с сопротивлениями Символический метод расчета цепей которые нетрудно найти по правилам последовательного и параллельного соединения элементов. Такое преобразование позволило свести исходную схему к эквивалент

Символический метод расчета цепей

Для схемы (рис. 8.5, б) нетрудно составить систему контурных уравнений:

Символический метод расчета цепей

Из этой системы легко получить последовательно:

   значения комплексных контурных токов,

   значения комплексных напряжений на комплексных сопротивлениях Символический метод расчета цепей Символический метод расчета цепей и на резисторе R,

   величины напряжений Символический метод расчета цепей на всех элементах схемы согласно разд. 8.2.2.

Особенности составления уравнений цепей с индуктивными связями

До сих пор рассматривались цепи, не содержащие индуктивно связанных элементов. Однако в реальных цепях широко используются трансформаторы, предназначенные для преобразования значений переменных напряжений и токов.

Основные соотношения

Простейший воздушный трансформатор без потерь (рис. 8.6) состоит из двух индуктивно связанных элементов индуктивности Символический метод расчета цепей и  Символический метод расчета цепей.

Символический метод расчета цепей

Напряжения и токи на внешних зажимах этих индуктивностей связаны соотношениями:

Символический метод расчета цепей      (8.36)

где М — взаимная индуктивность между элементами Символический метод расчета цепей и Символический метод расчета цепей, равная

Символический метод расчета цепей

Коэффициент к называется коэффициентом связи; он характеризует степень магнитной связи между элементами Символический метод расчета цепей и Символический метод расчета цепей. Связь при Символический метод расчета цепей  называется жёсткой: весь магнитный поток, сцепляющийся с витками одной индуктивности, сцепляется с витками другой; значение при Символический метод расчета цепейсоответствует отсутствию связи.

Символический метод расчета цепей

Знаки в равенствах (8.36) зависят от направлений магнитных потоков в индуктивностях, а сами магнитные потоки зависят от направлений токов, проходящих через индуктивности. На схемах зажимы индуктивностей, через которые положительные частицы проходят в одном и том же направлении (к индуктивности или от неё), помечаются точками. Такие зажимы (узлы) называются одноимёнными. Одинаково ориентированные относительно одноимённых узлов токи создают складывающиеся потокосцепления. Поскольку в задачах анализа направления токов в индуктивностях выбираются независимо и произвольно, различают согласное и встречное направления отсчётов токов и напряжений. В уравнениях (8.36) согласному направлению соответствует знак “+”, а встречному — знак “-“. Варианты согласного и встречного выбора направлений отсчётов токов представлены на рис. 8.7.

Метод развязки индуктивных связей

Для составления уравнений цепи, содержащей индуктивные связи, используют такие схемы их замещения, в которых индуктивные связи отсутствуют. Метод, приводящий к таким схемам замещения, называют методом развязки индуктивных связей.

Рассмотрим наиболее важный для практики случай, когда взаимодействующие катушки имеют один общий узел (рис. 8.8, а). Любая схема замещения, исходя из (8.36), составляется только из элементов индуктивности, число которых должно равняться как минимум трём, поскольку уравнения содержат три коэффициента: Символический метод расчета цепей

Символический метод расчета цепей

Воспользуемся схемой замещения рис. 8.8, б, для которой запишем систему контурных уравнений:

Символический метод расчета цепей    (8.37)

Полученная система не будет отличаться от системы (8.36) при условии:

Символический метод расчета цепей      (8.38)

Таким образом, схема рис. 8.8, б является схемой замещения двух связанных магнитным потоком индуктивностей, если значения элементов этой схемы равны:

Символический метод расчета цепей  (8.39)

В формулах (8.39) следует выбирать нижние знаки лишь в том случае, когда только один из двух соединённых в узел зажимов цепи рис. 8.8, а помечен точкой. В других случаях необходимо выбирать нижние знаки. Полученная схема называется Т-образной схемой замещения.

Важно:

при жёсткой связи, когда Символический метод расчета цепей и, следовательно, Символический метод расчета цепей имеем:

Символический метод расчета цепей

откуда после приведения подобных членов получаем, что значения индуктивностей Т-образной схемы замещения удовлетворяют соотношению

Символический метод расчета цепей         (8.40)

которое может выполняться, если одна из индуктивностей схемы замещения является отрицательной. Если связь не является жёсткой, т. е. Символический метод расчета цепей равенство (8.40) переходит в неравенство

Символический метод расчета цепей

что также не исключает возможности появления отрицательной индуктивности. На пассивных элементах отрицательная индуктивность физически не осуществима, однако её наличие в схеме замещения не противоречит задаче анализа колебаний в цепи и способствует решению этой задачи.

Применяется также и другая схема замещения (рис. 8.8, в), называемая П-образной. Соотношения между элементами исходной схемы (рис. 8.8, a) и схемы замещения

Символический метод расчета цепей    (8.41)

можно найти, если для рис. 8.8, в составить систему из двух узловых уравнений. Знаки в этих формулах выбираются по тому же правилу, что и в (8.39). В рассмотренной схеме замещения также возможно появление одной отрицательной индуктивности.

Символический метод расчета электрических цепей переменного тока

Действия над комплексными числами:

Символический метод нашел широкое применение для расчета сложных цепей переменного тока.

Символический метод расчета основан на использовании комплексных чисел.

Комплексное число А состоит из вещественной Символический метод расчета цепей и мнимой Символический метод расчета цепей частей, т. е. Символический метод расчета цепей

Комплексное число на комплексной плоскости можно представить вектором. Проекция вектора на вещественную ось (ось абсцисс) соответствует вещественной части комплексного числа Символический метод расчета цепей (рис. 14.1а). Проекция вектора на мнимую ось j (ось ординат) соответствует коэффициенту при мнимой единице Символический метод расчета цепей. Мнимая единица у представляет собой поворотный множитель, умножение на который означает поворот вектора на 90° против часовой стрелки, т.е. в положительном направлении. Мнимая единица Символический метод расчета цепей Тогда Символический метод расчета цепей

Символический метод расчета цепей

Комплексным числам Символический метод расчета цепей соответствуют векторы Символический метод расчета цепей изображенные на комплексной плоскости (рис. 14.1а и б) в масштабе.

Модуль комплексного числа соответствует длине вектора, изображающего это комплексное число.

Из построения (рис. 14.1а) видно, что модули комплексных чисел определяются выражением

Символический метод расчета цепей

Следовательно, Символический метод расчета цепей

Углы Символический метод расчета цепей образованные векторами Символический метод расчета цепей с положительным направлением вещественной оси, называются аргументами комплексного числа.

Аргументы комплексного числа (рис. 14.1а) определяются выражением

Символический метод расчета цепей

То есть Символический метод расчета цепей

Как видно, аргумент комплексного числа Символический метод расчета цепей отрицательный, так как вектор Символический метод расчета цепей повернут на угол Символический метод расчета цепей по часовой стрелке, а не против.

Существует три формы записи комплексного числа:

1) алгебраическая: Символический метод расчета цепей

2)тригонометрическая:  Символический метод расчета цепей

так как Символический метод расчета цепей

3) показательная:  Символический метод расчета цепей

где Символический метод расчета цепей – основание натурального логарифма, однако в данном случае имеет чисто символическое значение.

Для перевода из показательной формы записи комплексного числа в алгебраическую пользуются тригонометрической формой записи комплексного числа (14.4).

Для перевода из алгебраической формы записи комплексного числа в показательную определяют модуль по (14.1) и аргумент по (14.2) комплексного числа.

Для перевода комплексного числа из одной формы в другую можно использовать логарифмическую линейку или микрокалькулятор.

Комплексные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить.

Сложение и вычитание комплексных чисел производится только в алгебраической форме

Символический метод расчета цепей

 На рис. 14.16 видно, что сложение и вычитание комплексных чисел соответствует сложению и вычитанию векторов, изображающих эти числа.

Умножение и деление комплексных чисел можно производить 5 алгебраической форме:

Символический метод расчета цепей

Для того чтобы избавиться от комплексов в знаменателе, числитель и знаменатель умножают на комплекс, сопряженный с комплексом знаменателя. У сопряженного комплекса знак перед мнимой единицей Символический метод расчета цепей изменяется на обратный.

Произведение двух сопряженных комплексов — вещественное число, равное сумме квадратов вещественной и мнимой частей этих комплексов.

Однако умножение и деление комплексных чисел удобно производить в показательной форме.

При умножении комплексных чисел в показательной форме модули этих чисел перемножаются, а аргументы складываются алгебраически:

Символический метод расчета цепей

При делении комплексных чисел в показательной форме модули этих чисел делятся, а аргументы вычитаются с учетом знаков:

Символический метод расчета цепей

Таким образом, сложение и вычитание комплексных чисел можно производить только в алгебраической форме, а умножение и деление удобней и проще производить в показательной форме.
 

Ток, напряжение и сопротивление в комплексном виде

Если ток и напряжение изменяются по синусоидальному закону Символический метод расчета цепей то, как указывалось выше, их можно изобразить векторами и, следовательно, записать комплексными числами:

Символический метод расчета цепей

где Символический метод расчета цепей – комплексы тока и напряжения. Точка над комплексами указывает, что ток и напряжение изменяются по синусоидальному закону с определенной частотой Символический метод расчета цепей — модули комплексов тока и напряжения, они же действующие значения тока Символический метод расчета цепей и напряжения Символический метод расчета цепей — аргументы комплексов тока и напряжения, они же начальные фазы тока Символический метод расчета цепей и напряжения Символический метод расчета цепей

Для неразветвленной цепи с Символический метод расчета цепей (рис. 12.1а) мгновенные значения синусоидального тока и напряжения можно записать так: Символический метод расчета цепей Тогда комплексы тока и напряжения

Символический метод расчета цепей

Комплекс полного сопротивления цепи Символический метод расчета цепей определяется отношением комплекса напряжения к комплексу тока, т. е.

Символический метод расчета цепей

Комплексные величины, не зависящие от времени, обозначаются прописными буквами с черточкой внизу.

Модулем комплекса полного сопротивления является кажущееся сопротивление цепи Символический метод расчета цепей а аргументом — угол сдвига фаз между током и напряжением Символический метод расчета цепей

Алгебраическая форма записи комплекса полного сопротивления Символический метод расчета цепей

Символический метод расчета цепей

Вещественная часть комплекса полного сопротивления есть активное сопротивление R, а коэффициент при мнимой единице j -реактивное сопротивление X. Знак перед поворотным множителем (мнимой единицей) указывает на характер цепи. Знак «плюс» соответствует цепи индуктивного характера, а знак «минус» –  цепи емкостного характера.

Выражения комплексов сопротивлений различных цепей приедены в Приложении 7.

Обратная величина комплекса сопротивления — комплекс проводимости Символический метод расчета цепей

Любую цепь переменного тока можно рассчитывать по заколам постоянного тока, если все величины представить в комплексной форме. В этом и заключается достоинство символического года расчета.
 

Мощность в комплексном виде

Для неразветвленной цепи с Символический метод расчета цепей (рис. 12.3а) мгновенные значения тока и напряжения можно записать как

Символический метод расчета цепей

Комплексы напряжения и тока соответственно равны

Символический метод расчета цепей

Комплекс полной мощности цепи Символический метод расчета цепей определяется произведением комплекса напряжения Символический метод расчета цепей и сопряженного комплекса тока Символический метод расчета цепей (над сопряженным комплексом синусоидальной величины ставят «звёздочку»)

Символический метод расчета цепей

Таким образом, модулем комплекса полной мощности Символический метод расчета цепей является кажущаяся мощность цепи Символический метод расчета цепей а аргументом — угол сдвига фаз между током и напряжением.

Если комплекс полной мощности Символический метод расчета цепей перевести из показательной формы в алгебраическую, то получится

Символический метод расчета цепей

То есть вещественная часть комплекса полной мощности — активная мощность Р, а коэффициент при мнимой единице — реактивная мощность Q.

Знак перед поворотным множителем j указывает на характер цепи. В рассматриваемой цепи реактивная мощность емкостного характера Символический метод расчета цепей

Комплексы величин токов, напряжений, сопротивлений, мощностей и других параметров цепи синусоидального тока необходимо выражать в двух видах записи комплексного числа: показательной и алгебраической. В этом случае сразу определяются действующие значения тока, напряжения, кажущееся сопротивление, его активные и реактивные части Символический метод расчета цепей угол сдвига фаз Символический метод расчета цепей между током и напряжением, характер цепи, кажущаяся S, активная Р и реактивная Q мощности. Кроме того, в неразветвленной цепи напряжения на участках складываются, суммируются токи в разветвленных цепях, а сложение комплексов можно производить только в алгебраической форме записи. В алгебраической форме записи кажущейся мощности Символический метод расчета цепей сразу определяются активная мощность Р и реактивная мощность Q. В показательной форме записи сопротивлений производится их умножение и деление, необходимое при расчете цепей синусоидального тока при смешанном соединении потребителей, и т.д. Необходимость выражения комплексов в двух видах следует из примеров, разобранных в этой главе.

Пример 14.1

Для цепи, изображенной на рис. 14.2а, дано:

Символический метод расчета цепей

Определить токи Символический метод расчета цепей напряжение на участках Символический метод расчета цепейСимволический метод расчета цепей мощности S, Р и Q цепи; угол Символический метод расчета цепей и характер цепи.

Построить векторную диаграмму цепи.

Символический метод расчета цепей

Решение

Комплексы сопротивлений участков (по номерам токов) и полного сопротивления цепи будут равны

Символический метод расчета цепей

Комплекс сопротивления участка CD цепи:

Символический метод расчета цепей

Символический метод расчета цепей

Тогда полное сопротивление цепи равно

Символический метод расчета цепей

Вектор заданной величины (тока или напряжения) можно направить в любом направлении. Однако удобнее совмещать его с вещественной или мнимой осью.

В рассмотренном примере заданное напряжение направляется по вещественной оси. Таким образом, комплекс общего напряжения будет равен

Символический метод расчета цепей

Комплекс тока цепи Символический метод расчета цепей равен комплексу первого тока Символический метод расчета цепей

Символический метод расчета цепей.

Комплекс напряжения на участке АС:

Символический метод расчета цепей

Комплекс напряжений на участке CD:

Символический метод расчета цепей

Комплексы токов Символический метод расчета цепей

Символический метод расчета цепей

Комплекс полной мощности цепи:

Символический метод расчета цепей

Из расчета цепи (рис. 14.2а) символическим методом следует:

Символический метод расчета цепей

Характер цепи емкостной, так как угол Символический метод расчета цепей отрицательный. Векторная диаграмма для рассматриваемой цепи с учетом начальных фаз напряжений и токов изображена на рис. 14.2б.

Пример 14.2

Для цепи, изображенной на рис. 14.3, дано:

Символический метод расчета цепей

Определить токи Символический метод расчета цепей напряжение цепи Символический метод расчета цепей; угол Символический метод расчета цепей и характер цепи.

Решение

Комплексы сопротивлений участков (по номерам токов):

Символический метод расчета цепей

Вектор заданного тока Символический метод расчета цепей в примере направим по мнимой оси, т. е.

Символический метод расчета цепей

Комплекс напряжения на участке СD:

Символический метод расчета цепей

Значение токов будут равны соответственно
Символический метод расчета цепей
Символический метод расчета цепей

Комплекс напряжения на участке АС:

Символический метод расчета цепей

Комплекс напряжения на участке АВ, т. е. напряжение сети, равен

Символический метод расчета цепей

Комплекс тока Символический метод расчета цепей

Символический метод расчета цепей

Комплекс тока цепи:

Символический метод расчета цепей

Комплекс полной мощности цепи:

Символический метод расчета цепей

Результаты расчета:

Символический метод расчета цепей

Характер цепи емкостной.

Пример 14.3

По условиям примера 14.2 определить полное сопротивление цепи (рис. 14.3).

Решение

Символический метод расчета цепей

Символический метод расчета цепей
Результаты расчета: полное сопротивление цепи (рис. 14.3) Символический метод расчета цепей угол сдвига фаз Символический метод расчета цепей характер цепи – емкостной

Погрешность 10′ при расчете угла Символический метод расчета цепей в примерах 14.2 и 14.3 в пределах допустимого. 

  • Четырехполюсники
  • Линейные диаграммы
  • Круговые диаграммы
  • Цепи с взаимной индукцией
  • Линейные электрические цепи
  • Нелинейные электрические цепи
  • Магнитные цепи и их расчёт
  • Цепи переменного тока

Для нахождения сопротивлений на
индуктивном и емкостном элементах
необходимо вычислить
круговую частоту:

ω = 2πf=2∙3.14∙100
= 628 c-1

Найдем комплексы полных сопротивлений
ветвей схемы:

Z1
= R1
+ j( XL1
– XC1
) = R1
+ j( ωL


) = 31 + j(
628·64·10-3


) =

= 31 + j29,919
= 43,083∙e
= 43,083∙e
Ом

Z2
= R2
+ jXL2
= R2
+ j(ωL2)
= 40 + j(628·64·10)
= 40 + j40,192 =

= 56,704∙e
= 56,704∙e
Ом

Пусть,
ψu
= 0°.

Тогда,
I1
=
=== 4,642·e=
4,642·(cos(-43,983°)
+

+ j∙sin(-43,983°))
= 4,642·(0,72 – j∙0,694) = 3,342 – j∙3,222 А

I2
=
=== 3,527∙e= 3,527∙(cos(-45,137°)
+ j∙sin(-45,137°))
= 3,527∙(0,705 – j∙0,709) = 2,487 – j∙2,501 А

По первому закону Кирхгофа:

I = I1
+ I2
= 3,342 – j∙3,222
+ 2,487 – j∙2,501
= 5,829 – j∙5,723
= 8,169∙e
= 8,169∙eА

2.2. Определение показаний приборов

а) Показания амперметров
(показывают только действующее
значение тока):

pA1
= I1
= 4,642 А

pA2
= I2
= 3,527 А

pA3
= I = 8,169 А

б) Показание фазометра.

Фазометр показывает разность фаз между
током и напряжением:

pφ =φ = ψu
– ψi =
0°
(-44,474°) = 44,474°

в) Показание ваттметра.

Так как ваттметр показывает только
активную мощность, то для приведенной
схемы включения ваттметра:

pW = Re[S] = Re[UI*]
= 200∙5,829 = 1165,8 Вт.

г) Показание вольтметра:

Определяем
по второму закону Кирхгофа

(рис.15.):

UV
+ UR1
UL2
= 0

UV
= I2jωL2
I1R1
= (2,487 – j∙2,501)∙j∙628∙64∙10-3

– (3,342 – j∙3,222)∙31
= j∙99,9575 + 100,52 -103,602 +

+ j∙99,882
=-3,082 + j∙199,8395
= 199,86∙e
В

pV = UV
= 199,86 В.

Рис.15.

2.3. Составление баланса активных, реактивных и полных мощностей

Запишем уравнение баланса
для полноймощности:

,
где– сопряженный комплексный ток.

Sист
= 200∙(5,829 + j∙5,723)
= 1165,8 + j∙1144,6
ВА, где

Pист
= Re[Sист]
= 1165,8 Вт

Qист
= Im[Sист]
= 1144,6 ВАр

Sпр
= ∑Pпр
+ ∑jQпр

Sпр
= I12Z1
+ I22Z2
= (4,642)2∙(31
+ j29,919)
+(3,527)2∙(40
+ j40,192) =
667,993 + + j∙644,7
+ 497,589 + j∙499,978
= 1165,582 + j∙1144,678
ВА

Pпр
= Re[Sпр]
= 1165,582 Вт

Qпр
= Im[Sпр]
= 1144,678 ВАр

Так
какPист
= Pпр
и Qист
= Qпр
Баланс мощностей соблюдается

токи найдены верно.

2.4. Повысить коэффициент мощности до 0,98 включением необходимого реактивного элемента х

Т.к. показание фазометра φ=44,4740>0 ,следовательно,цепь носит активно- индуктивный характер
и для того,что бы повысить
коэффициент мощности до 0,98 включаемпараллельно емкостной
элемент.

Рис.16.

По первому закону Кирхгофа:

I1вх
= I2вх
+ Iс
, где I1 вх
токдокомпенсации,I2 вх– токпослекомпенсации.

Iр
= Iа∙tgφ

φ1=44,474°

φ2 =
arccos(0,98) = 11,478°

Iс
= I1вх
I2вх
= Iа∙(tgφ1
– tgφ2)
=
, Iа
=

C =
==
36,141мкФ

Рис.17.

2.5.
Постро
ение
векторны
х диаграмм
токов и напряжений в одной системе
координат

Определим напряжения на катушках,
резисторахи конденсаторе:

UL1
= I1∙j∙XL1
= (3,342 – j∙3,222)∙j∙40,192
=129.499 + j∙134,322
= 186,58∙eВ

UL2
= I2∙j∙XL2
= (2,487 – j∙2,501)
∙j∙40,192 =
100,52 + j∙99,958
= 141,76∙eВ

UR1
= I1∙R1
= 4,642·e∙31
= 143,902·eВ

UR2
= I2∙R2
= 3,527∙e∙40
= 141,08∙eВ

UC1
= – I1∙j∙XC1
= -(3,342 – j∙3,222)∙j∙10,273 = -33,0996 -j∙34,332 =
47,689∙eВ.

Масштаб:

MI:
0,05 A : 1мм

MU:
2В : 1мм

Рис.18.

ЧАСТЬ 3

РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНОЙ ЦЕПИ

Задание:

1.Составить схему включения
приемников.

2.Определить комплексы
действующих значений фазных и линейных
токов.

3.Составить схему включения
ваттметров для измерения активной
мощности каждого трехфазного приемника.

4.Рассчитать активную,
реактивную и полную мощность каждого
приемника.

5.Построить векторные
диаграммы токов и напряжений для каждого
приемника.

Рис.19.

Схема
соединения приёмников: звезда с нулевым
проводом

Дано:

Нагрузка:
несимметричная

U=380
В

Ra=101
Ом

Rb=65
Ом

Rс=73
Ом

La=0

Lb=0

Lc=97
мГн

Ca=87
мкФ

Cb=93
мкФ

Cc=0

Схема
соединения приёмников: треугольник

Дано:

Нагрузка:
симметричная

U=380
В

R=108
Ом

L
= 76 мГн

f=50
Гц

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #

    05.12.2018828.93 Кб2TM.doc

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

Трехфазные цепи являются разновидностью цепей синусоидального тока, и, следовательно,
все рассмотренные ранее методы расчета и анализа в символической форме в полной
мере распространяются на них. Анализ трехфазных систем удобно осуществлять с
использованием векторных диаграмм, позволяющих достаточно просто определять
фазовые сдвиги между переменными. Однако определенная специфика многофазных
цепей вносит характерные особенности в их расчет, что, в первую очередь, касается
анализа их работы в симметричных режимах.

Расчет симметричных режимов работы трехфазных систем

Многофазный приемник и вообще многофазная цепь называются симметричными,
если в них комплексные сопротивления соответствующих фаз одинаковы, т.е.
если . В противном случае они являются
несимметричными. Равенство модулей указанных сопротивлений не является
достаточным условием симметрии цепи. Так, например трехфазный приемник на рис.
1,а является симметричным, а на рис. 1,б – нет даже при условии: .

Если к симметричной трехфазной цепи приложена симметричная трехфазная система
напряжений генератора, то в ней будет иметь место симметричная система токов.
Такой режим работы трехфазной цепи называется симметричным. В этом режиме
токи и напряжения соответствующих фаз равны по модулю и сдвинуты по фазе друг
по отношению к другу на угол . Вследствие указанного расчет
таких цепей проводится для одной – базовой – фазы, в качестве которой
обычно принимают фазу А. При этом соответствующие величины в других фазах получают
формальным добавлением к аргументу переменной фазы А фазового сдвига при сохранении неизменным ее модуля.

Так для симметричного режима работы цепи на рис. 2,а при известных линейном
напряжении и сопротивлениях фаз можно записать

,

где
определяется характером нагрузки .

Тогда на основании вышесказанного

;

.

Комплексы линейных токов можно найти с использованием векторной диаграммы на
рис. 2,б, из которой вытекает:

При анализе сложных схем, работающих в симметричном режиме, расчет осуществляется
с помощью двух основных приемов:

Все треугольники заменяются эквивалентными звездами. Поскольку треугольники
симметричны, то в соответствии с формулами преобразования «треугольник-звезда»
.

Так как все исходные и вновь полученные звезды нагрузки симметричны, то потенциалы
их нейтральных точек одинаковы. Следовательно, без изменения режима работы цепи
их можно (мысленно) соединить нейтральным проводом. После этого из схемы выделяется
базовая фаза (обычно фаза А), для которой и осуществляется расчет, по результатам
которого определяются соответствующие величины в других фазах.

Пусть, например, при заданном фазном напряжении необходимо определить линейные
токи и в схеме на рис. 3, все сопротивления
в которой известны.

В соответствии с указанной методикой выделим расчетную фазу А, которая представлена
на рис. 4. Здесь , .

Тогда для тока можно записать

,

и соответственно .

Расчет несимметричных режимов работы трехфазных систем

Если хотя бы одно из условий симметрии не выполняется, в трехфазной цепи имеет
место несимметричный режим работы. Такие режимы при наличии в цепи только статической
нагрузки и пренебрежении падением напряжения в генераторе рассчитываются для
всей цепи в целом любым из рассмотренных ранее методов расчета. При этом фазные
напряжения генератора заменяются соответствующими источниками ЭДС. Можно отметить,
что, поскольку в многофазных цепях, помимо токов, обычно представляют интерес
также потенциалы узлов, чаще других для расчета сложных схем применяется метод
узловых потенциалов. Для анализа несимметричных режимов работы трехфазных цепей
с электрическими машинами в основном применяется метод симметричных составляющих,
который будет рассмотрен далее.

При заданных линейных напряжениях наиболее просто рассчитываются трехфазные
цепи при соединении в треугольник. Пусть в схеме на рис. 2,а . Тогда при известных комплексах
линейных напряжений в соответствии с законом Ома

; ; .

По найденным фазным токам приемника на основании первого закона Кирхгофа определяются
линейные токи:

.

Обычно на практике известны не комплексы линейных напряжений, а их модули.
В этом случае необходимо предварительное определение начальных фаз этих напряжений,
что можно осуществить, например, графически. Для этого, приняв , по заданным модулям напряжений,
строим треугольник (см. рис.5), из которого (путем замера) определяем значения
углов a и b.

Тогда

Искомые углы a и b могут быть также найдены аналитически
на основании теоремы косинусов:

При соединении фаз генератора и нагрузки в звезду и наличии нейтрального провода
с нулевым сопротивлением фазные напряжения нагрузки равны соответствующим напряжениям
на фазах источника. В этом случае фазные токи легко определяются по закону Ома,
т.е. путем деления известных напряжений на фазах потребителя на соответствующие
сопротивления. Однако, если сопротивление нейтрального провода велико или он
отсутствует, требуется более сложный расчет.

Рассмотрим трехфазную цепь на рис. 6,а. При симметричном питании и несимметричной
нагрузке ей в общем случае будет соответствовать
векторная диаграмма напряжений (см. рис. 6,б), на которой нейтральные точки
источника и приемника занимают разные положения, т.е. .

Разность потенциалов нейтральных точек генератора и нагрузки называется напряжением
смещения нейтральной точки
(обычно принимается, что ) или просто напряжением смещения
нейтрали.
Чем оно больше, тем сильнее несимметрия фазных напряжений на нагрузке,
что наглядно иллюстрирует векторная диаграмма на рис. 6,б.

Для расчета токов в цепи на рис. 6,а необходимо знать напряжение смещения нейтрали.
Если оно известно, то напряжения на фазах нагрузки равны:

.

Тогда для искомых токов можно записать:

.

Соотношение для напряжения смещения нейтрали, записанное на основании метода
узловых потенциалов, имеет вид

. (1)

При наличии нейтрального провода с нулевым сопротивлением , и из (1) . В случае отсутствия нейтрального
провода . При симметричной нагрузке с учетом того, что , из (1) вытекает .

В качестве примера анализа несимметричного
режима работы цепи с использованием соотношения (1) определим, какая из ламп
в схеме на рис. 7 с прямым чередованием фаз источника будет гореть ярче, если
.

Запишем выражения комплексных сопротивлений фаз нагрузки:

Тогда для напряжения смещения нейтрали будем иметь

Напряжения на фазах нагрузки (здесь и далее индекс N у фазных напряжений источника
опускается)

Таким образом, наиболее ярко будет гореть лампочка в фазе С.

В заключение отметим, что если при соединении в звезду задаются линейные напряжения
(что обычно имеет место на практике), то с учетом того, что сумма последних
равна нулю, их можно однозначно задать с помощью двух источников ЭДС, например,
и . Тогда, поскольку при этом , соотношение (1) трансформируется
в формулу

. (2)

Литература

  1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил,
    С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические
    цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных
    специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и задачи

  1. Какой многофазный приемник является симметричным?
  2. Какой режим работы трехфазной цепи называется симметричным?
  3. В чем заключается специфика расчета симметричных режимов работы трехфазных
    цепей?
  4. С помощью каких приемов трехфазная симметричная схема сводится к расчетной
    однофазной?
  5. Что такое напряжение смещения нейтрали, как оно определяется?
  6. Как можно определить комплексы линейных напряжений, если заданы их модули?
  7. Что обеспечивает нейтральный провод с нулевым сопротивлением?
  8. В цепи на рис. 6,а ; ; ; . Линейное напряжение равно 380
    В.
  9. Определить ток в нейтральном проводе.

    Ответ: .

  10. В схеме предыдущей задачи ; . Остальные параметры те же.
  11. Определить ток в нейтральном проводе.

    Ответ: .

  12. В задаче 8 нейтральный провод оборван.
  13. Определить фазные напряжения на нагрузке.

    Ответ: ; ; .

  14. В задаче 9 нейтральный провод оборван.
  15. Определить фазные напряжения на нагрузке.

    Ответ: ; ; .

Значение напряжения(комплексное выражение или через пробел амплитуда и фаза)
Значение тока(комплексное выражение или через пробел амплитуда и фаза)
Значение сопротивления(комплексное выражение или через пробел амплитуда и фаза)
Мгновенное значение напряжения
Действующее значение напряжение
Комплексное значение напряжения
Мгновенное значение тока
Действующее значение тока
Комплексное значение тока
Комплексное значение сопротивления
Комплексное значение проводимости
Угол сдвига фаз между напряжением и тока
Активная составляющая напряжения
Реактивная составляющая напряжения
Активная составляющая тока
Реактивная составляющая тока

В помощь тем, кто начал изучать электротехнику и иногда путается в расчетах комплексных токов и напряжений, и создан этот калькулятор.

Напомним, что мгновенное значения переменного тока может быть выражено в виде гармонического колебания

где — какой либо момент времени

— угловая частота

— начальная фаза

Таким же способом можно представить и мгновенное значения напряжения

Если мы попытаемся оценить какой же среднее значение тока будет за какой то определенный период, мы столкнемся с определенными трудностями.

Так как мгновенный ток за период может принимать как положительные так и отрицательные значения, то сложив их, мы получим что среднее значения тока равно нулю. Но такого быть не может…

Ток прошедший за этот период, сделал же какую то работу, он же не мог исчезнуть без ничего, не оставив следов.

Какую же работу может сделать ток прошедший через проводник? Самый простой и ощущаемый процесс это нагревание проводника. А по закону Джоуля-Ленца, который определяет сколько же электрической энергии уходит в тепловую, есть связь между нагревом(выделением теплоты) и проходящим через проводник значением тока.

Таким образом экспериментально, а потом уже и теоретически определили, что между амплитудой тока и «средним» значением ( правильно его назвать действующим ) есть простое соотношение.

Именно действующее значении тока, выполняет работу и участвует в вычислениях мощности. Именно это значение показывает вольтметр когда мы измеряем напряжение переменного тока.

Такие же рассуждения насчет напряжения приводят нас к подобной формуле.

Мы также гармоническое колебание можем представить в комплексном виде ( показательной форме )

Это не наша прихоть. Это лишь желание упростить вычисления которые встречаются в электротехнике.

Например при сложении двух периодически изменяющихся значений тока, лучше использовать векторное сложение. А что такое векторное сложение, как не работа с комплексными числами? И так во всем в электротехнике.

Поэтому мы можем значение действительного тока выразить вот так

Тогда, зная комплексные значения тока или напряжения в виде ,мы можем узнать модуль действительной величины тока , а также начальную фазу

Комплекс действующего значения

Изображение синусоидальных токов и напряжений с помощью векторов на комплексной плоскости. Комплексная амплитуда.

Комплекс действующего значения

В отличие от математики, мнимая единица обозначается буквой , т.к. обозначает мгновенное значение тока.

Длина комплексного вектора равна амплитудному или действующему значению. В первом случае её называют комплексной амплитудой

, во втором –
комплексом действующего значения
. Угол поворота соответствует фазе .

Как известно из математики, комплексные числа имеют две основные формы записи: алгебраическая и показательная (экспоненциальная). Есть ещё тригонометрическая форма, но она является как бы переходом от показательной к алгебраической, поэтому ей не уделяют внимание.

– это комплексная амплитуда в показательной форме записи.

Это не простое комплексное число, это временная функция, поэтому, для того, чтобы отличить её от простых комплексных чисел, которые обозначают подчёркиванием, комплексную амплитуду обозначают точкой вверху.

Чтобы получить комплекс действующего значения, нужно комплексную амплитуду поделить на :

Это тоже комплексная функция времени, поэтому обозначается точкой вверху.

Аналогично токам вводятся комплексные амплитуды и комплексы действующих значений напряжений.

Для того чтобы перейти от комплексов к мгновенным значениям, нужно взять проекции комплексной амплитуды на мнимую ось:

Вектор комплексной амплитуды, также как вектор комплекса действующего значения, вращается на комплексной плоскости с угловой частотой (циклической частотой) . Работать с такими векторами невозможно. Чтобы остановить этот вектор, берут время = 0: ; тогда

Переход от показательной формы к алгебраической осуществляется через тригонометрическую форму. Необходимо взять проекции комплексного вектора на действующую ось – , и на мнимую ось .

(формула Эйлера)

Для перехода от алгебраической формы к экспоненциальной используется следующая формула:

Внимание!!! Эта формула работает, если вектор находится в I или IV четверти комплексной плоскости, т.е. когда , если (вектор находится во II или III четверти), тогда нужно пользоваться другой формулой:

т.е. умножение комплексного вектора на эквивалентно его повороту на комплексной плоскости на раз, а умножение на –

эквивалентно повороту на раз.

Итак,

Выводы:

Синусоидальным периодическим функциям токов и напряжений можно поставить в соответствие временные функции на комплексной плоскости, которые называются изображениями и несут всю информацию о реальных функциях (токов и напряжений), об их амплитудах и фазах, поэтому для комплексных функций выполняются законы Кирхгофа. Сложение, вычитание, деление, умножение, дифференцирование и интегрирование реальных функций можно заменить на те же операции с комплексными изображениями.

| следующая лекция ==>
треугольники напряжений, сопротивлений, мощностей | Комплексные напряжения (на сопротивлениях, индуктивностях и ёмкостях). Комплексные сопротивления. Законы Ома в комплексной форме

Дата добавления: 2016-05-28; просмотров: 6512; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Узнать еще:

Приложение комплексных чисел в электротехнике

Первое упоминание о «мнимых» числах как о квадратных корнях из отрицательных чисел относится еще к XVI веку. Итальянский ученый Джироламо Кардано (1501-1576) в 1545 году опубликовал работу, в которой, пытаясь решить уравнение

Однако еще три столетия математики привыкали к этим новым «мнимым» числам, время от времени пытаясь от них избавиться. Только с XIX века, после выхода в свет работ Карла Фридриха Гаусса (1777-1855), посвященных доказательству основной теоремы алгебры, комплексные числа прижились в науке.

Комплексные числа – один из наиболее подходящих разделов курса математического анализа для реализации профессиональной направленности бакалавров по направлению подготовки Информатика и вычислительная техника. При изучении комплексных чисел необходимо учитывать применение математических знаний в общетехнических и специальных дисциплинах, в частности электротехнике. Применение комплексных чисел дает возможность использовать законы, формулы и методы расчетов, применяющиеся в цепях постоянного тока, для расчета цепей переменного тока, упростить некоторые расчеты, заменив графическое решение с использованием векторов алгебраическим решением, рассчитывать сложные цепи, которые другим путем решить нельзя, упростить расчеты цепей постоянного и переменного токов.

При расчетах цепей приходится проводить математические операции с комплексными числами, поэтому студенты должны уметь выполнять следующие операции: 1) находить модуль и аргумент комплексного числа и комплексное число по модулю и аргументу; 2) переводить комплексное число из одной формы в другую; 3) производить сложение и вычитание, умножение и деление комплексных чисел.

Помимо этого, очень важно научить строить кривую и вектор по уравнению синусоиды, вектор по комплексному числу, определять комплексное число по вектору и уравнению, уравнение по комплексному числу.

В электротехнике тема «Переменный ток» занимает значительное место. Это объясняется тем, что большинство электротехнических установок работает на переменном токе, который изменяется синусоидально.

Уравнение переменного напряжения имеет вид

– угловая частота
;t
– время
;

Аналогичный вид имеют уравнения и других синусоидально изменяющихся величин: тока

При расчете цепей переменного тока приходится использовать синусоидально изменяющиеся величины, т.е. производить сложение, вычитание, умножение и деление уравнений указанного выше типа.

Сложение синусоидальных величин трудоемко, особенно если приходится складывать большое число уравнений. Синусоидальная величина однозначно представлена вращающимся вектором, длина которого равна амплитуде, а начальное положение определяется углом , вращение вектора происходит с угловой скоростью w

. Операции производятся с уравнениями, имеющими одинаковую угловую частоту, то есть все векторы, заменяющие уравнения, вращаются с одинаковой угловой скоростью. Следовательно, их взаимное расположение не меняется, отпадает необходимость вращения векторов. Так как векторы заменяют синусоидальные величины, то сложение или вычитание, возможно, заменить сложением или вычитанием векторов.

Переменная синусоидальная величина обладает свойствами:

1. Переменная синусоидальная величина может быть однозначно представлена вектором. Длина вектора равна амплитуде; угол наклона равен начальному фазовому углу.

2. Сложение (и вычитание) синусоидальных величин можно заменить сложением (и вычитанием) векторов.

Кроме сложения и вычитания синусоидальные величины приходится умножать и делить. И здесь на помощь приходят комплексные числа.

Комплексное число может быть изображено на плоскости вектором, длина которого равна модулю комплексного числа, а угол наклона – аргументу. В электротехнике в отличие от математики мнимая единица обозначается буквой j

. Если имеется комплексное число
A=a+jb,
то его можно представить вектором, где

Комплексное число имеет три формы: алгебраическую – A=a+jb;

тригонометрическую –

Комплексное число однозначно представлено вектором, а определенному вектору соответствует определенное комплексное число.

Таким образом, если переменная синусоидальная величина может быть представлена вектором, а определенному вектору соответствует определенное комплексное число, то переменная синусоидальная величина может быть представлена комплексным числом.

Такие величины как: напряжение и ток, сопротивление и проводимость, мощность выражаются комплексными числами.

Напряжение и ток.

Имеется уравнение

Синусоидальная величина, выраженная комплексным числом, называется комплексом

и обозначается прописной буквой с точкой наверху

.
Таким образом, в комплексе напряжения модуль равен действующему значению, аргумент – начальному фазовому углу, активная составляющая – вещественной части комплекса напряжения, реактивная – мнимой части.

Аналогично для тока:

Пример.

Дано: ток в комплексной форме

Решение.

Для того чтобы написать уравнение, надо знать амплитуду и начальный фазовый угол. Поэтому надо найти модуль – действующее значение и аргумент – начальный фазовый угол заданного комплекса тока:

Сопротивление и проводимость.

Имеется цепь (рис. 1):
r
– активное сопротивление (лампа накаливания);

Рис.1 Рис.2

Сопротивления r, ,
z
образуют прямоугольный треугольник сопротивления (рис. 2). Угол

Сопротивление в комплексной форме обозначается буквой Z

. Для цепи на рис.2 комплекс сопротивления записывается:

Модуль

Мощность.

Комплекс мощности получится, если комплекс напряжения умножить на сопряженный комплекс тока:

После умножения получим комплексное число, у которого вещественная часть равна активной мощности, а мнимая часть – реактивной мощности:

Пример.

Решение.

Переведем комплексы напряжения и тока в показательную форму, для этого найдем модуль и аргумент тока и напряжения:

Определим сопряженный комплекс тока:

Найдем активную и реактивную мощности: P=975Вт, Q=171 вар.

Алгебраическая форма комплексного числа удобна при сложении и вычитании, показательная – при умножении и делении; тригонометрическая служит для перевода показательной формы в алгебраическую.

На занятиях преподаватели могут использовать примеры, не вдаваясь углубленно в электротехнику, задания рассматривая их только с математической точки зрения. В качестве дополнительного материала, самостоятельной работы можно предложить задания типа:

  1. Дано: а)

Найти модуль и аргумент комплексного числа.

  1. Дано: а)

Написать комплексные числа в показательной и алгебраической формах.

  1. Дано: а)

Перевести алгебраическую форму комплексного числа в показательную и наоборот.

  1. Выполнить сложение, умножение, деление комплексных чисел.

Дано: а)

Данная статья поможет преподавателям математики разобраться в вопросе о приложении комплексных чисел в электротехнических расчетах.

Литература:

  1. Теоретические основы электротехники: Теория электрических цепей и электромагнитного поля: учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений / под ред. С.А. Башарина, В.В. Федорова. – М.: Издательский , 2004. – 304 с.

Добавить комментарий