Статья разбирает понятие деления целых чисел с остатком. Докажем теорему о делимости целых чисел с остатком и просмотрим связи между делимыми и делителями, неполными частными и остатками. Рассмотрим правила, когда производится деление целых чисел с остатками, рассмотрев подробно на примерах. В конце решения выполним проверку.
Общее представление о делении целых чисел с остатками
Деление целых чисел с остатком рассматривается как обобщенное деление с остатком натуральных чисел. Это выполняется потому, что натуральные числа – это составная часть целых.
Деление с остатком произвольного числа говорит о том, что целое число a делится на число b, отличное от нуля. Если b=0, тогда не производят деление с остатком.
Также как и деление натуральных чисел с остатком, производится деление целых чисел a и b, при b отличном от нуля, на c и d. В этом случае a и b называют делимым и делителем, а d – остатком деления, с – целое число или неполное частное.
Если считать, что остаток – это целое неотрицательное число, тогда его величина не больше модуля числа b. Запишем таким образом: 0≤d≤b. Данная цепочка неравенств используется при сравнении 3 и более количества чисел.
Если с – неполное частное, тогда d – остаток от деления целого числа a на b, кратко можно зафиксировать: a:b=c (ост. d).
Остаток при делении чисел a на b возможен нулевой, тогда говорят, что a делится на b нацело, то есть без остатка. Деление без остатка считается частным случаем деления.
Если делим ноль на некоторое число, получаем в результате ноль. Остаток деления также будет равен нулю. Это можно проследить из теории о делении нуля на целое число.
Теперь рассмотрим смысл деления целых чисел с остатком.
Известно, что целые положительные числа – натуральные, тогда при делении с остатком получится такой же смысл, как и при делении натуральных чисел с остатком.
При делении целого отрицательного числа а на целое положительное b имеется смысл. Рассмотрим на примере. Представив ситуацию, когда имеем долг предметов в количестве a, которое необходимо погасить b человек. Для этого необходимо каждому внести одинаковый вклад. Чтобы определить величину долга для каждого, необходимо обратить внимание на величину частного с. Остаток d говорит о том, что известно количество предметов после расплаты с долгами.
Рассмотрим на примере с яблоками. Если 2 человека должны 7 яблок. В случае, если посчитать, что каждый должен вернуть по 4 яблока, после полного расчета у них останется 1 яблоко. Запишем в виде равенства это: (−7):2=−4 (ост. 1).
Деление любого числа а на целое не имеет смысла, но возможно как вариант.
Теорема о делимости целых чисел с остатком
Мы выявили, что а – это делимое, тогда b – это делитель, с – неполное частное, а d – остаток. Они между собой связаны. Эту связь покажем при помощи равенства a=b·c+d. Связь между ними характеризуется теоремой делимости с остатком.
Любое целое число может быть представлено только через целое и отличное от нуля число b таким образом: a=b·q+r, где q и r – это некоторые целые числа. Тут имеем 0≤r≤b.
Докажем возможность существования a=b·q+r.
Если существуют два числа a и b, причем a делится на b без остатка, тогда из определения следует, что имеется число q, что будет верно равенство a=b·q. Тогда равенство можно считать верным: a=b·q+r при r=0.
Если посчитать, что b – целое положительное число, тогда, следует выбрать целое q так, чтобы произведение b·q не было больше значения числа а, а произведение b·(q+1) было больше, чем a.
Тогда необходимо взять q такое, чтобы данное неравенством b·q<a<b·(q+1) было верным. Необходимо вычесть b·q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0<a−b·q<b.
Имеем, что значение выражения a−b·q больше нуля и не больше значения числа b, отсюда следует, что r=a−b·q. Получим, что число а можем представить в виде a=b·q+r.
Теперь необходимо рассмотреть возможность представления a=b·q+r для отрицательных значений b.
Модуль числа получается положительным, тогда получим a=b·q1+r, где значение q1 – некоторое целое число, r – целое число, которое подходит условию 0≤r<b. Принимаем q=−q1, получим, что a=b·q+r для отрицательных b.
Доказательство единственности
Допустим, что a=b·q+r, q и r являются целыми числами с верным условием 0≤r<b, имеется еще одна форма записи в виде a=b·q1+r1, где q1 и r1 являются некоторыми числами, где q1≠q , 0≤r1<b.
Когда из левой и правых частей вычитается неравенство, тогда получаем 0=b·(q−q1)+r−r1, которое равносильно r-r1=b·q1-q. Так как используется модуль, получим равенство r-r1=b·q1-q.
Заданное условие говорит о том, что 0≤r<b и 0≤r1<b запишется в виде r-r1<b. Имеем, что q и q1 – целые, причем q≠q1, тогда q1-q≥1. Отсюда имеем, что b·q1-q≥b. Полученные неравенства r-r1<b и b·q1-q≥b указывают на то, что такое равенство в виде r-r1=b·q1-q невозможно в данном случае.
Отсюда следует, что по-другому число a быть представлено не может, кроме как такой записью a=b·q+r.
Связь между делимым, делителем, неполным частным и остатком
При помощи равенства a=b·c+d можно находить неизвестное делимое a, когда известен делитель b с неполным частным c и остатком d.
Определить делимое, если при деление получим -21, неполное частное 5 и остаток 12.
Решение
Необходимо вычислить делимое a при известном делителе b=−21, неполным частным с=5 и остатком d=12. Нужно обратиться к равенству a=b·c+d, отсюда получим a=(−21)·5+12. При соблюдении порядка выполнения действий умножим -21 на 5, после этого получаем (−21)·5+12=−105+12=−93.
Ответ: -93.
Связь между делителем и неполным частным и остатком можно выразить при помощи равенств: b=(a−d):c, c=(a−d):b и d=a−b·c. С их помощью мы можем вычислить делитель, неполное частное и остаток. Это сводится к постоянному нахождению остатка от деления целого целых чисел a на b с известным делимым, делителем и неполным частным. Применяется формула d=a−b·c. Рассмотрим решение подробно.
Найти остаток от деления целого числа -19 на целое 3 при известном неполном частном равном -7.
Решение
Чтобы вычислить остаток от деления, применим формулу вида d=a−b·c. По условию имеются все данные a=−19, b=3, c=−7. Отсюда получим d=a−b·c=−19−3·(−7)=−19−(−21)=−19+21=2 (разность −19−(−21). Данный пример вычислен по правилу вычитания целого отрицательного числа.
Ответ: 2.
Деление с остатком целых положительных чисел, примеры
Все целые положительные числа являются натуральными. Отсюда следует, что деление выполняется по всем правилам деления с остатком натуральных чисел. Скорость выполнения деления с остатком натуральных чисел важна, так как на нем основано не только деление положительных, но и правила деления целых произвольных.
Самый удобный метод деления – это столбик, так как проще и быстрее получить неполное или просто частное с остатком. Рассмотрим решение более подробно.
Произвести деление 14671 на 54.
Решение
Данное деление необходимо выполнять столбиком:
То есть неполное частное получается равным 271, а остаток – 37.
Ответ: 14 671:54=271. (ост. 37)
Правило деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное, примеры
Чтобы выполнить деление с остатком положительного числа на целое отрицательное, необходимо сформулировать правило.
Неполное частное от деления целого положительного a на целое отрицательное b получаем число, которое противоположно неполному частному от деления модулей чисел a на b. Тогда остаток равен остатку при делении a на b.
Отсюда имеем, что неполное частное от деления целого полодительного числа на целое отрицательное число считают целым неположительным числом.
Получим алгоритм:
- найти модули делимого и делителя;
- делить модуль делимого на модуль делителя, тогда получим неполное частное и
- остаток;
- запишем число противоположное полученному.
Рассмотрим на примере алгоритма деления целого положительного числа на целое отрицательное.
Выполнить деление с остатком 17 на -5.
Решение
Применим алгоритм деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное. Необходимо разделить 17 на -5 по модулю. Отсюда получим, что неполное частное равно 3, а остаток равен 2.
Получим, что искомое число от деления 17 на -5 =-3 с остатком равным 2.
Ответ: 17:(−5)=−3 (ост. 2).
Необходимо разделить 45 на -15.
Решение
Необходимо разделить числа по модулю. Число 45 делим на 15, получим частное 3 без остатка. Значит, число 45 делится на 15 без остатка. В ответе получаем -3, так как деление производилось по модулю.
45:(-15)=45:-15=-45:15=-3
Ответ: 45:(−15)=−3.
Деление с остатком целого отрицательного числа на целое положительное, примеры
Формулировка правила деления с остатком выглядит следующим образом.
Для того, чтобы получить неполное частное с при делении целого отрицательного a на положительное b, нужно применить противоположное данному числу и вычесть из него 1, тогда остаток d будет вычисляться по формуле: d=a−b·c.
Исходя из правила можно сделать вывод, что при делении получим целое неотрицательное число. Для точности решения применяют алгоритм деления а на b с остатком:
- найти модули делимого и делителя;
- делить по модулю;
- записать противоположное данному число и вычесть 1;
- использовать формулу для остатка d=a−b·c.
Рассмотрим на примере решения, где применяется данный алгоритм.
Найти неполное частное и остаток от деления -17 на 5.
Решение
Делим заданные числа по модулю. Получаем, что при делении частное равно 3, а остаток 2. Так как получили 3, противоположное -3. Необходимо отнять 1.
−3−1=−4.
Искомое значение полчаем равное -4.
Чтобы вычислить остаток, необходимо a=−17, b=5, c=−4, тогда d=a−b·c=−17−5·(−4)=−17−(−20)=−17+20=3.
Значит, неполным частным от деления является число -4 с остатком равным 3.
Ответ: (−17):5=−4 (ост. 3).
Разделить целое отрицательное число -1404 на положительное 26.
Решение
Необходимо произвести деление столбиком и по мудулю.
Мы получили деление модулей чисел без остатка. Это значит, что деление выполняется без остатка, а искомое частное =-54.
Ответ: (−1 404):26=−54.
Правило деления с остатком целых отрицательных чисел, примеры
Необходимо сформулировать правило деления с остатком целых отрицательных чисел.
Для получения неполного частного с от деления целого отрицательного числа a на целое отрицательное b, необходимо произвести вычисления по модулю, после чего прибавить 1, тогда сможем произвести вычисления по формуле d=a−b·c.
Отсюда следует, что неполное частное от деления целых отрицательных чисел будет число положительное.
Сформулируем данное правило в виде алгоритма:
- найти модули делимого и делителя;
- разделить модуль делимого на модуль делителя с получением неполного частного с
- остатком;
- прибавление 1 к неполному частному;
- вычисление остатка, исходя из формулы d=a−b·c.
Данный алгоритм рассмотрим на примере.
Найти неполное частное и остаток при делении -17 на -5.
Решение
Для правильности решения применим алгоритм для деления с остатком. Для начала раздели числа по модулю. Отсюда получим, что неполное частное =3, а остаток равен 2. По правилу необходимо сложить неполное частное и 1. Получим, что 3+1=4. Отсюда получим, что неполное частное от деления заданных чисел равно 4.
Для вычисления остатка мы применим формулу. По условию имеем, что a=−17, b=−5, c=4, тогда, используя формулу, получим d=a−b·c=−17−(−5)·4=−17−(−20)=−17+20=3. Искомый ответ, то есть остаток, равен 3, а неполное частное равно 4.
Ответ: (−17):(−5)=4 (ост. 3).
Проверка результата деления целых чисел с остатком
После выполнение деления чисел с остатком необходимо выполнять проверку. Данная проверка подразумевает 2 этапа. Вначале идет проверка остатка d на неотрицательность, выполнение условия 0≤d<b. При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a=b·c+d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.
Рассмотрим на примерах.
Произведено деление -521 на -12. Частное равно 44, остаток 7. Выполнить проверку.
Решение
Так как остаток – это число положительное, то его величина является меньше, чем модуль делителя. Делитель равен -12, значит, его модуль равен 12. Можно переходить к следующему пункту проверки.
По условию имеем, что a=−521, b=−12, c=44, d=7. Отсюда вычислим b·c+d, где b·c+d=−12·44+7=−528+7=−521. Отсюда следует, что равенство верное. Проверка пройдена.
Выполнить проверку деления (−17):5=−3 (ост. −2). Верно ли равенство?
Решение
Смысл первого этапа заключается в том, что необходимо проверить деление целых чисел с остатком. Отсюда видно, что действие произведено неверно, так как дан остаток, равный -2. Остаток не является отрицательным числом.
Имеем, что второе условие выполненное, но недостаточное для данного случая.
Ответ: нет.
Число -19 разделили на -3. Неполное частное равно 7, а остаток 1. Проверить, верно ли выполнено данное вычисление.
Решение
Дан остаток, равный 1. Он положительный. По величине меньше модуля делителя, значит, первый этап выполняется. Перейдем ко второму этапу.
Вычислим значение выражения b·c+d. По условию имеем, что b=−3, c=7, d=1, значит, подставив числовые значения, получим b·c+d=−3·7+1=−21+1=−20. Следует, что a=b·c+d равенство не выполняется, так как в условии дано а=-19.
Отсюда следует вывод, что деление произведено с ошибкой.
Ответ: нет.
Подобно тому, как вычитание является обратным действием для сложения, так и для умножения существует свое обратное арифметическое действие.
Рассмотрим задачу. В школьной столовой раздали 90 яблок по 3 яблока каждому ученику класса. Сколько учеников учатся в этом классе?
Если бы нам было известно количество учеников в классе и количество яблок, которое получил каждый из них, то общее число яблок мы узнали бы, умножив число учеников на число яблок, доставшееся каждому. То есть, количество учеников – это первый сомножитель, количество яблок – второй сомножитель, а сколько яблок раздали – это произведение.
Таким образом, в нашей задаче даны произведение и множитель (один из сомножителей), а неизвестный второй сомножитель необходимо отыскать. То есть, нам нужно найти число, умножив которое на 3, мы получим 90. Это число 30, потому что (textcolor{red} {30 cdot 3 = 90})
Деление – это арифметическое действие, которое состоит в нахождении одного из
сомножителей при помощи данного произведения и второго сомножителя.
Делимое – это число, которое мы делим на другое. Это то самое произведение,
которое нам дано.
Делитель – это число, на которое мы делим делимое. Это данный нам один из
множителей.
Частное – это результат действия деление, то есть, искомый нами второй
сомножитель.
На записи действие деление обозначается: двоеточием ( (textcolor{red} {:}) ), знаком обелюс ( (textcolor{red} {div}) ), горизонтальной чертой или косой чертой ( (textcolor{red} {/}) ).
Так, решение нашей задачи
можно записать следующими способами:
- (textcolor{red} {90:3=30})
- (textcolor{red} {90div 3=30})
- (textcolor{red} {90/3=30})
- (textcolor{red} {Large frac{90}{3} normalsize =30})
При записи от руки действие деление принято записывать в виде двоеточия, обелюс применяется в печатной литературе, косая черта, которая по-другому называется слеш, – при записи на компьютере, а горизонтальная черта используется при записи деления в виде обыкновенной дроби.
Итак, разделить число a на число b – это значит найти такое число c, которое при умножении его на число b дает в результате числа a.
То есть: (textcolor{red} {adiv b=c}) , если (textcolor{red} {bcdot c=a}) .
И еще одно пояснение для понимания: разделить число a на число b означает разделить число a на b одинаковых частей, каждая из которых равна c. Иными словами, мы одно число a делим на равные части. Количество этих частей равно числу b. А величина каждой из этих частей – это результат действия деления, и эта величина равна c.
Например, нам нужно разделить 15 роз между пятью девочками так, чтобы каждая получила одинаковое количество цветов. Чтобы узнать, какое количество роз получит каждая девочка, нужно общее количество (15) цветов разделить на количество девочек (5), то есть, на 5 одинаковых частей. Нетрудно понять, что каждая из девочек получит 3 розы, потому что (textcolor{red} {5cdot 3=15}) .
Компоненты действия
деление:
Деление с остатком и неполное частное
Но не всегда можно одно число разделить на другое. Вернее сказать, что не всегда можно сделать это полностью. Например, 37 нельзя разделить на 5, потому что нет такого натурального числа, умножив которое на 5, мы получили бы 37. В этом случае говорят, что 37 не делится нацело на 5.
К примеру, если мы захотим раздать все 37 яблок поровну между пятью детьми, то у нас это сделать не получится. Мы сможем раздать (использовать из всего количества яблок) только по 7 яблок каждому ( (textcolor{red} {7cdot 5=35}) ), и у нас останется 2 яблока ( (textcolor{red} {37-35=2}) ).
В таком случае действие деление также состоит из делимого (в нашем случае 37) и делителя (5). Полученное число 7 называется неполное частное, потому что не все делимое число мы смогли разделить на необходимое число частей. А разница между полным делимым (37) и использованными из него единицами (35), то есть число 2, называется остаток.
Итак, деление с остатком – это нахождение
такого наибольшего целого числа, умножив которое на делитель, мы получим число,
максимально близкое к делимому, но не превосходящее его. Это искомое число
называется неполное частное. Разница
между делимым и неполным частным называется остаток.
Остаток всегда меньше делителя!
Отсюда следует общий вид действия деления натуральных чисел для случаев деления без остатка и с остатком.
Разделить целое число a (делимое) на целое число b (делитель) означает найти такие числа c и d, при которых справедливы следующие соотношения:
(textcolor{red} {a=bcdot c+d}) ;
(textcolor{red} {d<b}) .
Если (textcolor{red} {d=0}) , тогда говорят, что a делится на b без остатка.
Компоненты действия
деление с остатком:
Задачи, которые решаются при помощи
действия деления
В курсе математики
средней школы наиболее часто используется деление при решении таких задач,
когда нужно:
- Узнать, во сколько раз одно число меньше и больше другого? Этот вопрос может звучать по-другому: сколько раз меньшее число содержится (помещается) в большем? Или: сколько раз поместится в большем числе меньшее?
Например: сколько пятиграммовых стиков сахара находится в килограммовой упаковке? (1000 г : 5 г = 200 шт.). - Число разделить на заданное количество равных частей.
Например: сколько получится грамм сахара в каждом пакете, если пересыпать килограмм сахара в 5 одинаковых пакетов поровну? (1000 г : 5 шт. = 200 г). - Уменьшить число в заданное количество раз.
Например: для приготовления блюда на 5 человек использовали 1 кг сахара, а сколько сахара потребуется для приготовления этого же блюда для одного человека? (1000 г : 5 чел. = 200 г).
Связь деления с умножением, сложением и
вычитанием
Когда мы выполняем находим
произведение двух чисел, эти числа нам известны, а от нас требуется найти
результат действия умножение. При делении (без остатка) нам известно
произведение двух чисел, а найти нужно такое число, которое при умножении на
известное данное число дает это самое произведение.
Следовательно, действие
деление является обратным действию умножения.
Справедливо также и
обратное, что действие умножение обратно действию деления. Таким образом:
Умножение и деление – это
взаимно обратные действия.
Связь деления с
умножением, а также со сложением и вычитанием прекрасно видна, если
рассмотреть, как с помощью этих действий можно выполнить действие деление.
Рассмотрим их на примере: 345 разделить на 69.
Деление двух чисел при помощи сложения
Чтобы узнать при помощи сложения, сколько раз число 69 содержится в 345, нужно складывать последовательно 69 до тех пор, пока не получим нужного нам числа:
(textcolor{red} {69+69=138}) ; (textcolor{red} {138+69=207}); (textcolor{red} {207+69=276}); (textcolor{red} {276+69=345}).
Число 69 было слагаемым всего 5 раз, значит, (textcolor{red} {345div 69=5}) .
Деление двух чисел при помощи вычитания
Аналогично предыдущему способу, мы можем узнать, сколько раз в числе 345 содержится число 69, вычитанием. Для этого мы будем последовательно вычитать из 345 число 69 до тех пор, пока не получим нуль, и считать количество действий:
(textcolor{red} {345-69=276}); (textcolor{red} {276-69=207}); (textcolor{red} {207-69=138});
(textcolor{red} {138-69=69}); (textcolor{red} {69-69=0}).
То есть, 69 от 345 можно отнять 5 раз, поэтому (textcolor{red} {349div 69=5}).
Деление двух чисел при помощи умножения
При помощи умножения узнать ответ на наш вопрос можно перебирая множитель числа 69 до тех пор, пока не получим заданное нам 345:
(textcolor{red} {69cdot 2=138}); (textcolor{red} {69cdot 3=207}); (textcolor{red} {69cdot 4=276}); (textcolor{red} {69cdot 5=345}).
Искомое частное равно полученному множителю числа 69, то есть, 5.
Но эти три способа очень
громоздки, особенно если частное представляет собой очень большое число. Их
нужно знать только для того, чтобы понимать суть действия деления, суть тех
задач, которые решаются посредством него.
Общий принцип деления в столбик
Если частное от деления двух чисел является многозначным числом, нахождение его происходит путем деления в столбик. Еще его называют деление уголком.
Решим пример (textcolor{red} {295383div 34}).
Прежде всего, нужно узнать количество цифр в частном и первое неполное делимое; как их находить, я подробно расписал в этой статье. В нашем случае первое неполное делимое равно 295 тысяч, а в частном будет 4 цифры.
Далее записываем известные
компоненты деления следующим образом:
и начинаем вычисление:
1. Берем первое неполное делимое
и пытаемся его разделить на делитель.
Вот тут нам и пригодится способ нахождения однозначного частного. Воспользовавшись им, находим, что в 295 тысячах делитель 34 содержится целиком 8 тысяч раз.
Записываем в частное первую найденную цифру
разряда тысяч, а под неполным делимым пишем результат произведения неполного
частного и делителя. И сразу же находим остаток от этого действия, т.е.
вычитаем из неполного частного результат этого произведения.
В результате умножения первой найденной цифры частного на делитель у нас получилось (textcolor{red} {8cdot 37=272}). Записываем его под 295 и находим разницу: (textcolor{red} {295-272=23}). Значит, 23 тысячи у нас остаются неразделенными.
В качестве еще одного действия самопроверки нужно сравнить полученную разницу с делителем. Если она меньше делителя, то мы на правильном пути, если же разница равна или больше делителя, то мы или неправильно нашли цифру частного, или допустили ошибку при умножении на делитель либо при нахождении остатка.
2. Оставшиеся неразделенные 23 тысячи представляют собой 230 сотен. Прибавляем к ним те 3 сотни, которые содержатся в делимом (говорят: сносим пять) и получаем второе неполное делимое 233 сотни.
Находим результат деления второго неполного делимого на делитель. 233 сотни разделить на 34 будет 6 сотен. Значит, в разряде сотен частного будет цифра 6. Умножаем ее на делитель 34, получаем 204 и еще 29 сотен неразделенных.
3. 29 неразделенных сотен – это 290 десятков. Добавляем (сносим) к ним 8 десятков делимого, получаем третье неполное делимое 298 десятков.
При делении второго неполного делимого 298 десятков на делитель 34 получается 8 десятков, и еще 26 десятков неразделенных (как и в предыдущих действиях, я умножил 8 на 34 и результат отнял от 298). Поэтому, в частном, в разряде десятков записываем цифру 8.
4. И наконец, 26 десятков – это 260 простых единиц. Добавляем (сносим) к ним 3 единицы делимого и получаем четвертое неполное делимое 263 единицы.
Разделив 263 единицы на 34, получаем 7 полных единиц и 25 неразделенных. Записав в частном последнюю цифру разряда единиц, получаем окончательный ответ действия (textcolor{red} {295383div 34=8687}) и 25 в остатке.
Рассмотрим еще один пример. (textcolor{red} {25326div 63}).
Первое неполное делимое будет 253 сотни, количество цифр в частном – 3.
Делим 253 сотни на 63, получается 4 полных сотни и неразделенная 1 сотня в остатке.
1 сотня = 10 десятков, добавляем (сносим) 2 десятка из делимого, получаем второе неполное делимое 12 десятков.
Но 12 не делится нацело на 63 части, то есть, нет ни одного целого десятка в каждой части. Значит, мы в частном в разряде десятков должны записать 0, поскольку все 12 десятков оказались неразделенными. А к этим 12 десяткам (т.е. 120 сотням) добавить (снести) 6 единиц делимого.
Итак, запомните, что
каждое неполное делимое образует в частном одну цифру соответствующего разряда
и что даже если неполное делимое меньше делителя, то в частном все равно нужно
записать нулевой результат этого действия.
126 единиц делим на 63, получается 2 единицы без остатка. Теперь мы можем записать окончательный ответ деления (textcolor{red} {25326div 63=402}).
Итак, в общем виде алгоритм деления в столбик выглядит так:
1. Находим первое неполное делимое и количество цифр в частном.
2. Делим неполное делимое на делитель. Цифру, полученную в результате деления записываем ниже черты под делителем.
3. Умножаем полученную цифру на делитель, результат записываем под неполным делимым.
4. Ставим между ними знак минус и выполняем действие.
5. К полученной разнице сносим цифру следующего разряда (если она есть) и получаем второе неполное делимое.
6. Выполняем пункты 2-5 до тех пор, пока в делимом не останется ни одной неснесенной цифры.
7. Если неполное делимое невозможно разделить на делитель, то в частном ставится 0 и к этому неполному делимому сносится следующая цифра.
Деление на числа, заканчивающиеся нулями
Как и в случае с
умножением, деление чисел облегчается, если делитель заканчивается одним или
несколькими нулями. Рассмотрим два возможных случая:
- частный – когда делитель является единицей с нулями
- общий – когда делитель любое число, оканчивающееся нулями.
Рассмотрим первый случай.
Деление на единицу с любым количеством
нулей
Единица с любым количеством нулей – это не что иное как единица соответствующего разряда. Например, 10 – это 1 единица разряда десятков, 1000 – это одна единица разряда тысяч, 10000000 – 1 единица разряда десятков миллионов и т.д.
Следовательно, разделить число, к примеру, на 10, 1000, 10000000 и т.д. – это значит определить, сколько в нем содержится десятков, тысяч, десятков миллионов. А как узнать, сколько в каком-либо числе содержится единиц любого разряда я уже рассказывал в уроке разряды и классы. Для завершения действия деления нужно лишь записать в остаток число, которое получается из отбрасываемых нами цифр.
Например:
(textcolor{red} {75427916div 10=7542791}) (остаток 6);
(textcolor{red} {75427916div 1000=75427}) (остаток 916);
(textcolor{red} {75427916div 10000000=7}) (остаток 5427916).
Запишите:
Чтобы разделить какое-нибудь число на единицу с любым количеством нулей, нужно отсчитать в делимом справа столько цифр, сколько нулей содержится в делителе; тогда все цифры, находящиеся слева от разделения, составят частное, а те, что справа – будут остатком.
Деление на число, оканчивающееся нулями
Рассмотрим на примере (textcolor{red} {284556div 2800}).
Делитель здесь не что иное как 28 сотен. Логично предположить, что эти 28 сотен могут хотя бы один раз содержаться только в сотнях делимого. Значит, нам нужно определить, сколько в делимом всего единиц разряда сотен, и разделить их на 28 единиц разряда сотен делимого. А отброшенные цифры десятков и простых единиц добавятся к остатку.
В числе 284556 всего 2845 сотен да еще 56 единиц. Разделим 2845 сотен на 28 сотен, получим частное 101 и 17 сотен неразделенными. Прибавив к неразделенным 17 сотням 56 единиц из делимого, получим 1756. В этом числе делитель 2800 не помещается ни один раз, значит, 1756 – это остаток: (textcolor{red} {284556div 2800=101}) (остаток 1756).
Запишите:
Чтобы разделить какое-нибудь число на число, заканчивающееся нулями, нужно отбросить мысленно нули в делителе, в делимом тоже отбросить мысленно такое же количество цифр, как и нулей в делителе. Получившееся число в делимом разделить на получившееся число в делителе, а к остатку прибавить (снести) те цифры делимого, которые отбросили ранее.
Проверка деления
Так как делимое – это
делитель, умноженный на частное и плюс остаток, что следует из определения
деления, то результат выполнения деления можно проверить умножением.
Например:
После того, как мы умножили частное 241 на делитель 33, а к полученному произведению прибавили остаток 9, мы получили число 7962, что равно делимому. Значит, можно с большой уверенностью сказать, что действие деление выполнено верно.
Если в результате
действия деления не получилось остатка, то деление можно проверить и делением.
Действительно, если делимое – это произведение делителя и частного, то разделив
делимое на частное (один из сомножителей), мы должны получить второй
сомножитель, то есть, делитель.
Например:
Свойства деления
Свойства деления я
представлю двумя группами:
- действия с
единицей и нулем; - распределительные
свойства деления.
Давайте рассмотрим каждую
группу подробнее.
Действия деления с единицей и нулем
При делении числа на единицу получается то же самое число.
Действительно, разделить
число на единицу означает узнать, сколько единиц содержится в данном числе. А
количество единиц в числе – это не что иное, как само это число.
И ли вот, например, если 10 яблок нужно раздать одному человеку (10 поделить на 1), то ему все эти 10 яблок и достанутся, правда?
При деление одинаковых чисел (числа на равное число) в результате будет 1 (единица).
В самом деле, если все единицы какого-то числа разделить на количество частей, равное количеству единиц этого числа, то в каждая часть получит по 1 единице.
Например, если 20 яблок раздать 20 школьникам, то каждому достанется по 1 яблоку.
При делении нуля на любое число, отличное от нуля, в результате будет нуль.
Разделить нуль на число
означает найти такое число, умножив которое на данный делитель, мы получим в
результате нуль. А такое число только одно – это нуль.
На нуль делить нельзя, то есть, нуль не может выступать в роли делителя.
При делении каких угодно
чисел делителем может быть любое число, кроме нуля.
Рассмотрим два случая:
когда нулём является только делитель, и когда делимое и делитель оба нули.
Пусть делимое равно какому угодно числу, отличному от нуля, например, 12. Разделить число 12 на нуль – это значит найти такое число, которое при умножении на 0 дало бы в результате число 12. Но как известно, если любое число умножить на 0, то и получим тоже нуль. Следовательно, такого числа, какое нам нужно, не существует.
Допустим, что делимое и делитель оба являются нулями. В этом случае нам нужно отыскать такое число, которое при умножении на 0 дало бы в результате 0. А поскольку какое бы мы ни взяли число, при умножении его на 0, получим тоже нуль, то частным может выступать любое число из бесконечного множества чисел, следовательно, какого-то определенного результата от такого деления быть не может.
Распределительные свойства деления
Чтобы найти частное от деления суммы на число, нужно поделить каждое слагаемое на это число, и найти сумму полученных частных.
(textcolor{red} {(a+b+c)div d=adiv d+bdiv d+cdiv d}).
При этом подразумевается, что все действия деления получаются без остатка.
Например, чтобы найти результат деления суммы (textcolor{red} {24+16+48}) на 8, то есть, определить, какое количество восьмерок находится в сумме этих чисел, мы узнаем, сколько раз восьмерка содержится отдельно в каждом из чисел, а потом складываем полученные результаты.
Так, в 24 находится 3 восьмерки, в 16 – две, в 48 – шесть, итого (textcolor{red} {3+2+6=11}). А если мы сперва найдем значение всей суммы (textcolor{red} {24+16+48=88}), и поделим ее на 8, то ответ будет также (textcolor{red} {88div 8=11}).
Чтобы найти частное от деления разности на число, нужно поделить на это число отдельно сперва уменьшаемое, а потом вычитаемое, после чего найти разность первого частного и второго.
(textcolor{red} {(a-b)div c=adiv c-bdiv c})
При этом также предполагается, что при делениях уменьшаемого и вычитаемого на число не получается остатков.
Например: [textcolor{red} {(36-24)div 6=36div 6-24div 6=6-4=2}] Число 36 состоит из 6 шестерок, а 24 – из 4 шестерок, а забрав у 6 шестерок 4 шестерки, получим 2 шестерки. Такой же итог будет и если мы сперва у 36 отнимем 24 единицы (останется 12), а потом найдем, сколько в этой разнице содержится шестерок: (textcolor{red} {12div 6=2}).
Чтобы найти частное от деления произведения на число, нужно поделить на него только один из сомножителей, а результат умножить на неизмененные остальные.
(textcolor{red} {(acdot bcdot c)div d=adiv dcdot bcdot c=bdiv dcdot acdot c=cdiv dcdot acdot b}).
В самом деле, разделить, к примеру, (textcolor{red} {20cdot 25cdot 35}) на 5 означает уменьшить произведение в 5 раз. А так как если уменьшить один из сомножителей в определенное количество раз, то и произведение уменьшится в это же количество раз, тогда нам достаточно разделить любое из чисел 20, 25 или 35 на 5, чтобы получить ответ:
(textcolor{red} {(20cdot 25cdot 35)div 5=20div 5cdot 25cdot 35=3500}).
Чтобы найти частное от деления числа на произведение, нужно это число поделить на первый сомножитель, результат деления поделить на второй сомножитель, полученное частное – на третий и так далее.
(textcolor{red} {adiv (bcdot ccdot dcdot e)=adiv bdiv cdiv e}).
При этом предполагается, что при всех этих делениях не получается остатков.
Допустим, нужно поделить 30 на произведение (textcolor{red} {2cdot 3}). Мы знаем, что деление – это разложение числа на равные части. Значит, разделив 30 единиц на 2, мы находим, что в каждой из 2 равных частей содержится по 15 единиц. После этого мы эти 15 единиц делим на 3 равные части, и узнаем, что каждая из них содержит по 5 единиц.
На рисунке наглядно видно, что в итоге после применения этого правила, число 30 получилось разделенным на 6 равных частей.
Изменение частного при изменении
делимого и делителя
При рассмотрении
изменений частного в результате изменений делимого и делителя предполагается,
что действие деление происходит без остатка. В противном случае изменения могут
быть не такими, о которых идет речь ниже.
При увеличении делимого в определенное количество раз, частное увеличится в это же количество раз, а при уменьшении – уменьшится.
Если мы в примере (textcolor{red} {24div 4=6}) делимое увеличим, к примеру, в 3 раза, то мы можем переписать это выражение в виде (textcolor{red} {(24+24+24)div 4}). Используя свойство деления суммы на число, мы увидим, что теперь нам нужно сложить три слагаемых, каждое из которых равно начальному выражению: (textcolor{red} {24div 4+24div 4+24div4}). Отсюда очевидно, что результат будет больше начального в 3 раза.
Если мы в этом же примере (textcolor{red} {24div 6}) уменьшим делимое в 3 раза, то есть, разделим его на три равные части, то очевидно, что результат деления одной части на 6 будет в 3 раза меньше, чем результат деления трех таких же частей. Посмотрите сами. Начальное выражение (textcolor{red} {24div 6}) можно записать в виде: (textcolor{red} {(8+8+8)div 6=8div 6+8div 6+8div 6}), а уменьшенное в 3 раза делимое даст нам только одно из трех таких слагаемых: (textcolor{red} {8div 6}).
При увеличении делителя в определенное количество раз, частное уменьшится в это же количество раз, а при уменьшении – увеличится.
Действительно, изменение
делителя означает, что делимое необходимо разделить на большее или меньшее
количество равных частей. Соответственно, если нужно разделить на большее число
частей, то каждая часть будет меньше, чем изначально, а если делить на меньшее
число частей, то каждая часть будет крупнее.
В случае одновременного изменения делимого и делителя, частное может вести себя по-разному, или же вообще оставаться без изменений. Если нужно узнать, станет оно больше или меньше, нужно сперва посмотреть, как частное изменится после изменения делимого, а потом – как изменится после изменения делителя.
При увеличении или уменьшении делимого и делителя в одинаковое количество раз, частное не меняется.
Попробуйте самостоятельно
доказать справедливость этого утверждения. Пишите в комментариях, получилось
это, или нет.
На этом уроке продолжим разговор о делении натуральных чисел.
Вспомним название компонентов арифметической операции деления и установим, по каким правилам находится каждое из них.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Познакомимся с делением натуральных чисел с остатком, выясним алгоритм выполнения такой математической операции.
Определим компоненты арифметической операции деления с остатком.
Подробно рассмотрим взаимосвязь между компонентами деления с остатком и закрепим полученные знания, решая текстовые задачи по теме.
О математической операции деления вы уже имеете общее представление.
Уроком ранее выяснили, что деление- это арифметическая операция, с помощью которой по произведению и одному из множителей находят другой множитель.
Другими словами, деление- это математическая операция, противоположная умножению.
Разделить число а на число b– это значит найти такое число с, при умножении которого на число b, получается число а.
а ÷ b = с
а = с ∙ b
Рассмотрим данное утверждение на примере.
Умножение:
На детский праздник приготовили пирожные.
Всего на празднике присутствовало 6 детей, каждому ребенку досталось по 2 пирожных.
Определим сколько пирожных для детей приготовили на праздник.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Ответ: 12 пирожных.
Деление:
На детский праздник приготовили 12 пирожных.
Всего на празднике присутствовало 6 детей, каждого ребенка угостили одинаковым количеством пирожных.
Выясним сколько пирожных досталось каждому ребенку.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Ответ: каждому ребенку досталось по 2 пирожных.
Делимое- это число, которое делят.
Делитель- это число, на которое делят делимое.
Частное (от слова «часть»)- результат арифметической операции деления (число, которое получается в результате деления одного числа на другое).
Для записи деления используют математический знак в виде двух точек, как двоеточие «:».
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Знак деления располагается между делимым и делителем.
Делимое всегда находится слева от знака делить, а делитель- справа.
В общем виде операция деления выглядит так:
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Часто, решая различного рода задачи, приходится сталкиваться с ситуацией, когда один из компонентов операции деления неизвестен и его необходимо найти.
Определим, по каким правилам можно найти каждый компонент операции деления.
1. Так как частное- это результат, полученный при выполнении деления, то очевидно, что частное находят с помощью данной арифметической операции.
Зная делимое и делитель, можно найти частное.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Рассмотрим пример.
Дима купил 12 разноцветных воздушных шариков.
Каждому своему другу он подарил по 2 шарика.
Сколько друзей получили шарики?
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Решение:
12 шариков (общее количество шариков)- делимое.
2 шарика (число шариков, которое достанется каждому другу)- делитель.
Частное- число друзей (это число, которое показывает на сколько частей придется разделить все шарики)- ?
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Ответ: 6 друзей получили воздушные шарики.
2. Делимое- это общее количество чего-либо, число, которое делят на части.
Если неизвестно делимое число, то необходимо перемножить два известных компонента деления: делимое и частное.
Правило: чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель или делитель умножить на частное.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Рассмотрим пример.
Вова должен решить некоторое количество задач по математике за 3 дня.
Он собирался решать по 5 задач в день.
Сколько всего задач ему необходимо решить за три дня?
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Решение:
5 задач (число задач, которые необходимо решать каждый день)- делитель.
3 дня (число промежутков времени, за которое необходимо решить все задачи)- частное
Делимое (общее количество задач)- ?
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Ответ: 15 задач нужно решить Вове.
3. Делитель- это число, на которое делят делимое.
Если исходное делимое число разделить на равные части, то в итоге получится некоторое количество таких частей.
Правило: чтобы найти делитель, нужно делимое разделить на частное.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Рассмотрим пример.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Восемь кусочков пиццы разделили на четверых человек.
Каждому досталось одинаковое количество кусочков пиццы.
По сколько кусочков пиццы получил каждый?
Решение:
8 кусков пиццы (общее количество кусочков, которые необходимо разделить)- делимое.
4 человека (число человек, на которых делят пиццу)- частное.
Делитель (число кусочков пиццы, которые получит каждый)- ?
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Ответ: по 2 кусочка пиццы получит каждый человек.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Математическая операция деление связано с разделением чего-либо на части.
Делить натуральное число на равные части вы уже умеете, данная математическая операция не вызовет у вас большого затруднения.
Однако, не всегда удается разделить натуральное число на равные части.
Рассмотрим пример.
Разложим поровну на 4 тарелки 13 абрикосов.
Сначала в каждую тарелку положим по одному абрикосу, далее по второму, затем по третьему.
В результате у нас останется 1 абрикос, но тарелок 4.
Таким образом, в каждую тарелку удалось положить по 3 абрикоса и еще 1 остался.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Так мы разделили число 13 на равные части, и у нас остался остаток.
Продемонстрируем рассмотренный пример на координатном луче.
Изобразим координатный луч, направленный вправо, с началом отсчета в точке О и единичным отрезком 1 деление = 1 единица.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
На координатном луче отметим точку А(13)- эта точка показывает общее количество абрикосов, которые нужно поделить.
Отрезок ОА разобьем на 4 отрезка по 3 деления (так как абрикосы раскладывали на четыре тарелки по три абрикоса).
Заметим следующее: по три деления мы отложили четыре раза и одно деление еще осталось (это деление нам указывает на остаток абрикосов- 1 шт).
При делении с остатком результат деления записывают двумя числами: первое число называют неполным частным, так как число делится не полностью, второе число называют остатком.
Запись деления с остатком соответствует следующей схеме:
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Неполное частное- это наибольшее число, которое может быть получено при умножении его на делитель, и не превосходящее делимое.
В буквенном виде деление с остатком можно записать так:
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Для разобранного выше примера про абрикосы получаем следующее:
13 ÷ 3 = 4 (ост. 1)
Число 13– это делимое
Число 3– это делитель
Число 4– это неполное частное
Число 1– это остаток от деления
Важно знать и помнить, что остаток всегда должен быть меньше делителя.
Если при делении одного натурального числа на другое остаток равен нулю, то говорят: «Число делится нацело», т.е. первое число делится на второе без остатка.
Рассмотрим алгоритм деления с остатком.
1. Найти наибольшее число, которое будет удовлетворять одновременно следующим требованиям:
-
- найденное число будет меньше делимого
- это число делится на делитель без остатка.
2. Подобранное число разделить на делитель.
Таким образом находится значение неполного частного.
3. Вычесть из делимого наибольшее число (найденное в пункте 1 нашего алгоритма), полученный результат- это остаток.
4. Проверяем остаток сравнением, он должен быть меньше делителя.
Записывать деление с остатком можно в строчку а ÷ b = с (ост. r) или в столбик- «деление уголком».
Приведем пример.
Найдем значение выражения 19 ÷ 6.
Наибольшее число, которое меньше 19 и делится на 6– это 18.
18 разделим на делитель 6, получим 3-это неполное частное.
Вычтем из делимого числа 19 найденное наибольшее число 18, получим число 1– это остаток от деления.
Соберем все известные и полученные данные в равенство: 19 ÷ 6 = 3 (ост 1).
19– делимое.
6– делитель.
3– неполное частное.
1-остаток от деления.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Деление с остатком «уголком» выполняется по той же схеме, как и без остатка.
Разберем пример.
Разделим 45 на 13.
1. Выделим в делимом наибольшее неполное делимое, которое делится на 13.
В нашем случае это само число 45, следовательно, в неполном частном будет только одна цифра.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
2. Разделим неполное делимое на делитель.
Предположим, что результатом такого деления будет число 4, тогда, умножив 13 на 4, получим число 52, но это число противоречит действительности, так как делимое 45 меньше числа 52, полученного при умножении 13 и 4.
Число 4 в качестве неполного частного нам не подходит.
Тогда возьмем число, которое предшествует 4, это число 3.
Делитель 13 умножим на 3.
3. Умножим делитель на найденное число.
13 ∙ 3 = 39 (полученное число 39 показывает, сколько единиц разделили из 45)
Число 39 меньше делимого 45, значит подобранная пробная цифра 3 подходит, записываем ее в частное
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Произведение 13 и 3 запишем под делимым 45.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Важно помнить, что деление чисел в столбик происходит и записывается по разрядам, а начинается с высшего разряда.
4. Найдем остаток от деления вычитанием.
Из 45 вычтем 39, получаем остаток, он равен 45 – 39 = 6.
5. Сравним остаток от деления с делителем.
По правилу остаток всегда меньше делителя, иначе можно было бы продолжать деление.
Сравним: 13 > 6 (остаток 6 меньше делителя 13)
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
В делимом разрядов больше нет, выделить следующее неполное делимое не удается, следовательно, на этом деление можно считать законченным.
6. Однако, если есть следующее неполное делимое, то необходимо далее следовать данному алгоритму, начиная с пункта 2.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Запишем математическую операцию деления с остатком следующим образом:
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Где а– это делимое, b– это делитель, с– это неполное частное, r– это остаток от деления.
1. Нахождение делимого, если известны делитель, неполное частное и остаток от деления.
Правило: чтобы найти неизвестное делимое, нужно неполное частное умножить на делитель (или наоборот делитель умножить на неполное частное) и к полученному произведению прибавить остаток.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Данное равенство используют для проверки операции деления с остатком.
В предыдущем разделе данного урока искали значение выражения 45 ÷ 13.
Нами был получен результат: 45 ÷ 13 = 3 (ост 6).
Проверим полученный результат деления с остатком.
Умножим делитель 13 на неполное частное 3 и прибавим остаток 6, если в итоге получится число, равное делимому 45, то деление с остатком выполнено верно.
Проверяем: 13 ∙ 3 + 6 = 39 + 6 = 45.
Деление было выполнено верно, неполное частное и остаток найдены правильно.
2. Нахождение делителя, если известны делимое, неполное частное и остаток от деления.
Правило: чтобы определить неизвестный делитель, нужно из делимого вычесть остаток, полученную разность разделить на неполное частное.
Данное правило в буквенной форме запишем так:
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Рассмотрим пример, иллюстрирующий данное правило.
Мальчик заплатил за несколько альбомов 50 рублей.
Цена каждого альбома 15 рублей.
Ему сдали сдачу 5 рублей.
Сколько альбомов купил мальчик на 50 рублей?
Обозначим условно:
а– делимое (общее количество денег, которое было у мальчика).
с– неполное частное (часть денег, потраченных на каждый альбом).
r– остаток (сдача).
b– делитель (число альбомов, которое нужно купить на 50 руб.).
Запишем решение данной задачи.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
3. Нахождение неполного частного, если известны все остальные компоненты деления с остатком.
Правило: чтобы найти неизвестное неполное частное, нужно из делимого вычесть остаток, полученную разность разделить на делитель.
Правило в буквенной форме запишем так:
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Рассмотрим пример, демонстрирующий данное правило.
У бабушки было 30 конфет.
Она решила угостить ими своих внуков.
Каждому внуку дала по 7 конфет, и у нее осталось 2 конфеты.
Сколько внуков получило конфеты?
Введем условные обозначения для данной задачи.
а– делимое (общее количество конфет, которое было у бабушки).
b– делитель (число конфет, которые получил каждый внук).
r– остаток (оставшиеся конфеты).
с– неполное частное (число внуков).
Запишем решение данной задачи.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
4. Нахождение остатка, если известно делимое, делитель, неполное частное.
Правило: остаток от деления равен разности делимого и произведения делителя на неполное частное.
Для данного случая справедливо равенство:
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Рассмотрим данное правило на примере.
У учителя было 25 тетрадей.
Он раздал 12 ученикам по 2 тетради.
Сколько тетрадей осталось у учителя?
Введем условные обозначения для данной задачи.
а– делимое (общее количество тетрадей, которое были у учителя).
b– делитель (число тетрадей, которые получил каждый ученик).
с– неполное частное (число учеников, которым раздали тетради).
r– остаток (оставшиеся тетради).
Запишем решение данной задачи.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Читайте также
Деление c остатком — арифметическая операция, играющая большую роль в арифметике, теории чисел, алгебре и криптографии. Чаще всего эта операция определяется для целых или натуральных чисел следующим образом[1]. Пусть 
Таким образом, результатами деления с остатком являются два целых числа: 
Нахождение неполного частного также называют целочисленным делением, а нахождение остатка от деления называют взятием остатка или, неформально, делением по модулю (однако последний термин стоит избегать, так как он может привести к путанице с делением в кольце или группе вычетов по аналогии со сложением или умножением по модулю).
- Примеры
-
- Проверка:
- Проверка:
-
- Проверка:
- Проверка:
-
- Проверка:
- Проверка:
-
- Проверка:
- Проверка:
Операция деления с остатком может быть определена не только для целых чисел, но и для других математических объектов (например, для многочленов), см. ниже.
Определение[править | править код]
Оставаясь строго в рамках натуральных чисел, приходится различать деление с остатком и деление нацело, поскольку нулевой остаток не является натуральным числом; кроме того, неполное частное при делении меньшего числа на большее должно равняться нулю, что тоже выводит за рамки натуральных чисел. Все эти искусственные ограничения неоправданно усложняют формулировки, поэтому в источниках обычно либо рассматривается расширенный натуральный ряд, включающий ноль[2], либо теория сразу формулируется для целых чисел, как указано выше[1].
Для вычисления неполного частного от деления
когда
.
где полускобки 
Для отрицательного делителя нужно округлять частное в большую сторону:
когда
.
Операция «mod» и связь со сравнениями[править | править код]
Величина остатка может быть получена бинарной операцией «взятия остатка» от деления
Не следует путать это обозначение с обозначением сравнения по модулю
однако обратная импликация, вообще говоря, неверна. А именно, это сравнение не подразумевает выполнения неравенства 
В программировании[править | править код]
| Язык | Неполное частное |
Остаток | Знак остатка |
|---|---|---|---|
| ActionScript | % |
Делимое | |
| Ada | mod |
Делитель | |
rem |
Делимое | ||
| Бейсик | |
MOD |
Не определено |
| Си (ISO 1990) | / |
% |
Не определено |
| Си (ISO 1999) | / |
% |
Делимое[3] |
| C++ (ISO 2003) | / |
% |
Не определено[4] |
| C++ (ISO 2011) | / |
% |
Делимое[5] |
| C# | / |
% |
Делимое |
| ColdFusion | MOD |
Делимое | |
| Common Lisp | mod |
Делитель | |
rem |
Делимое | ||
| D | / |
% |
Делимое[6] |
| Delphi | div |
mod |
Делимое |
| Eiffel | // |
\ |
Делимое |
| Erlang | div |
rem |
Делимое |
| Euphoria | remainder |
Делимое | |
| Microsoft Excel (англ.) | QUOTIENT() |
MOD()
|
Делитель |
| Microsoft Excel (рус.) | ЧАСТНОЕ() |
ОСТАТ()
|
|
| FileMaker | Div() |
Mod() |
Делитель |
| Fortran | mod |
Делимое | |
modulo |
Делитель | ||
| GML (Game Maker) | div |
mod |
Делимое |
| Go | / |
% |
Делимое |
| Haskell | div
|
mod |
Делитель |
quot
|
rem |
Делимое | |
| J | |~ |
Делитель | |
| Java | /
|
%
|
Делимое[7] |
Math.floorDiv
|
Math.floorMod
|
Делитель (1.8+) | |
| JavaScript | .toFixed(0) | % |
Делимое |
| Lua | % |
Делитель | |
| Mathematica | Quotient
|
Mod |
Делитель |
| MATLAB | idivide(?, ?, 'floor') |
mod |
Делитель |
idivide |
rem |
Делимое | |
| MySQL | DIV |
MOD% |
Делимое |
| Oberon | DIV |
MOD |
+ |
| Objective Caml | mod |
Не определено | |
| Pascal | div |
mod |
Делимое[8] |
| Perl | Нет | % |
Делитель |
| PHP | Нет[9] | % |
Делимое |
| PL/I | mod |
Делитель (ANSI PL/I) | |
| Prolog (ISO 1995) | mod |
Делитель | |
| PureBasic | / |
Mod% |
Делимое |
| Python | // |
% |
Делитель |
| QBasic | |
MOD |
Делимое |
| R | %/% | %% |
Делитель |
| RPG | %REM |
Делимое | |
| Ruby | /
|
% |
Делитель |
| Scheme | modulo |
Делитель | |
| SenseTalk | modulo |
Делитель | |
rem |
Делимое | ||
| Tcl | % |
Делитель | |
| Verilog (2001) | % |
Делимое | |
| VHDL | mod |
Делитель | |
rem |
Делимое | ||
| Visual Basic | |
Mod |
Делимое |
Нахождение остатка от деления часто используется в компьютерной технике и телекоммуникационном оборудовании для создания контрольных чисел и получения случайных чисел в ограниченном диапазоне, например в конгруэнтном генераторе случайных чисел.
Обозначения операции взятия остатка в различных языках программирования представлены в таблице справа.
Например, в Паскале операция mod вычисляет остаток от деления, а операция div осуществляет целочисленное деление, при котором остаток от деления отбрасывается:
78 mod 33 = 12 78 div 33 = 2
Знак остатка[править | править код]
Операция взятия остатка в языках программирования может возвращать отрицательный результат (для отрицательного делимого или делителя). Тут есть два варианта:
- Знак остатка совпадает со знаком делимого: неполное частное округляет к нулю.
- Знак остатка совпадает со знаком делителя: неполное частное округляет к
.
Если в языке есть оба типа остатков, каждому из них соответствует своя операция неполного частного. Обе операции имеют жизненный смысл.
Операция div в x86/x64 делит регистровую пару rdx:rax на любой другой регистр или число из памяти[10]. Неполное частное и остаток выходят по первому варианту — округляют к нулю.
Как запрограммировать, если такой операции нет?[править | править код]
Неполное частное можно вычислить через деление и взятие целой части: ![q=left[{frac {a}{b}}right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a5108d8efbb2b9259f9487fc6f9f7bb61aa7337)
![[x]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07548563c21e128890501e14eb7c80ee2d6fda4d)
При отсутствии команды mod остаток программируется как 
Если 
Неполное частное и неотрицательный остаток от деления на степень двойки 
Обобщения[править | править код]
Вещественные числа[править | править код]
Если два числа
Формально:
- если
, то
, где
- Пример
Деление 7,9 на 2,1 с остатком даёт:
(неполное частное);
(остаток).
Гауссовы целые числа[править | править код]
Гауссово число — это комплексное число вида 
,
где частное
Однако, в отличие от целых чисел, остаток от деления определяется неоднозначно. Например, 
Многочлены[править | править код]
При делении с остатком двух многочленов 
, причём
.
- Пример
(остаток 3), так как:
.
См. также[править | править код]
- Алгоритм Евклида
- Делимость
- Наибольший общий делитель
- Непрерывная дробь
- Сравнение по модулю
Примечания[править | править код]
- ↑ 1 2 Деление // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1979. — Т. 2.
- ↑ Потапов М. К., Александров В. В., Пасиченко П. И. Алгебра и анализ элементарных функций. М.: Наука, 1981, 560 с., С. 9.
- ↑ ISO/IEC 9899:TC2: When integers are divided, the result of the
/operator is the algebraic quotient with any fractional part discarded. [This is often called «truncation toward zero».]; в списке изменений 1999→TC1 и TC1→TC2 данное изменение не числится. - ↑ «ISO/IEC 14882:2003 : Programming languages — C++», 5.6.4: International Organization for Standardization, International Electrotechnical Commission, 2003. «the binary % operator yields the remainder from the division of the first expression by the second. …. If both operands are nonnegative then the remainder is nonnegative; if not, the sign of the remainder is implementation-defined».
- ↑ N3242=11-0012 (Working draft), текст совпадает с C99
- ↑ D language specification (англ.). dlang.org. Дата обращения: 29 октября 2017. Архивировано из оригинала 3 октября 2017 года.
- ↑ Арнолд, Кен, Гослинг, Дж., Холмс, Д. Язык программирования Java. — 3-е изд. — М., СПб., Киев: Вильямс, 2001. — С. 173—174. — ISBN 5-8459-0215-0.
- ↑ Стандарт 1973 года: div — division with truncation.
- ↑ PHP: Arithmetic Operators — Manual. Дата обращения: 27 ноября 2014. Архивировано 19 ноября 2014 года.
- ↑ DIV — Unsigned Divide
Учимся делить с остатком
Чтобы познакомить ребёнка с понятием «остаток», сыграйте с ним в «Магазин».
У нас 10 рублей, а конфеты стоят 4 рубля каждая. Спросите у ребёнка: сколько конфет он сможет купить?
Ребёнок ответит вам: 2 на три мне не хватит денег. А у тебя останется сдача с покупки? Да, 2 рубля.
Так и при решении примеров на деление с остатком:
10:4 получаем 2 , так как дважды четыре – восемь, то 2 – это остаток. Три раза по 4 мы взять не можем, потому что получим 12, а у нас только 10.
Первое время пусть ребёнок обращается к таблице умножения, в которой он наглядно может увидеть, какое число наиболее приближено к делимому, а потом, он с лёгкостью сам будет определять нужное число без наглядной опоры.
Я ещё при определении частного , проговариваю все примеры , начиная с верхнего: 5 умножить на 1 =5, 5 умножить на 2=10, 5 умножить на 3=15 и т.д. Для чего я это делаю? Каждый раз проговаривая результаты умножения, ребёнок запоминает их.
Таблица умножения необходима каждому человеку: кем бы не стали наши дети и чем бы они не занимались. Поэтому , при каждом удобном случае обращайтесь к ней снова и снова, и требуйте с ребёнка, чтобы он ее выучил!
