“Только из союза двоих, работающих
вместе и при помощи друг друга, рождаются великие
вещи.”
Антуан Де Сент-Экзюпери
Математика многообразна и многогранна.
Существует ряд ситуаций в образовательном
процессе, когда при изучении какой-либо темы по
физике, химии, биологии и т.д. затрагиваются
понятия математики, например, существуют задачи,
которые решают как на уроках математики, так и на
уроках химии. Способы решения задач представляют
и учителя химии, и математики, но есть проблема:
математики знают математику, а химики – химию. И
не всегда способы совпадают.
В данной статье приводятся рекомендации по
решению химических задач на смешение растворов
разными способами: с помощью расчетной формулы,
“Правила смешения”, “Правила креста”,
графического метода, алгебраического метода.
Приведены примеры решения задач.
1. Основные химические понятия
Приведем некоторые указания к решению задач на
растворы.
Основными компонентами этого типа задач
являются:
а) массовая доля растворенного вещества в
растворе;
б) масса растворенного вещества в растворе;
в) масса раствора.
Предполагают, что:
а) все получившиеся смеси и сплавы являются
однородными;
б) смешивание различных растворов происходит
мгновенно;
в) объем смеси равен сумме объемов смешиваемых
растворов;
г) объемы растворов и массы сплавов не могут
быть отрицательными.
Определения и обозначения.
Массовая доля растворенного вещества в
растворе – это отношение массы этого вещества к
массе раствора.
где 
– массовая
доля растворенного вещества в растворе;
– масса
растворенного вещества в растворе;
– масса
раствора.
Следствия формулы (1):
Введем обозначения:
– массовая доля
растворенного вещества в первом растворе;
–
массовая доля растворенного вещества во втором
растворе;
–
массовая доля растворенного вещества в новом
растворе, полученном при смешивании первого и
второго растворов;
m1(в-ва), m2(в-ва), m(в-ва) – массы
растворенных веществ в соответствующих
растворах;
m1(р-ра), m2(р-ра), m(р-ра) – массы
соответствующих растворов.
Основными методами решения задач на смешивание
растворов являются: с помощью расчетной формулы,
“Правило смешения”, “Правило креста”,
графический метод, алгебраический метод.
Приведем описание указанных методов.
1.1. С помощью расчетной формулы
В наших обозначениях, получим формулу для
вычисления массовой доли вещества (?) в смеси.
1. Масса полученного при смешивании раствора
равна:
m(р-ра) = m1(р-ра) + m2(р-ра).
2. Определим массы растворенных веществ в
первом и втором растворах:
m1(в-ва)= •m1(р-ра), m2(в-ва)= •m2(р-ра).
3. Следовательно, масса растворенного вещества
в полученном растворе вычисляется как сумма масс
веществ в исходных растворах:
m(в-ва) = m1(в-ва) + m2(в-ва) = •m1(р-ра) + •m2(р-ра).
4. Таким образом, массовая доля растворенного
вещества в полученном растворе равна:
или
или
где 
– массы
соответствующих растворов.
Замечание: При решении задач удобно
составлять следующую таблицу.
|
1-й раствор |
2-й раствор |
Смесь двух растворов |
|
|
Масса растворов |
m1 |
m2 |
m1 + m2 |
|
Массовая доля |
|
|
|
|
Масса вещества в |
|
|
|
1.2. “Правило смешения”
Воспользуемся формулой (4): 
тогда 
Отсюда 
Таким образом, отношение массы первого
раствора к массе второго равно отношению
разности массовых долей смеси и второго раствора
к разности массовых долей первого раствора и
смеси.
Аналогично получаем, что при 
Замечание: Формула (5) удобна тем, что на
практике, как правило, массы веществ не
отвешиваются, а берутся в определенном
отношении.
1.3. “Правило креста”
“Правилом креста” называют диагональную
схему правила смешения для случаев с двумя
растворами.
Слева на концах отрезков записывают исходные
массовые доли растворов (обычно слева
вверху-большая), на пересечении отрезков –
заданная, а справа на их концах записываются
разности между исходными и заданной массовыми
долями. Получаемые массовые части показывают в
каком отношении надо слить исходные растворы.
1.4. Графический метод
Отрезок прямой (основание графика)
представляет собой массу смеси, а на осях ординат
откладывают точки, соответствующие массовым
долям растворенного вещества в исходных
растворах. Соединив прямой точки на осях ординат,
получают прямую, которая отображает
функциональную зависимость массовой доли
растворенного вещества в смеси от массы
смешанных растворов в обратной пропорциональной
зависимости 
Полученная функциональная прямая позволяет
решать задачи по определению массы смешанных
растворов и обратные, по массе смешанных
растворов находить массовую долю полученной
смеси.
Построим график зависимости массовой доли
растворенного вещества от массы смешанных
растворов. На одной из осей ординат откладывают
точку, соответствующую массовой доли , а на другой – . Обозначим на оси абсцисс
точки А и В с координатами (0,0) и (m1 + m2,0),
соответственно. На графике точка А(0,0)
показывает, что массовая доля всего раствора
равна , а точка В(m1
+ m2,0) – массовая доля всего раствора равна . В направлении от
точки А к точке В возрастает содержание в
смеси 2-го раствора от 0 до m1+ m2 и
убывает содержание 1-го раствора от m1+ m2
до 0. Таким образом, любая точка на отрезке АВ будет
представлять собой смесь, имеющую одну и ту же
массу с определенным содержанием каждого
раствора, которое влияет на массовую долю
растворенного вещества в смеси.
Замечание: Данный способ является наглядным
и дает приближенное решение. При использовании
миллиметровой бумаги можно получить достаточно
точный ответ.
1.5. Алгебраический метод
Задачи на смешивание растворов решают с
помощью составления уравнения или системы
уравнений.
2. Примеры решения задач
Задача 1. (№1.43, [1])
В 100 г 20%-ного раствора соли добавили 300 г её
10%-ного раствора. Определите процентную
концентрацию раствора.
Решение:
- C помощью расчетной формулы
- Графический
- Путем последовательных вычислений
- Сколько растворенного вещества содержится:
- Сколько вещества содержится в образовавшемся
растворе? - Чему равна масса образовавшегося раствора?
- Какова процентная концентрация полученного
раствора? - Алгебраический
Ответ: 12,5%
а) в 100 г 20%-ного раствора; [100•0,2 = 20(г)]
б) в 300 г 10%-ного раствора? [300•0,1 = 30(г)]
20 г + 30 г = 50 г
100 г + 300 г = 400 г
(50/400)100 = 12,5(%)
Ответ: 12,5%
Пусть х – процентная концентрация
полученного раствора. В первом растворе
содержится 0,2•100(г) соли, а во втором 0,1•300(г), а в
полученном растворе х•(100 + 300)(г) соли.
Составим уравнение:
0,2•100 + 0,1•300 = х•(100 + 300);
х = 0,125 (12,5%)
Ответ: 12,5%
Задача 2. u(№10.26, [1])
Смешали 10%-ный и 25%-ный растворы соли и получили 3
кг 20%-ного раствора. Какое количество каждого
раствора в килограммах было использовано?
Решение:
- Алгебраический
- Графический.
- “Правило смешения”
- “Правило креста”
а) C помощью уравнения:
Пусть х (кг) – масса 1-го раствора, тогда 3-х (кг)
-масса 2-го раствора.
0,1•х (кг) содержится соли в 1-ом растворе,
0,25•(3-х) (кг) содержится соли в 2-ом растворе,
0,2•3 (кг) содержится соли в смеси.
Учитывая, что масса соли в 1-ом и 2-ом растворах
равна массе соли в смеси, составим и решим
уравнение:
0,1•х + 0,25•(3-х) = 0,2•3;
0,15х = 0,15;
х = 1, 1кг-масса 1-го раствора
3 – х = 3 – 1 =2 (кг) – масса 2-го раствора.
Ответ: 1 кг, 2 кг.
б) С помощью системы уравнений
Пусть х (кг) – количество первого раствора, у (кг)
– количество второго раствора. Система уравнений
имеет вид:
Ответ: 1 кг, 2 кг.
Ответ: 1кг, 2кг.
Составим диагональную схему
Ответ: 1кг, 2кг.
Задача 3 ([2])
Сосуд емкостью 5 л содержит 2 л р%-ного (по объёму)
раствора соли. Сколько литров 20%-ного раствора
такой же соли надо налить в сосуд, чтобы
процентное содержание соли в сосуде стало
наибольшим?
Решение (графический способ)
Заметим, что по условию, объём второго раствора
не превышает трёх литров.
- Ели р < 20, то для того, чтобы получить
максимальную массовую долю вещества в растворе,
необходимо добавить 3 л 20% – ного раствора соли; - Если р = 20, то при добавлении 2-го раствора,
процентное содержание соли в растворе не
изменится, следовательно, можно прилить от 0 л до 3
л 20% – ного раствора соли; - Если р > 20, то при добавлении 2-го раствора,
процентное содержание соли будет уменьшаться,
т.е. прилить нужно 0 л.
Ответ: 3 л, если 0 < р < 20, [0,3], если р = 20, 0л, если 20
< р 
100.
Задача 4 (работа 5, №2, [1])
В двух сосудах по 5л каждый содержится раствор
соли. Первый сосуд содержит 3л р% – ного раствора, а
второй – 4л 2р% – ного раствора одной и той же соли.
Сколько литров надо перелить из второго сосуда в
первый, чтобы получить в нем 10% – ный раствор соли?
При каких значениях р задача имеет решение?
Решение
Найдем, при каких значениях р задача имеет
решение. По условию задачи 5-ти литровый сосуд
содержит 3л первого раствора, следовательно, к
нему можно прилить от 0 до 2л второго раствора.
Имеем, 
Решая
неравенство, получаем 
Ответ: 
3. Заключение
Данные рекомендации предназначены учителям
математики, желающим организовать элективные
курсы, как в девятых, так и в десятых и
одиннадцатых классах. Цель создаваемых курсов:
научить учащихся пользоваться математическим
аппаратом при решении химических задач.
Список литературы
- Галицкий и др. Сборник задач по алгебре для 8-9
классов: Учебное пособие для учащихся шк. и
классов с углубл. изуч. математики / М.Л. Галицкий,
А.М. Гольдман, Л.И. Звавич.-2-е изд. – М.:
Просвещение,1994. – 271с. - Сборник задач по математике для поступающих в
вузы: Учебное пособие/ П.Т.Дыбов, А.И.Забоев, А.С.
Иванов и др.; Под ред. А.И. Прилепко. – М.:Высш. школа,
1983. – 239 с. - Ерыгин Д.П., Шишкин Е.А. Методика решения задач по
химии: Учебное пособие для студентов пед. ин-тов
по биол. и хим. спец. – М.: Просвещение,1989. – 176с. - Хомченко Г.П., Хомченко И.Г. Задачи по химии для
поступающих в вузы: Учебное пособие. – 2-е изд..
исправ. и доп. – М.: Высш. школа, 1993. – 302 с.
Правило Пирсона (оно же правило креста) предназначено для решения одной задачи: сделать раствор нужной концентрации из двух имеющихся растворов с различной концентрацией.
Следует отметить что оно актуально только для массовых концентраций. Это значит что менять граммы на миллилитры или массовые доли на объемные доли нельзя. В таком случае нужно заменить объем на массу через плотность. В случае этилового спирта это можно сделать через калькулятор.
Выгладит правило следующим образом.
W1 – известная массовая доля первого вещества
W2 – известная массовая доля второго вещества
W3 – искомая массовая доля
Если одно из известных веществ это вода, которая является растворителем, то массовая доля будет равна нулю.
По диагонали находим разницу и получаем соотношение (сколько частей) в котором нужно взять первого раствора и второго раствора.
Пример 1.
Необходимо приготовить 500 грамм 40%(масс.) раствора спирта, имея в наличии 95%(масс.) и 30%(масс.) раствор.
1 массовая часть = 500 / 65 = 7.69 грамм
Масса 95%(масс.) раствора = 7.69 * 10 = 76.9 грамм
Масса 30%(масс.) раствора = 7.69 * 55 = 422.95 грамм
Пример 2.
Определить концентрацию раствора после смешивания 500 грамм 90%(масс.) спирта и 300 грамм воды.
Составим пропорцию: (W3 – 0) / (90 – W3) = 500 / 300 и решим уравнение. Получим W3 = 56.25%(масс.).
Часто возникают ситуации, когда необходимо приготовить раствор определенной концентрации с помощью других растворов с известной массовой долей. Можно провести арифметический расчет.
Допустим, нужно приготовить раствор определенной концентрации, имея в распоряжении два раствора с большей и меньшей концентрациями, чем нужно приготовить. Если обозначить массу первого раствора через m1, а второго – через m2, то при смешивании общая масса смеси будет слагаться из суммы этих масс. Пусть массовая доля растворенного вещества в первом растворе – W1, во втором – W2, а в их смеси – W3. Получается, что общая масса растворенного вещества в смеси будет сумма из масс растворенного вещества в исходных растворах:
m1*W1+m2*W2=W3*(m1+m2)
Отсюда
m1*(W1-W3)=m2(W3-W2)
m1/m2=(W3-W2)/(W1-W3)
Отношение массы первого раствора к массе второго раствора есть отношение разности массовых долей растворенного вещества в смеси и во втором растворе к разности соответствующих величин в первом растворе и в смеси.
Есть более эффективный и наглядный метод расчета. Таким методом является диагональная модель «конверта Пирсона», или более популярное название «правило креста».
Сначала в столбик записывают массовые доли имеющихся растворов, одну над другой. Правее, примерно между двумя предыдущими массовыми долями, записывают массовую концентрацию, которую необходимо получить. Далее, по диагонали вычитаем значения, и получаем массовые доли для обоих растворов, или соотношение, в котором необходимо смешать растворы для приготовления необходимого.
Рассмотрим различные случаи применения “правила креста”.
1. Пусть требуется приготовить раствор заданной концентрации из двух растворов того же вещества, один из которых имеет концентрацию больше нужной, а другой — меньше.
Смешиваемые растворы можно измерять в объемных или массовых частях в зависимости от того, в объемных или массовых процентах выражают концентрацию растворов.
2. Применим «правило креста» в случае разбавления раствора чистым растворителем. При этом массовую долю вещества в чистом растворителе считают равной нулю:
3. Для получения более концентрированного раствора с помощью растворения в нем дополнительного количества компонента. Твердое вещество условно считают раствором с массовой долей 100%:
…
В данном разделе рассмотрены задачи на пересчет концентрации растворов, применение правила креста для нахождения концентрации при смешении и разбавлении растворов. Больше задач на расчет массовой доли растворенного вещества представлены в разделе подготовки к ОГЭ по химии.
Концентрация растворов и способы ее выражения
Задача 1. К 150 г 20% раствора сахарозы добавили 45 г глюкозы. Рассчитайте массовые доли углеводов в новом растворе.
Показать решение »
Решение.
Вначале сахарозы было 30 г:
20 г сахарозы содержится в 100 г раствора
х г — в 150 г
х =30 г
После прибавления глюкозы:
mобщ = m (сахарозы) + m (глюкозы) = 150 + 45 = 195 г
m раствора стала 195 г
Найдем полученные массовые доли сахарозы и глюкозы:
30 г сахарозы содержится в 195 г раствора
х г — в 100 г
х =15,4
ω2 (сахарозы) = 15,4%:
45 г глюкозы содержится в 195 г раствора
х г — в 100 г
х = = 23,1
ω2 (глюкозы) = 23,1%
Задача 2. Для нейтрализации 20 мл 0,1 н раствора кислоты потребовалось 6 мл раствора едкого натра. Определить нормальную концентрацию раствора едкого натра.
Показать решение »
Решение.
Согласно закону эквивалентов при нейтрализации в точке эквивалентности действует равенство, называемое Золотым правилом аналитики:
СН1×V1 = СН2×V2
0,1×20 = СН2×6
СН2 = 0,3 н.
Задача 3. Нормальная концентрация раствора KNO3 равна 0,2 моль/л. Найти процентную концентрацию раствора KNO3 и молярную концентрацию раствора KNO3. Плотность раствора принять раной 1 г/мл.
Показать решение »
Решение:
Найдем молярную массу и молярную массу эквивалента KNO3.
В данном случае, они совпадают.
М (KNO3) = 39+14+(16×3) = 101 г/моль
Найдем массу KNO3, содержащуюся в его 0,2 н. растворе:
1 н раствор KNO3 содержит – МЭ KNO3 в 1000 мл
Т.е. 1 н – 101 г
0,2 н. – х г
х = 20,2 г
Теперь вычислим молярную концентрацию
1М раствор KNO3 содержит – М KNO3 в 1000 мл
Т.е. 1 М – 101 г
х – 20,2 г
х = 0,2 моль/л
Таким образом, Сн = См = 0,2 моль/л
Далее находим процентную концентрацию.
Сначала необходимо рассчитать массу раствора объемом 1000 мл.
m = ρ×V = 1×1000 = 1000 г
тогда, решая пропорцию, находим:
20,2 г KNO3 содержится – в 1000 г раствора
х г – в 100 г раствора
х = 2,02 г
ω = 2,02%
Задача 4. Вычислите молярную и молярную концентрацию эквивалента (нормальность) 20 % раствора хлорида кальция плотностью 1,178 г/мл.
Показать решение »
Решение.
Найдем массу раствора
mр-ра = V·ρ = 1000 · 1,178 = 1178 г.
Найдем массу CaCl2, содержащуюся в 1178 г. 20 % раствора
20 г CaCl2 содержится в 100 г раствора
х г — в 1178 г раствора
х = 235,6 г.
Молярность определим с помощью соотношения:
См = n/V
n = m/M = 235,6/111 = 2,1 моль
M(CaCl2) = 40+35,5·2 = 111 г/моль
См = 2,1/1 = 2,1 М
Молярная концентрация эквивалента определяется с помощью соотношения:
Сн = nэ/V
Мэ = fэкв· М(CaCl2) = 1/2·111 = 55,5 г/моль
nэ = m/ Мэ = 235,6/55,5 = 4,2 моль
Сн = 4,2/1 = 4,2 н
Задача 5. Чему равна нормальность 30% раствора NaOH плотностью 1,328 г/мл? К 1 л этого раствора прибавили 5 л воды. Вычислите массовую долю полученного раствора.
Показать решение »
Решение.
Найдем массу NaOH, содержащуюся в 1328 г. 30 % раствора используя формулу:
ω(NaOH) = m (NaOH)/m
mр-ра = V·ρ = 1000 · 1,328 = 1328 г.
m(NaOH) = ω(NaOH) · m = 0,3 · 1328 = 398,4 г.
Найдем Молярную концентрацию эквивалента или нормальность:
M(NaOH) = 23+16+1 = 40 г/моль
Сн = nэ/V
Мэ = fэкв· М(NaOH) = 1·40 = 40 г/моль
nэ = m/ Мэ = 398,4/40 = 9,96 моль
Сн = 9,96/1 = 9,96 н
Найдем массу раствора после прибавления 5 л воды:
m2 = 1328 + 5000 = 6328 г
Далее находим процентную концентрацию или массовую долю вещества.
ω2(NaOH) = m (NaOH)/m2 = 398,4/6328 = 0,063 или 6,3 %
Задача 6. К 3 л 10 % раствора HNO3 плотностью 1,054 г/мл прибавили 5 л 2 % раствора той же кислоты плотностью 1,009 г/мл. Вычислите массовую долю в процентах и молярную концентрацию полученного раствора, объем которого равен 8 л.
Показать решение »
Решение.
Найдем массу растворов объемом 3 л и 5 л
m1= V1·ρ = 3000·1,054 = 3162 г
m2= V2·ρ = 5000·1,009 = 5045 г
Найдем массу HNO3, содержащуюся в 3162 г. 10 % раствора
10 г HNO3 содержится в 100 г ее раствора
х1 г — в 3162 г раствора
х1 = 316,2 г
Найдем массу HNO3, содержащуюся в 5045 г. 2 % раствора
2 г HNO3 содержится в 100 г ее раствора
х2 г — в 5045 г раствора
х2 = 100,9 г
При смешивании:
m (HNO3) = 316,2+100,9 = 417,1 г
mр-ра (HNO3) = 3162+5045 = 8207 г
Найдем Молярность
См = n/V
n = m/M = 417,1/63 = 6,62 моль
M(HNO3) = 1+14+16·3 = 63 г/моль
См= 6,62/1 = 6,62 М
ω(HNO3) = m (HNO3)/mр-ра = 417,1/8207 = 0,05 или 5 %
Задача 7. Определить молярность, нормальность, моляльность и титр 4 % раствора FeSO4 объем которого равен 1,5 л, плотность 1037 кг/м3
Показать решение »
Решение.
M (FeSO4) = 56+32+16·4 = 152 г/моль
Мэ = fэкв· М(FeSO4) = 1/2·152 = 76 г/моль
Найдем m раствора объемом 1,5 л
m = V·ρ = 1,5·10-3 ·1037 = 1,56 кг
Найдем m 4 % раствора
m(FeSO4) = ω(FeSO4) · mр-ра = 0,04·1,56 = 0,0624 кг = 62,4 г
Найдем молярность, которая определяется как количество молей растворенного вещества в одном литре раствора
n = m/М = 62,4/152 = 0,41 моль
См = n/V = 0,41/1,5 = 0,274 М
Найдем нормальность:
nэ = m/Мэ = 62,4/76 = 0,82 моль
Сн = nэ/V = 0,82/1,5 = 0,547 н
Моляльная концентрация равна:
b (x) = n(x)/m
Масса растворителя равна: mH2O = 1560-62,4 = 1497,6 г = 1,5 кг
b (FeSO4) = n(FeSO4)/m = 0,41/1,5 = 0,27 моль/кг
Титр определим следующим образом:
Т (х) = m (х)/V
Т (FeSO4) = m (FeSO4)/V = 62,4/1500 = 0,0416 г/мл
Задачи на смешение и разбавление растворов
Такие задачи можно решить с помощью правила креста или правила смешения. Суть его заключается в составлении «креста», в виде которого располагают две прямые линии. В центре пишут ту концентрацию, которую надо получить, у концов линий креста слева – концентрации исходных растворов (большую – сверху, меньшую — снизу), у концов линий креста справа – искомые концентрации (или массы) растворов, которые получают вычитанием по направлению линий из большей величины меньшей. В общем виде схема решения задач по правилу креста имеет вид:
Таким образом, следует взять mА грамм раствора с массовой долей а% и прибавить к нему mB грамм раствора с массовой долей b%. Если надо узнать, какие массы растворов данной концентрации следует взять, чтобы получить заданную массу раствора новой концентрации, то сначала определяют отношение mА и mB . Затем пропорционально этому отношению делят заданную массу.
Задача 8. Сколько граммов раствора с массовой долей серной кислоты 96% необходимо влить в 1 л воды, чтобы получить раствор с массовой долей 10%
Показать решение »
Решение.
Для решения данной задачи используем правило креста.
Чистый растворитель (воду) можно представить как раствор с массовой долей растворенного вещества 0%
Определим m раствора с ω (H2SO4) = 96%, который надо влить в 1 л воды:
10 г H2SO4 надо влить в 86 г воды
х г — 1000 г
х = 116,28 г
m (р-ра H2SO4) = 116,28 г
Задача 9. Сколько мл 0,5 М и 0,1 М растворов азотной кислоты следует взять для приготовления 1000 мл 0,2 М раствора.
Показать решение »
Решение.
По правилу креста, определяем в каких соотношениях следует взять 0,5 М и 0,1 М растворы азотной кислоты, чтобы получить раствор заданной концентрации:
V0.5/V0.1 = 0,1/0,3 = 1/3
Взяв 0,1 л и 0,3 л исходных растворов, получим 0,4 л 0,2 М раствора HNO3, но по условию задачи нужно получить 1 л. Для этого разделим 1 л на две части в соотношении 1:3, составив пропорции:
Для 0,5 М раствора HNO3
из 0,1 л 0,5 М раствора получим 0,4 л 0,2 М р-ра HNO3
х1 л — 1 л
х1 = 0,25 л
Для 0,1 М раствора HNO3
из 0,3 л 0,5 М раствора получим 0,4 л 0,2 М р-ра HNO3
х2 л — 1 л
х2 = 0,75 л
Задачи на смеси и сплавы — подробнее
Концентрация какого-то вещества в растворе – это отношение массы или объема этого вещества к массе или объему всего раствора.
То же самое относится и к сплавам: содержание одного из металлов в сплаве – это отношение массы этого металла к массе всего сплава.
Обычно концентрация измеряется в процентах.
Что такое процент?
Напомню, что это сотая доля числа. То есть, если массу или объем разделить на ( displaystyle 100), получим ( displaystyle 1%) этой массы или объема.
Чтобы вычислить концентрацию в процентах, достаточно полученное число умножить на ( displaystyle 100%).
Почему?
Сейчас покажу: пусть масса всего раствора равна ( displaystyle M), а масса растворенного вещества (например, соли или кислоты) – ( displaystyle m). Тогда один процент от массы раствора равен ( displaystyle frac{M}{100}).
Как узнать, сколько таких процентов содержится в числе ( displaystyle m)?
Просто: поделить число ( displaystyle m) на этот один процент: ( displaystyle frac{m}{frac{M}{100}}=frac{m}{M}cdot 100), но ведь ( displaystyle frac{m}{M}) – это концентрация.
Вот и получается, что ее надо умножить на ( displaystyle 100), чтобы узнать, сколько процентов вещества содержится в растворе.
Более подробно о процентах – в темах «Дроби, и действия с дробями»и «Проценты».
Поехали дальше.
Масса раствора, смеси или сплава равна сумма масс всех составляющих.
Логично, правда?
Например, если в растворе массой ( displaystyle 10) кг содержится ( displaystyle 3) кг соли, то сколько в нем воды? Правильно, ( displaystyle 7)кг.
И еще одна очевидность:
При смешивании нескольких растворов (или смесей, или сплавов), масса нового раствора становится равной сумме масс всех смешанных растворов.
А масса растворенного вещества в итоге равна сумме масс этого же вещества в каждом растворе отдельно.
Например: в первом растворе массой ( displaystyle 10) кг содержится ( displaystyle 3) кг кислоты, а во втором растворе массой ( displaystyle 14) кг – ( displaystyle 5) кг кислоты.
Когда мы их смешаем, чему будет равна масса нового раствора?
( displaystyle 10+14=24) кг.
А сколько в новом растворе будет кислоты? ( displaystyle 3+5=8) кг.
Перейдем к задачам.
Бонус: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике
ЕГЭ №11. Задачи на растворы, смеси и сплавы (и на проценты)
В этом видео мы научимся решать текстовые задачи на проценты, а так же на растворы, смеси и сплавы — на все, что содержит разные вещества в каком-то соотношении.
Задачи на смеси и сплавы очень часто попадаются на ОГЭ (№23) и профильном ЕГЭ (под номером 12).
Мы научимся очень простому способу сводить эти задачи к обычному линейному уравнению или к системе из двух таких уравнений.
Также мы научимся решать сложные задачи на проценты — в основном они на банковские вклады и кредиты и прочие финансовые штуки.
Это, в том числе, даст нам очень большой задел для “ экономической» задачи №17 (которая стоит аж 3 первичных балла).
ЕГЭ №17 Экономическая задача. Вклады
Экономические задачи в основном довольно простые, но дают аж 3 первичных балла!
Но это не совсем 3 балла нахаляву. Эти задачи требуют очень подробного и чёткого описания решения.
По сути, мы составляем математическую модель какой-то жизненной ситуации (например, связанной с банковскими вкладами или кредитами), и важно научиться ничего не пропускать при описании этой модели: описывать словами все введённые обозначения, обосновывать уравнения, которые мы записываем, и всё в таком духе.
Если не написать эти объяснения, вы гарантированно получите 0 баллов даже за правильно найденный ответ!
На этом уроке мы узнаем, как работают вклады, научимся решать и, главное, правильно оформлять решение таких задач.
